Разбрахме какво всъщност е степен на число. Сега трябва да разберем как да го изчислим правилно, т.е. повишаване на числата до степени. В този материал ще анализираме основните правила за изчисляване на степени в случай на цели, естествени, дробни, рационални и ирационални показатели. Всички определения ще бъдат илюстрирани с примери.

Концепцията за степенуване

Нека започнем с формулирането на основни дефиниции.

Определение 1

степенуване- това е изчисляването на стойността на степента на определено число.

Тоест, думите „изчисляване на стойността на степен“ и „повдигане на степен“ означават едно и също нещо. Така че, ако проблемът казва „Повишете числото 0, 5 на пета степен“, това трябва да се разбира като „изчислете стойността на степен (0, 5) 5.

Сега представяме основните правила, които трябва да се спазват при извършване на такива изчисления.

Нека си припомним какво е степен на число с естествен показател. За степен с основа а и показател n, това ще бъде произведението на n-тия брой множители, всеки от които е равен на а. Това може да се напише така:

За да изчислите стойността на степен, трябва да извършите действие за умножение, тоест да умножите основите на степента посочения брой пъти. Самата концепция за степен с естествен показател се основава на способността за бързо умножаване. Да дадем примери.

Пример 1

Условие: повдигнете - 2 на степен 4.

Решение

Използвайки дефиницията по-горе, записваме: (− 2) 4 = (− 2) · (− 2) · (− 2) · (− 2) . След това просто трябва да следваме тези стъпки и да получим 16.

Да вземем един по-сложен пример.

Пример 2

Изчислете стойността 3 2 7 2

Решение

Този запис може да се пренапише като 3 2 7 · 3 2 7 . Преди това разгледахме как да умножим правилно смесените числа, споменати в условието.

Нека изпълним тези стъпки и да получим отговора: 3 2 7 · 3 2 7 = 23 7 · 23 7 = 529 49 = 10 39 49

Ако проблемът показва необходимостта от повдигане на ирационални числа на естествена степен, ще трябва първо да закръглим основите им до цифрата, която ще ни позволи да получим отговор с необходимата точност. Нека разгледаме един пример.

Пример 3

Изпълнете квадрата на π.

Решение

Първо, нека го закръглим до стотни. Тогава π 2 ≈ (3, 14) 2 = 9, 8596. Ако π ≈ 3. 14159, тогава получаваме по-точен резултат: π 2 ≈ (3, 14159) 2 = 9, 8695877281.

Имайте предвид, че необходимостта от изчисляване на степени на ирационални числа възниква сравнително рядко на практика. След това можем да запишем отговора като самата степен (ln 6) 3 или да преобразуваме, ако е възможно: 5 7 = 125 5 .

Отделно трябва да се посочи каква е първата степен на числото. Тук можете просто да запомните, че всяко число, повдигнато на първа степен, ще остане себе си:

Това става ясно от записа .

Не зависи от основата на степента.

Пример 4

И така, (− 9) 1 = − 9 и 7 3, повдигнато на първа степен, ще остане равно на 7 3.

За удобство ще разгледаме три случая поотделно: ако показателят е цяло положително число, ако е нула и ако е цяло отрицателно число.

В първия случай това е същото като повдигане на естествена степен: в края на краищата положителните цели числа принадлежат към набора от естествени числа. Вече говорихме по-горе за това как да работим с такива степени.

Сега нека видим как правилно да вдигнем до нулева мощност. За основа, различна от нула, това изчисление винаги извежда 1. По-рано обяснихме, че 0-та степен на a може да бъде дефинирана за всяко реално число, което не е равно на 0, и a 0 = 1.

Пример 5

5 0 = 1 , (- 2 , 56) 0 = 1 2 3 0 = 1

0 0 - не е определено.

Остава ни само случай на степен с цяло число отрицателен показател. Вече обсъдихме, че такива степени могат да бъдат записани като дроб 1 a z, където a е произволно число, а z е отрицателно цяло число. Виждаме, че знаменателят на тази дроб не е нищо повече от обикновена степен с цяло положително число и вече сме се научили как да го изчисляваме. Нека дадем примери за задачи.

