Решението на система от хомогенни линейни уравнения е винаги. Хомогенни системи уравнения

Система м линейни уравнения° С ннаречени неизвестни система от линейни хомогенниуравнения, ако всички свободни членове са равни на нула. Такава система изглежда така:

Където и ij (аз = 1, 2, …, м; й = 1, 2, …, н) - дадени числа; x i– неизвестен.

Система от линейни хомогенни уравнения винаги е последователна, тъй като r(A) = r(). Винаги има поне нула ( тривиален) решение (0; 0; …; 0).

Нека разгледаме при какви условия хомогенните системи имат ненулеви решения.

Теорема 1.Система от линейни хомогенни уравнения има ненулеви решения тогава и само ако рангът на нейната основна матрица е r по-малко числонеизвестен н, т.е. r < н.

□ 1). Нека система от линейни еднородни уравнения има ненулево решение. Тъй като рангът не може да надвишава размера на матрицата, тогава, очевидно, r ≤ н. Позволявам r = н. След това един от малките размери n nразличен от нула. Следователно съответната система от линейни уравнения има уникално решение: .. . Това означава, че няма други решения освен тривиалните. Така че, ако има нетривиално решение, тогава r < н.

2). Позволявам r < н. Тогава хомогенната система, тъй като е последователна, е несигурна. Това означава, че има безкраен брой решения, т.е. има ненулеви решения. ■

Помислете за хомогенна система нлинейни уравнения c ннеизвестен:

(2)

Теорема 2.Хомогенна система нлинейни уравнения c ннеизвестни (2) има ненулеви решения тогава и само ако неговата детерминанта равно на нула: = 0.

□ Ако системата (2) има ненулево решение, тогава = 0. Защото когато системата има само едно нулево решение. Ако = 0, тогава рангът rосновната матрица на системата е по-малка от броя на неизвестните, т.е. r < н. И следователно системата има безкраен брой решения, т.е. има ненулеви решения. ■

Нека означим решението на система (1) х 1 = к 1 , х 2 = к 2 , …, x n = k nкато низ .

Решенията на система от линейни хомогенни уравнения имат следните свойства:

1. Ако линията е решение на система (1), тогава линията е решение на система (1).

2. Ако линиите и са решения на система (1), то за всякакви стойности с 1 и с 2 тяхната линейна комбинация също е решение на система (1).

Валидността на тези свойства може да се провери чрез директното им заместване в уравненията на системата.

От формулираните свойства следва, че всяка линейна комбинация от решения на система от линейни еднородни уравнения също е решение на тази система.

Система от линейно независими решения д 1 , д 2 , …, e rНаречен фундаментален, ако всяко решение на система (1) е линейна комбинация от тези решения д 1 , д 2 , …, e r.

Теорема 3.Ако ранг rматриците на коефициентите за променливи на системата от линейни хомогенни уравнения (1) са по-малки от броя на променливите н, тогава всяка фундаментална система от решения на система (1) се състои от n–rрешения.

Ето защо общо решениесистема от линейни хомогенни уравнения (1) има формата:

Където д 1 , д 2 , …, e r– всяка фундаментална система от решения на система (9), с 1 , с 2 , …, с п– произволни числа, Р = n–r.

Теорема 4.Общо решение на системата млинейни уравнения c ннеизвестни е равно на сумата общо решениесъответната система от линейни хомогенни уравнения (1) и произволно конкретно решение на тази система (1).

Пример.Решете системата

Решение.За тази система м = н= 3. Детерминанта

според теорема 2 системата има само тривиално решение: х = г = z = 0.

Пример. 1) Намерете общи и частни решения на системата

2) Намерете основната система от решения.

Решение. 1) За тази система м = н= 3. Детерминанта

по теорема 2 системата има ненулеви решения.

Тъй като в системата има само едно независимо уравнение

х + г – 4z = 0,

тогава от него ще изразим х =4z- г. Откъде получаваме безкраен брой решения: (4 z- г, г, z) – това е общото решение на системата.

При z= 1, г= -1, получаваме едно конкретно решение: (5, -1, 1). Поставяне z= 3, г= 2, получаваме второто конкретно решение: (10, 2, 3) и т.н.

