Изчислете тангенса на ъгъл между прави онлайн. Най-прости задачи с права на равнина

Ще бъда кратък. Ъгъл между две прави равен на ъгълмежду техните насочващи вектори. Така, ако успеете да намерите координатите на насочващите вектори a = (x 1 ; y 1 ; z 1) и b = (x 2 ; y 2 ; z 2), можете да намерите ъгъла. По-точно, косинусът на ъгъла по формулата:

Нека видим как работи тази формула, използвайки конкретни примери:

Задача. В куба ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 са отбелязани точките E и F - средите съответно на ръбовете A 1 B 1 и B 1 C 1. Намерете ъгъла между правите AE и BF.

Тъй като ръбът на куба не е зададен, нека зададем AB = 1. Въвеждаме стандартна координатна система: началото е в точка A, осите x, y, z са насочени съответно по AB, AD и AA 1. Единичният сегмент е равен на AB = 1. Сега нека намерим координатите на насочващите вектори за нашите линии.

Нека намерим координатите на вектор AE. За целта са ни необходими точки A = (0; 0; 0) и E = (0,5; 0; 1). Тъй като точка E е средата на сегмента A 1 B 1, нейните координати са равни на средноаритметичната стойност на координатите на краищата. Обърнете внимание, че началото на вектора AE съвпада с началото на координатите, така че AE = (0,5; 0; 1).

Сега нека разгледаме вектора BF. По подобен начин анализираме точките B = (1; 0; 0) и F = (1; 0,5; 1), тъй като F е средата на сегмента B 1 C 1. Ние имаме:
BF = (1 − 1; 0,5 − 0; 1 − 0) = (0; 0,5; 1).

И така, векторите на посоката са готови. Косинусът на ъгъла между правите линии е косинусът на ъгъла между насочващите вектори, така че имаме:

Задача. В правилна триъгълна призма ABCA 1 B 1 C 1, всички ръбове на която са равни на 1, са отбелязани точките D и E - средите на ръбовете съответно A 1 B 1 и B 1 C 1. Намерете ъгъла между правите AD и BE.

Нека въведем стандартна координатна система: началото е в точка А, оста x е насочена по AB, z - по AA 1. Нека насочим оста y така, че равнината OXY да съвпада с равнината ABC. Единичният сегмент е равен на AB = 1. Нека намерим координатите на насочващите вектори за търсените прави.

Първо, нека намерим координатите на вектора AD. Разгледайте точките: A = (0; 0; 0) и D = (0,5; 0; 1), тъй като D - средата на сегмента A 1 B 1. Тъй като началото на вектора AD съвпада с началото на координатите, получаваме AD = (0,5; 0; 1).

Сега нека намерим координатите на вектор BE. Точка B = (1; 0; 0) е лесна за изчисляване. С точка E - средата на сегмента C 1 B 1 - е малко по-сложно. Ние имаме:

Остава да се намери косинусът на ъгъла:

Задача. В правилна шестоъгълна призма ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1, всички ръбове на която са равни на 1, са отбелязани точките K и L - средите на ръбовете съответно A 1 B 1 и B 1 C 1 . Намерете ъгъла между правите AK и BL.

Нека въведем стандартна координатна система за призма: поставяме началото на координатите в центъра на долната основа, оста x е насочена по FC, оста y е насочена през средните точки на сегменти AB и DE, а z оста е насочена вертикално нагоре. Единичният сегмент отново е равен на AB = 1. Нека запишем координатите на точките, които ни интересуват:

Точките K и L са средите съответно на отсечките A 1 B 1 и B 1 C 1, така че техните координати се намират чрез средноаритметичното. Познавайки точките, намираме координатите на насочващите вектори AK и BL:

Сега нека намерим косинуса на ъгъла:

Задача. В правилна четириъгълна пирамида SABCD, всички ръбове на която са равни на 1, са отбелязани точките E и F - средите съответно на страните SB и SC. Намерете ъгъла между правите AE и BF.

Нека въведем стандартна координатна система: началото е в точка А, осите x и y са насочени съответно по AB и AD, а оста z е насочена вертикално нагоре. Единичният сегмент е равен на AB = 1.

