Дадена е квадратна форма (2) А(х, х) = , където х = (х 1 , х 2 , …, х н). Помислете за квадратна форма в пространството Р 3, т.е х = (х 1 , х 2 , х 3), А(х, х) =
+
+
+
+
+
+ +
+
+
=
+
+
+ 2
+ 2
+ + 2
(използвахме условието за симетрия на формата, а именно А 12 = А 21 , А 13 = А 31 , А 23 = А 32). Нека напишем матрицата квадратна форма Ав основата ( д}, А(д) =
. Когато основата се промени, матрицата на квадратната форма се променя според формулата А(f) = ° С T А(д)° С, Където ° С– матрица на прехода от основата ( д) към основата ( f), А ° С T– транспонирана матрица ° С.

Определение11.12. Формата на квадратна форма с диагонална матрица се нарича каноничен.

Така че нека А(f) =
, Тогава А"(х, х) =
+
+
, Където х" 1 , х" 2 , х" 3 – векторни координати хна нова основа ( f}.

Определение11.13. Нека влезе н Vсе избира такава основа f = {f 1 , f 2 , …, f н), в която квадратната форма има формата

А(х, х) =
+
+ … +
, (3)

Където г 1 , г 2 , …, г н– векторни координати хв основата ( f). Извиква се израз (3). каноничен изгледквадратна форма. Коефициенти  1, λ 2, …, λ нса наречени каноничен; основа, в която квадратната форма има канонична форма, се нарича канонична основа.

Коментирайте. Ако квадратичната форма А(х, х) се редуцира до канонична форма, тогава, най-общо казано, не всички коефициенти  iса различни от нула. Рангът на квадратична форма е равен на ранга на нейната матрица във всеки базис.

Нека рангът на квадратната форма А(х, х) е равно r, Където r ≤ н. Матрица с квадратична форма в канонична форма има диагонална форма. А(f) =
, тъй като рангът му е равен r, след това сред коефициентите  iтрябва да има r, Не равно на нула. От това следва, че броят на ненулевите канонични коефициенти е равен на ранга на квадратичната форма.

Коментирайте. Линейната трансформация на координатите е преход от променливи х 1 , х 2 , …, х нкъм променливи г 1 , г 2 , …, г н, в който старите променливи се изразяват чрез нови променливи с някои числови коефициенти.

х 1 = α 11 г 1 + α 12 г 2 + … + α 1 н г н ,

х 2 = α 2 1 г 1 + α 2 2 г 2 + … + α 2 н г н ,

………………………………

х 1 = α н 1 г 1 + α н 2 г 2 + … + α nn г н .

Тъй като всяка базисна трансформация съответства на недегенерирана линейна координатна трансформация, въпросът за редуциране на квадратична форма до канонична форма може да бъде решен чрез избиране на съответната недегенерирана координатна трансформация.

Теорема 11.2 (основна теорема за квадратичните форми).Всякаква квадратна форма А(х, х), посочени в н-дименсионално векторно пространство V, използвайки неизродена линейна координатна трансформация, може да бъде намалена до канонична форма.

Доказателство. (Метод на Лагранж) Идеята на този метод е последователно да се допълни квадратичният трином за всяка променлива до пълен квадрат. Ще приемем, че А(х, х) ≠ 0 и в основата д = {д 1 , д 2 , …, д н) има формата (2):

А(х, х) =
.

Ако А(х, х) = 0, тогава ( а ij) = 0, тоест формата вече е канонична. Формула А(х, х) може да се трансформира така, че коефициентът а 11 ≠ 0. Ако а 11 = 0, тогава коефициентът на квадрат на друга променлива е различен от нула, тогава чрез преномериране на променливите е възможно да се гарантира, че а 11 ≠ 0. Преномерирането на променливи е неизродена линейна трансформация. Ако всички коефициенти на квадратните променливи са равни на нула, тогава необходимите трансформации се получават, както следва. нека например а 12 ≠ 0 (А(х, х) ≠ 0, така че поне един коефициент а ij≠ 0). Помислете за трансформацията

х 1 = г 1 – г 2 ,

х 2 = г 1 + г 2 ,

х i = г i, при i = 3, 4, …, н.

Тази трансформация е неизродена, тъй като детерминантата на нейната матрица е различна от нула
= = 2 ≠ 0.

След това 2 а 12 х 1 х 2 = 2 а 12 (г 1 – г 2)(г 1 + г 2) = 2
– 2
, тоест във формата А(х, х) ще се появят квадратчета на две променливи наведнъж.

