Рассмотрим формулы для определения работы и мощности силы, приложенной в какой-либо точке твердого тела, совершающего поступательное или вращательное движение.

1. Работа и мощность силы, приложенной к твердому телу, совершающему поступательное движение.

Рассмотрим твердое тело, совершающее поступательное движение по отношению к инерциальной системе отсчета под действием силы , приложенной в произвольной точке (рис. 24).

В случае поступательного движения твердого тела все его точки движутся со скоростями одинаковыми по величине и направлению. Обозначим скорость тела .

Используя формулу (4.31), получим

где - дифференциал радиус-вектора произвольной точки твердого тела .

Рис. 24. Поступательное движение твердого тела под действием силы

Поделив (4.49) на dt , получим выражение для определения мощности силы, действующей на тело, совершающее поступательное движение:

где - угол между векторами силы скорости .

То есть мощность силы при поступательном движении твердого тела определяется как скалярное произведение вектора силы на вектор скорости твердого тела .

Интегрируя (4.49) на каком-либо конечном перемещении точки M из начального положения М 0 в положение М 1 , получим полную работу силы, действующей на тело на этом перемещении

2. Работа и мощность силы, приложенной к твердому телу, совершающему вращательное движение.

Рассмотрим вращение твердого тела вокруг неподвижной вертикальной оси Oz под действием силы , приложенной в произвольной точке этого тела М (рис. 25).

Рис. 25. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси

Положение точки М в осях Oxyz определяется радиус-вектором . Скорость точки М направлена по касательной к траектории движения (окружность с центром на оси вращения). Вектор этой скорости можно определить по векторной формуле Эйлера, известной из курса кинематики твердого тела

где - вектор угловой скорости вращения твердого тела.

Используя формулу (4.32), получим

Меняя в круговом порядке сомножители в смешанном векторном произведении, получим

где - векторный момент силы , относительно центра O .

Угол между векторами момента и угловой скорости .

Учитывая, что:

1. - момент силы , относительно оси вращения Oz.

2. и следовательно ,

окончательно получим

Таким образом, элементарная работа силы, приложенной в какой-либо точке твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, равна произведению момента этой силы относительно оси вращения на дифференциал угла поворота тела.

Для определения полной работы силы при повороте тела на угол φ, проинтегрировав выражение (4.53), получим

В случае когда , полную работу можно определить по формуле

где φ – угол поворота тела, на котором определяют работу силы.

Если направление момента и угловой скорости совпадают, то работа силы считается положительной, в противном случае – отрицательной.

Определим мощность силы при вращении твердого тела вокруг оси. Используя формулу (4.40), получим

То есть мощность силы, приложенной к вращающемуся твердому телу, определяется как произведение момента силы относительно оси вращения на угловую скорость тела . Знак мощности определяется аналогично знаку работы.

Работа сил вычисляется по формулам, полученным в § 87 и 88. Рассмотрим дополнительно следующие случаи.

1. Работа сил тяжести, действующих на систему. Работа силы тяжести, действующей на частицу весом будет равна где - координаты, определяющие начальное и конечное положения частицы (см. § 88). Тогда, учтя, что (см. § 32), найдем для суммы работ всех сил тяжести, действующих на систему, значение

Этот результат можно еще представить в виде

где Р - вес системы, - вертикальное перемещение центра масс (или центра тяжести). Следовательно, работа сил тяжести, действующих на систему, вычисляется как работа их главного вектора (в случае твердого тела равнодействующей) Р на перемещении центра масс системы (или центра тяжести тела).

2. Работа сил, приложенных к вращающемуся телу. Элементарная работа приложенной к телу силы F (рис. 307) будет равна (см. § 87)

так как , где - элементарный угол поворота тела.

Но, как легко видеть,

Будем называть величину вращающим моментом. Тогда получим

Следовательно, в рассматриваемом случае элементарная работа равна произведению вращающего момента на элементарный угол поворота. Формула (46) справедлива и при действии нескольких сил, если считать

При повороте на конечный угол работа

а в случае постоянного момента

Если на тело действует пара сил, лежащая в плоскости, перпендикулярной оси Oz, то в формулах (46)-(47) будет, очевидно, означать момент этой пары.

Укажем еще, как в данном случае определяется мощность (см. § 87). Пользуясь равенством (46), находим

Следовательно, при действии сил на вращающееся тело мощность равна произведению вращающего момента на угловую скорость тела. При той же самой мощности вращающий момент будет тем больше, чем меньше угловая скорость.

