От уравненията на движението на консерватора механична системаблизо до стабилно равновесно положение
в случай на две степени на свобода имаме:
(1)
(Според критерия на Силвестър:
(1) система от диференциални уравнения на малки свободни трептения на механична система с две степени на свобода близо до стабилно равновесно положение. Решението му се търси във вида:
(2)
Заместването на това решение в системата от диференциални уравнения на малки вибрации дава:
(3)
По отношение на A и B това е хомогенна система алгебрични уравнения. Има нетривиално решение, когато детерминантата на системата равно на нула:
(4)
Това биквадратно уравнение се нарича честотно уравнение; то има два положителни корена, които съответстват на две решения на системата от диференциални уравнения на малки трептения:
Така всяка обобщена координата се намира като сума от две трептения с различни честоти, които се наричат основни колебания . В този случай, както следва от системата (3), амплитудите на основните вибрации са свързани помежду си, както следва:
(5)
Където - форм фактори основни колебания.
В резултат на това решението на уравненията на свободните вибрации (1) накрая приема формата:
(6)
Входяща кутия (6) амплитуди и начални фази,вибрациите се определят от начални условия.
Принудени вибрации на механични системи с две степени на свобода. Динамичен гасител на вибрации
Елиминирането на нежеланите вибрации в механичните системи се нарича защита от вибрации (затихване).Използваните в този случай технически устройства се наричат виброгасители (амортисьори).
Принципът на работа на динамичния амортисьор се основава на използването на антирезонансния феномен, когато действието на периодично променяща се смущаваща обобщена сила, съответстваща на една координата, се неутрализира от действието на потенциална обобщена сила, съответстваща на друга координата.
Нека една механична система, в допълнение към консервативните сили, да бъде подложена на смущаваща сила, която се променя във времето според хармоничен закон
Диференциалните уравнения на движение на механичната система в този случай имат формата:
Ние търсим общото решение на система от линейни диференциални нехомогенни (в този случай) уравнения като сбор от две решения: ,- общо решениесистеми от хомогенни диференциални уравнения; -частно решение на система от нехомогенни диференциални уравнения.
Отчитайки зависимостта на смущаващата сила от времето, във формата се търси конкретно решение
Заместването му в системата от диференциални уравнения дава:
Решавайки тази система с помощта на правилото на Крамър, получаваме 
Тъй като тя съвпада с лявата страна на честотното уравнение и изчезва
когато честотата на смущаващата сила съвпада с една от собствените честоти
трептения или коефициенти A и B в този случай се обръщат към безкрайност. Така при трептения на система с две степени на свобода има две резонансни честоти
Общо решение на система от принудени диференциални уравнения
вибрации при 
има формата:
Както може да се види, чрез избора на параметрите на осцилиращата система е възможно да се постигне например изпълнение на условието A = 0, т.е. амплитудата на принудените колебания, съответстваща на първата обобщена координата, става нула.
Това явление се нарича антирезонанс.
В разглеждания случай това се случва, ако
Основни понятия и хипотези на теорията на въздействието. Основно уравнение на теорията на удара
Явление, при което за кратък период от време, т.е. почти мигновено скоростите на точки от материални обекти се променят до крайни стойности, т.нар удар .
Тъй като по време на удар крайната промяна в скоростта настъпва за много кратък период от време, възникват много големи ускорения и следователно много големи сили. Тези сили действат за много кратък период от време, но техните импулси за този период от време са крайни количества.
Силите, които възникват при удар за кратък период от време, но в същото време достигат голяма стойност, така че техните импулси през този период от време са крайни стойности, се наричат ударни сили .
Нарича се краткият период от време, през който трае ударът време на въздействие. Импулсите на ударните сили по време на удара се наричат шокови импулси .
Нека е дадено МТ с маса m, което се движи под действието на обикновена (неударна) сила. В момента, в който разглежданото МТ има скорост – скоростта преди удара, върху него започва да действа ударната сила, чието действие се прекратява в момента. Нека определим движението на МТ под въздействието на силите и по време на удара.
Прилагайки теоремата за промяната на импулса на точка, получаваме:
,
където е скоростта на точката в момента след удара.
По теоремата за средната стойност определен интегралможеш да пишеш:
,
където и са средните стойности на силите и за определен период от време. Освен това, това е крайно количество; Ударната сила по време на удара достига много голяма стойност (от порядъка). Следователно продуктът ще бъде незначителен в сравнение с продукта, който е крайно количество.
Системите с две степени на свобода са частен случай на системи с няколко степени на свобода. Но тези системи са най-прости, позволявайки да се получат в окончателна форма изчислителни формули за определяне на честотите на вибрациите, амплитудите и динамичните отклонения.