Точките E и F са средите съответно на отсечките SB и SC, така че техните координати се намират като средноаритметично на краищата. Нека запишем координатите на точките, които ни интересуват:
A = (0; 0; 0); B = (1; 0; 0)

Познавайки точките, намираме координатите на насочващите вектори AE и BF:

Координатите на вектор AE съвпадат с координатите на точка E, тъй като точка A е началото. Остава да се намери косинусът на ъгъла:

ЪГЪЛ МЕЖДУ РАВНОСТИТЕ

Разгледайте две равнини α 1 и α 2, определени съответно от уравненията:

Под ъгълмежду две равнини ще разберем един от двустенните ъгли, образувани от тези равнини. Очевидно е, че ъгълът между нормалните вектори и равнините α 1 и α 2 е равен на един от посочените съседни двустенни ъгли или . Ето защо . защото И , Че

Пример.Определете ъгъла между равнините х+2г-3z+4=0 и 2 х+3г+z+8=0.

Условие за успоредност на две равнини.

Две равнини α 1 и α 2 са успоредни тогава и само ако техните нормални вектори са успоредни и следователно .

И така, две равнини са успоредни една на друга тогава и само ако коефициентите на съответните координати са пропорционални:

или

Условие за перпендикулярност на равнините.

Ясно е, че две равнини са перпендикулярни тогава и само ако техните нормални вектори са перпендикулярни и следователно или .

По този начин, .

Примери.

ПРАВО В ПРОСТРАНСТВОТО.

ВЕКТОРНО УРАВНЕНИЕ ЗА ЛИНИЯ.

ПАРАМЕТРИЧНИ ДИРЕКТНИ УРАВНЕНИЯ

Позицията на линия в пространството се определя напълно чрез определяне на която и да е от нейните фиксирани точки М 1 и вектор, успореден на тази права.

Вектор, успореден на права, се нарича водачивектор на тази линия.

Така че нека правата линия лминава през точка М 1 (х 1 , г 1 , z 1), лежащ на права, успоредна на вектора.

Да разгледаме произволна точка M(x,y,z)на права линия. От фигурата става ясно, че .

Векторите и са колинеарни, така че има такова число T, какво , къде е множителят Tможе да приеме произволна цифрова стойност в зависимост от позицията на точката Мна права линия. Фактор Tнаречен параметър. След като посочи радиус векторите на точките М 1 и Мсъответно, чрез и , получаваме . Това уравнение се нарича векторуравнение на права линия. Той показва, че за всяка стойност на параметъра Tсъответства на радиус вектора на някаква точка М, лежащ на права линия.

Нека напишем това уравнение в координатна форма. Забележи това , и от тук

Получените уравнения се наричат параметриченуравнения на права линия.

При промяна на параметър Tпромяна на координатите х, гИ zи точка Мсе движи по права линия.

КАНОНИЧНИ УРАВНЕНИЯ НА ДИРЕКТНОТО

Позволявам М 1 (х 1 , г 1 , z 1) – точка, лежаща на права линия л, И е неговият вектор на посоката. Нека отново вземем произволна точка от правата M(x,y,z)и разгледайте вектора.

Ясно е, че векторите също са колинеарни, така че съответните им координати трябва да бъдат пропорционални, следователно,

– канониченуравнения на права линия.

Бележка 1.Обърнете внимание, че каноничните уравнения на линията могат да бъдат получени от параметричните чрез елиминиране на параметъра T. Наистина, от параметричните уравнения, които получаваме или .

Пример.Напишете уравнението на правата в параметрична форма.

Нека обозначим , оттук х = 2 + 3T, г = –1 + 2T, z = 1 –T.

Бележка 2.Нека правата е перпендикулярна на една от координатни оси, например брадви вол. Тогава векторът на посоката на правата е перпендикулярен вол, следователно, м=0. Следователно параметричните уравнения на линията ще приемат формата

Изключване на параметъра от уравненията T, получаваме уравненията на линията във формата

Но и в този случай се съгласяваме официално да запишем каноничните уравнения на правата във формата . Така, ако знаменателят на една от дробите е нула, това означава, че правата е перпендикулярна на съответната координатна ос.

