Y az x egész része. Egy szám egész és tört részei

A 10. osztályos algebra tanulmányozása A.G. Mordkovich és P.V. Semenov, a diákok először találkoztak az y = [x] szám egész részének függvényével. Volt, akit érdekelt, de nagyon kevés elméleti információ, sőt egész szám részét tartalmazó feladatok is voltak. A gyerekek téma iránti érdeklődésének támogatása érdekében felmerült a kézikönyv elkészítésének ötlete.

A tantárgyi program megvalósítása a 10. évfolyam 1. felére készült fizika-matematika szakos tanulók számára.

A tantárgy célja: a hallgatók matematikai függvényekkel kapcsolatos ismereteinek bővítése, valamint a függvényekkel kapcsolatos ismeretek felhasználásának képességének fejlesztése változó bonyolultságú egyenletek és egyenlőtlenségek megoldása során. A bemutatott tankönyv referencia jellegű elméleti információkat tartalmaz. Ez információ az y = [x] szám egész részének és az y = (x) szám tört részének függvényéről, ezek grafikonjai. A szám egész részét tartalmazó gráfok transzformációinak magyarázata. A szám egész vagy tört részét tartalmazó legegyszerűbb egyenletek és egyenlőtlenségek megoldásait vizsgáljuk. Valamint másodfokú, tört - racionális egyenletek és egyenlőtlenségek megoldási módszerei, egy szám egész vagy tört részét tartalmazó egyenletrendszerek.

A kézikönyv önálló megoldási feladatokat tartalmaz.

A kézikönyv a következő pontokat tartalmazza:

Bevezetés.

§1. Bevezetés az y = [x] és y = (x) függvényekbe.

§2. Egyenletek, amelyek egy szám tört vagy egész részét tartalmazzák.

2.1 A legegyszerűbb egyenletek.

2.2 = g (x) alakú egyenletek megoldása.

2.3 Grafikus módszer egyenletek megoldására.

2.4 Egyenletek megoldása új változó bevezetésével.

2.5 Egyenletrendszerek.

§3. Szám egész részét tartalmazó függvények grafikonjainak konvertálása.

3.1 Az y = alakú függvények grafikonjainak ábrázolása

3.2 Az y = f ([x]) alakú függvények grafikonjainak ábrázolása.

4. §. Egy szám egész számot vagy tört részét tartalmazó egyenlőtlenségek.

§5. Számok egész és tört részei olimpiai feladatokban.

Feladatokra adott válaszok az önálló megoldáshoz.

A kézikönyv biztosítja a funkcióra vonatkozó elképzelések kialakítását és az alkalmazott készségek kialakítását.

A speciális oktatás problémáit megoldó tanároknak szól.

Letöltés:

Előnézet:

Rozina T.A

Egészet tartalmazó problémák

vagy egy szám tört része

Mezhdurechensk 2011

Kedves középiskolások!

Ön hamarosan elkezdi a „Számok egész és tört részei” témakör alapos tanulmányozását. Ez a kézikönyv lehetővé teszi a matematikai függvényekkel kapcsolatos ismereteinek bővítését különböző bonyolultságú egyenletek és egyenlőtlenségek megoldása során. A bemutatott kézikönyv referencia jellegű elméleti információkat tartalmaz, elmagyarázza a szám egész számot vagy tört részét tartalmazó gráfok transzformációit, valamint a legegyszerűbb egyenletek megoldásait. Valamint másodfokú, tört racionális egyenletek és egyenlőtlenségek megoldási módszerei, egyenletrendszerek. A kézikönyv önálló megoldási feladatokat tartalmaz. A tankönyv segít rendszerezni és általánosítani a „Számok egész és tört részei” témában szerzett ismereteit.

Sok szerencsét!

§1. Bevezetés az y = [x] és y = (x) függvényekbe…………………………4

§2. Egy szám egész számot vagy tört részét tartalmazó egyenletek......7

A legegyszerűbb egyenletek………………………………………7

= g(x) alakú egyenletek megoldása………………………..8.

2.3 Grafikus módszer egyenletek megoldására…………………10

Egyenletek megoldása új változó bevezetésével……11

Egyenletrendszerek…………………………………………….12

§3. Egész számot tartalmazó függvények grafikonjainak transzformációi

A szám egy része………………………………………………………………..13

3.1 Az y = …………… alakú függvények grafikonjainak ábrázolása13
3.2 Az y = f([x])……………15 alakú függvények grafikonjainak ábrázolása

4. §. Egy szám egész vagy tört részét tartalmazó egyenlőtlenségek...17

……

§5. Egy szám egész vagy tört része olimpiai feladatokban......20

Feladatokra adott válaszok az önálló megoldáshoz………………23

Hivatkozások…………………………………………………………………25

§1. Bevezetés az y = [x] függvényekbe

és y = (x)

A számok egész és tört részeinek története és meghatározása

A szám egész részének fogalmát Johann Carl Friedrich Gauss (1771-1855) német matematikus, a Transactions on Number Theory szerzője vezette be. Gauss továbbfejlesztette a speciális függvények elméletét, a sorozatokat, a numerikus módszereket, a matematikai fizika problémáinak megoldását, és megalkotta a potenciál matematikai elméletét.

Az x valós szám egész részét [x] vagy E(x) szimbólum jelöli.

Szimbólum Az [x]-et K. Gauss vezette be 1808-ban.

A szám egész részének függvényét Adrien Marie Legendre ( 1752-1833). - francia matematikus. 1798-ban megjelent „Tapasztalat a számelméletben” című munkája alapvető mű, a 18. századi aritmetikai vívmányok eredménye. Az ő tiszteletére hívják az y = [x] függvényt a francia „Antier” szónak (franciául „entier” - egész) Volt).

Meghatározás: az x szám egész része az x-et meg nem haladó legnagyobb c egész szám, azaz. ha [x] = c, c ≤ x

Például: = 2;

[-1,5] = -2.

A függvény egyes értékeinek felhasználásával elkészítheti a grafikonját. Ez így néz ki:

Az y = [x] függvény tulajdonságai:

1. Az y = [x] függvény definíciós tartománya az összes R valós szám halmaza.

2. Az y = [x] függvény tartománya az összes Z egész szám halmaza.

3. Az y = [x] függvény darabonként állandó, nem csökkenő.

4. Általános funkció.

5. A függvény nem periodikus.

6. A funkció nem korlátozott.

7. A függvénynek van egy töréspontja.

8. y=0, x-nél.

Például: (3,7) = 0,7

{-2,4} = 0,6.

Ábrázoljuk az y = (x) függvényt. Ez így néz ki:

Az y = (x) függvény legegyszerűbb tulajdonságai:

1. Az y = (x) függvény definíciós tartománya az összes R valós szám halmaza.

2. Az y = (x) függvény értéktartománya egy félintervallum, és y = (x) segít néhány feladat elvégzésében.

FELADATOK AZ ÖNÁLLÓ MEGOLDÁSHOZ

1) Készítsen függvénygrafikonokat:

A) y = [x] + 5;

B) y = (x)-2;

B) y = |[x]|.

