Článok popisuje základy lineárnej algebry: lineárny priestor, jeho vlastnosti, pojem bázy, rozmery priestoru, lineárny obal, súvislosť medzi lineárnymi priestormi a hodnosť matíc.

Lineárny priestor

Kopa L volal lineárny priestor, ak pre všetky jeho prvky operácie sčítania dvoch prvkov a vynásobenia prvku číslom vyhovujúce ja skupina Weylove axiómy. Prvky lineárneho priestoru sú tzv vektory. Toto je úplná definícia; stručnejšie môžeme povedať, že lineárny priestor je množina prvkov, pre ktoré sú definované operácie sčítania dvoch prvkov a vynásobenia prvku číslom.

Weylove axiómy.

Hermann Weil navrhol, že v geometrii máme dva typy objektov ( vektory a body), ktorého vlastnosti sú opísané nasledujúcimi axiómami, ktoré tvorili základ sekcie lineárna algebra. Je vhodné rozdeliť axiómy do 3 skupín.

Skupina I

1. pre ľubovoľné vektory x a y je splnená rovnosť x+y=y+x;
2. pre ľubovoľné vektory x, y a z je splnená rovnosť x+(y+z)=(x+y)+z;
3. existuje vektor o taký, že pre ľubovoľný vektor x platí rovnosť x+o=x;
4. pre akýkoľvek vektor X existuje vektor (-x) taký, že x+(-x)=o;
5. pre akýkoľvek vektor X platí rovnosť 1x=x;
6. pre ľubovoľné vektory X A pri a ľubovoľné číslo λ je rovnosť λ( X+pri)=λ X+λ pri;
7. pre akýkoľvek vektor X a ľubovoľné čísla λ a μ platí rovnosť (λ+μ) X=λ X+μ X;
8. pre akýkoľvek vektor X a ľubovoľné čísla λ a μ rovnosť λ(μ X)=(λμ) X;

Skupina II

Skupina I definuje pojem lineárna kombinácia vektorov, lineárna závislosť a lineárna nezávislosť. To nám umožňuje formulovať ďalšie dve axiómy:

1. existuje n lineárne nezávislých vektorov;
2. ľubovoľné (n+1) vektory sú lineárne závislé.

Pre planimetriu n=2, pre stereometriu n=3.

Skupina III

Táto skupina predpokladá, že existuje operácia skalárneho násobenia, ktorá priraďuje pár vektorov X A pričíslo ( x, y). kde:

1. pre ľubovoľné vektory X A pri platí rovnosť ( x, y)=(y, x);
2. pre ľubovoľné vektory X , pri A z platí rovnosť ( x+y,z)=(x,z)+(y,z);
3. pre ľubovoľné vektory X A pri a ľubovoľné číslo λ je rovnosť (λ x, y)=λ( x, y);
4. pre ľubovoľný vektor x platí nerovnosť ( x, x)≥0 a ( x, x)=0 vtedy a len vtedy X=0.

Vlastnosti lineárneho priestoru

Väčšina vlastností lineárneho priestoru je založená na Weylových axiómach:

1. Vektor O, ktorého existencia je garantovaná Axiómom 3, je určená jedinečným spôsobom;
2. Vektor (- X), ktorej existencia je zaručená Axiómou 4, je určená jedinečným spôsobom;
3. Pre ľubovoľné dva vektory A A b patriaci do vesmíru L, existuje len jeden vektor X, patriaci tiež do vesmíru L, čo je riešenie rovnice a+x=b a nazval vektorový rozdiel b-a.

Definícia. Podmnožina L' lineárny priestor L volal lineárny podpriestor priestor L, ak ide o lineárny priestor, v ktorom súčet vektorov a súčin vektora a čísla sú definované rovnako ako v L.

Definícia. Lineárna škrupina L(x1, x2, x3, …, xk) vektory x1, x2, x3, A xk sa nazýva množina všetkých lineárnych kombinácií týchto vektorov. O lineárnej škrupine to môžeme povedať

-lineárne rozpätie je lineárny podpriestor;

– lineárny trup je minimálny lineárny podpriestor obsahujúci vektory x1, x2, x3, A xk.

Definícia. Lineárny priestor sa nazýva n-rozmerný, ak spĺňa skupinu II systému Weylových axióm. Volá sa číslo n rozmer lineárny priestor a píšte dimL=n.

