Математическите изрази и задачи изискват много допълнителни знания. NOC е един от основните, особено често използван в Темата се изучава в гимназията и не е особено трудна за разбиране на материала, запознат със степените и таблицата за умножение, няма да има затруднения при идентифицирането на необходимите числа и откриването на резултат.
Определение
Общо кратно е число, което може да бъде напълно разделено на две числа едновременно (a и b). Най-често това число се получава чрез умножаване на оригиналните числа a и b. Числото трябва да се дели на двете числа едновременно, без отклонения.
NOC е краткото име, прието за обозначението, събрано от първите букви.
Начини за получаване на номер
Методът за умножение на числа не винаги е подходящ за намиране на LCM; той е много по-подходящ за прости едноцифрени или двуцифрени числа. Обичайно е да се разделя на фактори; колкото по-голямо е числото, толкова повече фактори ще има.
Пример #1
Като най-прост пример, училищата обикновено използват прости, едноцифрени или двуцифрени числа. Например, трябва да решите следната задача, намерете най-малкото общо кратно на числата 7 и 3, решението е съвсем просто, просто ги умножете. В резултат на това има число 21, просто няма по-малко число.
Пример №2
Вторият вариант на задачата е много по-труден. Дадени са числата 300 и 1260, намирането на LOC е задължително. За решаване на проблема се предполагат следните действия:
Разлагане на първо и второ число на прости множители. 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 *5 *7. Първият етап е завършен.
Вторият етап включва работа с вече получени данни. Всяко от получените числа трябва да участва в изчисляването на крайния резултат. За всеки фактор най-големият брой срещания се взема от оригиналните числа. НОК е общ брой, следователно факторите от числата трябва да се повтарят в него, всеки един, дори тези, които присъстват в един екземпляр. И двете начални числа съдържат числата 2, 3 и 5, като 7 присъства само в един случай.
За да изчислите крайния резултат, трябва да вземете всяко число в най-голямата от степените, представени в уравнението. Остава само да умножите и да получите отговора, ако е попълнен правилно, задачата се побира в две стъпки без обяснение:
1) 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 *5 *7.
2) NOC = 6300.
Това е целият проблем, ако се опитате да изчислите точния номерчрез умножение, тогава отговорът определено няма да е правилен, тъй като 300 * 1260 = 378 000.
Преглед:
6300 / 300 = 21 - правилно;
6300 / 1260 = 5 - правилно.
Правилността на получения резултат се определя чрез проверка - разделяне на НОК на двете оригинални числа; ако и в двата случая числото е цяло, то отговорът е верен.
Какво означава NOC в математиката?
Както знаете, в математиката няма нито една безполезна функция, тази не е изключение. Най-честата цел на това число е да се сведат дроби до общ знаменател. Какво обикновено се изучава в 5-6 клас гимназия. Освен това е общ делител за всички кратни, ако такива условия присъстват в проблема. Такъв израз може да намери кратно не само на две числа, но и на много по-голямо число - три, пет и т.н. Колкото повече числа, толкова повече действия в задачата, но сложността не се увеличава.
Например, като се имат предвид числата 250, 600 и 1500, трябва да намерите техния общ LCM:
1) 250 = 25 * 10 = 5 2 *5 * 2 = 5 3 * 2 - този пример описва разлагането на множители в детайли, без редукция.
2) 600 = 60 * 10 = 3 * 2 3 *5 2 ;
3) 1500 = 15 * 100 = 33 * 5 3 *2 2 ;
За да се състави израз, е необходимо да се споменат всички множители, в случая са дадени 2, 5, 3 - за всички тези числа е необходимо да се определи максималната степен.
Внимание: всички фактори трябва да бъдат доведени до точката на пълно опростяване, ако е възможно, разложени до ниво на едноцифрени числа.
Преглед:
1) 3000 / 250 = 12 - правилно;
2) 3000 / 600 = 5 - вярно;
3) 3000 / 1500 = 2 - правилно.
Този метод не изисква никакви трикове или способности на ниво гений, всичко е просто и ясно.
