Тази статия описва основите линейна алгебра: линейно пространство, неговите свойства, понятие за базис, размери на пространството, линейна обвивка, връзка линейни пространстваи ранг на матриците.

Линейно пространство

Няколко ЛНаречен линейно пространство,ако за всички негови елементи операциите за събиране на два елемента и умножаване на елемент по число удовлетворяват азгрупа Аксиоми на Вейл. Елементите на линейното пространство се наричат вектори. Това пълна дефиниция; по-накратко, можем да кажем, че линейното пространство е набор от елементи, за които са дефинирани операциите за добавяне на два елемента и умножаване на елемент по число.

Аксиоми на Вейл.

Херман Вайлпредположи, че в геометрията имаме два типа обекти ( вектори и точки), свойствата на които са описани от следните аксиоми, които са в основата на раздела линейна алгебра. Удобно е аксиомите да се разделят на 3 групи.

I група

1. за всякакви вектори x и y е изпълнено равенството x+y=y+x;
2. за всякакви вектори x, y и z е изпълнено равенството x+(y+z)=(x+y)+z;
3. има вектор o такъв, че за всеки вектор x е в сила равенството x+o=x;
4. за всеки вектор хима вектор (-x), такъв че x+(-x)=o;
5. за всеки вектор хважи равенството 1x=x;
6. за всякакви вектори хИ прии всяко число λ равенството λ( х+при)=λ х+λ при;
7. за всеки вектор хи всякакви числа λ и μ равенството е в сила (λ+μ) х=λ х+μ х;
8. за всеки вектор хи произволни числа λ и μ равенството λ(μ х)=(λμ) х;

II група

Група I дефинира понятието линейна комбинация от вектори, линейна зависимости линейна независимост.Това ни позволява да формулираме още две аксиоми:

1. има n линейно независими вектори;
2. всякакви (n+1) вектора са линейно зависими.

За планиметрия n=2, за стереометрия n=3.

III група

Тази група предполага, че има операция за скаларно умножение, която присвоява двойка вектори хИ приномер ( x,y). при което:

1. за всякакви вектори хИ приважи равенството ( x,y)=(y, x);
2. за всякакви вектори х , приИ zважи равенството ( x+y,z)=(x,z)+(y,z);
3. за всякакви вектори хИ прии всяко число λ равенството (λ x,y)=λ( x,y);
4. за всеки вектор x неравенството е в сила ( х, х)≥0 и ( х, х)=0 тогава и само ако х=0.

Свойства на линейното пространство

Повечето свойства на линейното пространство се основават на аксиомите на Weyl:

1. вектор О, чието съществуване е гарантирано от аксиома 3, се определя по уникален начин;
2. вектор (- х), чието съществуване е гарантирано от аксиома 4, се определя по уникален начин;
3. За всеки два вектора АИ bпринадлежност на пространството Л, съществува единичен вектор х, също принадлежащ на пространството Л, което е решение на уравнението а+x=bи се нарича векторна разлика б-а.

Определение.Подмножество л'линейно пространство ЛНаречен линейно подпространствопространство Л, ако самото то е линейно пространство, в което сумата от вектори и произведението на вектор и число са дефинирани по същия начин, както в Л.

Определение. Линейна обвивка Л(x1, x2, x3, …, xk) вектори x1, x2, x3,И xkсе нарича набор от всички линейни комбинации от тези вектори. За линейната обвивка можем да кажем това

-линейната обвивка е линейно подпространство;

– линейната обвивка е минималното линейно подпространство, съдържащо векторите x1, x2, x3,И xk.

Определение.Линейно пространство се нарича n-мерно, ако удовлетворява Група II от системата на аксиомите на Weyl. Числото n се нарича измерениелинейно пространство и пишете dimL=n.

Основа– всяка подредена система на нлинейно независими вектори на пространството. Значението на основата е, че векторите, които изграждат основата, могат да се използват за описание на всеки вектор в пространството.

