Геометрические модели классифицируют на предметные, расчетные и познавательные. Среди геометрических моделей можно выделить плоские и объемные модели. Предметные модели тесно связаны с визуальным наблюдением. Информация, получаемая с предметных моделей, включает в себя сведения о форме и размерах объекта, о его расположении относительно других. Чертежи машин, технических приспособлений и их деталей выполняют с соблюдением ряда условных обозначений, особых правил и определенного масштаба. Чертежи могут быть монтажными, общего вида, сборочными, табличными, габаритными, наружных видов, пооперационными и т.д. Чертежи также различают по отраслям производства: машиностроительные, приборостроительные, строительные, горно-геологические, топографические и т.п. Чертежи земной поверхности называются картами. Чертежи различают по методу изображений: ортогональный чертеж, аксонометрия, перспектива, проекции с числовыми отметками, аффинные проекции, стереографические проекции, кинеперспектива и т.п. К предметным моделям относятся чертежи, карты, фотографии, макеты, телевизионные изображения и т.п. Предметные модели тесно связаны с визуальным наблюдением. Среди предметных геометрических моделей можно выделить плоские и объемные модели. Предметные модели существенно различаются по способу исполнения: чертежи, рисунки, картины, фотографии, киноленты, рентгенограммы, макеты, модели, скульптуры и т.п. В зависимости от стадии проектирования чертежи различают на чертежи технического предложения, эскизного и технического проектов, рабочие чертежи. Чертежи также различают на подлинники, оригиналы и копии.

Графические построения могут служить для получения численных решений различных задач. Графически можно выполнять алгебраические действия (складывать, вычитать, умножать, делить), дифференцировать, интегрировать и решать уравнения. При вычислении алгебраических выражений числа изображаются направленными отрезками. Для нахождения разности или суммы чисел соответствующие им отрезки откладываются на прямой линии. Умножение и деление осуществляется построением пропорциональных отрезков, которые отсекаются на сторонах угла прямыми параллельными линиями. Комбинация действий умножения и сложения позволяет вычислять суммы произведений и взвешенное среднее. Графическое возведение в целую степень заключается в последовательном повторении умножения. Графическим решением уравнений является значение абсциссы точки пересечения кривых. Графически можно вычислять определенный интеграл, строить график производной, т.е. дифференцировать и интегрировать, а также решать уравнения. Геометрические модели для графических вычислений необходимо отличать от номограмм и расчетных геометрических моделей (РГМ). Графические вычисления требуют каждый раз последовательности построений. Номограммы и РГМ представляют собой геометрические изображения функциональных зависимостей и не требуют для нахождения численных значений новых построений. Номограммы и РГМ используются для вычислений и исследований функциональных зависимостей. Вычисления на РГМ и номограммах заменяется считыванием ответов с помощью элементарных операций, указанных в ключе номограммы. Основными элементами номограмм являются шкалы и бинарные поля. Номограммы подразделяются на элементарные и составные номограммы. Номограммы также различают по операции в ключе. Принципиальное различие РГМ и номограммы состоит в том, что для построения РГМ используются геометрические методы, а для построения номограмм аналитические методы. Номография – переход от аналитической машины к геометрической машине.

К познавательным моделям относятся графики функций, диаграммы и графы. Графическая модель зависимости одних переменных величин от других называется графиком функций. Графики функций можно строить по заданной его части или по графику другой функции, используя геометрические преобразования. Графическое изображение, наглядно показывающее соотношение каких-либо величин, является диаграммой. Столбчатая диаграмма, представляющая собой совокупность смежных прямоугольников, построенных на одной прямой и представляющих распределение каких-либо величин по количественному признаку, называется гистограммой. Геометрические модели, изображающие отношения между элементами множества называются графами. Графы – модели порядка и образа действия. На этих моделях нет расстояний, углов, безразлично соединение точек прямой или кривой. В графах различаются только вершины, ребра и дуги. Впервые графы использовались в ходе решения головоломок. В настоящее время графы эффективно используются в теории планирования и управления, теории расписаний, социологии, биологии, в решении вероятностных и комбинаторных задач и т.п.

Особое значение имеют теоретические геометрические модели. В аналитической геометрии геометрические образы исследуются средствами алгебры на основе метода координат. В проективной геометрии изучаются проективные преобразования и неизменные свойства фигур, независящие от них. В начертательной геометрии изучаются пространственные фигуры и методы решения пространственных задач при помощи построения их изображений на плоскости. Свойства плоских фигур рассматриваются в планиметрии, а свойства пространственных фигур – в стереометрии. В сферической тригонометрии изучаются зависимости между углами и сторонами сферических треугольников. Теория фотограмметрии и стерео- и фотограмметрии позволяет определять формы, размеры и положения объектов по их фотографическим изображениям в военном деле, космических исследованиях, геодезии и картографии. Современная топология изучает непрерывные свойства фигур и их взаимного расположения. Фрактальная геометрия (введена в науку в 1975 Б. Мандельбротом), изучающая общие закономерности процессов и структур в природе, благодаря современным компьютерным технологиям стала одним из самых плодотворных и прекрасных открытий в математике. Фракталы пользовались бы еще большей популярностью, если бы опирались на достижения современной теории начертательной геометрии.

