Për të faktorizuar, është e nevojshme të thjeshtohen shprehjet. Kjo është e nevojshme në mënyrë që të mund të reduktohet më tej. Zgjerimi i një polinomi ka kuptim kur shkalla e tij nuk është më e ulët se dy. Një polinom me shkallën e parë quhet linear.

Artikulli do të mbulojë të gjitha konceptet e dekompozimit, bazë teorike dhe metodat e faktorizimit të një polinomi.

Teoria

Teorema 1

Kur çdo polinom me shkallë n, që ka formën P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0, përfaqësohen si një produkt me një faktor konstant me shkallën më të lartë a n dhe n faktorë linearë (x - x i), i = 1, 2, ..., n, pastaj P n (x) = a n (x - x n) (x - x n - 1) · . . . · (x - x 1) , ku x i, i = 1, 2, …, n janë rrënjët e polinomit.

Teorema është menduar për rrënjët e tipit kompleks x i, i = 1, 2, ..., n dhe për koeficientët kompleks a k, k = 0, 1, 2, ..., n. Kjo është baza e çdo dekompozimi.

Kur koeficientët e formës a k, k = 0, 1, 2, ..., n janë numra realë, atëherë rrënjë komplekse, të cilat do të ndodhin në çifte të konjuguara. Për shembull, rrënjët x 1 dhe x 2 lidhen me një polinom të formës P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 konsiderohen të konjuguara komplekse, atëherë rrënjët e tjera janë reale, nga të cilat marrim se polinomi merr formën P n (x) = a n (x - x n) (x - x n - 1) · . . . · (x - x 3) x 2 + p x + q, ku x 2 + p x + q = (x - x 1) (x - x 2) .

Koment

Rrënjët e një polinomi mund të përsëriten. Le të shqyrtojmë vërtetimin e teoremës së algjebrës, pasojë e teoremës së Bezout.

Teorema themelore e algjebrës

Teorema 2

Çdo polinom me shkallë n ka të paktën një rrënjë.

Teorema e Bezout

Pas pjesëtimit të një polinomi të formës P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 on (x - s), atëherë marrim mbetjen, e cila është e barabartë me polinomin në pikën s, atëherë marrim

P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 = (x - s) · Q n - 1 (x) + P n (s) , ku Q n - 1 (x) është një polinom me shkallë n - 1.

Përfundim i teoremës së Bezout

Kur rrënja e polinomit P n (x) konsiderohet të jetë s, atëherë P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 = (x - s) · Q n - 1 (x) . Kjo përfundim është e mjaftueshme kur përdoret për të përshkruar zgjidhjen.

Faktorizimi i një trinomi kuadratik

Një trinom katror i formës a x 2 + b x + c mund të faktorizohet në faktorë linearë. atëherë marrim se a x 2 + b x + c = a (x - x 1) (x - x 2) , ku x 1 dhe x 2 janë rrënjë (komplekse ose reale).

Nga kjo është e qartë se vetë zgjerimi reduktohet në zgjidhje ekuacioni kuadratik më pas.

Shembulli 1

Faktoroni trinomin kuadratik.

Zgjidhje

Është e nevojshme të gjenden rrënjët e ekuacionit 4 x 2 - 5 x + 1 = 0. Për ta bërë këtë, ju duhet të gjeni vlerën e diskriminuesit duke përdorur formulën, atëherë marrim D = (- 5) 2 - 4 · 4 · 1 = 9. Nga këtu e kemi atë

x 1 = 5 - 9 2 4 = 1 4 x 2 = 5 + 9 2 4 = 1

Nga kjo marrim se 4 x 2 - 5 x + 1 = 4 x - 1 4 x - 1.

Për të kryer kontrollin, duhet të hapni kllapat. Pastaj marrim një shprehje të formës:

4 x - 1 4 x - 1 = 4 x 2 - x - 1 4 x + 1 4 = 4 x 2 - 5 x + 1

Pas kontrollit, arrijmë në shprehjen origjinale. Kjo do të thotë, mund të konkludojmë se dekompozimi është kryer në mënyrë korrekte.

Shembulli 2

Faktorizoj trinomi kuadratik të formës 3 x 2 - 7 x - 11.

Zgjidhje

Ne konstatojmë se është e nevojshme të llogaritet ekuacioni kuadratik që rezulton i formës 3 x 2 - 7 x - 11 = 0.

Për të gjetur rrënjët, duhet të përcaktoni vlerën e diskriminuesit. Ne e kuptojmë atë

3 x 2 - 7 x - 11 = 0 D = (- 7) 2 - 4 3 (- 11) = 181 x 1 = 7 + D 2 3 = 7 + 181 6 x 2 = 7 - D 2 3 = 7 - 181 6

Nga kjo marrim se 3 x 2 - 7 x - 11 = 3 x - 7 + 181 6 x - 7 - 181 6.

Shembulli 3

Faktoroni polinomin 2 x 2 + 1.

Zgjidhje

Tani duhet të zgjidhim ekuacionin kuadratik 2 x 2 + 1 = 0 dhe të gjejmë rrënjët e tij. Ne e kuptojmë atë

2 x 2 + 1 = 0 x 2 = - 1 2 x 1 = - 1 2 = 1 2 i x 2 = - 1 2 = - 1 2 i

Këto rrënjë quhen konjugate komplekse, që do të thotë se vetë zgjerimi mund të përshkruhet si 2 x 2 + 1 = 2 x - 1 2 · i x + 1 2 · i.

Shembulli 4

Zbërthehet trinomi kuadratik x 2 + 1 3 x + 1 .

Zgjidhje

Së pari ju duhet të zgjidhni një ekuacion kuadratik të formës x 2 + 1 3 x + 1 = 0 dhe të gjeni rrënjët e tij.

x 2 + 1 3 x + 1 = 0 D = 1 3 2 - 4 1 1 = - 35 9 x 1 = - 1 3 + D 2 1 = - 1 3 + 35 3 i 2 = - 1 + 35 · i 6 = - 1 6 + 35 6 · i x 2 = - 1 3 - D 2 · 1 = - 1 3 - 35 3 · i 2 = - 1 - 35 · i 6 = - 1 6 - 35 6 · i

Pasi kemi marrë rrënjët, ne shkruajmë

x 2 + 1 3 x + 1 = x - - 1 6 + 35 6 i x - - 1 6 - 35 6 i = = x + 1 6 - 35 6 i x + 1 6 + 35 6 i

Koment

Nëse vlera diskriminuese është negative, atëherë polinomet do të mbeten polinome të rendit të dytë. Nga kjo rezulton se ne nuk do t'i zgjerojmë ato në faktorë linearë.

