Формула за произведение на два вектора. Векторно произведение на вектори онлайн

Векторни произведения на изкуствотое псевдовектор, перпендикулярен на равнина, конструиран от два фактора, който е резултат от двоичната операция „векторно умножение“ върху вектори в тримерното евклидово пространство. Векторното произведение не притежава свойствата на комутативност и асоциативност (то е антикомутативно) и за разлика от скаларното произведение на векторите е вектор. Широко използван в много инженерни и физични приложения. Например ъгловият момент и силата на Лоренц се записват математически като векторно произведение. Кръстосаното произведение е полезно за "измерване" на перпендикулярността на векторите - модулът на кръстосаното произведение на два вектора е равен на произведението на техните модули, ако са перпендикулярни, и намалява до нула, ако векторите са успоредни или антипаралелни.

Векторното произведение може да бъде дефинирано по различни начини и теоретично, в пространство с произволно измерение n, можете да изчислите произведението на n-1 вектора, като по този начин получавате единичен вектор, перпендикулярно на всички тях. Но ако продуктът е ограничен до нетривиални двоични продукти с векторни резултати, тогава традиционният векторен продукт е дефиниран само в триизмерни и седемизмерни пространства. Резултатът от векторно произведение, подобно на скаларно произведение, зависи от метриката на евклидовото пространство.

За разлика от формулата за изчисляване на координатите на векторите на точковия продукт в триизмерна правоъгълна координатна система, формулата за кръстосаното произведение зависи от ориентацията правоъгълна системакоординати или с други думи неговата „хиралност“.

определение:
Векторното произведение на вектор a и вектор b в пространството R3 е вектор c, който отговаря на следните изисквания:
дължината на вектор c е равна на произведението от дължините на векторите a и b и синуса на ъгъла φ между тях:
|c|=|a||b|sin φ;
вектор c е ортогонален на всеки от векторите a и b;
вектор c е насочен така, че тройката от вектори abc е дясна;
в случая на пространството R7 се изисква асоциативността на тройката от вектори a, b, c.
Обозначаване:
c===a × b

Ориз. 1. Площта на паралелограма е равна на модула на векторния продукт

Геометрични свойства на напречното произведение:
Необходими и достатъчно условиеколинеарност на два ненулеви вектора е равенството на тяхното векторно произведение на нула.

Модул за кръстосани продукти равна на площ Суспоредник, конструиран върху вектори, редуцирани до общо начало аИ b(виж фиг. 1).

Ако д- единичен вектор, ортогонални на вектори аИ bи избрани така, че три a,b,e- правилно и Се площта на успоредника, конструиран върху тях (редуциран до общ произход), тогава формулата за векторния продукт е валидна:
=S e

Фиг.2. Обем на паралелепипед чрез векторно и скаларно произведение на вектори; пунктираните линии показват проекциите на вектор c върху a × b и вектор a върху b × c, първата стъпка е да се намерят скаларните произведения

Ако ° С- някакъв вектор, π - всяка равнина, съдържаща този вектор, д- единичен вектор, лежащ в равнината π и ортогонален на c,g- единичен вектор, ортогонален на равнината π и насочен така, че тройката от вектори екге прав, тогава за всяко лежане в самолета π вектор аформулата е правилна:
=Pr e a |c|g
където Pr e a е проекцията на вектор e върху a
|c|-модул на вектор c

Когато използвате векторни и скаларни продукти, можете да изчислите обема на паралелепипед, изграден върху вектори, намалени до общ произход а, бИ ° С. Такова произведение на три вектора се нарича смесено.
V=|a (b×c)|
Фигурата показва, че този обем може да бъде намерен по два начина: геометричният резултат се запазва дори когато „скаларните“ и „векторните“ произведения се разменят:
V=a×b c=a b×c

Големината на векторния продукт зависи от синуса на ъгъла между оригиналните вектори, така че векторният продукт може да се възприема като степента на „перпендикулярност“ на векторите, точно както скаларно произведениеможе да се разглежда като степента на "паралелизъм". Векторното произведение на два единични вектора е равно на 1 (единичен вектор), ако оригиналните вектори са перпендикулярни, и равно на 0 (нулев вектор), ако векторите са успоредни или антипаралелни.