Задачи классической начертательной геометрии можно условно разделить на позиционные, метрические и конструктивные задачи.

В технических дисциплинах используются статические геометрические модели, которые помогают сформировать представления об определенных предметах, их кон­структивных особенностях, о входящих в их состав элементах, и динамические или функциональные геометрические модели, которые позволяют демонстрировать кинематику, функциональные связи или же технические и технологические процессы. Очень часто геометрические модели позволяют проследить ход таких явлений, которые обычному наблюдению не поддаются и могут быть представлены на основании имеющихся знаний. Изображения позволяют не только представить устройство оп­ределенных машин, приборов и оборудования, но одновременно охарактеризовать их технологические особенности и функциональ­ные параметры.

Чертежи дает не только геометрическую информацию о форме деталей узла. По нему понимается принцип работы узла, перемещение деталей относительно друг друга, преобразование движений, возникновение усилий, напряжений, преобразование энергии в механическую работу и т.п. В техническом вузе чертежи и схемы имеют место во всех изучаемых общетехнических и специальных дисциплинах (теоретическая механика, сопротивление материалов, конструкционные материалы, электромеханика, гидравлика, технология машиностроения, станки и инструменты, теория машин и механизмов, детали машин, машины и оборудование и др.). Для передачи различной информации чертежи дополняют различными знаками и символами, а для их словесного описания используются новые понятия, в основу формирования которых положены фундаментальные понятия физики, химии и математики.

Особенно интересным является использование геометрических моделей для проведения аналогий между геометрическими законами и реальными объектами для анализа сущности явления и оценки теоретического и практического значения математических рассуждений и анализа сущности математического формализма. Отметим, общепринятые средства передачи приобретаемого опыта, знаний и восприятия (речь, письменность, живопись и т. д.) являются заведомо гомоморфной проекционной моделью реальной действительности. Понятия о проекционном схематизме и операции проектирования относятся к начертательной геометрии и имеют своё обобщение в теории геометрического моделирования.Проекционные геометрические модели, получаемые в результате операции проецирования, могут быть совершенными, несовершенными (различной степени несовершенства) и распавшимися. С геометрической точки зрения, любой объект может иметь множество проекций, различающихся как положением центра проектирования и картины, так и их размерностью, т.е. реальные явления природы и общественных отношений допускают различные описания, отличающиеся друг от друга степенью достоверности и совершенства. Основой научного исследования и источником всякой научной теории является наблюдение и эксперимент, который всегда имеет целью выявления некоторой закономерности. Все эти обстоятельства послужили основанием для использования аналогий между различными видами проекционных геометрических моделей, полученных при гомоморфном моделировании, и моделями, возникающими в результате исследования.

При решении большинства задач в области автоматизированного конструирования (К) и технологической подготовки производства (ТПП) надо иметь модель объекта проектирования.

Под моделью объекта понимают его некоторое абстрактное представление, удовлетворяющее условию адекватности этому объекту и позволяющее осуществлять его представление и обработку с помощью компьютера.

Т.о. модель – набор данных, отображающих свойства объекта и совокупность отношений между этими данными.

В модель объекта ПР в зависимости от характера ее исполнения может входить ряд разнообразных характеристик и параметров. Чаще всего модели объектов содержат данные о форме объекта, его размерах, допусках, применяемых материалах, механических, электрических, термодинамических и других характеристиках, способах обработки, стоимости, а также о микрогеометрии (шероховатость, отклонения формы, размеров).

Для обработки модели в графических системах САПР существенным является не весь объем информации об объекте, а та часть, которая определяет его геометрию, т.е. формы, размеры, пространственное размещение объектов.

Описание объекта с точки зрения его геометрии называется геометрической моделью объекта .

Но геометрическая модель может в себя включать еще и некоторую технологическую и вспомогательную информацию.

Информация о геометрических характеристиках объекта используется не только для получения графического изображения, но и для расчетов различных характеристик объекта (например, по МКЭ), для подготовки программ для станков с ЧПУ.

В традиционном процессе конструирования обмен информацией осуществляется на основе эскизных и рабочих чертежей с использованием нормативно-справочной и технической документации. В САПР этот обмен реализуется на основе внутримашинного представления объекта.

Под геометрическим моделированием понимают весь многоступенчатый процесс – от вербального (словесного) описания объекта в соответствии с поставленной задачей до получения внутримашинного представления объекта.

В системах геометрического моделирования могут обрабатываться 2-мерные и 3-хмерные объекты, которые в свою очередь могут быть аналитически описываемыми и неописываемыми. Аналитически неописываемые геометрические элементы, такие как кривые и поверхности произвольной формы, используются преимущественно при описании объектов в автомобиле-, самолето- и судостроении.

