Ще разглеждаме права на равнина като локусточки M(x, y), отговарящи на някакво условие.

Ако в Декартова системакоординати, запишете свойството, което имат всички точки на линията, като свържете координатите и някои константи, можете да получите уравнение от вида: F(x, y) = 0 или .

Пример. Напишете уравнението на окръжност с център в точка C(x 0 , y 0) и радиус R.

Окръжността е геометричното място на точки, еднакво отдалечени от точка C. Нека вземем точка M с текущи координати. След това |CM| = R или или .

Ако центърът на окръжността е в началото, тогава x 2 + y 2 = R 2 .

Не всяко уравнение от вида F(x, y) = 0 определя права в посочения смисъл: x 2 + y 2 = 0 е точка.

Направо в самолет.

Правите в дадена равнина са частен случай на прави в пространството. Следователно техните уравнения могат да бъдат получени от съответните уравнения на прави в пространството.

Общо уравнение на права върху равнина. Уравнение на права с ъглов коефициент.

Всяко директно към Самолет XOYможе да се посочи като пресечната линия на равнината Ax + By + Cz + D = 0 с равнината XOY: z = 0.

- права линия в равнината XOY: Ax + By + D = 0.

Полученото уравнение се нарича общо уравнениеправ. В бъдеще ще го запишем във формата:

Ax + By + C = 0 (1)

1) Нека , тогава или y = kx + b (2) – уравнение на права с ъглов коефициент. Нека разберем геометричен смисъл k и b.

Нека поставим x = 0. Тогава y = b е началната ордината на правата.

Нека поставим y = 0. Тогава ; - коефициент на наклон на права линия.

Особени случаи: а) b = 0, y=kx – правата минава през началото; б) k = 0, y = b – права, успоредна на оста OX; б) ако B = 0, тогава Ax + C = 0, ,

Това е геометричното място на точките с постоянни абсциси, равни на a, т.е. правата е перпендикулярна на оста OX.

Уравнение на права линия в отсечки.

Нека е дадено общото уравнение на правата: Ax + By + C = 0 и . Нека разделим двете страни на –C:

или (3),

Където ; . Това е уравнение на права в сегменти. Числата a и b са стойностите на сегментите, отрязани на координатните оси.

Уравнение на права, преминаваща през тази точкасъс зададен наклон.

Нека е дадена точка M 0 (x 0 , y 0), лежаща на права линия L и ъглов коефициент k. Нека напишем уравнението:

Тук b е неизвестно. Нека го намерим, като вземем предвид, че M 0 L:

y 0 = kx 0 + b (**).

Извадете термин по член от (1) (2):

y – y 0 = k(x – x 0) (4).

Уравнението на права, минаваща през дадена точка в дадена посока.

Уравнение на права, минаваща през две дадени точки.

Нека са дадени две точки M 1 (x 1 , y 1) и M 2 (x 2 , y 2) L. Нека запишем уравнение (4) във вида: y – y 1 = k(x – x 1). защото M 2 L, тогава y 2 – y 1 = k(x 2 – x 1). Нека го разделим термин по термин:

(5),

Това уравнение има смисъл, ако , . Ако x 1 = x 2, тогава M 1 (x 1, y 1) и M 2 (x 1, y 2). Ако y 2 = y 1, тогава M 1 (x 1, y 1); M 2 (x 2, y 1).

Така, ако един от знаменателите в (5) стане нула, съответният числител трябва да бъде зададен равен на нула.

Пример. M 1 (3, 1) и M 2 (-1, 4). Напишете уравнението на правата, минаваща през тези точки. Намерете k.

Уравнение на права на равнина.

Както е известно, всяка точка от равнината се определя от две координати в някаква координатна система. Координатните системи могат да бъдат различни в зависимост от избора на основа и произход.

Определение.Уравнение на линиятасе нарича отношение y = f(x ) между координатите на точките, изграждащи тази линия.

Обърнете внимание, че уравнението на права може да бъде изразено параметрично, т.е. всяка координата на всяка точка се изразява чрез някакъв независим параметърT.

