Геометрична прогресия. Редица, образувана от геометрична прогресия Сума от редица геометрична прогресия

ТЕМА 8. РАНГОВЕ

ЧИСЛОВИ ПОРЕДИЦИ

2. Редица с геометрична прогресия.

3. Основни свойства на сходните редове. Останалата част от реда.

4. Необходим признак за сходимост на редица от числа.

5. Хармонична серия.

Редовете са един от най-важните инструменти математически анализ. С помощта на серии се намират приблизителни стойности на функции, интеграли и решения диференциални уравнения. Всички таблици, които намирате в приложенията, се компилират с помощта на редове.

Историческа справка

Теория на числата и функционална серияполучава своето развитие през 17-18 век. По това време все още няма точни дефиниции на основните понятия на математическия анализ. Смяташе се за възможно ред, независимо от неговата конвергенция и дивергенция, да се третира като проста сума. Въпреки че тази сума се смяташе за „състояща се от безкраен брой термини“, тя беше третирана като сума, състояща се от определен (краен) брой термини. Това понякога водело до грешки в изчисленията, необясними предвид тогавашното състояние на математическата наука.

Сумирането на безкрайни геометрични прогресии със знаменател по-малък от единица е извършено още в древността (Архимед).

Разминаването на хармоничната серия е установено от италианския учен Менг през 1650 г., а след това по-строго от братята Яков и Николай Бернули. Степенните редове са въведени от Нютон (1665), който показва, че те могат да бъдат използвани за представяне на всяка функция. Лайбниц, Ойлер, Лагранж, Гаус, Болцано, Коши, Вайерщрас, Риман и много други изключителни математици посветиха много усилия на по-нататъшното развитие на теорията на редовете.

Сред тези учени, без съмнение, ученикът на Нютон Тейлър, който публикува основния си труд „Методът на увеличенията, преки и обратни“, трябва да бъде включен през 1715 г. В тази книга Тейлър дава за първи път извеждането на разширение в редица на произволна аналитична функция. По този начин степенни редовестана „мостът“, който позволяваше от региона рационални функциипреминете към изучаването на трансценденталните функции.

Фундаменталното значение на този принос към математиката обаче не беше осъзнато веднага. През 1742 г. е публикуван известният „Трактат за флуксиите“ от Колин Маклорин, в който Маклорин получава по нов начин серията, която носи неговото име, и посочва, че тази серия се намира в „Метода на нарастванията“. Тъй като Maclaurin показа върху голям брой функции, че използването на тази серия неизмеримо опростява проблема с разширяването на функциите, тази серия и следователно серията на Тейлър започнаха да се радват на голяма популярност.

Значението на реда на Тейлър нараства още повече, когато през 1772 г. Лагранж го прави основа на цялото диференциално смятане. Той вярваше, че теорията за серийно разширение на функции съдържа истинските принципи на диференциалното смятане, освободени от безкрайно малки и граници.

Въпрос 1. Основни понятия за числови серии

Самата концепция за безкрайна серия по същество не е фундаментално нова. Безкрайната серия е само особена форма на числова последователност. Това обаче нова формаима някои функции, които правят използването на редове по-удобно.

Нека се даде безкрайна последователностчисла

a 1, a 2, …, a n,…

О.1.1. Изразяване на формата

(1)

Наречен числова серия или просто близо до.

Наричат се числата a 1, a 2, …, a n,… членове на номер, и се извиква числото a n с произволно число n общ член на поредицата (1).

Серия (1) се счита за дадена, ако е известен общият член на серията a n, изразен като функция на нейния номер n:

a n = f(n), n=1,2,...

Пример 1. Серия с общ член има формата

О.1.2. Сумата от първите n членове на ред (1) се нарича н-та частична сума от сериятаи се означава със S n, т.е.

S n = a 1 + a 2 + …+ a n .

Разгледайте последователността от частични суми на ред (1):

S 1 = a 1, S 2 = a 1 + a 2, ……., S n = a 1 + a 2 + …+ a n, …… (2)

O.1.3. Извиква се ред (1). конвергентен, ако има крайна граница S на последователността от нейните частични суми (2), т.е. . В този случай се извиква числото S сума на серията (1).