Основные виды ГМ

2-мерные модели , которые позволяют формировать и изменять чертежи, были 1-ми моделями, нашедшими применение. Такое моделирование часто применяется и до сих пор, т.к. оно намного дешевле (в отношении алгоритмов, использования) и вполне устраивает промышленные организации при решении разнообразных задач.

В большинстве 2-мерных систем геометрического моделирования описание объекта осуществляется в интерактивном режиме в соответствии с алгоритмами, аналогичными алгоритмам традиционного метода конструирования. Расширением таких систем является то, что контурам или плоским поверхностям ставится в соответствие постоянная или переменная глубина изображения. Системы, работающие по такому принципу, называется 2,5-мерными. Они позволяют получать на чертежах аксонометрические проекции объектов.

Но 2-мерное представление часто не удобно для достаточно сложных изделий. При традиционных способах конструирования (без САПР) пользуются чертежами, где изделие может быть представлено несколькими видами. Если изделие очень сложное, его можно представить в виде макета. 3-хмерная модель служит для того, чтобы создать виртуальное представление изделия во всех 3-х измерениях.

Различают 3 вида 3-хмерных моделей:

· каркасные (проволочные)

· поверхностные (полигональные)

· объемные (модели сплошных тел).

· Исторически 1-ми явились каркасные модели . В них хранятся только координаты вершин (x,y,z ) и соединяющие их ребра.

На рисунке видно, как куб может быть воспринят неоднозначно.

Т.к. известны только ребра и вершины, возможны различные интерпретации одной модели. Каркасная модель проста, но с ее помощью можно представить в пространстве только ограниченный класс деталей, в которых аппроксимирующие поверхности являются плоскостями. На основе каркасной модели можно получать проекции. Но невозможно автоматически удалять невидимые линии и получать различные сечения.

· Поверхностные модели позволяют описывать достаточно сложные поверхности. Поэтому они часто соответствует нуждам промышленности (самолето-, судо-, автомобилестроение) при описании сложных форм и работе с ними.

При построении поверхностной модели предполагается, что объекты ограничены поверхностями, которые отделяют их от окружающей среды. Поверхность объекта тоже становится ограниченной контурами, но эти контуру являются результатом 2-х касающихся или пересекающихся поверхностей. Вершины объекта могут быть заданы пересечением поверхностей, множеством точек, удовлетворяющих какому-то геометрическому свойству, в соответствии с которым определяется контур.

Возможны различные виды задания поверхностей (плоскости, поверхности вращения, линейчатые поверхности). Для сложных поверхностей используются различные математические модели аппроксимации поверхностей (методы Кунса, Безье, Эрмита, В-сплайна). Они позволяют изменять характер поверхности с помощью параметров, смысл которых доступен пользователю, не имеющему специальной математической подготовки.

Аппроксимация поверхностей общего вида плоскими гранями дает преимущество: для обработки таких поверхностей используются простые математические методы. Недостаток: сохранение формы и размеров объекта зависит от числа граней, используемых для аппроксимаций. Чем > число граней, тем < отклонение от действительной формы объекта. Но с увеличением числа граней одновременно увеличивается и объем информации для внутримашинного представления. Вследствие этого увеличивается как время на работу с моделью объекта, так и объем памяти для хранения модели.

· Если для модели объекта существенно разграничение точек на внутренние и внешние, то говорят об объемных моделях . Для получения таких моделей сначала определяются поверхности, окружающие объект, а затем они собираются в объемы.

В настоящее время известны следующие способы построения объемных моделей:

· В граничных моделях объем определяется как совокупность ограничивающих его поверхностей.

Структура может быть усложнена внесением действий переноса, поворота, масштабирования.

Достоинства:

¾ гарантия генерации правильной модели,

¾ большие возможности моделирования форм,

¾ быстрый и эффективный доступ к геометрической информации (например, для прорисовки).

Недостатки :

¾ больший объем исходных данных, чем при CSG способе,

¾ модель логически < устойчива, чем при CSG, т.е. возможны противоречивые конструкции,

¾ сложности построения вариаций форм.

· В CSG-моделях объект определяется комбинацией элементарных объемов с использованием геометрических операций (объединение, пересечение, разность).

Под элементарным объемом понимается множество точек в пространстве.

Моделью такой геометрической структуры является древовидная структура. Узлы (нетерминальные вершины) – операции, а листья – элементарные объемы.

Достоинства:

¾ концептуальная простота,

¾ малый объем памяти,

¾ непротиворечивость конструкции,

¾ возможность усложнения модели,

¾ простота представления частей и сечений.

Недостатки:

¾ ограничение рамками булевых операций,

¾ вычислительноемкие алгоритмы,

¾ невозможность использовать параметрически описанных поверхностей,

¾ сложность при работе с функциями > чем 2-го порядка.

· Ячеечный метод. Ограниченный участок пространства, охватывающий весь моделируемый объект, считается разбитым на большое число дискретных кубических ячеек (обычно единичного размера).

Моделирующая система должна просто записать информацию о принадлежности каждого куба объекту.

