Проектирайки уравнение (1) върху координатните оси и като вземем предвид зависимостта на посочените сили от координати, скорости и време, получаваме диференциални уравнения за динамиката на точка. И така, за декартови координати имаме:

Диференциалните уравнения на движението в цилиндрична координатна система ще имат формата

;

В заключение представяме диференциалните уравнения на динамиката на точка в проекции върху оста на естествен тристен; тези уравнения са особено удобни в случаите, когато е известна траекторията на точката. Проектирайки уравнение (3.1) върху допирателната, главната нормала и бинормалата към траекторията, получаваме

, ,

Нека сега разгледаме примера на уравненията на динамиката на точка в Декартови координати(3.2) формулиране и процес на решаване на проблеми с точковата динамика. Има два основни проблема на динамиката на точките: правИ обратен.Първата задача на динамиката (директна) е следната: дадено е движението на точка с маса , т.е. дадени са функции

необходимо е да се намерят силите, предизвикващи това движение. Решаването на този проблем не е трудно. Съгласно уравнения (3.1) и (3.3) намираме проекциите, за които диференцираме два пъти определени функции (3.3).

, , (3.4)

Изрази (3.4) представляват проекциите на резултантната на всички сили, действащи върху точка; част от силите (или част от проекциите) може да са известни, останалите (но не повече три проекции) може да се намери от уравнения (3.4). Този проблем може да бъде формално сведен до решението на проблема със статиката, ако пренапишем уравнение (3.1) във формата

Тук е инерционната сила на точка, чиято проекция върху оста x, y, zса равни на изрази (3.3) с противоположни знаци. Формалното свеждане на проблема за динамиката до проблема за статиката чрез въвеждане на инерционни сили, което доста често се практикува в проблемите на механиката, се нарича кинетостатичен метод.

Втората (обратна) задача на динамиката на точката се формулира по следния начин: в точка на маса T,позицията и векторът на скоростта, на които в началния момент от времето са известни, действат дадените сили; трябва да намерите движението на тази точка (нейните координати x,y,z)като функция на времето. Тъй като десните страни на уравненията (2) са проекции на силите върху оста x, y, z-са известни функции на координатите, техните първи производни и време, тогава за получаване на желания резултат е необходимо да се интегрира система от три обикновени диференциални уравнения от втори ред. Аналитичното решение на такъв проблем се оказва възможно само в някои специални случаи. Числените методи обаче позволяват решаването на проблема с почти всяка изисквана степен на точност. Да предположим, че сме интегрирали системата от диференциални уравнения (3.2) и сме намерили изрази за координатите x, y, zкато функция на времето. Тъй като системата (3.2) е от шести ред, при нейното интегриране ще се появят шест произволни константи и ще получим следните изрази за координатите:

За определяне на константи (i = 1, 2,... 6) в това решение следва да се поз начални условиязадачи. Записвайки посочените условия по отношение на декартови координати, имаме кога T= 0

Замествайки в намерения израз (3.5) първата група начални условия (3.6) при T=0, получаваме три уравнения, свързващи интеграционните константи:

Липсващите три отношения се намират, както следва: диференцираме уравненията на движение (3.5) по отношение на времето и заместваме втората група начални условия (3.6) в получените изрази при T= 0; ние имаме

Сега, решавайки тези шест уравнения заедно, получаваме желаните стойности на шест произволни интеграционни константи (i = 1, 2,... 6), замествайки които в уравненията на движението (3.5), намираме окончателното решение на задачата.

Когато съставяте диференциални уравнения на движение на точка за конкретен случай, трябва преди всичко да оцените действията на различни фактори: да вземете предвид основните сили и да изхвърлите второстепенните. При решаването на различни технически проблеми често се пренебрегват силите на въздушно съпротивление и силите на сухо триене; това е, което те правят, например, когато изчисляват естествените честоти осцилационни системи, чиито стойности се влияят незначително от споменатите сили. Ако едно тяло се движи близо до повърхността на земята, тогава неговата гравитация се счита за постоянна, а повърхността на земята се счита за плоска; при отдалечаване от земната повърхност на разстояния, сравними с нейния радиус, е необходимо да се вземе предвид промяната на гравитацията с височина, следователно при такива задачи се използва законът на гравитацията на Нютон.

Силата на съпротивление на въздуха не може да бъде пренебрегната при високи скорости на движение на тялото; в този случай обикновено се приема квадратичен законсъпротивление (силата на съпротивление се счита за пропорционална на квадрата на скоростта на движение на тялото).