Metodat për faktorizimin e një polinomi me shkallë më të lartë se dy

Kur zbërthehet supozohet metodë universale. Shumica e të gjitha rasteve bazohen në një përfundim të teoremës së Bezout. Për ta bërë këtë, ju duhet të zgjidhni vlerën e rrënjës x 1 dhe të zvogëloni shkallën e saj duke e ndarë me një polinom me 1 duke e ndarë me (x - x 1). Polinomi që rezulton duhet të gjejë rrënjën x 2 dhe procesi i kërkimit është ciklik derisa të marrim një zgjerim të plotë.

Nëse rrënja nuk gjendet, atëherë përdoren metoda të tjera të faktorizimit: grupimi, termat shtesë. Kjo temë përfshin zgjidhjen e ekuacioneve me gradat më të larta dhe koeficientët e plotë.

Nxjerrja e faktorit të përbashkët jashtë kllapave

Shqyrtoni rastin kur termi i lirë është i barabartë me zero, atëherë forma e polinomit bëhet P n (x) = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x .

Mund të shihet se rrënja e një polinomi të tillë do të jetë e barabartë me x 1 = 0, atëherë polinomi mund të përfaqësohet si shprehja P n (x) = a n x n + a n - 1 x n - 1 +. . . + a 1 x = = x (a n x n - 1 + a n - 1 x n - 2 + . . . + a 1)

Kjo metodë konsiderohet të jetë heqje shumëzues i përbashkët jashtë kllapave.

Shembulli 5

Faktoroni polinomin e shkallës së tretë 4 x 3 + 8 x 2 - x.

Zgjidhje

Shohim se x 1 = 0 është rrënja e polinomit të dhënë, atëherë mund të heqim x nga kllapat e të gjithë shprehjes. Ne marrim:

4 x 3 + 8 x 2 - x = x (4 x 2 + 8 x - 1)

Le të kalojmë në gjetjen e rrënjëve të trinomit katror 4 x 2 + 8 x - 1. Le të gjejmë diskriminuesin dhe rrënjët:

D = 8 2 - 4 4 (- 1) = 80 x 1 = - 8 + D 2 4 = - 1 + 5 2 x 2 = - 8 - D 2 4 = - 1 - 5 2

Pastaj rrjedh se

4 x 3 + 8 x 2 - x = x 4 x 2 + 8 x - 1 = = 4 x x - - 1 + 5 2 x - - 1 - 5 2 = = 4 x x + 1 - 5 2 x + 1 + 5 2

Për të filluar, le të marrim në konsideratë një metodë dekompozimi që përmban koeficientë të plotë të formës P n (x) = x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0, ku koeficienti i shkallës më të lartë është 1.

Kur një polinom ka rrënjë të plota, atëherë ato konsiderohen pjesëtues të termit të lirë.

Shembulli 6

Zbërthe shprehjen f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18.

Zgjidhje

Le të shqyrtojmë nëse ka rrënjë të plota. Është e nevojshme të shkruani pjesëtuesit e numrit - 18. Marrim se ±1, ±2, ±3, ±6, ±9, ±18. Nga kjo rezulton se ky polinom ka rrënjë të plota. Ju mund të kontrolloni duke përdorur skemën e Horner. Është shumë i përshtatshëm dhe ju lejon të merrni shpejt koeficientët e zgjerimit të një polinomi:

Nga kjo rrjedh se x = 2 dhe x = - 3 janë rrënjët e polinomit origjinal, i cili mund të përfaqësohet si produkt i formës:

f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18 = (x - 2) (x 3 + 5 x 2 + 9 x + 9) = = (x - 2) (x + 3) (x 2 + 2 x + 3)

Ne vazhdojmë me zgjerimin e një trinomi kuadratik të formës x 2 + 2 x + 3.

Meqenëse diskriminuesi është negativ, do të thotë rrënjë të vërteta Nr.

Përgjigje: f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18 = (x - 2) (x + 3) (x 2 + 2 x + 3)

Koment

Lejohet të përdoret zgjedhja e rrënjës dhe ndarja e një polinomi me një polinom në vend të skemës së Hornerit. Le të kalojmë në shqyrtimin e zgjerimit të një polinomi që përmban koeficientë të plotë të formës P n (x) = x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0, më e larta prej të cilave është e barabartë me një.

Ky rast ndodh për thyesat racionale.

Shembulli 7

Faktorizoni f (x) = 2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 .

Zgjidhje

Është e nevojshme të zëvendësohet ndryshorja y = 2 x, duhet të kaloni në një polinom me koeficientë të barabartë me 1 në shkallën më të lartë. Ju duhet të filloni duke shumëzuar shprehjen me 4. Ne e kuptojmë atë

4 f (x) = 2 3 x 3 + 19 2 2 x 2 + 82 2 x + 60 = = y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 = g (y)

Kur funksioni rezultues i formës g (y) = y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 ka rrënjë të plota, atëherë vendndodhja e tyre është ndër pjesëtuesit e termit të lirë. Hyrja do të duket si kjo:

±1, ±2, ±3, ±4, ±5, ±6, ±10, ±12, ±15, ±20, ±30, ±60

Le të kalojmë në llogaritjen e funksionit g (y) në këto pika në mënyrë që të marrim zero si rezultat. Ne e kuptojmë atë

g (1) = 1 3 + 19 1 2 + 82 1 + 60 = 162 g (- 1) = (- 1) 3 + 19 (- 1) 2 + 82 (- 1) + 60 = - 4 g (2 ) = 2 3 + 19 2 2 + 82 2 + 60 = 308 g (- 2) = (- 2) 3 + 19 (- 2) 2 + 82 (- 2) + 60 = - 36 g (3) = 3 3 + 19 3 2 + 82 3 + 60 = 504 g (- 3) = (- 3) 3 + 19 (- 3) 2 + 82 (- 3) + 60 = - 42 g (4) = 4 3 + 19 · 4 2 + 82 · 4 + 60 = 756 g (- 4) = (- 4) 3 + 19 · (- 4) 2 + 82 · (- 4) + 60 = - 28 g (5) = 5 3 + 19 5 2 + 82 5 + 60 = 1070 g (- 5) = (- 5) 3 + 19 (- 5) 2 + 82 (- 5) + 60

Gjejmë se y = - 5 është rrënja e një ekuacioni të formës y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60, që do të thotë x = y 2 = - 5 2 është rrënja e funksionit origjinal.

Shembulli 8

Është e nevojshme të ndahet me një kolonë 2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 me x + 5 2.