Základ– akýkoľvek objednaný systém n lineárne nezávislé vektory priestoru. Význam základu je v tom, že vektory, ktoré tvoria základ, môžu byť použité na opis akéhokoľvek vektora v priestore.

Veta.Ľubovoľných n lineárne nezávislých vektorov v priestore L tvorí bázu.

Izomorfizmus.

Definícia. Lineárne priestory L A L' sa nazývajú izomorfné, ak sa medzi ich prvkami dá vytvoriť taká zhoda jedna k jednej x↔x', Čo:

1. Ak x↔x', y↔y', To x+y↔x'+y';
2. Ak x↔x', potom λ x↔λ X'.

Táto korešpondencia samotná sa nazýva izomorfizmus. Izomorfizmus nám umožňuje urobiť nasledujúce tvrdenia:

• ak sú dva priestory izomorfné, potom sú ich rozmery rovnaké;
• akékoľvek dva lineárne priestory nad rovnakým poľom a rovnakej dimenzie sú izomorfné.

Vektor(alebo lineárne) priestor- matematická štruktúra, čo je množina prvkov nazývaných vektory, pre ktoré sú definované operácie sčítania medzi sebou a násobenia číslom - skalár. Tieto operácie podliehajú ôsmim axiómam. Skaláre môžu byť prvky reálneho, komplexného alebo akéhokoľvek iného číselného poľa. Špeciálnym prípadom takéhoto priestoru je obyčajný trojrozmerný euklidovský priestor, ktorého vektory sa používajú napríklad na znázornenie fyzikálnych síl. Treba poznamenať, že vektor ako prvok vektorového priestoru nemusí byť nevyhnutne špecifikovaný vo forme smerovaného segmentu. Zovšeobecnenie pojmu „vektor“ na prvok vektorového priestoru akejkoľvek povahy nielenže nespôsobuje zmätok pojmov, ale tiež umožňuje pochopiť alebo dokonca predpovedať množstvo výsledkov, ktoré sú platné pre priestory ľubovoľnej povahy.

Vektorové priestory sú predmetom lineárnej algebry. Jednou z hlavných charakteristík vektorového priestoru je jeho rozmer. Dimenzia predstavuje maximálny počet lineárne nezávislých prvkov priestoru, to znamená, ak sa uchýlime k hrubej geometrickej interpretácii, počet smerov, ktoré sa navzájom nevyjadrujú iba pomocou operácií sčítania a násobenia skalárom. Vektorový priestor môže byť vybavený ďalšími štruktúrami, ako je norma alebo vnútorný produkt. Takéto priestory sa prirodzene objavujú v matematickej analýze, predovšetkým vo forme nekonečne-dimenzionálnych funkčných priestorov (Angličtina), kde funkcie sú vektory. Mnoho problémov analýzy vyžaduje zistenie, či sekvencia vektorov konverguje k danému vektoru. Uvažovanie o takýchto otázkach je možné vo vektorových priestoroch s dodatočnou štruktúrou, vo väčšine prípadov vhodnou topológiou, ktorá nám umožňuje definovať pojmy blízkosť a kontinuita. Takéto topologické vektorové priestory, najmä Banachove a Hilbertove priestory, umožňujú hlbšie štúdium.

Prvé práce, ktoré predpokladali zavedenie konceptu vektorového priestoru, pochádzajú zo 17. storočia. Vtedy sa začala rozvíjať analytická geometria, doktrína matíc, sústav lineárnych rovníc a euklidovských vektorov.

Definícia

Lineárne alebo vektorový priestor V (F) (\displaystyle V\left(F\right)) nad ihriskom F (\displaystyle F)- toto je objednaná štvorka (V , F , + , ⋅) (\displaystyle (V, F,+,\cdot)), Kde

• V (\displaystyle V)- neprázdny súbor prvkov ľubovoľnej povahy, ktoré sú tzv vektory;
• F (\displaystyle F)- pole, ktorého prvky sa nazývajú skaláry;
• Operácia definovaná prídavok vektory V × V → V (\displaystyle V\times V\to V), ktorý spája každú dvojicu prvkov x , y (\displaystyle \mathbf (x) ,\mathbf (y) ) súpravy V (\displaystyle V) V (\displaystyle V) zavolal ich čiastka a určený x + y (\displaystyle \mathbf (x) +\mathbf (y) );
• Operácia definovaná násobenie vektorov skalármi F × V → V (\displaystyle F\times V\to V), zodpovedajúce každému prvku λ (\displaystyle \lambda) poliach F (\displaystyle F) a každý prvok x (\displaystyle \mathbf (x) ) súpravy V (\displaystyle V) jediný prvok súpravy V (\displaystyle V), označené λ ⋅ x (\displaystyle \lambda \cdot \mathbf (x) ) alebo λ x (\displaystyle \lambda \mathbf (x) );

