Zachovanie vášho súkromia je pre nás dôležité. Z tohto dôvodu sme vyvinuli Zásady ochrany osobných údajov, ktoré popisujú, ako používame a uchovávame vaše informácie. Prečítajte si naše postupy ochrany osobných údajov a ak máte nejaké otázky, dajte nám vedieť.

Zhromažďovanie a používanie osobných údajov

Osobné údaje sú údaje, ktoré možno použiť na identifikáciu alebo kontaktovanie konkrétnej osoby.

Keď nás budete kontaktovať, môžete byť kedykoľvek požiadaní o poskytnutie svojich osobných údajov.

Nižšie sú uvedené niektoré príklady typov osobných údajov, ktoré môžeme zhromažďovať, a ako môžeme tieto informácie použiť.

Aké osobné údaje zhromažďujeme:

• Keď odošlete žiadosť na stránke, môžeme zhromažďovať rôzne informácie vrátane vášho mena, telefónneho čísla, e-mailovej adresy atď.

Ako používame vaše osobné údaje:

• Osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, nám umožňujú kontaktovať vás s jedinečnými ponukami, propagačnými akciami a inými udalosťami a pripravovanými udalosťami.
• Z času na čas môžeme použiť vaše osobné údaje na zasielanie dôležitých upozornení a komunikácie.
• Osobné údaje môžeme použiť aj na interné účely, ako je vykonávanie auditov, analýza údajov a rôzne výskumy, aby sme zlepšili služby, ktoré poskytujeme, a poskytli vám odporúčania týkajúce sa našich služieb.
• Ak sa zúčastníte žrebovania o ceny, súťaže alebo podobnej propagačnej akcie, môžeme použiť informácie, ktoré nám poskytnete, na správu takýchto programov.

Sprístupnenie informácií tretím stranám

Informácie, ktoré od vás dostaneme, nezverejňujeme tretím stranám.

Výnimky:

• V prípade potreby – v súlade so zákonom, súdnym konaním, v súdnom konaní a/alebo na základe verejných žiadostí alebo žiadostí vládnych orgánov na území Ruskej federácie – poskytnúť vaše osobné údaje. Môžeme tiež zverejniť informácie o vás, ak zistíme, že takéto zverejnenie je potrebné alebo vhodné na účely bezpečnosti, presadzovania práva alebo na iné účely verejného významu.
• V prípade reorganizácie, zlúčenia alebo predaja môžeme osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, preniesť na príslušnú nástupnícku tretiu stranu.

Ochrana osobných údajov

Prijímame opatrenia – vrátane administratívnych, technických a fyzických – na ochranu vašich osobných údajov pred stratou, krádežou a zneužitím, ako aj neoprávneným prístupom, zverejnením, zmenou a zničením.

Rešpektovanie vášho súkromia na úrovni spoločnosti

Aby sme zaistili bezpečnosť vašich osobných údajov, informujeme našich zamestnancov o štandardoch ochrany osobných údajov a bezpečnosti a prísne presadzujeme postupy ochrany osobných údajov.

Kde X* - jedno z riešení nehomogénneho systému (2) (napríklad (4)), (E-A+A) tvorí jadro (nulový priestor) matice A.

Urobme skeletálny rozklad matrice (E-A+A):

E-A + A=Q·S

Kde Q n×n−r- hodnostná matica (Q) = n-r, S n-r×n- matica poradia (S) = n-r.

Potom (13) môže byť napísané v nasledujúcom tvare:

x=x*+Q·k, ∀ k ∈ Rn-r.

Kde k=Sz.

takže, postup pri hľadaní všeobecného riešenia sústavy lineárnych rovníc využívajúce pseudoinverznú maticu možno znázorniť v tejto forme:

1. Výpočet pseudoinverznej matice A + .
2. Vypočítame konkrétne riešenie nehomogénneho systému lineárnych rovníc (2): X*=A + b.
3. Kontrolujeme kompatibilitu systému. Aby sme to dosiahli, vypočítame A.A. + b. Ak A.A. + b≠b, potom je systém nekonzistentný. V opačnom prípade pokračujeme v postupe.
4. Poďme na to E-A+A.
5. Robí rozklad kostry E-A + A=Q·S.
6. Budovanie riešenia

x=x*+Q·k, ∀ k ∈ Rn-r.

Riešenie systému lineárnych rovníc online

Online kalkulačka vám umožňuje nájsť všeobecné riešenie systému lineárnych rovníc s podrobným vysvetlením.

