Kde C1 a C2 nie sú známe.
Všetky y sú známe čísla, vypočítané ako x = x 0. Aby mal systém riešenie pre akúkoľvek pravú stranu, je potrebné a postačujúce, aby sa hlavný determinant líšil od 0.
Vronského determinant. Ak je determinant 0, potom systém má riešenie iba vtedy, ak existuje podiel počiatočných podmienok. Z toho teda vyplýva, že výber počiatočných podmienok podlieha zákonu, takže akékoľvek počiatočné podmienky nemožno vziať a ide o porušenie podmienok Cauchyho problému.
Ak , potom sa Wronského determinant nerovná 0 pre žiadne hodnoty x 0.
Dôkaz. Nech je determinant rovný 0, ale zvoľme počiatočné nenulové podmienky y=0, y’=0. Potom dostaneme nasledujúci systém:
Táto sústava má nekonečný počet riešení, keď je determinant 0. C 11 a C 12 sú riešenia sústavy.
To je v rozpore s prvým prípadom, čo znamená, že Wronského determinant sa nerovná 0 pre žiadne x 0, ak . Vždy je možné vybrať konkrétne riešenie zo všeobecného riešenia pre .
Lístok č. 33
Veta o štruktúre všeobecného riešenia lineárnej homogénnej diferenciálnej rovnice 2. rádu s dôkazom.
Veta o všeobecnom riešení diferenciálnej rovnice:
riešenia tejto rovnice, potom funkcia 
tiež riešenie. Na základe tejto vety môžeme dospieť k záveru o štruktúre všeobecného riešenia homogénnej rovnice: ak 1 a 2 majú riešenia diferenciálnej rovnice také, že ich pomery sa nerovnajú konštante, potom lineárna kombinácia týchto funkcií je všeobecné riešenie diferenciálnej rovnice. Triviálne riešenie (alebo nulové) nemôže slúžiť ako riešenie tejto rovnice.
dôkaz:
Lístok č. 34
Veta o štruktúre všeobecného riešenia lineárnej nehomogénnej diferenciálnej rovnice 2. rádu s dôkazom.
Nech je daná rovnica s pravou stranou: . Rovnica bez pravej strany
ak namiesto funkcie dáme 0, nazývame ju charakteristikou.
Veta o štruktúre všeobecného riešenia rovnice s pravou stranou.
T.1 Všeobecné riešenie rovnice s pravou stranou možno poskladať ako súčet všeobecného riešenia rovnice bez pravej strany a nejakého partikulárneho riešenia tejto rovnice.
Dôkaz.
Označme všeobecným riešením a niektorým konkrétnym riešením tejto rovnice. Zoberme si funkciu 
. Máme
, 
.
Dosadením výrazov pre y, y', y'' do ľavej strany rovnice zistíme: Výraz v prvej hranatej zátvorke sa rovná 0. A výraz v druhej zátvorke sa rovná funkcii f(x ). Preto funkcia 
existuje riešenie tejto rovnice.
Lístok č. 35
Lineárne homogénne diferenciálne rovnice 2. rádu s konštantnými koeficientmi, F.S.R. a všeobecné riešenie v prípade rôznych reálnych koreňov, charakteristické rovnice s dôkazom.
Zoberme si homogénnu lineárnu rovnicu druhého rádu s konštantnými koeficientmi:
,
kde a sú čísla.
Skúsme uspokojiť rovnicu funkciou tvaru . Odtiaľto máme:
Z toho môžeme vidieť, aké bude riešenie tejto rovnice, ak r je koreň kvadratickej rovnice. Táto rovnica sa nazýva charakteristika. Ak chcete vytvoriť charakteristickú rovnicu, musíte nahradiť y jedným a každú deriváciu r na mocninu rádu derivácie.
1) Korene charakteristickej rovnice sú skutočné a rôzne.
V tomto prípade možno obidva korene považovať za indikátory funkcie r. Tu môžete okamžite získať dve rovnice. Je jasné, že ich pomer sa nerovná konštantnej hodnote.