Структура данных представляется 3-хмерной матрицей, в которой каждый элемент соответствует пространственной ячейке.

Достоинства:

¾ простота.

Недостатки:

¾ большой объем памяти.

Для преодоления этого недостатка используют принцип разбиения ячеек на подъячейки в особо сложных частях объекта и на границе.

Объемная модель объекта, полученная любым способом, является корректной, т.е. в данной модели нет противоречий между геометрическими элементами, например, отрезок не может состоять из одной точки.

Каркасное представление м.б. использовано не при моделировании, а при отражении моделей (объемных или поверхностных) как один из методов визуализации.

Геометрическая модель Модель – такое представление данных, которое наиболее адекватно отражает свойства реального объекта, существенные для процесса проектирования. Геометрические модели описывают объекты, обладающие геометрическими свойствами. Таким образом, геометрическое моделирование – это моделирование объектов различной природы с помощью геометрических типов данных.

Классификация по способу формирования По способу формирования Жестко-размерное моделирование или с явным заданием геометрии (аналитические модели) Параметрическая модель Кинематическая модель(lofting, sweep, Extrude, revolve,протянутая,заметающая) Модель конструктивной геометрии (использование базовых элементов формы и булевых операций над ними – пересечение, вычитание, объединение) Гибридная модель

Параметрические модели Параметрическая модель – это модель, представленная с помощью совокупности параметров, устанавливающих соотношение между геометрическими и размерными характеристиками моделируемого объекта. Типы параметризациии Иерархическая параметризация вариационная (размерная) параметризация Геометрическая параметризация Табличная параметризация

Геометрия, базирующаяся на конструктивно-технологических элементах (фичерсах) ФИЧЕРСЫ – одиночные или составные конструктивные геометрические объекты, содержащие информацию о своем составе и легко изменяемые в процессе проектирования (фаски, ребра и т.п.) ФИЧЕРСЫ помнят свое окружение не зависимо от в внесенных в геометрическую модель изменений. ФИЧЕРСЫ – параметризованные объекты, привязанные к другим элементам геометрической модели.

Иерархическая параметризация Параметризация на основе истории построений. В ходе построения модели вся последовательность построения, например, порядок выполненных геометрических преобразований, отображается в виде дерева построения. Внесение изменений на одном из этапов моделирования приводит к изменению всей модели и дерева построения. Введение циклических зависимостей в модели приведет к отказу системы в создании такой модели. Ограничены возможности редактирования такой модели из-за отсутствия достаточной степени свободы (возможность редактирования параметров каждого элемента по очереди)

Иерархическую параметризацию можно отнести к жесткой параметризации. При жесткой параметризации в модели полностью заданы все связи. При создании модели с помощью жесткой параметризации очень важным является порядок определения и характер наложенных связей, которые будут управлять изменением геометрической модели. Такие связи наиболее полно отражает дерево построения. Для жесткой параметризации характерно наличие случаев, когда при изменении параметров геометрической модели решение вообще не м.б. найдено, т.к. часть параметров и установленные связи вступают в противоречие друг с другом. Тоже самое может возникнуть при изменении отдельных с этапов дерева построения

Отношение Родитель/Потомок. Основной принцип иерархической параметризации –фиксация всех этапов построения модели в дереве построения. Это и есть определение отношений Родитель/Потомок. При создании нового конструктивного элемента, все другие элементы, на которые ссылается создаваемый конструктивный элемент, становятся его Родителями. Изменение родительского конструктивного элемента приводит к изменению всех его потомков.

Вариационная параметризация Создание геометрической модели с использованием ограничений в виде системы алгебраических уравнений, определяющей зависимость между геометрическими параметрами модели. Пример геометрической модели, построенной на основе вариационной параметризации

Геометрическая параметризация Геометрическая параметризация основана на пересчете параметрической модели в зависимости от геометрических параметров родительских объектов. Геометрические параметры, влияющие на модель, построенную на основе геометрической параметризации Параллельность Перпендикулярность Касательность Концентричность окружностей И т.п. В геометрической параметризации используются принцип ы ассоциативной геометрии

Геометрическую и вариационную параметризацию можно отнести к мягкой параметризации Почему? мягкая параметризация это метод построения геометрических моделей, в основе которого лежит принцип решения нелинейных уравнений, описывающих связи между геометрическими характеристиками объекта. Связи в свою очередь задаются формулами, как в случае вариационных параметрических моделей, или геометрическими соотношениями параметров, как в случае моделей, созданных на основе геометрической параметризации.

