ja Množina je súbor niektorých predmetov alebo čísel zložených podľa nejakých všeobecných vlastností alebo zákonov (veľa písmen na stránke, veľa vlastných zlomkov s menovateľom 5 , veľa hviezd na oblohe atď.).

Ak chcete napísať množinu, použite zložené zátvorky: «{ "- súprava sa otvorí; "}" — mnohé sa zatvárajú. A samotná súprava sa nazýva veľkými latinskými písmenami: A, B, C a tak ďalej.

Príklady.

1 . Sada zápisov A, pozostávajúci zo všetkých samohlások v slove "matematika".

Riešenie. A = (a, e, i). Vidíte: napriek tomu, že v slov "matematika" sú tam tri písmená "A"- v nahrávke nie sú povolené viacnásobné opakovania, a písm "A" sa zaznamenáva iba raz. Kopa A pozostáva z troch prvkov.

2. Zapíšte množinu všetkých vlastných zlomkov s menovateľom 5 .

Riešenie. Pamätajme: ten správny sa volá spoločný zlomok, ktorého čitateľ je menší ako menovateľ. Označme podľa IN požadovanú sadu. potom:

Kopa IN pozostáva zo štyroch prvkov.

II. Množiny pozostávajú z prvkov a môžu byť konečné alebo nekonečné. Množina, ktorá neobsahuje jediný prvok, sa nazýva prázdna množina a označuje sa Ø.

III. Kopa IN nazývaná podmnožina množiny A, ak sú všetky prvky súpravy IN sú prvky súpravy A.

3. Ktorá z dvoch daných množín IN A S TO,

Ak IN={-1; 3; 4}, C={0; 3; 4; 5), K={0; 2; 3; 4; 5; 6} ?

Riešenie. Všetky prvky súpravy S sú tiež prvkami súpravy TO, teda veľa S je podmnožinou množiny TO. Zapíšte si:

IV. Priesečník množín A A IN je množina, ktorej prvky patria do množiny A a mnoho IN.

4. Ukážte priesečník dvoch množín M A F pomocou Eulerových kruhov.

Riešenie.

Pojem množina je jedným zo základných matematických pojmov. Je to nedefinovaný pojem a možno ho opísať alebo vysvetliť iba na príkladoch. Môžeme teda hovoriť o množine písmen latinskej abecedy, o množine všetkých kníh v danej knižnici, o množine žiakov v danej skupine, o množine všetkých bodov na danom riadku. Ak chcete definovať množinu, stačí uviesť prvky alebo špecifikovať charakteristický vlastnosti prvkov, t.j. vlastnosť, ktorú vlastnia všetky prvky danej množiny a len oni.

Definícia 1.1. Položky (predmety), ktoré tvoria určitú množinu, sa nazývajú jej prvkov.

Je obvyklé označovať súpravu veľkými latinskými písmenami a prvky súpravy malými písmenami. Čo X je prvkom súpravy A, sa píše takto: xA(X patrí A). Typ nahrávania xA(xA) znamená to X nepatrí A, t.j. nie je súčasťou súpravy A.

Prvky množiny sú zvyčajne napísané v zložených zátvorkách. Napríklad ak A – súbor pozostávajúci z prvých troch písmen latinskej abecedy, potom sa píše takto: A={a,b,c} .

Množina môže obsahovať nekonečný počet prvkov (množina bodov na priamke, množina prirodzených čísel), konečný počet prvkov (množina školákov v triede) alebo nemusí obsahovať vôbec žiadny prvok (množina študentov v prázdnej triede).

Definícia 1.2. Volá sa množina, ktorá neobsahuje ani jeden prvok prázdna sada, označené Ø.

Definícia 1.3. Kopa A volal podmnožina súpravy B, ak každý prvok množiny A patrí mnohým B. Toto je uvedené A B(A – podmnožina B).

Prázdna množina sa považuje za podmnožinu akejkoľvek množiny. Ak súprava A nie je podmnožinou množiny B, potom píšu A B.

Definícia 1.4. Dve sady A A B volal rovný, ak sú navzájom podmnožinami. Vymenovať A = B. To znamená, že ak xA, To x B a naopak, t.j. ak a , tak .

Definícia 1.5.Križovatka súpravy A A B zavolajte súpravu M, ktorého prvky sú súčasne prvkami oboch množín A A B. Vymenovať M=A B. Tie. xA B, To xA A x B.

Zapíšte si A B={x | xA A x B). (Namiesto únie a - znaky , &).

Definícia 1.6. Ak A B=Ø, potom hovoria, že súpravy A A B sa nepretínajú.

Podobne môžete definovať priesečník 3, 4 a ľubovoľného konečného počtu množín.

Definícia 1.7.asociácie súpravy A A B zavolajte súpravu M, ktorého prvky patria aspoň do jednej z týchto množín Označ M=A B. To. A B={x | xA alebo x B). (Namiesto únie alebo - je umiestnená značka).

Sada je definovaná podobne A 1 A 2 … A n . Skladá sa z prvkov, z ktorých každý patrí aspoň do jednej zo sád A 1,A 2,…,A n(a možno aj niekoľko naraz) .

Príklad 1.8. 1) ak A=(1;2;3;4;5) a B=(1;3;5;7;9), potom A B=(1;3;5) a A B={1;2;3;4;5;7;9}.