Теорема.Всеки n линейно независими вектора в пространството L образува базис.

Изоморфизъм.

Определение. Линейни пространства ЛИ л'се наричат ​​изоморфни, ако може да се установи такова едно-към-едно съответствие между техните елементи x↔x’, Какво:

1. Ако x↔x’, y↔y’, Че x+y↔x’+y’;
2. Ако x↔x’, тогава λ x↔λ Х'.

Самата тази кореспонденция се нарича изоморфизъм. Изоморфизмът ни позволява да направим следните твърдения:

• ако две пространства са изоморфни, тогава размерите им са равни;
• всеки две линейни пространства над едно и също поле и с една и съща размерност са изоморфни.

вектор(или линеен) пространство- математическа структура, която представлява набор от елементи, наречени вектори, за които са дефинирани операциите събиране помежду си и умножение с число - скалар. Тези операции са предмет на осем аксиоми. Скаларите могат да бъдат елементи от реалното, комплексното или всяко друго числово поле. Специален случай на такова пространство е обикновеното триизмерно евклидово пространство, чиито вектори се използват например за представяне на физически сили. Трябва да се отбележи, че векторът, като елемент от векторното пространство, не е задължително да бъде определен под формата на насочен сегмент. Обобщаването на концепцията за „вектор“ към елемент от векторно пространство от всякакво естество не само не предизвиква объркване на термините, но също така прави възможно разбирането или дори предсказването на редица резултати, които са валидни за пространства с произволен характер.

Векторните пространства са предмет на линейната алгебра. Една от основните характеристики на векторното пространство е неговата размерност. Измерението представлява максималния брой линейно независими елементи на пространството, тоест, прибягвайки до груба геометрична интерпретация, броят на посоките, неизразими една през друга само чрез операциите събиране и умножение със скала. Векторното пространство може да бъде надарено с допълнителни структури, като например норма или вътрешен продукт. Такива пространства се появяват естествено в математическия анализ, предимно под формата на безкрайномерни функционални пространства (Английски), където функциите действат като вектори. Много проблеми с анализа изискват да се установи дали последователност от вектори се сближава към този вектор. Разглеждането на такива въпроси е възможно във векторни пространства с допълнителна структура, в повечето случаи подходяща топология, която ни позволява да дефинираме концепциите за близост и непрекъснатост. Такива топологични векторни пространства, по-специално пространствата на Банах и Хилберт, позволяват по-задълбочено изследване.

Първите произведения, които предвиждат въвеждането на концепцията за векторно пространство, датират от 17 век. Тогава започва да се развива аналитичната геометрия, учението за матриците, системите от линейни уравнения и евклидовите вектори.

Определение

Линеенили векторно пространство V (F) (\displaystyle V\left(F\right))над полето F (\displaystyle F)- това е подредена четворка (V , F , + , ⋅) (\displaystyle (V,F,+,\cdot)), Където

• V (\displaystyle V)- непразно множество от елементи с произволен характер, които се наричат вектори;
• F (\displaystyle F)- поле, чиито елементи се наричат скалари;
• Дефинирана операция допълнениевектори V × V → V (\displaystyle V\times V\до V), съответстващи на всяка двойка елементи x , y (\displaystyle \mathbf (x) ,\mathbf (y) )комплекти V (\displaystyle V) V (\displaystyle V)ги извика количествои определени x + y (\displaystyle \mathbf (x) +\mathbf (y) );
• Дефинирана операция умножаване на вектори по скалари F × V → V (\displaystyle F\times V\до V), съответстващи на всеки елемент λ (\displaystyle \lambda)полета F (\displaystyle F)и всеки елемент x (\displaystyle \mathbf (x) )комплекти V (\displaystyle V)единственият елемент от комплекта V (\displaystyle V), означено λ ⋅ x (\displaystyle \lambda \cdot \mathbf (x) )или λ x (\displaystyle \lambda \mathbf (x) );

Векторни пространства, дефинирани на един и същи набор от елементи, но върху различни полета, ще бъдат различни векторни пространства (например набор от двойки реални числа R 2 (\displaystyle \mathbb (R) ^(2))може да бъде двумерно векторно пространство над полето на реалните числа или едномерно - над полето на комплексните числа).