Sústava m lineárnych rovníc s n neznámymi nazývaný systém formulára

Kde a ij A b i (i=1,…,m; b=1,…,n) sú niektoré známe čísla a x 1,…,x n– neznámy. V označení koeficientov a ij prvý index i označuje číslo rovnice a druhé j– číslo neznámej, pri ktorej tento koeficient stojí.

Koeficienty pre neznáme budeme zapisovať vo forme matice , ktorú zavoláme matice systému.

Čísla na pravej strane rovníc sú b1,...,b m sa volajú voľných členov.

Totalita nčísla c 1,…,c n volal rozhodnutie danej sústavy, ak sa každá rovnica sústavy po dosadení čísel do nej stane rovnosťou c 1,…,c n namiesto zodpovedajúcich neznámych x 1,…,x n.

Našou úlohou bude nájsť riešenia systému. V tomto prípade môžu nastať tri situácie:

Systém lineárnych rovníc, ktorý má aspoň jedno riešenie, sa nazýva kĺb. V opačnom prípade, t.j. ak systém nemá riešenia, tak sa volá nekĺbové.

Pozrime sa na spôsoby, ako nájsť riešenia systému.

MATICOVÁ METÓDA NA RIEŠENIE SYSTÉMOV LINEÁRNYCH ROVNIC

Matice umožňujú stručne zapísať sústavu lineárnych rovníc. Nech je daný systém 3 rovníc s tromi neznámymi:

Zvážte maticu systému a matice stĺpce neznámych a voľných výrazov

Poďme nájsť prácu

tie. ako výsledok súčinu získame ľavé strany rovníc tohto systému. Potom pomocou definície maticovej rovnosti možno tento systém zapísať do tvaru

alebo kratšie A∙X = B.

Tu sú matrice A A B sú známe a matice X neznámy. Je potrebné ho nájsť, pretože... jeho prvky sú riešením tohto systému. Táto rovnica sa nazýva maticová rovnica.

Nech je determinant matice odlišný od nuly | A| ≠ 0. Potom sa maticová rovnica vyrieši nasledovne. Vynásobte obe strany rovnice vľavo maticou A-1, inverzná k matici A: . Pretože A-1 A = E A E∙X = X, potom získame riešenie maticovej rovnice v tvare X = A-1 B .

Všimnite si, že keďže inverznú maticu možno nájsť len pre štvorcové matice, maticová metóda môže riešiť len tie systémy, v ktorých počet rovníc sa zhoduje s počtom neznámych. Maticový záznam systému je však možný aj v prípade, keď sa počet rovníc nerovná počtu neznámych, potom matica A nebude hranatý a preto nie je možné nájsť riešenie systému vo forme X = A-1 B.

Príklady. Riešiť sústavy rovníc.

CRAMEROVO PRAVIDLO

Uvažujme systém 3 lineárnych rovníc s tromi neznámymi:

Determinant tretieho rádu zodpovedajúci matici systému, t.j. zložené z koeficientov pre neznáme,

volal determinant systému.

Zostavme ďalšie tri determinanty takto: nahraďte postupne 1, 2 a 3 stĺpce v determinante D stĺpcom voľných členov

Potom môžeme dokázať nasledujúci výsledok.

Veta (Cramerovo pravidlo). Ak je determinant sústavy Δ ≠ 0, potom uvažovaná sústava má len jedno riešenie a

Dôkaz. Uvažujme teda systém 3 rovníc s tromi neznámymi. Vynásobme 1. rovnicu sústavy algebraickým doplnkom A 11 element 11, 2. rovnica – zap A 21 a 3. – dňa A 31:

Pridajme tieto rovnice:

Pozrime sa na každú zo zátvoriek a pravú stranu tejto rovnice. Podľa vety o expanzii determinantu v prvkoch 1. stĺpca

Podobne možno ukázať, že a .

Nakoniec je ľahké si to všimnúť

Získame teda rovnosť: .

Preto, .

Rovnosti a sú odvodené podobne, z čoho vyplýva výrok vety.

Poznamenávame teda, že ak je determinant systému Δ ≠ 0, potom má systém jedinečné riešenie a naopak. Ak je determinant sústavy rovný nule, tak sústava má buď nekonečný počet riešení, alebo nemá riešenia, t.j. nezlučiteľné.

