Прямая задача в плоском напряженном состоянии. Круг напряжений (круг Мора)

Аналитическое решение прямой задачи дается формулами (3.2) - (3.5).

Проанализируем напряженное состояние, воспользовавшись простым графическим построением. Для этого введем в рассмотрение геометрическую плоскость и отнесем ее к прямоугольным координатным осям и. Порядок расчета опишем на примере напряженного состояния, изображенного на рис. 3.5, а.

Выбрав для напряжений некоторый масштаб, откладываем на оси абсцисс (рис 3.5, б) отрезки

На как на диаметре строим окружность с центром в точке. Построенный круг носит название круга напряжений или круга Мора .

Координаты точек круга соответствуют нормальным и касательным напряжениям на различных площадках. Так, для определения напряжения на площадке, проведенной под углом (рис. 3.5, а). из центра круга (рис 3.5, б) проводим луч под углом до пересечения с окружностью в точке (положительные углы откладываем против часовой стрелки). Абсцисса точки (отрезок) равна нормальному напряжению, а ордината ее (отрезок) - касательному напряжению.

Напряжение на площадке, перпендикулярной к рассмотренной, найдем, проведя луч под углом и получив в пересечении с окружностью точку. Очевидно, ордината точки соответствует касательному напряжению, а абсцисса точки - нормальному напряжению.

Проведя из точки линию, параллельную (в нашем случае горизонталь), до пересечения с кругом, найдем полюс - точку. Линия, соединяющая полюс с любой точкой круга, параллельна направлению нормального напряжения на площадке, которой эта точка соответствует. Так, например, линия параллельна главному напряжению. Очевидно, что линия параллельна направлению главного напряжения.

Обратная задача в плоском напряженном состоянии.

При практических расчетах обычно определяют нормальные и касательные напряжения на некоторых двух взаимно перпендикулярных площадках. Пусть, например, известны напряжения , (рис. 3.6, а). По этим данным требуется определить величины главных напряжений и положение главных площадок.

Сначала решим эту задачу графически. Примем, что >, а >.

В геометрической плоскости в системе координат нанесем точку, с координатами, и точку с координатами,(рис. 3.6, б). Соединив точки и, находим центр круга - точку - и радиусом проводим окружность. Абсциссы точек ее пересечения с осью - отрезки и - дадут соответственно величины главных напряжений и.

Для определения положения главных площадок найдем полюс и воспользуемся его свойством. Проведем из точки линию параллельно линии действия напряжения, т. е. горизонталь. Точка пересечения этой линии с окружностью и является полюсом. Соединяя полюс с точками и, получим направления главных напряжений. Главные площадки перпендикулярны к найденным направлениям главных напряжений.

Рис. 3.6

Используем построенный круг для получения аналитических выражений главных напряжений и:

Формула (3.10) определяет единственное значение угла, на который нужно повернуть нормаль, чтобы получить направление алгебраически большего главного напряжения. Отрицательному значению соответствует поворот по часовой стрелке.

Если одно из главных напряжений окажется отрицательным, а другое положительным, то их следует обозначать и. Если оба главных напряжения окажутся отрицательными, то их следует обозначать и.

Круг Мора - это круговая диаграмма, дающая наглядное представление о напряжениях в различных сечениях, проходящих через данную точку. Названа в честь Отто Кристиана Мора . Является двумерной графической интерпретацией тензора напряжений .

Первым человеком, создавшим графическое представление напряжений для продольных и поперечных напряжений изгибаемой горизонтальной балки был Карл Кульман . Вклад Мора заключается в использовании этого подхода для плоского и объёмного напряжённых состояний и определение критерия прочности , основанного на круговой диаграмме напряжений .

Физический смысл

Внутренние усилия возникают между частицами сплошного деформируемого тела в качестве реакции на прикладываемые внешние силы: поверхностные и объёмные . Эта реакция согласуется со вторым законом Ньютона , приложенным к частицам материальных объектов. Величина интенсивности этих внутренних сил называется механическим напряжением . Т.к. тело считается сплошным, эти внутренние силы распределяются непрерывно по всему объёму рассматриваемого объекта.

texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \cos ^2 \theta = \frac{1+\cos 2\theta}{2}, \qquad \sin ^2 \theta = \frac{1-\cos 2\theta}{2} \qquad \text{,} \qquad \sin 2\theta= 2\sin\theta\cos\theta