2) ak A=(2;4) a B=(3;7), teda A B=Ø a A B={2;3;4;7}.

3) ak A=(letné mesiace) a B=(mesiace s 30 dňami), potom A B=(jún) a A B=(apríl; jún; júl; august; september; november).

Definícia 1.9.Prirodzené volajú sa čísla 1,2,3,4,..., používajú sa na počítanie predmetov.

Množinu prirodzených čísel označíme N, N=(1;2;3;4;…;n;…). Je nekonečný, má najmenší prvok 1 a nemá najväčší prvok.

Príklad 1.10. A– množina prirodzených deliteľov čísla 40. Vymenuj prvky tejto množiny. Je pravda, že 5 A, 10 A, -8 A, 4 A, 0 A, 0 A.

A= (1,2,4,5,8,10,20,40). (V,V,N,N,N,V)

Príklad 1.11. Uveďte prvky množín definované charakteristickými vlastnosťami.

Tu prichádza do popredia práve to, čo sme doteraz zásadne nechávali bokom, totiž otázku, ako tieto množiny odlišujú rádové vzťahy existujúce v množinách rovnakej mohutnosti. Koniec koncov, tie mapovania typu one-to-one všeobecný pohľad, o ktorom sme doteraz predpokladali, že všetky tieto vzťahy porušil – stačí si spomenúť na mapovanie štvorca na úsečku! Chcel by som osobitne zdôrazniť dôležitosť tohto druhého oddielu náuky o množinách; toto učenie predsa nemôže mať za cieľ eliminovať zavádzaním nových, viac všeobecné pojmy tie rozdiely, ktoré sa už dlho používajú v matematike; skôr naopak, toto učenie môže a má slúžiť na rozpoznanie týchto rozdielov v ich najhlbšej podstate pomocou všeobecných pojmov.

Ordinálne typy spočítateľných množín.

Naším cieľom je teraz na určitých dobre známych príkladoch ilustrovať koncepciu rôznych možných usporiadaní prvkov množiny v určitom poradí. Ak začneme s počítateľnými množinami, tak už poznáme tri úplne odlišné príklady usporiadania prvkov v takýchto množinách, ktoré sa od seba tak líšia, že rovnosť ich mohutností tvorila, ako sme videli, zvláštny a v žiadnom prípade nie samozrejmý teorém; sú to nasledujúce sady:

1) množina prirodzených čísel;

2) množina všetkých (záporných a kladných) celých čísel;

3) súbor všetkých racionálne čísla a množina všetkých algebraických čísel.

Usporiadanie prvkov vo všetkých týchto troch súboroch má jeden všeobecný majetok, vďaka čomu sa nazýva lineárne poradie v hojnosti. Táto vlastnosť je nasledovná: z každých dvoch prvkov vždy jeden predchádza druhému, t. j. vyjadrené algebraicky, vždy je známe, ktorý prvok je menší a ktorý väčší, a ďalej, ak z troch prvkov a, b, c je prvok a predchádza prvok b a prvok b predchádza prvok c, potom a vždy predchádza prvok c (ak , potom

Ale na druhej strane v uvažovaných príkladoch sú také charakteristické rozdiely: v prvej množine je prvý prvok (nula), ktorý predchádza všetkým ostatným, ale neexistuje posledný prvok, ktorý by nasledoval po všetkých ostatných; druhá množina nemá ani prvý, ani posledný prvok. Ale obe tieto množiny majú spoločné to, že za každým prvkom bezprostredne nasleduje určitý najbližší prvok a pred každým prvkom bezprostredne predchádza určitý iný prvok.

Na rozdiel od toho tretia množina má vždy, ako sme videli vyššie, medzi každými dvoma prvkami nekonečne veľa iných prvkov; Takúto vlastnosť množiny sme označili pojmom „všade hustá množina“, takže najmä medzi všetkými racionálnymi alebo algebraickými číslami ležiacimi medzi a a b, okrem týchto samotných čísel, nie je ani najmenšie, ani najväčšie číslo. Spôsoby usporiadania prvkov v týchto troch množinách, teda ich radové typy, sa teda navzájom líšia, hoci samotné množiny majú rovnaké kardinality. Dá sa s tým spojiť – a to vlastne robia predstavitelia teórie množín – otázka všetkých všeobecne možných ordinálnych typov spočítateľných množín.

Kontinuita kontinua. Prejdime teraz k úvahe o sústavách kontinua; tu poznáme jednu množinu s lineárnym usporiadaním, totiž kontinuum všetkých reálne čísla. Ale spolu s tým, v dvojrozmerných a viacrozmerných prípadoch, máme príklady množín s usporiadaním prvkov odlišným od toho, čo sme nazývali „lineárne“. Čiže v prípade množiny, aby sa určilo vzájomného usporiadania sú potrebné dva body, nie jeden, ale dva vzťahy typu nerovností.

