Matematické výrazy a úlohy si vyžadujú množstvo ďalších vedomostí. NOC je jedným z hlavných, ktorý sa často používa v téme, ktorá sa študuje na strednej škole a nie je zvlášť náročná na pochopenie látky, človek, ktorý pozná mocniny a násobilku, nebude mať problém identifikovať potrebné čísla a objaviť výsledok.
Definícia
Spoločný násobok je číslo, ktoré možno úplne rozdeliť na dve čísla súčasne (a a b). Najčastejšie sa toto číslo získa vynásobením pôvodných čísel a a b. Číslo musí byť deliteľné oboma číslami naraz, bez odchýlok.
NOC je krátky názov pre označenie, ktorý sa zbiera z prvých písmen.
Spôsoby, ako získať číslo
Metóda násobenia čísel nie je vždy vhodná na nájdenie LCM, oveľa lepšie sa hodí pre jednoduché jednociferné alebo dvojciferné čísla. Zvykom je rozdelenie na faktory, čím väčšie číslo, tým viac faktorov bude.
Príklad č. 1
Pre najjednoduchší príklad školy zvyčajne používajú prvočísla, jedno- alebo dvojciferné čísla. Napríklad musíte vyriešiť nasledujúcu úlohu, nájsť najmenší spoločný násobok čísel 7 a 3, riešenie je celkom jednoduché, stačí ich vynásobiť. Výsledkom je číslo 21, menšie číslo jednoducho neexistuje.
Príklad č.2
Druhá verzia úlohy je oveľa náročnejšia. Uvádzajú sa čísla 300 a 1260, zistenie LOC je povinné. Na vyriešenie problému sa predpokladajú nasledujúce akcie:
Rozklad prvého a druhého čísla na jednoduché faktory. 300 = 2 2 * 3 * 5 2; 1260 = 2 2 * 3 2 * 5 * 7. Prvá etapa je dokončená.
Druhá fáza zahŕňa prácu s už získanými údajmi. Každé z prijatých čísel sa musí podieľať na výpočte konečného výsledku. Pre každý faktor sa z pôvodných čísel berie najväčší počet výskytov. LCM je všeobecné číslo, preto sa v ňom musia opakovať faktory čísel, každý jeden, aj tie, ktoré sú prítomné v jednom exemplári. Obe začiatočné čísla obsahujú čísla 2, 3 a 5 v rôznych mocninách, 7 je prítomná iba v jednom prípade.
Ak chcete vypočítať konečný výsledok, musíte do rovnice vziať každé číslo s najväčšou mocninou. Zostáva len násobiť a dostať odpoveď, ak je úloha vyplnená správne, zapadá do dvoch krokov bez vysvetlenia:
1) 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 *5 *7.
2) NOC = 6300.
To je celý problém, ak sa pokúsite vypočítať požadované číslo vynásobením, odpoveď určite nebude správna, pretože 300 * 1260 = 378 000.
Vyšetrenie:
6300 / 300 = 21 - správne;
6300 / 1260 = 5 - správne.
Správnosť získaného výsledku sa zistí kontrolou - vydelením LCM oboma počiatočnými číslami, ak je číslo v oboch prípadoch celé číslo, potom je odpoveď správna.
Čo znamená NOC v matematike?
Ako viete, v matematike neexistuje jediná zbytočná funkcia, táto nie je výnimkou. Najbežnejším účelom tohto čísla je zredukovať zlomky na spoločného menovateľa. Čo sa zvyčajne študuje v 5. – 6. ročníku strednej školy. Je to tiež spoločný deliteľ pre všetky násobky, ak sú takéto podmienky v probléme prítomné. Takýto výraz môže nájsť násobok nielen dvoch čísel, ale aj oveľa väčšieho čísla - tri, päť atď. Čím viac čísel, tým viac akcií v úlohe, no náročnosť sa nezvyšuje.
Napríklad pri číslach 250, 600 a 1500 musíte nájsť ich spoločné LCM:
1) 250 = 25 * 10 = 5 2 *5 * 2 = 5 3 * 2 - tento príklad podrobne popisuje faktorizáciu bez redukcie.