Методы создания геометрических моделей в современных САПР Методы для создания моделей на основе трехмерных или двухмерных заготовок (базовых элементов формы) –создание примитивов, булевы операции Создание объемного тела или поверхностной модели по кинематическому принципу –заметание, lofting, sweep и т.п. Часто используется принцип параметризации Изменение тел или поверхностей путем плавного сопряжения, скругления, вытягивания Методы редактирования границ – манипулирование составляющими объемных тел (вершинами, ребрами, гранями и т.п.). Используются для добавления, удаления, изменения элементов объемного тела или плоской фигуры. Методы для моделирования тела при помощи свободных форм. Объектно-ориентированное моделирование. Использование конструктивных элементов формы – фичерсов (features) (фаски, отверстия, скругления, пазы, выемки и т.п.) (пример, сделать такое-то отверстие в таком-то месте)

Классификация современных САПР Параметры классификации степень параметризации Функциональная насыщенность Области применения (авиа-, автомобиле-,приборостроение) Современные САПР 1.Низкого уровня (малые, легкие): AutoCAD,Компас и т.п. 2. Среднего уровня (средние): Pro Desktop, Solid Works, Power Shape и т.п. 3. Высокого уровня (большие,тяжелые): Pro/E, Creo (PTC), Catia, Solid Works (Dassault Systemes), Siemens PLM Software (NX - Unigraphics) 4.Специализированные: СПРУТ, Icem Surf

Задачи, решаемые САПР различного уровня 1. Решение задач базового уровня проектирования, параметризация или отсутствует, или реализована на низком самом простом уровне 2. Имеют достаточно сильную параметризацию, ориентированы на индивидуальную работу, невозможна совместная работа разных разработчиков над одним проектом одновременно. 3. Позволяют реализовать параллельную работу проектантов. Системы строятся по модульному принципу. Весь цикл работ производится без потери данных и параметрических связей. Основный принцип – сквозная параметризация. В таких системах допускается изменение модели изделия и самого изделия на любой стадии работ. Поддержка на любом уровне жизненного цикла изделия. 4. Решаются задачи создания моделей узкой области использования. Могут быть реализованы все возможные способы создания моделей

Основные концепции моделирования в настоящее время 1. Flexible engineering (гибкое проектирование): Параметризация Проектирование поверхностей любой сложности (фристайл поверхности) Наследование других проектов Целезависимое моделирование 2. Поведенческое моделирование Создание интеллектуальных моделей (smart модели) - создание моделей, адаптированных к среде разработки. В геометрическую модель м.б. включены интеллектуальные понятия, например, фичерсы Включение в геометрическую модель требований к изготовлению изделия Создание открытой модели, позволяющей ее оптимизировать 3. Использование идеологии концептуального моделирования при создании больших сборок Использование ассоциативных связей (набор параметров ассоциативной геометрии) Разделение параметров модели на различных этапах проектирования сборки

Результатом геометрического моделирования некоторого объекта является математическая модель его геометрии. Математическая модель позволяет графически отобразить моделируемый объект, получить его геометрические характеристики, выполнить исследование многих физических свойств объекта путем постановки численных экспериментов, подготовить производство и, наконец, изготовить объект.

Для того чтобы увидеть, как выглядит объект, нужно смоделировать поток падающих и возвращающихся от его поверхностей лучей света. При этом граням модели можно придать необходимый цвет, прозрачность, фактуру и другие физические свойства. Модель можно осветить с разных сторон светом различного цвета и интенсивности.

Геометрическая модель позволяет определить массово-центровочные и инерционные характеристики проектируемого объекта, выполнить измерения длин и углов его элементов. Она дает возможность произвести расчет размерных цепей и определить собираемость проектируемого объекта. Если объект представляет собой механизм, то на модели можно проверить его работоспособность и выполнить расчет кинематических характеристик.

Используя геометрическую модель, можно поставить численный эксперимент по определению напряженно-деформированного состояния, частот и форм собственных колебаний, устойчивости элементов конструкции, тепловых, оптических и других свойств объекта. Для этого нужно дополнить геометрическую модель физическими свойствами, смоделировать внешние условия ее работы и, используя физические законы, выполнить соответствующий расчет.

По геометрической модели можно вычислить траекторию режущего инструмента для механической обработки объекта. При выбранной технологии изготовления объекта геометрическая модель позволяет спроектировать оснастку и выполнить подготовку производства, а также проверить саму возможность изготовления объекта данным способом и качество этого изготовления. Кроме того, возможна графическая имитация процесса изготовления. Но для того, чтобы изготовить объект, кроме геометрической информации нужна информация о технологическом процессе, производственном оборудовании и многом другом, связанном с производством.

Многие из перечисленных проблем образуют самостоятельные разделы прикладной науки и по своей сложности не уступают, а в большинстве случаев и превосходят проблему создания геометрической модели. Геометрическая модель является отправной точкой для дальнейших действий. При построении геометрической модели мы не использовали физические законы, радиус-вектор каждой точки границы раздела внешней и внутренней частей моделируемого объекта является известным, поэтому при построении геометрической модели нам приходится составлять и решать алгебраические уравнения.

Задачи, в которых используются физические законы, приводят к дифференциальным и интегральным уравнениям, решение которых сложнее решения алгебраических уравнений.

В данной главе остановимся на выполнении расчетов, не связанных с физическими процессами. Мы рассмотрим вычисление чисто геометрических характеристик тел и их плоских сечений: площади поверхности, объема, центра масс, моментов инерции и ориентации главных осей инерции. Эти расчеты не требуют привлечения дополнительной информации. Кроме этого, мы рассмотрим проблемы численного интегрирования, которые приходится решать при определении геометрических характеристик.

