Riešenie sústavy homogénnych lineárnych rovníc je vždy. Homogénne sústavy rovníc

Systém m lineárne rovnice c n nazývané neznáme lineárny homogénny systém rovnice, ak sa všetky voľné členy rovnajú nule. Takýto systém vyzerá takto:

Kde a ij (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n) - dané čísla; x i– neznámy.

Systém lineárnych homogénnych rovníc je vždy konzistentný, pretože r(A) = r(). Vždy má aspoň nulu ( triviálne) riešenie (0; 0; …; 0).

Uvažujme, za akých podmienok majú homogénne systémy nenulové riešenia.

Veta 1. Systém lineárnych homogénnych rovníc má nenulové riešenia práve vtedy, ak je poradie jeho hlavnej matice r menšie číslo neznámy n, t.j. r < n.

□ 1). Nech má sústava lineárnych homogénnych rovníc nenulové riešenie. Keďže poradie nemôže presiahnuť veľkosť matice, potom, samozrejme, r ≤ n. Nechaj r = n. Potom jedna z menších veľkostí n n odlišný od nuly. Preto má zodpovedajúci systém lineárnych rovníc jedinečné riešenie: ... To znamená, že neexistujú žiadne iné riešenia ako triviálne. Takže, ak existuje netriviálne riešenie, potom r < n.

2). Nechaj r < n. Potom je homogénny systém, ktorý je konzistentný, neistý. To znamená, že má nekonečné množstvo riešení, t.j. má nenulové riešenia. ■

Predstavte si homogénny systém n lineárne rovnice c n neznámy:

(2)

Veta 2. Homogénny systém n lineárne rovnice c n neznáma (2) má nenulové riešenia práve vtedy, ak je jej determinant rovná nule: = 0.

□ Ak má sústava (2) nenulové riešenie, potom = 0. Pretože keď má sústava len jediné nulové riešenie. Ak = 0, potom poradie r hlavná matica systému je menšia ako počet neznámych, t.j. r < n. A teda systém má nekonečné množstvo riešení, t.j. má nenulové riešenia. ■

Označme riešenie sústavy (1) X 1 = k 1 , X 2 = k 2 , …, x n = k n ako struna .

Riešenia sústavy lineárnych homogénnych rovníc majú tieto vlastnosti:

1. Ak je linka je riešením sústavy (1), potom je riadok riešením sústavy (1).

2. Ak linky a sú riešenia systému (1), potom pre ľubovoľné hodnoty s 1 a s 2 ich lineárna kombinácia je tiež riešením sústavy (1).

Platnosť týchto vlastností je možné overiť ich priamym dosadením do rovníc sústavy.

Z formulovaných vlastností vyplýva, že každá lineárna kombinácia riešení sústavy lineárnych homogénnych rovníc je riešením aj tejto sústavy.

Systém lineárne nezávislých riešení e 1 , e 2 , …, e r volal zásadný, ak každé riešenie sústavy (1) je lineárnou kombináciou týchto riešení e 1 , e 2 , …, e r.

Veta 3. Ak hodnosť r matice koeficientov pre premenné sústavy lineárnych homogénnych rovníc (1) sú menšie ako počet premenných n, potom každý základný systém riešení systému (1) pozostáva z n–r rozhodnutia.

Preto spoločné rozhodnutie sústava lineárnych homogénnych rovníc (1) má tvar:

Kde e 1 , e 2 , …, e r– akýkoľvek základný systém riešení systému (9), s 1 , s 2 , …, s p- ľubovoľné čísla, R = n–r.

Veta 4. Všeobecné riešenie systému m lineárne rovnice c n neznáme sa rovná súčtu všeobecné riešenie zodpovedajúci systém lineárnych homogénnych rovníc (1) a ľubovoľné partikulárne riešenie tohto systému (1).

Príklad. Vyriešte systém

Riešenie. Pre tento systém m = n= 3. Determinant

podľa vety 2 má systém iba triviálne riešenie: X = r = z = 0.

Príklad. 1) Nájdite všeobecné a konkrétne riešenia systému

2) Nájdite základný systém riešení.

