Tepelná vodivosť- Toto je jeden z typov prenosu tepla. Prenos tepla sa môže uskutočňovať pomocou rôznych mechanizmov.

Všetky telesá vyžarujú elektromagnetické vlny. Pri izbovej teplote ide najmä o infračervené žiarenie. Toto sa stane sálavý prenos tepla.

V prítomnosti gravitačného poľa môže byť ďalším mechanizmom prenosu tepla v tekutinách konvekcia. Ak sa do nádoby obsahujúcej kvapalinu alebo plyn privádza teplo cez dno, najskôr sa zohrejú spodné časti látky, ich hustota sa zníži, vznášajú sa a časť vzniknutého tepla odovzdávajú horným vrstvám.

Pri tepelnom vedení dochádza k prenosu energie v dôsledku priameho prenosu energie z častíc (molekúl, atómov, elektrónov) s vyššou energiou na častice s nižšou energiou.

Náš kurz bude skúmať prenos tepla vedením.

Uvažujme najskôr o jednorozmernom prípade, keď teplota závisí len od jednej súradnice X. Dve médiá nech sú oddelené plochou priečkou tl l(obr. 23.1). Teploty médií T 1 a T 2 sú udržiavané konštantné. Experimentálne možno zistiť, že množstvo tepla Q, prenášaný cez úsek priečky s plochou S počas t rovná sa

, (23.1)

kde koeficient úmernosti k závisí od materiálu steny.

o T 1 > T 2 sa teplo prenáša v kladnom smere osi X, o T 1 < T 2 – negatívny. Smer šírenia tepla môžeme vziať do úvahy, ak v rovnici (23.1) nahradíme ( T 1 - T 2)/l na (- dT/dx). V jednorozmernom prípade derivácia dT/dx predstavuje teplotný gradient. Pripomeňme, že gradient je vektor, ktorého smer sa zhoduje so smerom najrýchlejšieho nárastu skalárna funkcia súradnice (v našom prípade T), a modul sa rovná pomeru prírastku funkcie pri malom posunutí v tomto smere k vzdialenosti, v ktorej k tomuto prírastku došlo.

Aby sme dali rovnice popisujúce prenos tepla všeobecnejšiu a univerzálnejšiu formu, uvažujeme hustota tepelného toku j - množstvo tepla preneseného cez jednotku plochy za jednotku času

Potom vzťah (23.1) môžeme zapísať v tvare

Znamienko mínus tu vyjadruje skutočnosť, že smer tepelného toku je opačný ako smer teplotného gradientu (smer jeho nárastu). Hustota tepelného toku je teda vektorová veličina. Vektor hustoty tepelného toku smeruje k klesajúcej teplote.

Ak teplota média závisí od všetkých troch súradníc, potom vzťah (23.3) nadobúda tvar

Kde , - teplotný gradient ( e 1 ,e 2 ,e 3 - jednotkové vektory súradnicových osí).

Vzťahy (23.3) a (23.4) predstavujú základný zákon tepelnej vodivosti (Fourierov zákon): Hustota tepelného toku je úmerná teplotnému gradientu. Faktor úmernosti k sa nazýva súčiniteľ tepelnej vodivosti(alebo jednoducho tepelná vodivosť). Pretože rozmer hustoty tepelného toku [ j] = J/(m 2 s) a teplotný gradient [ dT/dx] = K/m, potom rozmer súčiniteľa tepelnej vodivosti [k] = J/(m×s×K).

IN všeobecný prípad teplota na rôznych miestach nerovnomerne zohriatej látky sa časom mení. Uvažujme jednorozmerný prípad, keď teplota závisí len od jednej priestorovej súradnice X a čas t a dostaneme tepelná rovnica - Diferenciálnej rovnice, čo funkcia spĺňa T = T(X,t).

V duchu vyberme v prostredí malý objemový prvok vo forme valca alebo hranola, ktorého tvoriace priamky sú rovnobežné s osou X a základne sú kolmé (obrázok 23.2). Základná oblasť S, a výšku dx. Hmotnosť tohto objemu dm= r Sdx a jeho tepelná kapacita c×dm kde r je hustota látky, s- Špecifická tepelná kapacita. Nechajte pôsobiť v krátkom čase dt teplota v tomto objeme sa zmenila o dT. Na to musí látka v objeme dostať množstvo tepla, ktoré sa rovná súčinu jej tepelnej kapacity a zmeny teploty: . Na druhej strane d Q môže vstúpiť do objemu iba cez základňu valca: (hustota tepelného toku j môžu byť pozitívne aj negatívne). Rovnocenné výrazy pre d Q, dostaneme

.

Nahradením pomerov malých prírastkov zodpovedajúcimi deriváciami sa dostaneme k vzťahu

. (23.5)

Dosadíme výraz (23.3) pre hustotu tepelného toku do vzorca (23.5)

. (23.6)

Výsledná rovnica sa nazýva tepelná rovnica. Ak je médium homogénne a tepelná vodivosť k nezávisí od teploty, rovnica nadobúda tvar

, (23.7)

kde sa volá konštanta koeficient tepelnej difúznostiživotné prostredie.

Rovnice (23.6) – (23.8) sú splnené nekonečným počtom funkcií T = T(X,t).

Na izolovanie jedinečného riešenia rovnice tepla je potrebné pridať počiatočné a hraničné podmienky.

Počiatočnou podmienkou je špecifikácia rozloženia teploty v médiu T(X,0) v počiatočnom okamihu t = 0.