2) В общото решение (4 z- г, г, z) променливи гИ zса безплатни, а променливата х- зависим от тях. За да намерим фундаментална система от решения, ние присвояваме безплатно променливи стойности: първо г = 1, z= 0, тогава г = 0, z= 1. Получаваме частични решения (-1, 1, 0), (4, 0, 1), които образуват фундаменталната система от решения.

Илюстрации:

Ориз. 1 Класификация на системите от линейни уравнения

Ориз. 2 Изследване на системи от линейни уравнения

Презентации:

· Решение на SLAU_ матричен метод

· Решение на метода SLAE_Cramer

· Решение SLAE_метод на Гаус

· Пакети решения математически задачи Mathematica, MathCad: търсене на аналитични и числено решениесистеми от линейни уравнения

Контролни въпроси:

1. Дефинирайте линейно уравнение

2. Какъв тип система изглежда? млинейни уравнения с ннепознат?

3. Какво се нарича решаване на системи от линейни уравнения?

4. Какви системи се наричат еквивалентни?

5. Коя система се нарича несъвместима?

6. Каква система се нарича ставна?

7. Коя система се нарича определена?

8. Коя система се нарича неопределена

9. Избройте елементарните преобразувания на системи от линейни уравнения

10. Избройте елементарните трансформации на матрици

11. Изложете теоремата за приложение елементарни трансформациикъм система от линейни уравнения

12. Какви системи могат да бъдат решени с помощта на матричния метод?

13. Какви системи могат да бъдат решени по метода на Крамър?

14. Какви системи могат да бъдат решени по метода на Гаус?

15. Избройте 3 възможни случая, които възникват при решаване на системи от линейни уравнения по метода на Гаус

16. Опишете матричния метод за решаване на системи от линейни уравнения

17. Опишете метода на Крамър за решаване на системи от линейни уравнения

18. Опишете метода на Гаус за решаване на системи от линейни уравнения

19. Какви системи могат да бъдат решени с помощта на обратна матрица?

20. Избройте 3 възможни случая, които възникват при решаване на системи от линейни уравнения по метода на Крамер

Литература:

1. Висша математиказа икономисти: Учебник за ВУЗ / Н.Ш. Кремер, Б.А. Путко, И.М. Тришин, М. Н. Фридман. Изд. Н.Ш. Кремер. – М.: ЕДИНСТВО, 2005. – 471 с.

2. Общ курс по висша математика за икономисти: Учебник. / Ед. В И. Ермакова. – М.: ИНФРА-М, 2006. – 655 с.

3. Сборник задачи по висша математика за икономисти: Урок/ Под редакцията на V.I. Ермакова. М.: ИНФРА-М, 2006. – 574 с.

4. Gmurman V. E. Ръководство за решаване на проблеми в теорията на вероятностите и магматичната статистика. - М.: Висше училище, 2005. - 400 с.

5. Гмурман. V.E. Теория на вероятностите и математическа статистика. - М.: Висше училище, 2005.

6. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Висша математика в упражнения и задачи. Част 1, 2. – М.: Оникс 21 век: Мир и образование, 2005. – 304 с. Част 1; – 416 стр. Част 2.

7. Математика в икономиката: Учебник: В 2 части / A.S. Солодовников, В.А. Бабайцев, А.В. Браилов, И.Г. Шандара. – М.: Финанси и статистика, 2006.

8. Шипачев В.С. Висша математика: Учебник за студенти. университети - М.: Висше училище, 2007. - 479 с.

Свързана информация.

Системи линейни еднородни уравнения- има формата ∑a k i x i = 0. където m > n или m Една хомогенна система от линейни уравнения е винаги последователна, тъй като rangA = rangB. Очевидно има решение, състоящо се от нули, което се нарича тривиален.

Цел на услугата. Онлайн калкулаторът е предназначен да намери нетривиално и фундаментално решение на SLAE. Полученият разтвор се съхранява в Word файл(вижте примерно решение).

Инструкции. Изберете измерение на матрицата:

Свойства на системи от линейни еднородни уравнения

За да има системата нетривиални решения, е необходимо и достатъчно рангът на неговата матрица да бъде по-малък от броя на неизвестните.

Теорема. Система в случай m=n има нетривиално решение тогава и само ако детерминантата на тази система е равна на нула.