Типичен пример е траекторията на движеща се точка. В този случай ролята на параметър се играе от времето.

Уравнение на права на равнина.

Определение. Всяка права линия в равнината може да бъде определена чрез уравнение от първи ред

Ax + Wu + C = 0,

Освен това константите A и B не са равни на нула едновременно, т.е. A 2 + B 2¹ 0. Това уравнение от първи ред се нарича общо уравнение на права линия.

В зависимост от стойностите константа A, Bи C са възможни следните специални случаи:

C = 0, A ¹ 0, B ¹ 0 – права линия минава през началото

A = 0, B ¹ 0, C ¹ 0 ( Чрез + C = 0) - права линия, успоредна на оста Ox

B = 0, A ¹ 0, C ¹ 0 ( Ax + C = 0) – права, успоредна на оста Oy

B = C = 0, A ¹ 0 – правата линия съвпада с оста Oy

A = C = 0, B ¹ 0 – правата линия съвпада с оста Ox

Уравнението на права линия може да бъде представено в в различни формив зависимост от дадени начални условия.

Разстояние от точка до права.

Теорема. Ако е дадена точка M(x 0, y 0), тогава разстоянието до правата Ax + Bу + C = 0 се определя като

.

Доказателство. Нека точка M 1 (x 1, y 1) е основата на перпендикуляра, пуснат от точка M към дадена права линия. Тогава разстоянието между точките M и M 1:

(1)

Координати х 1 и y 1 може да се намери като решение на системата от уравнения:

Второто уравнение на системата е уравнението на права, минаваща през дадена точка M 0 перпендикулярно на дадена права.

Ако трансформираме първото уравнение на системата във вида:

A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

тогава, решавайки, получаваме:

Замествайки тези изрази в уравнение (1), намираме:

.

Теоремата е доказана.

Пример.Определете ъгъла между прави линии: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.

K 1 = -3; k 2 = 2 tg j = ; j = p /4.

Пример.Покажете, че правите 3x – 5y + 7 = 0 и 10x + 6y – 3 = 0 са перпендикулярни.

Намираме: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1 k 2 = -1, следователно, линиите са перпендикулярни.

Пример.Дадени са върховете на триъгълник A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1). Намерете уравнението на височината, изтеглена от върха C.

10.1. Основни понятия

Права на равнина се разглежда (посочва) като набор от точки, които имат някакво геометрично свойство, присъщо само на тях. Например окръжност с радиус R е множеството от всички точки на равнината, разположени на разстояние - R от някаква фиксирана точка O (центъра на окръжността).

Въвеждането на координатна система в равнината позволява да се определи позицията на точка в равнината чрез задаване на две числа - нейните координати и позицията на права в равнината, която се определя с помощта на уравнение (т.е. равенство, свързващо координатите на точки от линията).

Уравнение на линията(или крива) в равнината Oxy е такова уравнение F(x;y) = 0 с две променливи, което е удовлетворено от координатите x и y на всяка точка от правата и не е удовлетворено от координатите на никоя точка, която не е лежащ на тази линия.

Променливите x и y в уравнението на линията се наричат ​​текущи координати на точките на линията.

Уравнението на линия позволява изучаването на геометричните свойства на правата да бъде заменено с изучаването на нейното уравнение.

И така, за да се установи дали точка A(x 0 ; y 0) лежи на дадена права, достатъчно е да се провери (без да се прибягва до геометрични конструкции) дали координатите на точка A удовлетворяват уравнението на тази права в избраната координата система.

Проблемът за намиране на пресечните точки на две прави, дадени от уравненията F 1 (x 1 ;y 1) = 0 и F 2 (x 2 ;y) = 0, се свежда до намиране на точки, чиито координати удовлетворяват уравненията на двете линии, т.е. свежда се до решаване на система от две уравнения с две неизвестни:

Ако тази система няма реални решения, тогава линиите не се пресичат.

По подобен начин се въвежда понятието уравнение на права в полярна координатна система.

Уравнението F(r; φ)=O се нарича уравнение на дадена права в полярната координатна система, ако координатите на всяка точка, лежаща на тази права, и само те, удовлетворяват това уравнение.