Друг начин
В математиката много неща са свързани, много неща могат да бъдат решени по два или повече начина, същото важи и за намирането на най-малкото общо кратно, LCM. Следният метод може да се използва в случай на прости двуцифрени и едноцифрени числа. Съставя се таблица, в която множителят се въвежда вертикално, множителят хоризонтално, а произведението се посочва в пресичащите се клетки на колоната. Можете да отразявате таблицата с помощта на линия, да вземете число и да запишете резултатите от умножаването на това число с цели числа, от 1 до безкрайност, понякога са достатъчни 3-5 точки, второто и следващите числа преминават през същия изчислителен процес. Всичко се случва, докато се намери общо кратно.
Имайки предвид числата 30, 35, 42, трябва да намерите LCM, свързващ всички числа:
1) Кратни на 30: 60, 90, 120, 150, 180, 210, 250 и т.н.
2) Кратни на 35: 70, 105, 140, 175, 210, 245 и т.н.
3) Кратни на 42: 84, 126, 168, 210, 252 и т.н.
Прави впечатление, че всички числа са доста различни, единственото често срещано число сред тях е 210, така че това ще бъде НОК. Сред процесите, включени в това изчисление, има и най-голям общ делител, който се изчислява съгласно подобни принципи и често се среща в съседни задачи. Разликата е малка, но доста значителна, LCM включва изчисляване на число, което е разделено на всички зададени първоначални стойности, а GCD включва изчисляване най-висока стойностна които се делят оригиналните числа.
Но много цели числасе делят и на други естествени числа.
Например:
Числото 12 се дели на 1, на 2, на 3, на 4, на 6, на 12;
Числото 36 се дели на 1, на 2, на 3, на 4, на 6, на 12, на 18, на 36.
Числата, на които числото се дели на цяло (за 12 това са 1, 2, 3, 4, 6 и 12) се наричат делители на числата. Делител на естествено число а- е естествено число, което дели дадено число абез следа. Нарича се естествено число, което има повече от два делителя композитен .
Моля, обърнете внимание, че числата 12 и 36 имат общи множители. Тези числа са: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Най-големият делител на тези числа е 12. Общият делител на тези две числа аИ b- това е числото, на което се делят без остатък и двете дадени числа аИ b.
Общи кратниняколко числа е число, което се дели на всяко от тези числа. Например, числата 9, 18 и 45 имат общо кратно на 180. Но 90 и 360 също са техните общи кратни. Сред всички общи кратни винаги има най-малкото, в този случай това е 90. Това число се нарича най-малкиятобщо кратно (CMM).
LCM винаги е естествено число, което трябва да е по-голямо от най-голямото от числата, за които е дефинирано.
Най-малко общо кратно (LCM). Имоти.
Комутативност:
Асоциативност:
По-специално, ако и са взаимно прости числа, тогава:
Най-малкото общо кратно на две цели числа мИ не делител на всички други общи кратни мИ н. Освен това, набор от общи кратни м, нсъвпада с множеството кратни на LCM( м, н).
Асимптотиката за може да бъде изразена чрез някои теоретични функции.
Така, Функция на Чебишев. И:
Това следва от определението и свойствата на функцията на Ландау g(n).
Какво следва от закона за разпределението прости числа.
Намиране на най-малкото общо кратно (LCM).
НОК( а, б) може да се изчисли по няколко начина:
1. Ако е известен най-големият общ делител, можете да използвате връзката му с LCM:
2. Нека е известно каноничното разлагане на двете числа на прости множители:
Където p 1 ,...,p k- различни прости числа и d 1 ,...,d kИ e 1 ,...,e k— неотрицателни цели числа (те могат да бъдат нули, ако съответното просто число не е в разширението).
След това NOC ( а,b) се изчислява по формулата:
С други думи, разлагането на LCM съдържа всички прости множители, включени в поне едно от разлаганията на числа а, б, и се взема най-големият от двата показателя на този множител.