Zgjidhje

Le ta shkruajmë dhe të marrim:

2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 = x + 5 2 (2 x 2 + 14 x + 6) = = 2 x + 5 2 (x 2 + 7 x + 3)

Kontrollimi i pjesëtuesve do të marrë shumë kohë, kështu që është më e dobishme të faktorizoni trinomin kuadratik që rezulton i formës x 2 + 7 x + 3. Duke barazuar me zero gjejmë diskriminuesin.

x 2 + 7 x + 3 = 0 D = 7 2 - 4 1 3 = 37 x 1 = - 7 + 37 2 x 2 = - 7 - 37 2 ⇒ x 2 + 7 x + 3 = x + 7 2 - 37 2 x + 7 2 + 37 2

Nga kjo rrjedh se

2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 = 2 x + 5 2 x 2 + 7 x + 3 = = 2 x + 5 2 x + 7 2 - 37 2 x + 7 2 + 37 2

Teknika artificiale për faktorizimin e një polinomi

Rrënjët racionale nuk janë të natyrshme në të gjitha polinomet. Për ta bërë këtë ju duhet të përdorni në mënyra të veçanta për të gjetur faktorë. Por jo të gjithë polinomet mund të zgjerohen ose paraqiten si produkt.

Metoda e grupimit

Ka raste kur mund të gruponi termat e një polinomi për të gjetur një faktor të përbashkët dhe për ta vendosur atë jashtë kllapave.

Shembulli 9

Faktoroni polinomin x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2.

Zgjidhje

Për shkak se koeficientët janë numra të plotë, atëherë rrënjët me sa duket mund të jenë gjithashtu numra të plotë. Për të kontrolluar, merrni vlerat 1, - 1, 2 dhe - 2 për të llogaritur vlerën e polinomit në këto pika. Ne e kuptojmë atë

1 4 + 4 1 3 - 1 2 - 8 1 - 2 = - 6 ≠ 0 (- 1) 4 + 4 (- 1) 3 - (- 1) 2 - 8 (- 1) - 2 = 2 ≠ 0 2 4 + 4 2 3 - 2 2 - 8 2 - 2 = 26 ≠ 0 (- 2) 4 + 4 (- 2) 3 - (- 2) 2 - 8 (- 2) - 2 = - 6 ≠ 0

Kjo tregon se nuk ka rrënjë është e nevojshme të përdoret një metodë tjetër e zgjerimit dhe zgjidhjes.

Është e nevojshme të grupohen:

x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 = x 4 + 4 x 3 - 2 x 2 + x 2 - 8 x - 2 = = (x 4 - 2 x 2) + (4 x 3 - 8 x) + x 2 - 2 = = x 2 (x 2 - 2) + 4 x (x 2 - 2) + x 2 - 2 = = (x 2 - 2) (x 2 + 4 x + 1)

Pas grupimit të polinomit origjinal, duhet ta përfaqësoni atë si produkt i dy trinomeve katrore. Për ta bërë këtë, ne duhet të faktorizojmë. ne e marrim atë

x 2 - 2 = 0 x 2 = 2 x 1 = 2 x 2 = - 2 ⇒ x 2 - 2 = x - 2 x + 2 x 2 + 4 x + 1 = 0 D = 4 2 - 4 1 1 = 12 x 1 = - 4 - D 2 1 = - 2 - 3 x 2 = - 4 - D 2 1 = - 2 - 3 ⇒ x 2 + 4 x + 1 = x + 2 - 3 x + 2 + 3

x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 = x 2 - 2 x 2 + 4 x + 1 = = x - 2 x + 2 x + 2 - 3 x + 2 + 3

Koment

Thjeshtësia e grupimit nuk do të thotë se zgjedhja e termave është mjaft e lehtë. Nuk ka një metodë specifike zgjidhjeje, prandaj është e nevojshme të përdoren teorema dhe rregulla të veçanta.

Shembulli 10

Faktoroni polinomin x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 .

Zgjidhje

Polinomi i dhënë nuk ka rrënjë numër të plotë. Termat duhet të grupohen. Ne e kuptojmë atë

x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 = = (x 4 + x 3) + (2 x 3 + 2 x 2) + (- 2 x 2 - 2 x) - x 2 - 2 x + 2 = = x 2 (x 2 + x) + 2 x (x 2 + x) - 2 (x 2 + x) - (x 2 + 2 x - 2) = = (x 2 + x) (x 2 + 2 x - 2) - (x 2 + 2 x - 2) = (x 2 + x - 1) (x 2 + 2 x - 2)

Pas faktorizimit e marrim atë

x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 = x 2 + x - 1 x 2 + 2 x - 2 = = x + 1 + 3 x + 1 - 3 x + 1 2 + 5 2 x + 1 2 - 5 2

Përdorimi i formulave të shkurtuara të shumëzimit dhe binomit të Njutonit për të faktorizuar një polinom

Pamja shpesh nuk e bën të qartë se cila metodë duhet të përdoret gjatë dekompozimit. Pasi të jenë bërë transformimet, mund të ndërtoni një vijë të përbërë nga trekëndëshi i Paskalit, përndryshe ato quhen binomi i Njutonit.

Shembulli 11

Faktoroni polinomin x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2.

Zgjidhje

Është e nevojshme të konvertohet shprehja në formë

x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3

Sekuenca e koeficientëve të shumës në kllapa tregohet me shprehjen x + 1 4 .

Kjo do të thotë se kemi x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3.

Pas aplikimit të diferencës së katrorëve, marrim

x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 = = x + 1 4 - 3 = x + 1 2 - 3 x + 1 2 + 3

Merrni parasysh shprehjen që është në kllapa e dytë. Është e qartë se atje nuk ka kalorës, ndaj duhet të aplikojmë sërish formulën e diferencës së katrorëve. Marrim një shprehje të formës

x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 = = x + 1 4 - 3 = x + 1 2 - 3 x + 1 2 + 3 = = x + 1 - 3 4 x + 1 + 3 4 x 2 + 2 x + 1 + 3

Shembulli 12

Faktorizo ​​x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 .

Zgjidhje

Le të fillojmë të transformojmë shprehjen. Ne e kuptojmë atë

x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 = x 3 + 3 2 x 2 + 3 2 2 x + 2 3 - 2 = (x + 2) 3 - 2

Është e nevojshme të zbatohet formula për shumëzimin e shkurtuar të diferencës së kubeve. Ne marrim:

x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 = = (x + 2) 3 - 2 = = x + 2 - 2 3 x + 2 2 + 2 3 x + 2 + 4 3 = = x + 2 - 2 3 x 2 + x 2 + 2 3 + 4 + 2 2 3 + 4 3

Një metodë për zëvendësimin e një ndryshoreje kur faktorizoni një polinom

Kur zëvendësohet një ndryshore, shkalla zvogëlohet dhe polinomi faktorizohet.

