Поддържането на вашата поверителност е важно за нас. Поради тази причина разработихме Политика за поверителност, която описва как използваме и съхраняваме вашата информация. Моля, прегледайте нашите практики за поверителност и ни уведомете, ако имате въпроси.

Събиране и използване на лична информация

Личната информация се отнася до данни, които могат да бъдат използвани за идентифициране или контакт с конкретно лице.

Може да бъдете помолени да предоставите вашата лична информация по всяко време, когато се свържете с нас.

По-долу са дадени някои примери за видовете лична информация, която можем да събираме и как можем да използваме тази информация.

Каква лична информация събираме:

• Когато подадете заявка на сайта, ние може да съберем различна информация, включително вашето име, телефонен номер, адрес електронна пощаи т.н.

Как използваме вашата лична информация:

• Събрани от нас лична информацияни позволява да се свързваме с вас и да ви информираме за уникални оферти, промоции и други събития и предстоящи събития.
• От време на време може да използваме вашата лична информация, за да изпращаме важни известия и съобщения.
• Може също така да използваме лична информация за вътрешни цели като одит, анализ на данни и различни изследванияза да подобрим услугите, които предоставяме и да ви предоставим препоръки относно нашите услуги.
• Ако участвате в теглене на награди, конкурс или подобна промоция, ние може да използваме предоставената от вас информация за администриране на такива програми.

Разкриване на информация на трети лица

Ние не разкриваме информацията, получена от вас, на трети страни.

Изключения:

• При необходимост - в съответствие със закона, съдебна процедура, в съдебно производство и/или въз основа на публични искания или искания от държавни органи на територията на Руската федерация - да разкриете вашата лична информация. Може също така да разкрием информация за вас, ако преценим, че такова разкриване е необходимо или подходящо за целите на сигурността, правоприлагането или други обществено значими цели.
• В случай на реорганизация, сливане или продажба, можем да прехвърлим личната информация, която събираме, на съответната трета страна приемник.

Защита на личната информация

Ние вземаме предпазни мерки – включително административни, технически и физически – за да защитим вашата лична информация от загуба, кражба и злоупотреба, както и неоторизиран достъп, разкриване, промяна и унищожаване.

Зачитане на вашата поверителност на фирмено ниво

За да гарантираме, че вашата лична информация е защитена, ние съобщаваме стандартите за поверителност и сигурност на нашите служители и стриктно прилагаме практиките за поверителност.

Където х* - едно от решенията разнородна система(2) (например (4)), (E−A+A)образува ядрото (нулево пространство) на матрицата А.

Нека направим скелетно разлагане на матрицата (E−A+A):

E−A + A=Q·S

Където Q n×n−r- рангова матрица (Q)=n−r, С n−r×n-рангова матрица (S)=n−r.

Тогава (13) може да се запише в следния вид:

x=x*+Q·k, ∀ к ∈ Рн-р.

Където k=Sz.

Така, процедура за намиране на общо решениесистеми линейни уравненияизползване на псевдообратна матрица може да бъде представено в следната форма:

1. Изчисляване на псевдообратната матрица А + .
2. Изчисляваме конкретно решение на нехомогенната система от линейни уравнения (2): х*=А + b.
3. Проверяваме съвместимостта на системата. За да направите това, ние изчисляваме А.А. + b. Ако А.А. + b≠b, тогава системата е непоследователна. В противен случай продължаваме процедурата.
4. Нека да го разберем E−A+A.
5. Извършване на разлагане на скелета E−A + A=Q·S.
6. Изграждане на решение

x=x*+Q·k, ∀ к ∈ Рн-р.

Решаване на система от линейни уравнения онлайн

Онлайн калкулаторът ви позволява да намерите общото решение на система от линейни уравнения с подробни обяснения.

Система от m линейни уравнения с n неизвестнинаречена система на формата

Където a ijИ b i (аз=1,…,м; b=1,…,н) са някои известни числа и x 1 ,…,x n– неизвестен. При обозначаването на коеф a ijпърви индекс азобозначава номера на уравнението, а второто й– числото на неизвестното, на което стои този коефициент.