Пример:
Изчисляването на най-малкото общо кратно на няколко числа може да се сведе до няколко последователни изчисления на LCM на две числа:
правило.За да намерите LCM на поредица от числа, трябва:
- разлагат числата на прости множители;
- прехвърлете най-голямото разлагане (произведението на факторите на най-големия брой от дадените) към факторите на желания продукт и след това добавете фактори от разлагането на други числа, които не се появяват в първото число или се появяват в него по-малко пъти;
— полученото произведение на простите множители ще бъде LCM дадени числа.
Всеки две или повече естествени числа имат свой собствен LCM. Ако числата не са кратни едно на друго или нямат еднакви множители в разширението, тогава техният LCM е равен на произведението на тези числа.
Простите множители на числото 28 (2, 2, 7) се допълват с множителя 3 (числото 21), полученият продукт (84) ще бъде най-малкото число, което се дели на 21 и 28.
Простите множители на най-голямото число 30 се допълват с множителя 5 на числото 25, полученият продукт 150 е по-голям от най-голямото число 30 и се дели на всички дадени числа без остатък. Това е възможно най-малкото произведение (150, 250, 300...), което е кратно на всички дадени числа.
Числата 2,3,11,37 са прости числа, така че техният LCM е равен на произведението на дадените числа.
правило. За да изчислите LCM на прости числа, трябва да умножите всички тези числа заедно.
Друг вариант:
За да намерите най-малкото общо кратно (LCM) на няколко числа, трябва:
1) представя всяко число като произведение на неговите прости множители, например:
504 = 2 2 2 3 3 7,
2) запишете степените на всички прости фактори:
504 = 2 2 2 3 3 7 = 2 3 3 2 7 1,
3) запишете всички прости делители (множители) на всяко от тези числа;
4) изберете най-голямата степен на всяко от тях, намираща се във всички разширения на тези числа;
5) умножете тези правомощия.
Пример. Намерете LCM на числата: 168, 180 и 3024.
Решение. 168 = 2 2 2 3 7 = 2 3 3 1 7 1,
180 = 2 2 3 3 5 = 2 2 3 2 5 1,
3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1.
Записваме най-големите степени на всички прости делители и ги умножаваме:
NOC = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15120.
На учениците се дават много задачи по математика. Сред тях много често има проблеми със следната формулировка: има две значения. Как да намерим най-малкото общо кратно на дадени числа? Необходимо е да можете да изпълнявате такива задачи, тъй като придобитите умения се използват за работа с дроби с различни знаменатели. В тази статия ще разгледаме как да намерим LOC и основните понятия.
Основни понятия
Преди да намерите отговора на въпроса как да намерите LCM, трябва да дефинирате термина множествено. Най-често формулировката на тази концепция звучи така: кратно на определена стойност А е естествено число, което ще се дели на А без остатък. Така че за 4 кратните ще бъдат 8, 12, 16, 20, и така нататък до необходимия лимит.
В този случай броят на делителите за конкретна стойност може да бъде ограничен, но кратните са безкрайно много. Същата стойност има и за природните ценности. Това е показател, който се разделя на тях без остатък. След като разбрахме концепцията за най-малката стойност за определени показатели, нека да преминем към това как да я намерим.
Намиране на НОК
Най-малкото кратно на две или повече експоненти е най-малкото естествено число, което се дели изцяло на всички посочени числа.
Има няколко начина да намерите такава стойност, разгледайте следните методи:
- Ако числата са малки, запишете на един ред всички, които се делят на него. Продължете да правите това, докато не намерите нещо общо между тях. Писмено те се означават с буквата К. Например за 4 и 3 най-малкото кратно е 12.
- Ако те са големи или трябва да намерите кратно на 3 или повече стойности, тогава трябва да използвате друга техника, която включва разлагане на числа на прости множители. Първо поставете най-големия от списъка, след това всички останали. Всеки от тях има свой собствен брой множители. Като пример, нека разложим 20 (2*2*5) и 50 (5*5*2). За по-малкия подчертайте факторите и ги добавете към най-големия. Резултатът ще бъде 100, което ще бъде най-малкото общо кратно на горните числа.