по същия начин, канонични уравнения съответства на права линия, перпендикулярна на осите волИ ойили успоредна на оста Оз.

Примери.

ОБЩИ УРАВНЕНИЯ НА ПРАВА КАТО ПРЕСЕЧНИ ЛИНИИ НА ДВЕ РАВНИНИ

През всяка права линия в пространството има безброй равнини. Всякакви две от тях, пресичащи се, го определят в пространството. Следователно уравненията на всеки две такива равнини, разглеждани заедно, представляват уравненията на тази права.

Като цяло, всеки две неуспоредни равнини, дадени от общите уравнения

определят правата линия на тяхното пресичане. Тези уравнения се наричат общи уравненияправ.

Примери.

Построете права, дадена от уравненията

За да се построи права линия, е достатъчно да се намерят произволни две нейни точки. Най-лесният начин е да изберете точките на пресичане на права линия с координатни равнини. Например точката на пресичане с равнината xOyполучаваме от уравненията на правата линия, като приемем z= 0:

След като решихме тази система, намираме точката М 1 (1;2;0).

По същия начин, ако приемем г= 0, получаваме пресечната точка на правата с равнината xOz:

От общите уравнения на правата може да се премине към нейните канонични или параметрични уравнения. За да направите това, трябва да намерите някаква точка М 1 на права линия и вектора на посоката на права линия.

Координати на точки М 1 получаваме от тази система от уравнения, давайки на една от координатите произволна стойност. За да намерите вектора на посоката, имайте предвид, че този вектор трябва да е перпендикулярен и на двата нормални вектора И . Следователно отвъд вектора на посоката на правата линия лможете да го вземете векторен продуктнормални вектори:

Пример.Водя общи уравненияправ към каноничната форма.

Нека намерим точка, лежаща на права. За да направите това, избираме произволно една от координатите, например г= 0 и решете системата от уравнения:

Нормалните вектори на равнините, определящи правата, имат координати Следователно векторът на посоката ще бъде прав

. следователно л: .

ЪГЪЛ МЕЖДУ ПРАВИТЕ

Ъгълмежду прави линии в пространството ще наречем всеки от съседните ъгли, образувани от две прави линии, прекарани през произволна точка, успоредна на данните.

Нека в пространството са дадени два реда:

Очевидно ъгълът φ между прави линии може да се приеме като ъгъл между техните насочващи вектори и . Тъй като , тогава използвайки формулата за косинус на ъгъла между векторите, получаваме

Нека в пространството са дадени два реда:

Условията на успоредност и перпендикулярност на две прави линии са еквивалентни на условията на успоредност и перпендикулярност на техните насочващи вектори и:

Две прави паралелентогава и само ако съответните им коефициенти са пропорционални, т.е. л 1 паралел л 2 ако и само ако е успореден на .

Две прави перпендикулярентогава и само ако сумата от произведенията на съответните коефициенти е равна на нула: .

U гол между права и равнина

Нека е направо д- не е перпендикулярна на равнината θ;
д′− проекция на права дкъм равнината θ;
Най-малкият ъгъл между прави линии дИ д„ще се обадим ъгъл между права линия и равнина.
Нека го означим като φ=( д,θ)
Ако д⊥θ, тогава ( д,θ)=π/2

Ой→й→к→− правоъгълна системакоординати
Уравнение на равнината:

θ: брадва+от+Cz+д=0

Приемаме, че правата линия е дефинирана от точка и насочващ вектор: д[М 0,стр→]
вектор н→(А,б,° С)⊥θ
След това остава да разберете ъгъла между векторите н→ и стр→, нека го обозначим като γ=( н→,стр→).

Ако ъгълът γ<π/2 , то искомый угол φ=π/2−γ .

Ако ъгълът е γ>π/2, тогава желаният ъгъл е φ=γ−π/2

sinφ=sin(2π−γ)=cosγ

sinφ=sin(γ−2π)=−cosγ

Тогава, ъгъл между права и равнинаможе да се изчисли по формулата:

sinφ=∣cosγ∣=∣ ∣ Ап 1+Bp 2+Cp 3∣ ∣ √А 2+б 2+° С 2√стр 21+стр 22+стр 23

Въпрос 29. Концепцията за квадратна форма. Знакова определеност на квадратни форми.

