3.3.1. Потопяема центробежна помпа В този раздел ще разгледаме варианта с потопяема центробежна помпа NPTs-750. Използвам изворна вода от април до октомври. Изпомпвам го с потопяема центробежна помпа NPTs-750/5nk (първото число показва консумацията на енергия във ватове,

Да приемем, че има координатна система с начало в точка O и оси OX; OY; OZ. По отношение на тези оси центробежните инерционни моменти (продукти на инерцията) са величини, които се определят от равенствата:

къде са масите материални точки, на които е разделено тялото; - координати на съответните материални точки.

Центробежният момент на инерция има свойството на симетрия, това следва от неговата дефиниция:

Центробежните моменти на тялото могат да бъдат положителни и отрицателни, при определен избор на осите OXYZ те могат да станат нулеви.

За центробежните моменти на инерция има аналог на теоремата на Щайнберг. Ако разгледаме две координатни системи: и . Една от тези системи има начало в центъра на масата на тялото (точка C), осите на координатните системи са по двойки успоредни (). Нека координатите на центъра на масата на тялото са () в координатната система, тогава:

къде е телесната маса.

Основни инерционни оси на тялото

Нека едно еднородно тяло има ос на симетрия. Нека да изградим координатни оси, така че оста OZ да е насочена по оста на симетрия на тялото. Тогава, като следствие от симетрията, всяка точка от тяло с маса и координати съответства на точка, която има различен индекс, но същата маса и координати: . В резултат получаваме, че:

тъй като в тези суми всички членове имат своя собствена двойка равни по големина, но противоположни по знак. Изрази (4) са еквивалентни на писане:

Установихме, че аксиалната симетрия на разпределението на масата по отношение на оста OZ се характеризира с равенство на нула на два центробежни инерционни момента (5), които съдържат името на тази ос сред своите индекси. В този случай оста OZ се нарича главна инерционна ос на тялото за точка O.

Главната инерционна ос не винаги е оста на симетрия на тялото. Ако едно тяло има равнина на симетрия, тогава всяка ос, която е перпендикулярна на тази равнина, е главната ос на инерцията за точката О, в която оста пресича въпросната равнина. Равенствата (5) отразяват условията, че оста OZ е главната инерционна ос на тялото за точка O (начало). Ако са изпълнени условията:

тогава оста OY ще бъде главната ос на инерцията за точка O.

Ако равенствата са изпълнени:

тогава и трите координатни оси на координатната система OXYZ са главните инерционни оси на тялото за начало.

Инерционните моменти на тялото спрямо главните инерционни оси се наричат ​​главни инерционни моменти на тялото. Главните инерционни оси, които са построени за центъра на масата на тялото, се наричат ​​главни централни инерционни оси на тялото.

Ако тялото има ос на симетрия, то това е една от основните централни оси на инерция на тялото, тъй като центърът на масата е разположен на тази ос. Ако тялото има равнина на симетрия, тогава оста, нормална към тази равнина и минаваща през центъра на масата на тялото, е една от основните централни оси на инерция на тялото.

Концепцията за главните оси на инерция в динамиката на твърдо тяло е от съществено значение. Ако координатните оси OXYZ са насочени по тях, тогава всички центробежни инерционни моменти стават равни на нула и формулите, които трябва да се използват при решаване на динамични задачи, са значително опростени. Концепцията за главните инерционни оси е свързана с решаването на задачи за динамичното уравнение на въртящо се тяло и за центъра на удара.

Инерционният момент на тяло (включително центробежно) в международната система от единици се измерва в:

Центробежен инерционен момент на сечението

Центробежният инерционен момент на сечение (плоска фигура) спрямо две взаимно нормални оси (OX и OY) е стойност, равна на:

израз (8) казва, че центробежният инерционен момент на сечението спрямо взаимно перпендикулярни оси е сумата от продуктите на елементарните площи () на разстоянията от тях до разглежданите оси, по цялата площ S.

Единицата SI за измерване на инерционните моменти на сечение е:

Центробежният инерционен момент на сложно сечение по отношение на всеки две взаимно нормални оси е равен на сумата от центробежните инерционни моменти на съставните му части спрямо тези оси.