Права в равнина може да се дефинира с помощта на две уравнения:

където x и y са координатите на произволна точка M(x; y), лежаща на дадена права, а t е променлива, наречена параметър; параметърът t определя позицията на точката (x; y) върху равнината.

Например, ако x = t + 1, y = t 2, тогава стойността на параметъра t = 1 съответства на точката (3; 4) на равнината, тъй като x = 1 + 1 = 3, y = 22 - 4.

Ако параметърът t се промени, тогава точката на равнината се премества, описвайки тази права. Този метод за дефиниране на линия се нарича параметричени уравнения (10.1) - параметрични уравнениялинии.

За да се премине от параметрични уравнения на линия към уравнение във формата F(x;y) = 0, е необходимо по някакъв начин да се елиминира параметърът t от двете уравнения.

Например от уравненията чрез заместване на t = x

във второто уравнение е лесно да се получи уравнението y = x 2 ; или y-x 2 = 0, т.е. във формата F(x; y) = 0. Имайте предвид обаче, че такъв преход не е винаги е възможно.

Права в равнина може да бъде определена чрез векторно уравнение r =r(t), където t е параметър на скаларна променлива. Всяка стойност t 0 съответства на определен вектор r =r(t)самолет. Когато параметърът t се промени, краят на вектора r =r(t)ще опише определена линия (виж фиг. 31).

Уравнение на векторна линия r =r(t)в координатната система Oxy съответстват две скаларни уравнения (10.1), т.е. уравненията на проекциите върху координатните оси на векторното уравнение на правата са нейните параметрични уравнения. I Векторното уравнение и параметричните уравнения на линията I имат механичен смисъл. Ако една точка се движи по равнина, тогава посочените уравнения се наричат ​​уравнения на движението, а правата се нарича траектория на точката; параметърът t е време. И така, всяка права на равнината съответства на някакво уравнение от вида F(x; y) = 0.

На всяко уравнение във формата F(x; y) = 0 съответства, най-общо казано, определена линия, чиито свойства се определят от това уравнение (изразът „най-общо казано“ означава, че горното позволява изключения. По този начин, уравнението (x-2) 2 + (y- 3) 2 = 0 не съответства на правата, а на точката (2; 3); уравнението x 2 + y 2 + 5 = 0 не съответства на никакво геометрично изображение на самолета).

IN аналитична геометрияв самолета възникват два основни проблема. Първо: знаейки геометрични свойствакрива, намерете нейното уравнение) второ: познавайки уравнението на кривата, проучете нейната форма и свойства.

Фигури 32-40 показват примери за някои криви и техните уравнения.

10.2. Уравнения на права върху равнина

Най-простата от линиите е правата линия. Различни начини за определяне на права линия съответстват в правоъгълна координатна система различни видовенейните уравнения.

Уравнение на права линия с наклон

Нека е дадена произволна права линия в равнината Oxy, а не успоредна на оста OU. Неговата позиция се определя напълно от ординатата b на пресечната точка N(0; b) с оста Oy и ъгъла a между оста Ox и правата линия (виж фиг. 41).

Под ъгъл a (0

От определението за тангенс на ъгъл следва, че

Нека въведем обозначението tg a=k , получаваме уравнението

(10.2)

което се удовлетворява от координатите на всяка точка M(x;y) на правата. Можете да се уверите, че координатите на всяка точка P(x;y), лежаща извън тази линия, не отговарят на уравнение (10.2).

Числото k = tga се нарича наклон на правата, а уравнението (10.2) е уравнението на правата с наклона.

Ако една права минава през началото, тогава b = 0 и следователно уравнението на тази права ще има формата y=kx.

Ако правата линия е успоредна на оста Ox, тогава a = 0, следователно k = tga = 0 и уравнение (10.2) приема формата y = b.

Ако правата линия е успоредна на оста Oy, тогава уравнението (10.2) губи смисъла си, тъй като за него ъгловият коефициент не съществува.