Квадратична форма j (x 1, x 2, …, x n) n реални променливи x 1, x 2, …, x nсе нарича сбор от формата , (1)

Където a ij – някои числа, наречени коефициенти. Без загуба на общост можем да предположим, че a ij = а джи.

Квадратната форма се нарича валиден,Ако a ij Î GR. Матрица с квадратна формасе нарича матрица, съставена от нейните коефициенти. Квадратната форма (1) съответства на единична симетрична матрица, т.е. A T = A. следователно квадратна форма(1) може да се запише в матрична форма j ( х) = x T Ah, Където х Т = (х 1 х 2 … x n). (2)

И обратно, всяка симетрична матрица (2) съответства на уникална квадратична форма до записа на променливи.

Ранг на квадратична формасе нарича ранг на неговата матрица. Квадратната форма се нарича неизроден,ако неговата матрица е неособена А. (припомнете си, че матрицата Асе нарича неизроден, ако неговият детерминант не е такъв равно на нула). В противен случай квадратичната форма е изродена.

положително определено(или строго положително), ако

j ( х) > 0 , за всеки х = (х 1 , х 2 , …, x n), с изключение х = (0, 0, …, 0).

Матрица Аположително определена квадратна форма j ( х) се нарича още положително определен. Следователно положително определена квадратна форма съответства на уникална положително определена матрица и обратно.

Квадратната форма (1) се нарича отрицателно определени(или строго отрицателно), ако

j ( х) < 0, для любого х = (х 1 , х 2 , …, x n), с изключение х = (0, 0, …, 0).

Подобно на горното, матрица с отрицателно определена квадратична форма също се нарича отрицателно определена.

Следователно положителната (отрицателно) определена квадратна форма j ( х) достига минималната (максималната) стойност j ( Х*) = 0 ат Х* = (0, 0, …, 0).

Имайте предвид, че повечето квадратни форми не са знакоопределени, тоест не са нито положителни, нито отрицателни. Такива квадратни форми се превръщат в 0 не само в началото на координатната система, но и в други точки.

Кога н> 2 са необходими специални критерии за проверка на знака на квадратична форма. Нека да ги разгледаме.

Големи непълнолетниквадратична форма се наричат незначителни:

тоест това са второстепенни от порядъка на 1, 2, ..., нматрици А, разположен в горния ляв ъгъл, последният от тях съвпада с детерминантата на матрицата А.

Критерий за положителна определеност (Критерий на Силвестър)

х) = x T Ahе положително определен, е необходимо и достатъчно всички главни второстепенни на матрицата Абяха положителни, т.е. М 1 > 0, М 2 > 0, …, M n > 0. Критерий за отрицателна сигурност За да може квадратната форма j ( х) = x T Ahе бил отрицателно определен, е необходимо и достатъчно главните му минори от четен ред да са положителни, а от нечетен – отрицателни, т.е. М 1 < 0, М 2 > 0, М 3 < 0, …, (–1)н

С помощта на този онлайн калкулатор можете да намерите ъгъла между прави линии. дадени подробно решениес обяснения. За да изчислите ъгъла между прави линии, задайте размер (2, ако се разглежда права линия в равнина, 3, ако се разглежда права линия в пространството), въведете елементите на уравнението в клетките и щракнете върху „Решаване“ бутон. Вижте теоретичната част по-долу.

Внимание

Изчистване на всички клетки?

Затвори Изчисти

Инструкции за въвеждане на данни.Числата се въвеждат като цели числа (примери: 487, 5, -7623 и т.н.), десетични знаци (напр. 67., 102,54 и т.н.) или дроби. Дробта трябва да бъде въведена във формата a/b, където a и b (b>0) са цели или десетични числа. Примери 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.н.