Okrajové podmienky sa môžu líšiť v závislosti od teplotný režim na hraniciach. Najčastejšie nastávajú situácie, keď je teplota alebo hustota tepelného toku špecifikovaná na hraniciach ako funkcia času.

V niektorých prípadoch môžu byť v prostredí zdroje tepla. Teplo sa môže uvoľňovať v dôsledku prechodu elektrického prúdu, chemických alebo jadrových reakcií. Prítomnosť zdrojov tepla je možné vziať do úvahy zavedením objemovej hustoty energie q(X,r,z), ktoré sa rovná množstvu tepla uvoľneného zdrojmi na jednotku objemu média za jednotku času. V tomto prípade sa výraz objaví na pravej strane rovnice (23.5) q:

.

Nižšie sa budeme zaoberať niekoľkými problémami na určenie teplotných polí pre relatívne jednoduché geometrické a fyzikálne podmienky, ktoré umožňujú analytické riešenia, ktoré sú jednoduché vo forme a zároveň poskytujú užitočnú ilustráciu charakteristických fyzikálnych procesov spojených s prenosom tepla v pevnej látke.

Uvažujme tyč s tepelne izolovanou bočnou plochou (obr. 38). V tomto prípade môže dôjsť k prenosu tepla pozdĺž tyče. Ak spojíte tyč s osou karteziánsky systém súradnice, potom rovnica stacionárneho tepla bude mať tvar

Pri konštantných hodnotách súčiniteľa tepelnej vodivosti objemového výkonu uvoľňovania tepla možno poslednú rovnicu integrovať dvakrát

(75)

Integračné konštanty možno zistiť z okrajových podmienok. Napríklad, ak je teplota na koncoch tyče nastavená na , . Potom od (75) máme

Odtiaľto nájdeme konštanty integrácie a . Riešenie za zadaných okrajových podmienok nadobudne tvar

Z posledného vzorca je zrejmé, že pri absencii zdrojov tepla. Teplota v tyči sa mení lineárne od jednej hraničnej hodnoty k druhej

Uvažujme teraz o inej kombinácii okrajových podmienok. Nechajte externý zdroj vytvoriť tepelný tok na ľavom konci tyče. Na pravom konci tyče zachovávame predchádzajúci stav, teda máme

Vyjadrením týchto podmienok pomocou všeobecného integrálu (75) dostaneme systém vzhľadom na integračné konštanty

Po zistení neznámych konštánt z výsledného systému dostaneme riešenie vo forme

Rovnako ako v predchádzajúcom príklade, pri absencii vnútorných zdrojov tepla bude rozdelenie teploty pozdĺž tyče lineárne

V tomto prípade bude teplota na ľavom konci tyče, kde je umiestnený externý zdroj tepla, rovná .

Ako ďalší príklad nájdime stacionárne rozloženie teploty pozdĺž polomeru v pevnom dlhom kruhovom valci (obr. 39). V tomto prípade použitie cylindrického súradnicového systému výrazne zjednoduší úlohu. V prípade valca s veľkým pomerom dĺžky k polomeru a konštantným rozložením

Vzhľadom na vnútorný zdroj tepla možno teplotu ďaleko od koncov valca považovať za nezávislú od osových súradníc valcového systému. Potom bude mať tvar rovnica stacionárneho tepla (71).

Integrácia poslednej rovnice dvakrát (pri konštante ) dáva

Podmienka symetrie pre rozloženie teploty na osi valca () dáva

Odkiaľ to máme?

Posledná podmienka bude splnená, keď . Nech je špecifikovaná teplota na povrchu valca (). Potom môžeme z rovnice nájsť druhú konštantu integrácie

Odtiaľto nájdeme a zapíšeme riešenie vo finálnej podobe

Ako numerický príklad aplikácie získaného výsledku uvažujme rozloženie teploty v plazme valcového oblúkového výboja s polomerom mm. Hranica výbojového kanála je vytvorená ako oblasť, kde sa zastavujú ionizačné procesy. Vyššie sme videli, že badateľná ionizácia plynu počas zahrievania sa zastaví pri K. Danú hodnotu preto môžeme považovať za hranicu K. Objemovú hustotu výkonu uvoľneného tepla vo výbojovej plazme nájdeme z Joule-Lenzovho zákona, kde σ - elektrická vodivosť plazmy, E- napätie elektrické pole vo vypúšťacom kanáli. Charakteristické hodnoty pre oblúkový výboj sú 1/Ohm m, V/m. Tepelná vodivosť oblúkovej plazmy je vyššia ako v neutrálnom plyne pri teplotách rádovo 10 000 K, jej hodnotu možno považovať za rovnú . Takže parameter . Rozloženie teploty pozdĺž polomeru je znázornené na obr. 39. V tomto prípade bude teplota na osi výboja () 8000 K.

V ďalšom príklade budeme uvažovať o tepelnom poli, ktoré má sférickú symetriu. Takéto podmienky vznikajú najmä vtedy, ak je malý zdroj tepla umiestnený vo veľkom poli, napríklad pri poruche medzizávitového oblúka vo vinutí veľkého elektrického stroja. V tomto prípade spojením stredu sférického súradnicového systému so zdrojom tepla môžeme rovnicu stacionárneho tepla (64) priviesť do tvaru:

Ak túto rovnicu integrujeme dvakrát, zistíme

Ak sa vrátime k nášmu príkladu, predpokladajme, že oblúkový zlom sa vyskytuje vo vnútri sférickej dutiny s polomerom (obr. 40). Uvažujme odpor oblúkového výboja ako Ohm, výbojový prúd A. Potom výkon uvoľnený v dutine bude . Uvažujme o riešení mimo oblasti pôsobenia zdroja tepla.