Shembulli 13

Faktoroni polinomin e trajtës x 6 + 5 x 3 + 6 .

Zgjidhje

Sipas kushtit, është e qartë se është e nevojshme të bëhet zëvendësimi y = x 3. Ne marrim:

x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6

Rrënjët e ekuacionit kuadratik që rezulton janë y = - 2 dhe y = - 3, atëherë

x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6 = = y + 2 y + 3 = x 3 + 2 x 3 + 3

Është e nevojshme të zbatohet formula për shumëzimin e shkurtuar të shumës së kubeve. Marrim shprehje të formës:

x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6 = = y + 2 y + 3 = x 3 + 2 x 3 + 3 = = x + 2 3 x 2 - 2 3 x + 4 3 x + 3 3 x 2 - 3 3 x + 9 3

Kjo do të thotë, kemi marrë dekompozimin e dëshiruar.

Rastet e diskutuara më sipër do të ndihmojnë në shqyrtimin dhe faktorizimin e një polinomi në mënyra të ndryshme.

Nëse vëreni një gabim në tekst, ju lutemi theksoni atë dhe shtypni Ctrl+Enter

Detyrë 1. Gjeni gcd të polinomeve

f(x)=x 4 –2x 3 –x+2, g(x)=x 4 –x 3 +x–1, h(x)=x 4 –4x 2 –x+2.

Zgjidhje. GCD e polinomeve mund të gjendet në mënyrë unike vetëm deri në një faktor konstant (faktorët konstantë jozero nuk ndikojnë në pjesëtueshmërinë e polinomeve). Prandaj, mund të biem dakord të marrim si GCD të polinomeve atë koeficienti kryesor i të cilit është i barabartë me 1.

Duke aplikuar algoritmin Euklidian për polinomet me koeficientë të plotë, ne mundemi, për të shmangur koeficientët thyesorë, të shumëzojmë dividentin ose pjesëtuesin me ndonjë e barabartë me zero numër, dhe jo vetëm duke u nisur nga ndonjë prej ndarjeve të njëpasnjëshme, por edhe në vetë procesin e kësaj ndarjeje. Kjo, natyrisht, do të çojë në një shtrembërim të koeficientit, por mbetjet me interes për ne do të fitojnë vetëm një faktor të caktuar të shkallës zero.

Për të gjetur GCD-në e tre polinomeve, së pari gjejmë GCD-në e çdo dy polinomi duke përdorur algoritmin Euklidian, për shembull. d(x)=(f(x),h(x)), dhe më pas gjeni gcd d(x) Dhe g(x).

Algoritmi i Euklidit përbëhet nga ndarja sekuenciale e polinomeve me një mbetje. Le të ndajmë së pari f(x) në h(x), pastaj h(x) nga mbetja e fituar nga pjesëtimi r(X) (mbetja e parë), pastaj mbetja e parë nga mbetja e dytë, etj., derisa të marrim zero në pjesën e mbetur. GCD e polinomeve f(x) Dhe h(x) do të jetë mbetja e fundit jo zero. Procesi i ndarjes do të kryhet duke përdorur një "kënd".

_	x 4 -2x 3 -x+2		x 4 -4x 2 -x+2	_	x 4 -4x 2 -x+2	x 3 -2 x 2
	x 4 -4x 2 -x+2		1		x 4 -2 x 3	x+2
		-2x 3 +4x2			_	2x 3 -4x 2 -x+2
		x 3 -2 x 2		2x 3 -4x 2
				_	-x+2
				x-2
					0

_	x 3 -2 x 2		x-2
	x 3 -2 x 2		x 2
		0

Kjo do të thotë gcd e polinomeve f(x) Dhe h(x) është e barabartë me binomin x–2.

d(x)=(f(x), h(x))=x–2.

Në mënyrë të ngjashme, ne gjejmë gcd të polinomeve d(x) Dhe g(x), do të jetë e barabartë me 1. Kështu, ( f(x), g(x), h(x))=(g(x), (f(x), h(x)))=1.

shënim . Shenja "=" ose "!!". do të thotë se gjatë pjesëtimit, shumëzimi është kryer me ndonjë numër tjetër nga zero.

Detyrë 2. Përdorimi i algoritmit Euklidian për gjetjen e polinomeve u(x) Dhe v(x), duke përmbushur barazinë f(x)u(x)+g(x)v(x)=d(x), Ku d(x) – gcd e polinomeve f(x) Dhe g(x): f(x)=4x 4 –2x 3 –16x 2 +5x+9, g(x)=2x 3 –x 2 –5x+4.

Zgjidhje. Zbato për polinomet f(x) Dhe g(x) Algoritmi Euklidian. Duhet mbajtur mend se këtu nuk mund të lejohet arbitrariteti që konsiston në shumëzimin e polinomeve me faktorë konstante, i cili është i mundur gjatë gjetjes së GCD, pasi këtu do të përdorim edhe koeficientët, të cilët mund të shtrembërohen me arbitraritetin e treguar.

Si rezultat i ndarjes marrim:

f(x)=g(x)q 1 (x)+r 1 (x),

Ku q 1 (x)=2x, r 1 (x)= –6x 2 –3x+9,

g(x)=r 1 (x)q 2 (x)+r 2 (x),

Ku q 2 (x)= –x/3+1/3, r 2 (x)= –x+1,

r 1 (x)=r 2 (x)q 3 (x)+r 3 (x),

Ku q 3 (x)=6x+9, r 3 (x)=0.

Kështu, algoritmi Euklidian është shkruar këtu në tre rreshta, dhe më i madhi pjesëtues i përbashkët e barabartë - r 2 (x)=x–1=d(x). Për të shprehur d(x) nëpërmjet polinomeve f(x) Dhe g(x), do të gjejmë r 2 (x) nga rreshti i dytë i algoritmit Euklidian:

r 2 (x)=g(x)–r 1 (x)q 2 (x).

Në vend të kësaj, zëvendësimi në këtë barazi r 1 (x) shprehja e saj, e gjetur nga rreshti i parë i algoritmit Euklidian, marrim:

r 2 (x)=f(x)[–q 2 (x)]+g(x),

për të marrë barazi f(x)u(x)+g(x)v(x)=d(x), duhet të shumëzojmë barazinë e mëparshme me (–1), marrim:

–r 2 (x)=f(x)q 2 (x) +g(x)[–1–q 1 (x)q 2 (x)]=d(x),

Ku u(x)=q 2 (x), v(x)= –1–q 1 (x)q 2 (x).