Všeobecné riešenie v prípade skutočných a rôznych koreňov je dané vzorcom:
.
Lístok č. 36
Lineárne homogénne diferenciálne rovnice 2. rádu s konštantnými koeficientmi, F.S.R. a všeobecné riešenie v prípade viacerých koreňov, charakteristické rovnice s dôkazom.
Korene reálnej rovnice sú skutočné a rovnaké.
Bezplatné hodnotenie buniek– (pozri potenciálnu metódu)
Cyklus – taká postupnosť buniek v transportnej tabuľke (i 1 ,j 1), (i 1 ,j 2), (i 2 ,j 2),...(ik ,j 1), v ktorej sú dve a len dve susedné bunky umiestnené v jednom riadku alebo stĺpci, pričom prvá a posledná bunka sú tiež v rovnakom riadku alebo stĺpci.
(?)Permutácia pozdĺž cyklu - (posun pozdĺž cyklu o hodnotu t)- zvýšenie objemov vo všetkých nepárnych bunkách cyklu označených znamienkom „+“ o t a zníženie prepravných objemov vo všetkých párnych bunkách označených znamienkom „-“ o t.
^ Podmienka pre optimálnosť referenčného plánu.
Optimálny plán prepravy zodpovedá minimu lineárnej cieľovej funkcie f(X)= min pri obmedzeniach spotreby a ponuky
32. Formulujte definíciu diferenčnej rovnice rádu k a jej všeobecné riešenie. Uveďte definíciu lineárnej diferenčnej rovnice rádu k s konštantnými koeficientmi. Formulujte vety o všeobecnom riešení homogénnych a nehomogénnych lineárnych diferenčných rovníc (bez dôkazu).
Rovnica v tvare F(n; x n; x n +1 ;…; x n + k) = 0, kde k je pevné číslo a n je ľubovoľné prirodzené číslo, x n ; x n + 1 ;…; x n + k sú členy nejakej neznámej postupnosti čísel, nazývanej diferenčná rovnica rádu k.
Riešenie diferenčnej rovnice znamená nájsť všetky postupnosti (x n) vyhovujúce rovnici.
Všeobecným riešením rovnice k-tého rádu je jej riešenie x n = φ(n, C 1 , C 2 , …, C k ), v závislosti od k nezávislých ľubovoľných konštánt C 1 , C 2 , …, C k . Počet k konštánt sa rovná rádu diferenčnej rovnice a nezávislosť znamená, že žiadna z konštánt nemôže byť vyjadrená ako ostatné.
Uvažujme lineárnu diferenčnú rovnicu rádu k s konštantnými koeficientmi:
a k x n+k + a k-1 x n+k-1 + … + a 1 x n+1 + a 0 x n = f n , kde a i R (ak ≠ 0, a 0 ≠ 0) a
(f n ) – dané čísla a postupnosť.
^ Veta o všeobecnom riešení nehomogénnej rovnice.
Všeobecné riešenie x n lineárnej nehomogénnej diferenčnej rovnice je súčtom partikulárneho riešenia x n * tejto rovnice a všeobecného riešenia n zodpovedajúcej homogénnej rovnice.
^ Veta o všeobecnom riešení homogénnej rovnice.
Nech x n 1 ,…, x n k je systém pozostávajúci z k lineárne nezávislých riešení lineárnej homogénnej diferenčnej rovnice. Potom je všeobecné riešenie tejto rovnice dané vzorcom: x n = C 1 x n 1 + … + C k x n k.
33. Popíšte algoritmus riešenia homogénnej lineárnej diferenčnej rovnice s konštantnými koeficientmi. Formulujte definície nasledujúcich pojmov: fundamentálna množina riešení lineárnej diferenčnej rovnice, charakteristická rovnica, Casorattiho determinant.
Poznanie koreňov charakteristickej rovnice nám umožňuje zostaviť všeobecné riešenie homogénnej diferenčnej rovnice. Zoberme si to na príklade rovnice druhého rádu: Výsledné riešenia možno ľahko preniesť na prípad rovníc vyššieho rádu.