А(х, х) =
+ 2
+ 2
+
. (4)

Нека преобразуваме разпределената сума във формата:

А(х, х) = а 11
, (5)

докато коефициентите а ijпромени на . Разгледайте неизродената трансформация

г 1 = х 1 + + … + ,

г 2 = х 2 ,

г н = х н .

Тогава получаваме

А(х, х) =
. (6).

Ако квадратичната форма
= 0, тогава въпросът за кастинга А(х, х) до канонична форма е разрешено.

Ако тази форма не е равна на нула, тогава повтаряме разсъжденията, като разглеждаме координатните трансформации г 2 , …, г ни без промяна на координатите г 1 . Очевидно е, че тези трансформации ще бъдат неизродени. В краен брой стъпки, квадратичната форма А(х, х) ще бъдат редуцирани до канонична форма (3).

Коментирайте 1. Необходимата трансформация на оригиналните координати х 1 , х 2 , …, х нможе да се получи чрез умножаване на неизродените трансформации, намерени в процеса на разсъждение: [ х] = А[г], [г] = б[z], [z] = ° С[T], Тогава [ х] = Аб[z] = Аб° С[T], това е [ х] = М[T], Където М = Аб° С.

Коментирайте 2. Нека А(х, х) = А(х, х) =
+
+ …+
, където  i ≠ 0, i = 1, 2, …, rи  1 > 0, λ 2 > 0, …, λ р > 0, λ р +1 < 0, …, λ r < 0.

Разгледайте неизродената трансформация

г 1 = z 1 , г 2 = z 2 , …, г р = z р , г р +1 =
z р +1 , …, г r = z r , г r +1 = z r +1 , …, г н = z н. Като резултат А(х, х) ще приеме формата: А(х, х) = + + … + – – … – което се нарича нормална форма на квадратна форма.

Пример11.1. Редуцирайте квадратичната форма до канонична форма А(х, х) = 2х 1 х 2 – 6х 2 х 3 + 2х 3 х 1 .

Решение. Тъй като а 11 = 0, използвайте трансформацията

х 1 = г 1 – г 2 ,

х 2 = г 1 + г 2 ,

х 3 = г 3 .

Тази трансформация има матрица А =
, това е [ х] = А[г] получаваме А(х, х) = 2(г 1 – г 2)(г 1 + г 2) – 6(г 1 + г 2)г 3 + 2г 3 (г 1 – г 2) =

2– 2– 6г 1 г 3 – 6г 2 г 3 + 2г 3 г 1 – 2г 3 г 2 = 2– 2– 4г 1 г 3 – 8г 3 г 2 .

Тъй като коефициентът при не е равно на нула, можем да изберем квадрата на едно неизвестно, нека бъде г 1 . Нека изберем всички термини, съдържащи г 1 .

А(х, х) = 2(– 2г 1 г 3) – 2– 8г 3 г 2 = 2(– 2г 1 г 3 + ) – 2– 2– 8г 3 г 2 = 2(г 1 – г 3) 2 – 2– 2– 8г 3 г 2 .

Нека извършим трансформация, чиято матрица е равна на б.

z 1 = г 1 – г 3 ,  г 1 = z 1 + z 3 ,

z 2 = г 2 ,  г 2 = z 2 ,

z 3 = г 3 ;  г 3 = z 3 .

б =
, [г] = б[z].

Получаваме А(х, х) = 2– 2–– 8z 2 z 3. Нека изберем термините, съдържащи z 2. Ние имаме А(х, х) = 2– 2(+ 4z 2 z 3) – 2= 2– 2(+ 4z 2 z 3 + 4) + + 8 – 2 = 2– 2(z 2 + 2z 3) 2 + 6.

Извършване на трансформация с матрица ° С:

T 1 = z 1 ,  z 1 = T 1 ,

T 2 = z 2 + 2z 3 ,  z 2 = T 2 – 2T 3 ,

T 3 = z 3 ;  z 3 = T 3 .

° С =
, [z] = ° С[T].

Има: А(х, х) = 2– 2+ 6канонична форма на квадратна форма, с [ х] = А[г], [г] = б[z], [z] = ° С[T], оттук [ х] = ABC[T];

Аб° С =


=
. Формулите за преобразуване са както следва

х 1 = T 1 – T 2 + T 3 ,

х 2 = T 1 + T 2 – T 3 ,

220400 Алгебра и геометрия Толстиков А.В.