Pas zëvendësimit të polinomeve në këtë barazi q 1 (x), q 2 (x) marrim:

u(x)= , v(x)= .

Detyrë 3. Përdorimi i metodës së koeficientëve të pacaktuar për zgjedhjen e polinomeve u(x) Dhe v(x) në mënyrë që f(x)u(x)+g(x)v(x)=1, (1) për polinomet f(x)=x 2 –2x–1, g(x)=2x 4 –3x 3 –6x 2 +2x+2.

Zgjidhje. Le të përdorim teoremën: nëse d(x) është gcd e polinomeve f(x) Dhe g(x), atëherë mund të gjejmë polinome të tilla u(x) Dhe v(x), Çfarë

f(x)u(x)+g(x)v(x)=d(x).

Në këtë rast, mund të supozojmë se shkallët e polinomeve f(x) Dhe g(x) është më i madh se zero, që është shkalla u(x) më pak se diplomë g(x), dhe gradën v(x) më pak se diplomë f(x).

Polinome f(x) Dhe g(x) kënaq barazinë (1) nëse ( f(x),g(x))=1. Në rastin tonë f(x) Dhe g(x) janë polinome relativisht të thjeshtë, që do të thotë se mund ta gjejmë polinomin u(x)=sëpatë 3 +bx 2 +cx+d dhe polinom v(x)=psh+f.

Zëvendësimi në barazi (1) në vend f(x), g(x), u(x), v(x) shprehjet e tyre, marrim:

(x 2 – 2x- 1)(sëpatë 3 +bx 2 +cx+d)+(2x 4 – 3x 3 – 6x 2 + 2x+ 2)(ish+f)=1

(a+ 2e)x 5 + (b- 2a+ 2f- 3e)x 4 + (c- 2b–a– 3f- 6e)x 3 + (d- 2c–b– 6f+ 2e)x 2 +(–2d–c+ 2f+ 2e)x––d+ 2f= 1.

Pra, kemi barazinë e dy polinomeve: në anën e majtë është një polinom i shkallës pesë me koeficientë të pacaktuar, dhe në anën e djathtë është një polinom i shkallës zero. Dy polinome janë të barabartë nëse koeficientët e tyre janë të barabartë për të njëjtat fuqi të së panjohurës.

Duke barazuar koeficientët për shkallë të barabarta të së panjohurës, marrim një sistem prej gjashtë ekuacionet lineare me njerëz të panjohur a, b, c, d, e, f:

Duke e zgjidhur atë, marrim: d= 3, e=–1, f= 2, c=–4, b=–3, a= 2.

Kështu, polinomet e kërkuara u(x) Dhe v(x) do të jetë:

u(x)=2x 3 –3x 2 –4x+3, v(x)= –x+2.

Detyrë 4. Duke përdorur skemën e Hornerit, llogaritni f(A) dhe zgjeroni polinomin f(x) sipas shkallëve x–A, Ku f(x)=x 4 +2x 3 –7x 2 +3X–1, A=2.

Zgjidhje. Sipas teoremës së Bezout, pjesa e mbetur e një polinomi është f(x) në një binom linear x–A e barabartë me vlerën f(A) polinom në x=A.

Pjesëtimi me “kënd” mund të shkruhet më thjeshtë: nëse f(x)=a 0 x n+a 1 x n –1 +a 2 xn- 2 + …+a n –1 x+a n, pastaj koeficientët e herësit q(x)=b 0 x n–1 + b 1 x n –2 + b 2 x n –3 + …+b n-1 dhe pjesa e mbetur r nga ndarja f(x) në x–a mund të gjendet duke përdorur skemën e Horner:

f(2)=9=r 1, dhe herësi i pjesëtimit f(x) në x– 2 po q 1 (x)=x 3 +4x 2 +x+5, d.m.th. f(x)=

=(x–2)q 1 (x)+r 1

Pastaj, sipas skemës së Horner, ne ndajmë q 1 (x) në x–2, marrim herësin q 2 (x) dhe pjesa e mbetur r 2, më tej q 2 (x) pjesëto me x-2, marrim q 3 (x) Dhe r 3, etj.

Për një polinom f(x) marrim:

f(x)=(x–2)q 1 (x)+r 1 =(x–2)[(x–2)q 2 (x)+r 2 ]+r 1 =(x–2) 2 q 2 (x)+r 2 (x–2)+r 1 =

=(x––2) 2 [(x–2)q 3 (x)+r 3 ]+r 2 (x–2)+r 1 =(x–2) 3 q 3 (x)+r 3 (x–2) 2 +r 2 (x–2)+r 1 =

=(x–2) 3 [(x––2)q 4 (x)+r 4 ]+r 3 (x–2) 2 +r 2 (x–2)+r 1 =(x–2) 4 q 4 (x)+r 4 (x–2) 3 +r 3 (x–2) 2 +r 2 (x–2)+ +r 1 = r 5 (x–2) 4 +r 4 (x–2) 3 +r 3 (x–2) 2 +r 2 (x–2)+r 1.

Kështu, koeficientët në zgjerimin e polinomit f(x) sipas shkallëve x–2 janë të barabarta, përkatësisht, me mbetjet nga pjesëtimi i polinomeve f(x), q 1 (x), q 2 (x), q 3 (x), q 4 (x) në x–2.

E gjithë zgjidhja mund të shkruhet në një tabelë:

			–7		–1

Nga tabela duket qartë se r 5 =1, r 4 =10, r 3 =29, r 2 =31, r 1 = 9 dhe

f(x)= (x–2) 4 +10(x–2) 3 +29(x–2) 2 +31(x–2)+9.

Detyrë 5.Vërtetoni se .

Zgjidhje. Le të shqyrtojmë një polinom. Numri X= –1 është rrënja e polinomit f(x) dhe nga teorema e Bezout f(x) është plotësisht i pjesëtueshëm me X+1, d.m.th. f(x)=(x+1)g(x), Ku g(x) është një polinom me koeficientë të plotë, pra X 11 +1 pjesëtohet me X+1 për çdo numër të plotë X. Le të vendosim X=3 5 . Ne marrim, d.m.th. , dhe sepse , konkludojmë se .

Koment. Nga rregullat për "pjestimin me një kënd" të një polinomi f(x) në një polinom g(x) është menjëherë e qartë se nëse polinomet f(x) Dhe g(x) me koeficientë të plotë, dhe g(x) zvogëlohet, atëherë herësi dhe mbetja janë polinome me koeficientë të plotë.