Príklady. Riešiť sústavu rovníc

GAUSSOVÁ METÓDA

Vyššie diskutované metódy možno použiť na riešenie iba tých systémov, v ktorých sa počet rovníc zhoduje s počtom neznámych a determinant systému musí byť odlišný od nuly. Gaussova metóda je univerzálnejšia a vhodná pre systémy s ľubovoľným počtom rovníc. Spočíva v dôslednom odstraňovaní neznámych z rovníc sústavy.

Zvážte znova systém troch rovníc s tromi neznámymi:

.

Prvú rovnicu necháme nezmenenú a z 2. a 3. vylúčime členy obsahujúce x 1. Ak to chcete urobiť, vydeľte druhú rovnicu o A 21 a vynásobte - A 11 a potom ho pridajte do 1. rovnice. Podobne delíme tretiu rovnicu o A 31 a vynásobte - A 11 a potom ho pridajte k prvému. V dôsledku toho bude mať pôvodný systém podobu:

Teraz z poslednej rovnice vylúčime člen obsahujúci x 2. Ak to chcete urobiť, vydeľte tretiu rovnicu, vynásobte a pridajte s druhou. Potom budeme mať systém rovníc:

Odtiaľto z poslednej rovnice je ľahké nájsť x 3, potom z 2. rovnice x 2 a nakoniec od 1. x 1.

Pri použití Gaussovej metódy je možné rovnice v prípade potreby prehodiť.

Často sa namiesto písania nového systému rovníc obmedzujú na písanie rozšírenej matice systému:

a potom ho pomocou elementárnych transformácií priviesť do trojuholníkového alebo diagonálneho tvaru.

TO elementárne transformácie matice zahŕňajú nasledujúce transformácie:

1. preusporiadanie riadkov alebo stĺpcov;
2. násobenie reťazca číslom iným ako nula;
3. pridanie ďalších riadkov do jedného riadku.

Príklady: Riešiť sústavy rovníc pomocou Gaussovej metódy.

Systém má teda nekonečné množstvo riešení.

• systémy m lineárne rovnice s n neznámy.
  Riešenie sústavy lineárnych rovníc- toto je taká množina čísel ( x 1, x 2, …, x n), keď sa dosadí do každej z rovníc systému, získa sa správna rovnosť.
  Kde a ij, i = 1, ..., m; j = 1, …, n— systémové koeficienty;
  b i, i = 1, …, m- slobodní členovia;
  x j, j = 1, …, n- neznámy.
  Vyššie uvedený systém možno zapísať v maticovej forme: A X = B,
  
  
  
  
  Kde ( A|B) je hlavná matica systému;
  A— rozšírená matica systému;
  X— stĺpec neznámych;
  B— stĺpec voľných členov.
  Ak matica B nie je nulová matica ∅, potom sa tento systém lineárnych rovníc nazýva nehomogénny.
  Ak matica B= ∅, potom sa tento systém lineárnych rovníc nazýva homogénny. Homogénny systém má vždy nulové (triviálne) riešenie: x 1 = x 2 = …, x n = 0.
  Spojená sústava lineárnych rovníc je sústava lineárnych rovníc, ktorá má riešenie.
  Nekonzistentný systém lineárnych rovníc je neriešiteľný systém lineárnych rovníc.
  Určitý systém lineárnych rovníc je systém lineárnych rovníc, ktorý má jedinečné riešenie.
  Neurčitý systém lineárnych rovníc je sústava lineárnych rovníc s nekonečným počtom riešení.
• Sústavy n lineárnych rovníc s n neznámymi
  Ak sa počet neznámych rovná počtu rovníc, potom je matica štvorcová. Determinant matice sa nazýva hlavný determinant systému lineárnych rovníc a označuje sa symbolom Δ.
  Cramerova metóda na riešenie systémov n lineárne rovnice s n neznámy.
  Cramerovo pravidlo.
  Ak sa hlavný determinant systému lineárnych rovníc nerovná nule, potom je systém konzistentný a definovaný a jediné riešenie sa vypočíta pomocou Cramerových vzorcov:
  kde Δ i sú determinanty získané z hlavného determinantu systému Δ nahradením i stĺpca do stĺpca voľných členov. .
• Sústavy m lineárnych rovníc s n neznámymi
  Kroneckerova-Capelliho veta.
  