(3.6)

Ето налягането на скоростта, ρ – плътност на средата, в която се движи точката, – коефициент на съпротивление, – характерен напречен размер. Въпреки това, както ще бъде показано по-долу, при някои задачи е необходимо да се вземе предвид вътрешното триене в течност (газ), което води до по-обща формула за определяне на съпротивителната сила

Ако тялото се движи във вискозна среда, тогава дори при ниски скорости трябва да се вземе предвид съпротивителната сила, но в тази задача е достатъчно да се счита за пропорционална на първата степен на скоростта.

Пример. Нека разгледаме задачата за праволинейното движение на точка в среда със съпротивление; съпротивителната сила е дадена с израз (3.6). Началната скорост на точката е , крайната скорост е . Необходимо е да се определи средната скорост на движение в даден скоростен интервал. От формула (3.2) имаме

(3.7)

Това е диференциално уравнение с разделими променливи, чието решение може да бъде представено като

,

чието решение ще бъде записано във формата

(3.8)

За да определим изминатото разстояние, нека да преминем към нови координати, умножаваме лявата и дясната страна на уравнението (3.7); В същото време отбелязваме, че

,

тогава и тук получаваме диференциално уравнение с разделими променливи

,

чието решение може да се представи във формата

(3.9)

От формули (3.8) и (3.9) получаваме израза за средната скорост

.

За средната скорост е .

Но ако поставим , тогава е лесно да се види, че в този случай и , тоест движещото се тяло никога няма да спре, което, първо, противоречи на здравия разум, и второ, не е ясно на какво ще бъде равна средната скорост . За да определим, вземаме леви интеграли в диапазона от до безкрайно малки ε, тогава получаваме

Министерство на общото и професионалното техническо образование

Московска държава Технически университетМАМИ

Отдел: Теоретична механика

Резюме по темата :

Диференциални уравненияточково движение.

Решаване на задачи от динамиката на точките.

Студент: Зиновиев М.Ю.

Група: 3-AiU-1

Учител:

Въведение в динамиката. Закони на динамиката.

Основни понятия и определения.

Динамикае дял от механиката, който изучава движението на материални тела под въздействието на сили.

Движение с чисто геометрична точказрението се разглежда в кинематиката. Разликата между динамиката е, че при изучаване на движението на телата се вземат предвид както силите, действащи върху тях, така и инерцията на самите материални тела.

Понятието сила, като основна мярка за механично въздействие върху материално тяло, е въведено в статиката. Но статиката не засяга въпроса за възможните промени в действащите сили с течение на времето и при решаването на проблеми всички сили се считат за постоянни. Междувременно, наред с постоянните сили, върху движещо се тяло обикновено действат променливи сили, чиито модули и посоки се променят, когато тялото се движи. В този случай дадени (активни) сили ( Активенобикновено се нарича сила, която, след като започне да действа върху тяло в покой, може да го приведе в движение) и реакции на връзки.

Опитът показва, че променливите сили могат да зависят по определен начин от времето, положението на тялото и неговата скорост. По-специално теглителната сила на електрически локомотив, когато реостатът се изключва или включва постепенно, или силата, която причинява вибрации на основата при работа на двигател с лошо центриран вал, зависи от времето; Гравитационната сила на Нютон или еластичната сила на пружината зависи от положението на тялото; Съпротивителните сили на средата зависят от скоростта. В заключение отбелязваме, че всички понятия, въведени в статиката, и получените там резултати се отнасят еднакво за променливите сили, тъй като условието за постоянство на силите не се използва никъде в статиката.

Инерцията на тялото се проявява в това, че то поддържа движението си при отсъствие на действащи сили и когато върху него започне да действа сила, скоростите на точките на тялото не се променят моментално, а постепенно и колкото повече бавно, толкова по-голяма е инерцията на това тяло. Количествена мярка за инертността на материалното тяло е физична величина, наречена масатяло (Масата също е мярка за гравитационните свойства на тялото), В класическата механика, маса Tсе разглежда като скаларна, положителна и постоянна величина за всяко дадено тяло.

Освен от общата маса движението на едно тяло зависи и от общ случайвърху формата на тялото, по-точно върху относителна позициячастиците, които го образуват, т.е. върху разпределението на масите в тялото.

За да се избегне отчитането на формата на тялото (разпределението на масата) по време на първоначалното изследване на динамиката, абстрактна концепция за материална точка,като точка с маса и започнете изучаването на динамиката с динамиката материална точка.