2) Mik lehetnek az x és y számok, ha:

A) [x + y] = y;

B) [x-y] = x;

B) (x-y) = x;

D) (x + y) = y.

3) Mit mondhatunk az x - y különbség nagyságáról, ha:

A) [x] = [y];

B) (x) = (y).

4) Melyik a nagyobb: [a] vagy (a)?

§2. Egy szám egész számot vagy tört részét tartalmazó egyenletek

2.1. A legegyszerűbb egyenletek

A legegyszerűbb egyenletek közé tartoznak az [x] = a alakú egyenletek.

Az ilyen típusú egyenletek definíció szerint megoldhatók:

a ≤ x

Ha a törtszám, akkor egy ilyen egyenletnek nem lesz gyöke.

Nézzünk egy példamegoldástaz alábbi egyenletek egyike:

[x + 1,3] = - 5. Definíció szerint egy ilyen egyenlet egyenlőtlenséggé alakul:

5 ≤ x + 1,3

Ez lesz az egyenlet megoldása.

Válasz: x[-6,3;-5,3).

Tekintsünk egy másik egyenletet, amely a legegyszerűbb kategóriába tartozik:

[x+1] + [x-2]-[x+3] = 2

Az ilyen típusú egyenletek megoldásához az egész függvény tulajdonságát kell használni: Ha p egész szám, akkor az egyenlőség igaz

[x ± p] = [x] ± p

Bizonyítás: x = [x] + (x)

[ [x] + (x) ± p] = [ [x] + (x)] ± p

x = k + a, ahol k = [x], a = (x)

[k + a ± p] = [k + a] ± p = [x] ±p.

Oldjuk meg a javasolt egyenletet a bizonyított tulajdonság segítségével: [x] + 1 + [x] - 2 - [x] - 3 = 2. Hozzunk hasonló tagokat, és kapjuk a legegyszerűbb [x] = 6 egyenletet. a félintervallum x = 1

Alakítsuk át az egyenletet egyenlőtlenséggé: 1 ≤ x 2 -5x+6

x 2 - 5x + 6

x 2 - 5x + 6 ≥ 1 és oldja meg;

x 2 - 5x + 4

x 2 - 5x + 5>0

x(1;4)

Х(-∞;(5 -)/2][(5 +)/2; +∞,

X(1; (5 -)/2][(5 +)/2;4).

Válasz: x(1; (5 -)/2][(5 +)/2;4).

Oldja meg az egyenleteket:

1) = 1

2) = 0,487

3) – = 2

4) [x 2] = 4

5) [x] 2 = 4

6) = - 5

7) [x 2 – x + 4] = 2

8) = - 1

9) = 4,2

10) (x) – [x] + x = 0

11) x + (x) + [x] = 0

12) [4x – 5] = 7

2.2 =g(x) alakú egyenletek megoldása

Egy =g(x) alakú egyenlet megoldható úgy, hogy ezeket az egyenletre redukáljuk

[x] = a.

Nézzük az 1. példát.

Oldja meg az egyenletet

Cseréljük le az egyenlet jobb oldalát egy új a változóval, és fejezzük ki innen x

11a = 16x + 16, 16x = 11a – 16,

Akkor = =

Most oldjuk meg a változó egyenletét A .

Bővítsük ki definíció szerint az egész rész előjelét, és írjuk fel az egyenlőtlenségek rendszerével:

Az intervallumból kiválasztjuk az összes a: 3;4;5;6;7 egész értéket, és végrehajtjuk a fordított cserét:

Válasz:

2. példa

Oldja meg az egyenletet:

Ossza el a zárójelben lévő számlálótagokat a nevezővel:

A szám egész részének definíciójából az következik, hogy (a+1) egész számnak kell lennie, ami azt jelenti, hogy a egész szám.Az a, (a+1), (a+2) számok három egymást követő szám, ami azt jelenti, hogy az egyik szükségszerűen osztható 2-vel, egy pedig 3-mal. Ezért a számok szorzata osztható 6-tal.

Ez egy egész szám. Eszközök

Oldjuk meg ezt az egyenletet.

a(a+1)(a+2) - 6(a+1) = 0

(a+1)(a(a+2) - 6) = 0

a + 1 = 0 vagy a 2 + 2a – 6 = 0

a = -1 D = 28

A = -1 ± (nem egész számok).

Válasz: -1.

Oldja meg az egyenletet:

2.3. Grafikus módszer az egyenletek megoldására

1. példa [x] = 2(x)

Megoldás. Oldjuk meg ezt az egyenletet grafikusan. Ábrázoljuk az y = [x] és y = 2(x) függvényeket. Keressük meg a metszéspontjaik abszcisszáját.

Válasz: x = 0; x = 1,5.

Bizonyos esetekben célszerűbb egy gráfot használni a grafikonok metszéspontjainak ordinátáinak megkeresésére. Ezután írja be a kapott értéket az egyik egyenletbe, és keresse meg a kívánt x értékeket.

FELADATOK AZ ÖNÁLLÓ MEGOLDÁSHOZ

Oldja meg az egyenleteket grafikusan:

(x) = 1 – x;
(x) + 1 = [x];
= 3x;
3(x) = x;
(x) = 5x + 2;
[|x|] = x;
[|x|] = x + 4;
[|x|] = 3|x| - 1;
2(x) – 1 = [x] + 2;

10) Hány megoldása van a 2(x) = 1 egyenletnek?.

2.4. Egyenletek megoldása új változó bevezetésével.

Nézzük az első példát:

(x) 2-8(x)+7 = 0

Az (x) helyére a, 0 a

a 2 - 8a + 7 = 0, amit a Vieta tételével fordított tétel segítségével oldunk meg: A kapott gyökök a = 7 és a = 1. Végezzük el a fordított helyettesítést, és kapjunk két új egyenletet: (x) = 7 és (x) = 1. Mindkét egyenletnek nincs gyöke. Ezért az egyenletnek nincs megoldása.

Válasz: nincsenek megoldások.