- При намиране на 3 числа (16, 24 и 36) принципите са същите като при другите две. Нека разширим всеки от тях: 16 = 2*2*2*2, 24=2*2*2*3, 36=2*2*3*3. Само две двойки от разширението на числото 16 не бяха включени в разширението на най-голямото. Събираме ги и получаваме 144, което е най-малкият резултат за посочените по-рано числени стойности.
Сега знаем каква е общата техника за намиране на най-малката стойност за две, три или повече стойности. Има обаче и частни методи, помагащи за търсене на NOC, ако предишните не помогнат.
Как да намерите GCD и NOC.
Частни методи за намиране
Както при всеки математически раздел, има специални случаи за намиране на LCM, които помагат в конкретни ситуации:
- ако едно от числата се дели на останалите без остатък, тогава най-малкото кратно на тези числа е равно на него (НКМ на 60 и 15 е 15);
- относително простите числа нямат общи прости множители. Най-малката им стойност е равна на произведението на тези числа. Така за числата 7 и 8 ще бъде 56;
- същото правило работи и за други случаи, включително специални, за които може да се прочете в специализирана литература. Това трябва да включва и случаи на разлагане на съставни числа, които са тема на отделни статии и дори на кандидатски дисертации.
Специалните случаи са по-рядко срещани от стандартните примери. Но благодарение на тях можете да се научите да работите с фракции с различна степен на сложност. Това важи особено за дробите, където има неравни знаменатели.
Малко примери
Нека да разгледаме няколко примера, които ще ви помогнат да разберете принципа за намиране на най-малкото кратно:
- Намерете LOC (35; 40). Първо разлагаме 35 = 5*7, след това 40 = 5*8. Добавете 8 към най-малкото число и вземете LOC 280.
- НОК (45; 54). Разлагаме всеки от тях: 45 = 3*3*5 и 54 = 3*3*6. Добавяме числото 6 към 45. Получаваме LCM равно на 270.
- Е, последният пример. Има 5 и 4. Няма прости кратни от тях, така че най-малкото общо кратно в този случай ще бъде тяхното произведение, което е равно на 20.
Благодарение на примерите можете да разберете как се намира NOC, какви са нюансите и какъв е смисълът на такива манипулации.
Намирането на NOC е много по-лесно, отколкото може да изглежда първоначално. За да направите това, се използват както просто разширение, така и умножение на прости стойности помежду си. Умението да работите с този раздел от математиката помага при по-нататъшното изучаване на математически теми, особено фракции с различна степен на сложност.
Не забравяйте периодично да решавате примери с помощта на различни методи; това развива логическия ви апарат и ви позволява да запомните множество термини. Научете как да намирате такъв степенен показател и ще можете да се справите добре с останалите математически раздели. Приятно учене на математика!
Видео
Това видео ще ви помогне да разберете и запомните как да намерите най-малкото общо кратно.
Представеният по-долу материал е логично продължение на теорията от статията LCM - най-малко общо кратно, определение, примери, връзка между LCM и GCD. Тук ще говорим за намиране на най-малкото общо кратно (LCM), като ще обърнем специално внимание на решаването на примери. Първо, ще покажем как LCM на две числа се изчислява с помощта на GCD на тези числа. След това ще разгледаме намирането на най-малкото общо кратно чрез разлагане на числа на прости множители. След това ще се съсредоточим върху намирането на LCM на три и Повече ▼числа, а също така обърнете внимание на изчисляването на LCM на отрицателни числа.
Навигация в страницата.
Изчисляване на най-малкото общо кратно (LCM) чрез GCD
Един от начините за намиране на най-малкото общо кратно се основава на връзката между LCM и GCD. Съществуващата връзка между LCM и GCD ни позволява да изчислим най-малкото общо кратно на две положителни цели числа чрез известен най-голям общ делител. Съответната формула е LCM(a, b)=a b:GCD(a, b) . Нека разгледаме примери за намиране на LCM с помощта на дадената формула.
Пример.
Намерете най-малкото общо кратно на две числа 126 и 70.
Решение.