Примери за решаване на проблеми

ПРИМЕР 1

ГЕОМЕТРИЧНИ ХАРАКТЕРИСТИКИ НА ПЛОСКИТЕ СЕЧЕНИЯ.

Както показва опитът, устойчивостта на прът към различни деформации зависи не само от размерите на напречното сечение, но и от формата.

Размерите и формата на напречното сечение се характеризират с различни геометрични характеристики: площ на напречното сечение, статични моменти, моменти на инерция, моменти на съпротивление и др.

1. Статичен момент на площта(инерционен момент от първа степен).

Статичен инерционен моментплощ спрямо която и да е ос е сумата от продуктите на елементарните площи и разстоянието до тази ос, разпределени върху цялата площ (фиг. 1)

Свойства на статичния момент на площта:

1. Статичният момент на площта се измерва в единици дължина на третата мощност (например cm 3).

2. Статичният момент може да бъде по-малък от нула, по-голям от нула и следователно равен на нула. Осите, около които статичният момент е нула, преминават през центъра на тежестта на сечението и се наричат ​​централни оси.

Ако x cИ y cса координатите на центъра на тежестта, тогава

3. Статичният инерционен момент на сложна секция спрямо всяка ос е равен на сумата от статичните моменти на компонентите на простите секции спрямо същата ос.

Концепцията за статичен момент на инерция в науката за силата се използва за определяне на позицията на центъра на тежестта на сеченията, въпреки че трябва да се помни, че в симетричните сечения центърът на тежестта лежи в пресечната точка на осите на симетрия.

2. Инерционен момент на плоски секции (фигури) (инерционни моменти от втора степен).

а) аксиален(екваториален) инерционен момент.

Аксиален инерционен моментПлощта на фигура спрямо която и да е ос е сумата от продуктите на елементарните площи на квадрата на разстоянието до тази ос на разпределение по цялата площ (фиг. 1)

Свойства на аксиалния инерционен момент.

1. Аксиалният инерционен момент на площта се измерва в единици дължина на четвъртата мощност (например cm 4).

2. Аксиалният инерционен момент винаги е по-голям от нула.

3. Аксиалният инерционен момент на сложна секция спрямо всяка ос е равен на сумата от аксиалните моменти на компонентите на прости секции спрямо същата ос:

4. Големината на аксиалния инерционен момент характеризира способността на прът (греда) с определено напречно сечение да устои на огъване.

б) Полярен момент на инерция.

Полярен момент на инерцияПлощта на фигура спрямо всеки полюс е сумата от продуктите на елементарните площи на квадрата на разстоянието до полюса, разпределени по цялата площ (фиг. 1).

Свойства на полярния момент на инерция:

1. Полярният инерционен момент на една област се измерва в единици дължина на четвърта степен (например cm 4).

2. Полярният инерционен момент винаги е по-голям от нула.

3. Полярният инерционен момент на сложна секция спрямо всеки полюс (център) е равен на сумата от полярните моменти на компонентите на простите секции спрямо този полюс.

4. Полярният инерционен момент на сечение е равен на сумата от аксиалните инерционни моменти на този участък спрямо две взаимно перпендикулярни оси, минаващи през полюса.

5. Големината на полярния инерционен момент характеризира способността на прът (греда) с определена форма на напречно сечение да устои на усукване.

в) Центробежен инерционен момент.

ЦЕНТРОБЕЖНИЯТ МОМЕНТ НА ​​ИНЕРЦИЯ на площта на фигура спрямо всяка координатна система е сумата от продуктите на елементарните площи и координати, разширена до цялата площ (фиг. 1)

Свойства на центробежния инерционен момент:

1. Центробежният инерционен момент на една област се измерва в единици дължина на четвъртата степен (например cm 4).

2. Центробежният инерционен момент може да бъде по-голям от нула, по-малък от нула и равен на нула. Осите, около които центробежният инерционен момент е нула, се наричат ​​главни инерционни оси. Две взаимно перпендикулярни оси, поне една от които е ос на симетрия, ще бъдат главни оси. Главните оси, минаващи през центъра на тежестта на площта, се наричат ​​главни централни оси, а аксиалните инерционни моменти на площта се наричат ​​главни. централни точкиинерция.