Теорема. Всяка линейна комбинация от решения на система също е решение на тази система.
Определение. Множеството от решения на система от линейни еднородни уравнения се нарича фундаментална система от решения, ако това множество се състои от линейно независими решения и всяко решение на системата е линейна комбинация от тези решения.

Теорема. Ако рангът r на системната матрица е по-малък от броя n на неизвестните, тогава съществува фундаментална система от решения, състояща се от (n-r) решения.

Алгоритъм за решаване на системи от линейни еднородни уравнения

Намиране на ранга на матрицата.
Избираме основния минор. Различаваме зависими (основни) и свободни неизвестни.
Задраскваме тези уравнения на системата, чиито коефициенти не са включени основен минор, тъй като те са следствия от останалите (по теоремата за основата минор).
Преместваме членовете на уравненията, съдържащи свободни неизвестни, в дясната страна. В резултат на това получаваме система от r уравнения с r неизвестни, еквивалентна на дадената, чиято детерминанта е различна от нула.
Ние решаваме получената система чрез елиминиране на неизвестни. Намираме връзки, изразяващи зависими променливи чрез свободни.
Ако рангът на матрицата не е равен на броя на променливите, тогава намираме фундаменталното решение на системата.
В случай rang = n имаме тривиално решение.

Пример. Намерете основата на системата от вектори (a 1, a 2,...,a m), степенувайте и изразете векторите въз основа на основата. Ако a 1 =(0,0,1,-1), и 2 =(1,1,2,0), и 3 =(1,1,1,1), и 4 =(3,2,1 ,4) и 5 =(2,1,0,3).
Нека напишем основната матрица на системата:

Умножете 3-тия ред по (-3). Нека добавим 4-тия ред към 3-тия:

0	0	1	-1
0	0	-1	1
0	-1	-2	1
3	2	1	4
2	1	0	3

Умножете 4-тия ред по (-2). Нека умножим 5-ия ред по (3). Нека добавим 5-ти ред към 4-ти:
Нека добавим 2-ри ред към 1-ви:
Нека намерим ранга на матрицата.
Системата с коефициентите на тази матрица е еквивалентна на оригиналната система и има формата:
- x 3 = - x 4
- x 2 - 2x 3 = - x 4
2x 1 + x 2 = - 3x 4
Използвайки метода за елиминиране на неизвестни, намираме нетривиално решение:
Получихме отношения, изразяващи зависимите променливи x 1 , x 2 , x 3 чрез свободните x 4 , тоест намерихме общо решение:
x 3 = x 4
x 2 = - x 4
x 1 = - x 4

Линейното уравнение се нарича хомогенен, ако неговият свободен член е равен на нула, и нееднороден в противен случай. Система, състояща се от еднородни уравнения, се нарича хомогенна и има обща форма:

Очевидно е, че всяка хомогенна система е непротиворечива и има нулево (тривиално) решение. Следователно, когато се прилага към хомогенни системи от линейни уравнения, често трябва да се търси отговор на въпроса за съществуването на ненулеви решения. Отговорът на този въпрос може да се формулира като следната теорема.

Теорема . Хомогенна система от линейни уравнения има ненулево решение тогава и само ако нейният ранг е по-малък от броя на неизвестните .

Доказателство: Нека приемем, че система с равен ранг има ненулево решение. Очевидно не надвишава. В случай, че системата има уникално решение. Тъй като система от хомогенни линейни уравнения винаги има нулево решение, тогава нулевото решение ще бъде това уникално решение. Следователно ненулеви решения са възможни само за .

Следствие 1 : Хомогенна система от уравнения, в която броят на уравненията е по-малък от броя на неизвестните, винаги има ненулево решение.

Доказателство: Ако система от уравнения има , то рангът на системата не надвишава броя на уравненията, т.е. . По този начин условието е изпълнено и следователно системата има ненулево решение.

Следствие 2 : Хомогенна система от уравнения с неизвестни има ненулево решение тогава и само ако нейният детерминант е нула.

Доказателство: Да приемем, че система от линейни еднородни уравнения, чиято матрица с детерминанта , има ненулево решение. Тогава, според доказаната теорема, и това означава, че матрицата е сингулярна, т.е. .