Detyrë 6. Mbetjet nga pjesëtimi i një polinomi f(x) në binomiale X+5 dhe X-3 është përkatësisht -9 dhe 7. Gjeni mbetje kur pjesëtoni këtë polinom me një polinom g(x)=(x+5)(x-3).

Zgjidhje. Nga teorema e Bezout f(–5)= –9, f(3)=7. Kur pjesëtohet një polinom f(x) në një polinom g(x)=x 2 +2x–15 marrim një herës q(x) dhe pjesa e mbetur fq(x)=sëpatë+b, d.m.th. f(x)=(x 2 +2x–15)q(x)+(sëpatë+b) .

Në vend të kësaj, zëvendësimi në barazinë e fundit X vlerat –5 dhe 3 marrim një sistem prej dy ekuacionesh me dy të panjohura a Dhe b:

Pasi e kemi zgjidhur, ne gjejmë a=2, b=1. Pastaj mbetja e kërkuar e pjesëtimit të polinomit f(x) në një polinom g(x) do të jetë e barabartë me 2 X+1.

Detyrë 7. Jepet një polinom f(x) me koeficientë të plotë dhe . Vërtetoni atë.

Zgjidhje. Merrni parasysh zgjerimin e polinomit f(x) sipas gradave ( x–10):

për faktin se pjesëtohet me 21, d.m.th. pjesëtohet me 7. Po kështu pjesëtohet me 3. Për shkak të thjeshtësisë relative të 3 dhe 7, numri f(10)=a n pjesëtueshëm me 21.

Detyrë 8. Zgjero polinomin x 7 +3 në prodhimin e polinomeve jo më të larta se shkalla e dytë me koeficientë realë.

Zgjidhje. Le të gjejmë rrënjët e polinomit x 7 +3, do të jenë

Dhënia k vlerat 0, 1, ..., 6, marrim shtatë rrënjë të polinomit x 7 +3;

x 0 = ; x 1 = ; x 2 = ;

x 3 = = – ; x 4 = = ;

x 5 = = ;

x 6 = = .

Midis tyre, vetëm një është i vlefshëm - kjo është x 3 = – , pjesa tjetër janë komplekse dhe të konjuguara në çift: x 6 = , x 5 = , x 4 = . NË rast i përgjithshëm

X k =, x k= .

Le të shohim punën

(x–x k)(x– )=(x 2 –(x k+ )x+x k)=x 2 – x+ , ku k=0, 1, 2.

Kemi një trinom kuadratik me koeficientë realë. Polinom x 7 +3 mund të zbërthehet në një produkt të 7 faktorëve linearë (pasojë e teoremës themelore të algjebrës). Duke shumëzuar faktorët që korrespondojnë me rrënjët e konjuguara, marrim zgjerimin e dëshiruar:

x 7 +3=(x–x 0)(x–x 1)(x–x 2)(x–x 3)(x–x 4)(x–x 5)(x–x 6)=(x–x 3)(x–x 0)(x–x 6)(x–x 1)

(x–x 5)(x–x 2)(x–– x 4)=(x–x 3)(x–x 0)(x– )(x–x 1)(x– )(x–x 2)(x– )=(x+ )

(x 2 – (2· ) x+ )(x 2 – (2· ) x+ ) (x 2 ––(2· ) x+ ).

Detyrë 9. Paraqisni polinomin si shumë të katrorëve të dy polinomeve.

Zgjidhje. Çdo polinom f(x) me koeficientë realë, pozitiv për cilindo, paraqitet si shuma e katrorëve të dy polinomeve. Për ta bërë këtë, le të gjejmë rrënjët e polinomit f(x): , zbërthehet në faktorë linearë, pastaj shumëzohet dhe , marrim paraqitjen e kërkuar:

Le të shënojmë , , marrim f(x)=fq 2 (x)+q 2 (x).

Detyrë 10. Përcaktoni shumësinë e rrënjës së polinomit. Gjeni një polinom të shkallës më të madhe me rrënjë të thjeshta, secila rrënjë e të cilit është rrënjë e një polinomi f(x).

1) Le të kontrollojmë nëse polinomi është rrënjë f(x).

2) Le të kontrollojmë nëse derivati ​​i parë i polinomit është rrënja f(x)

. f¢(–1)=0, pra – rrënjë

polinom f(x), shumësia jo më pak se 2.

3), prandaj rrënja e shumëfishimit nuk është më e vogël se 3.

4), rrënja e një polinomi f(x) shumësia 3, d.m.th. . Për të gjetur një polinom të shkallës më të madhe me rrënjë të thjeshta, secila rrënjë e të cilit është një rrënjë f(x), e nevojshme në polinom f(x) të heqin qafe rrënjët e shumta. Për ta bërë këtë, ne ndajmë polinomin f(x) nga pjesëtuesi më i madh i përbashkët i polinomeve f(x) Dhe f¢( x): . Prandaj, polinomi i kërkuar do të jetë , ku , X=2 – rrënjët e thjeshta të polinomit.

shënim: Shumësia e rrënjës mund të kontrollohet duke përdorur skemën e Horner.

Detyrë 11. Ndani shumëfishat e një polinomi

Zgjidhje. Nga teorema mbi faktorët e shumtë: nëse një polinom i pakalueshëm mbi fushën P g(x) është k- shumëfish i polinomit f(x) me koeficientë nga fusha P, atëherë g(x) eshte ( k–1) – faktor i shumëfishtë i derivatit f(x). Kështu, kur lëvizni nga f(x) Për të f′( x) shumëzimi i të gjithë faktorëve zvogëlohet me 1. Megjithatë, për polinomin f′( x) mund të ketë faktorë që nuk ekzistojnë f(x). Për t'i hequr qafe do të gjejmë një gcd f(x) dhe f′( x). Ai do të përfshijë vetëm ata faktorë që përfshihen në f(x), megjithatë me një faktor më të vogël se 1.

Duke zbatuar algoritmin Euklidian, marrim

Meqenëse ekziston një polinom i shkallës së tretë, zbërthimi i të cilit në faktorë është përgjithësisht i vështirë, por që nga ana tjetër mund të ketë faktorë të shumtë, ne do të zbatojmë për të një proces të ngjashëm të zvogëlimit të shumës së faktorëve. Do ta marrim. Pra, shumëzuesi X–1 përfshihet me një shumësi prej 1, dhe për këtë arsye, përfshihet me një shumësi prej 2. Pjesëto me ( X–1) 2, le të gjejmë. Prandaj kemi: shumëzues ( X–1) të përfshira në f(x) me një shumësi prej 3, dhe X+3 me shumëfish të 2. Pjestimi f(x) te polinomi, marrim

Detyrë 12. Vërtetoni se numri është irracional.