Vektorové priestory definované na rovnakej množine prvkov, ale v rôznych poliach, budú rôzne vektorové priestory (napríklad množina párov reálnych čísel R 2 (\displaystyle \mathbb (R) ^(2)) môže byť dvojrozmerný vektorový priestor nad poľom reálnych čísel alebo jednorozmerný - nad poľom komplexných čísel).

Najjednoduchšie vlastnosti

1. Vektorový priestor je abelovská skupina pod sčítaním.
2. Neutrálny prvok 0 ∈ V (\displaystyle \mathbf (0) \in V)
3. 0 ⋅ x = 0 (\displaystyle 0\cdot \mathbf (x) =\mathbf (0) ) pre hocikoho .
4. Pre hocikoho x ∈ V (\displaystyle \mathbf (x) \in V) opačný prvok − x ∈ V (\displaystyle -\mathbf (x) \in V) je jediné, čo vyplýva z vlastností skupiny.
5. 1 ⋅ x = x (\displaystyle 1\cdot \mathbf (x) =\mathbf (x) ) pre hocikoho x ∈ V (\displaystyle \mathbf (x) \in V).
6. (− α) ⋅ x = α ⋅ (− x) = − (α x) (\displaystyle (-\alpha)\cdot \mathbf (x) =\alpha \cdot (-\mathbf (x)))=-( \alpha \mathbf (x))) pre akékoľvek a x ∈ V (\displaystyle \mathbf (x) \in V).
7. α ⋅ 0 = 0 (\displaystyle \alpha \cdot \mathbf (0) =\mathbf (0) ) pre hocikoho α ∈ F (\displaystyle \alpha \in F).

Súvisiace definície a vlastnosti

Podpriestor

Algebraická definícia: Lineárny podpriestor alebo vektorový podpriestor- neprázdna podmnožina K (\displaystyle K) lineárny priestor V (\displaystyle V) také že K (\displaystyle K) je sám osebe lineárnym priestorom vzhľadom na priestory definované v V (\displaystyle V) operácie sčítania a násobenia skalárom. Množina všetkých podpriestorov sa zvyčajne označuje ako L a t (V) (\displaystyle \mathrm (Lat) (V)). Aby bola podmnožina podpriestorom, je to nevyhnutné a postačujúce

Posledné dva výroky sú ekvivalentné nasledujúcim:

Pre všetky vektory x , y ∈ K (\displaystyle \mathbf (x) ,\mathbf (y) \in K) vektor α x + β y (\displaystyle \alpha \mathbf (x) +\beta \mathbf (y) ) tiež patril K (\displaystyle K) pre akékoľvek α , β ∈ F (\displaystyle \alpha ,\beta \in F).

Najmä vektorový priestor pozostávajúci len z jedného nulového vektora je podpriestorom akéhokoľvek priestoru; každý priestor je podpriestorom samým o sebe. Podpriestormi, ktoré sa nezhodujú s týmito dvoma, sa nazývajú vlastné alebo netriviálne.

Vlastnosti podpriestorov

Lineárne kombinácie

Konečný súčet formulára

α 1 x 1 + α 2 x 2 + … + α n x n (\displaystyle \alpha _(1)\mathbf (x) _(1)+\alpha _(2)\mathbf (x) _(2)+\ ldots +\alpha _(n)\mathbf (x) _(n))

Lineárna kombinácia sa nazýva:

Základ. Rozmer

vektory x 1 , x 2 , … , x n (\displaystyle \mathbf (x) _(1),\mathbf (x) _(2),\ldots ,\mathbf (x) _(n)) sa volajú lineárne závislé, ak existuje ich netriviálna lineárna kombinácia, ktorej hodnota sa rovná nule; to jest

α 1 x 1 + α 2 x 2 + … + α n x n = 0 (\displaystyle \alpha _(1)\mathbf (x) _(1)+\alpha _(2)\mathbf (x) _(2) +\ldots +\alpha _(n)\mathbf (x) _(n)=\mathbf (0) )

pri niektorých koeficientoch α 1 , α 2 , … , α n ∈ F , (\displaystyle \alpha _(1),\alpha _(2),\ldots ,\alpha _(n)\in F,) a aspoň jeden z koeficientov α i (\displaystyle \alpha _(i)) odlišný od nuly.