Теорема на Кронекер-Капели: SLU е последователен тогава и само ако рангът на системната матрица е равен на ранга на разширената матрица на тази система. Една система ur се нарича последователна, ако има поне едно решение.

Хомогенна система от линейни алгебрични уравнения .

Система от m линейни уравнения с n променливи се нарича система от линейни хомогенни уравнения, ако всички свободни членове са равни на 0. Система от линейни хомогенни уравнения винаги е последователна, тъй като винаги има поне нулево решение. Система от линейни хомогенни уравнения има ненулево решение тогава и само ако рангът на нейната матрица от коефициенти за променливи е по-малък от броя на променливите, т.е. за ранг A (n. Всяка линейна комбинация

Lin системни решения. хомогенен. ur-ii също е решение на тази система.

Система от линейни независими решения e1, e2,...,еk се нарича фундаментална, ако всяко решение на системата е линейна комбинация от решения. Теорема: ако рангът r на матрицата от коефициенти за променливите на система от линейни хомогенни уравнения е по-малък от броя на променливите n, тогава всяка фундаментална система от решения на системата се състои от n-r разтвори. Следователно общото решение на линейната система. един ден ur-th има формата: c1e1+c2e2+...+skek, където e1, e2,..., ek е всяка фундаментална система от решения, c1, c2,...,ck са произволни числа и k=n-r. Общото решение на система от m линейни уравнения с n променливи е равно на сумата

на общото решение на съответстващата му система е хомогенна. линейни уравнения и произволно частно решение на тази система.

7. Линейни пространства. Подпространства. Основа, измерение. Линейна обвивка. Линейно пространство се нарича n-мерен, ако съдържа система от линейни независими вектори, и всяка система от Повече ▼векторите са линейно зависими. Номерът се нарича измерение (брой измерения) линейно пространствои е обозначена. С други думи, размерността на едно пространство е максималния брой линейно независими вектори на това пространство. Ако такова число съществува, тогава пространството се нарича крайномерно. Ако за някой естествено число n в пространството има система, състояща се от линейно независими вектори, тогава такова пространство се нарича безкрайномерно (написано: ). В това, което следва, освен ако не е посочено друго, ще се разглеждат крайномерни пространства.

Основата на n-мерното линейно пространство е подредена колекция от линейно независими вектори ( базисни вектори).

Теорема 8.1 за разлагането на вектор по базис. Ако е основата на n-мерно линейно пространство, тогава всеки вектор може да бъде представен като линейна комбинация от базисни вектори:

V=v1*e1+v2*e2+…+vn+en
и между другото единствения начин, т.е. коефициентите се определят еднозначно.С други думи, всеки вектор на пространството може да бъде разширен в основа и освен това по уникален начин.

Всъщност измерението на пространството е . Системата от вектори е линейно независима (това е базис). След като добавим произволен вектор към основата, получаваме линейно зависима система(тъй като тази система се състои от вектори на n-мерно пространство). Използвайки свойството на 7 линейно зависими и линейно независими вектора, получаваме заключението на теоремата.

Хомогенната система винаги е последователна и има тривиално решение
. За да съществува нетривиално решение, е необходимо рангът на матрицата беше по-малко от броя на неизвестните:

Фундаментална система от решения хомогенна система
наричаме система от решения под формата на колонни вектори
, които отговарят на каноничната основа, т.е. основа, в която произволни константи
последователно се задават равни на единица, докато останалите се задават на нула.

Тогава общото решение на хомогенната система има вида:

Където
- произволни константи. С други думи, общото решение е линейна комбинация фундаментална системарешения.

По този начин основни решения могат да бъдат получени от общото решение, ако на свободните неизвестни се даде стойност на единица на свой ред, като всички останали се определят като нула.

Пример. Нека намерим решение на системата

Нека приемем, тогава получаваме решение във формата:

Нека сега изградим фундаментална система от решения:

Общото решение ще бъде написано като:

Решенията на система от хомогенни линейни уравнения имат следните свойства:

С други думи, всяка линейна комбинация от решения на хомогенна система отново е решение.