V závislosti od hodnôt diskriminantu D=b 2 -4ac charakteristickej rovnice sú možné tieto prípady:
C 1 , C 2 sú ľubovoľné konštanty.
Množina riešení lineárnej homogénnej diferenčnej rovnice k-tého rádu tvorí k-rozmerný lineárny priestor a každá množina k lineárne nezávislých riešení (nazývaná fundamentálna množina) je jej základom. Znakom lineárnej nezávislosti riešení homogénnej rovnice je, že Casorattiho determinant sa nerovná nule:
Rovnica sa nazýva charakteristická rovnica homogénnej lineárnej rovnice.
№ 34. Daná lineárna diferenčná rovnica s konštantnými koeficientmi X n +2 – 4x n +1 + 3x n = n 2 2 n + n 3 3 n.
^ V akej forme treba hľadať jeho konkrétne riešenie? Vysvetlite odpoveď.
X n +2 -4x n +1 +3x n =n 2 2 n +n 3 3 n V akej forme treba hľadať jeho konkrétne riešenie? Odpoveď musí byť vysvetlená.
X n +2 -4x n +1 +3x n = n 2 2 n + n 3 3 n
Xn+2-4xn+1+3xn=0
Xn = C13n + C21 n
X1n = (a1n2 +b1n+C1)2n
X2n = (d2n3 +a2n2 +b2n+C2)n2n
Xn = C13n + C21n + X1n + X2n
č. 35. Daná lineárna diferenčná rovnica s konštantnými koeficientmi x n +2 -4x n +1 +3x n =n 2 +2 n +3 n. V akej forme treba hľadať jeho konkrétne riešenie?
x n +2 -4x n +1 +3x n =n 2 +2 n +3 n
1) x n +2 -4x n +1 +3x=0
Ai = 3, A2 = 1
x n o = C1 (3) n + C2 (1) n = C1 (3) n + C2
2) f(n)=2n, g(n)=3n, z(n)=n2
Keďže základ exponenciálnej mocniny f(n)=2 n, rovný 2, sa nezhoduje so žiadnym z koreňov charakteristickej rovnice, hľadáme zodpovedajúce partikulárne riešenie v tvare Y n =C(2) n . Keďže základ exponenciálnej funkcie g(n)=3 n, rovný 3, sa zhoduje s jedným z koreňov charakteristickej rovnice, hľadáme zodpovedajúce partikulárne riešenie v tvare X n =Bn(3) n. Keďže z(n)=n 2 je polynóm, budeme hľadať konkrétne riešenie v tvare polynómu: Z n =A 1 n 2 +A 2 n+A 3 .
č. 36. Je daná lineárna diferenčná rovnica s konštantnými koeficientmi x n +2 +2x n +1 +4x n =cos+3 n +n 2 . V akej forme treba hľadať jeho konkrétne riešenie?
x n +2 +2x n +1 +4x n =cos +3 n +n 2
1) x n+2 +2x n+1 +4x n =0
Ai = -1+i, A2 = -1-i
Keďže základ exponenciálnej mocniny f(n)=3 n, rovný 3, sa nezhoduje so žiadnym z koreňov charakteristickej rovnice, hľadáme zodpovedajúce partikulárne riešenie v tvare Y n =B(3) n . Keďže g(n)=n 2 je polynóm, budeme hľadať konkrétne riešenie v tvare polynómu: X n =A 1 n 2 +A 2 n+A 3. Z n = Ccos
č. 37. Daná lineárna diferenčná rovnica s konštantnými koeficientmi x n +2 +2x n +1 +4x n = cos+3 n + n 2 . V akej forme treba hľadať jeho konkrétne riešenie?