Potom sa integrál tepelnej rovnice zjednoduší

Na výpočet integračných konštánt najskôr použijeme podmienku v bodoch nekonečne vzdialených od miesta výboja, kde C je teplota okolia. Z posledného výrazu nájdeme . Na určenie konštanty predpokladáme, že tepelná energia uvoľnená vo výboji je rovnomerne rozložená po povrchu guľovej dutiny s polomerom . Preto bude tepelný tok na hranici dutiny

Od , potom z posledných dvoch rovníc máme

a konečné rozhodnutie

V tomto prípade bude teplota na hranici dutiny (mm) pri W/mK K (obr. 40).

Ako prvý príklad tejto skupiny uvažujme tepelné pole v priereze kruhového drôtu s chladiacim kanálom (obr. 41, A). Drôty s chladiacimi kanálmi sa používajú vo vinutiach výkonných elektrických strojov a cievok na vytváranie silných magnetických polí. Tieto zariadenia sa vyznačujú dlhodobým tokom prúdov s amplitúdou stoviek a dokonca tisícok ampérov. Čerpá sa napríklad kvapalina, ako je voda, alebo plyn (vodík, vzduch), čo zaisťuje odoberanie tepelnej energie z vnútorného povrchu kanála a chladenie drôtu ako celku. V tomto prípade máme do činenia s núteným konvekčným chladením povrchu kanála, na čo môžeme použiť okrajovú podmienku tretieho druhu (67) odôvodnenú vyššie. Ak je os cylindrického súradnicového systému zarovnaná s osou drôtu, potom bude teplota závisieť iba od radiálnej súradnice. Všeobecný integrál rovnice stacionárneho tepla sme pre tento prípad získali skôr

Objemová hustota výkonu uvoľneného tepla sa zistí z Joule-Lenzovho zákona: j- súčasná hustota, σ - elektrická vodivosť,

Kde R- polomer časti drôtu, a- polomer chladiaceho kanála. Drôt je z vonkajšej strany obklopený vrstvami izolácie, ktorá má v porovnaní s vodičom relatívne nízku tepelnú vodivosť. Preto ako prvé priblíženie predpokladáme, že vonkajší povrch drôtu je tepelne izolovaný, t.j. tepelný tok na ňom

Na povrchu chladiaceho kanála je tok tepla určený podmienkou tretieho druhu

kde je koeficient prestupu tepla, je teplota chladiaceho prúdu. Znamienko mínus na pravej strane sa používa v dôsledku skutočnosti, že normála k vnútornému povrchu kanála je nasmerovaná v smere opačnom k ​​osi.

Dosadením výrazu pre teplotu (76) do prvej zo zapísaných okrajových podmienok dostaneme

kde . Druhá okrajová podmienka dáva

odkiaľ to nájdeme?

Zároveň od (76)

Porovnaním posledných dvoch výrazov zistíme

Po dosadení nájdených konštánt do všeobecného riešenia (76) a transformácií dostaneme

Teplota na hraniciach prierezu drôtu z výsledného roztoku sa vypočíta pomocou vzorcov

Rozloženie teploty pozdĺž polomeru prierezu pre drôt s chladiacim kanálom s parametrami: A, W/mK, 1/Ohm m, o C, mm, cm je znázornená na obr. 41, b.

Z obr. 41, b z toho vyplýva, že v rámci prierezu drôtu je zmena teploty relatívne malá v porovnaní s jeho priemernou hodnotou, čo sa vysvetľuje vysokou tepelnou vodivosťou λ a relatívne malé rozmery prierezu drôtu.

Iná situácia nastáva pri rozložení teploty pozdĺž drôtu pozostávajúceho z oddelených častí, ktoré sú vo vzájomnom kontakte. Zhoršenie kvality kontaktov medzi pripojenými vodičmi vedie k zvýšeniu tvorby tepla na spoji dvoch drôtov v porovnaní so samotným drôtom. Diaľkové meranie teploty drôtu pomocou termokamier alebo pyrometrov umožňuje diagnostikovať kvalitu kontaktných spojení.

Vypočítajme rozloženie teploty pozdĺž drôtu v prítomnosti chybného kontaktu. Predchádzajúci príklad ukázal, že aj v najťažších podmienkach je zmena teploty v priereze drôtu veľmi malá. Preto pre naše výpočty môžeme ako prvú aproximáciu predpokladať, že rozloženie teploty v priereze drôtu je rovnomerné. Rozloženie generovania tepla pozdĺž drôtu závisí od rozloženia elektrického odporu pozdĺž drôtu, ktorý je rovnomerný ďaleko od kontaktu a zvyšuje sa, keď sa k nemu približuje. Zarovnajme os karteziánskeho súradnicového systému s osou drôtu a počiatok súradníc so stredom kontaktnej plochy (obr. 42). Ako model pre rozloženie odporu pozdĺž drôtu vezmeme nasledujúce rozloženie lineárneho odporu

kde , je parameter charakterizujúci lineárnu veľkosť kontaktnej plochy. Výkon generovaného tepla na jednotku dĺžky drôtu je . V prepočte na jednotku objemu sa výkon uvoľňovania tepla rovná

Kde S- prierez drôtu. Drôt je chladený prirodzenou konvekciou z jeho povrchu. Konvekčný tepelný tok na jednotku dĺžky drôtu je

Kde α - koeficient prestupu tepla, - teplota okolia, p- obvod prierezu drôtu. Prenos tepla do okolia na jednotku objemu vodiča bude

Stacionárne rozloženie teploty pozdĺž drôtu sa bude riadiť rovnicou tepelnej vodivosti

Pre ďalšie transformácie výslednej rovnice vezmime konštantu koeficientu tepelnej vodivosti pozdĺž drôtu, dosaďte vyššie získané výrazy za a , a tiež ako požadovanú funkciu namiesto T Vezmime:

dospejeme k lineárnej nehomogénnej diferenciálnej rovnici

Na výslednú rovnicu budeme hľadať riešenie v tvare súčtu všeobecného riešenia homogénna rovnica

a konkrétne riešenie v podobe pravej strany

.