Пример 6

Повдигнете 2 на степен - 3.

Решение

Използвайки дефиницията по-горе, записваме: 2 - 3 = 1 2 3

Нека изчислим знаменателя на тази дроб и ще получим 8: 2 3 = 2 · 2 · 2 = 8.

Тогава отговорът е: 2 - 3 = 1 2 3 = 1 8

Пример 7

Повишете 1,43 на степен -2.

Решение

Нека преформулираме: 1, 43 - 2 = 1 (1, 43) 2

Изчисляваме квадрата в знаменателя: 1,43·1,43. Десетичните числа могат да се умножат по следния начин:

В резултат на това получихме (1, 43) - 2 = 1 (1, 43) 2 = 1 2, 0449. Всичко, което трябва да направим, е да запишем този резултат под формата на обикновена дроб, за което трябва да го умножим по 10 хиляди (вижте материала за преобразуване на дроби).

Отговор: (1, 43) - 2 = 10000 20449

Специален случай е повдигането на число на минус първа степен. Стойността на тази степен е равна на реципрочната на първоначалната стойност на основата: a - 1 = 1 a 1 = 1 a.

Пример 8

Пример: 3 − 1 = 1/3

9 13 - 1 = 13 9 6 4 - 1 = 1 6 4 .

Как да повдигнем число на дробна степен

За да извършим такава операция, трябва да запомним основната дефиниция на степен с дробен показател: a m n = a m n за всяко положително a, цяло число m и естествено n.

Определение 2

По този начин изчисляването на дробна степен трябва да се извърши на две стъпки: повишаване на степен на цяло число и намиране на корена на n-та степен.

Имаме равенството a m n = a m n, което, като се вземат предвид свойствата на корените, обикновено се използва за решаване на задачи във формата a m n = a n m. Това означава, че ако повдигнем число a на дробна степен m / n, тогава първо вземаме корен n-та от a, след което повдигаме резултата на степен с цяло число m.

Нека илюстрираме с пример.

Пример 9

Пресметнете 8 - 2 3 .

Решение

Метод 1: Съгласно основната дефиниция, можем да представим това като: 8 - 2 3 = 8 - 2 3

Сега нека изчислим степента под корена и извлечем третия корен от резултата: 8 - 2 3 = 1 64 3 = 1 3 3 64 3 = 1 3 3 4 3 3 = 1 4

Метод 2. Преобразувайте основното равенство: 8 - 2 3 = 8 - 2 3 = 8 3 - 2

След това изваждаме корена 8 3 - 2 = 2 3 3 - 2 = 2 - 2 и повдигаме резултата на квадрат: 2 - 2 = 1 2 2 = 1 4

Виждаме, че решенията са идентични. Можете да го използвате както желаете.

Има случаи, когато степента има показател, изразен като смесено число или десетична дроб. За по-лесно изчисление е по-добре да го замените обикновена дроби пребройте както по-горе.

Пример 10

Повдигнете 44, 89 на степен 2, 5.

Решение

Нека трансформираме стойността на индикатора в обикновена дроб: 44 , 89 2 , 5 = 44 , 89 5 2 .

Сега изпълняваме по ред всички действия, посочени по-горе: 44, 89 5 2 = 44, 89 5 = 44, 89 5 = 4489 100 5 = 4489 100 5 = 67 2 10 2 5 = 67 10 5 = = 1350125107 100000 = 13 501, 25107

Отговор: 13 501, 25107.

Ако числителят и знаменателят на дробен показател съдържат големи числа, тогава изчисляването на такива показатели с рационални показатели е доста трудна работа. Обикновено изисква компютърна технология.