В този пример a=126 , b=70 . Нека използваме връзката между LCM и GCD, изразена с формулата LCM(a, b)=a b:GCD(a, b). Тоест, първо трябва да намерим най-големия общ делител на числата 70 и 126, след което можем да изчислим LCM на тези числа, използвайки написаната формула.
Нека намерим НОД(126, 70) с помощта на евклидовия алгоритъм: 126=70·1+56, 70=56·1+14, 56=14·4, следователно НОД(126, 70)=14.
Сега намираме необходимото най-малко общо кратно: НОД(126, 70)=126·70:НОД(126, 70)= 126·70:14=630.
Отговор:
LCM(126, 70)=630 .
Пример.
На какво е равно LCM(68, 34)?
Решение.
защото 68 се дели на 34, тогава НОД(68, 34)=34. Сега изчисляваме най-малкото общо кратно: НОД(68, 34)=68·34:НОД(68, 34)= 68·34:34=68.
Отговор:
LCM(68, 34)=68.
Обърнете внимание, че предишният пример отговаря на следното правило за намиране на LCM за цели положителни числа a и b: ако числото a се дели на b, тогава най-малкото общо кратно на тези числа е a.
Намиране на LCM чрез разлагане на числа на прости множители
Друг начин за намиране на най-малкото общо кратно се основава на разлагането на числата на прости множители. Ако съставите произведение от всички прости множители на дадени числа и след това изключите от това произведение всички общи прости множители, присъстващи в разширенията на дадените числа, тогава полученият продукт ще бъде равен на най-малкото общо кратно на дадените числа .
Посоченото правило за намиране на LCM следва от равенството LCM(a, b)=a b:GCD(a, b). Наистина, произведението на числата a и b е равно на произведението на всички фактори, участващи в разширяването на числата a и b. На свой ред НОД(a, b) е равно на произведението на всички прости множители, присъстващи едновременно в разложенията на числата a и b (както е описано в раздела за намиране на НОД с помощта на разлагането на числата на прости множители).
Нека дадем пример. Уведомете ни, че 75=3·5·5 и 210=2·3·5·7. Нека съставим произведението от всички множители на тези разширения: 2·3·3·5·5·5·7 . Сега от този продукт изключваме всички фактори, присъстващи както в разширяването на числото 75, така и в разширяването на числото 210 (тези фактори са 3 и 5), тогава продуктът ще приеме формата 2·3·5·5·7 . Стойността на този продукт е равна на най-малкото общо кратно на 75 и 210, т.е. NOC(75, 210)= 2·3·5·5·7=1050.
Пример.
Разложете числата 441 и 700 на прости множители и намерете най-малкото общо кратно на тези числа.
Решение.
Нека разложим числата 441 и 700 на прости множители:
Получаваме 441=3·3·7·7 и 700=2·2·5·5·7.
Сега нека създадем продукт от всички фактори, включени в разширяването на тези числа: 2·2·3·3·5·5·7·7·7. Нека изключим от този продукт всички фактори, които присъстват едновременно в двете разширения (има само един такъв фактор - това е числото 7): 2·2·3·3·5·5·7·7. По този начин, LCM(441, 700)=2·2·3·3·5·5·7·7=44 100.
Отговор:
NOC(441, 700)= 44 100 .
Правилото за намиране на LCM чрез разлагане на числа на прости множители може да се формулира малко по-различно. Ако липсващите множители от разгръщането на число b се добавят към множителите от разгръщането на числото a, тогава стойността на получения продукт ще бъде равна на най-малкото общо кратно на числата a и b.
Например, нека вземем същите числа 75 и 210, техните разложения на прости множители са както следва: 75=3·5·5 и 210=2·3·5·7. Към множителите 3, 5 и 5 от разгръщането на числото 75 добавяме липсващите множители 2 и 7 от разгръщането на числото 210, получаваме произведението 2·3·5·5·7, чиято стойност е равно на LCM(75, 210).
Пример.
Намерете най-малкото общо кратно на 84 и 648.
Решение.