В този случай уравнението на правата ще има формата

Където а- абсцисата на пресечната точка на правата с оста Ox. Забележете, че уравнения (10.2) и (10.3) са уравнения от първа степен.

Общо уравнение на права линия.

Нека разгледаме уравнение от първа степен за x и y в общ вид

(10.4)

където A, B, C са произволни числа, а A и B не са равни на нула едновременно.

Нека покажем, че уравнение (10.4) е уравнение на права линия. Има два възможни случая.

Ако B = 0, тогава уравнението (10.4) има формата Ax + C = O, а A ¹ 0, т.е. Това е уравнението на права линия, успоредна на оста Oy и минаваща през точката

Ако B ¹ 0, тогава от уравнение (10.4) получаваме . Това е уравнението на права линия с ъглов коефициент |.

И така, уравнение (10.4) е уравнение на права линия, така се нарича общо уравнение на правата.

Някои специални случаи на общото уравнение на линия:

1) ако A = 0, тогава уравнението се редуцира до формата. Това е уравнението на права линия, успоредна на оста Ox;

2) ако B = 0, то правата е успоредна на оста Oy;

3) ако C = 0, тогава получаваме . Уравнението се удовлетворява от координатите на точката O(0;0), правата минава през началото.

Уравнение на права, минаваща през дадена точка в дадена посока

Нека права линия минава през точка и нейната посока се определя от наклона k. Уравнението на тази линия може да бъде написано във формата , където b е неизвестна в момента величина. Тъй като правата минава през точката, координатите на точката отговарят на уравнението на правата:. Оттук. Замествайки стойността на b в уравнението, получаваме желаното уравнение на линията: , т.е.

(10.5)

Уравнение (10.5) с различни стойности на k също се нарича уравнения на молив от линии с център в точката. От този молив е невъзможно да се определи само права линия, успоредна на оста Oy.

Уравнение на права, минаваща през две точки

Нека правата минава през точките и . Уравнението на правата линия, минаваща през точката M 1, има формата

(10.6)

където k е все още неизвестен коефициент.

Тъй като правата минава през точката, координатите на тази точка трябва да отговарят на уравнение (10.6): . Тук го намираме. Замествайки намерената стойност на k в уравнение (10.6), получаваме уравнението на правата линия, минаваща през точките М 1 и М 2.

(10.7)

Приема се, че в това уравнение

Ако x 2 = x 1 е права, минаваща през точките и успоредна на ординатата. Неговото уравнение изглежда като .

Ако y 2 = y 1, тогава уравнението на правата може да бъде написано във формата линия М 1 М 2успоредна на оста x.

Уравнение на права в отсечки

Нека правата пресича оста Ox в точката и оста Oy в точката (виж Фиг. 42). В този случай уравнението (10.7) ще приеме формата

Това уравнение се нарича уравнение на права линия в сегменти, тъй като числата α и b показват кои сегменти отсича правата линия върху координатните оси.

Уравнение на права, минаваща през дадена точка перпендикулярно на даден вектор

Нека намерим уравнението на права линия, минаваща през дадена точка, перпендикулярна на даден ненулев вектор.

Нека вземем произволна точка M(x;y) на правата и да разгледаме вектора (виж Фиг. 43). Тъй като векторите и са перпендикулярни, тяхното скаларно произведение е равно на нула: , т.е

Уравнение (10.8) се нарича уравнение на права линия, минаваща през дадена точка перпендикулярно на даден вектор.

Вектор, перпендикулярен на права, се нарича нормален вектор на тази права. Уравнение (10.8) може да бъде пренаписано като

(10.9)

където A и B са координатите на нормалния вектор и е свободният член. Уравнение (10.9) е общото уравнение на права линия (виж (10.4)).

Полярно уравнение на права

Нека намерим уравнението на права линия в полярни координати. Неговата позиция може да се определи чрез посочване на разстоянието ρ от полюса O до дадена права линия и ъгъла α между полярната ос OP и оста л, минаваща през полюса O перпендикулярно на тази права (виж фиг. 44).