Нека се спрем отделно на степените с нулева основа и дробен показател. На израз от формата 0 m n може да се придаде следното значение: ако m n > 0, тогава 0 m n = 0 m n = 0; ако m n< 0 нуль остается не определен. Таким образом, возведение нуля в дробную положительную степень приводит к нулю: 0 7 12 = 0 , 0 3 2 5 = 0 , 0 0 , 024 = 0 , а в целую отрицательную - значения не имеет: 0 - 4 3 .

Как да повдигнем число на ирационална степен

Необходимостта да се изчисли стойността на степента, чийто показател е ирационално число, не се среща много често. На практика задачата обикновено се ограничава до изчисляване на приблизителна стойност (до определен брой десетични знаци). Това обикновено се изчислява на компютър поради сложността на такива изчисления, така че няма да се спираме на това подробно, ще посочим само основните точки.

Ако трябва да изчислим стойността на степен a с ирационален показател a, тогава вземаме десетичното приближение на степента и броим от него. Резултатът ще бъде приблизителен отговор. Колкото по-точно е десетичното приближение, толкова по-точен е отговорът. Нека покажем с пример:

Пример 11

Изчислете приближението на 2 на степен 1,174367....

Решение

Нека се ограничим до десетичното приближение a n = 1, 17. Нека направим изчисления, като използваме това число: 2 1, 17 ≈ 2, 250116. Ако вземем, например, приближението a n = 1, 1743, тогава отговорът ще бъде малко по-точен: 2 1, 174367. . . ≈ 2 1, 1743 ≈ 2, 256833.

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter

Формули за степенизползвани в процеса на редуциране и опростяване на сложни изрази, при решаване на уравнения и неравенства.

Номер ° Се н-та степен на число аКога:

Операции със степени.

1. Чрез умножаване на градуси с една и съща основа се добавят техните показатели:

a m·a n = a m + n .

2. При деление на степени с еднаква основа се изваждат техните показатели:

3. Степента на произведението на 2 или повече фактора е равна на произведението на степените на тези фактори:

(abc…) n = a n · b n · c n …

4. Степента на дроб е равна на отношението на степените на делителя и делителя:

(a/b) n = a n /b n.

5. Повишаване на степен на степен, показателите се умножават:

(a m) n = a m n.

Всяка формула по-горе е вярна в посоките отляво надясно и обратно.

Например. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

Операции с корени.

1. Коренът на произведението на няколко фактора е равен на произведението на корените на тези фактори:

2. Коренът на съотношението е равен на съотношението на дивидента и делителя на корените:

3. Когато повдигате корен на степен, достатъчно е да повдигнете радикалното число на тази степен:

4. Ако увеличите степента на корена в нведнъж и в същото време се вграждат в нстепента е радикално число, тогава стойността на корена няма да се промени:

5. Ако намалите степента на корена в низвлечете корена едновременно н-та степен на радикално число, тогава стойността на корена няма да се промени:

Степен с отрицателен показател.Степента на определено число с неположителен (цял) показател се определя като единица, разделена на степента на същото число с показател, равен на абсолютна стойностнеположителен индикатор:

Формула a m:a n =a m - nможе да се използва не само за м> н, но и с м< н.

Например. а4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.

За формулиране a m:a n =a m - nстана справедливо, когато m=n, изисква се наличие на нулева степен.

Диплома с нулев индекс.Силата на всяко число, не равно на нула, с нулев показател е равен на едно.

Например. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Степен с дробен показател.Да се ​​вдигне реално число Адо степен м/н, трябва да извлечете корена нта степен на м-та степен на това число А.

Когачислото се самоумножава на себе си, работаНаречен степен.

Така че 2,2 = 4, квадрат или втора степен на 2
2.2.2 = 8, куб или трета степен.
2.2.2.2 = 16, четвърта степен.

Освен това 10,10 = 100, втората степен на 10.
10.10.10 = 1000, трета степен.
10.10.10.10 = 10000 четвърта степен.

И a.a = aa, втора степен на a
a.a.a = aaa, трета степен на a
a.a.a.a = aaaa, четвърта степен на a

Извиква се оригиналният номер коренстепени на това число, защото това е числото, от което са създадени степените.

