Budem stručný. Uhol medzi dvoma priamymi čiarami rovný uhlu medzi ich smerovými vektormi. Ak sa vám teda podarí nájsť súradnice smerových vektorov a = (x 1 ; y 1 ; z 1) a b = (x 2 ; y 2 ​​​​; z 2), môžete nájsť uhol. Presnejšie, kosínus uhla podľa vzorca:

Pozrime sa, ako tento vzorec funguje na konkrétnych príkladoch:

Úloha. V kocke ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 sú vyznačené body E a F - stredy hrán A 1 B 1 a B 1 C 1, resp. Nájdite uhol medzi čiarami AE a BF.

Keďže hrana kocky nie je zadaná, nastavíme AB = 1. Zavedieme štandardný súradnicový systém: počiatok je v bode A, osi x, y, z smerujú pozdĺž AB, AD a AA 1, v tomto poradí. Jednotkový segment sa rovná AB = 1. Teraz nájdime súradnice smerových vektorov pre naše čiary.

Nájdite súradnice vektora AE. Na to potrebujeme body A = (0; 0; 0) a E = (0,5; 0; 1). Keďže bod E je stredom úsečky A 1 B 1, jeho súradnice sa rovnajú aritmetickému priemeru súradníc koncov. Všimnite si, že počiatok vektora AE sa zhoduje s počiatkom súradníc, takže AE = (0,5; 0; 1).

Teraz sa pozrime na BF vektor. Podobne analyzujeme body B = (1; 0; 0) a F = (1; 0,5; 1), pretože F je stred segmentu B 1 C 1. Máme:
BF = (1 − 1; 0,5 − 0; 1 − 0) = (0; 0,5; 1).

Smerové vektory sú teda pripravené. Kosínus uhla medzi priamkami je kosínus uhla medzi smerovými vektormi, takže máme:

Úloha. V pravidelnom trojuholníkovom hranole ABCA 1 B 1 C 1, ktorého všetky hrany sú rovné 1, sú vyznačené body D a E - stredy hrán A 1 B 1 a B 1 C 1, resp. Nájdite uhol medzi čiarami AD a BE.

Zavedieme štandardný súradnicový systém: počiatok je v bode A, os x smeruje pozdĺž AB, z - pozdĺž AA 1. Nasmerujme os y tak, aby sa rovina OXY zhodovala s rovinou ABC. Jednotkový segment sa rovná AB = 1. Nájdite súradnice smerových vektorov pre požadované čiary.

Najprv nájdime súradnice vektora AD. Zvážte body: A = (0; 0; 0) a D = (0,5; 0; 1), pretože D - stred segmentu A 1 B 1. Keďže začiatok vektora AD sa zhoduje s počiatkom súradníc, dostaneme AD = (0,5; 0; 1).

Teraz nájdime súradnice vektora BE. Bod B = (1; 0; 0) sa dá ľahko vypočítať. S bodom E - stredom segmentu C 1 B 1 - je to trochu zložitejšie. Máme:

Zostáva nájsť kosínus uhla:

Úloha. V pravidelnom šesťhrannom hranole ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1, ktorého všetky hrany sú rovné 1, sú vyznačené body K a L - stredy hrán A 1 B 1 a B 1 C 1, resp. . Nájdite uhol medzi čiarami AK a BL.

Zavedme štandardný súradnicový systém pre hranol: počiatok súradníc umiestnime do stredu spodnej základne, os x smeruje pozdĺž FC, os y smeruje cez stredy segmentov AB a DE a os z os smeruje zvisle nahor. Jednotkový segment sa opäť rovná AB = 1. Zapíšme si súradnice bodov záujmu, ktoré nás zaujímajú:

Body K a L sú stredovými bodmi segmentov A 1 B 1 a B 1 C 1, takže ich súradnice sa nachádzajú aritmetickým priemerom. Keď poznáme body, nájdeme súradnice smerových vektorov AK a BL:

Teraz nájdime kosínus uhla:

Úloha. V pravidelnej štvorhrannej pyramíde SABCD, ktorej všetky hrany sú rovné 1, sú označené body E a F - stredy strán SB a SC. Nájdite uhol medzi čiarami AE a BF.