За всяка точка на дадена линия имаме:

От друга страна,

следователно

(10.10)

Полученото уравнение (10.10) е уравнението на права линия в полярни координати.

Нормално уравнение на права

Нека правата се определи чрез задаване на p и α (виж Фиг. 45). Да разгледаме правоъгълна координатна система. Нека представим полярната система, като вземем полюса и полярната ос. Уравнението на права линия може да бъде написано като

Но поради формулите, свързващи правоъгълни и полярни координати, имаме: , . Следователно уравнението (10.10) на права линия в правоъгълна координатна система приема формата

(10.11)

Уравнение (10.11) се нарича нормално уравнение на права.

Нека покажем как да редуцираме уравнение (10.4) на права линия до формата (10.11).

Нека умножим всички членове на уравнение (10.4) по някакъв коефициент. Ще го вземем. Това уравнение трябва да се превърне в уравнение (10.11). Следователно трябва да са изпълнени равенствата: , , . От първите две равенства намираме, т.е. д. . Факторът λ се нарича нормализиращ фактор. Съгласно третото равенство знакът на нормиращия фактор е противоположен на знака на свободния член C на общото уравнение на правата.

Както е известно, всяка точка от равнината се определя от две координати в някаква координатна система. Координатните системи могат да бъдат различни в зависимост от избора на основа и произход.

Определение.Уравнение на линиятасе нарича връзката y = f(x) между координатите на точките, които образуват тази права.

Обърнете внимание, че уравнението на права може да бъде изразено параметрично, т.е. всяка координата на всяка точка се изразява чрез някакъв независим параметър T.

Типичен пример е траекторията на движеща се точка. В този случай ролята на параметър се играе от времето.

Уравнение на права на равнина.

Определение. Всяка права линия в равнината може да бъде определена чрез уравнение от първи ред

Ax + Wu + C = 0,

Освен това константите A и B не са равни на нула едновременно, т.е. A 2 + B 2 ¹ 0. Това уравнение от първи ред се нарича общо уравнение на права линия.

В зависимост от стойностите на константите A, B и C са възможни следните специални случаи:

C = 0, A ¹ 0, B ¹ 0 – правата минава през началото

A = 0, B ¹ 0, C ¹ 0 (By + C = 0) - права линия, успоредна на оста Ox

B = 0, A ¹ 0, C ¹ 0 (Ax + C = 0) – права линия, успоредна на оста Oy

B = C = 0, A ¹ 0 – правата линия съвпада с оста Oy

A = C = 0, B ¹ 0 – правата съвпада с оста Ox

Уравнението на права линия може да бъде представено в различни форми в зависимост от дадени начални условия.

Уравнение на права от точка и нормален вектор.

Определение. В декартовата правоъгълна координатна система вектор с компоненти (A, B) е перпендикулярен на правата линия, дадена от уравнението Ax + By + C = 0.

Пример.Намерете уравнението на правата, минаваща през точката A(1, 2), перпендикулярна на вектора (3, -1).

При A = 3 и B = -1, нека съставим уравнението на правата: 3x – y + C = 0. За да намерим коефициента C, заместваме координатите на дадената точка A в получения израз.

Получаваме: 3 – 2 + C = 0, следователно C = -1.

Общо: необходимото уравнение: 3x – y – 1 = 0.

Уравнение на права, минаваща през две точки.

Нека две точки M 1 (x 1, y 1, z 1) и M 2 (x 2, y 2, z 2) са дадени в пространството, тогава уравнението на правата, минаваща през тези точки, е:

Ако някой от знаменателите е нула, съответният числител трябва да бъде равен на нула.

На равнината уравнението на правата линия, написано по-горе, е опростено:

ако x 1 ¹ x 2 и x = x 1, ако x 1 = x 2.

Дробта = k се нарича наклонправ.

Пример.Намерете уравнението на правата, минаваща през точки A(1, 2) и B(3, 4).

Прилагайки формулата, написана по-горе, получаваме:

Уравнение на права линия с помощта на точка и наклон.

Ако общото уравнение на правата Ax + By + C = 0 се редуцира до формата:

и означаваме , тогава полученото уравнение се нарича уравнение на права линия с наклон k.