Това обаче не е съвсем удобно, особено в случая високи градуси, запишете всички фактори, които съставят степените. Следователно се използва метод за стенографско означение. Коренът на степента се изписва само веднъж, а вдясно и малко по-нагоре близо до него, но с малко по-малък шрифт, е написано колко пъти коренът действа като фактор. Това число или буква се нарича експонентили степенчисла. И така, a 2 е равно на a.a или aa, защото коренът a трябва да се умножи по себе си два пъти, за да се получи степента aa. Освен това 3 означава ааа, тоест тук а се повтаря три пътикато множител.

Показателят на първа степен е 1, но обикновено не се записва. И така, 1 се записва като a.

Не трябва да бъркате степените с коефициенти. Коефициентът показва колко често се приема стойността Частцялото. Силата показва колко често се приема дадено количество факторв работата.
И така, 4a = a + a + a + a. Но 4 = a.a.a.a

Схемата за нотация на степента има особеното предимство да ни позволява да изразяваме неизвестенстепен. За тази цел степента се записва вместо число писмо. В процеса на решаване на задача можем да получим количество, което знаем, че е някоистепен на друга величина. Но засега не знаем дали е квадрат, куб или друга, по-висока степен. И така, в израза a x степенният показател означава, че този израз има някоистепен, макар и неуточнена каква степен. И така, b m и d n са повдигнати на степени на m и n. Когато степенният показател бъде намерен, номерсе замества вместо буква. Така че, ако m=3, тогава b m = b 3 ; но ако m = 5, тогава b m = b 5.

Методът за писане на стойности с помощта на мощности също е голямо предимство при използване изрази. Така (a + b + d) 3 е (a + b + d).(a + b + d).(a + b + d), тоест кубът на тричлена (a + b + d) . Но ако напишем този израз, след като го повдигнем до куб, той ще изглежда така
a 3 + 3a 2 b + 3a 2 d + 3ab 2 + 6abd + 3ad 2 + b 3 + d 3 .

Ако вземем поредица от степени, чиито показатели нарастват или намаляват с 1, откриваме, че произведението нараства с общ множител или намалява с общ делител и този множител или делител е оригиналното число, което е повдигнато на степен.

И така, в поредицата ааааа, аааа, ааа, аа, а;
или 5, 4, 3, 2, 1;
индикаторите, ако се броят отдясно наляво, са 1, 2, 3, 4, 5; а разликата между стойностите им е 1. Ако започнем на дясно умножават сечрез a, ние успешно ще получим множество стойности.

Така че a.a = a 2, втори член. И a 3 .a = a 4
a 2 .a = a 3 , трети член. a 4 .a = a 5 .

Ако започнем наляво разделямдо а,
получаваме 5:a = a 4 и a 3:a = a 2 .
a 4:a = a 3 a 2:a = a 1

Но този процес на разделяне може да бъде продължен по-нататък и ние получаваме нов набор от стойности.

И така, a:a = a/a = 1. (1/a):a = 1/aa
1:a = 1/a (1/aa):a = 1/aaa.

Пълният ред ще бъде: aaaaa, aaaa, aaa, aa, a, 1, 1/a, 1/aa, 1/aaa.

Или 5, 4, 3, 2, a, 1, 1/a, 1/a 2, 1/a 3.

Ето ги и стойностите на дясноот един има обратенстойности вляво от едно. Следователно тези степени могат да бъдат наречени обратни степениа. Можем също да кажем, че степените отляво са обратни на степените отдясно.

И така, 1:(1/a) = 1.(a/1) = a. И 1:(1/a 3) = a 3.

Същият план за запис може да се приложи към полиноми. И така, за a + b получаваме множеството,
(a + b) 3, (a + b) 2, (a + b), 1, 1/(a + b), 1/(a + b) 2, 1/(a + b) 3.

За удобство се използва друга форма на писане на реципрочни правомощия.