Деформации на yлъча поради инерционни сили:
P 2 =1 
(1)
Знаците (-) в изрази (1) се дължат на факта, че инерционните сили и единици. движенията са в обратна посока.
Ние вярваме, че масовите вибрации възникват според хармоничния закон:
(2)
Нека намерим ускорението на масовото движение:
(3)
Замествайки изрази (2) и (3) в уравнение (1), получаваме:
(5)
Считаме амплитудите на трептенията A 1 и A 2 за неизвестни и трансформираме уравненията:
(6)
Решението на системата от хомогенни уравнения A 1 = A 2 =0 не ни подхожда, за да получим ненулево решение, приравняваме детерминантите на системата (6) към нула:
(7)
Нека преобразуваме уравнение (8), като вземем предвид кръговата честота на собствените трептения неизвестно:
Уравнение (9) се нарича бихармонично уравнение на свободните трептения на системи с две степени на свобода.
Заменяйки променливата 2 =Z, получаваме
от тук определяме Z 1 и Z 2.
В резултат на това могат да се направят следните изводи:
1. Свободните трептения на системи с две степени на свобода възникват с две честоти 1 и 2. По-ниската честота 1 се нарича основен или основен тон, по-високата честота 2 се нарича втора честота или обертон.
Свободните вибрации на системи с n-степени на свобода са n-тонални, състоящи се от n-свободни вибрации.
2. Движенията на масите m 1 и m 2 се изразяват със следните формули:
т.е., ако възникват трептения с честота 1, то във всеки един момент масовите движения имат едни и същи знаци.
Ако възникват трептения само с честота 2, тогава масовите движения във всеки момент имат противоположни знаци.
При едновременни трептения на маси с честоти 1 и 2, системата осцилира основно на честота 1 и в тези трептения се вписва обертон с честота 2.
Ако система с две степени на свобода е подложена на движеща сила с честота , тогава е необходимо:
0,7 1 .
Лекция 9
Трептения на системи с безкраен брой степени на свобода.
Теорията на механичните вибрации има многобройни и много разнообразни приложения в почти всички области на технологията. Независимо от предназначението и конструктивното решение на различните механични системи, техните вибрации се подчиняват на едни и същи физични закони, изучаването на които е предмет на теорията на вибрациите на еластичните системи. Най-пълно развит линейна теорияколебание. Теорията на трептенията на системи с няколко степени на свобода е дадена през 18 век от Лагранж в неговия класически труд „Аналитична механика“.
Жозеф Луи Лагранж (1736 - 1813) - професор по математика в Торино от 19-годишна възраст. От 1759 г. - член, а от 1766 г. - президент на Берлинската академия на науките; от 1787 г. живее в Париж. През 1776 г. е избран за почетен чуждестранен член на Петербургската академия на науките.
В края на 19 век Рейли полага основите на линейната теория на трептенията на системи с безкрайна степен на свобода (т.е. с непрекъснато разпределение на масата в целия обем на деформируемата система). През 20-ти век може да се каже, че линейната теория е завършена (методът на Бубнов-Галеркин, който също позволява да се определят по-високи честоти на трептене с помощта на последователни приближения).
Джон Уилям Стрет (лорд Рейли) (1842 - 1919) - английски физик, автор на редица трудове по теория на трептенията.
Иван Григориевич Бубнов (1872 - 1919) - един от основоположниците на корабната строителна механика. Професор в Петербургския политехнически институт, от 1910 г. - в Морската академия.
Борис Григориевич Галеркин (1871-1945) - професор в Ленинградския политехнически институт.
Формулата на Rayleigh е най-популярна в теорията на вибрациите и устойчивостта на еластичните системи. Идеята, залегнала в основата на извеждането на формулата на Рейли, се свежда до следното. При монохармонични (еднотонални) свободни трептения на еластична система с честота движенията на нейните точки се извършват във времето по хармоничния закон:
където 1 (x,y,z), 2 (x,y,z), 3 (x,y,z) са функции на пространствените координати на точката, които определят въпросната форма на трептене (амплитуда).
Ако тези функции са известни, тогава честотата на свободните трептения може да се намери от условието, че сумата от кинетичната и потенциалната енергия на тялото е постоянна. Това условие води до уравнение, съдържащо само една неизвестна величина.
Тези функции обаче не са известни предварително. Водещата идея на метода на Rayleigh е да се специфицират тези функции, съпоставяйки избора им с граничните условия и очакваната форма на вибрациите.