Тогда можно получить

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \sigma_\mathrm{n} = \frac{1}{2} (\sigma_x + \sigma_y) + \frac{1}{2} (\sigma_x - \sigma_y)\cos 2\theta + \tau_{xy} \sin 2\theta

Касательное напряжение Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc также действует на площадке площадью Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): dA . Из равенства проекций сил на ось Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \tau_\mathrm{n} (ось Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): y" ) получаем:

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \ \begin{align} \sum F_{y"} &= \tau_\mathrm{n} dA + \sigma_x dA \cos \theta \sin \theta - \sigma_y dA \sin \theta \cos \theta - \tau_{xy} dA \cos ^2 \theta + \tau_{xy} dA \sin ^2 \theta = 0 \\ \tau_\mathrm{n} &= -(\sigma_x-\sigma_y) \sin\theta\cos\theta + \tau_{xy} \left(\cos^2 \theta -\sin^2 \theta \right) \\ \end{align}

Известно, что

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \cos ^2 \theta - \sin^2\theta=\cos 2\theta \qquad \text{,} \qquad \sin 2\theta= 2\sin\theta\cos\theta

Тогда можно получить

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \tau_\mathrm{n} = -\frac{1}{2}(\sigma_x - \sigma_y)\sin 2\theta + \tau_{xy}\cos 2\theta

Напишите отзыв о статье "Круг Мора"

Примечания

Отрывок, характеризующий Круг Мора

Было ли это случайностью, или кто-то как-то помог, но маме очень повезло – её выдали замуж за чудесного человека, венецианского магната, который... сам был очень сильным ведуном... и которого вы видите сейчас с нами...
Сияющими, повлажневшими глазами Изидора смотрела на своего удивительно отца, и было видно, насколько сильно и беззаветно она его любила. Она была гордой дочерью, с достоинством нёсшей через века своё чистое, светлое чувство, и даже там, далеко, в её новых мирах, не скрывавшей и не стеснявшейся его. И тут только я поняла, насколько же мне хотелось стать на неё похожей!.. И в её силе любви, и в её силе Ведуньи, и во всём остальном, что несла в себе эта необычайная светлая женщина...
А она преспокойно продолжала рассказывать, будто и не замечая ни наших «лившихся через край» эмоций, ни «щенячьего» восторга наших душ, сопровождавшего её чудесный рассказ.
– Вот тогда-то мама и услышала о Венеции... Отец часами рассказывал ей о свободе и красоте этого города, о его дворцах и каналах, о тайных садах и огромных библиотеках, о мостах и гондолах, и многом-многом другом. И моя впечатлительная мать, ещё даже не увидев этого чудо-города, всем сердцем полюбила его... Она не могла дождаться, чтобы увидеть этот город своими собственными глазами! И очень скоро её мечта сбылась... Отец привёз её в великолепный дворец, полный верных и молчаливых слуг, от которых не нужно было скрываться. И, начиная с этого дня, мама могла часами заниматься своим любимым делом, не боясь оказаться не понятой или, что ещё хуже – оскорблённой. Её жизнь стала приятной и защищённой. Они были по-настоящему счастливой супружеской парой, у которой ровно через год родилась девочка. Они назвали её Изидорой... Это была я.
Я была очень счастливым ребёнком. И, насколько я себя помню, мир всегда казался мне прекрасным... Я росла, окружённая теплом и лаской, среди добрых и внимательных, очень любивших меня людей. Мама вскоре заметила, что у меня проявляется мощный Дар, намного сильнее, чем у неё самой. Она начала меня учить всему, что умела сама, и чему научила её бабушка. А позже в моё «ведьмино» воспитание включился и отец.
Я рассказываю всё это, милые, не потому, что желаю поведать вам историю своей счастливой жизни, а чтобы вы глубже поняли то, что последует чуть позже... Иначе вы не почувствуете весь ужас и боль того, что мне и моей семье пришлось пережить.
Когда мне исполнилось семнадцать, молва обо мне вышла далеко за границы родного города, и от желающих услышать свою судьбу не было отбоя. Я очень уставала. Какой бы одарённой я не была, но каждодневные нагрузки изматывали, и по вечерам я буквально валилась с ног... Отец всегда возражал против такого «насилия», но мама (сама когда-то не смогшая в полную силу использовать свой дар), считала, что я нахожусь в полном порядке, и что должна честно отрабатывать свой талант.
Так прошло много лет. У меня давно уже была своя личная жизнь и своя чудесная, любимая семья. Мой муж был учёным человеком, звали его Джироламо. Думаю, мы были предназначены друг другу, так как с самой первой встречи, которая произошла в нашем доме, мы больше почти что не расставались... Он пришёл к нам за какой-то книгой, рекомендованной моим отцом. В то утро я сидела в библиотеке и по своему обычаю, изучала чей-то очередной труд. Джироламо вошёл внезапно, и, увидев там меня, полностью опешил... Его смущение было таким искренним и милым, что заставило меня рассмеяться. Он был высоким и сильным кареглазым брюнетом, который в тот момент краснел, как девушка, впервые встретившая своего жениха... И я тут же поняла – это моя судьба. Вскоре мы поженились, и уже никогда больше не расставались. Он был чудесным мужем, ласковым и нежным, и очень добрым. А когда родилась наша маленькая дочь – стал таким же любящим и заботливым отцом. Так прошли, очень счастливые и безоблачные десять лет. Наша милая дочурка Анна росла весёлой, живой, и очень смышлёной. И уже в её ранние десять лет, у неё тоже, как и у меня, стал потихонечку проявляться Дар...
Жизнь была светлой и прекрасной. И казалось, не было ничего, что могло бы омрачить бедой наше мирное существование. Но я боялась... Уже почти целый год, каждую ночь мне снились кошмары – жуткие образы замученных людей и горящих костров. Это повторялось, повторялось, повторялось... сводя меня с ума. Но больше всего меня пугал образ странного человека, который приходил в мои сны постоянно, и, не говоря ни слова, лишь пожирал меня горящим взором своих глубоких чёрных глаз... Он был пугающим и очень опасным.
И вот однажды оно пришло... На чистом небосводе моей любимой Венеции начали собираться чёрные тучи... Тревожные слухи, нарастая, бродили по городу. Люди шептались об ужасах инквизиции и, леденящих душу, живых человеческих кострах... Испания уже давно полыхала, выжигая чистые людские души «огнём и мечом», именем Христа... А за Испанией уже загоралась и вся Европа... Я не была верующей, и никогда не считала Христа Богом. Но он был чудесным Ведуном, самым сильным из всех живущих. И у него была удивительно чистая и высокая душа. А то, что творила церковь, убивая «во славу Христа», было страшным и непростительным преступлением.