Inak sa tieto vektory nazývajú lineárne nezávislé.

Táto definícia umožňuje nasledujúce zovšeobecnenie: nekonečná množina vektorov z V (\displaystyle V) volal lineárne závislé, ak je niektoré lineárne závislé Konečný jeho podmnožinu a lineárne nezávislé, ak niečo z toho Konečný podmnožina je lineárne nezávislá.

Vlastnosti základu:

x = α 1 x 1 + α 2 x 2 + … + α n x n (\displaystyle \mathbf (x) =\alpha _(1)\mathbf (x) _(1)+\alpha _(2)\mathbf ( x) _(2)+\ldots +\alpha _(n)\mathbf (x) _(n)).

Lineárna škrupina

Lineárna škrupina podmnožiny X (\displaystyle X) lineárny priestor V (\displaystyle V)- priesečník všetkých podpriestorov V (\displaystyle V) obsahujúce X (\displaystyle X).

Lineárne rozpätie je podpriestor V (\displaystyle V).

Lineárna škrupina sa tiež nazýva vygenerovaný podpriestor X (\displaystyle X). Hovorí sa tiež, že lineárna škrupina V (X) (\displaystyle (\mathcal (V))(X))- priestor, pretiahol sa kopa X (\displaystyle X).

1. Množina polynómov P n (X) stupne nie vyššie n.

2. Kopa n-členové sekvencie (s členením podľa členu a násobením skalárom).

3 . Veľa funkcií C [ A , b ] nepretržite na [ A, b] a s bodovým sčítaním a násobením skalárom.

4. Mnoho funkcií špecifikovaných na [ A, b] a mizne v nejakom pevnom vnútornom bode c: f (c) = 0 a s bodovými operáciami sčítania a násobenia skalárom.

5. Nastavte R+, ak X ⊕ r  X  r, ⊙X X  .

§8. Definícia podpriestoru

Nechajte súbor W je podmnožinou lineárneho priestoru V (W  V) a takých

a)  X, rW  X ⊕ rW;

b)  XW,    ⊙ XW.

Operácie sčítania a násobenia sú tu rovnaké ako vo vesmíre V(nazývajú sa priestorom indukované V).

Toľko W nazývaný podpriestor priestoru V.

7  . Podpriestor W sám o sebe je priestor.

◀ Na dokázanie stačí dokázať existenciu neutrálneho prvku a jeho opaku. Rovnosti 0⊙ X=  a (–1)⊙ X = –X dokázať, čo je potrebné.

Podpriestor pozostávajúci iba z neutrálneho prvku () a podpriestoru, ktorý sa zhoduje s priestorom samotným V, sa nazývajú triviálne podpriestormi priestoru V.

§9. Lineárna kombinácia vektorov. Lineárne rozpätie vektorového systému

Nechajte vektory e 1 ,e 2 , …e n V a  1,  2 , …  n .

Vektor x =  1 e 1 +  2 e 2 + … +  n e n = nazývaný lineárny kombinácia vektorov e 1 , e 2 , … , e n s koeficientmi  1,  2 , …  n .

Ak sú všetky koeficienty v lineárnej kombinácii rovné nule, potom lineárna kombinácia volal triviálne.

Množina všetkých možných lineárnych kombinácií vektorov
nazývaný lineárny trup tento systém vektorov a je označený:

ℒ(e 1 , e 2 , …, e n) = ℒ
.

8  . ℒ(e 1 , e 2 , …, e n

◀ Správnosť operácií sčítania a násobenia skalárom vyplýva zo skutočnosti, že ℒ( e 1 , e 2 , …, e n) je množina všetkých možných lineárnych kombinácií. Neutrálny prvok je triviálna lineárna kombinácia. Pre prvok X=
opakom je prvok - X =
. Sú splnené aj axiómy, ktoré musia operácie spĺňať. Teda ℒ( e 1 , e 2 , …, e n) je lineárny priestor.

Každý lineárny priestor obsahuje vo všeobecnom prípade nekonečné množstvo ďalších lineárnych priestorov (podpriestorov) - lineárnych škrupín

V budúcnosti sa pokúsime odpovedať na nasledujúce otázky:

Kedy sa lineárne škrupiny rôznych vektorových systémov skladajú z rovnakých vektorov (t. j. zhodujú sa)?