Nézzünk egy másik esetetaz egyenlet megoldása egy új bevezetésével

változó:

3[x] 3 + 2[x] 2 + 5[x]-10 = 0

Végezzük el a változtatást [x] = a, az. és új köbös egyenletet kapunk For 3 +2a 2 +5a-10=0. Ennek az egyenletnek az első gyökerét a következő választással találjuk meg: a=1 az egyenlet gyöke. Az egyenletünket elosztjuk (a-1)-gyel. A 3a másodfokú egyenletet kapjuk 2 + 5a +10=0. Ennek az egyenletnek negatív diszkriminánsa van, ami azt jelenti, hogy nincs megoldása. Vagyis a=1 az egyenlet egyetlen gyöke. A fordított helyettesítést hajtjuk végre: [x]=a=1. A kapott egyenletet egy szám egész részének definiálásával oldjuk meg: x 2 + 8[x]-9 = 0

3(x-[x]) 2 + 2([x]-x)-16 = 0

[x] 4 -14 [x] 2 +25 = 0

(2(x)+1) 3 – (2(x)-1) 3 = 2

(x-[x]) 2 = 4

5[x]2 -7[x]-6 = 0
6(x) 2 +(x)-1 =0
1/([x]-1) - 1/([x]+1) = 3-[x]
12(x) 3 -25(x) 2 +(x)+2 = 0

10) 10[x] 3 -11 [x] 2 -31 [x] -10 = 0

2.5. Egyenletrendszerek.

Tekintsük az egyenletrendszert:

2[x] + 3[y] = 8,

3[x] – [y] = 1.

Megoldható hozzáadással vagy helyettesítéssel. Koncentráljunk az első módszerre.

2[x] + 3[y] = 8,

9[x] – 3[y] = 3.

A két egyenlet összeadása után 11[x] = 11-et kapunk

[x] = 1. Helyettesítse be ezt az értéket a rendszer első egyenletébe, és kapja meg

[y] = 2.

[x] = 1 és [y] = 2 a rendszer megoldásai. Azaz x= 18 éves

18-x-é

3) 3[x] – 2(y) = 6

[x] 2–4 (y) = 4

4) 3(x) – 4(y) = -6

6(x) – (y) 2 = 3.

§3. Egy szám egész részét tartalmazó függvények grafikonjainak transzformációi

3.1. Az y = alakú függvények grafikonjainak ábrázolása

Legyen az y = f(x) függvény grafikonja. Az y = függvény ábrázolásához a következőképpen járjunk el:

Az y = n, y = n + 1 egyenesek metszéspontjait az y = f(x) függvény grafikonjával jelöljük. Ezek a pontok az y = függvény grafikonjához tartoznak, mivel ordinátáik egész számok (az ábrán ezek A, B, C, D pontok).

Ábrázoljuk az y = [x] függvényt. Ezért

Rajzolj egyenes vonalakat y = n, n = 0; -1; +1; -2; +2; ... és tekintsük az y = n, y = n + 1 egyenesek által alkotott csíkok egyikét.
Az y = n, y = n + 1 egyenesek metszéspontjait a grafikonnal jelöljük

y = [x] függvények. Ezek a pontok az y = [x] függvény grafikonjához tartoznak,

Mivel koordinátáik egész számok.

Az y = [x] függvény grafikonjának fennmaradó pontjainak a jelzett sávban való meghatározásához vetítsük ki az y = x grafikonnak azt a részét, amely az O tengellyel párhuzamos sávba esik nál nél az y = n egyeneshez, y = n + 1. Mivel az y = x függvény grafikonjának ezen részének bármely M pontja rendelkezik ilyen y ordinátával 0 hogy n 0 0 ] = n
Minden olyan sávban, ahol az y = x függvény grafikonján pontok vannak, hasonló módon történik a szerkesztés.

FELADATOK AZ ÖNÁLLÓ MEGOLDÁSHOZ

Ábrázolja a függvényeket:

3.2. Az y = f([x]) alakú függvény ábrázolása

Legyen adott egy y = f(x) függvény grafikonja. Az y = f([x]) függvény grafikonja a következőképpen épül fel:

Rajzolj egyenes vonalakat x = n, n = 0; -1; +1; -2; +2; ...
Tekintsük az y = n és y = n + 1 egyenesek által alkotott csíkok egyikét. Az y = f(x) függvény grafikonjának ezekkel az egyenesekkel való metszéspontja az y = függvény grafikonjához tartozik. f([x]), mivel az abszcisszáik egész számok.

Ahhoz, hogy megkapjuk az y = f([x]) függvény grafikonjának a jelzett sávban lévő többi pontját, az y = f(x) függvény grafikonjának azt a részét vetítjük, amely ebbe a sávba esik az O tengellyel párhuzamosan. y az y = f(n) egyeneshez.
Minden olyan sávban, ahol az y = f(x) függvény grafikonján pontok találhatók, a szerkesztést hasonló módon hajtjuk végre.

Fontolja meg az y = függvény ábrázolását. Ehhez megrajzoljuk az y = függvény grafikonját pontozott vonallal. További

számok.

3. Minden második sávban, ahol az y = függvény grafikonján vannak pontok, az építkezés hasonló módon történik.

FELADATOK AZ ÖNÁLLÓ MEGOLDÁSHOZ

Ábrázolja a függvényeket:

4. §. A számok egész vagy tört részeit tartalmazó egyenlőtlenségek

Nevezzük a következő összefüggéseket az [x] és (x) fő egyenlőtlenségeknek: [x] > b és (x) > b. Megoldásukra kényelmes módszer a grafikus módszer. Magyarázzuk meg két példával.

1. példa [x] ≥ b

Megoldás. Vezessünk be két y = [x] és y = b függvényt, és rajzoljuk meg a grafikonjaikat ugyanarra a rajzra. Nyilvánvaló, hogy ekkor két esetet kell megkülönböztetni: b – egész és b – nem egész.

1. eset b – egész szám

Az ábráról látható, hogy a grafikonok pontban esnek egybe.

Ezért az [x] ≥ b egyenlőtlenség megoldása az x ≥ b sugár lesz.

A 2. b eset nem egész szám.

Ebben az esetben az y = [x] és y = b függvények grafikonjai nem metszik egymást. De az y = [x] gráf egyenes feletti része a ([b] + 1; [b] + 1) koordinátájú pontnál kezdődik. Így az [x] ≥ b egyenlőtlenség megoldása az x ≥ [b] + 1 sugár.

Az alapvető egyenlőtlenségek más típusait is pontosan ugyanígy vizsgálják. E vizsgálatok eredményeit az alábbi táblázat foglalja össze.

[X]

(x) ≥ b, (x) > b, b ≥1

Nincsenek megoldások

(x) ≥ b, (x) > b, b

(-∞; +∞)

(x) ≥ b, (x) > b, 0 ≤ b

n + b ≤ x

n+b

(x) ≤ b, (x)

(-∞; +∞)

(x) ≤ b, (x)

Nincsenek megoldások

(x) ≤ b, (x)

n≤x≤b+n

Nézzünk egy példát megoldások az egyenlőtlenségre:

Cseréljük le [x]-et az a változóval, ahol a egész szám.

>1; >0; >0; >0.

Az intervallum módszerrel > -4 [x] > -4 értéket találunk

A kapott egyenlőtlenségek megoldásához az összeállított táblázatot használjuk:

x ≥ -3,

Válasz: [-3;1).