Решаване на системи от линейни уравнения по метода на Гаус

Решаването на системи от линейни уравнения интересува математиците от няколко века. Първите резултати са получени през 18 век. През 1750 г. Г. Крамер (1704–1752) публикува своите трудове върху детерминантите на квадратните матрици и предлага алгоритъм за намиране на обратната матрица. През 1809 г. Гаус очертава нов метод на решение, известен като метод на елиминиране.

Методът на Гаус или методът за последователно елиминиране на неизвестни се състои в това, че с помощта на елементарни трансформации система от уравнения се свежда до еквивалентна система от стъпкова (или триъгълна) форма. Такива системи позволяват последователното намиране на всички неизвестни в определен ред.

Да приемем, че в системата (1)
(което винаги е възможно).

(1)

Умножавайки първото уравнение едно по едно по т.нар подходящи числа

и добавяйки резултата от умножението със съответните уравнения на системата, получаваме еквивалентна система, в която във всички уравнения с изключение на първото няма да има неизвестни х 1

(2)

Нека сега умножим второто уравнение на системата (2) с подходящи числа, като приемем, че

и добавяйки го с по-ниските, елиминираме променливата от всички уравнения, започвайки от третото.

Продължавайки този процес, след
стъпка, която получаваме:

(3)

Ако поне едно от числата
не е равно на нула, то съответното равенство е противоречиво и системата (1) е несъстоятелна. Обратно, за всяка съвместна бройна система
са равни на нула. Номер не е нищо повече от ранга на матрицата на системата (1).

Преходът от система (1) към (3) се нарича право напред Метод на Гаус и намиране на неизвестните от (3) – наобратно .

Коментирайте : По-удобно е да се извършват трансформации не със самите уравнения, а с разширената матрица на системата (1).

Пример. Нека намерим решение на системата

Нека напишем разширената матрица на системата:

Нека добавим първия към редове 2,3,4, умножени съответно по (-2), (-3), (-2):

Нека разменим редове 2 и 3, след това в получената матрица добавете ред 2 към ред 4, умножено по :

Добавете към ред 4 ред 3, умножено по
:

Очевидно е, че
следователно системата е последователна. От получената система от уравнения

намираме решението чрез обратно заместване:

,
,
,
.

Пример 2.Намерете решение на системата:

Очевидно е, че системата е непоследователна, т.к
, А
.

Предимства на метода на Гаус :

По-малко трудоемък от метода на Cramer.

Недвусмислено установява съвместимостта на системата и ви позволява да намерите решение.

Дава възможност да се определи ранга на всякакви матрици.

2.4.1. Определение.Нека ни е дадена нехомогенна система от линейни уравнения

Помислете за хомогенна система

чиято матрица на коефициентите съвпада с матрицата на коефициентите на системата (2.4.1). След това се извиква система (2.4.2). редуцирана хомогенна система (2.4.1).

2.4.2. Теорема. Общото решение на нехомогенна система е равно на сумата от някакво конкретно решение на нехомогенната система и общото решение на редуцираната хомогенна система.

По този начин, за да се намери общо решение на нехомогенната система (2.4.1), е достатъчно:

1) Проучете го за съвместимост. В случай на съвместимост:

2) Намерете общото решение на редуцираната хомогенна система.

3) Намерете конкретно решение на първоначалното (нехомогенно) решение.

4) Чрез добавяне на намереното частно решение и общото решение на дадената, намерете общото решение на първоначалната система.

2.4.3. Упражнение.Изследвайте системата за съвместимост и в случай на съвместимост намерете нейното общо решение под формата на сбора от частното и общото дадено.

Решение. а) За да решим проблема, прилагаме горната схема:

1) Ние проверяваме системата за съвместимост (по метода на гранични второстепенни): Рангът на главната матрица е 3 (вижте решението на упражнение 2.2.5, а), а ненулевият вторичен от максимален ред е съставен от елементи от 1-ви, 2-ри, 4-ти ред и 1-ва, 3-та, 4-та колона. За да намерим ранга на разширената матрица, ние я ограждаме с 3-ти ред и 6-та колона на разширената матрица: =0. означава, rg А =rg=3 и системата е последователна. По-специално, тя е еквивалентна на системата

2) Нека намерим общо решение X 0 редуцирана хомогенна система

х 0 ={(-2а - b ; а ; b ; b ; b ) | а , b Î Р}

(виж решението на упражнение 2.2.5, а)).