Нека разгледаме по-подробно изпълнението на тази идея за равнинни огъващи вибрации на прът, формата на вибрациите се описва от функцията =(x). Свободните трептения се описват от зависимостта
потенциална енергия на огънат прът
(2)
(3)
Където л- дължина на пръта, m=m(x) интензитет на разпределената маса на пръта;
Изкривяване на кривата ос на пръта - скорост на напречните вибрации.
дадено (1)
.
(4)
(5)
С течение на времето всяка от тези величини се променя непрекъснато, но според закона за запазване на енергията тяхната сума остава постоянна, т.е.
или чрез заместване на изрази (4), (5) тук
(7)
Това води до формулата на Rayleigh:
(8)
Ако концентрирани товари с маси M i са свързани с прът с разпределена маса m, тогава формулата на Rayleigh приема формата:
(9)
Целият ход на извеждането показва, че в рамките на приетите предположения (валидността на техническата теория за огъване на пръти, липса на нееластично съпротивление), тази формула е точна, ако (x) е истинската форма на вибрациите . Функцията(x) обаче е предварително неизвестна. Практическото значение на формулата на Rayleigh е, че тя може да се използва за намиране на собствената честота, като се има предвид формата на вибрацията(x). В същото време в решението се въвежда повече или по-малко сериозен елемент на близост. Поради тази причина формулата на Rayleigh понякога се нарича приблизителна формула.
m=cosnt Нека вземем като форма на вибрация функцията:(x)=ax 2, която удовлетворява кинематичните гранични условия на проблема.
Ние определяме:
По формула (8)
Този резултат се различава значително от точния
По-точна е формулата на Grammel, която все още не е станала толкова популярна, колкото формулата на Rayleigh (може би поради относителната си „младост“ - предложена е през 1939 г.).
Нека отново се спрем на същия проблем за свободните огъващи вибрации на прът.
Нека (x) е определената форма на свободни трептения на пръта. Тогава интензитетът на максималните инерционни сили се определя от израза m 2 , където, както и преди, m=m(x) е интензитетът на разпределената маса на пръта; 2 е квадратът на собствената честота. Тези сили достигат определената стойност в момента, когато деформациите са максимални, т.е. се определят от функцията(x).
Нека напишем израза за най-високата потенциална енергия на огъване по отношение на огъващите моменти, причинени от максималните инерционни сили:
. (10)
Тук 
- огъващи моменти, причинени от натоварване m 2 . Нека означим огъващия момент, причинен от условното натоварване m, т.е. 2 пъти по-малко от инерционната сила.
,
(11)
и израз (10) може да се запише като:
. (12)
Най-висока кинетична енергия, същата като по-горе
. (13)
Приравнявайки изрази (12) и (13) стигаме до формулата на Грамел:
(14)
За да изчислите по тази формула, първо трябва да посочите подходяща функция (x). След това се определя условното натоварване m=m(x)(x) и се записват изразите за огъване, предизвикано от условното натоварване m. По формула (14) се определя собствената честота на трептене на системата.
Пример: (разгледайте предишния)
г 
m(x)·(x)=max 2
Нека разгледаме малките трептения на система с две степени на свобода, върху която действат силите потенциално полеи сили, които периодично се променят във времето. Получените движения на системата се наричат принудени трептения.
Нека смущаващите обобщени сили се изменят по хармоничен закон с времето, като имат равни периоди и начална фаза. Тогава уравненията на движението на разглежданата система ще бъдат във формата:
Уравненията на движението в разглеждания случай са система от линейни диференциални уравнения от втори ред с постоянни коефициентии дясната страна.
Отидете до основните координати
За удобство при изучаване на уравненията на движението, нека преминем към основните координати на системата. Връзката между координатите се определя от формулите на предишния параграф на формата:
Нека обозначим съответно обобщените сили, съответстващи на нормалните координати, тъй като обобщените сили представляват коефициенти за съответните вариации на обобщените координати в израза основна работасили, действащи върху системата, тогава
Следователно:
По този начин уравненията на движението в главните координати приемат формата:
Уравненията на принудените трептения на система с две степени на свобода в нормални координати са независими едно от друго и могат да се интегрират поотделно.
Критични честоти на смущаващата сила
Уравнението за или определя колебателния характер на промяната в нормалните координати, изследвани подробно при разглеждане на принудителното колебание на точка по права линия, тъй като диференциални уравнениядвиженията са еднакви и в двата случая. По-специално, ако честотата на смущаващата сила е равна на честотата на едно от собствените трептения на системата, или тогава решението ще включва времето t като фактор. Следователно, една от нормалните обобщени координати за достатъчно голямо t ще бъде произволно голяма или имаме явлението резонанс.