FELADATOK AZ ÖNÁLLÓ MEGOLDÁSHOZ.

1) [x]

2) [x] ≤ 2

3) [x] > 2.3

4) [x] 2

5) [x] 2 -5 [x] -6

6) [x] 2 - 7 [x] + 6 0

7) 30[x] 2 -121 [x] + 80

8) [x] 2 + 3 [x]-4 0

9) 3(x) 2 -8(x)-4

10) 110 [x] 2 -167 [x] + 163 0

11) > 2

12) > 1

13) 0

14) 0

§5. Egy szám egész vagy tört része olimpiai feladatokban

1. példa

Bizonyítsuk be, hogy bármely n természetes szám osztható 5-tel.

Bizonyítás: Legyen n páros szám, azaz. n=2m, ahol m N,

Ezért.

Akkor ez a kifejezés így néz ki: ,

azok. bármely páros n esetén osztható 5-tel.

Ha n = 2m -1, akkor

akkor ez a kifejezés így néz ki:

Ez a szám osztható 5-tel bármely páratlan n esetén.

Tehát ez a kifejezés osztható 5-tel bármely természetes n esetén.

2. példa

Keresse meg az alak összes prímszámát, ahol n N.

Megoldás. Legyen. Ha n=3k, akkor p=3k 2 . Ez a szám prím lesz és egyenlő 3-mal, ahol k=1.

Ha n=3k+1, k0, akkor

Hogy

Ez a szám prím lesz, és egyenlő 5-tel, ha k=1.

Ha n = 3k + 2, k 0, akkor

Összetett szám bármely kN-re.

Válasz: 3;5

3. példa

A számokat egy sorba írjuk, amelyek kettő, három és hat többszörösei. Keresse meg azt a számot, amely az ezredik helyen lesz ebben a sorozatban.

Megoldás:

Legyen x a kívánt szám, akkor olyan számsorok, amelyek ebben a sorozatban a kettő többszörösei - , a három többszörösei - , a hat - többszörösei. De a számok a hat többszörösei, a kettő és a három többszörösei, azaz. háromszor számolják. Ezért a számok összegéből. Kettő, három, hat többszöröse esetén a hat többszörösének kétszeresét kell kivonnia. Ekkor a probléma megoldásának egyenlete:

Vezessük be a következő jelölést:

Ekkor a+b-c=1000 (*) és egy szám egész részének definíciója alapján megkapjuk:

Minden egyenlőtlenségi tagot megszorozunk 6-tal, így kapjuk:

6a3x

6b2x

Összeadva az első két egyenlőtlenséget, és kivonva belőlük a harmadik egyenlőtlenséget, a következőt kapjuk:

6(a+b+c) 4x

Használjuk az egyenlőséget (*), majd: 60004x

1500x

Az egyenlet megoldásai a számok lesznek: 1500 és 1501, de a feladat feltételei szerint csak az 1500 szám megfelelő.

Válasz: 1500

4. példa

Ismeretes, hogy az öccse nem több, mint 8, de nem kevesebb, mint 7 éves. Ha a fiatalabb testvér teljes éveinek számát megduplázzuk, életkorának részéveinek (azaz hónapjainak) számát pedig megháromszorozzuk, akkor az összeg az idősebb testvér életkora lesz. Adja meg az egyes testvérek életkorát hónapos pontossággal, ha ismert, hogy teljes életkoruk 21 év és 8 hónap.

Megoldás:

Legyen x (év) az öccs életkora(hónapos) korának. A probléma körülményei szerint(év) – az idősebb testvér életkora. Mindkét testvér életkora:

(az év ... ja).

3( , 3x + ,

Mivel (x)=x - [x], akkor. (A = bx + c alakú egyenlet, ahol a,b,c R)

N=6, n=7.

Ha n = 6, akkor x = - nem felel meg a probléma feltételeinek.

Ha n=7, akkor x = .

Az öccse életkora 7 év és 2 hónap.

Az idősebb testvér 14 éves és 6 hónapos.

Válasz: az öccse életkora 7 év és 2 hónap,

Az idősebb testvér 14 éves és 6 hónapos.

Önálló megoldási feladatok.

1. Oldja meg az egyenleteket: a) x+2[x] = 3,2; b) x 3 –[x] =3

2. Az m és n természetes számok másodprímek és n

Vagy

3. Adott egy 1-nél nagyobb x szám. Szükséges az egyenlőség?

Oldja meg az egyenletrendszert: x+[y]+(z) = 1,1

Y+[z]+(x)=2,2

Z+[x]+(y)=3,3.

4. Ismeretes, hogy egy szalagban a teljes méterek száma 4-szer nagyobb, mint a részméterek (azaz centiméterek) száma. Határozza meg a szalag lehetséges maximális hosszát.

Feladatokra adott válaszok az önálló megoldáshoz.

1. § 2. a) xЄ d) x Є Z; y Є >(a), ha a ≥ 1, (a) ≥ [a], ha a

§2. 2.1 1) , nЄ Z

3) , n Z

6) (- ∞; 2);, n≥3, n Z

§5. 1. a) x = 1,2

Ha (x) az x szám tört része, akkor [x] + (x) = x.

Ekkor [x] + (x) + 2[x] = 3,2. 3[x] + (x) = 3,2. Mivel 3[x] egy egész szám, és 0 ≤ (x)

B) x =.

Jegyzet. [x] = x- (x), ahol 0 ≤ (x)

X 3 - x + (x) = 3, ahonnan 2 2 - 1) ≤ 3.

Az első összeg m – n-nel nagyobb, mint a második.

Szükségszerűen.

Jegyzet. Ha [√] = n, akkor n 4 ≤ x 4. Most már könnyű

Bizonyítsuk be, hogy [√ ] = n.

(1; 0,2; 2,1)
3m 75 cm.

Bibliográfia

Alekseeva V., Uskova N. Szám egész és tört részeit tartalmazó feladatok // Matematika. 1997. 17. sz. P.59-63.
Voronova A.N. Egyenlet egész vagy tört rész jele alatti változóval // Matematika az iskolában. 2002.4.sz. 58-60.
Voronova A.N. Egyenlőtlenségek az egész rész jele alatti változóval // Matematika az iskolában. 2002. 2. sz. P.56-59.
Galkin E.V. Nem szabványos matematikai feladatok. Algebra: Tankönyv. kézikönyv 7-11 évfolyamos tanulóknak. Cseljabinszk: „Vzglyad”, 2004.
A 10. évfolyamos matematika tantárgy további fejezetei a választható órák számára: Kézikönyv tanulóknak / Összeáll. MÖGÖTT. Eunuch. M.: Oktatás, 1979.
Erovenko V.A., O.V. Mikhaskova O.V. Occam módszertani elve egy szám egész és tört részei függvényeinek példáján // Matematika az iskolában. 2003. 3. sz. P.58-66.