Riešenie algebraických rovníc Newtonovou metódou

Pomerne populárna metóda riešenia rovníc je tangentová metóda, alebo Newtonova metóda. V tomto prípade rovnica tvaru f(X) = 0 sa rieši nasledovne. Najprv sa vyberie nulová aproximácia (bod X 0). V tomto bode sa vytvorí dotyčnica ku grafu r = f(X). Priesečník tejto dotyčnice s osou x je ďalšou aproximáciou koreňa (bod X 1). V tomto bode sa opäť zostrojí dotyčnica atď. Postupnosť bodov X 0 , X 1 , X 2 ... musí viesť k skutočnej hodnote koreňa. Podmienkou konvergencie je .

Keďže rovnica priamky prechádzajúcej bodom je X 0 , f(X 0) (a toto je dotyčnica), sa píše v tvare

a ako ďalšie priblíženie X 1 pre koreň pôvodnej rovnice sa vezme priesečník tejto priamky s osou x, potom by sme mali dať do tohto bodu r = 0:

z ktorej bezprostredne vyplýva rovnica na nájdenie ďalšej aproximácie cez predchádzajúcu:

Na obr. Obrázok 3 ukazuje implementáciu Newtonovej metódy pomocou Excelu. Do bunky B3 zadajte počiatočná aproximácia (X 0 = -3) a potom sa všetky medziľahlé hodnoty vypočítajú v zostávajúcich bunkách stĺpca až do výpočtu X 1. Na vykonanie druhého kroku sa hodnota z bunky B10 zadá do bunky C3 a proces výpočtu sa zopakuje v stĺpci C. Potom s vybratými bunkami C2:C10 môžete potiahnutím rukoväte v pravom dolnom rohu výberu rozšíriť do stĺpcov D:F. V dôsledku toho sa v bunke F6 získa hodnota 0, t.j. hodnota v bunke F3 je koreňom rovnice.

Rovnaký výsledok možno získať pomocou cyklických výpočtov. Potom po vyplnení prvého stĺpca a získaní prvej hodnoty X 1, do bunky H3 zadajte vzorec =H10. V tomto prípade bude výpočtový proces zacyklený a aby mohol byť vykonaný, v menu Služba | možnosti na karte Výpočty políčko musí byť zaškrtnuté Iterácie a uveďte limitný počet krokov iteračného procesu a relatívnu chybu (predvolené číslo 0,001 je v mnohých prípadoch jednoznačne nedostatočné), po dosiahnutí ktorej sa výpočtový proces zastaví.

Ako je známe, fyzikálne procesy, ako je prenos tepla a prenos hmoty počas difúzie, sa riadia Fickovým zákonom

Kde l- súčiniteľ tepelnej vodivosti (difúzie), a T– teplota (koncentrácia) a – prietok zodpovedajúcej hodnoty. Z matematiky je známe, že divergencia toku sa rovná objemovej hustote zdroja Q túto hodnotu, t.j.

alebo v dvojrozmernom prípade, keď sa študuje rozloženie teploty v jednej rovine, možno túto rovnicu zapísať ako:

Analyticky riešiť túto rovnicu je možné len pre oblasti jednoduchého tvaru: obdĺžnik, kruh, prstenec. V iných situáciách je presné riešenie tejto rovnice nemožné, t.j. V zložitých prípadoch je tiež nemožné určiť rozloženie teploty (alebo koncentrácie látky). Potom musíte použiť približné metódy na riešenie takýchto rovníc.

Približné riešenie rovnice (4) v oblasti zložitého tvaru pozostáva z niekoľkých etáp: 1) konštrukcia siete; 2) vytvorenie rozdielovej schémy; 3) riešenie sústavy algebraických rovníc. Zvážme postupne každú z fáz a ich implementáciu pomocou balíka Excel.

Konštrukcia mriežky. Nechajte oblasť mať tvar znázornený na obr. 4. Pri tomto tvare nie je možné exaktné analytické riešenie rovnice (4), napríklad metódou separácie premenných. Preto budeme hľadať približné riešenie tejto rovnice v jednotlivých bodoch. Na plochu nanesieme jednotnú mriežku pozostávajúcu zo štvorcov so stranami h. Teraz namiesto hľadania kontinuálne riešenie rovnice (4), definovanej v každom bode oblasti, budeme hľadať približné riešenie definované len v uzlových bodoch mriežky aplikovanej na oblasť, t.j. v rohoch štvorcov.

Konštrukcia diferenčnej schémy. Na vytvorenie diferenčnej schémy uvažujme ľubovoľný vnútorný uzol mriežky C (centrálny) (obr. 5). Susedia s ním štyri uzly: B (horný), N (dolný), L (ľavý) a P (vpravo). Pripomeňme, že vzdialenosť medzi uzlami v mriežke je h. Potom pomocou výrazu (2) na približne zapísanie druhej derivácie do rovnice (4) môžeme približne napísať:

z ktorého je ľahké získať výraz týkajúci sa hodnoty teploty v centrálnom bode s jej hodnotami v susedných bodoch:

Výraz (5) nám umožňuje, keď poznáme hodnoty teploty v susedných bodoch, vypočítať jej hodnotu v centrálnom bode. Takáto schéma, v ktorej sú derivácie nahradené konečnými rozdielmi a na vyhľadávanie hodnôt v bode mriežky sa používajú iba hodnoty v najbližších susedných bodoch, sa nazýva schéma centrálnych rozdielov, a samotná metóda sa nazýva metóda konečných rozdielov.