2) Aký je minimálny počet vektorov, ktoré vymedzujú rovnaké lineárne rozpätie?

3) Je pôvodný priestor lineárnym rozsahom nejakého systému vektorov?

§10. Kompletné vektorové systémy

Ak vo vesmíre V existuje konečná množina vektorov
no a čo,ℒ
 V, potom sústava vektorov
sa nazýva kompletný systém v V a priestor sa nazýva konečnorozmerný. Teda systém vektorov e 1 , e 2 , …, e n V nazývaný kompletný v V systém, t.j. Ak

XV   1 ,  2 , …  n také, že x =  1 e 1 +  2 e 2 + … +  n e n .

Ak vo vesmíre V neexistuje konečný úplný systém (a vždy existuje úplný systém - napríklad množina všetkých vektorov priestoru V), potom priestor V sa nazýva nekonečno-dimenzionálny.

9  . Ak
plný v V systém vektorov a r V, To ( e 1 , e 2 , …, e n , r) je tiež kompletný systém.

◀ V lineárnych kombináciách koeficient pred r brať rovné 0.

Nech je systém vektorov z vektorového priestoru V nad ihriskom P.

Definícia 2: Lineárna škrupina L systémov A je množina všetkých lineárnych kombinácií vektorov systému A. Označenie L(A).

Dá sa ukázať, že pre ľubovoľné dva systémy A A B,

A lineárne vyjadrené prostredníctvom B ak a len vtedy. (1)

A ekvivalent B vtedy a len vtedy L(A)=L(B). (2)

Dôkaz vyplýva z predchádzajúcej vlastnosti

3 Lineárne rozpätie ľubovoľného systému vektorov je podpriestorom priestoru V.

Dôkaz

Vezmite ľubovoľné dva vektory a od L(A), ktoré majú nasledujúce expanzie vo vektoroch od A: . Pozrime sa na realizovateľnosť podmienok 1) a 2) kritéria:

Keďže ide o lineárnu kombináciu systémových vektorov A.

Keďže ide aj o lineárnu kombináciu systémových vektorov A.

Uvažujme teraz o matici. Lineárne rozpätie riadkov matice A sa nazýva riadkový priestor matice a označuje sa Lr(A). Lineárne rozpätie stĺpcov matice A sa nazýva stĺpcový priestor a označuje sa Lc(A). Upozorňujeme, že pri riadkovom a stĺpcovom priestore matice A sú podpriestormi rôznych aritmetických priestorov Pn A Popoludnie resp. Pomocou výroku (2) môžeme dospieť k nasledovnému záveru:

Veta 3: Ak je jedna matica získaná od druhej pomocou reťazca elementárnych transformácií, potom sa riadkové priestory takýchto matíc zhodujú.

Súčet a prienik podpriestorov

Nechaj L A M- dva podpriestorové priestory R.

Suma L+M sa nazýva množina vektorov x+y , Kde X ∈L A r ∈M. Je zrejmé, že akákoľvek lineárna kombinácia vektorov z L+M patrí L+M, teda L+M je podpriestor priestoru R(môže sa zhodovať s priestorom R).

Krížením L∩M podpriestorov L A M je množina vektorov, ktoré súčasne patria do podpriestorov L A M(môže pozostávať iba z nulového vektora).

Veta 6.1. Súčet rozmerov ľubovoľných podpriestorov L A M konečnorozmerný lineárny priestor R rovný rozmeru súčtu týchto podpriestorov a rozmeru priesečníka týchto podpriestorov:

tlmené L+tlmené M=tlmené(L+M)+tlmené(L∩M).

Dôkaz. Označme F=L+M A G=L∩M. Nechaj G g-rozmerný podpriestor. Vyberme si v nej základ. Pretože G⊂L A G⊂M, teda základ G možno pridať k základu L a na základňu M. Nech je základom podpriestor L a nechať základ podpriestoru M. Ukážme, že vektory

(6.1) tvoria základ F=L+M. Aby vektory (6.1) tvorili základ priestoru F musia byť lineárne nezávislé a ľubovoľný vektor priestoru F môže byť reprezentovaná lineárnou kombináciou vektorov (6.1).