Zavedme štandardný súradnicový systém: počiatok je v bode A, osi x a y sú nasmerované pozdĺž AB a AD a os z smeruje vertikálne nahor. Jednotkový segment sa rovná AB = 1.

Body E a F sú stredovými bodmi segmentov SB a SC, takže ich súradnice sa nachádzajú ako aritmetický priemer koncov. Zapíšme si súradnice bodov záujmu:
A = (0; 0; 0); B = (1; 0; 0)

Keď poznáme body, nájdeme súradnice smerových vektorov AE a BF:

Súradnice vektora AE sa zhodujú so súradnicami bodu E, pretože bod A je počiatok. Zostáva nájsť kosínus uhla:

UHOL MEDZI ROVINAMI

Uvažujme dve roviny α 1 a α 2 definované rovnicami:

Pod uhol medzi dvoma rovinami budeme rozumieť jeden z dihedrálnych uhlov, ktoré tieto roviny zvierajú. Je zrejmé, že uhol medzi normálovými vektormi a rovinami α 1 a α 2 sa rovná jednému z naznačených susedných dihedrických uhlov resp. . Preto . Pretože A , To

.

Príklad. Určte uhol medzi rovinami X+2r-3z+4 = 0 a 2 X+3r+z+8=0.

Podmienka pre rovnobežnosť dvoch rovín.

Dve roviny α 1 a α 2 sú rovnobežné práve vtedy, ak sú ich normálové vektory rovnobežné, a teda .

Takže dve roviny sú navzájom rovnobežné vtedy a len vtedy, ak sú koeficienty zodpovedajúcich súradníc úmerné:

alebo

Podmienka kolmosti rovín.

Je jasné, že dve roviny sú kolmé práve vtedy, ak sú ich normálové vektory kolmé, a teda alebo .

Teda, .

Príklady.

PRIAMO VO VESMÍRE.

VEKTOROVÁ ROVNICE PRE ČIARU.

PARAMETRICKÉ PRIAMY ROVNICE

Poloha čiary v priestore je úplne určená určením ktoréhokoľvek z jej pevných bodov M 1 a vektor rovnobežný s touto čiarou.

Volá sa vektor rovnobežný s priamkou sprievodcov vektor tejto čiary.

Nechajte teda priamku l prechádza cez bod M 1 (X 1 , r 1 , z 1), ležiaci na priamke rovnobežnej s vektorom .

Zvážte svojvoľný bod M(x,y,z) na priamke. Z obrázku je zrejmé, že .

Vektory a sú kolineárne, takže existuje také číslo t, čo , kde je násobiteľ t môže nadobudnúť akúkoľvek číselnú hodnotu v závislosti od polohy bodu M na priamke. Faktor t nazývaný parameter. Po určení vektorov polomerov bodov M 1 a M respektíve prostredníctvom a , získame . Táto rovnica sa nazýva vektor rovnica priamky. Ukazuje, že pre každú hodnotu parametra t zodpovedá vektoru polomeru nejakého bodu M, ležiace na priamke.

Napíšme túto rovnicu v súradnicovom tvare. Všimni si , a odtiaľto

Výsledné rovnice sú tzv parametrické rovnice priamky.

Pri zmene parametra t zmena súradníc X, r A z a bodka M sa pohybuje v priamom smere.

KANONICKÉ ROVNICE PRIAMY

Nechaj M 1 (X 1 , r 1 , z 1) – bod ležiaci na priamke l, A je jeho smerový vektor. Zoberme si opäť ľubovoľný bod na priamke M(x,y,z) a zvážte vektor .

Je zrejmé, že vektory sú tiež kolineárne, takže ich zodpovedajúce súradnice musia byť proporcionálne,

– kanonický rovnice priamky.