Първо получаваме разлагането на числата 84 и 648 на прости множители. Те изглеждат като 84=2·2·3·7 и 648=2·2·2·3·3·3·3. Към множителите 2, 2, 3 и 7 от разлагането на числото 84 добавяме липсващите множители 2, 3, 3 и 3 от разлагането на числото 648, получаваме произведението 2 2 2 3 3 3 3 7, което е равно на 4 536 . Така желаното най-малко общо кратно на 84 и 648 е 4536.
Отговор:
LCM(84, 648)=4,536.
Намиране на LCM на три или повече числа
Най-малкото общо кратно на три или повече числа може да се намери чрез последователно намиране на LCM на две числа. Нека си припомним съответната теорема, която дава начин да се намери LCM на три или повече числа.
Теорема.
Нека са дадени положителни цели числа a 1 , a 2 , …, a k, най-малкото общо кратно m k на тези числа се намира чрез последователно изчисляване на m 2 = LCM(a 1, a 2) , m 3 = LCM(m 2 , a 3) , … , m k = LCM(m k−1 , a k) .
Нека разгледаме приложението на тази теорема, използвайки примера за намиране на най-малкото общо кратно на четири числа.
Пример.
Намерете LCM на четири числа 140, 9, 54 и 250.
Решение.
В този пример a 1 =140, a 2 =9, a 3 =54, a 4 =250.
Първо намираме m 2 = LOC(a 1, a 2) = LOC(140, 9). За да направим това, използвайки Евклидовия алгоритъм, определяме НОД(140, 9), имаме 140=9·15+5, 9=5·1+4, 5=4·1+1, 4=1·4, следователно, НОД(140, 9)=1 , от където НОД(140, 9)=140 9:НОД(140, 9)= 140·9:1=1,260. Тоест m 2 =1 260.
Сега намираме m 3 = LOC (m 2 , a 3) = LOC (1 260, 54). Нека го изчислим чрез НОД(1 260, 54), който също определяме с помощта на Евклидовия алгоритъм: 1 260=54·23+18, 54=18·3. Тогава gcd(1,260, 54)=18, от което gcd(1,260, 54)= 1,260·54:gcd(1,260, 54)= 1,260·54:18=3,780. Тоест m 3 =3 780.
Остава само да се намери m 4 = LOC(m 3, a 4) = LOC(3 780, 250). За да направим това, намираме GCD(3,780, 250) с помощта на Евклидовия алгоритъм: 3,780=250·15+30, 250=30·8+10, 30=10·3. Следователно GCM(3780, 250)=10, откъдето GCM(3780, 250)= 3 780 250: НОД(3 780, 250)= 3780·250:10=94500. Тоест, m 4 =94 500.
Така че най-малкото общо кратно на първоначалните четири числа е 94 500.
Отговор:
LCM(140, 9, 54, 250)=94 500.
В много случаи е удобно да се намери най-малкото общо кратно на три или повече числа, като се използват прости фактори на дадените числа. В този случай трябва да се придържате към следното правило. Най-малкото общо кратно на няколко числа е равно на произведението, което се съставя по следния начин: липсващите множители от разлагането на второто число се добавят към всички множители от разлагането на първото число, липсващите множители от разлагането на третото число се добавя към получените множители и т.н.
Нека разгледаме пример за намиране на най-малкото общо кратно чрез разлагане на прости множители.
Пример.
Намерете най-малкото общо кратно на петте числа 84, 6, 48, 7, 143.
Решение.
Първо, получаваме разлагане на тези числа на прости множители: 84=2·2·3·7, 6=2·3, 48=2·2·2·2·3, 7 (7 е просто число, то съвпада с разлагането му на прости множители) и 143=11·13.
За да намерите LCM на тези числа, към множителите на първото число 84 (те са 2, 2, 3 и 7), трябва да добавите липсващите множители от разгръщането на второто число 6. Разлагането на числото 6 не съдържа липсващи множители, тъй като и 2, и 3 вече присъстват в разлагането на първото число 84. След това към факторите 2, 2, 3 и 7 добавяме липсващите фактори 2 и 2 от разширението на третото число 48, получаваме набор от фактори 2, 2, 2, 2, 3 и 7. Няма да е необходимо да добавяте множители към този набор в следващата стъпка, тъй като 7 вече се съдържа в него. Накрая към множителите 2, 2, 2, 2, 3 и 7 добавяме липсващите множители 11 и 13 от разгръщането на числото 143. Получаваме произведението 2·2·2·2·3·7·11·13, което е равно на 48 048.