Зависимость напряжений σ n и τ n , действующих на площадку с нормалью n, проходящую через рассматриваемую точку, можно представить наглядно графически при помощи круговой диаграммы Мора (кругов Мора).

ПЛОСКОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ . Заданы главные напряжения σ 1 и σ 2 (см. рис. 2) . Откладываются отрезки ОA=σ 1 и ОВ=σ 2 с учетом знаков (рис. 1). На отрезке АВ, как на диаметре, строится окружность. Из точки В проводится прямая под углом α к оси σ. Координаты точки D пересечения этой прямой с окружностью дают напряжения по наклонной площадке: ОЕ=σ n , ED=τ n .

Рисунок 1.

Заданы напряжения α х, σ y , τ ху (рис. 2). Откладываются отрезки ОЕ=σ х и OF=σ y с учетом знаков. Из точки Е (независимо от ее положения) откладывается отрезок ED=τ xy также с учетом знака. Из точки С, делящей отрезок EF пополам, как из центра строится окружность радиусом CD. Прямая BD определяет направление действия вектора главного напряжения σ 1 , а абсциссы точек пересечения окружности с осью σ дают величины главных напряжений: OА=σ 1 , ОВ=σ 2 .

Рисунок 2.

ОБЪЕМНОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ . Строятся три полуокружности на отрезках, изображающих разности главных напряжений σ 1 -σ 3 , σ 2 -σ 3 , σ 1 -σ 2 , как на диаметрах (рис. 3). Напряжения σ n и τ n по наклонной площадке, нормаль к которой образует углы α, β и γ с направлениями трех главных напряжений, определяются путем следующего построения. Проводятся линии АЕ и BF соответственно под углами α и γ от вертикали. Через полученные точки пересечения Е и F проводятся дуги радиусами С 2 Е и C 1 F до пересечения в точке D, координаты которой и дают величины напряжений σ n и τ n . Точки, изображающие напряженные состояния по разным площадкам, не выходят из области, заключенной между тремя полуокружностями (заштрихована на рисунке).