Определение площади, центра масс и моментов инерции плоского сечения тела приводит к вычислению интегралов по площади сечения. Для плоских сечений мы располагаем информацией об их границах. Интегралы по площади плоского сечения мы сведем к криволинейным интегралам, которые в свою очередь сводятся к определенным интегралам. Определение площади поверхности, объема, центра масс, моментов инерции тела приводит к вычислению поверхностных и объемных интегралов. Мы будем опираться на представление тела с помощью границ , т. е. на описание тела совокупностью ограничивающих его поверхностей и топологическую информацию о взаимном соседстве этих поверхностей. Мы сведем интегралы по объему тела к поверхностным интегралам по поверхностям граней тела, которые в свою очередь сводятся к двойным интегралам. В общем случае область интегрирования представляет собой связную двухмерную область. Вычисление двойных интегралов численными методами можно выполнить для областей простых типов - четырехугольной или треугольной формы. В связи с этим в конце главы рассмотрены методы вычисления определенных интегралов и двойных интегралов по четырехугольным и треугольным областям. Методы разбивки областей определения параметров поверхностей на совокупности треугольных подобластей рассмотрены в следующей главе.

В начале главы рассмотрим сведение интегралов по площади к криволинейным интегралам и сведение объемных интегралов к поверхностным интегралам. На этом будут базироваться вычисления геометрических характеристик моделей.

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Системы геометрического моделирования

Системы геометрического моделирования позволяют работать с формами в трехмерном пространстве. Они были созданы для того, чтобы преодолеть проблемы, связанные с использованием физических моделей в процессе проектирования, такие как - сложность получения сложных форм с точными размерами, а также сложностью извлечения необходимых сведений из реальных моделей для их точного воспроизведения.

Эти системы создают среду, подобную той, в которой создаются физические модели. Другими словами, в системе геометрического моделирования разработчик изменяет форму модели, добавляет и удаляет ее части, детализируя форму визуальной модели. Визуальная модель может выглядеть также как и физическая, но она нематериальна. Однако трехмерная визуальная модель хранится в компьютере вместе со своим математическим описанием, благодаря чему устраняется главный недостаток физической модели - необходимость выполнения измерений для последующего прототипирования или серийного производства. Системы геометрического моделирования делятся на каркасные, поверхностные, твердотельные и немногообразные.

Системы каркасного моделирования

В системах каркасного моделирования форма представляется в виде набора характеризующих ее линий и конечных точек. Линии и точки используются для предоставления трехмерных объектов на экране, а изменение формы осуществляется путем изменения положения и размеров отрезков и точек. Другими словами, визуальная модель представляет собой каркасный чертеж формы, а соответствующее математическое описание представляет собой набор уравнений кривых, координат точек и сведений о связности кривых и точек. Сведения о связности описывают принадлежность точек к конкретным кривым, а также пересечение кривых друг с другом. Системы каркасного моделирования были популярны в ту пору, когда ГМ только начало зарождаться. Их популярность объяснялась тем, что в системах каркасного моделирования создание форм выполнялось через последовательность простых действий, так что пользователям было достаточно легко создавать формы самостоятельно. Однако визуальная модель, состоящая из одних лишь линий, может быть неоднозначной. Более того, соответствующее математическое описание не содержит сведений о внутренних и внешних поверхностях моделируемого объекта. Без этих сведений невозможно рассчитать массу объекта, определить траектории перемещения или создать сетку для конечноэлементного анализа, несмотря на то, что объект кажется трехмерным. Поскольку эти операции являются неотъемлемой частью процесса проектирования, системы каркасного моделирования были постепенно вытеснены системами поверхностного и твердотельного моделирования.

Системы поверхностного моделирования

В системах поверхностного моделирования математическое описание визуальной модели включает в себя не только сведения о характеристических линиях и их конечных точках, но и данные о поверхностях. При работе с отображаемой на экране моделью изменяются уравнения поверхностей, уравнения кривых и координаты точек. Математическое описание может включать сведения о связности поверхностей - как поверхности соединяются друг с другом и по каким кривым. В некоторых приложениях эти сведения могут оказаться очень полезными.

Существуют три стандартных метода создания поверхностей в системах поверхностного моделирования:

1) Интерполяция входных точек.

2) Интерполяция криволинейных точек.

3) Трансляция или вращение заданной кривой.

Системы поверхностного моделирования используются для создания моделей со сложными поверхностями, потому что визуальная модель позволяет оценить эстетичность проекта, а математическое описание позволяет построить программы с точными расчетами траекторий движения.

Системы твердотельного моделирования

Предназначены для работы с объектами, состоящими из замкнутого объема, или монолита. В системах твердотельного моделирования, в отличии от систем каркасного и поверхностного моделирования, не допускается создание набора поверхностей или характеристических линий, если они не образуют замкнутого объема. Математическое описание объекта, созданного в системе твердотельного моделирования содержит сведения, по которым система может определить, где находится линия либо точка: внутри объема, снаружи него или на его границе. При этом можно получить любую информацию об объеме тела, а значит, могут быть использованы приложения, работающие с объектом на уровне объема, а не на поверхностях.