2) 600 = 60 * 10 = 3 * 2 3 *5 2 ;
3) 1500 = 15 * 100 = 33 * 5 3 *2 2 ;
Pre zostavenie výrazu je potrebné uviesť všetky faktory, v tomto prípade sú uvedené 2, 5, 3 - pre všetky tieto čísla je potrebné určiť maximálny stupeň.
Pozor: všetky faktory musia byť dovedené do bodu úplného zjednodušenia, ak je to možné, rozložené na úroveň jednotlivých číslic.
Vyšetrenie:
1) 3000 / 250 = 12 - správne;
2) 3000 / 600 = 5 - pravda;
3) 3000 / 1500 = 2 - správne.
Táto metóda nevyžaduje žiadne triky ani schopnosti na úrovni génia, všetko je jednoduché a prehľadné.
Inač
V matematike je veľa vecí spojených, veľa vecí sa dá vyriešiť dvoma alebo viacerými spôsobmi, to isté platí aj o hľadaní najmenšieho spoločného násobku, LCM. V prípade jednoduchých dvojciferných a jednociferných čísel možno použiť nasledujúci spôsob. Zostaví sa tabuľka, do ktorej sa zapíše násobiteľ vertikálne, násobiteľ horizontálne a v pretínajúcich sa bunkách stĺpca sa uvedie súčin. Tabuľku môžete zobraziť pomocou čiary, vziať číslo a zapísať výsledky vynásobenia tohto čísla celými číslami, od 1 do nekonečna, niekedy stačí 3-5 bodov, druhé a ďalšie čísla prechádzajú rovnakým výpočtovým procesom. Všetko sa deje, kým sa nenájde spoločný násobok.
Vzhľadom na čísla 30, 35, 42 musíte nájsť LCM spájajúce všetky čísla:
1) Násobky 30: 60, 90, 120, 150, 180, 210, 250 atď.
2) Násobky 35: 70, 105, 140, 175, 210, 245 atď.
3) Násobky 42: 84, 126, 168, 210, 252 atď.
Je zrejmé, že všetky čísla sú dosť odlišné, jediné spoločné číslo medzi nimi je 210, takže to bude NOC. Medzi procesmi zahrnutými do tohto výpočtu je aj najväčší spoločný deliteľ, ktorý sa počíta podľa podobných princípov a často sa vyskytuje v susedných problémoch. Rozdiel je malý, ale dosť významný, LCM zahŕňa výpočet čísla, ktoré je delené všetkými danými počiatočnými hodnotami a GCD zahŕňa výpočet najväčšej hodnoty, ktorou sú pôvodné čísla delené.
Mnohé prirodzené čísla sú však deliteľné aj inými prirodzenými číslami.
Napríklad:
Číslo 12 je deliteľné 1, 2, 3, 4, 6, 12;
Číslo 36 je deliteľné 1, 2, 3, 4, 6, 12, 18, 36.
Čísla, ktorými je číslo deliteľné celkom (pre 12 sú to 1, 2, 3, 4, 6 a 12), sa nazývajú deliče čísel. Deliteľ prirodzeného čísla a- je prirodzené číslo, ktoré delí dané číslo a bez stopy. Prirodzené číslo, ktoré má viac ako dvoch deliteľov, sa nazýva zložený .
Upozorňujeme, že čísla 12 a 36 majú spoločné faktory. Tieto čísla sú: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Najväčší deliteľ týchto čísel je 12. Spoločný deliteľ týchto dvoch čísel a A b- je to číslo, ktorým sa obe dané čísla bezo zvyšku delia a A b.
Spoločné násobky niekoľko čísel je číslo, ktoré je deliteľné každým z týchto čísel. Napríklad, čísla 9, 18 a 45 majú spoločný násobok 180. Ale aj 90 a 360 sú ich spoločné násobky. Spomedzi všetkých spoločných násobkov je vždy jeden najmenší, v tomto prípade je to 90. Toto číslo sa nazýva najmenšíspoločný násobok (CMM).
LCM je vždy prirodzené číslo, ktoré musí byť väčšie ako najväčšie z čísel, pre ktoré je definované.
Najmenší spoločný násobok (LCM). Vlastnosti.
Komutatívnosť:
Asociativita:
Najmä, ak sú a sú prvočísla, potom:
Najmenší spoločný násobok dvoch celých čísel m A n je deliteľom všetkých ostatných spoločných násobkov m A n. Navyše množina spoločných násobkov m, n sa zhoduje s množinou násobkov LCM( m, n).