Riešenie. 1) Pre tento systém m = n= 3. Determinant

podľa vety 2 má systém nenulové riešenia.

Pretože v systéme existuje iba jedna nezávislá rovnica

X + r – 4z = 0,

potom z nej vyjadríme X =4z- r. Kde získame nekonečný počet riešení: (4 z- r, r, z) – toto je všeobecné riešenie systému.

O z= 1, r= -1, dostaneme jedno konkrétne riešenie: (5, -1, 1). Umiestňovanie z= 3, r= 2, dostaneme druhé konkrétne riešenie: (10, 2, 3) atď.

2) Vo všeobecnom riešení (4 z- r, r, z) premenné r A z sú zadarmo a variabilné X- na nich závislý. Aby sme našli základný systém riešení, prideľujeme zadarmo premenné hodnoty: najprv r = 1, z= 0 teda r = 0, z= 1. Získame čiastkové riešenia (-1, 1, 0), (4, 0, 1), ktoré tvoria základnú sústavu riešení.

Ilustrácie:

Ryža. 1 Klasifikácia sústav lineárnych rovníc

Ryža. 2 Štúdium sústav lineárnych rovníc

Prezentácie:

· Riešenie SLAU_ maticová metóda

· Riešenie metódy SLAE_Cramer

· Riešenie SLAE_Gaussova metóda

· Balíky riešení matematické problémy Mathematica, MathCad: vyhľadávanie analytických a numerické riešenie sústavy lineárnych rovníc

Kontrolné otázky:

1. Definujte lineárnu rovnicu

2. Aký typ systému to vyzerá? m lineárne rovnice s n neznámy?

3. Čo sa nazýva riešenie sústav lineárnych rovníc?

4. Aké systémy sa nazývajú ekvivalentné?

5. Ktorý systém sa nazýva nekompatibilný?

6. Aký systém sa nazýva kĺbový?

7. Ktorý systém sa nazýva určitý?

8. Ktorý systém sa nazýva neurčitý

9. Vymenujte elementárne transformácie sústav lineárnych rovníc

10. Vymenujte elementárne transformácie matíc

11. Povedzte aplikačnú vetu elementárne transformácie na sústavu lineárnych rovníc

12. Aké systémy je možné riešiť maticovou metódou?

13. Aké systémy je možné riešiť Cramerovou metódou?

14. Aké systémy možno riešiť Gaussovou metódou?

15. Uveďte 3 možné prípady, ktoré vznikajú pri riešení sústav lineárnych rovníc Gaussovou metódou

16. Opíšte maticovú metódu riešenia sústav lineárnych rovníc

17. Opíšte Cramerovu metódu riešenia sústav lineárnych rovníc

18. Opíšte Gaussovu metódu riešenia sústav lineárnych rovníc

19. Aké systémy možno riešiť pomocou inverznej matice?

20. Uveďte 3 možné prípady, ktoré vznikajú pri riešení sústav lineárnych rovníc Cramerovou metódou

Literatúra:

1. Vyššia matematika pre ekonómov: Učebnica pre vysoké školy / N.Sh. Kremer, B.A. Putko, I.M. Trishin, M. N. Friedman. Ed. N.Sh. Kremer. – M.: UNITY, 2005. – 471 s.

2. Všeobecný kurz vyššej matematiky pre ekonómov: Učebnica. / Ed. IN AND. Ermakovej. –M.: INFRA-M, 2006. – 655 s.

3. Zbierka úloh z vyššej matematiky pre ekonómov: Návod/ Spracoval V.I. Ermakovej. M.: INFRA-M, 2006. – 574 s.

4. Gmurman V. E. Sprievodca riešením problémov v teórii pravdepodobnosti a magmatickej štatistike. - M.: Vyššia škola, 2005. – 400 s.

5. Gmurman. V.E Teória pravdepodobnosti a matematická štatistika. - M.: Vyššia škola, 2005.

6. Danko P.E., Popov A.G., Koževniková T.Ya. Vyššia matematika v cvičeniach a úlohách. Časť 1, 2. – M.: Onyx 21. storočie: Mier a vzdelanie, 2005. – 304 s. Časť 1; – 416 s. Časť 2.