От кинематиката е известно, че движението на тялото обикновено се състои от постъпателно и ротационно. При решаването на конкретни задачи материалното тяло може да се разглежда като материална точка в случаите, когато според условията на задачата е допустимо да не се взема предвид ротационната част от движението на тялото. Например, една планета може да се счита за материална точка, когато се изучава движението й около Слънцето, или артилерийски снаряд, когато се определя обхватът на полета му и т.н. Съответно, транслационно движещо се тяло винаги може да се разглежда като материална точка с маса, еднаква масана цялото тяло.

Изследването на динамиката обикновено започва с динамиката на материална точка, тъй като е естествено изучаването на движението на една точка да предхожда изучаването на движението на система от точки и по-специално на твърдо тяло.

ЗАКОНИТЕ НА ДИНАМИКАТА.

ПРОБЛЕМИ НА ДИНАМИКАТА НА МАТЕРИАЛНА ТОЧКА

Динамиката се основава на закони, установени чрез обобщаване на резултатите от редица експерименти и наблюдения, посветени на изучаването на движението на телата и проверени от обширната социална и индустриална практика на човечеството. Законите на динамиката са изложени за първи път систематично от И. Нютон в неговия класически труд „Математически принципи на естествената философия“, публикуван през 1687 г. (Има отличен руски превод, направен от А. Н. Крымов. Виж: Сборник съчинений на акад. А. Н. Крилов, т. VII. М.-Л., 1936). Тези закони могат да бъдат формулирани по следния начин.

Първи закон(закон за инерцията):

материална точка, изолирана от външни въздействия, поддържа своето състояние на покой или равномерност праволинейно движениедокато приложените сили не го принудят да промени това състояние.Движението, извършено от точка при липса на сили, се нарича движение по инерция.

Законът за инерцията отразява едно от основните свойства на материята - да остава неизменно в движение. Важно е да се отбележи, че развитието на динамиката като наука става възможно едва след като Галилей открива този закон (1638 г.) и по този начин опровергава преобладаващото мнение от времето на Аристотел, че движението на тялото може да се случи само под въздействието на сила.

Важен въпрос е по отношение на коя отправна система е валиден законът за инерцията. Нютон приема, че има някакво фиксирано (абсолютно) пространство, по отношение на което този закон е верен. Но според съвременните възгледи пространството е форма на съществуване на материята и някакво абсолютно пространство, чиито свойства не зависят от материята, която се движи в него, не съществува. Междувременно, тъй като законът има експериментален произход (Галилео посочи, че до този закон може да се стигне, като се вземе предвид движението на топка по наклонена равнинас непрекъснато намаляващ ъгъл на наклон), трябва да има референтни системи, в които в различна степен на приближение този закон ще бъде изпълнен. В тази връзка в механиката, преминавайки, както обикновено, към научна абстракция, те въвеждат концепцията за референтна система, в която е валиден законът на инерцията, постулират нейното съществуване и наричат инерциална отправна система.

Дали дадена реална отправна система може да се счита за инерционна при решаването на определени проблеми на механиката се установява чрез проверка до каква степен резултатите, получени при предположението, че тази система е инерциална, се потвърждават от опита. Според опита за нашите слънчева системаинерционен с висока степенточност може да се счита за референтна система, чийто произход е в центъра на Слънцето, а осите са насочени към така наречените неподвижни звезди. При решаването на повечето технически проблеми инерционната рамка с достатъчна за практиката точност може да се счита за референтна система, твърдо свързана със Земята.

Втори закон(основен закон на динамиката)

установява как скоростта на една точка се променя, когато някаква сила действа върху нея, а именно: произведението на масата на материална точка и ускорението, което тя получава под действието на дадена сила, е равно по големина на тази сила, а посоката на ускорението съвпада с посоката на силата.

Математически този закон се изразява чрез векторно равенство

В този случай има връзка между модулите за ускорение и сила

ta= Е. (1")

Вторият закон на динамиката, подобно на първия, се осъществява само по отношение на инерциалната отправна система. От този закон веднага става ясно, че мярката за инерция на материална точка е нейната маса, тъй като под действието на дадена сила точка, чиято маса е по-голяма, тоест по-инертна, ще получи по-малко ускорение и обратно.

Ако няколко сили действат върху една точка едновременно, тогава, както следва от закона за паралелограма на силите, те ще бъдат еквивалентни на една сила, т.е. , равна на геометрична сумададени сили. Уравнението, изразяващо основния закон на динамиката, в този случай приема формата

Същият резултат може да се получи, като се използва вместо закона на паралелограма закон за независимо действие на силите,според който, когато няколко сили действат едновременно върху точка, всяка от тях придава на точката същото ускорение, каквото би придала, ако действа самостоятелно.