Je potrebné pochopiť, že získame rovnicu podobnú (5) PRE KAŽDÝ bod mriežky, ktoré sú teda navzájom spojené. To znamená, že máme systém algebraických rovníc, v ktorom sa počet rovníc rovná počtu uzlov mriežky. Takúto sústavu rovníc možno riešiť rôznymi metódami.

Riešenie sústavy algebraických rovníc. Iteračná metóda. Nech je teplota na hraničných uzloch nastavená a rovná sa 20 a výkon zdroja tepla rovný 100. Rozmery nášho regiónu sú nastavené vertikálne 6 a horizontálne 8, takže strana štvorca mriežky ( krok) h= 1. Potom výraz (5) na výpočet teploty v vnútorné body má formu

Priraďme každému NODE bunku na hárku Excel. Do buniek zodpovedajúcich hraničným bodom zadáme číslo 20 (na obr. 6 sú zvýraznené sivou farbou). Do zvyšných buniek napíšeme vzorec (6). Napríklad v bunke F2 to bude vyzerať takto: =(F1 + F3 + E2 + G2)/4 + 100*(1^2)/4. Po napísaní tohto vzorca do bunky F2 ho môžete skopírovať a vložiť do zostávajúcich buniek oblasti zodpovedajúcej vnútorným uzlom. V tomto prípade Excel ohlási nemožnosť vykonania výpočtov v dôsledku opakovania výsledkov:

Kliknite na „Zrušiť“ a prejdite do okna Nástroje|Možnosti|Výpočty, kde začiarknite políčko v časti „Iterácie“ a uveďte ako relatívna chyba hodnota 0,00001 a ako limitný počet iterácií 10 000:

Takéto hodnoty nám poskytnú malú COUNTABLE chybu a zaručia, že proces iterácie dosiahne špecifikovanú chybu.

Tieto hodnoty však NEZABEZPEČUJÚ malú chybu samotnej metódy, pretože tá závisí od chyby pri nahradení druhých derivátov konečnými rozdielmi. Je zrejmé, že táto chyba je tým menšia, čím menší je krok mriežky, t.j. veľkosť štvorca, na ktorom je založená naša rozdielová schéma. To znamená, že presne VYPOČÍTANÁ hodnota teploty v uzloch mriežky, znázornená na obr. 6 sa v skutočnosti môže ukázať ako úplne nepravdivá. Existuje len jeden spôsob, ako skontrolovať nájdené riešenie: nájsť ho na jemnejšej mriežke a porovnať s predchádzajúcim. Ak sa tieto riešenia málo líšia, potom môžeme predpokladať, že zistené rozloženie teplôt zodpovedá skutočnosti.

Znížime krok na polovicu. Namiesto 1 sa bude rovnať ½. Náš počet uzlov sa podľa toho zmení. Vertikálne namiesto 7 uzlov (bolo 6 krokov, t.j. 7 uzlov) bude 13 (12 štvorcov, t.j. 13 uzlov) a vodorovne namiesto 9 bude 17. Netreba zabúdať, že veľkosť kroku polovicu a teraz vo vzorci (6) namiesto 1 2 musíte nahradiť (1/2) 2 na pravej strane. Ako kontrolný bod, v ktorom budeme porovnávať nájdené riešenia, vezmeme bod s maximálnou teplotou, označený na obr. 6 v žltej farbe. Výsledok výpočtov je znázornený na obr. 9:

Je vidieť, že zníženie kroku viedlo k výraznej zmene hodnoty teploty v kontrolnom bode: o 4 %. Na zvýšenie presnosti nájdeného riešenia by sa mal krok mriežky ešte viac znížiť. Pre h= ¼ dostaneme 199,9 v kontrolnom bode a pre h = 1/8 je zodpovedajúca hodnota 200,6. Môžete vykresliť závislosť nájdenej hodnoty od veľkosti kroku:

Z obrázku môžeme usúdiť, že ďalšie znižovanie kroku nepovedie k výraznej zmene teploty v kontrolnom bode a presnosť nájdeného riešenia možno považovať za uspokojivú.

Pomocou možností balíka Excel môžete zostaviť teplotný povrch, ktorý vizuálne predstavuje jeho rozloženie v študijnej oblasti.

ANALYTICKÉ METÓDY RIEŠENIA ROVNICE VODENIA TEPLA

V súčasnosti je analyticky vyriešený veľmi veľký počet problémov s jednorozmerným vedením tepla.

A.V Lykov napríklad uvažuje o štyroch metódach riešenia rovnice tepla v podmienkach jednorozmernej úlohy: metódu separácie premenných, metódu zdrojov, operačnú metódu, metódu konečných integrálnych transformácií.

V ďalšom sa budeme venovať len prvému spôsobu, ktorý sa stal najrozšírenejším.