7. Matematika v ekonómii: Učebnica: V 2 častiach / A.S. Solodovnikov, V.A. Babaytsev, A.V. Brailov, I.G. Shandara. – M.: Financie a štatistika, 2006.

8. Šipačov V.S. Vyššia matematika: Učebnica pre žiakov. univerzity - M.: Vyššia škola, 2007. - 479 s.

Súvisiace informácie.

Sústavy lineárnych homogénnych rovníc- má tvar ∑a k i x i = 0. kde m > n alebo m Homogénna sústava lineárnych rovníc je vždy konzistentná, keďže rangA = rangB. Očividne má riešenie pozostávajúce z núl, ktoré je tzv triviálne.

Účel služby. Online kalkulačka je navrhnutá tak, aby našla netriviálne a zásadné riešenie SLAE. Výsledný roztok je uložený v Súbor programu Word(pozri príklad riešenia).

Inštrukcie. Vyberte rozmer matrice:

Vlastnosti sústav lineárnych homogénnych rovníc

Aby systém mal netriviálne riešenia, je potrebné a postačujúce, aby hodnosť jeho matice bola menšia ako počet neznámych.

Veta. Systém v prípade m=n má netriviálne riešenie práve vtedy, ak je determinant tohto systému rovný nule.

Veta. Akákoľvek lineárna kombinácia riešení systému je tiež riešením tohto systému.
Definícia. Množina riešení sústavy lineárnych homogénnych rovníc sa nazýva základný systém riešení, ak táto množina pozostáva z lineárne nezávislých riešení a akékoľvek riešenie sústavy je lineárnou kombináciou týchto riešení.

Veta. Ak je poradie r systémovej matice menšie ako počet n neznámych, potom existuje základný systém riešení pozostávajúci z (n-r) riešení.

Algoritmus riešenia sústav lineárnych homogénnych rovníc

Nájdenie hodnosti matice.
Vyberáme základnú moll. Rozlišujeme závislé (základné) a voľné neznáme.
Prečiarkneme tie rovnice systému, ktorých koeficienty nie sú zahrnuté základné menšie, keďže sú dôsledkom ostatných (podľa vety na základe minor).
Členy rovníc obsahujúcich voľné neznáme presunieme na pravú stranu. Výsledkom je sústava r rovníc s r neznámymi, ekvivalentná danej, ktorej determinant je nenulový.
Výsledný systém riešime elimináciou neznámych. Nachádzame vzťahy vyjadrujúce závislé premenné prostredníctvom voľných.
Ak sa poradie matice nerovná počtu premenných, nájdeme základné riešenie systému.
V prípade rang = n máme triviálne riešenie.

Príklad. Nájdite základ sústavy vektorov (a 1, a 2,...,a m), zoraďte a vyjadrite vektory na základe bázy. Ak 1 = (0,0,1,-1) a 2 = (1,1,2,0) a 3 = (1,1,1,1) a 4 = (3,2,1 ,4) a 5 = (2,1,0,3).
Zapíšme si hlavnú maticu systému:

Vynásobte 3. riadok (-3). Pridajme 4. riadok k 3.:

0	0	1	-1
0	0	-1	1
0	-1	-2	1
3	2	1	4
2	1	0	3

Vynásobte 4. riadok (-2). Vynásobme 5. riadok (3). Pridajme 5. riadok k 4.:
Pridajme 2. riadok k 1.:
Poďme nájsť hodnosť matice.
Systém s koeficientmi tejto matice je ekvivalentný pôvodnému systému a má tvar:
- x 3 = - x 4
- x 2 - 2 x 3 = - x 4
2x 1 + x 2 = - 3x 4
Pomocou metódy eliminácie neznámych nájdeme netriviálne riešenie:
Získali sme vzťahy vyjadrujúce závislé premenné x 1 , x 2 , x 3 cez voľné x 4 , čiže sme našli všeobecné riešenie:
x 3 = x 4
x 2 = - x 4
x 1 = - x 4

Lineárna rovnica sa nazýva homogénne, ak je jeho voľný člen rovný nule, a inak nehomogénny. Systém pozostávajúci z homogénnych rovníc sa nazýva homogénny a má všeobecná forma:

Je zrejmé, že každý homogénny systém je konzistentný a má nulové (triviálne) riešenie. Preto pri aplikácii na homogénne sústavy lineárnych rovníc často treba hľadať odpoveď na otázku existencie nenulových riešení. Odpoveď na túto otázku možno formulovať ako nasledujúca veta.