Трети закон(законът за равенството на действието и реакцията) установява характера на механичното взаимодействие между материалните тела. За две съществени точки се чете:

две материални точки действат една върху друга със сили, равни по големина и насочени по правата линия, свързваща тези точки в противоположни посоки.

Този закон се използва в статиката. Той играе голяма роля в динамиката на система от материални точки, тъй като установява връзката между вътрешните сили, действащи върху тези точки.

Когато две свободни материални точки си взаимодействат, те, според третия и втория закон на динамиката, ще се движат с ускорения, обратно пропорционални на техните маси.

Проблеми с динамиката. За свободна материална точка проблемите на динамиката са следните:

1) знаейки закона за движение на точка, определете силата, действаща върху нея (първа задача на динамиката);

2) 2) знаейки силите, действащи върху точка, определете закона за движение на точката (второ,или основната задача на динамиката).

За несвободна материална точка, тоест точка, върху която е наложено ограничение, което я принуждава да се движи по дадена повърхност или крива, първата задача на динамиката обикновено е да се определи реакцията на ограничението, като се знае движението на точката и действащите върху нея активни сили. Вторият (основен) проблем на динамиката при несвободно движение е разделен на две и се състои в това, като се познават активните сили, действащи върху точка, да се определи: а) законът на движение на точката, б) реакцията на наложената връзка .

ЕДИННИ СИСТЕМИ

За измерване на всички механични величини е достатъчно да се въведат мерни единици на три независими една от друга величини. Две от тях се считат за единици за дължина и време. Като трето се оказва, че е най-удобно да изберете единица за измерване на маса или сила. Тъй като тези величини са свързани с равенство (1), е невъзможно произволно да се избере мерна единица за всяка от тях. Това предполага възможността за въвеждане на две принципно различни системи от единици в механиката.

Първият тип единици системи.

В тези системи единиците за дължина, време и маса се приемат като основни, а силата се измерва с производна единица.

Тези системи включват Международната система от мерни единици физични величини(SI), в която основните единици за измерване на механични величини са метър (m), килограм маса (kg) и секунда (s). Мерна единица за сила е производната единица – 1 нютон (N);

1 N е силата, която придава ускорение от 1 m/s 2 на маса от 1 kg (1 N = 1 kg-m/s 2). Какво е 1 m, 1 kg и 1 s се знае от курса по физика. Международната система единици (SI) е въведена в Русия като предпочитана система от 1961 г

Вторият тип единици системи.

В тези системи единиците за дължина, време и сила се приемат като основни, а масата се измерва с производна единица.

Такива системи включват системата MKGSS, която беше широко използвана в технологиите, в която основните единици са метър (m), килограм сила (kg) и секунда (s). Единицата за измерване на масата в тази система ще бъде 1 kgf 2 / m, т.е. масата, на която сила от 1 kg придава ускорение от 1 m / s 2.

Връзката между единиците за сила в системите SI и MKGSS е следната: 1 kg = 9,81 N или 1 N = 0,102 kg.

В заключение трябва да се отбележи, че е необходимо да се прави разлика между понятията измерениевеличина и мерна единицанея измервания.Размерността се определя само от вида на уравнението, изразяващо стойността на дадена величина, а мерната единица също зависи от избора на основни единици. Например, ако, както е обичайно, означим размерите на дължината, времето и масата съответно със символите L, T и M , тогава измерението на скоростта L/T , и мерната единица може да бъде 1 m/s, 1 km/h и т.н.

ОСНОВНИ ВИДОВЕ СИЛИ

Помислете за следните постоянни или променливи сили (законите за промяна на променливите сили обикновено се установяват експериментално).

Земно притегляне. Това е постоянна сила , действащи върху всяко тяло, намиращо се близо до земната повърхност. Модулът на гравитацията е равен на теглото на тялото.

Опитът установява, че под въздействието на сила всяко свободно падащо към Земята тяло (от малка височина и в безвъздушно пространство) има еднакво ускорение , Наречен ускорение свободно падане, и понякога ускорение на гравитацията (Законът за свободното падане на телата е открит от Галилей. Стойността на q е различна на различните места на земната повърхност; зависи от географската ширина на мястото над морското равнище. На географската ширина на Москва (на морското равнище) q = 9,8156 m/s2

Тогава от уравнение (1") следва, че

P=t q или t=P/ р. (3)

Тези равенства позволяват, като се знае масата на тялото, да се определи теглото му (модула на силата на гравитацията, действаща върху него) или, като се знае теглото на тялото, да се определи неговата маса. Телесното тегло или гравитацията, както и стойността на q , промяна с промени в географската ширина и надморска височина; масата е постоянна величина за дадено тяло.