x n +2 +2x n +1 +4x n = cos +3 n +n 2
Ai = -1+i, A2 = -1-i
X n 0 = (2) n (C1 cos + C2 sin)
2) f(n)=3n, g(n)=n2, z(n)=cos
Keďže základ exponenciálnej mocniny f(n)=3 n, rovný 3, sa nezhoduje so žiadnym z koreňov charakteristickej rovnice, hľadáme zodpovedajúce partikulárne riešenie v tvare Y n =B(3) n . Keďže g(n)=n 2 je polynóm, budeme hľadať konkrétne riešenie v tvare polynómu: X n =A 1 n 2 +A 2 n+A 3. Z n = Cncos
#38: Opíšte model Samuelson-Hicks. Aké ekonomické predpoklady sú za tým? V akom prípade je riešením Hicksovej rovnice stacionárna postupnosť?
Samuelson-Hicksov model hospodárskeho cyklu predpokladá priamu úmernosť objemov investícií k nárastu národného dôchodku (akceleračný princíp), t.j.
kde koeficient V>0 je faktor zrýchlenia,
I t - výška investície za obdobie t,
X t -1 ,X t -2 - hodnota národného dôchodku v obdobiach (t-1), resp. (t-2).
Tiež sa predpokladá, že dopyt v tejto fáze 
závisí od výšky národného dôchodku v predchádzajúcej fáze 
lineárne 
. Podmienka rovnosti ponuky a dopytu má formu 
. Potom sa dostaneme k Hicksovej rovnici
kde a, b sú koeficienty lineárneho vyjadrenia dopytu v tomto štádiu:
Stacionárna sekvencia 
je riešením Hicksovej rovnice len pre 
; faktor 
sa nazýva Keynesov multiplikátor (jednorozmerná analógia matice celkových nákladov).
№ ^
39. Opíšte model trhu s pavúkmi. Aké ekonomické predpoklady sú za tým? Nájdite rovnovážny stav modelu webového trhu.
40. Formulujte úlohu určenia aktuálnej hodnoty kupónového dlhopisu. Čo je Cauchyho problém pre diferenčnú rovnicu? Nájdite rovnovážne riešenie Cauchyho problému určenia aktuálnej hodnoty kupónového dlhopisu. Skontrolujte, či sa nájdená hodnota zhoduje so sumou, ktorú je potrebné momentálne zaplatiť, aby ste v každom kupónovom období dostali sumu kupónu na nekonečne dlhý čas pri danej úrokovej sadzbe na jedno kupónové obdobie.
Nechaj F
– nominálna hodnota kupónového dlhopisu (t. j. suma peňazí zaplatená emitentom v čase splatenia, ktorý sa zhoduje s koncom posledného kupónového obdobia), K
– hodnota kupónu (t. j. suma peňazí zaplatená na konci každého kupónového obdobia), X 
- aktuálna hodnota dlhopisu na konci n-tého kupónového obdobia,
Tie. p 
sa zhoduje so sumou, ktorú je potrebné momentálne zaplatiť, aby ste v každom kupónovom období dostali kupónovú sumu na nekonečne dlhý čas pri danej úrokovej sadzbe na jedno kupónové obdobie.
Veta o všeobecnom riešení (o štruktúre všeobecného riešenia) normálneho systému nehomogénnych lineárnych ód.
Uvažujme nehomogénny lineárny systém obyčajných diferenciálnych rovníc n-tého rádu
Tu 
A 
Platí nasledovné všeobecná veta o štruktúre riešenia tohto nehomogénneho lineárneho systému ODR.
Ak matica A(x) a vektorová funkcia b
(x) sú nepretržité na [ a,
b], nechaj to tak Φ
(x) je základná matica riešení homogénneho lineárneho systému, potom všeobecné riešenie nehomogénneho systému Y"
= A(X) Y
+ b(x) má tvar: 
Kde C- ľubovoľný konštantný stĺpcový vektor, x 0 - ľubovoľný pevný bod zo segmentu.
Z vyššie uvedeného vzorca je ľahké získať vzorec na riešenie Cauchyho úlohy pre lineárny nehomogénny systém ODR - Cauchyho vzorec.