Metóda oddeľovania premenných pri riešení tepelnej rovnice

Diferenciálna rovnica vedenia tepla v podmienkach jednorozmernej úlohy a bez zdrojov tepla má tvar

T/?f = a? 2 t/? x 2. (3.1)

Táto rovnica je špeciálnym prípadom homogénnej diferenciálnej rovnice s konštantné koeficienty pre nejakú funkciu t dvoch premenných x a φ:

Je ľahké skontrolovať, či konkrétnym riešením tejto rovnice je výraz

t = C exp (bx + vf).(3,3)

naozaj:

• ?t/?x = bС exp (bx + vf);?t/?ф = вС exp (bx + vf);
• ? 2 t/x2 = b2C exp (bx + vf);
• ? 2 t/af2 = v 2C exp (bx + vf); 2 t/(?x ?f) = bvS exp (bx + vf).(3.4)

Spoločné riešenie posledných siedmich rovníc dáva

a 1 b 2 + b 1 bv + c 1 c 2 + d 1 b + l 1 c + f 1 = 0.(3.5)

Posledná rovnica sa nazýva koeficientová rovnica.

Ak prejdeme k rovnici (3.1) a porovnáme ju s rovnicou (3.2), dospejeme k záveru, že

b 1 = c 1 = d 1 = f 1 = 0;a 1 = - a;l 1 = 1.(3.6)

Rovnica koeficientov (3.5) pre špeciálny prípad rovnice (3.1) má tvar

B2a + c = 0 (3,7)

c = b 2 a. (3,8)

Konkrétne riešenie (3.3) je teda integrálom diferenciálnej rovnice (3.1) a pri zohľadnení (3.8) má tvar

t = C exp (b 2 af + bx).(3,9)

V tejto rovnici môžete zadať ľubovoľné číselné hodnoty pre C, b, a.

Výraz (3.9) môže byť reprezentovaný ako súčin

t = C exp (b 2 aph) exp (bx), (3,10)

kde faktor exp (b 2 af) je len funkciou času f a faktor exp (bx) je iba funkciou vzdialenosti x:

exp (b 2 af) = f (f) (bx) = c (x).

Ako sa čas φ zvyšuje, teplota vo všetkých bodoch neustále rastie a môže byť vyššia ako vopred určená hodnota, čo sa pri praktických problémoch nevyskytuje. Preto zvyčajne berú iba tie hodnoty b, pre ktoré je b 2 záporné, čo je možné, keď b je čisto imaginárna hodnota. Prijmime

b = ± iq, (3,12)

kde q je ľubovoľné Reálne číslo(predtým symbol q označoval špecifický tepelný tok),

V tomto prípade bude mať rovnica (3.10) tento tvar:

t = C exp (- q 2 aph) exp (± iqx).(3.13)

Odvolávajúc sa na slávny Eulerov vzorec

exp (± ix) = cos x ± i sin x (3,14)

a pomocou nej transformujeme rovnicu (3.13). Získame dve riešenia v komplexnej forme:

Spočítame ľavú a pravú stranu rovníc (3.15), potom oddelíme skutočnú od imaginárnej časti na ľavej a pravej strane súčtu a podľa toho ich prirovnáme. Potom dostaneme dve riešenia:

Predstavme si nasledujúci zápis:

(C1 + C2)/2 = D; (C1 - C2)/2 = C(3,17)

potom dostaneme dve riešenia vyhovujúce rovnici diferenciálneho tepla (3.1):

t 1 = D exp (- q 2 aph) cos (qx); t 2 = C exp (- q 2 aph) sin (qx).(3.18)

Je známe, že ak má požadovaná funkcia dve čiastkové riešenia, potom súčet týchto čiastkových riešení bude spĺňať pôvodnú diferenciálnu rovnicu (3.1), t.j. riešenie tejto rovnice bude

t = C exp (- q 2 aph) sin (qx) + D exp (- q 2 aph) cos (qx), (3,19)

a všeobecné riešenie spĺňajúce túto rovnicu možno zapísať takto:

Akékoľvek hodnoty q m, q n, C i, D i v rovnici (3.20) budú spĺňať rovnicu (3.1). Špecifikácia pri výbere týchto hodnôt bude určená počiatočnými a okrajovými podmienkami každého konkrétneho praktického problému a hodnoty q m a q n sú určené z okrajových podmienok a C i a Di z počiatočné.

Okrem všeobecného riešenia tepelnej rovnice (3.20), v ktorej existuje súčin dvoch funkcií, z ktorých jedna závisí od x a druhá od φ, existujú aj riešenia, v ktorých je takéto oddelenie nemožné, napr.

Obidve riešenia vyhovujú rovnici vedenia tepla, čo sa dá ľahko overiť tak, že ich najprv diferencujeme vzhľadom na φ a potom 2 krát vzhľadom na x a výsledok dosadíme do diferenciálnej rovnice (3.1).

Konkrétny príklad nestacionárneho teplotného poľa v stene

Zoberme si príklad použitia riešenia získaného vyššie.

Počiatočné údaje.

• 1. Daný betónový múr s hrúbkou 2X = 0,80 m.
• 2. Teplota okolia steny a = 0°C.
• 3. V počiatočnom okamihu je teplota steny vo všetkých bodoch F(x)=1°C.
• 4. Súčiniteľ prestupu tepla steny b = 12,6 W/(m 2 °C); súčiniteľ tepelnej vodivosti steny l = 0,7 W/(m ° C); hustota materiálu steny c = 2000 kg/m 3 ; merná tepelná kapacita c=1,13·10 3 J/(kg·°С); koeficient tepelnej difúznosti a=1,1·10 -3 m 2 /h; relatívny súčiniteľ prestupu tepla b/l = h=18,0 1/m. Je potrebné určiť rozloženie teploty v stene 5 hodín po počiatočnom čase.