Veta . Homogénny systém lineárnych rovníc má nenulové riešenie práve vtedy, ak je jeho poradie menšie ako počet neznámych .

Dôkaz: Predpokladajme, že systém, ktorého poradie je rovnaké, má nenulové riešenie. Je zrejmé, že nepresahuje . V prípade, že má systém unikátne riešenie. Keďže systém homogénnych lineárnych rovníc má vždy nulové riešenie, potom nulovým riešením bude toto jedinečné riešenie. Nenulové riešenia sú teda možné len pre .

Dôsledok 1 : Homogénna sústava rovníc, v ktorej je počet rovníc menší ako počet neznámych, má vždy nenulové riešenie.

Dôkaz: Ak má sústava rovníc , potom hodnosť sústavy nepresahuje počet rovníc, t.j. . Podmienka je teda splnená a systém má teda nenulové riešenie.

Dôsledok 2 : Homogénna sústava rovníc s neznámymi má nenulové riešenie práve vtedy, ak je jej determinant nulový.

Dôkaz: Predpokladajme, že sústava lineárnych homogénnych rovníc, ktorých matica s determinantom má nenulové riešenie. Potom, podľa osvedčenej vety, a to znamená, že matica je singulárna, t.j. .

Kroneckerova-Capelliho veta: SLU je konzistentné vtedy a len vtedy, ak sa poradie systémovej matice rovná hodnote rozšírenej matice tohto systému. Systém ur sa nazýva konzistentný, ak má aspoň jedno riešenie.

Homogénny lineárny systém algebraické rovnice .

Sústava m lineárnych rovníc s n premennými sa nazýva sústava lineárnych homogénnych rovníc, ak sú všetky voľné členy rovné 0. Sústava lineárnych homogénnych rovníc je vždy konzistentná, pretože vždy má aspoň nulové riešenie. Systém lineárnych homogénnych rovníc má nenulové riešenie práve vtedy, ak hodnost jeho matice koeficientov pre premenné je menšia ako počet premenných, t.j. pre úroveň A (n. Akákoľvek lineárna kombinácia

Systémové riešenia Lin. homogénne. ur-ii je tiež riešením tohto systému.

Systém lineárnych nezávislých riešení e1, e2,...,еk sa nazýva fundamentálny, ak každé riešenie systému je lineárnou kombináciou riešení. Veta: ak je poradie r matice koeficientov pre premenné sústavy lineárnych homogénnych rovníc menšie ako počet premenných n, potom každý fundamentálny systém riešení sústavy pozostáva z n-r riešenia. Preto je všeobecné riešenie lineárneho systému. jeden deň ur-th má tvar: c1e1+c2e2+...+skek, kde e1, e2,..., ek je ľubovoľná základná sústava riešení, c1, c2,...,ck sú ľubovoľné čísla a k=n-r. Všeobecné riešenie sústavy m lineárnych rovníc s n premennými sa rovná súčtu

všeobecného riešenia jemu zodpovedajúceho systému je homogénny. lineárnych rovníc a ľubovoľného partikulárneho riešenia tejto sústavy.

7. Lineárne priestory. Podpriestormi. Základ, rozmer. Lineárna škrupina. Lineárny priestor je tzv n-rozmerný, ak obsahuje sústavu lineárnych nezávislé vektory a akýkoľvek systém z viac vektory sú lineárne závislé. Číslo sa volá dimenzia (počet dimenzií) lineárny priestor a je určený. Inými slovami, rozmer priestoru je maximálny počet lineárne nezávislých vektorov tohto priestoru. Ak takéto číslo existuje, potom sa priestor nazýva konečnorozmerný. Ak pre niekoho prirodzené číslo n v priestore existuje systém pozostávajúci z lineárne nezávislých vektorov, potom sa takýto priestor nazýva nekonečno-rozmerný (píše sa: ). V nasledujúcom texte, pokiaľ nie je uvedené inak, sa budú brať do úvahy konečne-dimenzionálne priestory.