Однако системы твердотельного моделирования требуют большего количества входных данных по сравнению с количеством данных, дающих математическое описание. Если бы система требовала от пользователя ввода всех данных для полного математического описания, она стала бы слишком сложной для пользователей, и они бы отказались от нее. Поэтому разработчики таких систем стараются представить простые и естественные функции, чтобы пользователи могли работать с объемными формами, не вдаваясь в подробности математического описания.

Функции моделирования, поддерживаемые большинством систем твердотельного моделирования, могут быть разделены на пять основных групп:

1) Функции создания примитивов, а также функции добавления, вычитания объема - булевские операторы. Эти функции позволяют проектировщику быстро создать форму, близкую к окончательной форме детали.

2) Функции создания объемных тел путем перемещения поверхности. Функция заметания позволяет создавать объемное тело трансляцией или вращением области, заданной на плоскости.

3) Функции, предназначенные главным образом для изменения существующей формы. Типичными примерами являются функции скругления или плавного сопряжения и поднятия.

4) Функции позволяющие непосредственно манипулировать составляющими объемных тел, то есть по вершинам, ребрам и граням.

5) Функции, используя которые проектировщик может моделировать твердое тело при помощи свободных форм.

Немногообразные системы моделирования

Системы твердотельного моделирования позволяют пользователю создавать тела с замкнутым объемом, то есть, говоря математическим языком, тела, представляющие собой многообразия. Другими словами, такие системы запрещают создание структур, не являющихся многообразными. Нарушениями условия многообразности являются, например касание двух поверхностей в одной точке, касание двух поверхностей вдоль открытой или замкнутой кривой, два замкнутых объема с общей гранью, ребром или вершиной, а также поверхности, образующие структуры типа сот.

Запрет на создание немногообразных моделей считался одним из достоинств систем твердотельного моделирования, поскольку благодаря этому любую созданную в такой системе модель можно было бы изготовить. Если же пользователь хочет работать с системой геометрического моделирования на протяжении всего процесса разработки, это достоинство оборачивается другой стороной.

Абстрактная модель со смешением измерений удобна тем, что она не стесняет творческую мысль конструктора. Модель со смешанными измерениями может содержать свободные ребра, слоистые поверхности и объемы. Абстрактная модель полезна также тем, что она может служить основой для проведения анализа. На каждом этапе процесса проектирования могут применяться свои аналитические средства. Например, методом конечных элементов, непосредственно на исходном представлении модели, что позволяет автоматизировать обратную связь между этапами проектирования и анализа, которая в настоящий момент реализуется конструктором самостоятельно. Немногообразные модели незаменимы как этап развития проекта от неполного описания на низких уровнях до готового объемного тела. Системы немногообразного моделирования позволяют использовать каркасные, поверхностные, твердотельные и сотовые модели одновременно в одной и той же среде моделирования, расширяя диапазон доступных моделей.

Описание поверхностей

Важной составной частью геометрических моделей является описание поверхностей. Если поверхности детали -- плоские грани, то модель может быть выражена достаточно просто определенной информацией о гранях, ребрах, вершинах детали. При этом обычно используется метод конструктивной геометрии. Представление с помощью плоских граней имеет место и в случае более сложных поверхностей, если эти поверхности аппроксимировать множествами плоских участков -- полигональными сетками. Тогда можно поверхностную модель задать одной из следующих форм:

1) модель есть список граней, каждая грань представлена упорядоченным списком вершин (циклом вершин); эта форма характеризуется значительной избыточностью, так как каждая вершина повторяется в нескольких списках;

2) модель есть список ребер, для каждого ребра заданы инцидентные вершины и грани. Однако аппроксимация полигональными сетками при больших размерах ячеек сетки дает заметные искажения формы, а при малых размерах ячеек оказывается неэффективной по вычислительным затратам. Поэтому более популярны описания неплоских поверхностей кубическими уравнениями в форме Безье или 5-сплайнов.

Знакомство с этими формами удобно выполнить, показав их применение для описания геометрических объектов первого уровня -- пространственных кривых.

Примечание. Геометрическими объектами нулевого, первого и второго уровней называют соответственно точки, кривые, поверхности.

В подсистемах МГиГМ используются параметрически задаваемые кубические кривые

геометрический конструктивный моделирование поверхность

x(t) = axt3 + bxt2 + cxt + dx ;

y(t) = ay t3 +X by t2 + cy t + dy ;

z(t) = a.t3 + b_t2 + cj + d_,

где 1 > t > 0. Такими кривыми описывают сегменты аппроксимируемой кривой, т. е. аппроксимируемую кривую разбивают на сегменты и каждый сегмент аппроксимируют уравнениями (3.48).