1. Ъгъл между прави в равнина

Линиите се определят от канонични уравнения

1.1. Определяне на ъгъл между прави

Пуснете линиите в двумерно пространство Л 1 и Л

Така от формула (1.4) можем да намерим ъгъла между правите линии Л 1 и Л 2. Както се вижда от фиг. 1, пресичащите се прави образуват съседни ъгли φ И φ 1. Ако намереният ъгъл е по-голям от 90°, тогава можете да намерите минималния ъгъл между прави линии Л 1 и Л 2: φ 1 =180-φ .

От формула (1.4) можем да изведем условията за успоредност и перпендикулярност на две прави.

Пример 1. Определете ъгъла между линиите

Нека опростим и решим:

1.2. Условие за успоредни прави

Позволявам φ =0. Тогава cosφ=1. В този случай изразът (1.4) ще приеме следната форма:

Пример 2: Определете дали правите са успоредни

Равенството (1.9) е изпълнено, следователно правите (1.10) и (1.11) са успоредни.

Отговор. Правите (1.10) и (1.11) са успоредни.

1.3. Условие за перпендикулярност на правите

Позволявам φ =90°. Тогава cosφ=0. В този случай изразът (1.4) ще приеме следната форма:

Пример 3. Определете дали правите са перпендикулярни

Условието (1.13) е изпълнено, следователно правите (1.14) и (1.15) са перпендикулярни.

Отговор. Правите (1.14) и (1.15) са перпендикулярни.

Линиите се определят от общи уравнения

1.4. Определяне на ъгъл между прави

Нека две прави линии Л 1 и Л 2 са дадени с общи уравнения

От дефиницията на скаларното произведение на два вектора имаме:

Пример 4. Намерете ъгъла между линиите

Заместващи стойности А 1 , б 1 , А 2 , б 2 в (1.23), получаваме:

Този ъгъл е по-голям от 90°. Нека намерим минималния ъгъл между прави линии. За да направите това, извадете този ъгъл от 180:

От друга страна, условието за успоредни прави Л 1 и Л 2 е еквивалентно на условието за колинеарност на векторите н 1 и н 2 и може да се представи по следния начин:

Равенството (1.24) е изпълнено, следователно правите (1.26) и (1.27) са успоредни.

Отговор. Правите (1.26) и (1.27) са успоредни.

1.6. Условие за перпендикулярност на правите

Условие за перпендикулярност на правите Л 1 и Л 2 може да се извлече от формула (1.20) чрез заместване cos(φ )=0. Тогава скаларно произведение (н 1 ,н 2)=0. Където

Равенството (1.28) е изпълнено, следователно правите (1.29) и (1.30) са перпендикулярни.

Отговор. Правите (1.29) и (1.30) са перпендикулярни.

2. Ъгъл между прави в пространството

2.1. Определяне на ъгъл между прави

Нека в пространството има прави линии Л 1 и Л 2 са дадени чрез канонични уравнения

където | р 1 | и | р 2 | векторни модули на посоката р 1 и р 2 съответно, φ -ъгъл между векторите р 1 и р 2 .

От израз (2.3) получаваме:

Нека опростим и решим:

Да намерим ъгъла φ

Определение.Ако са дадени две прави y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, тогава острия ъгъл между тези линии ще бъде определен като

Две прави са успоредни, ако k 1 = k 2. Две прави са перпендикулярни, ако k 1 = -1/ k 2.

Теорема.Правите Ax + Bу + C = 0 и A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 са успоредни, когато коефициентите A 1 = λA, B 1 = λB са пропорционални. Ако също C 1 = λC, тогава правите съвпадат. Координатите на пресечната точка на две прави се намират като решение на системата от уравнения на тези прави.

Уравнение на права, минаваща през дадена точка

Перпендикулярно на дадена права

Определение.Права линия, минаваща през точката M 1 (x 1, y 1) и перпендикулярна на правата линия y = kx + b, е представена от уравнението:

Разстояние от точка до линия

Теорема.Ако е дадена точка M(x 0, y 0), тогава разстоянието до правата Ax + Bу + C = 0 се определя като

Доказателство.Нека точка M 1 (x 1, y 1) е основата на перпендикуляра, пуснат от точка M към дадена права линия. Тогава разстоянието между точките M и M 1:

(1)

Координатите x 1 и y 1 могат да бъдат намерени чрез решаване на системата от уравнения:

Второто уравнение на системата е уравнението на минаващата права дадена точка M 0 е перпендикулярна на дадена права линия. Ако трансформираме първото уравнение на системата във вида:

A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

тогава, решавайки, получаваме:

Замествайки тези изрази в уравнение (1), намираме:

Теоремата е доказана.