3. Работа сил трения, действующих на катящееся тело. На колесо радиусом R (рис. 308), катящееся по некоторой плоскости (поверхности) без скольжения, действует приложенная в точке В сила трения , препятствующая скольжению точки вдоль плоскости. Элементарная работа этой силы . Но точка В в данном случае совпадает с мгновенным центром скоростей (см. § 56) и

Так как то и для каждого элементарного перемещения .

Следовательно, при качении без скольжения работа силы трения, препятствующей скольжению, на любом перемещении тела равна нулю. По той же причине в этом случае равна нулю и работа нормальной реакции N, если считать тела недеформируемыми в силу N приложенной в точке В (как на рис. 308, а).

Теорема: работа силы тяжести не зависит от вида траектории и равна произведению модуля силы на вертикальное перемещение точки ее приложения .

Пусть материальная точка М движется под действием силы тяжести G и за какой-то промежуток времени перемещается из положения М 1 в положение М 2 , пройдя путь s (рис. 4) .
На траектории точки М выделим бесконечно малый участокds , который можно считать прямолинейным, и из его концов проведем прямые, параллельные осям координат, одна из которых вертикальна, а другая горизонтальна.
Из заштрихованного треугольника получим, что

dy = ds cos α .

Элементарная работа силы G на пути ds равна:

dW = F ds cos α .

Полная работа силы тяжести G на пути s равна

W = ∫ Gds cos α = ∫ Gdy = G ∫ dy = Gh .

Итак, работа силы тяжести равна произведению силы на вертикальное перемещение точки ее приложения:

Теорема доказана.

Пример решения задачи по определению работы силы тяжести

Задача: Однородный прямоугольный массив АВСD массой m = 4080 кг имеет размеры, указанные на рис. 5 .
Определить работу, которую необходимо выполнить для опрокидывания массива вокруг ребра D .

Решение.
Очевидно, что искомая работа будет равна работе сопротивления, совершаемой силой тяжести массива, при этом вертикальное перемещение центра тяжести массива при опрокидывании через ребро D является путем, который определяет величину работы силы тяжести.

Для начала определим силу тяжести массива: G = mg = 4080×9,81 = 40 000 Н = 40 кН .

Для определения вертикального перемещения h центра тяжести прямоугольного однородного массива (он находится в точке пересечения диагоналей прямоугольника), используем теорему Пифагора, исходя из которой:

КО 1 = ОD – КD = √(ОК 2 + КD 2) – КD = √(3 2 +4 2) - 4 = 1 м .

На основании теоремы о работе силы тяжести определим искомую работу, необходимую для опрокидывания массива:

W = G×КО 1 = 40 000×1 = 40 000 Дж = 40 кДж.

Задача решена.

Работа постоянной силы, приложенной к вращающемуся телу

Представим себе диск, вращающийся вокруг неподвижной оси под действием постоянной силы F (рис. 6) , точка приложения которой перемещается вместе с диском. Разложим силу F на три взаимно-перпендикулярные составляющие: F 1 – окружная сила, F 2 – осевая сила, F 3 – радиальная сила.

При повороте диска на бесконечно малый угол dφ силаF совершит элементарную работу, которая на основании теоремы о работе равнодействующей будет равна сумме работ составляющих.

Очевидно, что работа составляющих F 2 и F 3 будет равна нулю, так как векторы этих сил перпендикулярны бесконечно малому перемещению ds точки приложения М , поэтому элементарная работа силы F равна работе ее составляющей F 1 :

dW = F 1 ds = F 1 Rdφ .

При повороте диска на конечный угол φ работа силы F равна

W = ∫ F 1 Rdφ = F 1 R ∫ dφ = F 1 Rφ ,

где угол φ выражается в радианах.

Так как моменты составляющих F 2 и F 3 относительно оси z равны нулю, то на основании теоремы Вариньона момент силы F относительно оси z равен:

М z (F) = F 1 R .

Момент силы, приложенной к диску, относительно оси вращения называется вращающим моментом, и, согласно стандарту ИСО , обозначается буквой Т :

Т = М z (F) , следовательно, W = Tφ .

Работа постоянной силы, приложенной к вращающемуся телу, равна произведению вращающего момента на угловое перемещение .

Пример решения задачи

Задача: рабочий вращает рукоятку лебедки силой F = 200 Н , перпендикулярной радиусу вращения.
Найти работу, затраченную в течение времени t = 25 секунд , если длина рукоятки r = 0,4 м , а ее угловая скорость ω = π/3 рад/с .

Решение.
Прежде всего определим угловое перемещение φ рукоятки лебедки за 25 секунд :

φ = ωt = (π/3)×25 = 26,18 рад.