Коефициентите за неизвестните ще запишем под формата на матрица , което ще извикаме матрица на системата.

Числата от дясната страна на уравненията са b 1 ,…,b mса наречени безплатни членове.

Тоталност нчисла c 1 ,…,c nНаречен решениена дадена система, ако всяко уравнение на системата стане равенство след заместване на числа в него c 1 ,…,c nвместо съответните неизвестни x 1 ,…,x n.

Нашата задача ще бъде да намерим решения на системата. В този случай могат да възникнат три ситуации:

Нарича се система от линейни уравнения, която има поне едно решение става. В противен случай, т.е. ако системата няма решения, тогава тя се извиква неставни.

Нека разгледаме начини за намиране на решения на системата.

МАТРИЧЕН МЕТОД ЗА РЕШАВАНЕ НА СИСТЕМИ ОТ ЛИНЕЙНИ УРАВНЕНИЯ

Матриците позволяват накратко да се напише система от линейни уравнения. Нека е дадена система от 3 уравнения с три неизвестни:

Помислете за матрицата на системата и матрици колони от неизвестни и свободни термини

Да намерим работата

тези. в резултат на произведението получаваме лявата страна на уравненията на тази система. След това, използвайки дефиницията на матрично равенство, тази система може да бъде записана във формата

или по-кратко А∙X=B.

Ето и матриците АИ бса известни, а матрицата хнеизвестен. Необходимо е да се намери, защото... неговите елементи са решението на тази система. Това уравнение се нарича матрично уравнение.

Нека детерминантата на матрицата е различна от нула | А| ≠ 0. Тогава матрично уравнениесе решава по следния начин. Умножете двете страни на уравнението отляво по матрицата А-1, обратна на матрицата А: . Тъй като A -1 A = EИ д∙X = X, тогава получаваме решение на матричното уравнение във формата X = A -1 B .

Имайте предвид, че тъй като обратната матрица може да бъде намерена само за квадратни матрици, тогава матричният метод може да реши само тези системи, в които броят на уравненията съвпада с броя на неизвестните. Въпреки това, матричен запис на системата е възможен и в случай, че броят на уравненията не е равен на броя на неизвестните, тогава матрицата Аняма да бъде квадрат и следователно е невъзможно да се намери решение на системата във формата X = A -1 B.

Примери.Решаване на системи от уравнения.

ПРАВИЛОТО НА КРЕЙМЪР

Да разгледаме система от 3 линейни уравнения с три неизвестни:

Детерминант от трети ред, съответстващ на системната матрица, т.е. съставен от коефициенти за неизвестни,

Наречен детерминанта на системата.

Нека съставим още три детерминанти, както следва: заместваме последователно 1, 2 и 3 колони в детерминанта D с колона от свободни членове

Тогава можем да докажем следния резултат.

Теорема (правило на Крамер).Ако детерминантата на системата Δ ≠ 0, тогава разглежданата система има едно и само едно решение и

Доказателство. И така, нека разгледаме система от 3 уравнения с три неизвестни. Нека умножим първото уравнение на системата по алгебричното допълнение А 11елемент а 11, 2-ро уравнение – на А 21и 3-то – на А 31:

Нека добавим тези уравнения:

Нека разгледаме всяка от скобите и дясната страна на това уравнение. По теоремата за разлагането на детерминантата в елементи от 1-ва колона

По същия начин може да се покаже, че и .

И накрая, това е лесно да се забележи

Така получаваме равенството: .

Следователно, .

Равенствата и се извеждат аналогично, от което следва твърдението на теоремата.

По този начин отбелязваме, че ако детерминантата на системата Δ ≠ 0, тогава системата има уникално решение и обратно. Ако детерминантата на системата равно на нула, тогава системата или има безкраен брой решения, или няма решения, т.е. несъвместими.