Записано:

От дефиниция O.1.3 следва, че не е задължително да съществува сумата на серията. Това е основната разлика между безкрайните серии и крайните суми: всеки краен набор от числа задължително има сума, „но събирането на безкраен набор от числа не винаги е възможно“.

Ако не съществува или тогава се извиква серия (1). разнопосочни. Тази серия няма сума.

Пример 2.

1. Редете се сближава и неговата сума S = 0.

2. Редете се разминава, защото

Въпрос 2. Серия от геометрична прогресия

О.2.1.Серия, съставена от членове на геометрична прогресия, т.е. серия от формата

, a¹ 0, (3)

Необходимо условие за сходимост на редица.

Хармонична серия

Теоремавърху необходимото условие за сходимост на редицата.

Ако една серия се сближава, тогава границата на последователността от общи членове на тази серия равно на нула:

. (1.11)

Друга формулировка.За да се сближи една серия, е необходимо (но не достатъчно!) границата на последователността от общи членове на редицата да е равна на нула.

Коментирайте.Понякога, за краткост, думата "последователност" се пропуска и се казва: "границата на общия член на серията е равна на нула." Същото за поредица от частични суми („лимит на частична сума“).

Доказателство на теоремата. Нека представим общия член на серията във формата (1.10):

По условие серията се сближава, следователно, Очевидно е, че , защото ПИ П-1 клонят към безкрайност едновременно . Нека намерим границата на последователността от общи членове на серията:

Коментирайте.Обратното твърдение не е вярно. Редица, удовлетворяваща условието (1.11), не е непременно сходна. Следователно условието или знакът (1.11) е необходим, но не и достатъчен знак за сходимостта на редицата.

Пример 1. Хармонична серия. Помислете за серията

(1.12)

Тази серия се нарича хармонична, защото всеки от неговите членове, като се започне от втория, е средната хармонична стойност на съседните му членове:

Например:

Фиг.1.3.1 Фиг.1.3.2

Общият член на хармоничната редица удовлетворява необходимото условие за сходимост на редицата (1.11): (фиг. 1.3.1). По-късно обаче ще бъде показано (с помощта на интегралния тест на Коши), че тази серия се разминава, т.е. сумата му е равна на безкрайност. Фигура 1.3.2 показва, че частичните суми нарастват неограничено с нарастването на числото.

Последица. От необходимото условие за сходимост на редицата следва достатъчно доказателстваразминаванияред: ако или не съществува, тогава серията се разминава.

Доказателство.Да приемем обратното, т.е. (или не съществува), но серията се сближава. Но според теоремата за необходимото условие за сходимост на редица, границата на общия член трябва да бъде равна на нула: . Противоречие.

Пример 2.Изследвайте за сходимост редица с общ член .

Тази серия изглежда така:

Нека намерим границата на общия термин на серията:

. Съгласно следствието тази серия се разминава.

Серия, образувана от геометрична прогресия

Помислете за серия, съставена от членове на геометрична прогресия. Спомнете си, че се нарича геометрична прогресия числова последователност, чийто всеки член, като се започне от втория, е равен на предходния, умножен по същото число, което не е равно на нула и се нарича знаменател на тази прогресия. Геометричната прогресия изглежда така:

и серия, съставена от нейните членове:

Такъв ред се нарича геометричен ред, но понякога за краткост се нарича просто геометрична прогресия. Името „геометрична“ прогресия е дадено, защото всеки от нейните членове, започвайки от втория, е равен на средно геометричнонеговите съседни членове:

, или .

Теорема.Серия, съставена от членове на геометрична прогресия

се разминава при и се сближава при , и при сбор от серии

Доказателство.Общият член на редицата, както и общият член на геометричната прогресия, има формата: .

1) Ако , тогава , защото в случая – безкрайно голяма стойност.

2) Когато редът се държи различно, т.к приема различни видове.