Израз за кръстосаното произведение в декартови координати
Ако два вектора аИ bопределени от тяхната правоъгълна Декартови координати, или по-точно, са представени в ортонормална основа
a=(a x,a y,a z)
b=(b x,b y,b z)
и координатната система е дясна, тогава тяхното векторно произведение има формата
=(a y b z -a z b y,a z b x -a x b z,a x b y -a y b x)
За да запомните тази формула:
i =∑ε ijk a j b k
Където ε ijk- символ на Леви-Чивита.

Ще използваме таблицата с кръстосани произведения вектори i,jи к:

ако посоката на най-късия път от първия вектор до втория съвпада с посоката на стрелката, тогава произведението е равно на третия вектор; ако не съвпада, третият вектор се взема със знак минус.

Нека са дадени два вектора a=axi +ayj +azk и b =bxi +byj +bzk. Нека намерим векторното произведение на тези вектори, като ги умножим като полиноми (според свойствата на векторното произведение):
Получената формула може да се напише още по-кратко: тъй като дясната страна на равенството (7.1) съответства на разлагането на детерминанта от трети ред по отношение на елементите на първия ред. Равенството (7.2) е лесно за запомняне.

7.4. Някои приложения на кръстосано произведение

Установяване на колинеарност на вектори.
Намиране на лицето на успоредник и триъгълник

Според дефиницията на векторното произведение на векторите a и b |a xb | = |a| * |b |пеят, т.е. S двойки = |a x b |. И следователно DS =1/2|a x b |.

Определяне на момента на силата спрямо точка

Нека към точка A е приложена сила F = AB и O е някаква точка в пространството От физиката е известно, че моментът на сила F спрямо точка O е векторът M, който минава през точка O и:

1) перпендикулярна на равнината, минаваща през точки O, A, B;

2) е числено равно на произведението на силата от рамото 3) образува дясна тройка с вектори OA и A B.

Следователно M = OA x F. Намиране линейна скоростзавъртане

Скорост v на точка M твърдо, въртящ се с ъглова скорост w около неподвижна ос, се определя от формулата на Ойлер v =w xr, където r =OM, където O е някаква фиксирана точка на оста (виж фиг. 21).

Ъгъл между векторите

От дефиницията на скаларното произведение на два вектора следва, че Ако векторите и са зададени от координатите и , тогава формула (1.6.3.1) ще бъде написана като:

Площ на успоредник, изграден върху вектори

Задачите за измерване на дължини на сегменти, разстояния между точки, повърхнини и обеми на тела принадлежат към важен клас задачи, които обикновено се наричат метрични. В предишния раздел научихме как да използваме векторна алгебра за изчисляване на дължини на сегменти и разстояния между точки. Сега ще намерим начини за изчисляване на площи и обеми. Векторната алгебра ви позволява да поставяте и решавате такива проблеми само за сравнително прости случаи. За да се изчислят площите на произволни повърхности и обеми на произволни тела, са необходими методи за анализ. Но методите за анализ от своя страна разчитат значително на резултатите, които дава векторната алгебра.

За да решим проблема, избрахме доста дълъг и труден път, предложен от Хилберт Странг, свързан с множество геометрични трансформации и усърдни алгебрични изчисления. Избрахме този път въпреки факта, че има други подходи, които водят до целта по-бързо, защото ни се стори пряк и естествен. Прекият път в науката не винаги е най-лесният. Опитните знаят за това и предпочитат заобиколни пътеки, но ако не се опитате да вървите направо, можете да останете невежи за някои от тънкостите на теорията.

По пътя, който сме избрали, естествено се появяват понятия като пространствена ориентация, детерминанта, вектор и смесени продукти. Геометричният смисъл на определителя и неговите свойства е особено ясно разкрит, сякаш под микроскоп. Традиционно понятието детерминанта се въвежда в теорията на системите от линейни уравнения, но точно за решаването на такива системи детерминантата е почти безполезна. Геометричният смисъл на детерминантата е от съществено значение за векторната и тензорната алгебра.

Сега нека бъдем търпеливи и да започнем с най-простите и разбираеми случаи.