Zgjidhje. Ky numër është rrënja e një polinomi numër të plotë të reduktuar, i cili ka nr rrënjët racionale, sepse të gjitha rrënjët e tij racionale janë numra të plotë dhe duhet të jenë pjesëtues të numrit 5.

Detyrë 13. Gjeni rrënjët racionale të një polinomi

f(x)=6x 4 +19x 3 –7x 2 –26x+12.

Zgjidhje. Nëse një thyesë racionale e pakalueshme që është rrënja e një polinomi f(x)=A 0 x n +a 1 xn- 1 +a 2 xn- 2 +…+a n- 1 x+a n me koeficientë të plotë, atëherë:

1. k ka një pjesëtues A 0 ;

2. fq ka një pjesëtues a n ;

3. p–mk ka një pjesëtues f(m) për çdo numër të plotë m.

Në rastin tonë: k mund të marrë vlerat: ±1, ±2, ±3, ±6, dhe fq– ±1,±2, ±3, ±4, ±6, ±12. Tani do të ishte e mundur të kontrollohej secili prej këtyre numrave të formës duke zëvendësuar në një polinom ose duke përdorur skemën e Hornerit. Megjithatë, shumë prej këtyre numrave mund të "zhduken" në një mënyrë më të thjeshtë. Le të gjejmë kufijtë e rrënjëve reale të këtij polinomi VG x =1+, NG x = –(1+), ku A– më i madhi i vlerat absolute koeficientët, dhe A 0 – koeficienti në x n ose VG x =1+, ku k– indeksi i koeficientit të parë negativ të polinomit f(x), A B– më i madhi nga vlerat absolute të koeficientëve të tij negativ (kjo metodë zbatohet kur A 0 > 0). Në shembullin tonë k=2, B=26, A 0 = 6. VG x =1+< 4.

Për të gjetur kufirin e poshtëm duke përdorur këtë metodë, mjafton që f(x) në vend të x zëvendësues (- x) dhe përdorni rregullin e mëposhtëm: kufirin e poshtëm të rrënjëve reale të polinomit f(x) është e barabartë me kufirin e sipërm të rrënjëve reale të polinomit f(–x), marrë me shenjën e kundërt. Në rastin tonë

f(–x)=6x 4 –19x 3 –7x 2 +26x+12 dhe 0 =6, k=1, B=19. VG x =1+<5, значит, нижняя граница – НГ х = –5. Итак, корни многочлена заключены в интервале (–5,4). Более точные границы можно было найти по методу Ньютона. Воспользуемся еще тем, что если – корень f(x), pastaj numër i plotë. Ne do të gjejmë f(1)=4,

f(–1)=13, atëherë – numër i plotë, – numër i plotë, nëse – rrënjë f(x).

Ne kontrollojmë të gjitha llojet e fraksioneve, duke marrë parasysh kufijtë e rrënjëve.

ts

d

ts

ts

d

d

ts

d

ts

d

ts

d

ts

d

ts

ts

d

d

ts

d

ts

d

d

d

ts

d

ts

Gjatë këtij kontrolli, u shfaqën numrat racionalë 2, –3, , - "rrënjët kandidate", ne i kontrollojmë ato sipas skemës së Hornerit, duke u siguruar që f(2)≠0, , f(–3)=0, . Për një polinom të shkallës së katërt gjetëm dy rrënjë, që do të thotë f(x) të shumëfishta ( x+3) ose f(x)=(6x 2 +4x–8)(x+3). Rrënjët e një polinomi g(x)=6x 2 +4x–8 gjejmë direkt x= janë numra irracionalë.

Detyrë 14. Vërtetoni se ky ekuacion nuk ka zgjidhje me numra të plotë jozero.

Zgjidhje. Ana e majtë e barazisë është një polinom homogjen i shkallës së katërt. Le t'i ndajmë të dyja anët e barazisë me X 4 . marrim

Le ta vendosim atëherë. Një ekuacion i dhënë ka një zgjidhje me numër të plotë jozero nëse dhe vetëm nëse polinomi ka rrënjë racionale. Një polinom i reduktuar është numër i plotë, të gjitha rrënjët e tij racionale janë: së pari, numra të plotë; së dyti, pjesëtuesit e termit të lirë 9, d.m.th. duhet t'i përkasë grupit (±1, ±3, ±9). Me verifikim të drejtpërdrejtë, mund të siguroheni që asnjë element i vetëm i këtij grupi të mos jetë rrënja e një polinomi, d.m.th. ky polinom nuk ka rrënjë racionale, që do të thotë se ekuacioni i dhënë ka rrënjë me numër të plotë jo zero.

Detyrë 15. Për çfarë natyrale n a do të jetë numri i thjeshtë?

Zgjidhje. Le ta tregojmë atë. Në të vërtetë, nëse Aështë një rrënjë arbitrare e polinomit, atëherë A do të jetë rrënja e polinomit, d.m.th. A 3 = 1 dhe A 2 +A+1=0.

Le të marrim parasysh, d.m.th. A– rrënja e një polinomi. Sepse Aështë një rrënjë arbitrare e një polinomi, atëherë çdo rrënjë e një polinomi është një rrënjë e një polinomi, prandaj, ku P(x) është një polinom me koeficientë të plotë.

Supozoni atëherë, d.m.th. .

Le të shqyrtojmë rastet dhe .

2. Kur është një numër i thjeshtë.

Një numër natyror paraqitet si prodhim i dy numrave natyrorë. Nga kjo mund të shohim se mund të jetë e thjeshtë, nëse ose , e hedhim poshtë.

Kur , dhe paraqitet si prodhim i dy numrave natyrorë më të mëdhenj se 1, që do të thotë se ky numër është i përbërë.

Detyrë 16. Zgjidh ekuacionet në fushën e numrave kompleks:

1)x 3 +6x+2=0; 2) x 3 –9x 2 +18x–28=0; 3) x 4 -2x 3 +4x 2 -2x+ 3=0.

1. Zgjidheni ekuacionin x 3 +6x+2=0.

Për rrënjët e një ekuacioni kub x 3 +sëpatë+b=0 ekziston e ashtuquajtura formula Cardano: x i =u i +v i (i=0, 1, 2), ku u 0 , u 1 , u 2 – vlera radikale

u= dhe v i= . Në rastin tonë, A=6, b=2,

u= = = = = (cos + i mëkat), ku l=0, 1, 2. Zëvendësimi në vend l vlerat 0, 1, 2, marrim: u 0 = , u 1 =

= (cos + i mëkat )= (– + i), u 2 = (cos + i mëkat )= (–– i ),

v 0 = = = = ,

v 1 = = = = ( +i ),

v 2 = = = = ( –i ),

x 0 = u 0 +v 0 = – , x 1 =u 1 +v 1 = , x 2 = u 2 +v 2 =

Përgjigje: - ; .