Най-простите свойства

1. Векторното пространство е абелева група при добавяне.
2. Неутрален елемент 0 ∈ V (\displaystyle \mathbf (0) \in V)
3. 0 ⋅ x = 0 (\displaystyle 0\cdot \mathbf (x) =\mathbf (0) )за всеки .
4. За всеки x ∈ V (\displaystyle \mathbf (x) \in V)противоположен елемент − x ∈ V (\displaystyle -\mathbf (x) \in V)е единственото нещо, което следва от свойствата на групата.
5. 1 ⋅ x = x (\displaystyle 1\cdot \mathbf (x) =\mathbf (x) )за всеки x ∈ V (\displaystyle \mathbf (x) \in V).
6. (− α) ⋅ x = α ⋅ (− x) = − (α x) (\displaystyle (-\alpha)\cdot \mathbf (x) =\alpha \cdot (-\mathbf (x))=-( \alpha \mathbf (x)))за всякакви и x ∈ V (\displaystyle \mathbf (x) \in V).
7. α ⋅ 0 = 0 (\displaystyle \alpha \cdot \mathbf (0) =\mathbf (0) )за всеки α ∈ F (\displaystyle \alpha \in F).

Свързани определения и свойства

Подпространство

Алгебрична дефиниция: Линейно подпространствоили векторно подпространство- непразно подмножество K (\displaystyle K)линейно пространство V (\displaystyle V)такова, че K (\displaystyle K)само по себе си е линейно пространство по отношение на тези, дефинирани в V (\displaystyle V)операции събиране и умножение със скалар. Множеството от всички подпространства обикновено се означава като L a t (V) (\displaystyle \mathrm (Lat) (V)). За да бъде едно подмножество подпространство е необходимо и достатъчно, че

Последните две твърдения са еквивалентни на следното:

За всички вектори x , y ∈ K (\displaystyle \mathbf (x) ,\mathbf (y) \in K)вектор α x + β y (\displaystyle \alpha \mathbf (x) +\beta \mathbf (y) )също принадлежеше K (\displaystyle K)за всякакви α , β ∈ F (\displaystyle \alpha ,\beta \in F).

По-специално, векторно пространство, състоящо се само от един нулев вектор, е подпространство на всяко пространство; всяко пространство е подпространство на себе си. Подпространствата, които не съвпадат с тези две, се наричат собственили нетривиален.

Свойства на подпространствата

Линейни комбинации

Крайна сума на формуляра

α 1 x 1 + α 2 x 2 + … + α n x n (\displaystyle \alpha _(1)\mathbf (x) _(1)+\alpha _(2)\mathbf (x) _(2)+\ ldots +\alpha _(n)\mathbf (x) _(n))

Линейната комбинация се нарича:

Основа. Измерение

Вектори x 1 , x 2 , … , x n (\displaystyle \mathbf (x) _(1),\mathbf (x) _(2),\ldots ,\mathbf (x) _(n))са наречени линейно зависими, ако има нетривиална линейна комбинация от тях, чиято стойност е равна на нула; това е

α 1 x 1 + α 2 x 2 + … + α n x n = 0 (\displaystyle \alpha _(1)\mathbf (x) _(1)+\alpha _(2)\mathbf (x) _(2) +\ldots +\alpha _(n)\mathbf (x) _(n)=\mathbf (0) )

при някои коефициенти α 1 , α 2 , … , α n ∈ F , (\displaystyle \alpha _(1),\alpha _(2),\ldots ,\alpha _(n)\in F,)и поне един от коефициентите α i (\displaystyle \alpha _(i))различен от нула.