1. Векторите са ориентирани по координатните оси на декартовата координатна система.

Нека вектор a е насочен по оста x, а вектор b по оста y. На фиг. Фигура 21 показва четири различни опции за местоположението на векторите по отношение на координатните оси.

Вектори a и b в координатна форма: където a и b означават големината на съответния вектор, а a е знакът на векторната координата.

Тъй като векторите са ортогонални, успоредниците, построени върху тях, са правоъгълници. Техните площи са просто продукт на техните страни. Нека изразим тези произведения чрез векторни координати за всичките четири случая.

И четирите формули за изчисляване на площта са еднакви с изключение на знака. Можете просто да затворите очи и да запишете, че във всички случаи. Друга възможност обаче се оказва по-продуктивна: придаването на знака на някакъв смисъл. Нека разгледаме внимателно фиг. 21. В случаите, когато въртенето на вектор към вектор се извършва по посока на часовниковата стрелка. В случаите, когато сме принудени да използваме знак минус във формулата, въртенето на вектор към вектор се извършва обратно на часовниковата стрелка. Това наблюдение ни позволява да свържем знака в изразите за площ с ориентацията на равнината.

Площта на правоъгълник, изграден върху вектори a и b със знак плюс или минус, ще се счита за ориентирана област и знакът ще бъде свързан с ориентацията, зададена от векторите. За ориентирана област можем да напишем една формула за всичките четири разглеждани случая: . Лентовият знак „вектор“ над буквата S е въведен, за да се разграничи обикновената зона, която винаги е положителна, от ориентираната.

Освен това е очевидно, че същите вектори, взети в различен ред, определят противоположната ориентация, следователно, . Просто ще продължим да обозначаваме областта с буквата S и следователно .

Сега, когато изглежда, че с цената на разширяване на понятието площ сме получили общ израз, внимателният читател ще каже, че не сме разгледали всички възможности. Наистина, в допълнение към четирите опции за местоположението на векторите, представени на фиг. 21, има още четири (фиг. 22) Нека запишем векторите отново в координатна форма: Нека изразим площите чрез координатите на векторите. 4. . Знаците в новите изрази не са се променили, но, за съжаление, ориентацията по отношение на предишните четири случая се е променила. Следователно за ориентираната област сме принудени да напишем: . Въпреки че надеждата за гениална простота не беше оправдана, все пак можем да напишем общ израз за всичките четири случая.

Тоест, ориентираната площ на правоъгълник, изграден върху вектори, както на страни, е равна на детерминантата, съставена от координатите на вектори, както на колони.

Смятаме, че читателят е запознат с теорията на детерминантите, поради което не се спираме подробно на тази концепция. Въпреки това, ние даваме подходящи дефиниции, за да променим акцента и да покажем, че до тази концепция може да се стигне от чисто геометрични съображения. , , са различни форми на нотация за едно и също понятие - детерминанта, съставена от векторни координати, като колони. Равенство може да се приеме като негова дефиниция за двумерния случай.

2. Вектор b не е успореден на оста x; векторът a/ е произволен вектор.

За да намалим този случай до вече известните, нека разгледаме някои геометрични трансформации на успоредник, изграден върху вектори и (фиг. смесени продукти на вектори и неговите свойства

7.1. Дефиниция на кръстосано произведение

Три некомпланарни вектора a, b и c, взети в посочения ред, образуват дясна тройка, ако от края на третия вектор c най-късият завой от първия вектор a към втория вектор b се вижда до да бъде обратно на часовниковата стрелка и лява тройка, ако е по посока на часовниковата стрелка (виж Фиг. 16).

Векторното произведение на вектор a и вектор b се нарича вектор c, който:

1. Перпендикулярно на векторите a и b, т.е. c ^ a и c ^ b ;

2. Има дължина, числено равна на площта на успоредник, изграден върху вектори a иbкакто отстрани (виж фиг. 17), т.е.

3. Векторите a, b и c образуват дясна тройка.

Кръстосаното произведение се означава с a x b или [a,b]. Следните отношения между единичните вектори i следват пряко от дефиницията на векторния продукт, йИ к(виж Фиг. 18):

i x j = k, j x k = i, k x i = j.
Нека докажем, например, това i xj =k.