При ;

защото границата на константата е равна на самата константа. защото според условията на теоремата , общият член на реда не клони към нула.

При ; няма ограничение.

По този начин, когато не държи необходимо условиеконвергенция на серията:

Следователно редът (1.13) се разминава.

3) Ако , тогава прогресията се нарича безкрайно намаляваща. От училищния курс се знае, че нЧастичната сума от редица (1.13) може да бъде представена като:

Нека намерим сбора на редицата. Откога (безкрайно малка стойност), тогава

По този начин, когато ред (1.13) се събира и има сума равна на

. (1.16)

Това е сумата от безкрайно намаляваща геометрична прогресия.

Пример 1º.

Фиг.1.4.1

=2.

Нека оценим сумата му, т.е. Нека се опитаме да определим към какво клони последователността на неговите частични суми.

Вижда се, че редицата от частични суми клони към числото 2 (фиг. 1.4.1).

Сега нека го докажем. Нека се възползваме от факта, че тази серия е серия, съставена от членове на геометрична прогресия, където . Сума от безкрайно намаляваща геометрична прогресия

Пример 2º.

Изчислява се по подобен начин. Тъй като много от членовете на серията, за разлика от предишния пример, имат знак минус, сумата се оказа по-малка.

Пример 3º.

Това е геометрична серия, където >1. Тази серия се разминава.

Свойства на сходните редове

Разгледайте две конвергентни серии:

, (1.17)

. (1.18)

1. Редица, получена чрез почленно събиране (изваждане) на две сходящи се редове, също се сближава и нейната сума е равна на алгебричната сума на първоначалната редица, т.е.

. (1.19)

Доказателство.Нека направим частични суми от редове (1.17) и (1.18):

защото По условие тези редове се сближават, има ограничения за тези частични суми:

, .

Нека съставим частична сума от редица (1.19) и намерим нейната граница:

Пример.

;

Коментирайте.Обратното твърдение е невярно, т.е. сходимостта на редицата от лявата страна на равенството (1.19) не предполага сходимостта на редицата и . Например, серията, разгледана в пример 4, се събира и нейната сума е 1; общият термин на тази серия беше трансформиран във формата:

Следователно серията може да се запише като:

Нека сега да разгледаме отделноредове:

Тези серии се разминават, защото са хармонични серии. По този начин сходимостта на алгебрична сума от редове не предполага сходимост на членовете.

2. Ако всички членове на сходящ се ред със сумата Сумножете по същото число с, тогава получената редица също ще се сближи и ще има сумата cS:

. (1.20)

Доказателството е подобно на първото свойство (докажете го сами).

Пример.c= 10000;

И двете серии се сближават, т.к техните суми са крайни.

Така конвергентните редове могат да се добавят, изваждат и умножават член по член с постоянен коефициент.

3. Теоремаотносно изхвърлянето на първите няколко термина от серия.

Премахването (или добавянето) на първите няколко члена на ред не влияе на конвергенцията или разминаването на този ред. С други думи, ако серията се сближава

тогава серията се събира

. (1.22)

(но сумата може да е различна). И обратното, ако редът (1.22) се събира, то редът (1.21) също се събира.

Бележка 1.В математиката терминът "няколко" означава "крайно число", т.е. може да бъде 2, или 100, или 10 100, или повече.

Бележка 2.От това свойство следва, че редовете с общи членове и са еквивалентни в смисъл на сходимост. Например хармонична серия има общ член, а серия с общи членове и - също хармоничен.

4. Останалата част от реда. Негова собственост.Ако първите от редицата се изхвърлят кчленове, ще се получи нов ред, Наречен останалата част от поредицатаслед к-ти член.

Определение. к-тият остатък от серията

наречен ред

(1.23),

получен чрез изхвърляне на първия кчленове на оригиналната серия.

Индекс козначава колко първи членове на серията са изхвърлени. По този начин,

и т.н.