В противен случай тези вектори се наричат линейно независими.

Тази дефиниция позволява следното обобщение: безкраен набор от вектори от V (\displaystyle V)Наречен линейно зависими, ако някои е линейно зависим финалподмножество от него и линейно независими, ако има нещо от това финалподмножеството е линейно независимо.

Свойства на основата:

x = α 1 x 1 + α 2 x 2 + … + α n x n (\displaystyle \mathbf (x) =\alpha _(1)\mathbf (x) _(1)+\alpha _(2)\mathbf ( x) _(2)+\ldots +\alpha _(n)\mathbf (x) _(n)).

Линейна обвивка

Линейна обвивкаподмножества X (\displaystyle X)линейно пространство V (\displaystyle V)- пресичане на всички подпространства V (\displaystyle V)съдържащи X (\displaystyle X).

Линейният участък е подпространство V (\displaystyle V).

Линейна обвивка също се нарича генерирано подпространство X (\displaystyle X). Също така се казва, че линейната обвивка V (X) (\displaystyle (\mathcal (V))(X))- пространство, опъната надняколко X (\displaystyle X).

1. Набор от полиноми П н (х) градуса не по-високи н.

2. Няколко н-членни последователности (с почленно събиране и умножение по скалар).

3 . Много функции ° С [ А , b ] непрекъснато на [ А, b] и с точково събиране и умножение със скалар.

4. Много функции, определени на [ А, b] и изчезване в някаква фиксирана вътрешна точка ° С: f (° С) = 0 и с поточкови операции на събиране и умножение по скалар.

5. Задайте R+, ако х ⊕ г  х  г, ⊙х х  .

§8. Дефиниция на подпространство

Нека комплектът Уе подмножество на линейното пространство V (У  V) и така

а)  х, гУ  х ⊕ гУ;

б)  хУ,    ⊙ хУ.

Операциите събиране и умножение тук са същите като в пространството V(те се наричат ​​пространствено индуцирани V).

Толкова много Унаречено подпространство на пространството V.

7  . Подпространство Усамо по себе си е пространство.

◀ За да го докаже, е достатъчно да се докаже съществуването на неутрален елемент и неговата противоположност. Равенства 0⊙ х=  и (–1)⊙ х = –хдокажете необходимото.

Подпространство, състоящо се само от неутрален елемент () и подпространство, съвпадащо със самото пространство V, се наричат ​​тривиални подпространства на пространството V.

§9. Линейна комбинация от вектори. Линеен обхват на векторна система

Нека векторите д 1 ,д 2 , …д н Vи  1,  2 , …  н .

вектор x =  1 д 1 +  2 д 2 + … +  н д н = наречен линеенкомбинация от вектори д 1 , д 2 , … , д нс коефициенти  1,  2 , …  н .

Ако всички коефициенти в линейна комбинация са равни на нула, тогава линейната комбинация Наречентривиален.

Набор от всички възможни линейни комбинации от вектори
наречен линеен корпустази система от вектори и се означава:

ℒ(д 1 , д 2 , …, д н) = ℒ
.

8  . ℒ(д 1 , д 2 , …, д н

◀ Коректността на операциите събиране и умножение със скалар следва от факта, че ℒ( д 1 , д 2 , …, д н) е набор от всички възможни линейни комбинации. Неутралният елемент е тривиална линейна комбинация. За елемент х=
обратното е елементът - х =
. Аксиомите, на които трябва да отговарят операциите, също са изпълнени. Така,ℒ( д 1 , д 2 , …, д н) е линейно пространство.

Всяко линейно пространство съдържа в, общ случай, безкраен набор от други линейни пространства (подпространства) - линейни обвивки

В бъдеще ще се опитаме да отговорим на следните въпроси:

Когато линейни черупки различни системивекторите се състоят от едни и същи вектори (т.е. съвпадат)?