  
  Aby bol daný systém lineárnych rovníc konzistentný, je potrebné a postačujúce, aby sa hodnosť matice systému rovnala hodnosti rozšírenej matice systému, zvonil(Α) = zvonil(Α|B).
  Ak zvonil(Α) ≠ zvonil(Α|B), potom systém zjavne nemá žiadne riešenia.
  Ak zvonil(Α) = zvonil(Α|B), potom sú možné dva prípady:
  1) poradie (Α) = n(počet neznámych) - riešenie je jedinečné a možno ho získať pomocou Cramerových vzorcov;
  2) hodnosť (Α)< n - riešení je nekonečne veľa.
• Gaussova metóda na riešenie sústav lineárnych rovníc
  
  
  Vytvorme rozšírenú maticu ( A|B) daného systému z koeficientov neznámych a pravých strán.
  Gaussova metóda alebo metóda eliminácie neznámych pozostáva z redukcie rozšírenej matice ( A|B) pomocou elementárnych transformácií nad jeho radmi do diagonálneho tvaru (do horného trojuholníkového tvaru). Ak sa vrátime k sústave rovníc, všetky neznáme sú určené.
  Medzi elementárne transformácie cez reťazce patria:
  1) prehoďte dva riadky;
  2) násobenie reťazca číslom iným ako 0;
  3) pridanie ďalšieho reťazca do reťazca, vynásobeného ľubovoľným číslom;
  4) vyhodenie nulovej čiary.
  Rozšírená matica zmenšená do diagonálneho tvaru zodpovedá lineárnemu systému ekvivalentnému danému, ktorého riešenie nespôsobuje ťažkosti. .
• Systém homogénnych lineárnych rovníc.
  Homogénny systém má tvar:
  
  zodpovedá maticovej rovnici A X = 0.
  1) Homogénny systém je vždy konzistentný, od r r(A) = r(A|B), vždy existuje nulové riešenie (0, 0, …, 0).
  2) Aby homogénna sústava mala nenulové riešenie, je potrebné a postačujúce, že r = r(A)< n , čo je ekvivalentné Δ = 0.
  3) Ak r< n , potom zjavne Δ = 0, potom vznikajú voľné neznáme c 1 , c 2 , …, c n-r, systém má netriviálne riešenia a je ich nekonečne veľa.
  4) Všeobecné riešenie X pri r< n možno zapísať v maticovej forme takto:
  X = c 1 X 1 + c 2 X 2 + … + c n-r X n-r,
  kde sú riešenia X1, X2, ..., Xn-r tvoria základný systém riešení.
  5) Základný systém riešení možno získať zo všeobecného riešenia homogénneho systému:
  
  ,
  ak postupne nastavíme hodnoty parametrov rovné (1, 0, …, 0), (0, 1, …, 0), …, (0, 0, …, 1).
  Rozšírenie všeobecného riešenia z hľadiska základného systému riešení je záznam všeobecného riešenia vo forme lineárnej kombinácie riešení patriacich do fundamentálnej sústavy.
  Veta. Na to, aby sústava lineárnych homogénnych rovníc mala nenulové riešenie, je potrebné a postačujúce, aby Δ ≠ 0.
  Takže, ak je determinant Δ ≠ 0, potom má systém jedinečné riešenie.
  Ak Δ ≠ 0, potom systém lineárnych homogénnych rovníc má nekonečný počet riešení.
  Veta. Na to, aby homogénna sústava mala nenulové riešenie, je potrebné a postačujúce to r(A)< n .
  Dôkaz:
  1) r viac nemôže byť n(poradie matice nepresahuje počet stĺpcov alebo riadkov);
  2) r< n , pretože Ak r = n, potom hlavný determinant systému Δ ≠ 0 a podľa Cramerových vzorcov existuje jedinečné triviálne riešenie x 1 = x 2 = … = x n = 0, čo odporuje podmienke. znamená, r(A)< n .
  Dôsledok. Aby vznikol homogénny systém n lineárne rovnice s n neznáme mali nenulové riešenie, je potrebné a postačujúce, aby Δ = 0.

Riešenie sústav lineárnych algebraických rovníc je jedným z hlavných problémov lineárnej algebry. Tento problém má významný aplikačný význam pri riešení vedeckých a technických problémov, okrem toho je pomocný pri implementácii mnohých algoritmov vo výpočtovej matematike, matematickej fyzike a spracovaní výsledkov experimentálneho výskumu.

Systém lineárnych algebraických rovníc sa nazýva sústava rovníc v tvare: (1)

Kde – neznámy; - slobodní členovia.

Riešenie sústavy rovníc(1) zavolajte na akúkoľvek skupinu čísel, ktoré, keď sú umiestnené v systéme (1) namiesto neznámych prevedie všetky rovnice systému na správne číselné rovnosti.

Sústava rovníc je tzv kĺb, ak má aspoň jedno riešenie, a nekĺbové, ak nemá žiadne riešenia.