Според тази форма 1/a или 1/a 1 = a -1. И 1/aaa или 1/a 3 = a -3 .
1/aa или 1/a 2 = a -2 . 1/aaaa или 1/a 4 = a -4 .

И за да направим пълна серия с 1 като обща разлика с показателите, a/a или 1 се счита за нещо, което няма степен и се записва като 0 .

След това, като се вземат предвид преките и обратните правомощия
вместо аааа, ааа, аа, а, а/а, 1/а, 1/аа, 1/ааа, 1/аааа
можете да напишете 4, 3, 2, 1, 0, -1, -2, -3, -4.
Или +4, +3, +2, +1, 0, -1, -2, -3, -4.

И поредица от само отделни степени ще изглежда така:
+4,+3,+2,+1,0,-1,-2,-3,-4.

Коренът на степен може да бъде изразен с повече от една буква.

Така aa.aa или (aa) 2 е втората степен на aa.
И aa.aa.aa или (aa) 3 е третата степен на aa.

Всички степени на числото 1 са еднакви: 1.1 или 1.1.1. ще бъде равно на 1.

Степенуването е намиране на стойността на всяко число чрез умножаване на това число по себе си. Правило за степенуване:

Умножете количеството по себе си толкова пъти, колкото е посочено в степента на числото.

Това правило е общо за всички примери, които могат да възникнат по време на процеса на степенуване. Но е редно да се даде обяснение как се прилага в конкретни случаи.

Ако само един член е повдигнат на степен, тогава той се умножава по себе си толкова пъти, колкото е посочено от експонентата.

Четвъртата степен на а е 4 или aaaa. (Чл. 195.)
Шестата степен на y е y 6 или yyyyyy.
N-та степен на x е x n или xxx..... повторено n пъти.

Ако е необходимо да се повдигне израз на няколко члена на степен, принципът, че степента на произведението на няколко фактора е равна на произведението на тези фактори, повдигнато на степен.

Така че (ay) 2 =a 2 y 2 ; (ay) 2 = ay.ay.
Но ay.ay = ayay = aayy = a 2 y 2 .
И така, (bmx) 3 = bmx.bmx.bmx = bbbmmmxxx = b 3 m 3 x 3 .

Следователно, при намирането на мощността на продукт, можем или да работим с целия продукт наведнъж, или можем да работим с всеки фактор поотделно и след това да умножим техните стойности със степените.

Пример 1. Четвъртата степен на dhy е (dhy) 4, или d 4 h 4 y 4.

Пример 2. Третата степен е 4b, има (4b) 3, или 4 3 b 3, или 64b 3.

Пример 3. N-тата степен на 6ad е (6ad) n или 6 n и n d n.

Пример 4. Третата степен на 3m.2y е (3m.2y) 3, или 27m 3 .8y 3.

Степента на бином, състоящ се от членове, свързани с + и -, се изчислява чрез умножаване на неговите членове. да

(a + b) 1 = a + b, първа степен.
(a + b) 1 = a 2 + 2ab + b 2, втора степен (a + b).
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3, трета степен.
(a + b) 4 = a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b 4, четвърта степен.

Квадратът на a - b е a 2 - 2ab + b 2.

Квадратът на a + b + h е a 2 + 2ab + 2ah + b 2 + 2bh + h 2

Упражнение 1. Намерете куба a + 2d + 3

Упражнение 2. Намерете четвъртата степен на b + 2.

Упражнение 3. Намерете петата степен на x + 1.

Упражнение 4. Намерете шестата степен 1 ​​- b.

Сборни квадрати сумиИ различиябиномите се срещат толкова често в алгебрата, че е необходимо да ги познаваме много добре.

Ако умножим a + h по себе си или a - h по себе си,
получаваме: (a + h)(a + h) = a 2 + 2ah + h 2 също, (a - h)(a - h) = a 2 - 2ah + h 2 .

Това показва, че във всеки случай първият и последният член са квадратите на a и h, а средният член е два пъти произведението на a и h. От тук квадратът на сбора и разликата на биномите може да се намери с помощта на следното правило.