3. Центробежният инерционен момент на сложно сечение във всяка координатна система е равен на сумата от центробежните инерционни моменти на съставните фигури в същата координатна система.

ИНЕРЦИОННИ МОМЕНТИ ОТНОСНО УСПОРЕДНИТЕ ОСИ.

Фиг.2

Дадени: брадви x, y– централен;

тези. аксиален моментинерцията в сечение спрямо ос, успоредна на централната, е равна на аксиалния момент около централната му ос плюс произведението на площта по квадрата на разстоянието между осите. От това следва, че аксиалният инерционен момент на сечението спрямо централната ос има минимална стойност в система от успоредни оси.

След като направихме подобни изчисления за центробежния инерционен момент, получаваме:

J x1y1 =J xy +Aab

тези. Центробежният инерционен момент на сечението спрямо осите, успоредни на централната координатна система, е равен на центробежния момент в централната координатна система плюс произведението на площта и разстоянието между осите.

ИНЕРЦИОННИ МОМЕНТИ ВЪВ ВЪРТЕЩА КООРДИНАТНА СИСТЕМА

тези. сумата от аксиалните инерционни моменти на сечението е постоянна стойност, не зависи от ъгъла на завъртане на координатните оси и е равна на полярния инерционен момент спрямо началото. Центробежният инерционен момент може да промени стойността си и да се превърне в "0".

Осите, около които центробежният момент е нула, ще бъдат главните оси на инерцията и ако минават през центъра на тежестта, тогава те се наричат ​​главни оси на инерция и се обозначават " u" и "".

Инерционните моменти относно главните централни оси се наричат ​​главни централни инерционни моменти и се означават , а основните централни инерционни моменти имат екстремни стойности, т.е. единият е „мин“, а другият е „максимален“.

Нека ъгълът "a 0" характеризира позицията на главните оси, тогава:

Използвайки тази зависимост, ние определяме позицията на главните оси. Големината на основните инерционни моменти след някои трансформации се определя от следната връзка:

ПРИМЕРИ ЗА ОПРЕДЕЛЯНЕ НА АКСИАЛНИ ИНЕРЦИОННИ МОМЕНТИ, ПОЛЯРНИ ИНЕРЦИОННИ МОМЕНТИ И МОМЕНТИ НА СЪПРОТИВЛЕНИЕ НА ПРОСТИ ФИГУРИ.

1. Правоъгълно сечение

Оси хи y - тук и в други примери - основните централни инерционни оси.

Нека определим аксиалните моменти на съпротивление:

2. Кръгла плътна секция. Моменти на инерция.

Нека разгледаме още няколко геометрични характеристики на плоски фигури. Една от тези характеристики се нарича аксиаленили екваториаленмомент на инерция. Тази характеристика е по отношение на осите и
(фиг.4.1) приема формата:

;
. (4.4)

Основното свойство на аксиалния инерционен момент е, че той не може да бъде по-малък от нула или равен на нула. Този инерционен момент винаги е по-голям от нула:
;
. Единицата за измерване на аксиалния инерционен момент е (дължина 4).

Свържете началото на координатите с права линия с безкрайно малка площ
и означете този сегмент с буквата (фиг.4.4). Инерционният момент на фигура спрямо полюса – началото на координатите – се нарича полярен инерционен момент:

. (4.5)

Този инерционен момент, подобно на аксиалния, винаги е по-голям от нула (
) и има размерност – (дължина 4).

Нека го запишем условие за инвариантностсумата от екваториалните моменти на инерция около две взаимно перпендикулярни оси. От фиг. 4.4 става ясно, че
.

Замествайки този израз във формула (4.5), получаваме:

Условието за инвариантност се формулира по следния начин: сумата от аксиалните моменти на инерция спрямо всеки две взаимно перпендикулярни оси е постоянна стойност и равна на полярния момент на инерция спрямо точката на пресичане на тези оси.

Инерционният момент на плоска фигура спрямо две едновременно перпендикулярни оси се нарича двуосноили центробеженмомент на инерция. Центробежният инерционен момент има следната форма:

. (4.7)

Центробежният инерционен момент има размерност – (дължина 4). Тя може да бъде положителна, отрицателна или нула. Наричат ​​се оси, при които центробежният момент на инерция е нула главни инерционни оси. Нека докажем, че оста на симетрия на плоска фигура е главната ос.