Лекции 16. Билинейни и квадратични форми.

Планирайте

1. Билинейна форма и нейните свойства.

2. Квадратна форма. Матрица с квадратна форма. Координатна трансформация.

3. Редуциране на квадратичната форма до канонична форма. Метод на Лагранж.

4. Закон за инерцията на квадратичните форми.

5. Намаляване на квадратичната форма до канонична форма с помощта на метода на собствените стойности.

6. Критерият на Силвърст за положителната определеност на квадратична форма.

1 курс аналитична геометрияИ линейна алгебра. М.: Наука, 1984.

2. Бугров Я.С., Николски С.М. Елементи на линейната алгебра и аналитичната геометрия. 1997 г.

3. Воеводин В.В. Линейна алгебра. М.: Наука 1980.

4. Сборник задачи за колегии. Линейна алгебра и основи математически анализ. Изд. Ефимова А.В., Демидович Б.П.. М.: Наука, 1981.

5. Бутузов В.Ф., Крутицкая Н.Ч., Шишкин А.А. Линейна алгебра във въпроси и задачи. М.: Физматлит, 2001.

, , , ,

1. Билинейна форма и нейните свойства.Позволявам V - н-мерно векторно пространство над поле П.

Определение 1.Билинейна форма, определени на V,такова картографиране се нарича ж: V 2 ® П, които към всяка поръчана двойка ( х , г ) вектори х , г от поставя в Vсъответства на числото от полето П, означено ж(х , г ), и линейни във всяка от променливите х , г , т.е. имащи свойства:

1) ("х , г , z Î V)ж(х + г , z ) = ж(х , z ) + ж(г , z );

2) ("х , г Î V) („а О П)ж(а х , г ) = а ж(х , г );

3) ("х , г , z Î V)ж(х , г + z ) = ж(х , г ) + ж(х , z );

4) ("х , г Î V) („а О П)ж(х ,а г ) = а ж(х , г ).

Пример 1. Всякакви скаларно произведение, дефинирани във векторно пространство Vе билинейна форма.

2 . функция ч(х , г ) = 2х 1 г 1 - х 2 г 2 +х 2 г 1 където х = (х 1 ,х 2), г = (г 1 ,г 2)О Р 2, билинейна форма на Р 2 .

Определение 2.Позволявам v = (v 1 , v 2 ,…, v н V.Матрица билинейна форма ж(х , г ) спрямо основатаvнаречена матрица б=(b ij)н ´ н, чиито елементи се изчисляват по формулата b ij = ж(v i, v й):

Пример 3. Билинейна матрица ч(х , г ) (вижте пример 2) спрямо основата д 1 = (1,0), д 2 = (0,1) е равно на .

Теорема 1. ПозволявамX, Y - координатни колони съответно на векторих , гв основатаv, B - матрица с билинейна формаж(х , г ) спрямо основатаv. Тогава билинейната форма може да бъде записана като

ж(х , г )=X t BY. (1)

Доказателство.От свойствата на билинейната форма получаваме

Пример 3. Билинейна форма ч(х , г ) (вижте пример 2) могат да бъдат записани във формата ч(х , г )=.

Теорема 2. Позволявам v = (v 1 , v 2 ,…, v н), u = (u 1 , u 2 ,…, u н) - две бази векторно пространство V, T - матрица на преход от основатаv към основатаu. Позволявам б= (b ij)н ´ н И СЪС=(с ij)н ´ н - билинейни матрициж(х , г ) съответно спрямо базитеv иu. Тогава

СЪС=T t BT.(2)

Доказателство.Чрез дефиниция на матрицата на прехода и матрицата на билинейната форма намираме:



Определение 2.Билинейна форма ж(х , г ) е наречен симетричен, Ако ж(х , г ) = ж(г , х ) за всякакви х , г Î V.

Теорема 3. Билинейна формаж(х , г )- симетрична тогава и само тогава, когато матрица с билинейна форма е симетрична по отношение на която и да е база.

Доказателство.Позволявам v = (v 1 , v 2 ,…, v н) - основа на векторното пространство V, B= (b ij)н ´ н- матрици с билинейна форма ж(х , г ) спрямо основата v.Нека билинейната форма ж(х , г ) - симетричен. Тогава по дефиниция 2 за всяко i, j = 1, 2,…, нние имаме b ij = ж(v i, v й) = ж(v й, v i) = b ji. След това матрицата б- симетричен.