Riešenie. Prejdime k všeobecnému riešeniu (3.20) a berúc do úvahy, že počiatočné a následné rozloženie teploty sú symetrické vzhľadom na os steny, dospejeme k záveru, že rad sínusov v tomto všeobecnom riešení zmizne a pre x = X bude mať tvar

Hodnoty sú určené z okrajových podmienok (tu bez ďalších vysvetlení) a sú uvedené v tabuľke 3.1.

S hodnotami z tabuľky 3.1 nájdeme požadovanú sériu hodnôt pomocou vzorca

Tabuľka 3.1 Hodnoty funkcií zahrnutých vo vzorci (3.24)

	0,982 0,189	--0,862 --0,507	0,713 0,701	10,03 --0,572 --0,820	13,08 0,488 0,874

t.j. D1 = 1,250; D2 = - 0,373; D3 = 0,188; D4 = - 0,109; D5 = 0,072.

Počiatočné rozloženie teploty v uvažovanej stene bude mať nasledujúcu formu:

Na získanie vypočítaného rozloženia teploty 5 hodín po počiatočnom momente je potrebné určiť sériu hodnôt pre čas po 5 hodinách. Tieto výpočty sú uvedené v tabuľke 3.2.

Tabuľka 3.2 Hodnoty funkcií zahrnutých vo vzorci (3.23)

A=(q ni X) 2 (af/X 2)

Konečné vyjadrenie pre rozloženie teploty v hrúbke steny 5 hodín po počiatočnom momente

Obrázok 3.1 ukazuje rozloženie teploty v hrúbke steny v počiatočnom čase a po 5 hodinách všeobecné rozhodnutie Kvocienty sú tu tiež znázornené a kvocientové krivky zodpovedajúce po sebe nasledujúcim členom radu (3.25) a (3.26) sú označené rímskymi číslicami.

Obr.3.1.

Pri riešení praktických problémov väčšinou nie je potrebné určovať teplotu na všetkých miestach steny. Môžete sa obmedziť na výpočet teploty iba pre jeden bod, napríklad pre bod v strede steny. V tomto prípade sa množstvo výpočtovej práce pomocou vzorca (3.23) výrazne zníži.

Ak počiatočná teplota v uvažovanom prípade nie je 1 °C, ale Tc, potom rovnica (3.20) bude mať tvar

Riešenie tepelnej rovnice pri rôznych okrajových podmienkach

Nebudeme uvádzať sekvenčný postup riešenia rovnice tepla za iných okrajových podmienok, ktoré majú praktický význam pri riešení niektorých úloh. Nižšie sa obmedzíme len na formuláciu ich podmienok so zobrazením dostupných hotových riešení.

Počiatočné údaje. Stena má hrúbku 2X. V počiatočnom momente je vo všetkých bodoch okrem povrchu teplota T c Teplota na povrchu 0 °C sa udržiava počas celej doby výpočtu.

Musíme nájsť t = f(x, φ).

Stacionárna nádrž bola pokrytá ľadom pri teplote najvyššej hustoty vody (Tc = 4°C). Hĺbka nádrže je 5 m (X = 5 m). Vypočítajte teplotu vody v nádrži 3 mesiace po zamrznutí. Tepelná difúznosť stojatej vody a = 4,8·10 -4 m 2 /h. Na dne nie je žiadny tepelný tok, t.j. pri x = 0.

Počas doby výpočtu (f=3·30·24=2160h) sa teplota na povrchu udržiava konštantná a rovná nule pri x = X Tp = 0 °C. Celý výpočet zhrnieme do tabuľky. 3 a 4. Tieto tabuľky vám umožňujú vypočítať hodnoty teploty 3 mesiace po počiatočnom okamihu pre hĺbky blízko dna a potom vyššie po 1 m, t.j. t 0 (dole) = 4 ° C; ti = 4 °C; t2 = 3,85 °C; t3 = 3,30 °C; t4 = 2,96 °C; t5(sur) = 0 °C.

Tabuľka 3.3

Tabuľka 3.4

Ako vidíme, v absolútne pokojnej vode teplotné poruchy prenikajú hlboko do vody veľmi pomaly. IN prírodné podmienky v nádržiach pod ľadovou pokrývkou sa vždy pozorujú prúdy, buď gravitačné (tečúce), alebo konvekčné (rôzne hustoty), alebo napokon spôsobené prílevom podzemnej vody. Všetky tieto rozmanitosti prirodzené vlastnosti by sa mali brať do úvahy pri praktických výpočtoch a odporúčania pre tieto výpočty možno nájsť v príručkách a v prácach K.I.

Telo je na jednej strane obmedzené (polrovina). V čase φ = 0 je vo všetkých bodoch telesná teplota rovná T c. Pre všetky časové okamihy f > 0 sa na povrchu telesa udržiava teplota T p = 0°C.

Je potrebné nájsť rozloženie teploty v hrúbke telesa a stratu tepla voľný povrch ako funkcia času: t = f (x, f),

Riešenie. Teplota kdekoľvek v tele a kedykoľvek

kde je Gaussov integrál. Jeho hodnoty v závislosti od funkcie sú uvedené v tabuľke 3.5.

Tabuľka 3.5

V praxi sa riešenie začína určením vzťahu, v ktorom sú x a φ špecifikované v úlohe.

Množstvo tepla strateného jednotkovým povrchom telesa do okolia určuje Fourierov zákon. Za celé zúčtovacie obdobie od prvotného momentu až po vyúčtovanie

V počiatočnom okamihu bola teplota pôdy od povrchu do značnej hĺbky konštantná a rovnala sa 6 ° C. V tomto momente teplota na povrchu pôdy klesla na 0°C.