W = Tφ = Frφ = 200×0,4×26,18 ≈ 2100 Дж ≈ 2,1 кДж .

Мощность

Работа, совершаемая какой-либо силой, может быть за различные промежутки времени, т. е. с разной скоростью. Чтобы охарактеризовать, насколько быстро совершается работа, в механике существует понятиемощности , которую обычно обозначают буквой P .

Рассмотрим две произвольные точки твердого тела М 1 и М 2 , являющиеся частью механической системы. Проведем построения (см. рис.14.13).

Внутренние силы P J 1 , P J 2 , действующие со стороны одной точки на другую, на основании закона равенства действия и противодействия равны по модулю и противонапралены P J 1 = - P J 2 .

Пусть в данное мгновение скорости точек равны соответственно u 1 и u 2 и за промежуток времени приращения вдоль векторов составляют ds 1 = u 1 dt , ds 2 = u 2 dt .

Т.к., на основании 1-го следствия теоремы о скоростях точек плоской фигуры проекции векторов скоростей на направление отрезка М 1 М 2 равны, то и проекции элементарных перемещений этих точек будут равны.

Поэтому, вычисляя сумму элементарных работ 2-х внутренних сил на рассматриваемом перемещении и учитывая их равенство и противонаправленность получим

P J 1 ds 1 cos(P J 1 , u 1) + P J 2 ds 1 cos(P J 2 , u 2)= P J 1 * M 1 M’ 1 - P J 1 *M 2 M’ 2 = 0.

Поскольку каждой внутренней силе соответствует другая, равная по модулю и противонапраленная, то сумма элементарных работ всех внутренних сил равна нулю.

Конечное перемещение является совокупностью элементарных перемещений, а поэтому

А j = 0 ,

т.е. сумма работ внутренних сил твердого тела на любом его перемещении равна нулю.

Поступательное движение твердого тела .

При поступательном движении твердого тела траектории всех его точек тождественны и параллельны. Поэтому векторы элементарных перемещений геометрически равны.

Элементарная работа силы P E i

d A E i = P E i dr.

Для всех сил будет

d A=Sd A E i = S P E i dr= dr S P E = dr R E .

Следовательно,

d A=dr R E . (14-46)

Элементарная работа сил, приложенных к твердому телу, движущемуся поступательно, равна элементарной работе главного вектора сил .

А= . (14-47)

Элементарная работа сил, приложенных к твердому телу, вращающемуся вокруг неподвижной оси, равна произведению главного момента внешних сил относительно оси вращения на приращение угла поворота .

Работа на конечном перемещении

SA i = , (14-48)

где - главный момент внешних сил относительно оси вращения.

Если главный момент постоянен, то

SA i = E z = E z (j 2 - j 1). (14-49)

В этом случае сумма работ на конечном перемещении равна произведению главного момента внешних сил на конечное изменение угла поворота тела.

Тогда мощность

N= =M E z dj/dt= M E z w. (14-50)

В общем случае движения элементарная работа внешних сил, приложенных к свободному твердому телу, равна

dA= SdA i = R E dr O + M E W da, (14-51)

где M E W - главный момент внешних сил относительно мгновенной оси; da - элементарный угол поворота относительно мгновенной оси.

14.10. Сопротивление при качении .

На цилиндрический каток, находящийся на горизонтальной плоскости в состоянии покоя (рис.14.14,а) действуют две взаимно уравновешивающиеся силы: вес катка G и нормальная реакция плоскости N = -G .

Если под действием горизонтальной силы Р , приложенной в центре катка С, он катится по плоскости без скольжения, то силы G , N образуют пару сил, препятствующую качению (рис. 14.14,б).

Возникновение этой пары сил обусловлено деформацией контактирующих поверхностей катка и плоскости. Линия действия реакции N оказывается сдвинутой на некоторое расстояние d от линии действия силы G.

Момент пары сил G , N называется моментом сопротивления качению. Его величина определяется произведением

М сопр = Nd . (14-52)

Коэффициент качения выражается в линейных единицах, т.е. [d]= см. Например, стальной бандаж по стальному рельсу d = 0,005 см.; дерево по стали d = 0,03- 0,04 см.

Определим наименьшую горизонтальную силу Р , приложенную к центру катка.

Чтобы каток начал катиться, момент пары сил, составленный силой Р и силой сцепления F сц, должен стать больше момента сопротивления, т.е.

PR> Nd .

Откуда P> Nd/R .

Т.к. здесь N=G, то

Похожие статьи