1) k ^ i, k ^ j ;

2) |k |=1, но | i x j| = |i | |J | sin(90°)=1;

3) вектори i, j и кобразуват дясна тройка (виж фиг. 16).

7.2. Свойства на кръстосано произведение

1. При пренареждане на факторите векторното произведение сменя знака, т.е. и xb =(b xa) (виж Фиг. 19).

Векторите a xb и b xa са колинеарни, имат еднакви модули (площта на паралелограма остава непроменена), но са противоположно насочени (тройки a, b, a xb и a, b, b x a с противоположна ориентация). Това е axb = -(b xa).

2. Векторното произведение има комбинирано свойствопо отношение на скаларния фактор, т.е. l (a xb) = (l a) x b = a x (l b).

Нека l >0. Векторът l (a xb) е перпендикулярен на векторите a и b. вектор ( ла) х bсъщо е перпендикулярна на векторите a и b(вектори a, лно лежат в една равнина). Това означава, че векторите л(a xb) и ( ла) х bколинеарен. Очевидно е, че посоките им съвпадат. Имат еднаква дължина:

Ето защо л(a xb)= л a xb. По подобен начин се доказва и за л<0.

3. Два ненулеви вектора a и bса колинеарни тогава и само ако тяхното векторно произведение е равно на нулевия вектор, т.е. a ||b<=>и xb =0.

По-специално, i *i =j *j =k *k =0 .

4. Векторният продукт има свойство на разпределение:

(а+б) xc = a xc + b xs.

Ще приемем без доказателства.

7.3. Изразяване на кръстосаното произведение чрез координати

Ще използваме таблицата с кръстосано произведение на вектори i, йи к:

Нека са дадени два вектора a =a x i +a y й+a z ки b = b x i+b г й+b z к. Нека намерим векторното произведение на тези вектори, като ги умножим като полиноми (според свойствата на векторното произведение):

Получената формула може да се напише още по-кратко:

тъй като дясната страна на равенството (7.1) съответства на разлагането на детерминанта от трети ред по отношение на елементите на първия ред. Равенството (7.2) е лесно за запомняне.

7.4. Някои приложения на кръстосано произведение

Установяване на колинеарност на вектори

Намиране на лицето на успоредник и триъгълник

Според дефиницията на векторното произведение на векторите Аи б |a xb | =|а | * |b |sin g, т.е. S двойки = |a x b |. И следователно D S =1/2|a x b |.

Определяне на момента на силата спрямо точка

Нека в точка А е приложена сила F = ABостави ОТНОСНО- някаква точка в пространството (виж фиг. 20).

От физиката е известно, че момент на сила Е спрямо точката ОТНОСНОнаречен вектор М,който минава през точката ОТНОСНОИ:

1) перпендикулярна на равнината, минаваща през точките О, А, Б;

2) числено равно на произведението на силата на рамо

3) образува дясна тройка с вектори OA и A B.

Следователно M = OA x F.

Намиране на линейна скорост на въртене

Скорост vточка М на въртящо се с ъглова скорост твърдо тяло wоколо фиксирана ос, се определя от формулата на Ойлер v = w xr, където r = OM, където O е някаква фиксирана точка на оста (виж Фиг. 21).

СМЕСЕН ПРОДУКТ ОТ ТРИ ВЕКТОРА И НЕГОВИТЕ СВОЙСТВА

Смесена работатри вектора се нарича число, равно на . Определен . Тук първите два вектора се умножават векторно и след това полученият вектор се умножава скаларно по третия вектор. Очевидно такъв продукт е определен брой.

Нека разгледаме свойствата на смесен продукт.

Геометрично значениесмесена работа. Смесеното произведение на 3 вектора с точност до знак е равно на обема на паралелепипеда, изграден върху тези вектори, като по ръбове, т.е. .
По този начин и .

Доказателство. Нека оставим настрана векторите от общото начало и върху тях построим паралелепипед. Нека обозначим и отбележим, че . По дефиниция на скаларното произведение

Приемайки това и обозначавайки с чнамерете височината на паралелепипеда.

По този начин, когато

Ако, тогава така. Следователно, .