Je potrebné určiť teplotu pôdy v hĺbke 0,5 m po 48 hodinách pri koeficiente tepelnej difúznosti pôdy a = 0,001 m 2 /h a tiež odhadnúť množstvo tepla strateného povrchom počas tejto doby.

Podľa vzorca (3.29) je teplota pôdy v hĺbke 0,5 m po 48 hodinách t=6·0,87=5,2°С.

Celkové množstvo tepelných strát na jednotku povrchu pôdy so súčiniteľom tepelnej vodivosti l = 0,35 W/(m °C), merným teplom c = 0,83 10 3 J/(kg °C) a hustotou c = 1500 kg/m 3 je určená vzorcom (3.30) Q = 1.86·10 6 J/m 2 .

integrálne tepelné vodivé teleso

Obr.3.2

Vplyvom nejakého vonkajšieho vplyvu dochádza k periodickým výkyvom teploty povrchu telesa ohraničeného na jednej strane (polrovina) okolo nuly. Budeme predpokladať, že tieto oscilácie sú harmonické, t.j. povrchová teplota sa mení pozdĺž kosínusovej krivky:

kde je trvanie oscilácie (perióda), T 0 je povrchová teplota,

T 0 max -- jeho maximálna odchýlka.

Je potrebné určiť teplotné pole ako funkciu času.

Amplitúda kolísania teploty sa mení s x podľa nasledujúceho zákona (obr. 3.2):

Príklad k úlohe č. 3. Zmena teploty na povrchu suchej piesočnatej pôdy v priebehu roka je charakterizovaná kosínusovým pohybom. Priemerná ročná teplota je 6°C s maximálnymi odchýlkami od priemeru v lete a v zime až 24°C.

Je potrebné určiť teplotu pôdy v hĺbke 1 m v momente, keď je povrchová teplota 30°C (bežne 1/VII).

Kosínusový výraz (3.31) vo vzťahu k tomuto prípadu (teplota povrchu) pri T 0 max = 24 0 C bude mať tvar

To = 24 cos (2 рф/8760) + 6.

Vzhľadom na skutočnosť, že povrch pôdy má priemernú ročnú teplotu 6 °C a nie nulovú, ako v rovnici (3.32), návrhová rovnica bude mať nasledujúci tvar:

Ak vezmeme koeficient tepelnej difúznosti a = 0,001 m 2 /h pre pôdu a máme na pamäti, že podľa podmienok problému je potrebné určiť teplotu na konci výpočtového obdobia (8760 hodín od počiatočného okamihu), nájdeme

Vypočítaný výraz (3.34) bude mať nasledujúci tvar: t = 24e -0,6 ·0,825 + 6 = 16,9 °C.

V rovnakej hĺbke 1 m bude maximálna amplitúda ročného kolísania teploty podľa výrazu (3.33)

T1max = 24e -0,6 = 13,2 °C,

a maximálna teplota v hĺbke 1 m

t1max = Txmax + 6 = 13,2 + 6 = 19,2 °C.

Na záver poznamenávame, že uvažované problémy a prístupy možno použiť na riešenie problémov súvisiacich s vypúšťaním teplej vody do nádrže, ako aj s chemickou metódou určovania prietoku vody a v iných prípadoch.

Odvodenie rovnice tepla

Predstavme si homogénne teleso a izolujme z neho elementárny objem so stranami (obrázok 1).

Obrázok 1. Ovládanie hlasitosti v pravouhlý systém súradnice

Prichádzajúce tepelné toky umiestnené kolmo na povrchy označujeme ako, . Toky na opačných povrchoch môžeme vyjadriť pomocou Taylorovho radu:

Vo vnútri tela môžu byť aj vnútorné zdroje tepla, ak sú tam odtoky, ak:

Zmena vnútornej energie:

Dosaďte rovnice (1.1.1) do výslednej rovnice (1.1.5):

Ich dosadením do rovnice (1.1.6) dostaneme rovnicu vedenia tepla v všeobecný pohľad pre trojrozmerný priestor:

Uveďme koeficient tepelnej difúznosti:

a znížte vnútorné zdroje tepla. Získame rovnicu tepelnej vodivosti v trojrozmernom priestore bez vnútorných zdrojov tepla:

Podmienky jedinečnosti

Rovnica (1.1) popisuje proces vo všeobecnej forme. Na jeho aplikáciu na konkrétny problém sú potrebné ďalšie podmienky, ktoré sa nazývajú podmienky jednoznačnosti. Medzi tieto podmienky patria geometrické (tvar a veľkosť telesa), fyzikálne (fyzikálne vlastnosti telesa), časové (počiatočné rozloženie teplôt) a okrajové podmienky (opisujú proces výmeny tepla s okolím).

Okrajové podmienky možno rozdeliť do troch hlavných typov:

1. Dirichletove okrajové podmienky: je daná hodnota funkcie na hranici.

V prípade problému tepelnej vodivosti sú špecifikované hodnoty teploty na povrchu tela.

2. Neumannove okrajové podmienky: špecifikuje sa normálová derivácia funkcie na hranici.

Nastavte hustotu tepelného toku na povrchu tela.

3. Robinove okrajové podmienky: dané lineárna kombinácia hodnoty funkcie a jej derivácie na hranici.

Popíšte výmenu tepla medzi povrchom tela a prostredím podľa Newton-Richmannovho zákona.

V tejto práci budú použité len Dirichletove okrajové podmienky, kvôli zložitosti implementácie zvyšných okrajových podmienok.

Podobné články