Tu je najdôležitejšie analyzovať koncept kontinuity jednorozmerného kontinua; objav, že tento koncept je v skutočnosti založený iba na jednoduchých vlastnostiach usporiadania, ktoré sú vlastné množine, je prvou pozoruhodnou zásluhou učenia o množinách pri objasňovaní základných matematických pojmov, konkrétne sa ukazuje, že všetky vlastnosti kmeňa kontinua zo skutočnosti, že táto je lineárna a usporiadaná množina s týmito dvoma vlastnosťami:

1. Ak množinu rozdelíme na ľubovoľné dve časti A, B, ale tak, že každý prvok patrí do ktorejkoľvek z týchto častí a že všetky prvky zahrnuté v časti A predchádzajú všetkým prvkom časti B, potom v takom prípade buď A má posledný prvok alebo B má prvý prvok.

Keď si pripomenieme Dedekindovu definíciu iracionálnych čísel, môžeme túto vlastnosť vyjadriť takto: každá „sekcia“ v našej množine je vytvorená jedným z jej prvkov.

2. Medzi ľubovoľnými dvoma prvkami množiny je nekonečne veľa ďalších prvkov.

Túto druhú vlastnosť má nielen kontinuum, ale aj spočítateľná množina všetkých racionálnych čísel; prvá vlastnosť označuje významný rozdiel medzi týmito usporiadanými súbormi. Každá lineárne usporiadaná množina, ktorá má obe tieto vlastnosti, sa v teórii množín nazýva spojitá z toho dôvodu, že pre ňu je skutočne možné dokázať všetky vety, ktoré platia pre kontinuum vďaka jej spojitosti.

Chcem tiež zdôrazniť, že tieto vlastnosti kontinuity môžu byť formulované aj trochu inak, a to na základe takzvaného „základného“ Cantorovho radu. Hlavný rad je taká spočítateľná postupnosť prvkov danej množiny tak, že v samotnej množine buď alebo niektorý prvok a z množiny sa nazýva limitný prvok hlavného radu, ak - v prvom prípade - v hlavnom rade existujú vždy prvky väčšie ako ktorýkoľvek prvok ležiaci v danej množine až po a, ale neexistujú žiadne prvky, bblpih aspoň jeden prvok nachádzajúci sa za limitným prvkom v druhom prípade je určený podobne. Ak má množina vlastnosť, že každý základný rad zahrnutý v jej zložení zodpovedá limitnému prvku, potom sa množina nazýva uzavretá, ak je naopak každý prvok množiny limitným prvkom nejakého základného radu, ktorý je od nej izolovaný; potom sa súbor nazýva hustý. Spojitosť množín, ktoré majú silu kontinua, spočíva v podstate v kombinácii oboch týchto vlastností.

Popri tom vám tu chcem pripomenúť, že keď sme hovorili o diferenciálnom a integrálnom počte, hovorili sme aj o inom kontinuu – o kontinuu

Veronese, ktorý vzniká z bežného kontinua pridávaním skutočne nekonečne malých množstiev. Aj keď sa takto získa aj lineárne usporiadaná množina, toto kontinuum má, samozrejme, úplne iný typ usporiadania ako bežné kontinuum, tu neplatí veta, že každý základný rad má limitujúci prvok.

Množina je základným pojmom v matematike, a preto nie je definovaná prostredníctvom iných.

Súbor sa zvyčajne chápe ako súbor predmetov spojených spoločnou charakteristikou. Môžeme teda hovoriť o mnohých študentoch v skupine, mnohých písmenách ruskej abecedy atď. V každodennom živote sa namiesto slova „set“ používajú slová „set“, „kolekcia“, „skupina“ atď. Sady sa zvyčajne označujú veľkými písmenami latinskej abecedy: A, IN, S, ..., Z.

Pre číselné sady V matematike sa používajú špeciálne notácie:

N– množina prirodzených čísel;

N 0 – množina nezáporných celých čísel;

Z– množina celých čísel;

Q– množina racionálnych čísel;

R– množina reálnych čísel.

Predmety, z ktorých je zostava vytvorená, sa nazývajú jej prvky. Napríklad september je prvkom množiny mesiacov v roku, číslo 5 je prvkom množiny prirodzených čísel. Prvky množiny sa zvyčajne označujú malými písmenami latinskej abecedy. Prvky množiny môžu byť množiny. To sa dá povedať o mnohých skupinách v ústave. Prvky tejto množiny sú skupiny, ktoré sú zase množinami študentov.

Spojenie medzi množinou a jej prvkom je vyjadrené slovom „patrí“. Výrok „Prvok A patrí mnohým A“ sa píše takto: A  A a tento záznam možno čítať inak: “ A– prvok súpravy A", "kopa A obsahuje prvok A" Výrok „Prvok A nepatrí do sady A“ sa píše takto: A  A(inak: " A nie je súčasťou súpravy A", "kopa A neobsahuje prvok A»).

Ak je v každodennej reči slovo „súbor“ spojené s veľkým počtom predmetov, potom sa to v matematike nevyžaduje. Sada môže obsahovať jeden prvok alebo nemôže obsahovať žiadne prvky.

Množina, ktorá neobsahuje ani jeden prvok, sa nazýva prázdna a označuje sa symbolom . Je len jedna prázdna sada. Príklady prázdnej množiny sú množina ľudí na Slnku, množina prirodzených koreňov rovnice X+ 8 = 0.

Množiny môžu byť konečné alebo nekonečné.

Množina sa nazýva konečná, ak existuje prirodzené číslo P, takže všetky prvky súpravy môžu byť očíslované od 1 do P. inak sa množina nazýva nekonečná. Príkladom konečnej množiny je množina číslic a príkladom nekonečnej množiny je množina prirodzených čísel.