Simultánny systém rovníc je tzv istý, ak má jedno jedinečné riešenie a neistý, ak má aspoň dve rôzne riešenia.

Dve sústavy rovníc sa nazývajú ekvivalent alebo ekvivalent, ak majú rovnaký súbor riešení.

Systém (1) sa nazýva homogénne, ak sú voľné podmienky nula:

Homogénny systém je vždy konzistentný – má riešenie (možno nie jediné).

Ak v systéme (1), potom máme systém n lineárne rovnice s n neznámy: kde – neznámy; – koeficienty pre neznáme, - slobodní členovia.

Lineárny systém môže mať jediné riešenie, nekonečne veľa riešení alebo žiadne riešenie.

Uvažujme sústavu dvoch lineárnych rovníc s dvoma neznámymi

Ak má systém jedinečné riešenie;

ak potom systém nemá žiadne riešenia;

ak má systém nekonečný počet riešení.

Príklad. Systém má unikátne riešenie dvojice čísel

Systém má nekonečné množstvo riešení. Napríklad riešenia daného systému sú dvojice čísel atď.

Systém nemá riešenia, pretože rozdiel dvoch čísel nemôže nadobudnúť dve rôzne hodnoty.

Definícia. Determinant druhého rádu nazývaný výraz vo forme:

Determinant je označený symbolom D.

čísla A 11, …, A 22 sa nazývajú prvky determinantu.

Uhlopriečka tvorená prvkami A 11 ; A 22 sa nazývajú Hlavná uhlopriečka tvorená prvkami A 12 ; A 21 − strane

Determinant druhého rádu sa teda rovná rozdielu medzi súčinmi prvkov hlavnej a vedľajšej diagonály.

Všimnite si, že odpoveď je číslo.

Príklad. Vypočítajme determinanty:

Uvažujme sústavu dvoch lineárnych rovníc s dvoma neznámymi: kde X 1, X 2 – neznámy; A 11 , …, A 22 – koeficienty pre neznáme, b 1 , b 2 – voľní členovia.

Ak má systém dvoch rovníc s dvoma neznámymi jedinečné riešenie, možno ho nájsť pomocou determinantov druhého rádu.

Definícia. Nazýva sa determinant tvorený koeficientmi pre neznáme systémový determinant: D = .

Stĺpce determinantu D obsahujú koeficienty, resp X 1 a pri , X 2. Predstavme si dve dodatočný kvalifikátor, ktoré sa získajú z determinantu sústavy nahradením jedného zo stĺpcov stĺpcom voľných členov: D 1 = D 2 = .

Veta 14(Kramer, pre prípad n=2). Ak je determinant D systému odlišný od nuly (D¹0), potom má systém jedinečné riešenie, ktoré nájdeme pomocou vzorcov:

Tieto vzorce sú tzv Cramerove vzorce.

Príklad. Poďme vyriešiť systém pomocou Cramerovho pravidla:

Riešenie. Poďme nájsť čísla

Odpoveď.

Definícia. Determinant tretieho rádu nazývaný výraz vo forme:

Prvky A 11; A 22 ; A 33 – tvorí hlavnú diagonálu.

čísla A 13; A 22 ; A 31 – tvoria bočnú uhlopriečku.

Zápis so znamienkom plus obsahuje: súčin prvkov na hlavnej diagonále, zvyšné dva členy sú súčinom prvkov umiestnených vo vrcholoch trojuholníkov so základňami rovnobežnými s hlavnou uhlopriečkou. Mínusové členy sú vytvorené podľa rovnakej schémy vzhľadom na sekundárnu uhlopriečku.

Príklad. Vypočítajme determinanty:

Uvažujme sústavu troch lineárnych rovníc s tromi neznámymi: kde – neznámy; – koeficienty pre neznáme, - slobodní členovia.

V prípade unikátneho riešenia je možné pomocou determinantov 3. rádu vyriešiť sústavu 3 lineárnych rovníc s tromi neznámymi.

Determinant systému D má tvar:

Uveďme tri ďalšie determinanty:

Veta 15(Kramer, pre prípad n=3). Ak je determinant D systému odlišný od nuly, potom má systém jedinečné riešenie, ktoré nájdeme pomocou Cramerových vzorcov:

Príklad. Vyriešme systém pomocou Cramerovho pravidla.

Riešenie. Poďme nájsť čísla

Použime Cramerove vzorce a nájdime riešenie pôvodného systému:

Odpoveď.