Asymptotiku for možno vyjadriť pomocou niektorých číselných teoretických funkcií.
takže, Čebyševova funkcia. a:
Vyplýva to z definície a vlastností Landauovej funkcie g(n).
Čo vyplýva zo zákona o rozdelení prvočísel.
Hľadanie najmenšieho spoločného násobku (LCM).
NOC( a, b) možno vypočítať niekoľkými spôsobmi:
1. Ak je známy najväčší spoločný deliteľ, môžete použiť jeho spojenie s LCM:
2. Nech je známy kanonický rozklad oboch čísel na prvočiniteľa:
Kde p 1 ,...,p k- rôzne prvočísla a d 1,...,d k A e 1 ,...,ek— nezáporné celé čísla (môžu to byť nuly, ak zodpovedajúce prvočíslo nie je v expanzii).
Potom NOC ( a,b) sa vypočíta podľa vzorca:
Inými slovami, rozklad LCM obsahuje všetky prvočísla zahrnuté aspoň v jednom z rozkladov čísel a, b a vezme sa najväčší z dvoch exponentov tohto multiplikátora.
Príklad:
Výpočet najmenšieho spoločného násobku niekoľkých čísel možno zredukovať na niekoľko sekvenčných výpočtov LCM dvoch čísel:
Pravidlo. Ak chcete nájsť LCM série čísel, potrebujete:
- rozložiť čísla na prvočísla;
- preniesť najväčší rozklad (súčin faktorov najväčšieho počtu z daných) na faktory požadovaného súčinu a potom pridať faktory z rozkladu iných čísel, ktoré sa v prvom čísle nevyskytujú alebo sa v ňom vyskytujú menej krát;
— výsledným súčinom prvočiniteľov bude LCM daných čísel.
Akékoľvek dve alebo viac prirodzených čísel má svoj vlastný LCM. Ak čísla nie sú navzájom násobkami alebo nemajú rovnaké faktory v expanzii, potom sa ich LCM rovná súčinu týchto čísel.
Prvočísla čísla 28 (2, 2, 7) sú doplnené koeficientom 3 (číslo 21), výsledný súčin (84) bude najmenšie číslo, ktoré je deliteľné 21 a 28.
Prvočísla najväčšieho čísla 30 sú doplnené o činiteľ 5 čísla 25, výsledný súčin 150 je väčší ako najväčšie číslo 30 a je deliteľný všetkými danými číslami bezo zvyšku. Ide o najmenší možný súčin (150, 250, 300...), ktorý je násobkom všetkých zadaných čísel.
Čísla 2,3,11,37 sú prvočísla, takže ich LCM sa rovná súčinu daných čísel.
Pravidlo. Ak chcete vypočítať LCM prvočísel, musíte všetky tieto čísla vynásobiť.
Ďalšia možnosť:
Ak chcete nájsť najmenší spoločný násobok (LCM) niekoľkých čísel, potrebujete:
1) predstavujú každé číslo ako súčin jeho prvočísel, napríklad:
504 = 2 2 2 3 3 7,
2) napíšte mocniny všetkých prvočiniteľov:
504 = 2 2 2 3 3 7 = 2 3 3 2 7 1,
3) zapíšte si všetkých prvočíselníkov (násobiteľov) každého z týchto čísel;
4) vyberte najväčší stupeň každého z nich, ktorý sa nachádza vo všetkých rozšíreniach týchto čísel;
5) znásobte tieto právomoci.
Príklad. Nájdite LCM čísel: 168, 180 a 3024.
Riešenie. 168 = 2 2 2 3 7 = 2 3 3 1 7 1,
180 = 2 2 3 3 5 = 2 2 3 2 5 1,
3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1.
Zapíšeme najväčšie mocniny všetkých prvočíselných deliteľov a vynásobíme ich:
NOC = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15120.
Školáci dostávajú veľa úloh z matematiky. Medzi nimi sa veľmi často vyskytujú problémy s nasledujúcou formuláciou: existujú dva významy. Ako nájsť najmenší spoločný násobok daných čísel? Je potrebné vedieť vykonávať takéto úlohy, pretože získané zručnosti sa používajú na prácu so zlomkami s rôznymi menovateľmi. V tomto článku sa pozrieme na to, ako nájsť LOC a základné pojmy.