§ 2. Metódy definovania množín

Množina sa považuje za danú, ak je možné o akomkoľvek predmete povedať, či do tejto množiny patrí alebo nepatrí.

Množinu je možné definovať zoznamom všetkých jej prvkov. Záznam S= (a, b, c, d) znamená, že množina S obsahuje prvky a, b, c, d.

Každý prvok sa v súprave vyskytuje iba raz. Napríklad veľa rôznych písmen v slove „matematika“ bude napísaných takto: (m, a, t, e, i, k).

Táto metóda je použiteľná pre konečné množiny, ktoré obsahujú malý počet prvkov.

Niekedy pomocou túto metódu, môžete tiež nastaviť konečná množina. Napríklad množina prirodzených čísel môže byť reprezentovaná ako: N= (1, 2, 3, 4, ...). Tento spôsob nahrávania je možný len vtedy, keď je z nahratej časti zostavy zrejmé, čo sa skrýva pod elipsou.

Ďalší spôsob, ako definovať množiny, je nasledujúci: uveďte charakteristickú vlastnosť jej prvkov. Charakteristická vlastnosť je vlastnosť, ktorú má každý prvok patriaci do množiny a nemá žiadny prvok, ktorý do nej nepatrí.

Stáva sa, že tú istú množinu možno definovať uvedením rôznych charakteristických vlastností jej prvkov. Napríklad množina dvojciferných čísel deliteľných 11 a množina prirodzených čísel prvých sto, zapísaných dvoma rovnakými číslicami, obsahujú rovnaké prvky.

Pri tomto spôsobe zadávania možno množinu zapísať takto: najprv napíšte označenie prvku do zložených zátvoriek, potom nakreslite zvislú čiaru, za ktorou zapíšte vlastnosť, ktorú prvky tejto množiny majú. Napríklad veľa A prirodzené čísla menšie ako 5 sa zapíšu takto: A = {X XN, X < 5}.

Množstvo. Operácie na súpravách.
Zobrazovanie súprav. Sila súpravy

Vítam vás pri prvej lekcii o vyššej algebre, ktorá sa objavila... v predvečer piateho výročia stránky, po tom, čo som už vytvoril viac ako 150 článkov o matematike a moje materiály sa začali zostavovať do dokončeného kurzu. Dúfam však, že nemeškám - predsa len, veľa študentov sa začína vŕtať v prednáškach len na štátnice =)

Univerzitný kurz vyshmat je tradične založený na troch pilieroch:

– matematická analýza (limity, deriváty atď.)

– a na záver sa sezóna akademického roka 2015/16 otvára lekciami Algebra pre figuríny, Prvky matematickej logiky, na ktorej rozoberieme základy sekcie, ako aj zoznámime sa so základnými matematickými pojmami a bežnými zápismi. Musím povedať, že v iných článkoch „squiggles“ príliš nepoužívam , to je však len štýl a, samozrejme, treba ich rozpoznať v akomkoľvek stave =). Oznamujem novým čitateľom, že moje hodiny sú orientované na prax a v tomto duchu bude prezentovaný aj nasledujúci materiál. Kompletnejšie a akademické informácie nájdete vo vzdelávacej literatúre. Choď:

Kopa. Príklady zostáv

Množina je základným pojmom nielen matematiky, ale celého okolitého sveta. Okamžite vezmite do ruky akýkoľvek predmet. Tu máte sadu pozostávajúcu z jedného prvku.

V širšom zmysle, set je súbor objektov (prvkov), ktoré sa chápu ako jeden celok(podľa určitých charakteristík, kritérií alebo okolností). Navyše to nie sú len materiálne predmety, ale aj písmená, čísla, vety, myšlienky, emócie atď.

Sady sa zvyčajne označujú veľkými písmenami (voliteľne s dolnými indexmi: atď.) a jeho prvky sú napísané v zložených zátvorkách, napríklad:

- veľa písmen ruskej abecedy;
– množina prirodzených čísel;

No, je čas sa trochu spoznať:
– veľa žiakov v 1. rade

... som rada, že vidím tvoje vážne a sústredené tváre =)

Súpravy sú Konečný(pozostávajúca z konečného počtu prvkov) a príkladom je množina nekonečné zástupy. Okrem toho tzv prázdna sada:

– súbor, v ktorom nie je jediný prvok.

Príklad je vám dobre známy - množina v skúške je často prázdna =)

Príslušnosť prvku v množine je označená symbolom, napríklad:

- písmeno „be“ patrí k mnohým písmenám ruskej abecedy;
- písmeno "beta" nie patrí k mnohým písmenám ruskej abecedy;
– číslo 5 patrí do množiny prirodzených čísel;
– ale číslo 5,5 tam už nie je;
– Voldemar nesedí v prvom rade (a navyše nepatrí k zástupu alebo =)).

V abstraktnej a nie veľmi algebre sa prvky množiny označujú malými latinskými písmenami a teda skutočnosť vlastníctva je formalizovaná v nasledujúcom štýle:

– prvok patrí do sady.

Vyššie uvedené sady sú napísané priamy prevod prvkov, ale toto nie je jediný spôsob. Je vhodné definovať veľa množín pomocou niektorých znamenie (s), ktorá je vlastná všetky jeho prvky. Napríklad:

– množina všetkých prirodzených čísel menších ako sto.