Riešenie Cauchyho problému, Y(x 0) = Y 0 je vektorová funkcia
Metóda variácie ľubovoľných konštánt na hľadanie čiastkových riešení normálneho systému nehomogénnych lineárnych ód.
Definícia systému nehomogénnych lineárnych ODR. systém ODU typ:
volal lineárne heterogénne . Nechaj
Systém (*) vo forme vektorovej matice: .- systém je homogénny, inak je nehomogénny.
Samotná metóda.
Nech existuje lineárny nehomogénny systém 
, potom je lineárny homogénny systém zodpovedajúci lineárnemu nehomogénnemu systému. Nech je základná matica rozhodovacieho systému, 
, kde C je ľubovoľný konštantný vektor, je všeobecným riešením systému. Hľadajme riešenie systému (1) vo formulári 
, kde C(x) je neznáma (zatiaľ) vektorová funkcia. Chceme, aby vektorová funkcia (3) bola riešením systému (1). Potom musí byť identita pravdivá:
(ľubovoľný konštantný vektor, ktorý sa získa ako výsledok integrácie, možno považovať za rovný 0). Tu sú body x 0 ľubovoľné.
Vidíme teda, že ak v (3) berieme ako C(t) 
, potom vektorová funkcia 
bude riešením systému (1).
Všeobecné riešenie lineárnej nehomogénnej sústavy (1) možno zapísať v tvare 
. Nech je potrebné nájsť riešenie systému (1), ktoré spĺňa počiatočnú podmienku 
. Substitúcia (4) počiatočných údajov (5) dáva 
. Preto riešenie Cauchyho problému (1)-(5) možno zapísať ako: 
. V špeciálnom prípade, keď má posledný vzorec tvar: 
.
Základná sústava riešení normálnej sústavy homogénnych lineárnych rovníc s konštantnými koeficientmi v prípade jednoduchých reálnych koreňov charakteristickej rovnice.
Normálny lineárny homogénny systémnrádu s konštantnými koeficientmi
-
alebo 
,Koeficienty lineárnych kombinácií hľadaných funkcií sú konštantné. Tento systém je vo forme matrice 
–forma matice, kde A je konštantná matica. Maticová metóda: Od charakteristická rovnica 
nájdeme rôzne korene a pre každý koreň (berúc do úvahy jeho mnohopočetnosť) určíme zodpovedajúce konkrétne riešenie. Všeobecné riešenie je: 
. V tomto prípade 1) ak -
je skutočný koreň násobku 1, teda 
, kde je vlastný vektor matice A zodpovedajúci vlastnej hodnote, tzn. 2)
–
multiplicitný koreň, potom sa hľadá systémové riešenie zodpovedajúce tomuto koreňu vo forme vektora 
(**), ktorého koeficienty 
sú určené zo systému lineárnych rovníc získaných rovnaním koeficientov s rovnakými mocninamix ako výsledok dosadenia vektora (**) do pôvodného systému.
Základný systém riešení NLOS je súbor ľubovoľných n lineárne nezávislých riešení
Základný systém riešení normálneho systému homogénnych lineárnych ODR s konštantnými koeficientmi v prípade, že všetky korene charakteristickej rovnice sú jednoduché, ale existujú komplexné korene.
Otázka bola odstránená.
Celkový pohľad na systém
, i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, ..., n, - systémové koeficienty; - slobodní členovia; - premenné;
Ak všetky = 0, systém sa nazýva homogénny.
Všeobecné riešenie sústavy lineárnych rovníc
Definícia 1. Homogénny systém m lineárne algebraické rovnice pre n neznáme sa nazýva sústava rovníc
typu (1) alebo v maticovom tvare (2)
kde A je daná matica koeficientov veľkosti mxn,
Stĺpec n neznámych je nulový stĺpec výšky m.
Homogénny systém je vždy konzistentný (rozšírená matica sa zhoduje s A) a má zrejmé riešenia: x 1 = x 2 = ... = x n = 0.