Základné pojmy
Pred nájdením odpovede na otázku, ako nájsť LCM, je potrebné definovať pojem násobok. Najčastejšie znie formulácia tohto pojmu takto: násobok určitej hodnoty A je prirodzené číslo, ktoré bude bezo zvyšku deliteľné číslom A. Takže pre 4 budú násobky 8, 12, 16, 20, a tak ďalej, do požadovaného limitu.
V tomto prípade môže byť počet deliteľov pre konkrétnu hodnotu obmedzený, ale násobkov je nekonečne veľa. Rovnakú hodnotu majú aj prírodné hodnoty. Toto je ukazovateľ, ktorý sa na ne bezo zvyšku delí. Po pochopení konceptu najmenšej hodnoty pre určité ukazovatele prejdime k tomu, ako ju nájsť.
Nájdenie NOC
Najmenší násobok dvoch alebo viacerých exponentov je najmenšie prirodzené číslo, ktoré je úplne deliteľné všetkými špecifikovanými číslami.
Existuje niekoľko spôsobov, ako nájsť takúto hodnotu, zvážte nasledujúce metódy:
- Ak sú čísla malé, napíšte na riadok všetky, ktoré sú ním deliteľné. Pokračujte v tom, kým medzi nimi nenájdete niečo spoločné. Písomne sa označujú písmenom K. Napríklad pre 4 a 3 je najmenší násobok 12.
- Ak sú veľké alebo potrebujete nájsť násobok 3 alebo viacerých hodnôt, mali by ste použiť inú techniku, ktorá zahŕňa rozklad čísel na prvočísla. Najprv rozložte najväčšiu z nich, potom všetky ostatné. Každý z nich má svoj vlastný počet násobiteľov. Ako príklad si rozložme 20 (2*2*5) a 50 (5*5*2). Pri menšom podčiarknite faktory a pridajte ich k najväčšiemu. Výsledkom bude 100, čo bude najmenší spoločný násobok vyššie uvedených čísel.
- Pri hľadaní 3 čísel (16, 24 a 36) sú princípy rovnaké ako pri ostatných dvoch. Rozviňme každý z nich: 16 = 2*2*2*2, 24=2*2*2*3, 36=2*2*3*3. Do rozšírenia najväčšieho neboli zahrnuté len dve dvojky z rozšírenia čísla 16. Sčítame ich a dostaneme 144, čo je najmenší výsledok pre predtým uvedené číselné hodnoty.
Teraz vieme, aká je všeobecná technika na nájdenie najmenšej hodnoty pre dve, tri alebo viac hodnôt. Existujú však aj súkromné metódy, pomáha hľadať NOC, ak predchádzajúce nepomáhajú.
Ako nájsť GCD a NOC.
Súkromné metódy hľadania
Ako pri každej matematickej sekcii, existujú špeciálne prípady nájdenia LCM, ktoré pomáhajú v špecifických situáciách:
- ak je jedno z čísel deliteľné ostatnými bezo zvyšku, potom sa mu rovná najnižší násobok týchto čísel (LCM 60 a 15 je 15);
- relatívne prvočísla nemajú spoločné prvočísla. Ich najmenšia hodnota sa rovná súčinu týchto čísel. Pre čísla 7 a 8 to teda bude 56;
- rovnaké pravidlo platí aj pre iné prípady, vrátane špeciálnych, o ktorých sa možno dočítať v odbornej literatúre. Patria sem aj prípady rozkladu zložených čísel, ktoré sú témou jednotlivých článkov a dokonca aj kandidátskych dizertácií.
Špeciálne prípady sú menej bežné ako štandardné príklady. Ale vďaka nim sa môžete naučiť pracovať so zlomkami rôzneho stupňa zložitosti. To platí najmä pre zlomky, kde sú nerovnaké menovatele.
Niekoľko príkladov
Pozrime sa na niekoľko príkladov, ktoré vám pomôžu pochopiť princíp hľadania najmenšieho násobku:
- Nájdite LOC (35; 40). Najprv rozložíme 35 = 5*7, potom 40 = 5*8. Pridajte 8 k najmenšiemu číslu a získate LOC 280.