Pamätajte: dlhá zvislá palica vyjadruje slovné spojenie „ktorý“, „taký“. Pomerne často sa namiesto toho používa dvojbodka: - prečítajme si záznam formálnejšie: „množina prvkov patriacich do množiny prirodzených čísel, také že » . Výborne!

Túto množinu je možné zapísať aj priamym vyčíslením:

Ďalšie príklady:
– a ak je v 1. rade dosť veľa študentov, tak takýto zápis je oveľa pohodlnejší ako ich priamo vypisovať.

– súbor čísel patriacich do segmentu . Upozorňujeme, že to znamená viacero platnéčísla (viac o nich neskôr), ktoré už nie je možné uvádzať oddelené čiarkami.

Je potrebné poznamenať, že prvky množiny nemusia byť „homogénne“ alebo logicky prepojené. Vezmite veľkú tašku a začnite do nej náhodne vkladať rôzne predmety. V tomto nie je žiadny vzor, ale napriek tomu hovoríme o rôznych predmetoch. Obrazne povedané, súprava je samostatný „balík“, v ktorom „z vôle osudu“ skončila určitá zbierka predmetov.

Podmnožiny

Takmer všetko je jasné už zo samotného názvu: súprava je podmnožina množina, ak každý prvok množiny patrí do množiny. Inými slovami, súprava je obsiahnutá v súprave:

Ikona sa nazýva ikona začlenenie.

Vráťme sa k príkladu, v ktorom ide o súbor písmen ruskej abecedy. Označme – množinou jeho samohlások. potom:

Môžete tiež vybrať podmnožinu spoluhláskových písmen a vo všeobecnosti ľubovoľnú podmnožinu pozostávajúcu z ľubovoľného počtu náhodne (alebo nenáhodne) vybratých písmen azbuky. Najmä každé písmeno cyriliky je podmnožinou množiny.

Je vhodné znázorniť vzťahy medzi podmnožinami pomocou konvenčného geometrického diagramu tzv Eulerove kruhy.

Nech je množina študentov v 1. rade, nech je množina študentov v skupine a nech je množina vysokoškolákov. Potom môže byť vzťah inklúzie znázornený takto:

Súbor študentov z inej univerzity by mal byť znázornený ako kruh, ktorý nepretína vonkajší kruh; veľa študentov krajiny - kruh, ktorý obsahuje oba tieto kruhy atď.

Typický príklad inklúzií vidíme pri zvažovaní číselných množín. Zopakujme si školský materiál, ktorý je dôležité mať na pamäti pri štúdiu vyššej matematiky:

Sady čísel

Ako viete, historicky ako prvé sa objavili prirodzené čísla určené na počítanie hmotných predmetov (ľudí, sliepok, oviec, mincí atď.). S touto zostavou sme sa už v článku stretli, jedine, že teraz mierne upravujeme jej označenie. Faktom je, že číselné sady sa zvyčajne označujú tučnými, štylizovanými alebo hrubými písmenami. Radšej používam tučné písmo:

Niekedy je v množine prirodzených čísel zahrnutá nula.

Ak do množiny pridáme rovnaké čísla s opačným znamienkom a nulou, dostaneme množina celých čísel:

Inovátori a lenivci si jeho prvky zapisujú ikonami "plus mínus":))

Je celkom jasné, že množina prirodzených čísel je podmnožinou množiny celých čísel:
– keďže každý prvok súpravy patrí do súpravy. Akékoľvek prirodzené číslo teda možno bezpečne nazvať celým číslom.

„Výpovedný“ je aj názov sady: celé čísla – teda bez zlomkov.

A keďže ide o celé čísla, hneď si spomeňme na dôležité znaky ich deliteľnosti 2, 3, 4, 5 a 10, ktoré budú praktické výpočty vyžadovať takmer každý deň:

Celé číslo je bezo zvyšku deliteľné 2, ak končí na 0, 2, 4, 6 alebo 8 (t. j. ľubovoľná párna číslica). Napríklad čísla:
400, -1502, -24, 66996, 818 – deliteľné 2 bezo zvyšku.

A hneď sa pozrime na „príbuzný“ znak: celé číslo deliteľné 4, ak je číslo zložené z jeho posledných dvoch číslic (v poradí, v akom sa zobrazujú) deliteľné 4.

400 – deliteľné 4 (keďže 00 (nula) je deliteľné 4);
-1502 – nedeliteľné 4 (keďže 02 (dva) nie je deliteľné 4);
-24 je samozrejme deliteľné 4;
66996 – deliteľné 4 (keďže 96 je deliteľné 4);
818 – nie je deliteľné 4 (keďže 18 nie je deliteľné 4).

Vykonajte jednoduché zdôvodnenie tejto skutočnosti sami.

Deliteľnosť 3 je trochu náročnejšia: celé číslo je deliteľné 3 bez zvyšku, ak súčet číslic v ňom zahrnutých deliteľné 3.

Skontrolujeme, či je číslo 27901 deliteľné 3. Aby ste to urobili, spočítajte jeho číslice:
2 + 7 + 9 + 0 + 1 = 19 – nie je deliteľné 3
Záver: 27901 nie je deliteľné 3.