Poznámka 1. Všimnite si, že kanonické rovnice priamky je možné získať z parametrických elimináciou parametra t. V skutočnosti z parametrických rovníc, ktoré získame alebo .

Príklad. Napíšte rovnicu priamky v parametrickej forme.

Označme , odtiaľ X = 2 + 3t, r = –1 + 2t, z = 1 –t.

Poznámka 2. Nech je čiara kolmá na jednu z súradnicové osi, napríklad osy Vôl. Potom je smerový vektor priamky kolmý Vôl, teda, m=0. V dôsledku toho budú mať tvar parametrické rovnice priamky

Vylúčenie parametra z rovníc t, dostaneme rovnice priamky v tvare

Aj v tomto prípade však súhlasíme s formálnym zápisom kanonických rovníc čiary do formulára . Ak je teda menovateľ jedného zo zlomkov nula, znamená to, že priamka je kolmá na príslušnú súradnicovú os.

podobne, kanonické rovnice zodpovedá priamke kolmej na osi Vôl A Oj alebo rovnobežne s osou Oz.

Príklady.

VŠEOBECNÉ ROVNICE PRIAMY AKO PRIesečníky DVOCH ROVÍN

Cez každú priamku v priestore je nespočetné množstvo rovín. Akékoľvek dva z nich, ktoré sa pretínajú, ho definujú v priestore. V dôsledku toho rovnice akýchkoľvek dvoch takýchto rovín, uvažované spolu, predstavujú rovnice tejto priamky.

Vo všeobecnosti akékoľvek dve nerovnobežné roviny dané všeobecnými rovnicami

určiť priamku ich priesečníka. Tieto rovnice sa nazývajú všeobecné rovnice rovno.

Príklady.

Zostrojte priamku danú rovnicami

Na zostrojenie priamky stačí nájsť dva ľubovoľné jej body. Najjednoduchším spôsobom je vybrať priesečníky priamky so súradnicovými rovinami. Napríklad priesečník s rovinou xOy získame z rovníc priamky za predpokladu z= 0:

Po vyriešení tohto systému nájdeme pointu M 1 (1;2;0).

Podobne za predpokladu r= 0, dostaneme priesečník priamky s rovinou xOz:

Od všeobecných rovníc priamky možno prejsť k jej kanonickým alebo parametrickým rovniciam. Aby ste to dosiahli, musíte nájsť nejaký bod M 1 na priamke a smerový vektor priamky.

Súradnice bodu M 1 získame z tejto sústavy rovníc, pričom jednej zo súradníc priradíme ľubovoľnú hodnotu. Ak chcete nájsť smerový vektor, všimnite si, že tento vektor musí byť kolmý na oba normálové vektory A . Preto za smerovým vektorom priamky l môžeš si to vziať vektorový produkt normálne vektory:

.

Príklad. Viesť všeobecné rovnice rovno na kánonickú formu.

Nájdime bod ležiaci na priamke. Aby sme to dosiahli, zvolíme ľubovoľne jednu zo súradníc, napr. r= 0 a vyriešte sústavu rovníc:

Normálne vektory rovín definujúcich priamku majú súradnice Preto bude smerový vektor rovný

. teda l: .

UHOL MEDZI ROVINAMI

Uhol medzi priamkami v priestore budeme nazývať ktorýkoľvek zo susedných uhlov tvorených dvoma priamkami vedenými cez ľubovoľný bod rovnobežný s údajmi.

Nech sú v priestore uvedené dve čiary:

Je zrejmé, že uhol φ medzi priamkami možno brať ako uhol medzi ich smerovými vektormi a . Pretože potom pomocou vzorca pre kosínus uhla medzi vektormi dostaneme

Uhol medzi priamkami v priestore budeme nazývať ktorýkoľvek zo susedných uhlov tvorených dvoma priamkami vedenými cez ľubovoľný bod rovnobežný s údajmi.