- NOC (45; 54). Každý z nich rozložíme: 45 = 3*3*5 a 54 = 3*3*6. Číslo 6 pripočítame k 45. Dostaneme LCM rovné 270.
- No a posledný príklad. Existuje 5 a 4. Neexistujú žiadne prvonásobky, takže najmenší spoločný násobok bude v tomto prípade ich súčin, ktorý sa rovná 20.
Vďaka príkladom môžete pochopiť, ako sa NOC nachádza, aké sú nuansy a aký je význam takýchto manipulácií.
Nájsť NOC je oveľa jednoduchšie, ako by sa na prvý pohľad mohlo zdať. Na tento účel sa používa jednoduché rozšírenie a násobenie jednoduchých hodnôt navzájom. Schopnosť pracovať s týmto úsekom matematiky pomáha pri ďalšom štúdiu matematických tém, najmä zlomkov rôzneho stupňa zložitosti.
Nezabudnite pravidelne riešiť príklady rôznymi metódami; to rozvíja váš logický aparát a umožňuje vám zapamätať si množstvo výrazov. Naučte sa nájsť takýto exponent a zvyšok matematických sekcií vám pôjde dobre. Šťastné učenie matematiky!
Video
Toto video vám pomôže pochopiť a zapamätať si, ako nájsť najmenší spoločný násobok.
Nižšie uvedený materiál je logickým pokračovaním teórie z článku s názvom LCM - najmenší spoločný násobok, definícia, príklady, spojenie medzi LCM a GCD. Tu budeme hovoriť o nájdenie najmenšieho spoločného násobku (LCM), pričom osobitnú pozornosť budeme venovať riešeniu príkladov. Najprv si ukážeme, ako sa vypočíta LCM dvoch čísel pomocou GCD týchto čísel. Ďalej sa pozrieme na nájdenie najmenšieho spoločného násobku rozkladom čísel na prvočísla. Potom sa zameriame na nájdenie LCM troch alebo viacerých čísel a venujeme pozornosť aj výpočtu LCM záporných čísel.
Navigácia na stránke.
Výpočet najmenšieho spoločného násobku (LCM) cez GCD
Jeden spôsob, ako nájsť najmenší spoločný násobok, je založený na vzťahu medzi LCM a GCD. Existujúce spojenie medzi LCM a GCD nám umožňuje vypočítať najmenší spoločný násobok dvoch kladných celých čísel prostredníctvom známeho najväčšieho spoločného deliteľa. Zodpovedajúci vzorec je LCM(a, b)=a b:GCD(a, b) . Pozrime sa na príklady nájdenia LCM pomocou daného vzorca.
Príklad.
Nájdite najmenší spoločný násobok dvoch čísel 126 a 70.
Riešenie.
V tomto príklade a=126, b=70. Použime spojenie medzi LCM a GCD, vyjadrené vzorcom LCM(a, b)=a b:GCD(a, b). To znamená, že najprv musíme nájsť najväčšieho spoločného deliteľa čísel 70 a 126, potom môžeme pomocou napísaného vzorca vypočítať LCM týchto čísel.
Nájdite GCD(126, 70) pomocou euklidovského algoritmu: 126=70·1+56, 70=56·1+14, 56=14·4, teda GCD(126, 70)=14.
Teraz nájdeme požadovaný najmenší spoločný násobok: GCD(126; 70)=126·70:GCD(126; 70)= 126,70:14=630.
odpoveď:
LCM(126,70)=630.
Príklad.
Čomu sa rovná LCM(68, 34)?
Riešenie.
Pretože 68 je deliteľné 34, potom GCD(68, 34)=34. Teraz vypočítame najmenší spoločný násobok: GCD(68; 34)=68·34:GCD(68; 34)= 68-34:34=68.
odpoveď:
LCM(68,34)=68.
Všimnite si, že predchádzajúci príklad vyhovuje nasledujúcemu pravidlu na nájdenie LCM pre kladné celé čísla a a b: ak je číslo a deliteľné b, potom najmenší spoločný násobok týchto čísel je a.