7. Kirzimov V. Egész számot tartalmazó egyenletek és egyenlőtlenségek megoldása és

Szám tört része // Matematika. 2002.№30. 26-28.o.

8. Shreiner A.A. „Térségi matematikai olimpiák feladatai

Novoszibirszk régió". Novoszibirszk 2000.

9. „Matematika” címtár, Moszkva „AST-PRESS” 1997.

10. Raichmist R.B. „Függvénygrafikonok. Feladatok és gyakorlatok." Moszkva.

„Iskola – sajtó” 1997.

11. Mordkovich A.G., Semenov P.V. és mások.„Algebra és az elemzés kezdetei. 10

Osztály. 2. rész Problémakönyv. Profilszint" Szmolenszk

"Mnemosyne" 2007.

y=b(bZ)

Johann Gauss

Adrien Legendre

Matematikai játékok és szórakozás

Kedvencek

Szerkesztő Kopylova A.N.

Tech. Szerkesztő Murashova N.Ya.

Lektor Secheiko L.O.

2003. szeptember 26-án adták át felvételre. Megjelenés céljából aláírva 2003. december 14-én. Formátum 34×103¼. Phys. sütő l. 8.375. Feltételes sütő l. 13.74. Uch. szerk. l. 12.88. Példányszám 200.000 példány. Rendelési szám 279. Könyv ára 50 dörzsölje.

Domoryad A.P.

Matematikai játékok és szórakozás. Kedvencek. – Volgograd: VSPU, 2003, - 20 p.

A könyv válogatott problémákat mutat be Domoryad A.P. monográfiájából. „Matematikai játékok és szórakozás”, amelyet 1961-ben adott ki az Állami Fizikai és Matematikai Irodalmi Kiadó Moszkvában.

ISBN 5-09-001292-X BBK 22.1я2я72

©VSPU Kiadó, 2003

A tervezett szám meghatározása három táblázat segítségével

A számokat 1-től 60-ig terjessze sorba mindhárom táblázatban úgy, hogy az első táblázatban három, egyenként húsz számjegyű oszlopban álljanak, a másodikban négy, egyenként 15 számjegyű oszlopban, a harmadikban pedig ötben. egyenként 12-12 számból álló oszlopok (lásd 1. ábra), könnyen gyorsan meghatározható a valaki által kigondolt N szám (N≤), ha a kigondolt számot tartalmazó oszlopok α, β, γ számai az 1., 2. és A 3. pontok a táblázatokban vannak feltüntetve: N egyenlő lesz a 40α+45β+36γ szám 60-nal való osztásának maradékával vagy az összeggel (40α+45β+36γ) modulo 60. Például ha α=3, β=2, γ=1:

40α+45β+36γ=0+30+36=6 (mod60), azaz N=6

Ι	II	III



▪	▪	▪
▪	▪	▪
▪	▪	▪

én	II	III	IV


▪	▪	▪	▪
▪	▪	▪	▪
▪	▪	▪	▪

én	II	III	IV	V


▪	▪	▪	▪	▪
▪	▪	▪	▪	▪
▪	▪	▪	▪	▪

1. ábra

Hasonló kérdés merülhet fel a négy, három, négy, öt és hét oszlopos táblázatban elhelyezett 420-ig terjedő számoknál: ha α, β, γ azoknak az oszlopoknak a száma, amelyekben a kívánt szám szerepel, akkor ez egyenlő a a 280α+ 105β+336+120δ szám 420-zal való osztásának maradéka.

Galandféreg

Az úgynevezett játék galandféreg harminchárom mezős táblán játsszák.

Egy ilyen tábla könnyen beszerezhető, ha a sakktáblát egy kereszt alakú kivágású kartonlappal letakarjuk.

Az ábrán minden cellát egy számpár jelöl, amelyek jelzik azon vízszintes és függőleges sorok számát, amelyek metszéspontjában a cella található. A játék elején egy kivételével minden cellát dáma foglal el.

31 ellenőrzőt kell eltávolítani, és egy üres „kezdő” cellát kell megadni ( a,b) és a „végső” ( CD), amelyre a játék végén életben maradt ellenőrzőt kell ráhelyezni. A játékszabályok a következők

a következők: bármely ellenőrző levehető a tábláról, ha mellette (vízszintes vagy függőleges irányban) az egyik oldalon egy ellenőrző található („eltávolítás”), a másik oldalon pedig egy üres négyzet, amelyen az „eltávolítás” ” Az ellenőrzőt egyszerre kell átvinni.

A játékelméletből az következik, hogy akkor és csak akkor lesz megoldás, ha a c(mod3) és b d(mod3).

Adjunk példát egy olyan problémára, amelyben a (44) cella a kezdeti és a végső cella is.

64-44
56-54
44-64
52-54
73-53
75-73
43-63
73-53
54-52
35-55
65-45
15-35
45-25
37-35
57-37
34-36
37-35
25-45
46-44
23-43

31-33
43-23
51-31
52-32
31-33
14-34
34-32
13-33
32-34
34-54
64-44

Itt az egyes lépések jegyzőkönyvében az „eltávolító” ellenőrzőhöz az eredeti ellenőrző számai vannak feltüntetve

Cellák és annak a cellának a száma, amelyre elhelyezték (ebben az esetben egy ellenőrzőt eltávolítanak a tábláról,

egy köztes négyzeten állva)

Próbáljon meg eltávolítani 31 ellenőrzőt:

a) Kezdeti cella (5,7) és végső cella (2,4);

b) Kezdő cella (5,5) és zárócella (5,2).

Szorzás helyett összeadás és kivonás

A logaritmustáblázatok feltalálása előtt a többjegyű számok szorzásának megkönnyítésére ún prosztaszférikus táblázatok (a görög „aphairesis” szavakból - elvenni), amelyek a függvényértékek táblázatai

Z természeti értékeihez. Mivel a és b egész számok esetén (az a+b és az a-b számok vagy igazságosak, vagy mindkettő páratlan; az utóbbi esetben az y és a tört részei azonosak), akkor a b-vel való szorzás csökkenti a+b definícióját és a-b és végül a számok különbségei ,vett asztalok.

Három szám szorzásához használhatja az identitást

amiből az következik, hogy ha van függvényértékek táblázata, akkor az abc szorzat kiszámítása az a+b+c, a+b-c, a+c-b, b+c-a számok meghatározására redukálható, és ne feledjük – a táblázat segítségével – a az egyenlőség jobb oldala (*).

Példaként adjunk meg egy ilyen táblázatot.