Nech sú v priestore uvedené dve čiary:

Je zrejmé, že uhol φ medzi priamkami možno brať ako uhol medzi ich smerovými vektormi a . Pretože potom pomocou vzorca pre kosínus uhla medzi vektormi dostaneme

Podmienky rovnobežnosti a kolmosti dvoch priamok sú ekvivalentné podmienkam rovnobežnosti a kolmosti ich smerových vektorov a:

Dve rovno paralelný vtedy a len vtedy, ak sú im zodpovedajúce koeficienty pomerné, t.j. l 1 rovnobežka l 2 vtedy a len vtedy, ak je rovnobežná s .

Dve rovno kolmý práve vtedy, ak súčet súčinov príslušných koeficientov je rovný nule: .

U cieľ medzi čiarou a rovinou

Nech je to rovno d- nie je kolmá na rovinu θ;
d′− projekcia priamky d k rovine 9;
Najmenší uhol medzi priamymi čiarami d A d"zavoláme uhol medzi priamkou a rovinou.
Označme to ako φ=( d,θ)
Ak d⊥θ, potom ( d,0) = π/2

Oi→j→k→− pravouhlý systém súradnice
Rovinná rovnica:

θ: Ax+Autor:+Cz+D=0

Predpokladáme, že priamka je definovaná bodom a smerovým vektorom: d[M 0,p→]
Vektor n→(A,B,C)⊥θ
Potom zostáva zistiť uhol medzi vektormi n→ a p→, označme to ako γ=( n→,p→).

Ak je uhol γ<π/2 , то искомый угол φ=π/2−γ .

Ak je uhol γ>π/2, potom požadovaný uhol je φ=γ−π/2

sinφ=sin(2π−γ)=cosγ

sinφ=sin(γ−2π)=−cosγ

potom uhol medzi priamkou a rovinou možno vypočítať pomocou vzorca:

sinφ=∣cosγ∣=∣ ∣ Ap 1+Bp 2+Cp 3∣ ∣ √A 2+B 2+C 2√p 21+p 22+p 23

Otázka 29. Pojem kvadratickej formy. Znamenková určitosť kvadratických foriem.

Kvadratický tvar j (x 1, x 2, …, x n) n reálnych premenných x 1, x 2, …, x n sa nazýva súčet tvaru , (1)

Kde a ij – niektoré čísla nazývané koeficienty. Bez straty všeobecnosti to môžeme predpokladať a ij = a ji.

Kvadratická forma je tzv platný, Ak a ij Î GR. Matica kvadratického tvaru sa nazýva matica zložená z jej koeficientov. Kvadratická forma (1) zodpovedá jedinej symetrickej matici, t.j. A T = A. teda kvadratická forma(1) možno zapísať v maticovom tvare j ( X) = x T Ah, Kde x T = (X 1 X 2 … x n). (2)

A naopak, každá symetrická matica (2) zodpovedá jedinej kvadratickej forme až po zápis premenných.

Hodnosť kvadratického tvaru sa nazýva hodnosť jeho matice. Kvadratická forma je tzv nedegenerovaný, ak jeho matica nie je jednotná A. (pripomeňme, že matica A sa nazýva nedegenerovaná, ak jej determinant nie je rovná nule). V opačnom prípade je kvadratická forma degenerovaná.

kladné definitívne(alebo striktne pozitívne), ak

j ( X) > 0 , pre hocikoho X = (X 1 , X 2 , …, x n), okrem X = (0, 0, …, 0).

Matrix A pozitívne definitná kvadratická forma j ( X) sa nazýva aj pozitívne definitíva. Pozitívne definitná kvadratická forma teda zodpovedá jedinečnej pozitívne definitívnej matici a naopak.

Kvadratická forma (1) sa nazýva negatívne definované(alebo striktne negatívne), ak

j ( X) < 0, для любого X = (X 1 , X 2 , …, x n), okrem X = (0, 0, …, 0).

Podobne ako vyššie, matica negatívne definitívnej kvadratickej formy sa tiež nazýva negatívne definitná.