Примери.Решете система от уравнения

МЕТОД НА ГАУС

Разгледаните по-горе методи могат да се използват за решаване само на онези системи, в които броят на уравненията съвпада с броя на неизвестните и детерминантата на системата трябва да е различна от нула. Методът на Гаус е по-универсален и подходящ за системи с произволен брой уравнения. Състои се в последователно елиминиране на неизвестни от уравненията на системата.

Разгледайте отново системата от три уравненияс три неизвестни:

.

Първото уравнение ще оставим непроменено, а от 2-ро и 3-то ще изключим членовете, съдържащи х 1. За да направите това, разделете второто уравнение на А 21 и умножете по – А 11 и след това го добавете към първото уравнение. По същия начин разделяме третото уравнение на А 31 и умножете по – А 11 и след това го съберете с първия. В резултат на това оригиналната система ще приеме формата:

Сега от последното уравнение елиминираме члена, съдържащ х 2. За да направите това, разделете третото уравнение на, умножете по и добавете с второто. Тогава ще имаме система от уравнения:

От тук, от последното уравнение е лесно да се намери х 3, след това от 2-ро уравнение х 2и накрая, от 1-ви - х 1.

Когато се използва методът на Гаус, уравненията могат да се разменят, ако е необходимо.

Често, вместо да напишат нова система от уравнения, те се ограничават до написването на разширената матрица на системата:

и след това го приведете в триъгълна или диагонална форма с помощта на елементарни трансформации.

ДА СЕ елементарни трансформации матриците включват следните трансформации:

1. пренареждане на редове или колони;
2. умножаване на низ по число, различно от нула;
3. добавяне на други редове към един ред.

Примери:Решаване на системи от уравнения по метода на Гаус.

Така системата има безкраен брой решения.

• системи млинейни уравнения с ннеизвестен.
  Решаване на система от линейни уравнения- това е такъв набор от числа ( x 1, x 2, …, x n), когато се замести във всяко от уравненията на системата, се получава правилното равенство.
  Където a ij , i = 1, …, m; j = 1, …, n— системни коефициенти;
  b i , i = 1, …, m- безплатни членове;
  x j , j = 1, …, n- неизвестен.
  Горната система може да бъде написана в матрична форма: A X = B,
  
  
  
  
  Където ( А|б) е основната матрица на системата;
  А— разширена системна матрица;
  х— колона неизвестни;
  б— колона с безплатни членове.
  Ако матрицата бне е нулева матрица ∅, тогава тази система от линейни уравнения се нарича нехомогенна.
  Ако матрицата б= ∅, тогава тази система от линейни уравнения се нарича хомогенна. Една хомогенна система винаги има нулево (тривиално) решение: x 1 = x 2 = …, x n = 0.
  Съвместна система от линейни уравненияе система от линейни уравнения, която има решение.
  Несъгласувана система от линейни уравненияе неразрешима система от линейни уравнения.
  Определена система от линейни уравненияе система от линейни уравнения, която има уникално решение.
  Неопределена система от линейни уравненияе система от линейни уравнения с безкраен брой решения.
• Системи от n линейни уравнения с n неизвестни
  Ако броят на неизвестните е равен на броя на уравненията, тогава матрицата е квадратна. Детерминантата на матрицата се нарича основна детерминанта на система от линейни уравнения и се обозначава със символа Δ.
  Метод на Крамерза решаване на системи нлинейни уравнения с ннеизвестен.
  Правилото на Крамър.
  Ако основният детерминант на система от линейни уравнения не е равен на нула, тогава системата е последователна и дефинирана и единственото решение се изчислява с помощта на формулите на Крамер:
  където Δ i са детерминанти, получени от основната детерминанта на системата Δ чрез заместване азта колона към колоната на безплатните членове. .
• Системи от m линейни уравнения с n неизвестни
  Теорема на Кронекер–Капели.
  