Základom n-rozmerného lineárneho priestoru je usporiadaná kolekcia lineárne nezávislých vektorov ( bázové vektory).

Veta 8.1 o expanzii vektora z hľadiska bázy. Ak je základom n-rozmerného lineárneho priestoru, potom každý vektor môže byť reprezentovaný ako lineárna kombinácia základných vektorov:

V=v1*e1+v2*e2+…+vn+sk
a okrem toho jediná cesta, t.j. koeficienty sú určené jednoznačne. Inými slovami, akýkoľvek vektor priestoru môže byť rozšírený na základ a navyše jedinečným spôsobom.

Vskutku, rozmer priestoru je . Systém vektorov je lineárne nezávislý (toto je základ). Po pridaní ľubovoľného vektora k základu dostaneme lineárne závislý systém(keďže tento systém pozostáva z vektorov n-rozmerného priestoru). Pomocou vlastnosti 7 lineárne závislých a lineárne nezávislých vektorov získame záver vety.

Homogénny systém je vždy konzistentný a má triviálne riešenie
. Aby mohlo existovať netriviálne riešenie, je potrebné, aby bola matica hodnosť bol menší ako počet neznámych:

Základný systém riešení homogénny systém
nazvať sústavu riešení vo forme stĺpcových vektorov
, ktoré zodpovedajú kanonickému základu, t.j. základ, v ktorom sú ľubovoľné konštanty
sú striedavo nastavené rovné jednej, zatiaľ čo ostatné sú nastavené na nulu.

Potom má všeobecné riešenie homogénneho systému tvar:

Kde
- ľubovoľné konštanty. Inými slovami, všeobecné riešenie je lineárna kombinácia základný systém rozhodnutia.

Základné riešenia teda možno získať zo všeobecného riešenia, ak voľným neznámym postupne priradíme hodnotu jedna, pričom všetky ostatné nastavíte na nulu.

Príklad. Poďme nájsť riešenie systému

Akceptujme, potom dostaneme riešenie v tvare:

Zostavme teraz základný systém riešení:

Všeobecné riešenie bude napísané takto:

Riešenia sústavy homogénnych lineárnych rovníc majú tieto vlastnosti:

Inými slovami, akákoľvek lineárna kombinácia riešení do homogénnej sústavy je opäť riešením.

Riešenie sústav lineárnych rovníc Gaussovou metódou

Riešenie sústav lineárnych rovníc zaujíma matematikov už niekoľko storočí. Prvé výsledky boli získané v 18. storočí. V roku 1750 publikoval G. Kramer (1704–1752) svoje práce o determinantoch štvorcových matíc a navrhol algoritmus na nájdenie inverznej matice. V roku 1809 Gauss načrtol novú metódu riešenia známu ako metóda eliminácie.

Gaussova metóda alebo metóda postupnej eliminácie neznámych spočíva v tom, že pomocou elementárnych transformácií sa sústava rovníc redukuje na ekvivalentnú sústavu stupňovitého (alebo trojuholníkového) tvaru. Takéto systémy umožňujú postupne nájsť všetky neznáme v určitom poradí.

Predpokladajme, že v systéme (1)
(čo je vždy možné).

(1)

Násobenie prvej rovnice po jednej tzv vhodné čísla

a pridaním výsledku násobenia so zodpovedajúcimi rovnicami systému dostaneme ekvivalentný systém, v ktorom vo všetkých rovniciach okrem prvej nebude žiadna neznáma X 1

(2)

Vynásobme teraz druhú rovnicu sústavy (2) vhodnými číslami, za predpokladu, že

a pridaním k nižším premennú odstránime zo všetkých rovníc, počnúc treťou.