Nájdenie LCM rozdelením čísel na prvočísla
Ďalší spôsob, ako nájsť najmenší spoločný násobok, je založený na rozklade čísel na prvočísla. Ak poskladáte súčin zo všetkých prvočísel daných čísel a potom z tohto súčinu vylúčite všetky spoločné prvočísla prítomné v rozkladoch daných čísel, výsledný súčin sa bude rovnať najmenšiemu spoločnému násobku daných čísel .
Uvedené pravidlo pre nájdenie LCM vyplýva z rovnosti LCM(a, b)=a b:GCD(a, b). Súčin čísel a a b sa skutočne rovná súčinu všetkých faktorov podieľajúcich sa na rozširovaní čísel a a b. Na druhej strane, GCD(a, b) sa rovná súčinu všetkých prvočiniteľov súčasne prítomných v expanziách čísel a a b (ako je popísané v časti o hľadaní GCD pomocou rozšírenia čísel na prvočísla).
Uveďme si príklad. Dajte nám vedieť, že 75=3·5·5 a 210=2·3·5·7. Zostavme súčin zo všetkých faktorov týchto expanzií: 2·3·3·5·5·5·7 . Teraz z tohto súčinu vylúčime všetky faktory prítomné v rozšírení čísla 75 aj rozšírení čísla 210 (tieto faktory sú 3 a 5), potom bude súčin mať tvar 2·3·5·5·7 . Hodnota tohto súčinu sa rovná najmenšiemu spoločnému násobku 75 a 210, tj. NOC(75; 210)= 2·3·5·5·7=1 050.
Príklad.
Rozložte čísla 441 a 700 na prvočísla a nájdite najmenší spoločný násobok týchto čísel.
Riešenie.
Rozložme čísla 441 a 700 do prvočísel:
Dostaneme 441=3·3·7·7 a 700=2·2·5·5·7.
Teraz vytvorme súčin zo všetkých faktorov zahrnutých do rozšírenia týchto čísel: 2·2·3·3·5·5·7·7·7. Vylúčme z tohto produktu všetky faktory, ktoré sú súčasne prítomné v oboch expanziách (existuje len jeden taký faktor - toto je číslo 7): 2·2·3·3·5·5·7·7. teda LCM(441; 700)=2·2·3·3·5·5·7·7=44 100.
odpoveď:
NOC(441,700)= 44100.
Pravidlo na nájdenie LCM pomocou rozkladu čísel na prvočísla možno formulovať trochu inak. Ak sa chýbajúce faktory z rozšírenia čísla b pripočítajú k faktorom z rozšírenia čísla a, potom sa hodnota výsledného súčinu bude rovnať najmenšiemu spoločnému násobku čísel a a b.
Vezmime si napríklad rovnaké čísla 75 a 210, ich rozklad na prvočiniteľ je nasledovný: 75=3·5·5 a 210=2·3·5·7. K faktorom 3, 5 a 5 z rozšírenia čísla 75 pripočítame chýbajúce faktory 2 a 7 z rozšírenia čísla 210, dostaneme súčin 2·3·5·5·7, ktorého hodnota je sa rovná LCM(75, 210).
Príklad.
Nájdite najmenší spoločný násobok 84 a 648.
Riešenie.
Najprv získame rozklady čísel 84 a 648 na prvočiniteľa. Vyzerajú ako 84=2·2·3·7 a 648=2·2·2·3·3·3·3. K faktorom 2, 2, 3 a 7 z rozšírenia čísla 84 pripočítame chýbajúce faktory 2, 3, 3 a 3 z rozšírenia čísla 648, dostaneme súčin 2 2 2 3 3 3 3 7, čo sa rovná 4 536 . Požadovaný najmenší spoločný násobok 84 a 648 je teda 4 536.
odpoveď:
LCM(84,648)=4,536.
Nájdenie LCM troch alebo viacerých čísel
Najmenší spoločný násobok troch alebo viacerých čísel možno nájsť postupným nájdením LCM dvoch čísel. Pripomeňme si zodpovedajúcu vetu, ktorá umožňuje nájsť LCM troch alebo viacerých čísel.
Veta.
Nech sú dané kladné celé čísla a 1 , a 2 , …, a k, najmenší spoločný násobok m k týchto čísel nájdeme postupným výpočtom m 2 = LCM(a 1 , a 2) , m 3 = LCM(m 2, a 3), …, mk = LCM(mk-1, ak).