  
  За да бъде дадена система от линейни уравнения последователна, е необходимо и достатъчно рангът на матрицата на системата да бъде равен на ранга на разширената матрица на системата, ранг(Α) = ранг(Α|B).
  Ако ранг(Α) ≠ ранг(Α|B), тогава системата очевидно няма решения.
  Ако ранг(Α) = ранг(Α|B), тогава са възможни два случая:
  1) ранг (Α) = n(брой неизвестни) - решението е уникално и може да се получи с помощта на формулите на Крамер;
  2) ранг (Α)< n - има безкрайно много решения.
• Метод на Гаусза решаване на системи от линейни уравнения
  
  
  Нека създадем разширена матрица ( А|б) на дадена система от коефициентите на неизвестните и десните части.
  Методът на Гаус или методът за елиминиране на неизвестни се състои в намаляване на разширената матрица ( А|б), използвайки елементарни трансформации над неговите редове до диагонална форма (към горната триъгълна форма). Връщайки се към системата от уравнения, всички неизвестни са определени.
  Елементарните трансформации над низове включват следното:
  1) разменете два реда;
  2) умножаване на низ с число, различно от 0;
  3) добавяне на друг низ към низ, умножен по произволно число;
  4) изхвърляне на нулева линия.
  Разширена матрица, приведена до диагонална форма, съответства на линейна система, еквивалентна на дадената, чието решение не създава затруднения. .
• Система от еднородни линейни уравнения.
  Хомогенната система има формата:
  
  то съответства на матричното уравнение A X = 0.
  1) Хомогенната система винаги е последователна, тъй като r(A) = r(A|B), винаги има нулево решение (0, 0, …, 0).
  2) За да има хомогенна система ненулево решение е необходимо и достатъчно, че r = r(A)< n , което е еквивалентно на Δ = 0.
  3) Ако r< n , тогава очевидно Δ = 0, тогава възникват свободни неизвестни c 1 , c 2 , …, c n-r, системата има нетривиални решения и има безкрайно много от тях.
  4) Общо решение хпри r< n може да се запише в матрична форма, както следва:
  X = c 1 X 1 + c 2 X 2 + … + c n-r X n-r,
  къде са решенията X 1, X 2, …, X n-rформират фундаментална система от решения.
  5) Фундаменталната система от решения може да се получи от общото решение на хомогенна система:
  
  ,
  ако последователно зададем стойностите на параметъра, равни на (1, 0, …, 0), (0, 1, …, 0), …, (0, 0, …, 1).
  Разширяване на общото решение по отношение на фундаменталната система от решенияе запис на общото решение във формуляра линейна комбинациярешения, принадлежащи към фундаменталната система.
  Теорема. За да има система от линейни хомогенни уравнения ненулево решение, е необходимо и достатъчно Δ ≠ 0.
  Така че, ако детерминантата Δ ≠ 0, тогава системата има уникално решение.
  Ако Δ ≠ 0, тогава системата от линейни еднородни уравнения има безкраен брой решения.
  Теорема. За да има хомогенна система ненулево решение е необходимо и достатъчно, че r(A)< n .
  Доказателство:
  1) rне може да има повече н(рангът на матрицата не надвишава броя на колоните или редовете);
  2) r< n , защото Ако r = n, тогава главният детерминант на системата Δ ≠ 0 и според формулите на Крамер има единствено тривиално решение x 1 = x 2 = … = x n = 0, което противоречи на условието. означава, r(A)< n .
  Последица. За хомогенна система нлинейни уравнения с ннеизвестни имаше ненулево решение, необходимо и достатъчно е Δ = 0.

Решение на линейни системи алгебрични уравненияе една от основните задачи линейна алгебра. Този проблем има важно приложно значение при решаването на научни и технически проблеми, освен това е спомагателен при изпълнението на много алгоритми в изчислителната математика, математическата физика и обработката на резултатите от експериментални изследвания.

Система от линейни алгебрични уравнениясе нарича система от уравнения от вида: (1)

Където – неизвестен; - безплатни членове.

Решаване на система от уравнения(1) извикайте всеки набор от числа, които, когато са поставени в система (1) на мястото на неизвестните преобразува всички уравнения на системата в правилни числени равенства.