КРУГИ МОРА

Круги Мора-круговые диаграммы, дающие наглядное представление о напряжениях в разных сечениях, проходящих через данную точку. Координаты точек круга соответствуют нормальным и касательным напряжениям на различных площадках. Откладываем от оси  из центра С луч под углом 2 (>0, то против час.стр.), находим точку D,

координаты которой:   ,  . Можно графически решать как прямую, так и обратную задачи.

Объемное напряженное состояние

Напряжения в любой площадке при известных главных напряжениях  1 ,  2 ,  3:

где  1 ,  2 ,  3 - углы между нормалью к рассматриваемой площадке и направлениями главных напряжений.

Наибольшее касательное напряжение:
.

Оно действует по площадке параллельной главному напряжению  2 и наклоненной под углом 45 о к главным напряжениям  1 и  3 .

К
руг Мора для объемного напряженного состояния.

Точки, являющиеся вершинами кругов соответствуют диагональным площадкам, наклоненным под 45 о к главным напряжениям:

,
(иногда называют главными касательными напряжениями).

Плоское напряженное состояние - частный случай объемного и тоже может быть представлено тремя кругами Мора, при этом одно из главных напряжений должно быть равно 0. Для касательных напряжений также, как и при плоском напряженном состоянии, действует закон парности : составляющие касательных напряжений по взаимно перпендикулярным площадкам, перпендикулярные к линии пересечения этих площадок, равны по величине и обратны по направлению.

Напряжения по октаэдрической площадке .

Октаэдрическая площадка (АВС) – площадка, равнонаклоненная ко всем главным направлениям.

;

Октаэдрическое нормальное напряжение равно среднему из трех главных напряжений.

или
, Октаэдрическое касательное напряжение пропорционально геометрической сумме главных касательных напряжений. Интенсивность напряжений :

 x + y + z = 1 + 2 + 3 - сумма нормальных напряжений, действующих по любым трем взаимно перпендикулярным площадкам есть постоянная величина, равная сумме главных напряжений (первый инвариант).

Деформации при объемном напряженном состоянии.

Обобщенный закон Гука (закон Гука при объемном напряжении):


1 , 2 , 3 - относительные удлинения в главных направлениях (главные удлинения ). Если какие-либо из напряжений  i будут сжимающими, то их необходимо подставлять в формулы со знаком минус.

Относительная объемная деформация :

Изменение объема не зависит от соотношения между главными напряжениями, а зависит от суммы главных напряжений. Т.е. элементарный кубик получит такое же изменение объема, если к его граням будут приложены одинаковые средние напряжения:
, тогда
, где К=
- модуль объемной деформации . При деформации тела, материал которого имеет коэффициент Пуассона = 0,5 (например, резина) объем тела не меняется.

Потенциальная энергия деформации

При простом растяжении (сжатии) потенциальная энергия U=
.

Удельная потенциальная энергия - количество потенциальной энергии, накапливаемое в единице объема: u =
;
. В общем случае объемного напряженного состояния, когда действуют три главных напряжения:

или

Полная энергия деформации, накапливаемая в единице объема, может рассматриваться как состоящая из двух частей: 1) энергии u o , накапливаемой за счет изменения объема (т.е. одинакового изменения всех размеров кубика без изменения кубической формы) и 2) энергии u ф, связанной с изменением формы кубика (т.е. энергии, расходуемой на превращение кубика в параллелепипед). u = u о + u ф.

;

- тензор напряжений (матрица третьего порядка).

При переходе к главным напряжениям тензор напряжений получает вид:

J 1 =  x +  y +  z ;

J 2 =  x  y + y  z +  y  z -  2 xy -  2 zx -  2 yz ;

J 3 =  x  y  z -  x  2 yz -  y  2 zx -  z  2 xy + 2 xy  zx  yz .

. При повороте системы координат коэффициенты тензора меняются, сам тензор остается постоянным. Три инварианта напряженного состояния:

Аналогичные зависимости возникают при рассмотрении деформированного состояния в точке. Сопоставление зависимостей напряженного и деформированного плоского состояния (аналогия):

  - относительная деформация,   - угол сдвига.