Комбинирайки двата случая, получаваме или .

От доказателството на това свойство, по-специално, следва, че ако тройката от вектори е дясна, тогава смесеният продукт е , а ако е лява, тогава .
За всякакви вектори , , равенството е вярно
Доказателството за това свойство следва от свойство 1. Наистина, лесно е да се покаже, че и . Освен това знаците "+" и "–" се вземат едновременно, т.к ъглите между векторите и и и са едновременно остри и тъпи.
Когато всеки два фактора се пренаредят, смесеният продукт променя знака.
Всъщност, ако разгледаме смесен продукт, тогава, например, или
Смесено произведение тогава и само ако един от множителите е равен на нула или векторите са копланарни.
Доказателство.

Следователно необходимо и достатъчно условие за копланарността на 3 вектора е тяхното смесено произведение да е равно на нула. Освен това следва, че три вектора образуват основа в пространството, ако .

Ако векторите са дадени в координатна форма, тогава може да се покаже, че техният смесен продукт се намира по формулата:

.

Така смесеният продукт е равен на детерминанта от трети ред, който има координатите на първия вектор в първия ред, координатите на втория вектор във втория ред и координатите на третия вектор в третия ред.

Примери.

АНАЛИТИЧНА ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВОТО

Уравнението F(x, y, z)= 0 дефинира в пространството Oxyzнякаква повърхност, т.е. геометрично място на точки, чиито координати x, y, zудовлетворяват това уравнение. Това уравнение се нарича уравнение на повърхността и x, y, z– текущи координати.

Често обаче повърхността не се определя чрез уравнение, а като набор от точки в пространството, които имат едно или друго свойство. В този случай е необходимо да се намери уравнението на повърхността въз основа на нейните геометрични свойства.

САМОЛЕТ.

НОРМАЛЕН РАВНИНСКИ ВЕКТОР.

УРАВНЕНИЕ НА РАВНИНА, ПРЕМИНАВАЩА ПРЕЗ ДАДЕНА ТОЧКА

Нека разгледаме произволна равнина σ в пространството. Неговата позиция се определя чрез задаване на вектор, перпендикулярен на тази равнина и някаква фиксирана точка M0(х 0, y 0, z 0), лежаща в равнината σ.

Векторът, перпендикулярен на равнината σ, се нарича нормалновектор на тази равнина. Нека векторът има координати.

Нека изведем уравнението на равнината σ, минаваща през тази точка M0и има нормален вектор. За да направите това, вземете произволна точка от равнината σ M(x, y, z)и разгледайте вектора.

За всяка точка МО σ е вектор Следователно тяхното скаларно произведение е равно на нула. Това равенство е условието, че точката МО σ. Тя е валидна за всички точки на тази равнина и се нарушава веднага щом точката Мще бъде извън равнината σ.

Ако означим точките с радиус вектора М, – радиус вектор на точката M0, тогава уравнението може да бъде написано във формата

Това уравнение се нарича векторуравнение на равнината. Нека го запишем в координатна форма. От тогава

И така, получихме уравнението на равнината, минаваща през тази точка. По този начин, за да създадете уравнение на равнина, трябва да знаете координатите на нормалния вектор и координатите на някаква точка, разположена в равнината.

Забележете, че уравнението на равнината е уравнение от 1-ва степен по отношение на текущите координати x, yИ z.

Примери.

ОБЩО УРАВНЕНИЕ НА РАВНИНАТА

Може да се покаже, че всяко уравнение от първа степен по отношение на декартови координати x, y, zпредставлява уравнението на определена равнина. Това уравнение се записва като:

Ax+By+Cz+D=0

и се нарича общо уравнениеравнина и координатите А, Б, Втук са координатите на нормалния вектор на равнината.

Нека разгледаме специални случаи на общото уравнение. Нека разберем как се намира равнината спрямо координатната система, ако един или повече коефициенти на уравнението станат нула.

А е дължината на сегмента, отсечен от равнината на оста вол. По същия начин може да се покаже, че bИ ° С– дължини на сегменти, отсечени от разглежданата равнина върху осите ойИ Оз.

Удобно е да се използва уравнението на равнина в сегменти за конструиране на равнини.