Сила на триене . Това е, което ще наричаме накратко силата на триене при плъзгане, действаща (при липса на течна смазка) върху движещо се тяло. Неговият модул се определя от равенството

където f е коефициентът на триене, който ще считаме за постоянен;

Н-нормална реакция.

Земно притегляне . Това е силата, с която две материални тела се привличат едно към друго според закона за всемирното привличане, открит от Нютон. Гравитационната сила зависи от разстоянието и за две материални точки с маси и разположени на разстояние r една от друга, се изразява с равенството

където f е гравитационната константа (в SI/=6,673* ).

Еластична сила . Тази сила също зависи от разстоянието. Стойността му може да се определи въз основа на закона на Хук, според който напрежението (сила на единица площ) е пропорционално на деформацията. По-специално, за еластичната сила на пружината получаваме стойността

където l е удължението (или компресията) на пружината; с -така нареченият коефициент на твърдост на пружината (в SI, измерен в N/m).

Сила вискозно триене . Тази зависима от скоростта сила действа върху тяло, когато то се движи бавно в много вискозна среда (или в присъствието на течен лубрикант) и може да се изрази чрез равенството

Където v-скорост на тялото; м , - коефициент на съпротивление. Зависимостта на формата (7) може да се получи въз основа на закона за вискозното триене, открит от Нютон.

Аеродинамична (хидродинамична) сила на съпротивление . Тази сила също зависи от скоростта и действа върху тяло, движещо се например в среда като въздух или вода. Обикновено стойността му се изразява с равенството

(8)

където p е плътността на средата; S е зоната на проекция на тялото върху равнина, перпендикулярна на посоката на движение (област на средната част);

Cx: е безразмерен коефициент на съпротивление, обикновено се определя експериментално и в зависимост от формата на тялото и как е ориентирано по време на движение.

Инертен и гравитационна маса.

За да се определи експериментално масата на дадено тяло, може да се изхожда от закон (1), където масата е включена като мярка за инерция и следователно се нарича инерционна маса. Но можем също да започнем от закон (5), където масата е включена като мярка за гравитационните свойства на тялото и съответно се нарича гравитационна (или тежка) маса. По принцип от никъде не следва, че инертната и гравитационната маса представляват една и съща величина. Редица експерименти обаче установиха, че стойностите на двете маси съвпадат с много висока степен на точност (според експерименти, проведени от съветски физици (1971 г.), с точност до ). Този експериментално установен факт се нарича принцип на еквивалентността. Айнщайн го основава на своята обща теория на относителността (теория на гравитацията).

Въз основа на гореизложеното в механиката се използва един термин „маса“, определящ масата като мярка за инерцията на тялото и неговите гравитационни свойства.

ДИФЕРЕНЦИАЛНИ УРАВНЕНИЯ НА ДВИЖЕНИЕТО НА ТОЧКА. РЕШАВАНЕ НА ТОЧКОВИ ДИНАМИЧНИ ЗАДАЧИ

ДИФЕРЕНЦИАЛНИ УРАВНЕНИЯ НА ДВИЖЕНИЕТО НА МАТЕРИАЛНА ТОЧКА

За решаване на проблеми с динамиката на точката ще използваме една от следните две системи уравнения.

Уравнения в декартови координати .

От кинематиката е известно, че движението на точка в правоъгълни декартови координати се дава от уравненията:

Проблемите на динамиката на точка са да се определи силата, действаща върху точката, като се знае движението на точката, т.е. уравнение (9), или, обратно, знаейки силите, действащи върху точката, да се определи законът на нейното движение , т.е. уравнение (9). Следователно, за да се решат проблемите на динамиката на точка, е необходимо да има уравнения, свързващи координатите x, y, з гтази точка и силата (или силите), действащи върху нея. Тези уравнения дават втория закон на динамиката.

Нека разгледаме материална точка, движеща се под действието на сили ., спрямо инерциалната отправна система Охъг.Проектиране на двете страни на равенството (2), т.е. равенство на осите x, y, zg икато се има предвид това и т.н., получаваме

(10)

или, обозначавайки вторите производни по отношение на времето с две точки,

Това ще бъдат търсените уравнения, т.е. диференциални уравнения на движение на точка в правоъгълни декартови координати.Тъй като действащите сили могат да зависят от времето T,от позицията на точката, т.е. от нейните координати x, y, z,и на скоростта, т.е. на , тогава в общия случай дясната страна на всяко от уравненията (10) може да бъде функция на всички тези променливи, т.е. T, x, y, z,едновременно.