Применение кубических кривых обеспечивает (соответствующим выбором четырех коэффициентов в каждом из трех уравнений) выполнение четырех условий сопряжения сегментов. В случае кривых Безье этими условиями являются прохождение кривой сегмента через две заданные концевые точки и равенство в этих точках касательных векторов соседних сегментов. В случае 5-сплайнов выполняются условия непрерывности касательного вектора и кривизны (т. е. первой и второй производных) в двух концевых точках, что обеспечивает высокую степень гладкости кривой, хотя прохождение аппроксимирующей кривой через заданные точки здесь не обеспечивается. Применение полиномов выше третьей степени не рекомендуется, так как велика вероятность появления волнистости.

В случае формы Безье коэффициенты в (3.48) определяются, во-первых, подстановкой в (3.48) значений (=0к(=1и координат заданных концевых точек Р, и Р4 соответственно, во-вторых, подстановкой в выражения производных

dx/dt = За t2 + 2b + с, X X х"

dy/dt = За, Г2 + 2byt + с,

dz/dt = 3a.t2 + 2b.t + с.

тех же значений / = 0 и / = 1 и координат точек Р2 и Р3, задающих направления касательных векторов (рис. 3.27). В результате для формы Безье получаем

Кривая Безье. (3.27)

для которых матрица М имеет иной вид и представлена в табл. 3.12, а векторы Gx, Gy, G содержат соответствующие координаты точек Р, 1; Р, Р, + 1, Р, + 2.

Покажем, что в точках сопряжения для первой и второй производных аппроксимирующего выражения выполняются условия непрерывности, что требуется по определению В-сплайна. Обозначим участок аппроксимирующего В-сплайна, соответствующий участку [Р, Р +1] исходной кривой, через . Тогда для этого участка и координаты х в точке сопряжения Q/+ , имеем t = 1 и

Для участка в той же точке Qi+| имеем t = 0 и

т. е. равенство производных в точке сопряжения на соседних участках подтверждает непрерывность касательного вектора и кривизны. Естественно, что значение х координаты х точки Qi+1 аппроксимирующей кривой на участке .

равно значению х, подсчитанному для той же точки на участке , но значения координат узловых точек х и х+] аппроксимирующей и аппроксимируемой кривых не совпадают.

Аналогично можно получить выражения для форм Безье и 5-сплайнов применительно к поверхностям с учетом того, что вместо (3.48) используются кубические зависимости от двух переменных.

Размещено на Allbest.ru

Подобные документы

Статические и динамические модели. Анализ имитационных систем моделирования. Система моделирования "AnyLogic". Основные виды имитационного моделирования. Непрерывные, дискретные и гибридные модели. Построение модели кредитного банка и ее анализ.

дипломная работа , добавлен 24.06.2015


Задачи оптимизации сложных систем и подходы к их решению. Программная реализация анализа сравнительной эффективности метода изменяющихся вероятностей и генетического алгоритма с бинарным представлением решений. Метод решения задачи символьной регрессии.

диссертация , добавлен 02.06.2011


Характеристика основных принципов создания математических моделей гидрологических процессов. Описание процессов дивергенции, трансформации и конвергенции. Ознакомление с базовыми компонентами гидрологической модели. Сущность имитационного моделирования.

презентация , добавлен 16.10.2014


Основной тезис формализации. Моделирование динамических процессов и имитационное моделирование сложных биологических, технических, социальных систем. Анализ моделирования объекта и выделение всех его известных свойств. Выбор формы представления модели.

реферат , добавлен 09.09.2010


Эффективность макроэкономического прогнозирования. История возникновения моделирования экономики в Украине. Особенности моделирования сложных систем, направления и трудности моделирования экономики. Развитие и проблемы современной экономики Украины.

реферат , добавлен 10.01.2011


Основные проблемы эконометрического моделирования. Использование фиктивных переменных и гармонических трендов. Метод наименьших квадратов и выборочная дисперсия. Смысл коэффициента детерминации. Расчет функции эластичности. Свойства линейной модели.

контрольная работа , добавлен 06.11.2009


Теоретические и методологические основы моделирования развития фирм с рентноориентированным управлением. Экономико-математические основы моделирования динамически сложных систем. Функция заимствования: понятие, сущность, свойства, аналитический вид.

дипломная работа , добавлен 04.02.2011


Создание комбинированных моделей и методов как современный способ прогнозирования. Модель на основе ARIMA для описания стационарных и нестационарных временных рядов при решении задач кластеризации. Модели авторегрессии AR и применение коррелограмм.

презентация , добавлен 01.05.2015


Методика получения оценок, используемых в процедурах проектирования управленческих решений. Прикладное использование модели многофакторной линейной регрессии. Создание ковариационной матрицы данных и производных от неё паттернов проектирования решений.

статья , добавлен 03.09.2016


Анализ сложных систем. Проведение экономического исследования с применением технологии компьютерного моделирования. Построение блок-схем, маршрутов потоков сообщений. Разработка модели работы автобусного маршрута. Многовариантные расчеты модели.

Похожие статьи