A táblázat mutatja: nagy számok – értékek és kis számok – jelentése k, ahol a

EGYSÉGEK

TENS					1 3	2 16	5 5	9 0	14 7	21 8	30 9
		55 11	72 0	91 13	114 8	140 15	170 16	204 17	243 0	285 19
	333 8	385 21	443 16	506 23	576 0	651 1	732 8	820 3	914 16	1016 5

A (*) képlet és a táblázat segítségével nem nehéz megszerezni:

9·9·9=820 3 – 30 9 – 30 9 – 30 9 =297,

17 8 4 = 1016 5 – 385 21 – 91 13 + 5 5 = 544 (Jelölje be!!)

[x] függvény (x egész része)

Az [x] függvény egyenlő az x-et meg nem haladó legnagyobb egész számmal (x bármely valós szám). Például:

Az [x] függvény rendelkezik<<точки разрыва>>: x it egész értékéhez<<изменяется скачком>>.

A 2. ábra ennek a függvénynek a grafikonját mutatja, és a vízszintes szegmensek bal vége a grafikonhoz tartozik (félkövér pontok), a jobb vége pedig nem.

egy négyzet átlói közül ugyanaz a szám

Ha csak a számok összege bármely vízszintes és függőleges helyzetben azonos, akkor a négyzetet hívjuk félig varázslatos.

A varázslatos 4 négyzetes Dürer, a 16. századi matematikus és művész nevéhez fűződik, aki a teret a híres „Melankólia” festményen ábrázolta.

Ennek a négyzetnek a két alsó középső száma egyébként az 1514-es számot alkotja - a festmény keletkezésének dátumát.

Nyolc kilenccellás mágikus négyzet van.Kettő ezek közül, amelyek egymás tükörképei, az ábrán láthatók; a maradék hatot ezekből a négyzetekből kaphatjuk meg, ha a középpont körül 90 180 270-al elforgatjuk.

Az óra céljai: ismertesse meg a tanulókkal a szám egész és tört része fogalmát; fogalmazza meg és bizonyítja a szám egész részének néhány tulajdonságát; ismertesse meg a tanulókkal a számok egész és tört részeinek széles körű felhasználását; a szám egész és tört részeit tartalmazó egyenletek és egyenletrendszerek megoldásának képességének fejlesztése.

Felszerelés: plakát „Aki fiatal korától csinálja és gondolkodik, később megbízhatóbb, erősebb, okosabb lesz” (V. Shukshin).
Projektor, mágnestábla, algebra kézikönyv.

Tanterv.

Idő szervezése.
Házi feladat ellenőrzése.
Új anyagok tanulása.
Problémák megoldása a témában.
Óra összefoglalója.
Házi feladat.

Az órák alatt

I. Szervezési momentum: lecke téma üzenete; az óra céljának kitűzése; az óra szakaszainak üzenete.

II. Házi feladat ellenőrzése.

Válaszoljon a tanulók házi feladattal kapcsolatos kérdéseire. Oldja meg azokat a problémákat, amelyek nehézséget okoztak a házi feladat elvégzése során.

III. Új anyagok tanulása.

Sok algebrai feladatban figyelembe kell venni azt a legnagyobb egész számot, amely nem haladja meg az adott számot. Egy ilyen egész szám különleges nevet kapott: „egy szám egész része”.

1. Meghatározás.

Az x valós szám egész része az x-et meg nem haladó legnagyobb egész szám. Az x szám egész részét az [x] vagy E(x) szimbólum jelöli (a francia Entier „antier” ─ „egész” szóból). Például = 5, [π ] = 3,

A definícióból az következik, hogy [x] ≤ x, mivel az egész rész nem haladja meg az x-et.

Másrészt azért, mert [x] a legnagyobb egész szám, amely kielégíti az egyenlőtlenséget, majd [x] +1>x. Így [x] egy egész szám, amelyet az [x] ≤ x egyenlőtlenségek határoznak meg< [x] +1, а значит 0 ≤ х ─ [x] < 1.

Az α = υ ─ [x] számot az x szám tört részének nevezzük, és (x)-nek jelöljük. Akkor van: 0 ≤ (x)<1 и следовательно, х = [x] + {х}.

2. Az antie néhány tulajdonsága.

1. Ha Z egész szám, akkor = [x] + Z.

2. Bármilyen x és y valós szám esetén: ≥ [x] + [y].

Bizonyítás: mivel x = [x] + (x), 0 ≤ (x)<1 и у = [у] + {у}, 0 ≤ {у}<1, то х+у= [x] + {х} + [у] + {у}= [x] + [у] + α, где α = {х} + {у} и 0 ≤ α <2.

Ha 0 ≤ α<1. ς о = [x] + [у].

Ha 1≤ α<2, т.е. α = 1 + α` , где 0 ≤ α` < 1, то х+у = [x] + [у] +1+ α` и

= [x] + [y]+1> [x] + [y].

Ez a tulajdonság tetszőleges véges számú kifejezésre kiterjed:

≥ + + + … + .

A hozzávetőleges számításoknál nagyon fontos a mennyiség egész részének megtalálása. Valójában, ha tudjuk, hogyan találjuk meg az x érték egész részét, akkor [x]-et vagy [x]+1-et az x érték közelítő értékének vesszük, akkor olyan hibát követünk el, amelynek értéke nem nagyobb egynél , óta

≤ x – [x]< [x] + 1 – [x]=1,
0< [x] + 1– x ≤[x] + 1 – [x] =1.

Ezenkívül a mennyiség egész részének értéke lehetővé teszi, hogy 0,5-ös pontossággal megtalálja az értékét. Ehhez az értékhez [x] + 0,5 vehet fel.

A szám teljes részének megtalálásának képessége lehetővé teszi, hogy ezt a számot bármilyen fokú pontossággal meghatározza. Valóban, azóta

≤ Nx ≤ +1, akkor

Nagyobb N esetén a hiba kicsi lesz.

IV. Problémamegoldás.

(Ezeket a gyökerek 0,1-es pontosságú kivonásával kapják hiány és felesleg mellett). Ezeket az egyenlőtlenségeket összeadva azt kapjuk

1+0,7+0,5+0,5+0,4 < х < 1+0,8+0,6+0,5+0,5.

Azok. 3.1< x <3,4 и, следовательно, [x]=3.

Vegye figyelembe, hogy a 3,25 szám legfeljebb 0,15-tel tér el x-től.

2. feladat. Keresse meg a legkisebb m természetes számot, amelyre!

Az ellenőrzés azt mutatja, hogy k = 1 és k = 2 esetén a kapott egyenlőtlenség egyetlen természetes m-re sem áll fenn, k = 3 esetén pedig m = 1 megoldása van.

Ez azt jelenti, hogy a szükséges szám 11.

Válasz: 11.

Antje az Eqs.

Az „egész rész” jelű változót tartalmazó egyenletek megoldása általában egyenlőtlenségek vagy egyenlőtlenségrendszerek megoldásához vezet.