Както знаете, тяло, което не е ограничено по никакъв начин в движенията си, се нарича свободно, тъй като може да се движи във всяка посока. От тук всеки свободен твърдоима шест степени на свобода на движение. Той има способността да произвежда следните движения: три транслационни движения, съответстващи на три основни координатни системи и три ротационни движенияоколо тези трите координатни оси.
Налагането на връзки (фиксиране) намалява броя на степените на свобода. Така, ако едно тяло е фиксирано в една точка, то не може да се движи по координатните оси; движенията му са ограничени само до въртене около тези оси, т.е. тялото има три степени на свобода. В случай, че две точки са фиксирани, тялото има само една степен на свобода, то може да се върти само около линия (ос), минаваща през двете точки. И накрая, с три фиксирани точки, които не лежат на една и съща права, броят на степените на свобода е нула и не могат да се появят движения на тялото. При хората пасивният апарат за движение се състои от части от тялото му, наречени връзки. Всички те са свързани помежду си, така че губят способността да извършват три вида движения по координатните оси. Те имат способността само да се въртят около тези оси. По този начин максималният брой степени на свобода, които една връзка на тялото може да има по отношение на друга връзка, съседна на нея, е три.
Това се отнася за най-подвижните стави на човешкото тяло, които имат сферична форма.
Последователните или разклонени връзки на части на тялото (връзки) образуват кинематични вериги.
При хората има:
- - отворени кинематични веригисъс свободен подвижен край, фиксиран само в единия край (например ръка по отношение на тялото);
- - затворени кинематични вериги, фиксирани в двата края (например прешлен - ребро - гръдна кост - ребро - прешлен).
Трябва да се отбележи, че това се отнася до потенциалния обхват на движенията в ставите. В действителност при жив човек тези показатели винаги са по-ниски, което е доказано от многобройни произведения на местни изследователи - П. Ф. Лесгафт, М. Ф. Иваницки, М. Г. Привес, Н. Г. Озолин и др. За количеството подвижност на костните стави в жив човек се влияе от редица фактори, свързани с възрастта, пола, индивидуални характеристики, функционалното състояние на нервната система, степента на мускулно разтягане, температурата на околната среда, времето на деня и накрая, което е важно за спортистите, степента на тренировка. По този начин във всички костни връзки (прекъснати и непрекъснати) степента на подвижност при младите хора е по-голяма, отколкото при възрастните хора; Средно жените имат повече от мъжете. Размерът на подвижността се влияе от степента на разтягане на онези мускули, които са от страната, противоположна на движението, както и силата на мускулите, произвеждащи това движение. Колкото по-еластичен е първият от тези мускули и по-силен вторият, толкова по-голям е обхватът на движенията в дадена костна връзка и обратно. Известно е, че в студено помещение движенията имат по-малък обхват, отколкото в топло помещение, сутрин са по-малко, отколкото вечер. Използването на различни упражнения има различен ефект върху подвижността на ставите. По този начин системното обучение с упражнения за „гъвкавост“ увеличава обхвата на движение в ставите, докато „силовите“ упражнения, напротив, го намаляват, което води до „втвърдяване“ на ставите. Въпреки това, намаляването на обхвата на движение в ставите при използване на силови упражнения не е абсолютно неизбежно. Може да се предотврати правилната комбинациясилови упражнения със стречинг упражнения за същите мускулни групи.
В отворените кинематични вериги на човешкото тяло подвижността се изчислява в десетки степени на свобода. Например, подвижността на китката спрямо лопатката и подвижността на тарзуса спрямо таза имат седем степени на свобода, а върховете на пръстите на ръката спрямо гръдния кош имат 16 степени на свобода. Ако сумираме всички степени на свобода на крайниците и главата спрямо тялото, то това ще бъде изразено с числото 105, съставено от следните позиции:
- - глава - 3 степени на свобода;
- - ръце - 14 степени на свобода;
- - крака - 12 степени на свобода;
- - ръце и крака - 76 степени на свобода.
За сравнение посочваме, че по-голямата част от машините имат само една степен на свобода на движение.
В сферични и гнездови шарнири са възможни завъртания около три взаимно перпендикулярни оси. Общият брой на осите, около които са възможни въртения в тези стави, е безкрайно голям. Следователно, по отношение на сферичните стави, можем да кажем, че шарнирните връзки в тях от възможни шест степени на свобода на движение имат три степени на свобода и три степени на съединяване.