Фиг.1.5.2

Можете да конструирате последователност от остатъци и да я изследвате за сходимост при

, за разлика от предишната теорема, където клонеше към безкрайност П. Във всеки следващ член на тази последователност има „по-малко“ членове (всъщност във всеки остатък от тях безкраен брой). Можем да кажем също, че тук динамиката се развива в началото на сериала, а не в неговия край.

Остатъкът от редица може също да се определи като разликата между сумата на серията и нейната частична сума (фиг. 1.5.1):

. (1.24)

Фиг.1.5.2

Нека намерим границата на редицата за сходящ се ред със сумата Спри . От дефиницията на сумата на реда следва:

Тогава от (1.24) следва:

Открихме, че остатъкът от конвергентен ред е безкрайно малко количество при , т.е. когато броят на отхвърлените членове на серията клони към безкрайност. Това се вижда от фигури 1.5.1 и 1.5.2.

Коментирайте.Теоремата за изхвърляне на няколко члена от редица може да се формулира по следния начин: за да се сближи една серия, е необходимо и достатъчно остатъкът й да клони към нула.

§ 1.6. Положителна серия

Помислете за серия с неотрицателни членове

Ние ще наричаме такива серии положителен знак. Разгледайте последователността от частични суми на положителен ред (1.26). Поведението на тази последователност е особено просто: тя нараства монотонно като н, т.е. . (тъй като към всяка следваща частична сума се добавя неотрицателно число).

Според теоремата на Weierstrass всяка монотонна ограничена последователност се събира (виж I семестър на първата година). Въз основа на това ние формулираме общ критерийсходимост на редове с положителни членове.

Теорема(общ критерий за сходимост на положителните редове). За да се сближи един положителен ред, е необходимо и достатъчно последователността от неговите частични суми да бъде ограничена.

Нека си припомним определението за ограниченост на последователност: последователност се нарича ограничена, ако съществува М>0 такива, че за (фиг. 1.6.1). За положителни серии , и можем да говорим за ограниченост отгоре, защото е ограничено отдолу с нула.

Доказателство. 1) Необходимост. Нека редица (1.26) се събират и нека последователността от частични суми има граница, т.е. се сближава. Съгласно теоремата за ограничеността на конвергентна последователност, всяка конвергентна последователност е ограничена Þ ограничена.

2) Достатъчност. Нека последователността от частични суми на редица (1.26) е ограничена.

защото , т.е. монотонен. По теоремата на Вайерщрас за монотонни ограничени последователности тя се сближава и редът (1.26) се сближава.

Знаете ли невероятната легенда за зърната върху шахматната дъска?

Легендата за зърната върху шахматната дъска

Когато създателят на шаха (древен индийски математик на име Сеса) показа изобретението си на владетеля на страната, той хареса играта толкова много, че позволи на изобретателя правото сам да избере наградата. Мъдрецът поискал от царя да му плати едно житно зърно за първото поле на шахматната дъска, две за второто, четири за третото и т.н., като удвоява броя на зърната на всяко следващо поле. Владетелят, който не разбираше математиката, бързо се съгласи, дори донякъде обиден от такава ниска оценка на изобретението, и нареди на ковчежника да изчисли и даде на изобретателя необходимото количество зърно. Но когато седмица по-късно ковчежникът все още не можа да изчисли колко зърна са необходими, владетелят попита каква е причината за забавянето. Ковчежникът му показа изчисленията и каза, че е невъзможно да се плати.Царят изслуша с учудване думите на старейшината.

Кажете ми това чудовищно число“, каза той.

18 квинтилиона 446 квадрилиона 744 трилиона 73 милиарда 709 милиона 551 хиляди 615, о, Господи!

Ако приемем, че едно житно зърно има маса 0,065 грама, то общата маса на пшеницата на шахматната дъска ще бъде 1200 трилиона тона, което е повече от целия обем пшеница, събрана през цялата история на човечеството!

Определение

Геометрична прогресия- поредица от числа ( членове на прогресията), при което всяко следващо число, започвайки от второто, се получава от предходното чрез умножаването му по определено число ( знаменател на прогресията):

Например последователността 1, 2, 4, 8, 16, ... е геометрична ()