Zhrňme si číslice -825432:
8 + 2 + 5 + 4 + 3 + 2 = 24 – deliteľné 3
Záver: číslo -825432 je deliteľné 3

Celé číslo deliteľné 5, ak končí päťkou alebo nulou:
775, -2390 – deliteľné 5

Celé číslo deliteľné 10 ak končí nulou:
798400 – deliteľné 10 (a samozrejme o 100). Každý si asi pamätá, že na delenie 10 stačí odstrániť jednu nulu: 79840

Existujú aj znaky deliteľnosti 6, 8, 9, 11 atď., ale prakticky z nich nie je žiadne praktické využitie =)

Treba poznamenať, že uvedené znaky (zdanlivo také jednoduché) sú prísne preukázané teória čísel. Táto sekcia algebry je vo všeobecnosti celkom zaujímavá, ale jej vety... sú ako moderná čínska poprava =) A to Voldemarovi pri poslednom stole stačilo... ale nevadí, čoskoro budeme robiť životodarnú fyziku cvičenie =)

Ďalšia číselná množina je množina racionálnych čísel:
– to znamená, že každé racionálne číslo môže byť reprezentované ako zlomok s celým číslom čitateľ a prirodzené menovateľ.

Je zrejmé, že množina celých čísel je podmnožina množina racionálnych čísel:

A v skutočnosti môže byť akékoľvek celé číslo reprezentované ako racionálny zlomok, napríklad: atď. Celé číslo teda možno celkom legitímne nazvať racionálnym číslom.

Charakteristickým „identifikačným“ znakom racionálneho čísla je skutočnosť, že pri delení čitateľa menovateľom je výsledkom buď
- celé číslo,

alebo
– Konečný desatinné,

alebo
- nekonečný periodické desiatkový (prehrávanie sa nemusí spustiť okamžite).

Užite si rozdelenie a snažte sa robiť túto akciu čo najmenej! V organizačnom článku Vyššia matematika pre figuríny a v iných lekciách som opakovane opakoval, opakujem a budem opakovať túto mantru:

IN vyššia matematika Všetky akcie sa snažíme vykonávať v obyčajných (správnych a nesprávnych) zlomkoch

Súhlaste s tým, že zaobchádzanie so zlomkom je oveľa pohodlnejšie ako s desatinným číslom 0,375 (nehovoriac o nekonečných zlomkoch).

Poďme ďalej. Okrem racionálnych čísel existuje veľa iracionálnych čísel, z ktorých každé môže byť reprezentované ako nekonečno NEPERIODICKÉ desiatkový. Inými slovami, v „nekonečných chvostoch“ iracionálnych čísel neexistuje žiadny vzor:
(dvakrát „rok narodenia Leva Tolstého“)
atď.

O známych konštantách „pi“ a „e“ je veľa informácií, takže sa nimi nebudem zaoberať.

Vzniká kombinácia racionálnych a iracionálnych čísel súbor reálnych čísel:

– ikona združenia súpravy.

Geometrický výklad množiny je vám známy - toto je číselná os:

Každému reálnemu číslu zodpovedá určitý bod na číselnej osi a naopak – každému bodu na číselnej osi nevyhnutne zodpovedá určité reálne číslo. V podstate som teraz sformuloval vlastnosť kontinuity reálne čísla, ktoré, aj keď sa to zdá zrejmé, je prísne dokázané v priebehu matematickej analýzy.

Číselná os je tiež označená nekonečným intervalom a zápis alebo ekvivalentný zápis symbolizuje skutočnosť, že patrí do množiny reálnych čísel (alebo jednoducho „x“ je skutočné číslo).

Pri vložení je všetko transparentné: množina racionálnych čísel áno podmnožina sady reálnych čísel:
, teda každé racionálne číslo možno bezpečne nazvať reálnym číslom.

Existuje aj veľa iracionálnych čísel podmnožina reálne čísla:

Zároveň podmnožiny a nepretínajú sa- to znamená, že ani jedno iracionálne číslo nemôže byť reprezentované ako racionálny zlomok.

Existujú nejaké ďalšie číselné sústavy? Existovať! Toto je napr. komplexné čísla, s ktorým sa odporúčam zoznámiť doslova v najbližších dňoch či dokonca hodinách.

Medzitým prejdeme k štúdiu operácií na súpravách, ktorých duch sa už zhmotnil na konci tejto časti:

Akcie na súpravách. Vennove diagramy

Vennove diagramy (podobné Eulerovým kruhom) sú schematickým znázornením akcií s množinami. Opäť vás upozorňujem, že nebudem brať do úvahy všetky operácie:

1) Križovatka A a je označený ikonou

Priesečník množín je množina, ktorej každý prvok patrí A veľa, A pre mnohých. Zhruba povedané, priesečník je bežnou súčasťou množín:

Takže napríklad pre sady:

Ak množiny nemajú rovnaké prvky, ich priesečník je prázdny. Práve sme narazili na tento príklad pri zvažovaní číselných množín:

Množiny racionálnych a iracionálnych čísel možno schematicky znázorniť dvoma disjunktnými kruhmi.

Prevádzka križovatky platí aj pre väčšie množstvo sady, najmä Wikipedia má dobrý príklad prieniku množín písmen troch abecied.