Обратно, нека матрицата б- симетричен. Тогава Bt= би за всякакви вектори х = х 1 v 1 + …+ x n vн =vX, г = г 1 v 1 + г 2 v 2 +…+ y n vн =vY Î V, съгласно формула (1), получаваме (взимаме предвид, че числото е матрица от първи ред и не се променя при транспониране)

ж(х , г ) =ж(х , г )T = (X t BY)T = Y t B t X = ж(г , х ).

2. Квадратна форма. Матрица с квадратна форма. Координатна трансформация.

Определение 1.Квадратна формаопределен на V,наречено картографиране f:V® П, което за всеки вектор х от Vсе определя от равенството f(х ) = ж(х , х ), Където ж(х , г ) е симетрична билинейна форма, дефинирана на V .

Имот 1.Според дадена квадратна формаf(х )билинейната форма се намира еднозначно по формулата

ж(х , г ) = 1/2(f(х + г ) - f(х )-f(г )). (1)

Доказателство.За всякакви вектори х , г Î Vполучаваме от свойствата на билинейната форма

f(х + г ) = ж(х + г , х + г ) = ж(х , х + г ) + ж(г , х + г ) = ж(х , х ) + ж(х , г ) + ж(г , х ) + ж(г , г ) = f(х ) + 2ж(х , г ) + f(г ).

От това следва формула (1). 

Определение 2.Матрица с квадратна формаf(х ) спрямо основатаv = (v 1 , v 2 ,…, v н) е матрицата на съответната симетрична билинейна форма ж(х , г ) спрямо основата v.

Теорема 1. Позволявамх= (х 1 ,х 2 ,…, x n)T- координатна колона на векторах в основатаv, B - матрица с квадратична формаf(х ) спрямо основатаv. След това квадратната формаf(х )

Определение 10.4.Каноничен изгледквадратна форма (10.1) се нарича следната форма: . (10.4)

Нека покажем, че в базис от собствени вектори, квадратичната форма (10.1) приема канонична форма. Позволявам

- нормализиран собствени вектори, съответстващ собствени стойности λ 1 , λ 2 , λ 3матрици (10.3) в ортонормална база. Тогава матрицата на прехода от старата база към новата ще бъде матрицата

. В новата основа матрицата Аще приеме диагоналната форма (9.7) (по свойството на собствените вектори). По този начин, трансформиране на координатите с помощта на формулите:

,

в новата база получаваме каноничната форма на квадратична форма с коефициенти, равни на собствените стойности λ 1, λ 2, λ 3:

Забележка 1. C геометрична точкаОт гледна точка, разглежданата координатна трансформация е завъртане на координатната система, съчетаваща старите координатни оси с новите.

Забележка 2. Ако някои собствени стойности на матрицата (10.3) съвпадат, можем да добавим единичен вектор, ортогонален към всеки от тях към съответните ортонормални собствени вектори, и по този начин да изградим база, в която квадратичната форма приема каноничната форма.

Нека приведем квадратичната форма в канонична форма

х² + 5 г² + z² + 2 xy + 6xz + 2yz.

Нейната матрица има формата В примера, обсъден в Лекция 9, се намират собствените стойности и ортонормалните собствени вектори на тази матрица:

Нека създадем преходна матрица към основата от тези вектори:

(редът на векторите се променя така, че да образуват дясна тройка). Нека трансформираме координатите с помощта на формулите:

.

И така, квадратичната форма се редуцира до канонична форма с коефициенти, равни на собствените стойности на матрицата на квадратичната форма.

Лекция 11.

Криви от втори ред. Елипса, хипербола и парабола, техните свойства и канонични уравнения. Редуциране на уравнение от втори ред до канонична форма.

Определение 11.1.Криви от втори редна равнина се наричат ​​линиите на пресичане на кръгъл конус с равнини, които не минават през неговия връх.

Ако такава равнина пресича всички генератори на една кухина на конуса, тогава в секцията се оказва елипса, в пресечната точка на образуващите на двете кухини – хипербола, и ако сечащата равнина е успоредна на която и да е образуваща, тогава сечението на конуса е парабола.

Коментирайте. Всички криви от втори ред са определени от уравнения от втора степен в две променливи.

Елипса.

Определение 11.2.Елипсае множеството от точки в равнината, за които е сумата от разстоянията до две фиксирани точки Е 1 и Е трикове, е постоянна стойност.