Dokážme lineárnu nezávislosť vektorov (6.1). Nech je nulový vektor priestoru F je reprezentovaná lineárnou kombináciou vektorov (6.1) s niektorými koeficientmi:

Ľavá strana (6.3) je podpriestorový vektor L a pravá strana je podpriestorový vektor M. Preto vektor

(6.4) patrí do podpriestoru G=L∩M. Na druhej strane vektor v môžu byť reprezentované lineárnou kombináciou bázových vektorov podpriestoru G:

(6.5) Z rovníc (6.4) a (6.5) máme:

Ale vektory sú základom podpriestoru M, preto sú lineárne nezávislé a . Potom (6.2) bude mať tvar:

Kvôli lineárnej nezávislosti bázy podpriestoru L máme:

Keďže všetky koeficienty v rovnici (6.2) sa ukázali ako nulové, potom vektory

lineárne nezávislé. Ale akýkoľvek vektor z od F(podľa definície súčtu podpriestorov) môže byť reprezentovaný súčtom x+y , Kde X ∈ L,r ∈ M. Vo svojom poradí X je reprezentovaná lineárnou kombináciou vektorov a r - lineárna kombinácia vektorov. Preto vektory (6.10) vytvárajú podpriestor F. Zistili sme, že vektory (6.10) tvoria základ F=L+M.

Štúdium podpriestorových základní L A M a podpriestorový základ F=L+M(6.10), máme: matná L=g+l, matná M=g+m, matná (L+M)=g+l+m. Preto:

dim L+dim M−dim(L∩M)=dim(L+M). ■

Priamy súčet podpriestorov

Definícia 6.2. Priestor F predstavuje priamy súčet podpriestorov L A M, ak každý vektor X priestor F môže byť vyjadrená len ako súčet x=y+z , Kde r ∈L a z ∈M.

Je uvedená priama suma L⊕M. Hovoria, že ak F=L⊕M, To F rozkladá sa na priamy súčet svojich podpriestorov L A M.

Veta 6.2. Za účelom n-rozmerný priestor R bol priamym súčtom podpriestorov L A M, na križovatku to stačí L A M obsahoval iba nulový prvok a že rozmer R sa rovnal súčtu rozmerov podpriestorov L A M.

Dôkaz. Vyberme si bázu v podpriestore L a bázu v podpriestore M. Dokážme to

(6.11) je základom priestoru R. Podľa podmienok vety rozmer priestoru Rn rovný súčtu podpriestorov L A M (n = 1 + m). Stačí dokázať lineárnu nezávislosť prvkov (6.11). Nech je nulový vektor priestoru R je reprezentovaná lineárnou kombináciou vektorov (6.11) s niektorými koeficientmi:

(6.13) Keďže ľavá strana (6.13) je vektorom podpriestoru L a pravá strana je podpriestorový vektor M A L∩M=0 , To

(6.14) Ale vektory sú základmi podpriestorov L A M resp. Preto sú lineárne nezávislé. Potom

(6.15) Zistilo sa, že (6.12) platí len za podmienky (6.15), čo dokazuje lineárnu nezávislosť vektorov (6.11). Preto tvoria základ v R.

Nech x∈R. Rozviňme to podľa základu (6.11):

(6.16) Od (6.16) máme:

(6.18)Z (6.17) a (6.18) vyplýva, že ľubovoľný vektor z R môžu byť reprezentované ako súčet vektorov X 1 ∈L A X 2 ∈M. Zostáva dokázať, že táto reprezentácia je jedinečná. Nech je okrem znázornenia (6.17) toto znázornenie:

(6.19) Odčítaním (6.19) od (6.17) dostaneme

(6.20) Od , a L∩M=0 , potom a . Preto a. ■

Veta 8.4 o dimenzii súčtu podpriestorov. Ak a sú podpriestormi konečnorozmerného lineárneho priestoru, potom sa rozmer súčtu podpriestorov rovná súčtu ich rozmerov bez rozmeru ich priesečníka ( Grassmannov vzorec):

(8.13)

V skutočnosti nech je základom križovatky . Doplňme to o usporiadanú množinu vektorov až po základ podpriestoru a usporiadanú množinu vektorov až po základ podpriestoru. Takéto doplnenie umožňuje veta 8.2. Z týchto troch množín vektorov vytvorme usporiadanú množinu vektorov. Ukážme, že tieto vektory sú generátormi priestoru. Akýkoľvek vektor tohto priestoru je skutočne reprezentovaný ako lineárna kombinácia vektorov z usporiadanej množiny

Preto, . Dokážme, že generátory sú lineárne nezávislé, a preto sú základom priestoru. Skutočne, urobme lineárnu kombináciu týchto vektorov a prirovnajme ju k nulovému vektoru: . Všetky koeficienty tohto rozšírenia sú nulové: podpriestory vektorového priestoru s bilineárnym tvarom sú množinou všetkých vektorov ortogonálnych ku každému vektoru z . Táto množina je vektorový podpriestor, ktorý sa zvyčajne označuje .