Квадратът на бином, двата члена на който са положителни, е равен на квадрата на първия член + два пъти произведението на двата члена + квадрата на последния член.

Квадрат различиябиноми е равно на квадрата на първия член минус два пъти произведението на двата члена плюс квадрата на втория член.

Пример 1. Квадрат 2a + b, има 4a 2 + 4ab + b 2.

Пример 2. Квадрат ab + cd, има 2 b 2 + 2abcd + c 2 d 2.

Пример 3. Квадрат 3d - h, има 9d 2 + 6dh + h 2.

Пример 4. Квадратът a - 1 е a 2 - 2a + 1.

За метод за намиране на по-високи степени на биноми вижте следващите раздели.

В много случаи е ефективно да пишете степенибез умножение.

И така, квадратът на a + b е (a + b) 2.
N-та степен на bc + 8 + x е (bc + 8 + x) n

В такива случаи скобите покриват всичкочленове под степен.

Но ако коренът на степента се състои от няколко умножители, скобите могат да покриват целия израз или могат да се прилагат отделно към факторите в зависимост от удобството.

Така квадратът (a + b)(c + d) е или [(a + b).(c + d)] 2, или (a + b) 2. (c + d) 2.

За първия от тези изрази резултатът е произведението на два фактора на квадрат, а за втория резултатът е произведението на техните квадрати. Но те са равни помежду си.

Куб a.(b + d) е 3 или a 3.(b + d) 3.

Знакът пред участващите членове също трябва да се вземе предвид. Много е важно да запомните, че когато коренът на една степен е положителен, всичките му положителни степени също са положителни. Но когато коренът е отрицателен, стойностите с странномощности са отрицателни, докато стойностите дориградусите са положителни.

Втора степен (- a) е +a 2
Третата степен (-a) е -a 3
Четвъртата степен (-a) е +a 4
Петата степен (-a) е -a 5

Следователно всякакви странностепента има същия знак като числото. Но дористепента е положителна, независимо дали числото е с отрицателен или положителен знак.
И така, +a.+a = +a 2
И -a.-a = +a 2

Количество, което вече е било повдигнато на степен, се повдига отново на степен чрез умножаване на показателите.

Третата степен на 2 е 2,3 = 6.

За a 2 = aa; куб aa е aa.aa.aa = aaaaaa = a 6 ; което е шестата степен на а, но третата степен на 2.

Четвъртата степен на a 3 b 2 е a 3,4 b 2,4 = a 12 b 8

Третата степен на 4a 2 x е 64a 6 x 3.

Петата степен на (a + b) 2 е (a + b) 10.

N-тата степен на 3 е 3n

N-та степен на (x - y) m е (x - y) mn

(a 3 .b 3) 2 = a 6 .b 6

(a 3 b 2 h 4) 3 = a 9 b 6 h 12

Правилото важи еднакво и за отрицателенстепени.

Пример 1. Третата степен на a -2 е a -3,3 =a -6.

За a -2 = 1/aa и третата степен на това
(1/aa).(1/aa).(1/aa) = 1/aaaaaa = 1/a 6 = a -6

Четвъртата степен на a 2 b -3 е a 8 b -12 или a 8 /b 12 .

Квадратът е b 3 x -1, има b 6 x -2.

N-та степен на ax -m е x -mn или 1/x.

Тук обаче трябва да помним, че ако знакът предишенстепента е "-", тогава трябва да се промени на "+", когато степента е четно число.

Пример 1. Квадратът -a 3 е +a 6. Квадратът на -a 3 е -a 3 .-a 3, което според правилата за знаците при умножение е +a 6.

2. Но кубът -a 3 е -a 9. За -a 3 .-a 3 .-a 3 = -a 9 .

3. N-та степен -a 3 е a 3n.

Тук резултатът може да бъде положителен или отрицателен в зависимост от това дали n е четно или нечетно.

Ако фракциясе повдига на степен, тогава числителят и знаменателят се повдигат на степен.