Уравнения в проекции върху осите на естествен тристен . За да получим тези уравнения, проектираме двете страни на равенството върху оста М T NB,тези. по допирателна М t: къмточкови траектории, главна нормала депутат,насочена към вдлъбнатината на траекторията, и бинормал Mb

Тогава, като се има предвид, че , , получаваме

(11)

Уравнения (11), където v=ds!dt,представлявам диференциални уравнения на движение на точка в проекции върху оста на естествен тристен.

РЕШЕНИЕ НА ПЪРВАТА ДИНАМИЧНА ЗАДАЧА

(ОПРЕДЕЛЯНЕ НА СИЛИ ПО ДАДЕНО ДВИЖЕНИЕ)

Ако е дадено ускорението на движеща се точка, тогава действащата сила или реакция на връзката се намира веднага с помощта на уравнения (1) или (2). В този случай, за да се изчисли реакцията, е необходимо допълнително да се знаят активните сили. Когато ускорението не е директно определено, но законът на движение на точката е известен, тогава уравнения (10) или (11) могат да се използват за определяне на силата.

РЕШЕНИЕ НА ОСНОВНАТА ЗАДАЧА НА ДИНАМИКАТА С ПРАВОЛИНЕЙНО ДВИЖЕНИЕ НА ТОЧКА

Движението на материална точка ще бъде праволинейно, когато действащата върху нея сила (или резултатната от приложените сили) има постоянна посока и скоростта на точката в началния момент от време е нула или е насочена по силата.

Ако при праволинейно движение координатната ос е насочена по траекторията отогава движението на точката ще се определя от първото от уравненията (10), т.е. от уравнението

или (12)

Уравнение (12) се нарича диференциално уравнение на праволинейно движение на точка.Понякога е по-удобно да го замените с две уравнения, съдържащи първи производни:

(13)

В случаите, когато при решаване на задача е необходимо да се търси зависимостта на скоростта от координатата x, а не от времето t (или когато самите сили зависят от x), уравнението (13) се преобразува в променливата x . Тъй като dVx/dt=dVx/dx*dx/dt=dVx/dx*Vx, тогава вместо (13) получаваме

(14)

Решението на основния проблем на динамиката се свежда до намиране на закона за движение на точка от тези уравнения, познавайки силите, т.е. x=f(t).За да направите това, трябва да интегрирате съответното диференциално уравнение. За да стане по-ясно до какво се свежда това математически проблем, припомняме, че силите, включени в дясната страна на уравнение (12), могат да зависят от времето T,от позицията на точката, т.е Х,и от скоростта му, T.д. от Vy=x.Следователно в общия случай уравнение (12) от математическа гледна точка е диференциално уравнение от 2-ри ред, имащо формата .

Ако за този специфичен проблем диференциалното уравнение (12) се интегрира, тогава полученото решение ще включва две константи на интегриране и и общо решение уравнение (12) ще има формата

(15)

За да завършите решението на всеки конкретен проблем, е необходимо да определите стойностите на константите. За целта се използва т.нар начални условия.

Ще започнем изучаването на всяко движение от определен момент във времето, т.нар начален момент.От този момент ще броим времето на движение, като се има предвид, че в началния момент t=0.Обикновено за начален момент се приема началният момент на движение под въздействието на дадени сили. Нарича се позицията, която точката заема в началния момент начална позиция инейната скорост в този момент е начална скорост(една точка може да има начална скорост или защото преди момента t=0 се е движила по инерция, или в резултат на въздействие върху нея до момента t =0 някои други сили). За решаване на основния проблем на динамиката, в допълнение към действащите сили, е необходимо също да се знае начални условия,позицията и скоростта на точката в началния момент от време.

При праволинейно движение началните условия са посочени във формуляра

При t=0, . (16)

Използвайки началните условия, можете да определите конкретни стойности на константите и да намерите частно решениеуравнение (12), което дава закона за движение на точка във формата

С помощта на диференциални уравнения на движението се решава втората задача на динамиката. Правилата за съставяне на такива уравнения зависят от това как искаме да определим движението на дадена точка.

1) Определяне на движението на точка с помощта на координатния метод.