Уравнение на права от точка и насочващ вектор.

По аналогия с точката, разглеждаща уравнението на права линия през нормален вектор, можете да въведете дефиницията на права линия през точка и насочващия вектор на правата линия.

Определение. Всеки ненулев вектор (a 1 , a 2), компонентите на който отговарят на условието Aa 1 + Ba 2 = 0, се нарича насочващ вектор на правата.

Ax + Wu + C = 0.

Пример.Намерете уравнението на права линия с насочващ вектор (1, -1) и минаваща през точката A(1, 2).

Ще търсим уравнението на желаната линия във формата: Ax + By + C = 0. В съответствие с дефиницията коефициентите трябва да отговарят на условията.

Права в равнина е набор от точки в тази равнина, които имат определени свойства, докато точките, които не лежат на дадена права, нямат тези свойства. Уравнението на права дефинира аналитично изразена връзка между координатите на точките, лежащи на тази права. Нека тази връзка е дадена от уравнението

F( x,y)=0. (2.1)

Двойка числа, удовлетворяващи (2.1), не е произволна: ако хдадено, тогава прине може да бъде нищо, смисъл присвързани с х. Когато се промени хпромени при, и точка с координати ( x,y) описва този ред. Ако координатите на точка M 0 ( х 0 ,при 0) отговарят на уравнение (2.1), т.е. F( х 0 ,при 0)=0 е вярно равенство, тогава точка M 0 лежи на тази права. Обратното също е вярно.

Определение. Уравнение на права в равнина е уравнение, което е удовлетворено от координатите на всяка точка, лежаща на тази права, и не е удовлетворено от координатите на точки, които не лежат на тази права.

Ако уравнението на определена линия е известно, тогава изучаването на геометричните свойства на тази линия може да се сведе до изследване на нейното уравнение - това е една от основните идеи на аналитичната геометрия. За изучаване на уравнения има добре разработени методи за математически анализ, които опростяват изучаването на свойствата на линиите.

Когато се разглеждат линиите, се използва терминът текуща точкалиния – променлива точка M( x,y), движейки се по тази линия. Координати хИ присе наричат ​​текуща точка текущи координатилинейни точки.

Ако от уравнение (2.1) можем да изразим изрично при
през х, т.е. напишете уравнение (2.1) във формата , тогава кривата, дефинирана от такова уравнение, се нарича графикфункции f(x).

1. Дадено е уравнението: , или . Ако хтогава приема произволни стойности приприема стойности, равни на х. Следователно линията, определена от това уравнение, се състои от точки, еднакво отдалечени от координатните оси Ox и Oy - това е ъглополовящата на координатните ъгли I–III (права линия на фиг. 2.1).

Уравнението или определя ъглополовящата на координатните ъгли II–IV (права линия на фиг. 2.1).

0 x 0 x C 0 x

ориз. 2.1 фиг. 2.2 фиг. 2.3

2. Дадено е уравнението: , където C е някаква константа. Това уравнение може да бъде написано по различен начин: . Това уравнение се удовлетворява от тези и само тези точки, ординати прикоито са равни на C за всяка стойност на абсцисата х. Тези точки лежат на права линия, успоредна на оста Ox (фиг. 2.2). По същия начин уравнението определя права линия, успоредна на оста Oy (фиг. 2.3).

Не всяко уравнение от формата F( x,y)=0 определя права в равнината: уравнението е изпълнено от една точка – O(0,0), а уравнението не е изпълнено от никоя точка от равнината.

В дадените примери използвахме дадено уравнение, за да построим линия, определена от това уравнение. Нека разгледаме обратната задача: съставете нейното уравнение, като използвате дадена линия.

3. Създайте уравнение за окръжност с център в точка P( а,б) И
радиус R .

○ Окръжност с център в точка P и радиус R е набор от точки, разположени на разстояние R от точка P. Това означава, че за всяка точка M, лежаща на окръжността, MP = R, но ако точката M не лежи на кръга, тогава MP ≠ R.. ●

Подобни статии