Квадратът на a/b е a 2 /b 2 . Според правилото за умножение на дроби,
(a/b)(a/b) = aa/bb = a 2 b 2

Втората, третата и n-та степен на 1/a са 1/a 2, 1/a 3 и 1/a n.

Примери биноми, в която един от членовете е дроб.

1. Намерете квадрата на x + 1/2 и x - 1/2.
(x + 1/2) 2 = x 2 + 2.x.(1/2) + 1/2 2 = x 2 + x + 1/4
(x - 1/2) 2 = x 2 - 2.x.(1/2) + 1/2 2 = x 2 - x + 1/4

2. Квадратът на a + 2/3 е a 2 + 4a/3 + 4/9.

3. Квадрат x + b/2 = x 2 + bx + b 2 /4.

4 Квадратът на x - b/m е x 2 - 2bx/m + b 2 /m 2 .

По-рано беше показано, че дробен коефициентможе да се премести от числителя към знаменателя или от знаменателя към числителя. Използвайки схемата за изписване на реципрочни правомощия, става ясно, че всеки множителможе също да се мести, ако се промени знакът на степента.

И така, в дробта ax -2 /y можем да преместим x от числителя към знаменателя.
Тогава ax -2 /y = (a/y).x -2 = (a/y).(1/x 2 = a/yx 2 .

В дробта a/по 3 можем да преместим y от знаменателя към числителя.
Тогава a/by 2 = (a/b).(1/y 3) = (a/b).y -3 = ay -3 /b.

По същия начин можем да преместим фактор, който има положителен показател в числителя или фактор с отрицателен показател в знаменателя.

И така, ax 3 /b = a/bx -3. За x 3 обратното е x -3 , което е x 3 = 1/x -3 .

Следователно знаменателят на всяка дроб може да бъде напълно премахнат или числителят може да бъде намален до единица, без да се променя значението на израза.

И така, a/b = 1/ba -1 или ab -1.

Калкулаторът ви помага бързо да увеличите число на степен онлайн. Основата на степента може да бъде всяко число (както цели, така и реални). Показателят може също да бъде цяло число или реално число, а също така може да бъде положителен или отрицателен. Трябва да се помни, че за отрицателни числаПовдигането до степен, която не е цяло число, е недефинирано и следователно калкулаторът ще докладва грешка, ако опитате да го направите.

Калкулатор за степен

Издигнете се на власт

Степени: 94722

Какво е естествена степен на число?

Числото p се нарича n-та степен на число, ако p е равно на числото a, умножено по себе си n пъти: p = a n = a·...·a
n - наречен експонент, а числото a е степен основа.

Как да повдигнем число на естествена степен?

За да разберете как да строите различни числакъм природните сили, разгледайте няколко примера:

Пример 1. Повишете числото три на четвърта степен. Тоест, необходимо е да се изчисли 3 4
Решение: както бе споменато по-горе, 3 4 = 3·3·3·3 = 81.
Отговор: 3 4 = 81 .

Пример 2. Повишете числото пет на пета степен. Тоест, необходимо е да се изчисли 5 5
Решение: по същия начин, 5 5 = 5·5·5·5·5 = 3125.
Отговор: 5 5 = 3125 .

По този начин, за да повдигнете число на естествена степен, просто трябва да го умножите по себе си n пъти.

Какво е отрицателна степен на число?

Отрицателната степен -n на a е единица, разделена на a на степен n: a -n = .

В този случай отрицателна степен съществува само за ненулеви числа, тъй като в противен случай ще се получи деление на нула.

Как да повдигна число на отрицателна цяло число?

За да повдигнете ненулево число на отрицателна степен, трябва да изчислите стойността на това число на същата положителна степен и да разделите едно на резултата.

Пример 1. Повишете числото две на отрицателна четвърта степен. Тоест, трябва да изчислите 2 -4

Решение: както е посочено по-горе, 2 -4 = = = 0,0625.

Отговор: 2 -4 = 0.0625 .

Подобни статии