Toto riešenie sa nazýva nulové resp triviálne. Volá sa akékoľvek iné riešenie, ak nejaké existuje netriviálne.
Veta 1. Ak sa poradie matice A rovná počtu neznámych, potom systém (1) má jedinečné (triviálne) riešenie.
V skutočnosti je podľa Cramerovej vety r = n a riešenie je jedinečné.
Veta 2. Na to, aby homogénna sústava mala nenulové riešenie, je potrebné a postačujúce, aby hodnosť matice sústavy bola menšia ako počet neznámych ( vyplýva z vety o počte riešení).
Þ ak existujú nenulové riešenia, potom riešenie nie je jedinečné, potom sa determinant systému rovná nule, potom r Ü ak r Veta 3. Homogénny systém n rovníc s n neznámymi má nenulové riešenie práve vtedy, ak detA = 0. Þ ak existujú nenulové riešenia, potom je riešení nekonečne veľa, potom podľa vety o počte riešení r Ü ak detA = 0, potom r Veta 4. Aby homogénna sústava mala nenulové riešenie, je potrebné, aby počet rovníc sústavy bol menší ako počet neznámych. Keďže poradie matice koeficientov nemôže byť väčšie ako počet jej riadkov (rovnako ako počet stĺpcov), potom r Definícia 2. Vyvolajú sa systémové premenné umiestnené v základných stĺpcoch pôvodnej matice koeficientov základné premenné, a volajú sa zvyšné premenné systému zadarmo. Definícia 4. Súkromné rozhodnutie nehomogénny systém AX = B sa nazýva stĺpcový vektor X získaný pomocou nula hodnoty zadarmo premenných. Veta 6. Všeobecné riešenie nehomogénneho systému lineárne rovnice AX = B má tvar , kde je konkrétne riešenie sústavy rovníc AX = B a je FSR homogénnej sústavy AX = 0. Nehomogénny systém lineárnych rovníc je systém tvaru: Jeho rozšírená matica. Veta (o všeobecnom riešení nehomogénnych sústav). · ak , kde je počet premenných systému (2), potom riešenie (2) existuje a je jedinečné; · ak , tak všeobecné riešenie sústavy (2) má tvar , kde je všeobecné riešenie sústavy (1), tzv. všeobecný homogénny roztok, je partikulárne riešenie systému (2), tzv súkromné nehomogénne riešenie. Homogénna sústava lineárnych rovníc je sústava tvaru: Nulové riešenie sústavy (1) sa nazýva triviálne riešenie. Homogénne systémy sú vždy kompatibilné, pretože vždy existuje triviálne riešenie. Ak existuje nejaké nenulové riešenie systému, potom sa volá netriviálne. Riešenia homogénneho systému majú vlastnosť linearity: Veta (o lineárnom riešení homogénnych sústav). Veta (o štruktúre všeobecného riešenia). · ak , kde je počet systémových premenných, potom existuje iba triviálne riešenie; · ak , potom existujú lineárne nezávislé riešenia posudzovaného systému: , a jeho spoločné rozhodnutie má tvar: , kde sú nejaké konštanty. 2. Permutácie a substitúcie. Determinant n-tého rádu. Vlastnosti determinantov. Definícia determinantu - tý rád. Nech je daná štvorcová matica prvého rádu: Definícia. Súčin prvkov matice A, prevzatých po jednom z každého riadka a každého stĺpca, sa nazýva člen determinantu matice A.3 Ak sú v determinante zamenené ľubovoľné dva riadky alebo dva stĺpce, potom determinant zmení svoje znamienko na opak. 4Ak matica obsahuje nulový riadok (stĺpec), potom sa determinant tejto matice rovná nule.5 Ak sa dva riadky (stĺpce) matice navzájom rovnajú, potom je determinant tejto matice rovnaký na nulu.6 Ak sú dva riadky (stĺpce) matice navzájom úmerné, potom sa determinant tejto