Коментирайте. Когато точките съвпадат Е 1 и Е 2 елипсата се превръща в кръг.

Нека изведем уравнението на елипсата, като изберем декартовата система

y M(x,y)координати, така че оста осъвпадна с права линия Е 1 Е 2, начало

r 1 r 2 координати – със средата на отсечката Е 1 Е 2. Нека дължината на това

отсечката е равна на 2 с, след това в избраната координатна система

F 1 O F 2 x Е 1 (-° С, 0), Е 2 (° С, 0). Нека точката M(x, y) лежи на елипсата и

сумата от разстоянията от него до Е 1 и Е 2 е равно на 2 А.

Тогава r 1 + r 2 = 2а, Но ,

следователно, въвеждане на нотацията b² = а²- ° С² и след извършване на прости алгебрични трансформации получаваме канонично уравнение на елипса: (11.1)

Определение 11.3.Ексцентричностна елипса се нарича величина e=s/a (11.2)

Определение 11.4.Директорка D iелипса, съответстваща на фокуса F i F iспрямо оста OUперпендикулярно на оста она разстояние а/еот произхода.

Коментирайте. При различен избор на координатна система елипсата може да не бъде зададена канонично уравнение(11.1), но уравнение от втора степен от различен тип.

Свойства на елипса:

1) Елипса има две взаимно перпендикулярни оси на симетрия (главните оси на елипсата) и център на симетрия (центъра на елипсата). Ако една елипса е дадена с канонично уравнение, тогава нейните главни оси са координатните оси, а нейният център е началото. Тъй като дължините на сегментите, образувани от пресечната точка на елипсата с главните оси, са равни на 2 Аи 2 b (2а>2b), Че главна ос, преминаваща през фокусите се нарича голяма ос на елипсата, а втората голяма ос се нарича малка ос.

2) Цялата елипса се съдържа в правоъгълника

3) Ексцентричност на елипса д< 1.

Наистина ли,

4) Директрисите на елипсата са разположени извън елипсата (тъй като разстоянието от центъра на елипсата до директрисата е а/е, А д<1, следовательно, а/е>а, а цялата елипса лежи в правоъгълник)

5) Коефициент на разстояние r iот точка на елипса до фокус F iкъм разстоянието d iот тази точка до директрисата, съответстваща на фокуса, е равна на ексцентрицитета на елипсата.

Доказателство.

Разстояния от точка M(x, y)до фокусите на елипсата могат да бъдат представени, както следва:

Нека създадем уравненията на директрисата:

(д 1), (д 2). Тогава Оттук r i / d i = e, което трябваше да се докаже.

Хипербола.

Определение 11.5.Хиперболае наборът от точки в равнината, за които модулът на разликата в разстоянията до две фиксирани точки е Е 1 и Е 2 от този самолет, т.нар трикове, е постоянна стойност.

Нека изведем каноничното уравнение на хипербола по аналогия с извеждането на уравнението на елипса, използвайки същата нотация.

|r 1 - r 2 | = 2а, откъдето Ако означим b² = ° С² - а², от тук можете да получите

- канонично уравнение на хипербола. (11.3)

Определение 11.6.Ексцентричностхипербола се нарича количество e = c/a.

Определение 11.7.Директорка D iхипербола, съответстваща на фокуса F i, се нарича права линия, разположена в една и съща полуравнина с F iспрямо оста OUперпендикулярно на оста она разстояние а/еот произхода.

Свойства на хипербола:

1) Хиперболата има две оси на симетрия (главните оси на хиперболата) и център на симетрия (центърът на хиперболата). В този случай една от тези оси се пресича с хиперболата в две точки, наречени върхове на хиперболата. Нарича се реалната ос на хиперболата (ос оза каноничния избор на координатната система). Другата ос няма общи точки с хиперболата и се нарича нейна въображаема ос (в канонични координати - оста OU). От двете му страни са дясното и лявото разклонение на хиперболата. Фокусите на хипербола са разположени на реалната й ос.

2) Клоновете на хиперболата имат две асимптоти, определени от уравненията

3) Заедно с хипербола (11.3), можем да разгледаме така наречената спрегната хипербола, дефинирана от каноничното уравнение

за които реалната и имагинерната ос се разменят, като се запазват същите асимптоти.

4) Ексцентричност на хиперболата д> 1.

5) Коефициент на разстояние r iот точка на хипербола до фокус F iкъм разстоянието d iот тази точка до директрисата, съответстваща на фокуса, е равна на ексцентрицитета на хиперболата.