Ставите с две степени на свобода на движение и четири степени на съединяване имат по-малка подвижност. Те включват стави с яйцевидна или елипсовидна и седловидна форма, т.е. двуосно. Те позволяват движения около тези две оси.
Връзките на тялото в тези стави, които имат една ос на въртене, т.е. имат една степен на свобода на подвижност и в същото време пет степени на свързаност. имат две фиксирани точки.
Повечето стави в човешкото тяло имат две или три степени на свобода. При няколко степени на свобода на движение (две или повече) са възможни безкраен брой траектории. Връзките на черепните кости имат шест степени на връзка и са неподвижни. Свързването на костите с помощта на хрущяли и връзки (синхондроза и синдесмоза) в някои случаи може да има значителна подвижност, която зависи от еластичността и размера на хрущялните или съединителнотъканните образувания, разположени между тези кости.
Трептенията на система с няколко степени на свобода, които имат важни практически приложения, се различават от трептенията на система с една степен на свобода по редица съществени характеристики. За да дадем представа за тези характеристики, нека разгледаме случая на свободни трептения на система с две степени на свобода.
Нека положението на системата се определя от обобщени координати и системата е в стабилно равновесие. След това кинетичните и потенциална енергиясистеми с точност до квадрати на малки количества могат да бъдат намерени по същия начин, както бяха намерени равенства (132), (133) и представени във формата:
където коефициентите на инерция и коефициентите на квазиеластичност са постоянни величини. Ако използваме две уравнения на Лагранж под формата (131) и заместим тези стойности на T и P в тях, получаваме следните диференциални уравнения за малки колебания на система с две степени на свобода
Ще търсим решение на уравнения (145) във вида:
където A, B, k, a - константи. Замествайки тези стойности в уравнения (145) и намалявайки с, получаваме
За да могат уравнения (147) да дадат решения за A и B, които са различни от юли, детерминантата на тази система трябва да бъде равна на нула или, в противен случай, коефициентите за A и B в уравненията трябва да бъдат пропорционални, т.е.
От тук, за дефиницията, получаваме следното уравнение, наречено уравнение на честотата.
Корените на това уравнение са реални и положителни; това е доказано математически, но може да бъде оправдано и от факта, че в противен случай уравненията (145) няма да бъдат реални и няма да имат решения от вида (146), което не може да бъде случаят за система в стабилно равновесие (след смущения в нея трябва да се движи близо до позицията
След като дефинирахме (149), намираме две групи от частични решения от вида (146). Като се има предвид, че според тези решения ще има:
където и са стойностите, които получавам от (148) при и съответно.
Трептенията, определени от уравнения (150) и (151), се наричат основни трептения, а техните честоти и kg са собствените честоти на системата. В този случай трептене с честота (винаги по-малка) се нарича първо основно трептене, а с честота - второ основно трептене. Числата, определящи съотношенията на амплитудите (или самите координати, т.е.) във всяко от тези трептения, се наричат коефициенти на формата.
Тъй като уравнения (145) са линейни, сумите на частичните решения (150) и (151) също ще бъдат решения на тези уравнения:
Равенства (152), съдържащи четири произволни константи, определени от началните условия, дават общо решение на уравнения (145) и определят закона за малките колебания на системата. трептенията са съставени от две основни трептения с честоти и не са хармонични. В частни случаи при подходящи начални условия системата може да извърши едно от основните трептения (например първото, ако) и трептенето ще бъде хармонично.
Собствените честоти и коефициентите на формата не зависят от началните условия и са основните характеристики на малките трептения на системата; решаването на конкретни проблеми обикновено се свежда до определяне на тези характеристики.
Чрез сравняване на резултатите от този и предишните параграфи може да се получи представа до какво ще се сведе изследването на затихнали и принудени трептения на система с две степени на свобода. Няма да разглеждаме това; само ще отбележим, че кога принудителни вибрациирезонанс в такава система може да възникне два пъти: при и при ( е честотата на смущаващата сила). Накрая отбелязваме, че трептенията на система с s степени на свобода ще бъдат съставени от s трептения с честоти, които трябва да бъдат определени от уравнението на степента s спрямо това. Това е свързано със значителни математически трудности, които могат да бъдат преодолени с помощта на електронни компютри (или аналогови) машини.
Задача 185. Определете собствените честоти и коефициентите на форма на малки трептения на двойно физическо махало, образувано от пръти и 2 с еднаква маса и дължина l (фиг. 374, а).
Решение. Нека изберем малки ъгли като обобщени координати. Тогава , където и с необходимата точност на изчисление, . В крайна сметка
Подобни статии