matice rovná nule.7 Determinant trojuholníkovej matice sa rovná súčinu prvkov na hlavná uhlopriečka.8 Ak všetky prvky k tý riadok (stĺpec) determinantu sú prezentované ako súčty a k j + b k j, potom môže byť determinant reprezentovaný ako súčet zodpovedajúcich determinantov.9 Determinant sa nezmení, ak sa k prvkom ktoréhokoľvek z jeho riadkov (alebo zodpovedajúceho stĺpca) pridajú zodpovedajúce prvky iného riadka (alebo zodpovedajúceho stĺpca) , vynásobený rovnakým číslom.10. Nechaj A A B sú štvorcové matice rovnakého rádu. Potom sa determinant súčinu matíc rovná súčinu determinantov: Lineárne diferenciálne systémy rovnice. Sústava diferenciálnych rovníc je tzv lineárny, ak je lineárny vzhľadom na neznáme funkcie a ich derivácie. systém n-lineárne rovnice 1. rádu sa zapisujú v tvare: Systémové koeficienty sú konšt. Tento systém je vhodné napísať v maticovom tvare: , kde je stĺpcový vektor neznámych funkcií závislých od jedného argumentu. Stĺpcový vektor derivátov týchto funkcií. Stĺpcový vektor voľných členov. Koeficientová matica. Veta 1: Ak sú všetky maticové koeficienty A sú spojité na určitom intervale a , potom v určitom okolí každého m. V tomto prípade sú pravé strany systému spojité vzhľadom na množinu argumentov a ich parciálne derivácie vzhľadom na (rovnajúce sa koeficientom matice A) sú obmedzené v dôsledku spojitosti na uzavretom intervale. Metódy riešenia SLD 1.
Systém diferenciálnych rovníc možno zredukovať na jednu rovnicu odstránením neznámych. Príklad: Vyriešte sústavu rovníc: Riešenie: vylúčiť z z týchto rovníc. Z prvej rovnice máme . Dosadením do druhej rovnice, Tento systém rovníc (1)
zredukované na jedinú rovnicu druhého rádu. Po zistení z tejto rovnice r, treba nájsť z pomocou rovnosti. 2.
Pri riešení sústavy rovníc elimináciou neznámych sa zvyčajne získa rovnica vyššieho rádu, preto je v mnohých prípadoch výhodnejšie sústavu riešiť nájdením integrované kombinácie. Pokračovanie 27b Príklad: Vyriešte systém Riešenie: Vyriešme tento systém pomocou Eulerovej metódy. Zapíšme si determinant pre nájdenie charakteristiky rovnica: , (keďže systém je homogénny, aby mal netriviálne riešenie, tento determinant musí byť rovný nule). Získame charakteristickú rovnicu a nájdeme jej korene: Všeobecné riešenie je: Zapíšeme riešenie pre: Zapíšeme riešenie pre: Dostaneme všeobecné riešenie: Skontrolujme to: nájdime : a dosadíme do prvej rovnice tejto sústavy, t.j. . Dostaneme: Lineárny dif. rovnice n-tého rádu. Veta o všeobecnom riešení nehomogénnej lineárnej rovnice n-tého rádu. Lineárna diferenciálna rovnica n-tého rádu je rovnica v tvare: (1)
Ak má táto rovnica koeficient, po jeho delení dospejeme k rovnici: (2)
. Zvyčajne rovnice typu (2).
Predpokladajme, že v ur-i (2)
všetky šance, ako aj f(x) nepretržite v nejakom intervale (a,b). Potom, podľa TS&E, rovnica (2)
má jedinečné riešenie, ktoré spĺňa počiatočné podmienky: , , …, pre . Tu - akýkoľvek bod z intervalu (a,b), a všetky - ľubovoľné dané čísla. Rovnica (2)
vyhovuje TC&E ,
preto nemá špeciálne riešenia. Def.: špeciálne body sú tie, pri ktorých je =0. Vlastnosti lineárnej rovnice: Def: ak v rovnici (2)
dať f(x)=0, potom dostaneme rovnicu v tvare: (3)
, ktorá sa volá homogénna rovnica vzhľadom na nehomogénnu rovnicu (2).