Uvažujme o aplikácii tejto vety na príklade hľadania najmenšieho spoločného násobku štyroch čísel.
Príklad.
Nájdite LCM štyroch čísel 140, 9, 54 a 250.
Riešenie.
V tomto príklade a 1 = 140, a 2 = 9, a 3 = 54, a 4 = 250.
Najprv nájdeme m2 = LOC(a1, a2) = LOC(140; 9). Aby sme to dosiahli, pomocou euklidovského algoritmu určíme GCD(140, 9), máme 140=9·15+5, 9=5·1+4, 5=4·1+1, 4=1·4, teda GCD(140, 9)=1, odkiaľ GCD(140; 9)=140 9:GCD(140; 9)= 140.9:1=1260. To znamená, m2 = 1 260.
Teraz nájdeme m3 = LOC (m2, a3) = LOC (1 260, 54). Vypočítajme to pomocou GCD(1 260, 54), ktoré určíme aj pomocou euklidovského algoritmu: 1 260=54·23+18, 54=18·3. Potom gcd(1,260, 54)=18, z čoho gcd(1,260,54)= 1,260·54:gcd(1,260, 54)= 1,260·54:18=3,780. To znamená, m3 = 3 780.
Zostáva len nájsť m4 = LOC(m3, a4) = LOC(3 780, 250). Aby sme to dosiahli, nájdeme GCD(3,780, 250) pomocou euklidovského algoritmu: 3,780=250·15+30, 250=30·8+10, 30=10·3. Preto GCM(3,780, 250)=10, odkiaľ GCM(3,780, 250)= 3 780 250: GCD(3 780, 250)= 3 780 · 250 : 10 = 94 500. To znamená, m4 = 94 500.
Takže najmenší spoločný násobok pôvodných štyroch čísel je 94 500.
odpoveď:
LCM(140, 9, 54, 250) = 94 500.
V mnohých prípadoch je vhodné nájsť najmenší spoločný násobok troch alebo viacerých čísel pomocou prvočíselných rozkladov daných čísel. V tomto prípade by ste mali dodržiavať nasledujúce pravidlo. Najmenší spoločný násobok viacerých čísel sa rovná súčinu, ktorý sa skladá takto: chýbajúce činitele z rozšírenia druhého čísla sa pripočítajú ku všetkým súčiniteľom z rozšírenia prvého čísla, chýbajúce činitele z rozšírenia prvého čísla tretie číslo sa pripočíta k výsledným faktorom atď.
Pozrime sa na príklad hľadania najmenšieho spoločného násobku pomocou prvočíselného rozkladu.
Príklad.
Nájdite najmenší spoločný násobok piatich čísel 84, 6, 48, 7, 143.
Riešenie.
Najprv získame rozklady týchto čísel na prvočísla: 84=2·2·3·7, 6=2·3, 48=2·2·2·2·3, 7 (7 je prvočíslo, zhoduje sa s jej rozkladom na prvočiniteľa) a 143=11·13.
Ak chcete nájsť LCM týchto čísel, k faktorom prvého čísla 84 (sú to 2, 2, 3 a 7), musíte pridať chýbajúce faktory z rozšírenia druhého čísla 6. Rozklad čísla 6 neobsahuje chýbajúce faktory, keďže 2 aj 3 sú už prítomné v rozklade prvého čísla 84. Ďalej k faktorom 2, 2, 3 a 7 pridáme chýbajúce faktory 2 a 2 z rozšírenia tretieho čísla 48, dostaneme množinu faktorov 2, 2, 2, 2, 3 a 7. V ďalšom kroku nebude potrebné do tejto sady pridávať násobiče, keďže 7 je v nej už obsiahnutá. Nakoniec k faktorom 2, 2, 2, 2, 3 a 7 pridáme chýbajúce faktory 11 a 13 z rozšírenia čísla 143. Dostaneme súčin 2·2·2·2·3·7·11·13, čo sa rovná 48 048.
Pozrime sa na tri spôsoby, ako nájsť najmenší spoločný násobok.
Zisťovanie faktorizáciou
Prvým spôsobom je nájsť najmenší spoločný násobok rozdelením daných čísel na prvočísla.