3. feladat. Oldja meg az egyenletet:

4. feladat. Oldja meg az egyenletet

Az egész rész definíciója szerint a kapott egyenlet ekvivalens a kettős egyenlőtlenséggel

5. feladat. Oldja meg az egyenletet

Megoldás: ha két számnak ugyanaz az egész része, akkor abszolút értékbeli különbségük kisebb, mint 1, ezért ebből az egyenletből következik az egyenlőtlenség

És ezért először is x≥ 0, másodszor pedig a kapott kettős egyenlőtlenség közepén lévő összegben a harmadiktól kezdve minden tag egyenlő 0-val, tehát x < 7 .

Mivel x egy egész szám, csak ellenőrizni kell a 0-tól 6-ig terjedő értékeket. Az egyenlet megoldásai a 0,4 és 5 számok.

c) jelölés.

VI. Házi feladat.

Kiegészítő feladat (nem kötelező).

Valaki megmérte egy téglalap hosszát és szélességét. A hossz egész részét megszorozta a szélesség egész részével, és 48-at kapott; megszorozta a teljes hosszrészt a szélesség töredékével, és 3,2-t kapott; megszorozta a hossz töredékét a szélesség teljes részével, és 1,5-öt kapott. Határozza meg a téglalap területét.

Shkolnik Kiadó

Volgograd, 2003
A.P.Domoryad

BBK 22.1я2я72

Domoryad Alekszandr Petrovics

Matematikai játékok és szórakozás

Kedvencek

Szerkesztő Kopylova A.N.

Tech. szerkesztő Murashova N.Ya.

Lektor Secheiko L.O.

2003. szeptember 26-án adták át felvételre. Megjelenés céljából aláírva 2003. december 14-én. Formátum 84x108 ¼.Phys.print.l. 8.375. Feltételes sütő 13.74. Akadémikus-szerk.l. 12.82. Példányszám 200.000 példány. 979. sz. A könyv ára 50 rubel.

Domoryad A.P.

Matematikai játékok és szórakozás: Kedvencek - Volgograd: VSPU, 2003. - 20 p.

A könyv válogatott problémákat mutat be Domoryad A.P. monográfiájából. „Matematikai játékok és szórakozás”, amelyet 1961-ben adott ki a moszkvai fizikai és matematikai irodalom állami kiadója.

ISBN5-09-001292-Х ББК22.1я2я72

Előszó 6

A tervezett szám meghatározása három táblázat segítségével 7

Pasziánsz 8

Összeadás és kivonás 11 szorzás helyett

[x] függvény (x egész része) 12

Négyzet alakú figurák 14

Mágikus négyzetek 16

17. függelék

Előszó

A különféle szerzők által a matematikai játékok és szórakoztatás általános elnevezése alatt összevont sokszínű anyagból a „klasszikus szórakoztatás” több csoportját lehet megkülönböztetni, amelyek régóta felkeltették a matematikusok figyelmét:

Szórakozás a problémák eredeti megoldásainak keresésével kapcsolatban, amelyek szinte kimeríthetetlenül sokféle megoldást tesznek lehetővé; Általában a megoldások számának megállapítása, olyan módszerek kidolgozása érdekli, amelyek nagy megoldáscsoportokat adnak, vagy valamilyen speciális igényt kielégítő megoldást.
A matematikai játékok, pl. olyan játékok, amelyekben két egymás mellett játszó, a meghatározott szabályok szerint felváltva végrehajtott „mozdulat” egy bizonyos cél felé törekszik, és lehetséges, hogy bármely kezdeti pozíció előre meghatározza a győztest, és jelezze, hogyan - bármilyen mozdulattal az ellenfél – győzelmet érhet el.
„Egy ember játékai”, azaz. szórakozás, amelyben egy játékos által e szabályoknak megfelelően végrehajtott műveletek során egy bizonyos, előre meghatározott cél elérése szükséges; itt az érdekli őket, hogy milyen feltételek mellett érhető el a cél, és keresik az eléréséhez szükséges legkisebb mozdulatszámot.

A könyv nagy részét a klasszikus játékoknak és szórakoztatásnak szentelik.

Mindenki próbálkozhat kitartással és találékonysággal, hogy érdekes (saját!) eredményeket érjen el.

Ha az olyan klasszikus szórakoztatás, mint például a „bűvös négyzetek” komponálása egy viszonylag szűk emberkör számára vonzó lehet, akkor például szimmetrikus figurák komponálása egy kivágott négyzet részleteiből, számszerű érdekességek keresése stb. bármilyen matematikai képzés, örömet szerezhet mind az amatőröknek, mind a matematika nem szerelmeseinek. Ugyanez mondható el a felkészülést igénylő szórakoztatásról is a gimnázium 9-11.

Számos szórakozás, sőt egyéni probléma is javasolhat témát önálló kutatáshoz a matematika szerelmeseinek.

Általánosságban elmondható, hogy a könyvet a 10-11. osztályos matematikai háttérrel rendelkező olvasóknak szánjuk, bár az anyag nagy része a kilencedik osztályosok számára hozzáférhető, sőt néhány kérdés az 5-8.

Számos bekezdést felhasználhatnak a matematikatanárok a tanórán kívüli tevékenységek megszervezésére.

Az olvasók különböző kategóriái eltérő módon használhatják ezt a könyvet: a matematikát nem kedvelők megismerkedhetnek a számok, figurák stb. különös tulajdonságaival anélkül, hogy belemélyednének a játékok és a szórakozás indoklásába, egyéni hitvallást tesznek; Azt tanácsoljuk a matematika szerelmeseinek, hogy ceruzával és papírral tanulmányozzák a könyv egyes részeit, oldják meg a javasolt feladatokat, és válaszoljanak az elmélkedésre javasolt egyéni kérdésekre.

A tervezett szám meghatározása három táblázat segítségével

1-től 60-ig terjedő számok sorba helyezésével mindhárom táblázatban úgy, hogy az első táblázatban három, egyenként húsz számjegyű oszlopban legyenek, a másodikban négy, egyenként 15 számjegyű oszlopban, a harmadikban pedig öt oszlopban legyenek. egyenként 12-12 számból (lásd 1. ábra) könnyen meghatározható a valaki által kigondolt N szám (N≤60), ha a kigondolt számot tartalmazó oszlopok α, β, γ számai az 1., 2. és A 3. táblázatok láthatók: N pontosan a 40α+45β+36γ szám 60-nal való osztásának maradéka, vagy más szóval, N pontosan a kisebb pozitív szám, amely összevethető a modulo 60 összeggel (40α+45β+36γ). Például α=3, β =2, γ=1 esetén:

40α+45β+36γ≡0+30+36≡6 (mod60), azaz. N=6.