Predstavme si lineárny diferenciálny operátor: (4).
Pomocou tohto operátora môžete v krátkosti prepísať rovnicu (2)
A (3):
L(y)=f(x), L(y)=0. Operátor (4)
má tieto jednoduché vlastnosti: Z týchto dvoch vlastností možno odvodiť dôsledok: . Funkcia y=y(x) je riešením nehomogénnej rovnice (2),
Ak L(y(x))=f(x), Potom f(x) nazval riešenie rovnice. Takže riešenie rovnice (3)
nazývaná funkcia y(x), Ak L(y(x))=0 v uvažovaných intervaloch. Zvážte nehomogénna lineárna rovnica: , L(y)=f(x). Predpokladajme, že sme nejakým spôsobom našli konkrétne riešenie, potom . Predstavme si novú neznámu funkciu z podľa vzorca: , kde je konkrétne riešenie. Dosadíme to do rovnice: , otvoríme zátvorky a dostaneme: . Výslednú rovnicu je možné prepísať takto: Keďže ide o konkrétne riešenie pôvodnej rovnice, potom . Získali sme teda homogénnu rovnicu vzhľadom na z. Všeobecným riešením tejto homogénnej rovnice je lineárna kombinácia: , kde funkcie - tvoria základný systém riešení homogénnej rovnice. Nahrádzanie z do náhradného vzorca dostaneme: Teda všeobecné riešenie nehomogénnej línie. rovnica je reprezentovaná ako súčet všeobecného riešenia homogénnej lineárnej rovnice a niektorého konkrétneho riešenia nehomogénnej rovnice. (pokračovanie na druhej strane) 30. Veta o existencii a jednoznačnosti riešenia diferenciálu. rovnice Veta: Ak je pravá strana rovnice súvislá v obdĺžniku dôkaz: Zvážte úplný metrický priestor S, ktorých bodmi sú všetky možné spojité funkcie y(x) definované na intervale Poďme vymeniť diferenciál. rovnica s danými počiatočnými podmienkami na ekvivalentnú integrálnu rovnicu: Pomocou Lipschitzovej nerovnosti môžeme napísať, že vzdialenosť . Teraz vyberme jeden, pre ktorý by platila nasledujúca nerovnosť: . Mali by ste si teda vybrať . Tak sme to ukázali. Podľa princípu kontrakčných zobrazení existuje jeden bod alebo, čo je to isté, jedna funkcia - riešenie diferenciálnej rovnice, ktoré spĺňa dané počiatočné podmienky.
Nech je (t. j. systém (2) konzistentný), potom:
Nech sú riešenia homogénnej sústavy (1) a nech sú ľubovoľné konštanty. Potom je tu aj riešenie uvažovaného systému.
Potom nech:
1
| | | | | | | | | | |
Podmienky TS&E sú splnené. V dôsledku toho cez každý takýto bod prechádza jedna integrálna krivka.
(1)
po zjednodušení dostaneme: 
.
;
- vlastný vektor.
;
- vlastný vektor.
;
.
- skutočná rovnosť.
(*) pre funkciu r– neznáma funkcia pôvodnej rovnice. Všetky riešenia pôvodnej rovnice budú obsiahnuté v (*).
a je limitovaný a spĺňa aj Lipschitzovu podmienku: , N=konst, potom existuje jedinečné riešenie, ktoré spĺňa počiatočné podmienky a je definované na segmente 
, Kde ., ktorého grafy ležia vo vnútri obdĺžnika a vzdialenosť je určená rovnosťou: 
. Tento priestor sa často používa v matematickej analýze a nazýva sa priestor rovnomernej konvergencie, pretože konvergencia v metrike tohto priestoru je rovnomerná.
a zvážte prevádzkovateľa A(y), rovná sa pravej strane tejto rovnice: 
. Tento operátor priraďuje každej spojitej funkciiPodobné články