Všimnite si, že Cramerov teorém je použiteľný, keď sa počet rovníc rovná počtu neznámych a keď determinant systému D je nenulový.

Ak sa determinant systému rovná nule, potom v tomto prípade systém nemôže mať žiadne riešenia alebo mať nekonečný počet riešení. Tieto prípady sa skúmajú samostatne.

Všimnime si len jeden prípad. Ak je determinant systému rovný nule (D=0) a aspoň jeden z dodatočných determinantov je odlišný od nuly, potom systém nemá žiadne riešenia, to znamená, že je nekonzistentný.

Cramerovu vetu možno zovšeobecniť na systém n lineárne rovnice s n neznámy: kde – neznámy; – koeficienty pre neznáme, - slobodní členovia.

Ak je determinant sústavy lineárnych rovníc s neznámymi, potom jediné riešenie sústavy nájdeme pomocou Cramerových vzorcov:

Ďalší determinant sa získa z determinantu D, ak obsahuje stĺpec koeficientov pre neznámu x i nahradiť stĺpcom voľných členov.

Všimnite si, že determinanty D, D1, …, D n mať poriadok n.

Gaussova metóda riešenia sústav lineárnych rovníc

Jednou z najbežnejších metód riešenia sústav lineárnych algebraických rovníc je metóda postupnej eliminácie neznámych - Gaussova metóda. Táto metóda je zovšeobecnením substitučnej metódy a pozostáva z postupného odstraňovania neznámych, kým nezostane jedna rovnica s jednou neznámou.

Metóda je založená na niektorých transformáciách systému lineárnych rovníc, ktorých výsledkom je systém ekvivalentný pôvodnému systému. Algoritmus metódy pozostáva z dvoch etáp.

Prvá etapa je tzv priamo vpred Gaussova metóda. Spočíva v postupnom odstraňovaní neznámych z rovníc. Aby ste to dosiahli, v prvom kroku vydeľte prvú rovnicu systému (v opačnom prípade preusporiadajte rovnice systému). Označujú koeficienty výslednej redukovanej rovnice, vynásobia ju koeficientom a odčítajú od druhej rovnice systému, čím ju vylúčia z druhej rovnice (vynulujú koeficient).

Urobte to isté so zvyšnými rovnicami a získajte nový systém, ktorého všetky rovnice, počnúc od druhého, obsahujú koeficienty pre iba nuly. Je zrejmé, že výsledný nový systém bude ekvivalentný pôvodnému systému.

Ak nové koeficienty pre , nie sú všetky rovné nule, možno ich rovnakým spôsobom vylúčiť z tretej a nasledujúcich rovníc. Pokračovaním tejto operácie pre nasledujúce neznáme sa systém dostane do takzvaného trojuholníkového tvaru:

Symboly tu označujú číselné koeficienty a voľné členy, ktoré sa zmenili v dôsledku transformácií.

Z poslednej rovnice systému sú zostávajúce neznáme určené jedinečným spôsobom a potom postupnou substitúciou.

Komentujte. Niekedy sa v dôsledku transformácií v ktorejkoľvek z rovníc všetky koeficienty a pravá strana zmenia na nulu, to znamená, že rovnica sa zmení na totožnosť 0=0. Vylúčením takejto rovnice zo systému sa počet rovníc zníži v porovnaní s počtom neznámych. Takýto systém nemôže mať jediné riešenie.

Ak sa v procese aplikácie Gaussovej metódy akákoľvek rovnica zmení na rovnosť v tvare 0 = 1 (koeficienty pre neznáme sa zmenia na 0 a pravá strana nadobudne nenulovú hodnotu), potom pôvodný systém nemá riešenie, pretože takáto rovnosť je nepravdivá pre všetky neznáme hodnoty.

Uvažujme systém troch lineárnych rovníc s tromi neznámymi:

Kde – neznámy; – koeficienty pre neznáme, - slobodní členovia. , ktoré nahradilo nájdené

Riešenie. Aplikovaním Gaussovej metódy na tento systém získame

Kde zlyhá posledná rovnosť pre akékoľvek hodnoty neznámych, preto systém nemá riešenie.

Odpoveď. Systém nemá riešenia.

Všimnite si, že predtým diskutovaná Cramerova metóda môže byť použitá na riešenie iba tých systémov, v ktorých sa počet rovníc zhoduje s počtom neznámych a determinant systému musí byť nenulový. Gaussova metóda je univerzálnejšia a vhodná pre systémy s ľubovoľným počtom rovníc.

Podobné články