Povedzme, že potrebujeme nájsť LCM čísel: 99, 30 a 28. Aby sme to urobili, rozložme každé z týchto čísel do prvočíselných faktorov:
Aby bolo požadované číslo deliteľné 99, 30 a 28, je potrebné a postačujúce, aby zahŕňalo všetky prvočísla týchto deliteľov. Aby sme to dosiahli, musíme zobrať všetky prvočísla týchto čísel na najväčšiu možnú silu a vynásobiť ich:
2 2 3 2 5 7 11 = 13 860
LCM (99, 30, 28) = 13 860. Žiadne iné číslo menšie ako 13 860 nie je deliteľné 99, 30 alebo 28.
Ak chcete nájsť najmenší spoločný násobok daných čísel, započítajte ich do ich prvočísel, potom zoberte každý prvočiniteľ s najväčším exponentom, v ktorom sa vyskytuje, a vynásobte tieto faktory spolu.
Keďže relatívne prvočísla nemajú spoločné prvočísla, ich najmenší spoločný násobok sa rovná súčinu týchto čísel. Napríklad tri čísla: 20, 49 a 33 sú relatívne prvočísla. Preto
LCM (20, 49, 33) = 204933 = 32,340.
To isté treba urobiť pri hľadaní najmenšieho spoločného násobku rôznych prvočísel. Napríklad LCM (3, 7, 11) = 3 7 11 = 231.
Hľadanie výberom
Druhý spôsob je nájsť najmenší spoločný násobok výberom.
Príklad 1. Keď je najväčšie z daných čísel delené iným daným číslom, potom sa LCM týchto čísel rovná najväčšiemu z nich. Napríklad zadané štyri čísla: 60, 30, 10 a 6. Každé z nich je deliteľné 60, preto:
LCM(60, 30, 10, 6) = 60
V ostatných prípadoch sa na nájdenie najmenšieho spoločného násobku používa nasledujúci postup:
- Určte najväčšie číslo z daných čísel.
- Ďalej nájdeme čísla, ktoré sú násobkami najväčšieho čísla tak, že ho vynásobíme prirodzenými číslami v rastúcom poradí a skontrolujeme, či je výsledný súčin deliteľný zvyšnými danými číslami.
Príklad 2. Dané tri čísla 24, 3 a 18. Určíme najväčšie z nich – toto je číslo 24. Ďalej nájdeme čísla, ktoré sú násobkami 24, pričom skontrolujeme, či je každé z nich deliteľné 18 a 3:
24 · 1 = 24 - deliteľné 3, ale nie deliteľné 18.
24 · 2 = 48 - deliteľné 3, ale nie deliteľné 18.
24 · 3 = 72 – deliteľné 3 a 18.
LCM (24, 3, 18) = 72.
Hľadanie postupným hľadaním LCM
Treťou metódou je nájsť najmenší spoločný násobok postupným hľadaním LCM.
LCM dvoch daných čísel sa rovná súčinu týchto čísel vydelenému ich najväčším spoločným deliteľom.
Príklad 1. Nájdite LCM dvoch daných čísel: 12 a 8. Určte ich najväčšieho spoločného deliteľa: GCD (12, 8) = 4. Vynásobte tieto čísla:
Produkt delíme podľa ich gcd:
LCM (12, 8) = 24.
Ak chcete nájsť LCM troch alebo viacerých čísel, použite nasledujúci postup:
- Najprv nájdite LCM ľubovoľných dvoch z týchto čísel.
- Potom LCM nájdeného najmenšieho spoločného násobku a tretieho daného čísla.
- Potom LCM výsledného najmenšieho spoločného násobku a štvrtého čísla atď.
- Hľadanie LCM teda pokračuje, pokiaľ existujú čísla.
Príklad 2. Nájdite LCM troch daných čísel: 12, 8 a 9. Už sme našli LCM čísel 12 a 8 v predchádzajúcom príklade (toto je číslo 24). Zostáva nájsť najmenší spoločný násobok čísla 24 a tretieho daného čísla - 9. Určte ich najväčšieho spoločného deliteľa: GCD (24, 9) = 3. Vynásobte LCM číslom 9:
Produkt delíme podľa ich gcd:
LCM (12, 8, 9) = 72.
Podobné články