Dovoliť je systém vektorov z . Lineárna škrupina vektorové systémy je množina všetkých lineárnych kombinácií vektorov daného systému, t.j.

Vlastnosti lineárnej škrupiny: Ak , potom pre a .

Lineárna škrupina má tú vlastnosť, že je uzavretá vzhľadom na lineárne operácie (operácie sčítania a násobenia číslom).

Volá sa podmnožina priestoru, ktorá má vlastnosť uzavretia vzhľadom na operácie sčítania a násobenia číslamilineárny podpriestor priestoru .

Lineárny obal sústavy vektorov je lineárny podpriestor priestoru.

Systém vektorov z sa nazýva báza ,Ak

Akýkoľvek vektor môže byť vyjadrený ako lineárna kombinácia základných vektorov:

2. Systém vektorov je lineárne nezávislý.

Lema Vektorové koeficienty expanzie podľa základu sú jednoznačne určené.

Vektor , zložený z vektorových expanzných koeficientov podľa základu sa nazýva súradnicový vektor vektora v základe .

Označenie . Tento záznam zdôrazňuje, že súradnice vektora závisia od základu.

Lineárne priestory

Definície

Nech je daný súbor prvkov ľubovoľnej povahy. Pre prvky tejto množiny nech sú definované dve operácie: sčítanie a násobenie ľubovoľným reálny číslo: , a nastavte ZATVORENÉ pokiaľ ide o tieto operácie: . Nech sa tieto operácie riadia axiómami:

3. Existuje nulový vektor s vlastnosťou for ;

4. ku každému existuje inverzný vektor s vlastnosťou ;

6. pre , ;

7. pre , ;

Potom sa takýto súbor nazýva lineárny (vektorový) priestor, jej prvky sa nazývajú vektory, a - na zdôraznenie ich rozdielu od čísel z - sa volajú tie druhé skaláry 1). Nazýva sa priestor pozostávajúci iba z jedného nulového vektora triviálne .

Ak v axiómach 6 - 8 pripustíme násobenie zložitými skalármi, potom sa takýto lineárny priestor nazýva obsiahly. Aby sme zjednodušili naše uvažovanie, v nasledujúcom budeme uvažovať iba o skutočných priestoroch.

Lineárny priestor je grupa vzhľadom na operáciu sčítania a abelovská grupa.

Jedinečnosť nulového vektora a jedinečnosť vektora inverzného k vektoru sa dajú ľahko dokázať: , zvyčajne sa označuje .

Podmnožina lineárneho priestoru, ktorá je sama osebe lineárnym priestorom (t. j. uzavretá sčítaním vektorov a násobením ľubovoľným skalárom), sa nazýva lineárny podpriestor priestor. Triviálne podpriestory Lineárny priestor sa nazýva sám seba a priestor pozostávajúci z jedného nulového vektora.

Príklad. Priestor usporiadaných trojíc reálnych čísel

operácie definované rovnosťami:

Geometrická interpretácia je zrejmá: vektor v priestore, „priviazaný“ k počiatku, môže byť špecifikovaný v súradniciach jeho konca. Na obrázku je tiež znázornený typický podpriestor priestoru: rovina prechádzajúca počiatkom. Presnejšie povedané, prvky sú vektory, ktoré majú svoj počiatok v počiatku a končia v bodoch v rovine. Uzatvorenosť takejto množiny vzhľadom na sčítanie vektorov a ich dilatáciu 2) je zrejmá.

Na základe tejto geometrickej interpretácie sa často hovorí o vektore ľubovoľného lineárneho priestoru bod v priestore. Niekedy sa tento bod nazýva „koniec vektora“. Okrem pohodlia asociatívneho vnímania tieto slová nemajú žiadny formálny význam: pojem „koniec vektora“ v axiomatike lineárneho priestoru chýba.

Príklad. Na základe toho istého príkladu môžeme poskytnúť inú interpretáciu vektorového priestoru (mimochodom vnoreného v samom pôvode slova „vektor“ 3) – definuje množinu „posunov“ bodov v priestore. Tieto posuny - alebo paralelné posuny akéhokoľvek priestorového útvaru - sú zvolené tak, aby boli rovnobežné s rovinou.