Доказателството може да се извърши по същия начин, както при елипсата.

Парабола.

Определение 11.8.Параболае множеството от точки на равнината, за които разстоянието до някаква фиксирана точка е Етази равнина е равна на разстоянието до някаква фиксирана права линия. Точка ЕНаречен фокуспараболи, а правата е негова директорка.

За да изведем уравнението на параболата, избираме декартово

координатна система, така че началото й да е средата

D M(x,y) перпендикуляр FD, пропуснато от акцента върху директивата

r su, a координатни осибили разположени успоредно и

перпендикулярно на директора. Нека дължината на сегмента FD

D O F x е равно на Р. След това от равенството r = dследва това

тъй като

Използвайки алгебрични трансформации, това уравнение може да се сведе до формата: г² = 2 px, (11.4)

Наречен уравнение на канонична парабола. величина РНаречен параметърпараболи.

Свойства на парабола:

1) Параболата има ос на симетрия (ос на парабола). Точката, в която параболата пресича оста, се нарича връх на параболата. Ако една парабола е дадена от канонично уравнение, тогава нейната ос е оста оа върхът е началото на координатите.

2) Цялата парабола се намира в дясната полуравнина на равнината ох

Коментирайте. Използвайки свойствата на директрисите на елипса и хипербола и дефиницията на парабола, можем да докажем следното твърдение:

Множеството от точки на равнината, за които релацията дразстоянието до някаква фиксирана точка до разстоянието до някаква права линия е постоянна стойност, то е елипса (с д<1), гиперболу (при д>1) или парабола (със д=1).

Свързана информация.

Този метод се състои в последователно избиране на пълни квадрати в квадратна форма.

Нека е дадена квадратичната форма

Припомнете си, че поради симетрията на матрицата

,

Има два възможни случая:

1. Поне един от коефициентите на квадратите е различен от нула. Без загуба на общоприетост ще приемем (това винаги може да се постигне чрез подходящо преномериране на променливите);

2. Всички коефициенти

но има коефициент различен от нула (нека е за по-ясно).

В първия случайтрансформирайте квадратната форма, както следва:

,

и всички останали термини са обозначени с.

е квадратна форма на (n-1) променливи.

Те се отнасят с нея по същия начин и т.н.

забележи това

Втори случайзаместване на променливи

се свежда до първото.

Пример 1: Редуциране на квадратичната форма до канонична форма чрез неизродена линейна трансформация.

Решение. Нека съберем всички термини, съдържащи неизвестното и ги добавете към пълен квадрат

.

(Защото .)

или

(3)

или


(4)

и от неизвестен
форма ще приеме формата. След това предполагаме

или

и от неизвестен
форма ще приеме каноничен вид

Нека разрешим равенства (3) по отношение на
:

или

Последователно изпълнение на линейни трансформации
И
, Където

,

има матрица

Линейна трансформация на неизвестни
дава квадратна форма към каноничната форма (4). Променливи
свързани с нови променливи
отношения

Запознахме се с декомпозицията на LU в работилница 2_1

Нека си припомним твърденията от семинар 2_1

Изявления(виж L.5, стр. 176)

Този скрипт е предназначен да разбере ролята на LU в метода на Lagrange; трябва да работите с него в бележника на EDITOR, като използвате бутона F9.

И в задачите, приложени по-долу, е по-добре да създадете свои собствени M-функции, които помагат за изчисляване и разбиране на проблемите с линейна алгебра (в рамките на тази работа)

Ax=X."*A*X % получаваме квадратната форма

Ax=simple(Ax) % опростете го

4*x1^2 - 4*x1*x2 + 4*x1*x3 + x2^2 - 3*x2*x3 + x3^2

% намерете разлагането на LU без пренареждане на редовете на матрицата A

% При преобразуване на матрица в ешелонна форма

% без пермутации на редове, получаваме матрица от M1 и U3

% U се получава от A U3=M1*A,

% с тази матрица от елементарни трансформации

0.5000 1.0000 0

0.5000 0 1.0000

% получаваме U3=M1*A, където

4.0000 -2.0000 2.0000

% от M1 лесно се получава L1 чрез смяна на знаците

% в първата колона във всички редове с изключение на първия.