2) Какъв е минималният брой вектори, които определят един и същ линеен участък?

3) Дали оригиналното пространство е линеен участък на някаква система от вектори?

§10. Пълни векторни системи

Ако в космоса Vима краен набор от вектори
какво от това,ℒ
 V, тогава системата от вектори
се нарича пълна система в V, а пространството се нарича крайномерно. Така системата от вектори д 1 , д 2 , …, д н Vнаречен пълен в Vсистема, т.е. Ако

хV   1 ,  2 , …  н такова, че x =  1 д 1 +  2 д 2 + … +  н д н .

Ако в космоса Vняма крайна пълна система (а пълна винаги съществува - например множеството от всички вектори на пространството V), след това интервала Vсе нарича безкрайномерен.

9  . Ако
пълен в Vсистема от вектори и г V, Че ( д 1 , д 2 , …, д н , г) също е цялостна система.

◀ В линейни комбинации коефициентът преди гприемете равно на 0.

Нека е система от вектори от векторно пространство Vнад полето П.

Определение 2:Линейна обвивка Лсистеми Ае множеството от всички линейни комбинации от вектори на системата А. Обозначаване L(A).

Може да се покаже, че за всеки две системи АИ б,

Алинейно изразено чрез бако и само ако . (1)

Аеквивалентен бтогава и само когато L(A)=L(B). (2)

Доказателството следва от предишното свойство

3 Линейният обхват на всяка система от вектори е подпространство на пространството V.

Доказателство

Вземете всеки два вектора и от L(A), имащи следните разширения във вектори от А: . Нека проверим осъществимостта на условия 1) и 2) на критерия:

Тъй като това е линейна комбинация от системни вектори А.

Тъй като това също е линейна комбинация от системни вектори А.

Нека сега разгледаме матрицата. Линеен обхват на матрични редове Асе нарича редово пространство на матрицата и се обозначава Lr(A). Линеен обхват на матрични колони Асе нарича колонно пространство и се обозначава Lc(A). Моля, имайте предвид, че когато пространството на редовете и колоните на матрицата Аса подпространства на различни аритметични пространства ПнИ следобедсъответно. Използвайки твърдение (2), можем да стигнем до следното заключение:

Теорема 3:Ако една матрица се получава от друга чрез верига елементарни трансформации, то пространствата на редовете на такива матрици съвпадат.

Сума и пресечна точка на подпространства

Позволявам ЛИ М- две подпространства на пространството Р.

Количество Л+Мсе нарича набор от вектори x+y , Където х ∈ЛИ г ∈М. Очевидно всяка линейна комбинация от вектори от L+Mпринадлежи L+M, следователно L+Mе подпространство на пространството Р(може да съвпада с пространството Р).

Чрез пресичане Л∩Мподпространства ЛИ Ме набор от вектори, които едновременно принадлежат на подпространства ЛИ М(може да се състои само от нулев вектор).

Теорема 6.1. Сума от измеренията на произволни подпространства ЛИ Мкрайномерно линейно пространство Рравно на размерността на сумата от тези подпространства и размерността на пресечната точка на тези подпространства:

dim L+dim M=dim(L+M)+dim(L∩M).

Доказателство. Нека обозначим F=L+MИ G=L∩M. Позволявам G g-дименсионално подпространство. Нека изберем основа в него. защото Ж⊂ЛИ Ж⊂М, следователно осн Жможе да се добави към основата Ли към основата М. Нека основата на подпространството Ли нека основата на подпространството М. Нека покажем, че векторите

(6.1) представляват основата F=L+M. За да могат векторите (6.1) да формират основата на пространството Ете трябва да бъдат линейно независими и всеки вектор на пространството Еможе да се представи чрез линейна комбинация от вектори (6.1).