2) Združenie množiny sa vyznačujú logickým spojivom ALEBO a je označený ikonou

Spojenie množín je množina, ktorej každý prvok patrí do množiny alebo pre mnohých:

Napíšme spojenie množín:
– zhruba povedané, tu musíte uviesť všetky prvky zostáv a , a rovnaké prvky (v tomto prípade je jednotka na priesečníku množín) by mala byť špecifikovaná raz.

Ale množiny sa, samozrejme, nemusia pretínať, ako je to v prípade racionálnych a iracionálnych čísel:

V tomto prípade môžete nakresliť dva nepretínajúce sa tieňované kruhy.

Operácia zjednotenia je použiteľná aj pre väčší počet súprav, napríklad ak , potom:

V tomto prípade nemusia byť čísla usporiadané vzostupne. (urobil som to čisto z estetických dôvodov). Bez ďalších okolkov možno výsledok zapísať takto:

3) Rozdielom A nepatrí do sady:

Rozdiel sa číta takto: „a bez byť“. A môžete uvažovať presne rovnakým spôsobom: zvážte sady . Ak chcete zapísať rozdiel, musíte zo súpravy „vyhodiť“ všetky prvky, ktoré sú v súprave:

Príklad s číselnými sadami:
– tu sú všetky prirodzené čísla vylúčené z množiny celých čísel a samotný záznam znie takto: „množina celých čísel bez množiny prirodzených čísel“.

Zrkadlené: rozdiel množiny a nazývajú sa množina, ktorej každý prvok patrí do množiny A nepatrí do sady:

Pre rovnaké sady
– to, čo je v súprave, sa „vyhodí“ zo súpravy.

Ale tento rozdiel sa ukáže ako prázdny: . A v skutočnosti, ak vylúčite celé čísla z množiny prirodzených čísel, potom v skutočnosti nezostane nič :)

Okrem toho sa niekedy uvažuje symetrické rozdiel, ktorý spája oba „mesiačiky“:
– inými slovami, toto je „všetko okrem priesečníka množín“.

4) Kartézsky (priamy) súčin množiny a nazýva sa množina každý objednal párov v ktorom prvku , a prvku

Zapíšme si karteziánsky súčin množín:
– je vhodné vyčísliť dvojice pomocou nasledujúceho algoritmu: „najprv postupne pripojíme každý prvok množiny k 1. prvku množiny, potom pripojíme každý prvok množiny k 2. prvku množiny, potom pripojíme každý prvok množiny na 3. prvok množiny“:

Zrkadlené: karteziánsky súčin množiny a množina všetkých sa nazýva objednal párov, v ktorých V našom príklade:
– tu je schéma záznamu podobná: najprv postupne pridáme všetky prvky sady do „mínus jedna“, potom do „de“ pridáme rovnaké prvky:

Ale to je čisto pre pohodlie - v oboch prípadoch môžu byť dvojice uvedené v ľubovoľnom poradí - dôležité je zapísať sem Všetky možné páry.

A teraz vrchol programu: karteziánsky súčin nie je nič iné ako sada bodov nášho rodáka Kartézsky súradnicový systém .

Cvičenie pre samofixáciu materiálu:

Vykonajte operácie, ak:

Kopa Je vhodné ho opísať vymenovaním jeho prvkov.

A malá vec s intervalmi reálnych čísel:

Pripomínam, že hranatá zátvorka znamená začleneniečísla do intervalu a okrúhle - jeho nezaradenia, teda „mínus jedna“ patrí do súboru a „tri“ nie patrí do sady. Pokúste sa zistiť, aký je karteziánsky súčin týchto sád. Ak máte nejaké ťažkosti, postupujte podľa nákresu ;)

Krátke riešenie problému na konci hodiny.

Zobrazovanie sád

Displej mnoho do mnohých je pravidlo, podľa ktorého je každý prvok množiny spojený s prvkom (alebo prvkami) množiny. V prípade, že dôjde ku korešpondencii jediný prvok, potom sa toto pravidlo nazýva jasne definované funkciu alebo len funkciu.

Funkcia, ako veľa ľudí vie, sa najčastejšie označuje písmenom - vkladá do korešpondencie každému prvok má jedinú hodnotu patriacu do množiny.

No a teraz opäť vyruším mnohých študentov 1. radu a ponúknem im 6 tém na eseje (veľa):

Nainštalované (dobrovoľne alebo nútene =)) Pravidlo prideľuje každému študentovi súboru jednu tému eseje zo súboru.

...a asi si ani nevedel predstaviť, že budeš hrať úlohu argumentu funkcie =) =)

Prvky množiny tvoria domény funkcie (označené ) a prvky množiny sú rozsah funkcie (označené ).

Skonštruované mapovanie množín má veľmi dôležitú vlastnosť: je jeden na jedného alebo bijektívny(bijekcia). IN v tomto príklade znamená to, že každémuštudent je spárovaný jeden jedinečný téma eseje a späť - pre každý Téma eseje je zadaná len jednému študentovi.

Netreba si však myslieť, že každé mapovanie je bijektívne. Ak pridáte 7. študenta do 1. riadku (do množiny), potom individuálna korešpondencia zmizne - alebo jeden zo študentov zostane bez témy (nebude sa vôbec zobrazovať), alebo nejaká téma pôjde dvom študentom naraz. Opačná situácia: ak sa k množine pridá siedma téma, stratí sa aj mapovanie jedna ku jednej – jedna z tém ostane nenárokovaná.