Пример. Определете ъгъла между правите: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.

k 1 = -3; k 2 = 2; tgφ = ; φ= p /4.

Пример. Покажете, че правите 3x – 5y + 7 = 0 и 10x + 6y – 3 = 0 са перпендикулярни.

Решение. Намираме: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1* k 2 = -1, следователно, линиите са перпендикулярни.

Пример. Дадени са върховете на триъгълника A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1). Намерете уравнението на височината, изтеглена от върха C.

Решение. Намираме уравнението на страната AB: ; 4 x = 6 y – 6;

2 x – 3 y + 3 = 0;

Необходимото уравнение на височината има формата: Ax + By + C = 0 или y = kx + b. k = . Тогава y = . защото надморска височина минава през точка C, тогава нейните координати удовлетворяват това уравнение: от където b = 17. Общо: .

Отговор: 3 x + 2 y – 34 = 0.

Уравнението на права, минаваща през дадена точка в дадена посока. Уравнение на права, минаваща през две дадени точки. Ъгълът между две прави. Условието за успоредност и перпендикулярност на две прави. Определяне на пресечната точка на две прави

1. Уравнение на права, минаваща през дадена точка А(х 1 , г 1) в дадена посока, определена от наклона к,

г - г 1 = к(х - х 1). (1)

Това уравнение дефинира молив от прави, минаващи през точка А(х 1 , г 1), който се нарича център на лъча.

2. Уравнение на права, минаваща през две точки: А(х 1 , г 1) и б(х 2 , г 2), написано така:

Ъгловият коефициент на права линия, минаваща през две дадени точки, се определя по формулата

3. Ъгъл между прави линии АИ бе ъгълът, на който трябва да се завърти първата права линия Аоколо точката на пресичане на тези линии обратно на часовниковата стрелка, докато съвпадне с втората линия б. Ако две прави линии са дадени чрез уравнения с наклон

г = к 1 х + б 1 ,

г = к 2 х + б 2 , (4)

тогава ъгълът между тях се определя по формулата

Трябва да се отбележи, че в числителя на дробта наклонът на първия ред се изважда от наклона на втория ред.

Ако уравненията на права са дадени в общ изглед

А 1 х + б 1 г + ° С 1 = 0,

А 2 х + б 2 г + ° С 2 = 0, (6)

ъгълът между тях се определя по формулата

4. Условия за успоредност на две прави:

а) Ако линиите са дадени с уравнения (4) с ъглов коефициент, тогава необходимите и достатъчно условиетехният паралелизъм се състои в равенството на техните ъглови коефициенти:

к 1 = к 2 . (8)

б) За случая, когато линиите са дадени с уравнения в общ вид (6), необходимо и достатъчно условие за тяхната успоредност е коефициентите за съответните текущи координати в техните уравнения да са пропорционални, т.е.

5. Условия за перпендикулярност на две прави:

а) В случай, когато линиите са дадени с уравнения (4) с ъглов коефициент, необходимо и достатъчно условие за тяхната перпендикулярност е ъгловите им коефициенти да са обратни по големина и противоположни по знак, т.е.

Това условие може да бъде записано и във формуляра

к 1 к 2 = -1. (11)

б) Ако уравненията на правите са дадени в общ вид (6), то условието за тяхната перпендикулярност (необходима и достатъчна) е да отговаря на равенството

А 1 А 2 + б 1 б 2 = 0. (12)

6. Координатите на пресечната точка на две прави се намират чрез решаване на системата от уравнения (6). Прави (6) се пресичат тогава и само ако

1. Напишете уравненията на прави, минаващи през точка M, едната от които е успоредна, а другата перпендикулярна на дадената права l.