V dôsledku toho je kladná (záporná) určitá kvadratická forma j ( X) dosiahne minimálnu (maximálnu) hodnotu j ( X*) = 0 at X* = (0, 0, …, 0).

Všimnite si, že väčšina kvadratických foriem nie je znamienkovo ​​definovaná, to znamená, že nie sú ani pozitívne, ani negatívne. Takéto kvadratické formy zanikajú nielen v počiatku súradnicového systému, ale aj v iných bodoch.

Kedy n> 2, na kontrolu znamienka kvadratického tvaru sú potrebné špeciálne kritériá. Pozrime sa na ne.

Hlavne maloletí kvadratické formy sa nazývajú maloletí:

to znamená, že ide o maloletých v poradí 1, 2, ..., n matice A, umiestnený v ľavom hornom rohu, posledný z nich sa zhoduje s determinantom matice A.

Pozitívne kritérium jednoznačnosti (Sylvesterovo kritérium)

X) = x T Ah bol kladný jednoznačný, je potrebné a postačujúce, aby všetky hlavné maloleté matice A boli pozitívne, teda: M 1 > 0, M 2 > 0, …, Mn > 0. Negatívne kritérium istoty Aby kvadratická forma j ( X) = x T Ah bol záporne určitý, je potrebné a postačujúce, aby jeho hlavné maloleté osoby párneho rádu boli kladné a nepárneho rádu boli záporné, t.j.: M 1 < 0, M 2 > 0, M 3 < 0, …, (–1)n

Pomocou tejto online kalkulačky môžete nájsť uhol medzi rovnými čiarami. Dané podrobné riešenie s vysvetleniami. Ak chcete vypočítať uhol medzi priamymi čiarami, nastavte rozmer (2, ak sa uvažuje o rovnej čiare v rovine, 3, ak sa uvažuje o rovnej čiare v priestore), zadajte prvky rovnice do buniek a kliknite na „Vyriešiť“ tlačidlo. Pozrite si teoretickú časť nižšie.

×

POZOR

Vymazať všetky bunky?

Zavrieť Vymazať

Pokyny na zadávanie údajov.Čísla sa zadávajú ako celé čísla (príklady: 487, 5, -7623 atď.), desatinné miesta (napr. 67., 102,54 atď.) alebo zlomky. Zlomok je potrebné zadať v tvare a/b, kde a a b (b>0) sú celé čísla alebo desatinné čísla. Príklady 45/5, 6,6/76,4, -7/6,7 atď.

1. Uhol medzi priamkami v rovine

Čiary sú definované kanonickými rovnicami

1.1. Určenie uhla medzi priamkami

Nechajte čiary v dvojrozmernom priestore L 1 a L

Zo vzorca (1.4) teda môžeme nájsť uhol medzi priamkami L 1 a L 2. Ako je možné vidieť na obr. 1, pretínajúce sa čiary zvierajú susedné uhly φ A φ 1. Ak je nájdený uhol väčší ako 90°, potom môžete nájsť minimálny uhol medzi rovnými čiarami L 1 a L 2: φ 1 =180-φ .

Zo vzorca (1.4) môžeme odvodiť podmienky pre rovnobežnosť a kolmosť dvoch priamok.

Príklad 1. Určte uhol medzi čiarami

Poďme to zjednodušiť a vyriešiť:

1.2. Podmienka pre paralelné čiary

Nechaj φ =0. Potom cosφ=1. V tomto prípade bude mať výraz (1.4) nasledujúcu formu:

,

,

Príklad 2: Zistite, či sú čiary rovnobežné

Rovnosť (1.9) je splnená, preto sú priamky (1.10) a (1.11) rovnobežné.

Odpoveď. Priamky (1.10) a (1.11) sú rovnobežné.