Нека разгледаме свободна материална точка, движеща се под въздействието на сили , ,.., . Нека начертаем фиксирани координатни оси Oxyz(фиг. 4). Проектирайки двете страни на равенството върху тези оси и вземайки предвид това и т.н., получаваме диференциални уравнения на криволинейно движение на точкав проекции върху правоъгълната ос Декартова системакоординати:

Фиг.4

Тъй като силите, действащи върху точка, могат да зависят от времето, от позицията на точката и от нейната скорост, десните страни на уравненията могат да съдържат време T,координати на точки x, y, zи прогнози за неговата скорост. Освен това дясната страна на всяко уравнение може да включва всички тези променливи.

За да се реши основната задача на динамиката с помощта на тези уравнения, е необходимо, в допълнение към действащите сили, да се знаят началните условия, т.е. позиция и скорост на точката в началния момент. IN координатни оси Oxyzначалните условия са дадени във формата: at

Познавайки действащите сили, след интегриране на уравненията ще намерим координатите x, y, zподвижна точка като функция на времето T,тези. Нека намерим закона за движение на точка.

Пример 3.Нека изследваме движението на тяло, хвърлено с начална скорост под ъгъл спрямо хоризонта, като го разглеждаме като материална точка от маса T.В този случай ще пренебрегнем съпротивлението на въздуха и ще считаме гравитационното поле за еднородно ( Р=const), като се приеме, че обхватът на полета и височината на траекторията са малки в сравнение с радиуса на Земята.

Нека поставим началото ОТНОСНОв началната позиция на точката. Нека насочим оста вертикално нагоре; хоризонтална ос волпоставете го в равнина, минаваща през ои вектор и ос ОзНека го начертаем перпендикулярно на първите две оси (фиг. 5). След това ъгълът между вектора и оста волще бъде равно на .

Фиг.5

Нека изобразим движеща се точка Мнякъде по траекторията. Точката се влияе само от силата на гравитацията, чиито проекции върху координатните оси са равни на: , , .

Замествайки тези количества в диференциални уравнения и отбелязвайки, че и т.н. ние сме след намаление с мполучаваме:

Умножавайки двете страни на тези уравнения по дти интегрирайки, намираме:

Началните условия в нашата задача имат формата:

при T=0:

Удовлетворявайки началните условия, ще имаме:

, , .

Замествайки тези стойности СЪС 1 , СЪС 2 и СЪС 3 в разтвора, намерен по-горе, и замяна , , Да преминем към уравненията:

Интегрирайки тези уравнения, получаваме:

Подмяната на първоначалните данни дава СЪС 4 =СЪС 5 =СЪС 6 =0 и накрая намираме уравненията на движението на точката Мкато:

От последното уравнение следва, че движението се извършва в равнината Окси.

Имайки уравнението на движение на точка, е възможно да се определят всички характеристики на дадено движение с помощта на кинематичните методи.

1. Траектория на точка. Като изключим времето t от първите две уравнения (1), получаваме уравнението за траекторията на точка:

Това е уравнението на парабола с ос, успоредна ос оПо този начин, Тежка точка, хвърлена под ъгъл спрямо хоризонта, се движи в безвъздушно пространство по парабола (Галилей).

2. Хоризонтален диапазон. Да определим хоризонталния диапазон, т.е. измерено по оста оразстояние OS=X. Приемайки равенство (2) г=0, намерете пресечните точки на траекторията с оста о. От уравнението:

получаваме

Първото решение дава смисъл ОТНОСНО, втора точка СЪС. следователно X=X 2и накрая

От формула (3) става ясно, че същият хоризонтален диапазон хще се получи под ъгъл, за който, т.е. ако ъгъл. Следователно при дадена начална скорост една и съща точка C може да бъде достигната по две траектории: плоска () и монтирана ().

За дадена начална скорост най-големият хоризонтален обхват в безвъздушно пространство се получава, когато, т.е. под ъгъл

3. Височина на траекторията. Ако поставим в уравнение (2)

След това намираме височината на траекторията н:

4. Време за полет. От първото уравнение на системата (1) следва, че общото полетно време Tсе определя от равенството . Замяна тук хнейната стойност, получаваме

При ъгъла на най-голям диапазон всички намерени стойности са равни:

Получените резултати са практически напълно приложими за приблизително определяне на летателните характеристики на снаряди (ракети) с обсег от порядъка на 200...600 км. , тъй като при тези разстояния (и при ) снарядът преминава основната част от пътя си в стратосферата, където съпротивлението на въздуха може да бъде пренебрегнато. При по-къси разстояния резултатът ще бъде силно повлиян от въздушното съпротивление, а при обхвати над 600 кмгравитацията вече не може да се счита за постоянна.