Нека докажем линейна независимоствектори (6.1). Нека нулевият вектор на пространството Есе представя чрез линейна комбинация от вектори (6.1) с някои коефициенти:

Лявата страна на (6.3) е подпространственият вектор Л, а дясната страна е подпространственият вектор М. Следователно векторът

(6.4) принадлежи на подпространството G=L∩M. От друга страна, векторът v може да се представи чрез линейна комбинация от базисни вектори на подпространството Ж:

(6.5) От уравнения (6.4) и (6.5) имаме:

Но векторите са основата на подпространството М, следователно те са линейно независими и . Тогава (6.2) ще приеме формата:

Поради линейната независимост на основата на подпространството Лние имаме:

Тъй като всички коефициенти в уравнение (6.2) се оказаха нула, тогава векторите

линейно независими. Но всеки вектор z от Е(по дефиниция на сумата от подпространства) може да бъде представена чрез сумата x+y , Където х ∈ л,г ∈ М. На свой ред х се представя от линейна комбинация от вектори a г - линейна комбинация от вектори. Следователно векторите (6.10) създават подпространството Е. Открихме, че векторите (6.10) формират базис F=L+M.

Изучаване на подпространствени основи ЛИ Ми подпространствена основа F=L+M(6.10), имаме: dim L=g+l, dim M=g+m, dim (L+M)=g+l+m. Следователно:

dim L+dim M−dim(L∩M)=dim(L+M). ■

Директен сбор от подпространства

Определение 6.2. пространство Епредставлява пряката сума на подпространствата ЛИ М, ако всеки вектор х пространство Еможе да се представи само като сума x=y+z , Където г ∈L и z ∈М.

Посочена е директната сума Л⊕М. Казват, че ако F=L⊕М, Че Есе разлага на пряката сума на своите подпространства ЛИ М.

Теорема 6.2. За да н-измерително пространство Рбеше пряката сума на подпространствата ЛИ М, достатъчно е за пресечката ЛИ Мсъдържаше само нулевия елемент и размерността R беше равна на сумата от размерите на подпространствата ЛИ М.

Доказателство. Нека изберем някакъв базис в подпространството L и някакъв базис в подпространството M. Нека докажем това

(6.11) е основата на пространството Р. Съгласно условията на теоремата измерението на пространството Rnравна на сумата от подпространствата ЛИ М (n=l+m). Достатъчно е да се докаже линейната независимост на елементите (6.11). Нека нулевият вектор на пространството Рсе представя чрез линейна комбинация от вектори (6.11) с някои коефициенти:

(6.13) Тъй като лявата страна на (6.13) е вектор на подпространството Л, а дясната страна е подпространственият вектор МИ Л∩М=0 , Че

(6.14) Но векторите са основите на подпространствата ЛИ Мсъответно. Следователно те са линейно независими. Тогава

(6.15) Установено е, че (6.12) е валидно само при условие (6.15), което доказва линейната независимост на векторите (6.11). Следователно те формират основа в Р.

Нека x∈R. Нека го разширим според основата (6.11):

(6.16) От (6.16) имаме:

(6.18) От (6.17) и (6.18) следва, че всеки вектор от Рможе да се представи като сбор от вектори х 1 ∈ЛИ х 2 ∈М. Остава да се докаже, че това представяне е уникално. Нека в допълнение към представянето (6.17) има следното представяне:

(6.19) Като извадим (6.19) от (6.17), получаваме

(6.20) Тъй като , и Л∩М=0 , след това и . Следователно и. ■

Теорема 8.4 за размерността на сумата от подпространства. Ако и са подпространства на крайномерно линейно пространство, тогава размерността на сумата от подпространства е равна на сумата от техните измерения без размерността на тяхното пресичане ( Формула на Грасман):

(8.13)