Milí študenti v 1. rade, nebuďte naštvaní - zvyšných 20 ľudí po vyučovaní pôjde vyčistiť areál univerzity od jesenného lístia. Ošetrovateľ rozdá dvadsať golikov, po ktorých sa nadviaže vzájomná korešpondencia medzi hlavnou časťou skupiny a metlami... a Voldemar stihne odbehnúť aj do obchodu =)). oblasť definície zodpovedá jeho vlastnej jedinečný„y“ a naopak – pre akúkoľvek hodnotu „y“ môžeme jednoznačne obnoviť „x“. Ide teda o bijektívnu funkciu.

! Pre každý prípad odstránim prípadné nedorozumenie: moja neustála výhrada k rozsahu definície nie je náhodná! Funkcia nemusí byť definovaná pre všetky „X“ a navyše môže byť aj v tomto prípade jedna k jednej. Typický príklad:

Ale pri kvadratickej funkcie nič také sa nepozoruje, po prvé:
- teda rôzne významy"x" sa objavilo v rovnakýčo znamená "yay"; a po druhé: ak niekto vypočítal hodnotu funkcie a povedal nám, že , potom nie je jasné, či toto „y“ bolo získané v alebo v ? Netreba dodávať, že tu nie je ani náznak vzájomnej jednoznačnosti.

Úloha 2: vyhliadka grafy základných elementárnych funkcií a zapíšte si bijektívne funkcie na kúsok papiera. Kontrolný zoznam na konci tejto lekcie.

Sila súpravy

Intuícia naznačuje, že tento pojem charakterizuje veľkosť množiny, konkrétne počet jej prvkov. A naša intuícia nás neklame!

Mohutnosť prázdnej množiny je nulová.

Mohutnosť súboru je šesť.

Sila súboru písmen ruskej abecedy je tridsaťtri.

A vo všeobecnosti - sila akéhokoľvek Konečný množiny sa rovná počtu prvkov danej množiny.

...možno nie každý úplne chápe, čo to je Konečný sada – ak začnete počítať prvky tejto sady, skôr či neskôr sa počítanie skončí. Ako sa hovorí, Číňania sa nakoniec minú.

Samozrejme, množiny sa dajú porovnávať z hľadiska mohutnosti a ich rovnosť v tomto zmysle sa nazýva rovnakú moc. Ekvivalencia sa určuje takto:

Dve množiny majú rovnakú mohutnosť, ak medzi nimi možno vytvoriť korešpondenciu jedna ku jednej.

Súbor študentov je ekvivalentný súboru tém esejí, súbor písmen ruskej abecedy je ekvivalentný ľubovoľnému súboru 33 prvkov atď. Všimnite si, čo presne ktokoľvek súbor 33 prvkov – v tomto prípade záleží len na ich počte. Písmená ruskej abecedy možno porovnať nielen s mnohými číslami
1, 2, 3, …, 32, 33, ale spravidla so stádom 33 kráv.

Oveľa zaujímavejšia je situácia s nekonečnými množinami. Aj nekonečno je iné! ...zelená a červená Najmenšie nekonečné množiny sú počítanie zástupy. Jednoducho, prvky takejto sady sa dajú očíslovať. Referenčným príkladom je množina prirodzených čísel . Áno – je nekonečná, ale každý z jej prvkov má v PRINCÍPE svoje číslo.

Príkladov je veľa. Najmä množina všetkých párnych prirodzených čísel je spočítateľná. Ako to dokázať? Musíte zistiť jeho individuálnu korešpondenciu s množinou prirodzených čísel alebo jednoducho očíslovať prvky:

Bola stanovená korešpondencia jedna ku jednej, preto sú množiny rovnakej mohutnosti a množina je spočítateľná. Paradoxne, z hľadiska moci je párnych prirodzených čísel toľko, koľko je prirodzených čísel!

Množina celých čísel je tiež spočítateľná. Jeho prvky môžu byť očíslované napríklad takto:

Okrem toho je množina racionálnych čísel tiež spočítateľná . Keďže čitateľ je celé číslo (a ako je práve zobrazené, môžu byť očíslované), a menovateľom je prirodzené číslo, potom sa skôr či neskôr „dostaneme“ k ľubovoľnému racionálnemu zlomku a priradíme mu číslo.

Ale množina reálnych čísel už je nespočítateľné, t.j. jeho prvky nemožno očíslovať. Táto skutočnosť, hoci je zrejmá, je prísne dokázaná v teórii množín. Kardinalita množiny reálnych čísel sa tiež nazýva kontinuum a v porovnaní s počítateľnými množinami je to „nekonečnejšia“ množina.

Keďže medzi súpravou a číselným radom existuje korešpondencia jedna k jednej (viď vyššie), potom je aj množina bodov na číselnej osi nespočítateľné. A čo viac, v kilometrovom aj milimetrovom segmente je rovnaký počet bodov! Klasický príklad:

Otáčaním lúča proti smeru hodinových ručičiek, kým sa nezarovná s lúčom, vytvoríme vzájomnú zhodu medzi bodmi modrých segmentov. Na segmente je teda toľko bodov, koľko je na segmente a !