1.3. Podmienka pre kolmosť čiar

Nechaj φ = 90°. Potom cosφ=0. V tomto prípade bude mať výraz (1.4) nasledujúcu formu:

Príklad 3. Určte, či sú čiary kolmé

Podmienka (1.13) je splnená, preto sú priamky (1.14) a (1.15) kolmé.

Odpoveď. Čiary (1.14) a (1.15) sú kolmé.

Čiary sú definované všeobecnými rovnicami

1.4. Určenie uhla medzi priamkami

Nechajte dve rovné čiary L 1 a L 2 sú dané všeobecnými rovnicami

Z definície skalárneho súčinu dvoch vektorov máme:

Príklad 4. Nájdite uhol medzi čiarami

Nahrádzanie hodnôt A 1 , B 1 , A 2 , B 2 palce (1,23), dostaneme:

Tento uhol je väčší ako 90°. Nájdite minimálny uhol medzi priamymi čiarami. Ak to chcete urobiť, odpočítajte tento uhol od 180:

Na druhej strane podmienka rovnobežných čiar L 1 a L 2 je ekvivalentná podmienke kolinearity vektorov n 1 a n 2 a môže byť znázornený takto:

Rovnosť (1.24) je splnená, preto sú priamky (1.26) a (1.27) rovnobežné.

Odpoveď. Priamky (1.26) a (1.27) sú rovnobežné.

1.6. Podmienka pre kolmosť čiar

Podmienka pre kolmosť čiar L 1 a L 2 možno extrahovať zo vzorca (1.20) substitúciou cos(φ )=0. Potom skalárny produkt (n 1 ,n 2) = 0. Kde

Rovnosť (1.28) je splnená, preto sú priamky (1.29) a (1.30) kolmé.

Odpoveď. Čiary (1.29) a (1.30) sú kolmé.

2. Uhol medzi rovnými čiarami v priestore

2.1. Určenie uhla medzi priamkami

Nech sú v priestore rovné čiary L 1 a L 2 sú dané kanonickými rovnicami

kde | q 1 | a | q 2 | smerové vektorové moduly q 1 a q 2 resp. φ -uhol medzi vektormi q 1 a q 2 .

Z výrazu (2.3) dostaneme:

.

Poďme to zjednodušiť a vyriešiť:

.

Poďme nájsť uhol φ

Definícia. Ak sú dané dve čiary y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, potom ostrý uhol medzi týmito čiarami bude definovaný ako

Dve čiary sú rovnobežné, ak k 1 = k 2. Dve čiary sú kolmé, ak k 1 = -1/ k 2.

Veta.Čiary Ax + Bу + C = 0 a A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 sú rovnobežné, keď sú koeficienty A 1 = λA, B 1 = λB úmerné. Ak aj C 1 = λC, potom sa čiary zhodujú. Súradnice priesečníka dvoch priamok sa nachádzajú ako riešenie sústavy rovníc týchto priamok.

Rovnica priamky prechádzajúcej daným bodom

Kolmo na danú čiaru

Definícia. Priamka prechádzajúca bodom M 1 (x 1, y 1) a kolmá na priamku y = kx + b je vyjadrená rovnicou:

Vzdialenosť od bodu k čiare

Veta. Ak je daný bod M(x 0, y 0), potom vzdialenosť k priamke Ax + Bу + C = 0 je určená ako

.

Dôkaz. Nech bod M 1 (x 1, y 1) je základňou kolmice spadnutej z bodu M na danú priamku. Potom vzdialenosť medzi bodmi M a M 1:

(1)

Súradnice x 1 a y 1 možno nájsť riešením sústavy rovníc:

Druhá rovnica sústavy je rovnica priamky prechádzajúcej daný bod M 0 je kolmá na danú priamku. Ak transformujeme prvú rovnicu systému do tvaru:

A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

potom pri riešení dostaneme:

Dosadením týchto výrazov do rovnice (1) zistíme:

Veta bola dokázaná.

Príklad. Určte uhol medzi čiarami: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.

ki = -3; k2 = 2; tgφ = ; φ= p/4.