Та же аналогия сохраняется и для объемного состояния. Поэтому имеем инварианты деформированного состояния:

J 1 =  x +  y +  z ;

J 2 =  x  y + y  z +  z  x -  2 xy -  2 yz -  2 zx ;

- тензор деформаций .

 x ,  y ,  z ,  xy ,  yz ,  zx - компоненты деформированного состояния.

Для осей, совпадающих с направлениями главных деформаций  1 ,  2 ,  3 , тензор деформаций принимает вид:
.

Прямая задача Мора – это задача определения напряжений на произвольной площадке по известным главным напряжениям.

Рассмотрим элементарный объем, находящийся в условиях объемного напряженного состояния, причем грани этого объема являются главными площадками. Секущей площадкой, параллельной главному напряжению σ 2 , выделим из этого объема треугольную призму:

Для определения напряжений на произвольной секущей площадке, рассмотрим переднюю грань призмы

Запишем уравнения равновесия для системы сил, действующей на грани призмы.

Для оси, касательной к наклонной площадке
:

Сокращая общие множители и умножая все слагаемые на
, получим

,

. (2.2)

Для оси, нормальной к наклонной площадке
:

Проведем следующие преобразования:

и получим:

. (2.3)

Возведем в квадрат каждую часть полученных выражений (2.2) и (2.3):

,

.

Суммируя попарно левые и правые части, получим:

.

Это уравнение в координатах    является уравнением окружности с центром в точке
,
и радиусом
:

Полученная окружность называется кругом напряжений иликругом Мора . Круг Мора пересекает ось абсцисс в точках с координатами 1 и 3 .

Определим координаты точки D  :

, (2.5)

что совпадает с полученными ранее формулами (2.2) и (2.3).

Таким образом, каждой площадке, наклоненной под углом  к главным площадкам, на круге Мора соответствует определенная точка. Радиус этой точки составляет с осью абсцисс угол 2 , а ее координаты определяют напряжения на площадке  и  .

Задача.

В стержне с площадью поперечного сечения A = 5х10 4 м 2 , растягиваемом силойF = 50 кН, определить нормальное и касательное напряжения, возникающие на площадке, наклоненной под углом
к поперечному сечению стержня:

В точках поперечного сечения возникают только нормальные напряжения, то есть площадка элементарного объема в окрестностях точки, совпадающая с этим сечением, является главной:

,

остальные главные напряжения отсутствуют, т.е. это одноосное напряженное состояние.

Найдем напряжения на наклонной площадке.

Вектор полного напряжения p , действующий на этой площадке, можно разложить на две составляющие: нормальную  и касательную  , для определения величины которых воспользуемся кругом Мора.

Наносим в координатах    точки, соответствующие главным напряжениям
и
, и на этих точках, как на диаметре, строим круг Мора:

Откладывая от оси абсцисс против часовой стрелки двойной угол  , получаем на круге точку, отображающую состояние на наклонной площадке. Координаты этой точки являются искомыми напряжениями и вычисляются по формулам (2.4) и (2.5):

,
.

Обратная задача Мора

Обратная задача Мора состоит в определении главных напряжений по известным напряжениям на произвольной площадке. Рассмотрим её на конкретном примере.

Задача.

Определить главные напряжения в опасной точке стержня, подвергающегося совместному действию изгиба и кручения:

Построив эпюры внутренних силовых факторов, заключаем, что опасным сечением стержня является сечение заделки, в котором действует наибольший по величине изгибающий момент M x .

Для нахождения опасной точки в опасном сечении рассмотрим распределение нормальных и касательных напряжений по опасному сечению:

В данном случае имеется две равноопасные точки – B иC , в которых действуют максимальные нормальные и касательные напряжения, одинаковые по величине, но разные по направлению. Рассмотрим напряженное состояние в точкеВ , выделив в её окрестности элементарный объем и расставив вектора напряженийина его гранях.

Величины напряжений иможно определить по формулам:

,

.

Рассмотрим выделенный куб со стороны грани, свободной от напряжений (сверху):

Обозначим две взаимно перпендикулярные площадки  и . На площадке действуют нормальное
и касательное напряжение
. На площадке действуют только касательное напряжение
(согласно закону парности касательных напряжений).

Порядок построения круга Мора :

Наносим положение главных площадок и направление главных напряжений на рассматриваемую площадку:

Радиус круга Мора

,

тогда главные напряжения

,

.

Похожие статьи