Системата от уравнения се нарича става, ако има поне едно решение, и неставни, ако няма решения.

Едновременната система от уравнения се нарича определени, ако има едно уникално решение и несигурен, ако има поне две различни решения.

Двете системи уравнения се наричат еквивалентенили еквивалентен, ако имат еднакъв набор от решения.

Система (1) се нарича хомогенен, ако безплатните условия са нула:

Хомогенната система винаги е последователна - тя има решение (може би не единственото).

Ако в системата (1), тогава имаме системата нлинейни уравнения с ннеизвестно: къде – неизвестен; – коефициенти за неизвестни, - безплатни членове.

Линейна системаможе да има едно решение, безкрайно много решения или изобщо да няма решение.

Да разгледаме система от две линейни уравнения с две неизвестни

Ако тогава системата има уникално решение;

ако тогава системата няма решения;

ако тогава системата има безкраен брой решения.

Пример.Системата има уникално решение за двойка числа

Системата има безкраен брой решения. Например решенията на дадена система са двойки числа и т.н.

Системата няма решения, тъй като разликата на две числа не може да приеме две различни стойности.

Определение. Детерминанта от втори реднаречен израз на формата:

Детерминантата е обозначена със символа D.

Числа А 11, …, А 22 се наричат ​​елементи на определителя.

Диагонал, образуван от елементи А 11 ; А 22 са наречени основендиагонал, образуван от елементи А 12 ; А 21 − страна

По този начин детерминантът от втори ред е равен на разликата между продуктите на елементите на главния и второстепенния диагонал.

Имайте предвид, че отговорът е число.

Пример.Нека изчислим детерминантите:

Да разгледаме система от две линейни уравнения с две неизвестни: където х 1, х 2 – неизвестен; А 11 , …, А 22 – коефициенти за неизвестни, b 1 ,б 2 – безплатни членове.

Ако система от две уравнения с две неизвестни има уникално решение, тогава то може да бъде намерено с помощта на детерминанти от втори ред.

Определение.Извиква се детерминанта, съставена от коефициенти за неизвестни системен фактор: D= .

Колоните на детерминантата D съдържат съответно коефициентите за х 1 и в , Х 2. Нека представим две допълнителен квалификатор,които се получават от детерминантата на системата чрез замяна на една от колоните с колона от свободни членове: D 1 = D 2 = .

Теорема 14(Крамър, за случая n=2).Ако детерминантата D на системата е различна от нула (D¹0), тогава системата има уникално решение, което се намира с помощта на формулите:

Тези формули се наричат Формули на Крамер.

Пример.Нека решим системата с помощта на правилото на Крамър:

Решение.Нека намерим числата

Отговор.

Определение. Детерминанта от трети реднаречен израз на формата:

Елементи А 11; А 22 ; А 33 – образуват главния диагонал.

Числа А 13; А 22 ; А 31 – образуват страничен диагонал.

Записът с плюс включва: произведение на елементи по главния диагонал, останалите два члена са произведение на елементи, разположени във върховете на триъгълници с основи, успоредни на главния диагонал. Отрицателните членове се формират по същата схема по отношение на вторичния диагонал.

Пример.Нека изчислим детерминантите:

Да разгледаме система от три линейни уравнения с три неизвестни: където – неизвестен; – коефициенти за неизвестни, - безплатни членове.

В случай на уникално решение, система от 3 линейни уравнения с три неизвестни може да бъде решена с помощта на детерминанти от 3-ти ред.

Детерминантата на система D има формата:

Нека въведем три допълнителни детерминанти:

Теорема 15(Крамър, за случая n=3).Ако детерминантата D на системата е различна от нула, тогава системата има уникално решение, което се намира с помощта на формулите на Крамер:

Пример.Нека решим системата с помощта на правилото на Крамър.

Решение.Нека намерим числата

Нека използваме формулите на Cramer и намерим решението на оригиналната система:

Отговор.