Пример 4.От оръдие, монтирано на височина ч, произвел изстрел под ъгъл спрямо хоризонталата (фиг. 6). Гюлето излетя от дулото на пистолета със скорост u. Нека дефинираме уравненията на движението на ядрото.

Фиг.6

За да се съставят правилно диференциални уравнения на движението, е необходимо да се решават такива задачи по определена схема.

а) Задайте координатна система (брой на осите, тяхната посока и начало). Добре подбраните оси опростяват решението.

b) Покажете точка в междинна позиция. В този случай е необходимо да се гарантира, че координатите на тази позиция са задължително положителни (фиг. 6).

в) Покажете силите, действащи върху точката в това междинно положение (не показвайте инерционните сили!).

В този пример това е само силата, теглото на ядрото. Няма да вземаме предвид съпротивлението на въздуха.

г) Съставете диференциални уравнения по формулите: . От тук получаваме две уравнения: и .

д) Решаване на диференциални уравнения.

Както може да се види от този пример, схемата за решаване на проблема е доста проста. Трудности могат да възникнат само при решаването на диференциални уравнения, което може да бъде трудно.

2) Определяне на движението на точка по естествен начин.

Координатният метод обикновено определя движението на точка, което не е ограничено от никакви условия или връзки. Ако са наложени ограничения върху движението на точка, скоростта или координатите, тогава определянето на такова движение с помощта на координатен метод не е никак лесно. По-удобно е да се използва естествен начин за уточняване на движението.

Да определим например движението на точка по дадена фиксирана линия, по дадена траектория (фиг. 7).

Фиг.7

Към основния въпрос МВ допълнение към дадените активни сили действа реакцията на линията. Показваме компонентите на реакцията по естествените оси

Основният закон на механиката, както е посочено, установява за материална точка връзка между кинематични (w - ускорение) и кинетични ( - маса, F - сила) елементи във формата:

То е валидно за инерциални системи, които са избрани за основни системи, поради което възникващото в него ускорение може с основание да се нарече абсолютно ускорение на точка.

Както беше посочено, силата, действаща върху точка, в общия случай зависи от времето на позицията на точката, което може да се определи от радиус вектора и скоростта на точката, замествайки ускорението на точката с нейното изразяване чрез радиус вектор, ние записваме основния закон на динамиката във формата:

В последния запис основният закон на механиката е диференциално уравнение от втори ред, което служи за определяне на уравнението на движение на точка в крайна форма. Уравнението, дадено по-горе, се нарича уравнение на движението на точка в диференциална форма и векторна форма.

Диференциално уравнение на движение на точка в проекции върху декартови координати

Интегрирането на диференциално уравнение (виж по-горе) в общия случай е сложен проблем и обикновено за решаването му се преминава от векторно уравнение към скаларни уравнения. Тъй като силата, действаща върху точка, зависи от времевата позиция на точката или нейните координати и скоростта на точката или проекцията на скоростта, тогава, обозначавайки проекцията на вектора на силата върху правоъгълна системакоординати, съответно, диференциалните уравнения на движение на точка в скаларна форма ще имат формата:

Естествен вид на диференциалните уравнения на движението на точка

В случаите, когато траекторията на точка е известна предварително, например, когато връзката е наложена върху точката, която определя нейната траектория, е удобно да се използва проекцията на векторното уравнение на движение върху естествените оси, насочени по допирателната , основната нормала и бинормалата на траекторията. Проекциите на силата, които ще наричаме съответно, в този случай ще зависят от времето t, позицията на точката, която се определя от дъгата на траекторията и скоростта на точката, или тъй като ускорението чрез проекции върху естествените оси се записват във формата:

тогава уравненията на движението в проекция върху естествените оси имат формата:

Последните уравнения се наричат ​​естествени уравнения на движението. От тези уравнения следва, че проекцията на силата, действаща върху точка върху бинормалата, е нула и проекцията на силата върху главната нормала се определя след интегриране на първото уравнение. Наистина, от първото уравнение ще се определи като функция на времето t за дадено тогава, замествайки във второто уравнение ще намерим, тъй като за дадена траектория нейният радиус на кривина е известен.

Диференциални уравнения на движение на точка в криволинейни координати

Ако позицията на точка е определена от нейните криволинейни координати, тогава чрез проектиране векторно уравнениедвижение на точка по посока на допирателните към координатните линии, получаваме уравненията на движение във формата.

Подобни статии