én	II	III	IV	V
1	2	3	4	5
6	7	8	9	10
.	.	.	.	.
.	.	.	.	.
.	.	.	.	.
51	52	53	54	55
56	57	58	59	60

én		II		III
1		2		3
4		5		6
7		8		9
.		.		.
.		.		.
.		.		.
55		56		57
58		59		60
én	II		III		IV
1	2		3		4
5	6		7		8
.	.		.		.
.	.		.		.
.	.		.		.
53	54		55		56
57	58		59		60

Hasonló kérdés megoldható 420-ig négy, három, négy, öt és hét oszlopos táblázatban elhelyezett számoknál: ha - azoknak az oszlopoknak a számai, amelyekben a kívánt szám szerepel, akkor ez egyenlő a maradékkal a szám 280α+105β+336γ+120δ 420-nál.

Galandféreg

		737773	747774	757775
		636663	642264	656665
515551	555252	535553	544554	554455	555556	555557
414441	424442	434443	444444	454445	464446	474447
313331	323332	333333	343334	353335	363336	373337
		232223	242224	252225
		131113	141114	111115

Az úgynevezett játék galandféreg harminchárom mezős táblán játsszák. Ez a tábla könnyen beszerezhető, ha a sakktáblát letakarja egy kereszt alakú kivágású kartonlappal.
Hasznos és izgalmas szórakozás a 3. ábra (a) szerint kivágott négyzet hét darabjából figurák komponálása, és az adott figurák megkomponálásánál mind a hét darabot fel kell használni, és mindegyikkel részben is át kell fedni. Egyéb.

ábrán. A 4. ábra az 1. szimmetrikus ábrákat mutatja. Próbálja meg ezeket az ábrákat összerakni az ábrán látható négyzet részeiből. 3, (a).

(a) (b)
3. ábra

Rizs. 4
Ugyanabból a rajzból sok más figurát is létrehozhat (például különféle tárgyak, állatok stb. képeit).

A játék kevésbé elterjedt változata az, hogy az ábrán látható négyzet darabjaiból figurákat készítenek. 3, (b).

Varázslatos négyzetek

Varázslatos négyzet"n 2 -négyzet" nevezzünk négyzetet osztva n 2 a cellákat először töltik meg n 2 természetes számokat úgy, hogy a számok összege bármely vízszintes vagy függőleges sorban, valamint a négyzet bármelyik átlóján azonos számmal legyen

Ha bármely vízszintes és függőleges sorban csak a számok összege azonos, akkor a négyzetet hívjuk félig varázslatos.

századi matematikus és művész, aki négyzetet ábrázolt a híres „Melankólia” festményen.

Ennek a négyzetnek a két alsó középső száma egyébként az 1514-es számot, a festmény keletkezésének dátumát alkotja.
Csak nyolc kilenccellás mágikus négyzet van. Ezek közül kettő, amelyek egymás tükörképei, látható az ábrán; a maradék hatot ezekből a négyzetekből úgy kaphatjuk meg, hogy a középpont körül 90°, 180°, 270°-kal elforgatjuk őket.

2. Nem nehéz teljesen megvizsgálni a varázsnégyzetek kérdését n=3 esetén

Valójában S 3 = 15, és csak nyolcféleképpen lehet a 15-öt különböző számok (egytől kilencig) összegeként ábrázolni:

15=1+5+9=1+6+8=2+4+9=2+5+8=2+6+7=3+4+8=3+5+7=4+5+6

Vegye figyelembe, hogy az 1, 3, 7, 9 számok mindegyike kettőben, a 2, 4, 6, 8 számok mindegyike három meghatározott összegben szerepel, és csak az 5-ös szám szerepel négy összegben. Másrészt a nyolc háromcellás sorból: három vízszintes, három függőleges és két átlós, három sor halad át a négyzet sarokcelláin, négy a központi cellán, és két sor a többi cellán. . Ezért az 5-ös számnak feltétlenül a központi cellában kell lennie, a 2, 4, 6, 8 számoknak a sarokcellákban, és az 1, 3, 7, 9 számoknak a négyzet többi cellájában. 15=1+5+9=1+6+8=2+4+9=2+5+8=2+6+7=3+4+8=3+5+7=4+5+6.

Csodálatos találkozások a szórakoztató matematikával

Egy nagyon érdekes problémacsoport

A tudományok királynőjének gyönyörű arca MATEMATIKA

1 Az ábrákat V.I. könyvéből kölcsönözték. Obreimov "Hármas puzzle"

Funkció [ x] egyenlő a legnagyobb egész számmal, amely nagyobb, mint x (x– bármilyen valós szám). Például:

Funkció [ x] „töréspontokkal” rendelkezik: egész értékekhez x„hirtelen megváltozik”.

A 2. ábra ennek a függvénynek a grafikonját mutatja, és a vízszintes szegmensek bal vége a grafikonhoz tartozik (félkövér pontok), a jobb vége pedig nem.

Próbáld bebizonyítani, hogy ha egy szám kanonikus felbontása n! akkor van

Hasonló képletek érvényesek

Ennek ismeretében könnyen megállapítható például, hogy a 100-as szám hány nullával végződik! Valóban, legyen. Akkor

És .

Tehát 100! Osztva, i.e. huszonnégy nullával végződik.

Négyzet alakú figurák

Hasznos és izgalmas szórakozás a 3. ábra (a) szerint kivágott négyzet hét darabjából figurák komponálása, és az adott figurák megkomponálásánál mind a hét darabot fel kell használni, és mindegyikkel részben is át kell fedni. Egyéb.

ábrán. A 4. ábra az 1. szimmetrikus ábrákat mutatja. Próbálja meg ezeket az ábrákat összerakni az ábrán látható négyzet részeiből. 3, (a).

Ugyanabból a rajzból sok más figurát is létrehozhat (például különféle tárgyak, állatok stb. képeit).

A játék kevésbé elterjedt változata az, hogy az ábrán látható négyzet darabjaiból figurákat készítenek. 3, (b).

Varázslatos négyzetek

Ha bármely vízszintes és függőleges sorban csak a számok összege azonos, akkor a négyzetet hívjuk félig varázslatos.

A varázslatos 4 2 négyzet Dürerről, egy 16. századi matematikusról és művészről kapta a nevét, aki négyzetet ábrázolt a híres „Melankólia” festményen.

Ennek a négyzetnek a két alsó középső száma egyébként az 1514-es számot, a festmény keletkezésének dátumát alkotja.

Csak nyolc kilenccellás mágikus négyzet van. Ezek közül kettő, amelyek egymás tükörképei, látható az ábrán; a maradék hatot ezekből a négyzetekből úgy kaphatjuk meg, hogy a középpont körül 90°, 180°, 270°-kal elforgatjuk őket.

2. Nem nehéz teljesen megvizsgálni a varázsnégyzetek kérdését n=3 esetén

Valójában S 3 = 15, és csak nyolcféleképpen lehet a 15-öt különböző számok (egytől kilencig) összegeként ábrázolni:

15=1+5+9=1+6+8=2+4+9=2+5+8=2+6+7=3+4+8=3+5+7=4+5+6