Всъщност, нека е основата на пресечната точка. Нека го допълним с подреден набор от вектори до основата на подпространството и подреден набор от вектори до основата на подпространството. Такова добавяне е възможно от теорема 8.2. От тези три комплекта вектори, нека създадем подреден набор от вектори. Нека покажем, че тези вектори са генератори на пространството. Наистина, всеки вектор от това пространство е представен като линейна комбинация от вектори от подреден набор

Следователно, . Нека докажем, че генераторите са линейно независими и следователно са основата на пространството. Наистина, нека направим линейна комбинация от тези вектори и да я приравним към нулевия вектор: . Всички коефициенти на това разширение са нула: подпространства на векторно пространство с билинейна формае множеството от всички вектори, ортогонални на всеки вектор от . Това множество е векторно подпространство, което обикновено се означава с .

Позволявам е система от вектори от . Линейна обвивка векторни системие множеството от всички линейни комбинации от вектори на дадена система, т.е.

Свойства на линейна обвивка: Ако , то за и .

Линейната обвивка има свойството да бъде затворена по отношение на линейните операции (операциите събиране и умножение с число).

Подмножество на пространство, което има свойството да бъде затворено по отношение на операциите събиране и умножение с числа, се наричалинейно подпространство на пространството .

Линейната обвивка на система от вектори е линейно подпространство на пространството.

Системата от вектори от се нарича базис ,Ако

Всеки вектор може да бъде изразен като линейна комбинация от базисни вектори:

2. Системата от вектори е линейно независима.

Лема Векторни коефициенти на разширение според основата са еднозначно определени.

вектор , съставен от векторни коефициенти на разширение според основата се нарича координатен векторвектор в основата .

Обозначаване . Този запис подчертава, че координатите на вектора зависят от основата.

Линейни пространства

Дефиниции

Нека е дадено множество от произволни елементи. Нека за елементите на това множество са дефинирани две операции: събиране и умножение по всяко истински номер: , и набор затворенотносно тези операции: . Нека тези операции се подчиняват на аксиомите:

3. Има нулев вектор със свойството за ;

4. за всеки има обратен вектор със свойството ;

6. за , ;

7. за , ;

Тогава се извиква такъв набор линейно (векторно) пространство, неговите елементи се наричат вектори, и - за да се подчертае разликата им от числата от - последните се наричат скалари 1) . Извиква се пространство, състоящо се само от един нулев вектор тривиален .

Ако в аксиоми 6 - 8 допускаме умножение с комплексни скалари, тогава такова линейно пространство се нарича изчерпателен. За да опростим разсъжденията си, по-нататък ще разглеждаме само реални пространства.

Линейното пространство е група по отношение на операцията събиране и абелева група.

Уникалността на нулевия вектор и уникалността на вектора, обратен на вектора, се доказват лесно: , обикновено се обозначава.

Подмножество на линейно пространство, което само по себе си е линейно пространство (т.е. затворено при добавяне на вектори и умножение с произволен скалар), се нарича линейно подпространствопространство. Тривиални подпространстваЛинейно пространство се нарича себе си и пространството, състоящо се от един нулев вектор.

Пример.Пространството на подредените тройки от реални числа

операции, определени от равенствата:

Геометричната интерпретация е очевидна: вектор в пространството, „свързан“ с началото, може да бъде определен в координатите на неговия край. Фигурата също така показва типично подпространство на пространството: равнина, минаваща през началото. По-точно, елементите са вектори, които започват от началото и завършват в точки в равнината. Затвореността на такова множество по отношение на добавянето на вектори и тяхното разширяване 2) е очевидна.

Въз основа на тази геометрична интерпретация, вектор на произволно линейно пространство често се говори като точка в пространството. Понякога тази точка се нарича "края на вектора". Освен удобството на асоциативното възприемане, на тези думи не се придава никакво формално значение: понятието „край на вектор“ отсъства в аксиоматиката на линейното пространство.