0.5000 1.0000 0

0.5000 0 1.0000

% L1 е такъв, че

A_=L1*U % това е LU декомпозицията, от която се нуждаем

% Елементи на главния диагонал U -

% са коефициенти на квадрати y i ^2

% в преобразувана квадратна форма

% в нашия случай има само един коефициент

% означава, че в новите координати ще има само 4y 1 2 на квадрат,

% за останалите коефициенти 0y 2 2 и 0y 3 2 са равни на нула

% колони на матрица L1 са разлагането на Y по X

% в първата колона виждаме y1=x1-0.5x2+0.5x3

% за второто виждаме y2=x2; според третата y3=x3.

%, ако L1 е транспониран,

%, което е T=L1."

% T - матрица на прехода от (X) към (Y): Y=TX

0.5000 1.0000 0

1.0000 -0.5000 0.5000

% A2 – матрица на трансформирана квадратна форма

% Забележка U=A2*L1." и A=L1* A2*L1."

4.0000 -2.0000 2.0000

1.0000 -0.5000 0.5000

% И така, получихме разлагането A_=L1* A2*L1." или A_=T."* A2*T

%, показващ промяната на променливите

% y1=x1-0.5x2+0.5x3

% и представяне на квадратна форма в нови координати

A_=T."*A2*T % T=L1." преходна матрица от (X) към (Y): Y=TX

isequal(A,A_) % трябва да съответства на оригиналния A

4.0000 -2.0000 2.0000

2.0000 1.0000 -1.5000

2.0000 -1.5000 1.0000

Q1=inv(T) % намерете матрицата на прехода от (Y) към (X)

% Да намерим трансформацията,

% квадратично Ax=X."*A*X

% към новия тип Ay=(Q1Y)."*A*Q1Y=Y." (Q1."*A*Q1)*Y=Y." (U)*Y

Ay =4*y1^2 - y2*y3

x1 - x2/2 + x3/2

% втора трансформационна матрица,

%, което е много по-лесно за съставяне.

4*z1^2 - z2^2 + z3^2

% R=Q1*Q2, X=R*Z

R=Q1*Q2 % неизродена линейна трансформация

% привеждане на операторната матрица в канонична форма.

det(R) % детерминанта не е равна на нула - трансформацията е неизродена

4*z1^2 - z2^2 + z3^2 добре

4*z1^2 - z2^2 + z3^2

Нека формулираме алгоритъм за намаляване на квадратите ратическа форма към канонична форма чрез ортогонална трансформация:

Намаляване на квадратна форма до канонична форма.

Канонична и нормална форма на квадратна форма.

Линейни трансформации на променливи.

Концепцията за квадратна форма.

Квадратни форми.

определение:Квадратната форма на променливите е хомогенен полином от втора степен по отношение на тези променливи.

Променливите могат да се разглеждат като афинни координатиточки от аритметичното пространство A n или като координати на вектор от n-мерното пространство V n. Ще обозначим квадратичната форма на променливите като.

Пример 1:

Ако подобни членове вече са били намалени в квадратна форма, тогава коефициентите за са означени, а за () - . По този начин се смята, че. Квадратната форма може да бъде записана по следния начин:

Пример 2:

Системна матрица (1):

- Наречен матрица с квадратна форма.

Пример:Матриците на квадратичните форми от пример 1 имат формата:

Пример 2 матрица с квадратна форма:

Линейна трансформация на променливинаричаме такъв преход от система от променливи към система от променливи, в която старите променливи се изразяват чрез нови, като се използват формулярите:

където коефициентите образуват неособена матрица.

Ако променливите се разглеждат като координати на вектор в евклидовото пространство спрямо някаква база, тогава линейната трансформация (2) може да се разглежда като преход в това пространство към нова база, спрямо която същият вектор има координати.

По-нататък ще разглеждаме квадратични форми само с реални коефициенти. Ще приемем, че променливите приемат само реални стойности. Ако в квадратична форма (1) променливите се подложат на линейна трансформация (2), тогава ще се получи квадратична форма на новите променливи. По-нататък ще покажем, че с подходящ избор на трансформация (2), квадратичната форма (1) може да бъде редуцирана до форма, съдържаща само квадратите на новите променливи, т.е. . Този тип квадратна форма се нарича каноничен. Матрицата с квадратна форма в този случай е диагонална: .

Ако всички коефициенти могат да приемат само една от стойностите: -1,0,1, се извиква съответният тип нормално.