Нека разгледаме три начина за намиране на най-малкото общо кратно.
Намиране чрез разлагане на множители
Първият метод е да се намери най-малкото общо кратно чрез разлагане на дадените числа на прости множители.
Да кажем, че трябва да намерим LCM на числата: 99, 30 и 28. За да направим това, нека разложим всяко от тези числа на прости множители:
За да може желаното число да се дели на 99, 30 и 28, е необходимо и достатъчно то да включва всички прости множители на тези делители. За да направим това, трябва да вземем всички прости множители на тези числа до възможно най-голямата степен и да ги умножим заедно:
2 2 3 2 5 7 11 = 13 860
Така LCM (99, 30, 28) = 13 860 Никое друго число, по-малко от 13 860, не се дели на 99, 30 или 28.
За да намерите най-малкото общо кратно на дадени числа, вие ги разлагате върху техните прости множители, след това взимате всеки прост множител с най-големия показател, в който се появява, и умножавате тези множители заедно.
Тъй като относително простите числа нямат общи прости множители, тяхното най-малко общо кратно е равно на произведението на тези числа. Например три числа: 20, 49 и 33 са относително прости. Ето защо
LCM (20, 49, 33) = 20 49 33 = 32 340.
Същото трябва да се направи, когато се намира най-малкото общо кратно на различни прости числа. Например LCM (3, 7, 11) = 3 7 11 = 231.
Намиране чрез подбор
Вторият метод е да се намери най-малкото общо кратно чрез избор.
Пример 1. Когато най-голямото от дадените числа се раздели на друго дадено число, тогава LCM на тези числа е равен на най-голямото от тях. Например дадени са четири числа: 60, 30, 10 и 6. Всяко от тях се дели на 60, следователно:
LCM(60, 30, 10, 6) = 60
В други случаи, за да се намери най-малкото общо кратно, се използва следната процедура:
- Определете най-голямото число от дадените числа.
- След това намираме числата, които са кратни на най-голямото число, като го умножаваме по естествени числа във възходящ ред и проверяваме дали полученият продукт се дели на останалите дадени числа.
Пример 2. Дадени са три числа 24, 3 и 18. Определяме най-голямото от тях - това е числото 24. След това намираме числата, кратни на 24, като проверяваме дали всяко от тях се дели на 18 и 3:
24 · 1 = 24 - дели се на 3, но не се дели на 18.
24 · 2 = 48 - дели се на 3, но не се дели на 18.
24 · 3 = 72 - дели се на 3 и 18.
Така LCM (24, 3, 18) = 72.
Намиране чрез последователно намиране на LCM
Третият метод е да се намери най-малкото общо кратно чрез последователно намиране на LCM.
LCM на две дадени числа е равен на произведението на тези числа, делено на техния най-голям общ делител.
Пример 1. Намерете LCM на две дадени числа: 12 и 8. Определете техния най-голям общ делител: НОД (12, 8) = 4. Умножете тези числа:
Разделяме продукта на техния gcd:
Така LCM (12, 8) = 24.
За да намерите LCM на три или повече числа, използвайте следната процедура:
- Първо, намерете LCM на всеки две от тези числа.
- След това LCM на намереното най-малко общо кратно и третото дадено число.
- След това LCM на полученото най-малко общо кратно и четвъртото число и т.н.
- Така търсенето на LCM продължава, докато има числа.
Пример 2. Да намерим LCM три данничисла: 12, 8 и 9. Вече намерихме LCM на числата 12 и 8 в предишния пример (това е числото 24). Остава да намерим най-малкото общо кратно на числото 24 и третото дадено число - 9. Определяме техния най-голям общ делител: НОД (24, 9) = 3. Умножаваме НОК с числото 9:
Разделяме продукта на техния gcd:
Така LCM (12, 8, 9) = 72.
Подобни статии