Обърнете внимание, че теоремата на Крамър е приложима, когато броят на уравненията е равен на броя на неизвестните и когато детерминантата на системата D е различна от нула.

Ако детерминантата на системата е равна на нула, то в този случай системата може или да няма решения, или да има безкраен брой решения. Тези случаи се изучават отделно.

Нека отбележим само един случай. Ако детерминантата на системата е равна на нула (D=0) и поне една от допълнителните детерминанти е различна от нула, то системата няма решения, т.е. тя е непоследователна.

Теоремата на Крамър може да се обобщи за системата нлинейни уравнения с ннеизвестно: къде – неизвестен; – коефициенти за неизвестни, - безплатни членове.

Ако детерминантата на система от линейни уравнения с неизвестни, тогава единственото решение на системата се намира с помощта на формулите на Крамер:

Допълнителна детерминанта се получава от детерминанта D, ако съдържа колона с коефициенти за неизвестното x iзамени с колона от безплатни членове.

Обърнете внимание, че детерминантите D, D 1 , … , D нима ред н.

Метод на Гаус за решаване на системи от линейни уравнения

Един от най-разпространените методи за решаване на системи от линейни алгебрични уравнения е методът на последователно елиминиране на неизвестни −Метод на Гаус. Този метод е обобщение на метода на заместване и се състои в последователно елиминиране на неизвестни, докато остане едно уравнение с едно неизвестно.

Методът се основава на някои трансформации на система от линейни уравнения, което води до система, еквивалентна на оригиналната система. Алгоритъмът на метода се състои от два етапа.

Първият етап се нарича право напредМетод на Гаус. Състои се от последователно елиминиране на неизвестни от уравненията. За да направите това, в първата стъпка разделете първото уравнение на системата на (в противен случай пренаредете уравненията на системата). Те обозначават коефициентите на полученото редуцирано уравнение, умножават го по коефициента и го изваждат от второто уравнение на системата, като по този начин го елиминират от второто уравнение (нулиране на коефициента).

Направете същото с останалите уравнения и получете нова система, във всички уравнения на която, започвайки от второто, коефициентите за , съдържат само нули. Очевидно получената нова система ще бъде еквивалентна на оригиналната система.

Ако новите коефициенти за не всички са равни на нула, те могат да бъдат изключени по същия начин от третото и следващите уравнения. Продължавайки тази операция за следните неизвестни, системата се довежда до така наречената триъгълна форма:

Тук символите показват числовите коефициенти и свободните членове, които са се променили в резултат на трансформации.

От последното уравнение на системата единствения начинопредели и след това, чрез последователно заместване, определи останалите неизвестни.

Коментирайте.Понякога в резултат на трансформации в някое от уравненията всички коефициенти и дясната страна се превръщат в нула, т.е. уравнението се превръща в идентичността 0=0. Чрез елиминирането на такова уравнение от системата броят на уравненията се намалява в сравнение с броя на неизвестните. Такава система не може да има едно единствено решение.

Ако в процеса на прилагане на метода на Гаус всяко уравнение се превърне в равенство от вида 0 = 1 (коефициентите за неизвестните се превръщат в 0, а дясната страна приема ненулева стойност), тогава оригиналната система няма решение, тъй като такова равенство е невярно за всякакви неизвестни стойности.

Да разгледаме система от три линейни уравнения с три неизвестни:

Където – неизвестен; – коефициенти за неизвестни, - безплатни членове. , замествайки намереното

Решение.Прилагайки метода на Гаус към тази система, получаваме

Къде последното равенство е неуспешно за всякакви стойности на неизвестните, следователно системата няма решение.

Отговор.Системата няма решения.

Обърнете внимание, че разгледаният по-рано метод на Cramer може да се използва за решаване само на онези системи, в които броят на уравненията съвпада с броя на неизвестните и детерминантата на системата трябва да бъде различна от нула. Методът на Гаус е по-универсален и подходящ за системи с произволен брой уравнения.

Подобни статии