Пример:Уравнение на централната крива от втори ред с помощта на прехода към нова координатна система

може да се сведе до формата: , а квадратната форма в този случай ще приеме формата:

Лема 1: Ако квадратичната форма(1)не съдържа квадратите на променливите, тогава с помощта на линейна трансформация може да бъде приведен във форма, съдържаща квадрат на поне една променлива.

Доказателство:По конвенция квадратичната форма съдържа само членове с продукти на променливи. Нека за всякакви различни значения i и j са различни от нула, т.е. е един от тези членове, включени в квадратната форма. Ако извършите линейна трансформация и оставите всичко останало непроменено, т.е. (детерминантата на тази трансформация е различна от нула), тогава дори два члена с квадрати на променливи ще се появят в квадратична форма: . Тези термини не могат да изчезнат, когато се добавят подобни термини, т.к всеки от останалите термини съдържа поне една променлива, различна от или от.

Пример:

Лема 2: Ако има квадратна форма (1) съдържа член с квадрат на променливата, например и поне още един член с променлива , след това с помощта на линейна трансформация, е може да се преобразува в променлива форма , имащ формата: (2), Където g – квадратна форма без променлива .

Доказателство:Нека изберем в квадратна форма (1) сумата от членове, съдържащи: (3) тук g 1 означава сумата от всички членове, които не съдържат.

Нека обозначим

(4), където означава сумата от всички членове, които не съдържат.

Нека разделим двете страни на (4) на и извадим полученото равенство от (3), след привеждане на подобни ще имаме:

Изразът от дясната страна не съдържа променлива и е квадратна форма на променливи. Нека означим този израз с g, а коефициента с, и тогава f ще бъде равно на: . Ако направим линейна трансформация: , чийто детерминант е различен от нула, тогава g ще бъде квадратна форма на променливите, а квадратната форма f ще се редуцира до формата (2). Лемата е доказана.

Теорема: Всяка квадратична форма може да бъде редуцирана до канонична форма с помощта на трансформация на променливи.

Доказателство:Нека проведем индукция върху броя на променливите. Квадратната форма на има формата: , която вече е канонична. Нека приемем, че теоремата е вярна за квадратичната форма в n-1 променливи и докажем, че е вярна за квадратичната форма в n променливи.

Ако f не съдържа квадрати на променливи, тогава чрез лема 1 може да се редуцира до форма, съдържаща квадрат на поне една променлива; чрез лема 2 получената квадратна форма може да бъде представена във формата (2). защото квадратичната форма зависи от n-1 променливи, тогава чрез индуктивно предположение тя може да бъде редуцирана до канонична форма с помощта на линейна трансформация на тези променливи към променливи, ако добавим формула към формулите на този преход, тогава получаваме формули за линеен трансформация, която води до канонична форма квадратната форма, съдържаща се в равенството (2). Съставът на всички разглеждани трансформации на променливи е желаната линейна трансформация, водеща до каноничната форма на квадратичната форма (1).

Ако квадратичната форма (1) съдържа квадрат на която и да е променлива, тогава лема 1 не е необходимо да се прилага. Даденият метод се извиква Метод на Лагранж.

От каноничната форма, където, можете да преминете към нормалната форма, където, ако и ако, като използвате трансформацията:

Пример:Редуцирайте квадратичната форма до канонична форма, като използвате метода на Лагранж:

защото Тъй като квадратичната форма f вече съдържа квадратите на някои променливи, не е необходимо да се прилага лема 1.

Ние избираме членове, съдържащи:

3. За да получим линейна трансформация, която директно редуцира формата f до формата (4), първо намираме трансформациите, обратни на трансформациите (2) и (3).

Сега, използвайки тези трансформации, ще изградим тяхната композиция:

Ако заместим получените стойности (5) в (1), веднага получаваме представяне на квадратичната форма във формуляра (4).

От каноничната форма (4) с помощта на трансформацията

можете да отидете на нормален изглед:

Линейна трансформация, привеждайки квадратната форма (1) в нормална форма, се изразява с формулите:

Библиография:

1. Воеводин В.В. Линейна алгебра. Санкт Петербург: Lan, 2008, 416 с.

2. Беклемишев Д. В. Курс по аналитична геометрия и линейна алгебра. М.: Физматлит, 2006, 304 с.

3. Кострикин А.И. Въведение в алгебрата. част II. Основи на алгебрата: учебник за университети, -М. : Физико-математическа литература, 2000, 368 с.

Лекция № 26 (II семестър)

Предмет: Закон за инерцията. Положително определителни форми.

Подобни статии