Пример.Въз основа на същия пример можем да дадем различно тълкуване на векторното пространство (вградено, между другото, в самия произход на думата „вектор“ 3)) - то определя набор от „измествания“ на точки в пространството. Тези смени са или паралелни трансферипроизволна пространствена фигура - избират се успоредно на равнината.

Най-общо казано, с такива интерпретации на концепцията за вектор всичко не е толкова просто. Опитите да се апелира към неговия физически смисъл – като предмет, който има размерИ посока- предизвика справедлив укор от строгите математици. Определението за вектор като елемент от векторното пространство много напомня на епизода с sepulchamiот известния научнофантастичен разказ на Станислав Лем (вижте ☞ТУК). Нека не се привързваме към формализма, а да изследваме този размит обект в неговите конкретни проявления.

Пример.Естествено обобщение е пространството: векторно пространство на ред или колона . Един от начините за указване на подпространство е да се укаже набор от ограничения.

Пример.Набор от решения на система от линейни хомогенни уравнения:

образува линейно подпространство на пространството. Всъщност, ако

Тогава решението на системата

Едно и също решение за всеки. Ако

Тогава друго решение на системата

Това също ще бъде нейно решение.

Защо има много решения на системата? разнородни уравнения не образува линейно подпространство?

Пример.Обобщавайки допълнително, можем да разгледаме пространството от „безкрайни“ низове или последователности , което обикновено е обект математически анализ- при разглеждане на последователности и серии. Можете да считате линиите (последователностите) за „безкрайни в двете посоки“ - те се използват в ТЕОРИЯТА НА СИГНАЛА.

Пример.Набор от -матрици с реални елементи с операции събиране на матрици и умножение по реални числаобразува линейно пространство.

В космоса квадратни матрициред, можем да различим две подпространства: подпространство на симетрични матрици и подпространство на косо-симетрични матрици. В допълнение, подпространствата образуват всяко от множествата: горни триъгълни, долни триъгълни идиагонални матрици.

Пример.Набор от полиноми с една променлива степен, точно равни на коефициентите на (където е някой от наборите или ) с обичайните операции на добавяне на полиноми и умножение по число от не образува линейно пространство. Защо? - Тъй като не е затворен при добавяне: сумата от полиноми няма да бъде полином от степен th. Но тук има много полиноми от степен не по-висока

линейни пространствени форми; само към това множество трябва да добавим и идентично нулев полином 4). Очевидните подпространства са . В допълнение, подпространствата ще бъдат набор от четни и набор от нечетни полиноми със степен най-много . Наборът от всички възможни полиноми (без ограничения в степените) също образува линейно пространство.

Пример.Обобщение на предишния случай ще бъде пространството на полиноми на няколко променливи със степен най-много с коефициенти от . Например набор от линейни полиноми

образува линейно пространство. Множеството от хомогенни полиноми (форми) на степен (с добавяне на идентично нулев полином към това множество) също е линейно пространство.

От гледна точка на горната дефиниция, наборът от низове с целочислени компоненти

разглеждани по отношение на операциите покомпонентно събиране и умножение по цели числа скалари не е линейно пространство. Въпреки това, всички аксиоми 1 - 8 ще бъдат изпълнени, ако позволим умножение само с целочислени скалари. В този раздел няма да се фокусираме върху този обект, но той е доста полезен в дискретна математика, например в ☞ ТЕОРИЯ НА КОДИРАНЕТО. Линейни пространства над крайни полетасе разглеждат ☞ ТУК.

Променливите са изоморфни на пространството на симетричните матрици от ти порядък. Изоморфизмът се установява чрез съответствие, което ще илюстрираме за случая:

Концепцията за изоморфизъм се въвежда, за да се проведе изследване на обекти, които възникват в различни области на алгебрата, но с „подобни“ свойства на операциите, като се използва примерът на една проба, като се изработват резултати върху нея, които след това могат да бъдат евтино възпроизведени. Кое линейно пространство трябва да вземем „за проба“? - Вижте края на следващия параграф

Подобни статии