Разгледайте плоската фигура, показана на фиг. 4.5.

Изберете ляво и дясно от оста на симетрия два елемента с безкрайно малка площ
. Центърът на тежестта на цялата фигура е в точка C. Нека поставим началото на координатите в точка C и означим вертикалните координати на избраните елементи с буквата „ ”, хоризонтално – за левия елемент „
“, за десния елемент “ " Нека изчислим сумата от центробежните инерционни моменти за избрани елементи с безкрайно малка площ спрямо осите И :

Ако интегрираме израз (4.8) отляво и отдясно, получаваме:

, (4.9)

тъй като ако оста е ос на симетрия, тогава за всяка точка, лежаща вляво от тази ос, винаги има точка, симетрична на нея.

Анализирайки полученото решение, стигаме до извода, че оста на симетрия е основната инерционна ос. Централна ос е и главната ос, въпреки че не е ос на симетрия, тъй като центробежният момент на инерция е изчислен едновременно за две оси И и се оказа нула.

Центробежният инерционен момент около две координатни оси се нарича сумата от произведенията на масата на всяка точка от тялото и координатите по съответните оси.

Ако тялото има ос на симетрия, тогава центробежният инерционен момент на тялото е нула, а осите y и x са основните.

17. Теорема на Хюйгенс-Щайнер за изчисляване на моменти около успоредни оси.

Инерционният момент на твърдо тяло спрямо ос, която не минава през центъра на масата, е равен на сумата от инерционните моменти спрямо централната ос, минаваща през центъра на масата и успоредна на дадената, и произведението на телесната маса на квадрата на разстоянието между осите.

JC е известният инерционен момент около ос, минаваща през центъра на масата на тялото,

J - желаният инерционен момент спрямо успоредна ос,

m - телесно тегло,

d е разстоянието между посочените оси.

18. Изчисляване на инерционните моменти на еднородни тела: тънка плоча, тънък прът, пръстен, цилиндър, конус.

Тънък прът: Тънък цилиндър:

Тънка плоча: Конус:

Тънък пръстен: Топка:

Изчисляване на инерционните моменти спрямо произволни оси.

Позволява ви да намерите инерционния момент спрямо всяка ос, минаваща през координатните оси и компонентите на въглищата

С тези оси, чрез стойностите на аксиалните и центробежните моменти на инерция на тези оси.

Елипсоид на инерцията. Централни инерционни оси. Екстремни свойства на инерционните моменти.

Центърът на елипсоида е в началото.

Трите оси на симетрия на елипсоида се наричат ​​главни инерционни оси, а инерционните моменти около главните оси се наричат ​​главни инерционни моменти.

Ако вземем главните инерционни оси като координатни оси, тогава центробежните инерционни моменти около тези оси ще бъдат равни на нула.

ЕЛИСПОИД НА ИНЕРЦИЯ - повърхност, характеризираща разпределението на инерционните моменти на тялото спрямо лъч от оси, минаващи през фиксирана точка O. E. и. като geom. местоположението на краищата на отсечките OK = 1/, положени по Ol от точка O, където Ol е произволна ос, минаваща през точка O; I е инерционният момент на тялото спрямо тази ос (фиг.). Център Е. и. съвпада с точка O и нейното уравнение в произволно начертани координатни оси Oxyz има формата

където Ix, Iy, Iz са аксиални, а Ixу, Iyz, Lzx са центробежните инерционни моменти на тялото спрямо посочените координатни оси. На свой ред, познавайки Е. и. за точка O можете да намерите инерционния момент около всяка ос Ol, минаваща през тази точка от равенството Il = 1/R2, измервайки разстоянието R = OK в съответните единици.

Подобни статии

Примерно заявление за възстановяване на приспадане на данък върху имуществото

Червените в Гражданската война

Излишни дневни надбавки: застрахователни премии и данъчно облагане Данък при пътуване

Характеристики и съвместимост на жената Рак-Вол Когато Ракът познава реката на Вола, разбира Вола