Pokračovanie v tomto procese po
krok dostaneme:

(3)

Ak aspoň jedno z čísel
sa nerovná nule, potom je príslušná rovnosť protirečivá a systém (1) je nekonzistentný. Naopak, pre akúkoľvek spoločnú číselnú sústavu
sa rovnajú nule. číslo nie je nič iné ako hodnosť matice systému (1).

Prechod zo systému (1) do (3) sa nazýva rovno Gaussova metóda a hľadanie neznámych z (3) – naopak .

Komentujte : Je vhodnejšie vykonávať transformácie nie pomocou samotných rovníc, ale pomocou rozšírenej matice systému (1).

Príklad. Poďme nájsť riešenie systému

Napíšme rozšírenú maticu systému:

Pridajme prvý k riadkom 2,3,4, vynásobený (-2), (-3), (-2):

Vymeňme riadky 2 a 3, potom vo výslednej matici pridajte riadok 2 k riadku 4, vynásobte :

Pridajte do riadku 4 riadok 3 vynásobte
:

To je zrejmé
, preto je systém konzistentný. Z výslednej sústavy rovníc

riešenie nájdeme reverznou substitúciou:

,
,
,
.

Príklad 2 Nájdite riešenie pre systém:

Je zrejmé, že systém je nekonzistentný, pretože
, A
.

Výhody Gaussovej metódy :

Menej náročná na prácu ako Cramerova metóda.

Jednoznačne stanovuje kompatibilitu systému a umožňuje vám nájsť riešenie.

Umožňuje určiť poradie ľubovoľných matíc.

2.4.1. Definícia. Dajme nám nehomogénny systém lineárnych rovníc

Predstavte si homogénny systém

ktorého matica koeficientov sa zhoduje s maticou koeficientov systému (2.4.1). Potom sa zavolá systém (2.4.2). redukovaný homogénny systém (2.4.1).

2.4.2. Veta. Všeobecné riešenie nehomogénneho systému sa rovná súčtu nejakého konkrétneho riešenia nehomogénneho systému a všeobecného riešenia redukovaného homogénneho systému..

Na nájdenie všeobecného riešenia nehomogénneho systému (2.4.1) teda stačí:

1) Preskúmajte kompatibilitu. V prípade kompatibility:

2) Nájdite všeobecné riešenie redukovanej homogénnej sústavy.

3) Nájdite akékoľvek konkrétne riešenie pôvodného (nehomogénneho).

4) Sčítaním nájdeného partikulárneho riešenia a všeobecného riešenia daného nájdite všeobecné riešenie pôvodného systému.

2.4.3. Cvičenie. Preskúmajte systém z hľadiska kompatibility a v prípade kompatibility nájdite jeho všeobecné riešenie v podobe súčtu konkrétneho a všeobecného daného.

Riešenie. a) Na vyriešenie problému použijeme vyššie uvedenú schému:

1) Skúmame kompatibilitu systému (metódou ohraničenia maloletých): Poradie hlavnej matice je 3 (pozri riešenie cvičenia 2.2.5, a) a nenulová vedľajšia maximálneho rádu je zložená z prvkov 1. 2., 4. riadok a 1., 3., 4. stĺpec. Aby sme našli poradie rozšírenej matice, ohraničíme ju 3. riadkom a 6. stĺpcom rozšírenej matice: =0. znamená, rg A =rg= 3 a systém je konzistentný. Najmä je ekvivalentný systému

2) Poďme nájsť všeobecné riešenie X 0 redukovaný homogénny systém

X 0 ={(-2a - b ; a ; b ; b ; b ) | a , b Î R}

(pozri riešenie úlohy 2.2.5, a)).

3) Nájdite akékoľvek konkrétne riešenie x h pôvodného systému . Na tento účel v systéme (2.4.3), ekvivalentnom k pôvodnému, voľné neznáme X 2 a X Predpokladáme, že 5 sa rovná napríklad nule (toto je najpohodlnejší údaj):

a vyriešiť výsledný systém: X 1 =- , X 3 =- , X 4 = -5. Teda (- ; 0; - ; -5; 0) ¾ je konkrétne riešenie systému.