3) Нека намерим всяко конкретно решение x h на първоначалната система . За да направите това, в системата (2.4.3), еквивалентна на оригиналната, свободните неизвестни х 2 и х Приемаме, че 5 е равно на например нула (това са най-удобните данни):

и решете получената система: х 1 =- , х 3 =- , х 4 =-5. Така (- ; 0; - ; -5; 0) ¾ е конкретно решение на системата.

4) Намерете общото решение X n на първоначалната система :

X n={x h }+х 0 ={(- ; 0; - ; -5; 0)} + {(-2а - b ; а ; b ; b ; b )}=

={(- -2а - b ; а ; - + b ; -5+b ; b )}.

Коментирайте. Сравнете отговора, който сте получили с втория отговор в пример 1.2.1 c). За получаване на отговора в първата форма за 1.2.1 c) се вземат основните неизвестни х 1 , х 3 , х 5 (минорът, за който също не е равен на нула), и като свободен ¾ х 2 и х 4 .

§3. Някои приложения.

3.1. По въпроса за матричните уравнения.Напомняме ви, че матрично уравнение над полето Е е уравнение, в което неизвестното е матрица над полето Е .

Най-простите матрични уравнения са уравнения от вида

БРАВИЛА=б , XA =б (2.5.1)

Където А , б ¾ дадена (известна) матрица върху поле Е , А х ¾ такива матрици, при заместването на които уравненията (2.5.1) се превръщат в истински матрични равенства. По-специално, матричният метод на определени системи се свежда до решаване на матрично уравнение.

В случай, когато матриците А в уравнения (2.5.1) са неизродени, съответно имат решения х =А Б И х =Б.А. .

В случай, че поне една от матриците от лявата страна на уравненията (2.5.1) е сингулярна, този метод вече не е подходящ, тъй като съответната обратна матрица А не съществува. В този случай намирането на решения на уравнения (2.5.1) се свежда до решаване на системи.

Но първо, нека въведем някои понятия.

Нека наречем множеството от всички решения на системата общо решение . Нека наречем отделно взето решение на неопределена система частно решение .

3.1.1. Пример.Реши матрично уравнениенад полето Р.

а) х = ; б) х = ; V) х = .

Решение. а) Тъй като =0, тогава формулата х =А Б не е подходящ за решаване на това уравнение. Ако в работата XA =б матрица А има 2 реда, след това матрицата х има 2 колони. Брой линии х трябва да съответства на броя на редовете б . Ето защо х има 2 реда. По този начин, х ¾ някаква квадратна матрица от втори ред: х = . Да заместим х в оригиналното уравнение:

Умножавайки матриците от лявата страна на (2.5.2), стигаме до равенството

Две матрици са равни тогава и само ако имат еднакви размери и съответните им елементи са равни. Следователно (2.5.3) е еквивалентна на системата

Тази система е еквивалентна на системата

Решавайки го, например, използвайки метода на Гаус, стигаме до набор от решения (5-2 b , b , -2д , д ), Където b , д работят независимо един от друг Р. По този начин, х = .

б) Подобно на а) имаме х = и.

Тази система е непоследователна (проверете я!). Следователно това матрично уравнение няма решения.

в) Нека означим това уравнение с БРАВИЛА =б . защото А има 3 колони и б има 2 колони, тогава х ¾ някаква матрица с размерност 3´2: х = . Следователно имаме следната верига от еквивалентности:

Решаваме последната система, използвайки метода на Гаус (пропускаме коментарите)

Така стигаме до системата

чието решение е (11+8 z , 14+10z , z , -49+8w , -58+10w ,w ) Където z , w работят независимо един от друг Р.

Отговор: а) х = , b , д Î Р.

б) Няма решения.

V) х = z , w Î Р.

3.2. По въпроса за променливостта на матриците. IN общ случайпроизведението на матриците е некомутативно, т.е. ако А И б такова, че AB И Б.А. са определени, тогава, най-общо казано, AB ¹ Б.А. . Но пример за идентична матрица д показва, че комутативността също е възможна А.Е. =Е.А. за всяка матрица А , ако само А.Е. И Е.А. бяха определени.