Všeobecne povedané, s takýmito interpretáciami pojmu vektor nie je všetko také jednoduché. Pokusy apelovať na jeho fyzický význam – ako predmet, ktorý má veľkosť A smer- spôsobiť spravodlivé pokarhanie od prísnych matematikov. Definícia vektora ako prvku vektorového priestoru veľmi pripomína epizódu s sepulchami zo známeho sci-fi príbehu od Stanislawa Lema (pozri ☞TU). Nenechajme sa zavesiť na formalizmus, ale preskúmajme tento fuzzy objekt v jeho konkrétnych prejavoch.

Príklad. Prirodzeným zovšeobecnením je priestor: riadkový alebo stĺpcový vektorový priestor . Jedným zo spôsobov, ako zadať podpriestor, je zadať množinu obmedzení.

Príklad. Množina riešení sústavy lineárnych homogénnych rovníc:

tvorí lineárny podpriestor priestoru. V skutočnosti, ak

Riešenie systému teda

Rovnaké riešenie pre všetky . Ak

Takže ďalšie riešenie systému

Bude to aj jej rozhodnutie.

Prečo existuje veľa riešení systému? heterogénne rovnice netvoria lineárny podpriestor?

Príklad. Zovšeobecňujúc ďalej, môžeme uvažovať o priestore „nekonečných“ reťazcov resp sekvencie , zvyčajne predmetom matematickej analýzy - pri zvažovaní postupností a radov. Čiary (sekvencie) môžete považovať za „nekonečné v oboch smeroch“ - používajú sa v TEÓRII SIGNÁLU.

Príklad. Množina -matíc s reálnymi prvkami s operáciami sčítania a násobenia matíc reálnymi číslami tvorí lineárny priestor.

V priestore matíc štvorcového rádu možno rozlíšiť dva podpriestory: podpriestor symetrických matíc a podpriestor šikmo symetrických matíc. Okrem toho podpriestor tvorí každú z množín: horné trojuholníkové, dolné trojuholníkové diagonálne matice.

Príklad. Množina polynómov jedného premenného stupňa presne rovná koeficientom (kde je ktorákoľvek z množín alebo ) s obvyklými operáciami sčítania polynómov a násobenia číslom od netvorí lineárny priestor. prečo? - Pretože nie je uzavretý pod sčítaním: súčet polynómov nebude polynóm tého stupňa. Ale tu je veľa polynómov stupňa nie vyššie

lineárne priestorové formy; len k tejto množine musíme pridať aj identicky nulový polynóm 4). Zjavné podpriestory sú . Okrem toho budú podpriestormi množina párnych a množina nepárnych polynómov stupňa najviac . Množina všetkých možných polynómov (bez obmedzenia stupňov) tiež tvorí lineárny priestor.

Príklad. Zovšeobecnením predchádzajúceho prípadu bude priestor polynómov viacerých premenných stupňa najviac s koeficientmi od . Napríklad množina lineárnych polynómov

tvorí lineárny priestor. Množina homogénnych polynómov (foriem) stupňa (s pridaním identicky nulového polynómu k tejto množine) je tiež lineárnym priestorom.

V zmysle vyššie uvedenej definície množina reťazcov s celočíselnými komponentmi

uvažované s ohľadom na operácie komponentového sčítania a násobenia celé čísla skaláry nie sú lineárny priestor. Všetky axiómy 1 - 8 však budú splnené, ak pripustíme násobenie iba celými skalármi. V tejto časti sa nebudeme venovať tomuto objektu, ale je celkom užitočný v diskrétnej matematike, napríklad v ☞ TEÓRII KÓDOVANIA. Lineárne priestory nad konečnými poľami sa berú do úvahy ☞ TU.

Premenné sú izomorfné s priestorom symetrických matíc t. rádu. Izomorfizmus je stanovený korešpondenciou, ktorú si ukážeme na tomto prípade:

Pojem izomorfizmus sa zavádza s cieľom uskutočniť štúdium objektov, ktoré vznikajú v rôznych oblastiach algebry, ale s „podobnými“ vlastnosťami operácií, na príklade jednej vzorky, pričom sa na ňom vypracujú výsledky, ktoré sa potom dajú lacno replikovať. Ktorý lineárny priestor by sme si mali vziať „ako vzorku“? - Pozri koniec nasledujúceho odseku

Podobné články