4) Nájdite všeobecné riešenie X n pôvodnej sústavy :

X n={x h }+X 0 ={(- ; 0; - ; -5; 0)} + {(-2a - b ; a ; b ; b ; b )}=

={(- -2a - b ; a ; - + b ; -5+b ; b )}.

Komentujte. Porovnajte odpoveď, ktorú ste dostali, s druhou odpoveďou v príklade 1.2.1 c). Na získanie odpovede v prvom tvare pre 1.2.1 c) sa berú základné neznáme X 1 , X 3 , X 5 (malé, pre ktoré sa tiež nerovná nule) a ako voľné ¾ X 2 a X 4 .

§3. Niektoré aplikácie.

3.1. K problematike maticových rovníc. Pripomíname vám to maticová rovnica nad ihriskom F je rovnica, v ktorej je neznáma matica nad poľom F .

Najjednoduchšie maticové rovnice sú rovnice tvaru

AX=B , XA =B (2.5.1)

Kde A , B ¾ danej (známej) matice nad poľom F , A X ¾ také matice, pri ktorých nahradení sa rovnice (2.5.1) zmenia na skutočné maticové rovnosti. Najmä maticová metóda určitých systémov je redukovaná na riešenie maticovej rovnice.

V prípade, keď matriky A v rovniciach (2.5.1) sú nedegenerované, majú riešenia, resp X =A B A X =B.A. .

V prípade, že aspoň jedna z matíc na ľavej strane rovníc (2.5.1) je singulárna, táto metóda už nie je vhodná, pretože zodpovedajúca inverzná matica A neexistuje. V tomto prípade sa hľadanie riešení rovníc (2.5.1) redukuje na riešenia systémov.

Najprv si však predstavme niektoré pojmy.

Nazvime množinu všetkých riešení systému všeobecné rozhodnutie . Nazvime samostatne brané riešenie neurčitého systému súkromné riešenie .

3.1.1. Príklad. Rozhodnite sa maticová rovnica nad ihriskom R.

A) X = ; b) X = ; V) X = .

Riešenie. a) Pretože =0, potom vzorec X =A B nie je vhodný na riešenie tejto rovnice. Ak v prac XA =B matice A má 2 riadky, potom matica X má 2 stĺpce. Počet riadkov X musí zodpovedať počtu riadkov B . Preto X má 2 riadky. teda X ¾ nejaká štvorcová matica druhého rádu: X = . Poďme nahradiť X do pôvodnej rovnice:

Vynásobením matíc na ľavej strane (2.5.2) dospejeme k rovnosti

Dve matice sú rovnaké vtedy a len vtedy, ak majú rovnaké rozmery a ich zodpovedajúce prvky sú rovnaké. Preto (2.5.3) je ekvivalentný systému

Tento systém je ekvivalentný systému

Riešením napríklad Gaussovou metódou sa dostaneme k množine riešení (5-2 b , b , -2d , d ), Kde b , d bežať nezávisle od seba R. teda X = .

b) Podobne ako a) máme X = a.

Tento systém je nekonzistentný (pozrite si to!). Preto táto maticová rovnica nemá riešenia.

c) Označme túto rovnicu ako AX =B . Pretože A má 3 stĺpce a B má teda 2 stĺpce X ¾ nejaká matica rozmeru 3´2: X = . Preto máme nasledujúci reťazec ekvivalencií:

Posledný systém riešime Gaussovou metódou (komentáre vynechávame)

Tým sa dostávame k systému

ktorého riešením je (11+8 z , 14+10z , z , -49+8w , -58+10w ,w ) Kde z , w bežať nezávisle od seba R.

odpoveď: a) X = , b , d Î R.

b) Neexistujú žiadne riešenia.

V) X = z , w Î R.

3.2. K problematike permutability matíc. IN všeobecný prípad súčin matíc je nekomutatívny, teda ak A A B také že AB A B.A. sú teda vo všeobecnosti definované, AB ¹ B.A. . Ale príklad matice identity E ukazuje, že zameniteľnosť je tiež možná A.E. =E.A. pre akúkoľvek matricu A , Kiežby A.E. A E.A. boli určené.