Príklad. Ukážte, že priamky 3x – 5y + 7 = 0 a 10x + 6y – 3 = 0 sú kolmé.

Riešenie. Nájdeme: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1* k 2 = -1, teda čiary sú kolmé.

Príklad. Dané sú vrcholy trojuholníka A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1). Nájdite rovnicu výšky nakreslenú z vrcholu C.

Riešenie. Nájdeme rovnicu strany AB: ; 4 x = 6 y – 6;

2 x – 3 y + 3 = 0;

Požadovaná výšková rovnica má tvar: Ax + By + C = 0 alebo y = kx + b. k = . Potom y =. Pretože nadmorská výška prechádza bodom C, potom jej súradnice vyhovujú túto rovnicu: odkiaľ b = 17. Spolu: .

Odpoveď: 3 x + 2 roky – 34 = 0.

Rovnica priamky prechádzajúcej daným bodom v danom smere. Rovnica priamky prechádzajúcej cez dva dané body. Uhol medzi dvoma priamymi čiarami. Podmienka rovnobežnosti a kolmosti dvoch priamok. Určenie priesečníka dvoch priamok

1. Rovnica priamky prechádzajúcej daným bodom A(X 1 , r 1) v danom smere, určenom sklonom k,

r - r 1 = k(X - X 1). (1)

Táto rovnica definuje ceruzku čiar prechádzajúcich bodom A(X 1 , r 1), ktorý sa nazýva stred lúča.

2. Rovnica priamky prechádzajúcej cez dva body: A(X 1 , r 1) a B(X 2 , r 2), napísané takto:

Uhlový koeficient priamky prechádzajúcej dvoma danými bodmi je určený vzorcom

3. Uhol medzi rovnými čiarami A A B je uhol, o ktorý sa musí otočiť prvá priamka A okolo priesečníka týchto čiar proti smeru hodinových ručičiek, kým sa nezhoduje s druhou čiarou B. Ak sú dve priamky dané rovnicami so sklonom

r = k 1 X + B 1 ,

r = k 2 X + B 2 , (4)

potom je uhol medzi nimi určený vzorcom

Treba poznamenať, že v čitateli zlomku sa sklon prvého riadku odpočítava od sklonu druhého riadku.

Ak sú rovnice priamky uvedené v všeobecný pohľad

A 1 X + B 1 r + C 1 = 0,

A 2 X + B 2 r + C 2 = 0, (6)

uhol medzi nimi je určený vzorcom

4. Podmienky pre rovnobežnosť dvoch čiar:

a) Ak sú čiary dané rovnicami (4) s uhlovým koeficientom, potom potrebné a dostatočný stav ich rovnobežnosť spočíva v rovnosti ich uhlových koeficientov:

k 1 = k 2 . (8)

b) Pre prípad, keď sú priamky dané rovnicami vo všeobecnom tvare (6), je nutnou a postačujúcou podmienkou ich rovnobežnosti, aby koeficienty pre zodpovedajúce súradnice prúdu v ich rovniciach boli úmerné, t.j.

5. Podmienky pre kolmosť dvoch priamok:

a) V prípade, keď sú priamky dané rovnicami (4) s uhlovým koeficientom, nevyhnutnou a postačujúcou podmienkou ich kolmosti je, aby ich uhlové koeficienty boli inverzné čo do veľkosti a opačného znamienka, t.j.

Túto podmienku je možné zapísať aj do formulára

k 1 k 2 = -1. (11)

b) Ak sú rovnice priamok uvedené vo všeobecnom tvare (6), potom podmienkou ich kolmosti (nutnej a postačujúcej) je splnenie rovnosti

A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0. (12)

6. Súradnice priesečníka dvoch priamok nájdeme riešením sústavy rovníc (6). Čiary (6) sa pretínajú vtedy a len vtedy

1. Napíšte rovnice priamok prechádzajúcich bodom M, z ktorých jedna je rovnobežná a druhá kolmá na danú priamku l.

Podobné články