2. Zgjidhe ekuacionin x 3 –9x 2 +18x–28=0.

Le ta reduktojmë ekuacionin tonë në një ekuacion të formës y 3 +ay+b=0, duke bërë zëvendësimin x=y– =y+3, (a 0 , a 1 – koeficientët për x 3 dhe x 2). Ne marrim:

y 3 –9y–28=0. Zgjidhjet e tij gjenden duke përdorur formulën Cardano: y i =u i+v i, (i=0, 1,…2),

Ku u 0 =3, u 1 = , u 2 = , v 0 =1 , v 1 = , v 2= ,

y 0 =4, y 1 = , y 2 = , x 0 =7, x 1 = , x 2 = .

Përgjigje: 7; .

3. Zgjidhe ekuacionin x 4 -2x 3 +4x 2 -2x+ 3=0.

Le të përdorim metodën Ferrari. Le t'i lëmë termat në anën e majtë të ekuacionit X 4 dhe X 3 dhe shtoni atë në një katror të plotë:

Tani le të shtojmë terma me një të panjohur të re për të dyja palët y në mënyrë që ana e majtë të bëhet sërish katror (pavarësisht nga vlera y)

Këtu janë koeficientët para fuqive x në anën e djathtë varen nga një sasi e pasigurt y. Le të zgjedhim vlerën e y në mënyrë që ana e djathtë të bëhet katror. Për ta bërë këtë, është e nevojshme që diskriminuesi i sheshit (në lidhje me x) e trinomit në anën e djathtë ishte e barabartë me zero. Duke barazuar këtë diskriminues me zero, marrim:

nga këtu y=4 dhe .

Zëvendësimi y=4 në ekuacionin (*), marrim: ose . Duke marrë rrënjën katrore nga të dy anët e ekuacionit që rezulton, marrim dy ekuacione kuadratike: dhe ose dhe . Pasi i kemi zgjidhur, gjejmë 4 rrënjët e ekuacionit tonë: , .

Përgjigje: ,.

Detyrë 17. Janë dhënë polinomet

f(x)=x 3 –3x 2 +2x–5, g(x)=x 3 +3x 2 –1.

1) Përcaktoni numrin e rrënjëve reale të secilës;

2) Duke përdorur teoremën e Sturm, gjeni intervalin ( a, b), Ku b–a=1 që përmban rrënjën më të madhe x 0 polinom g(x);

3) Llogaritni rrënjën me një saktësi prej 0,0001 x 0 duke përdorur metodën e interpolimit linear dhe metodën e Njutonit;

1. Nëse shanset a Dhe b ekuacionet x 3 +sëpatë+b=0 janë reale, atëherë numri i rrënjëve reale të këtij ekuacioni përcaktohet plotësisht nga shenja e numrit D = – 4a 3 – 27b 2, quhet diskriminues i polinomit x 3 +sëpatë+b, në mënyrën e mëposhtme:

a) për D=0, të tria rrënjët janë reale, dy prej tyre janë të barabarta;

b) për D>0 – të tri rrënjët janë të vlefshme;

c) në D<0 – один корень действительный, два мнимых.

Në rastin tonë: f(x)=x 3 –3x 2 +2x–5 ose duke vënë x=y+1, y 3 –y–5=0, d.m.th. D=4–27·25<0, поэтому многочлен f(x) ka një rrënjë të vërtetë.

2. Për një polinom g(x) përcaktojmë numrin e rrënjëve reale duke vendosur numrin e ndryshimeve të shenjave në sistemin Sturm të polinomit g(x) kur lëviz nga –∞ në +∞. Do të gjejmë gjithashtu të gjithë kufijtë midis të cilëve ndodhet secila prej këtyre rrënjëve dhe nuk do të ndërtojmë një grafik të këtij funksioni paraprakisht.

Çdo polinom g(x) me koeficientë realë dhe pa rrënjë të shumëfishta, ka sistemi Sturm. Nëse një polinom ka rrënjë të shumta, atëherë ju duhet t'i hiqni qafe ato duke e ndarë polinomin g(x) në gcd të polinomeve g(x) Dhe g"(x). Sistemi polinom i Sturm g(x) mund të ndërtohet si më poshtë: vendos g 1 (x)=g"(x), pastaj ndajeni g(x) në g 1 (x) dhe pjesa e mbetur e kësaj ndarjeje, e marrë me shenjën e kundërt, merret si g 2 (x), d.m.th. g(x)=g 1 (x)h 1 (x)–g 2 (x). Në përgjithësi, nëse polinomet g k–1 ( x) Dhe g te ( x) janë gjetur tashmë, atëherë g k+1 ( x) do të jetë pjesa e mbetur e ndarjes g k–1 ( x) në g te ( x), marrë me shenjën e kundërt:

g k–1 ( x)=g te ( x)q te ( x)– g k+1 ( x).

Le të gjejmë sistemin Sturm për g(x), duke përdorur metodën e specifikuar. Për më tepër, në procesin e pjesëtimit, ne, ndryshe nga algoritmi Euklidian, do të shumëzojmë dhe zvogëlojmë vetëm me numra arbitrarë pozitivë, sepse shenjat e mbetjeve luajnë një rol të rëndësishëm në metodën e Sturm. Ne do të kemi një sistem të tillë

g(x)=x 3 +3x 2 –1,

g 1 (x)=3x 2 +6x,

g 2 (x)=2x+1,

g 3 (x)=1.

Le të përcaktojmë shenjat e polinomeve të këtij sistemi në x=–∞ dhe x= +∞, për të cilin shikojmë vetëm shenjat e koeficientëve prijës dhe shkallët e këtyre polinomeve. Në +∞, shenjat e të gjithë polinomeve të sistemit Sturm do të përkojnë me shenjat e termave të tyre më të lartë, dhe në –∞ shenjat e polinomeve të sistemit Sturm përkojnë me shenjat e koeficientëve të tyre më të lartë për polinomet me shkallë çift dhe janë të kundërta me shenjat e polinomeve më të larta të shkallës tek.

Kështu, pas tranzicionit x nga –∞ në +∞ sistemi Sturm humb tre ndryshime shenjash, pra polinomi g(x) ka saktësisht tre rrënjë reale (teorema e Sturm-it).

Le të vazhdojmë studimin e shenjave në sistemin Sturm, duke marrë parasysh intervalet (0,1), (1,2), (2,3), etj., (0,–1), (–1,–2) , (–2,–3), etj. Kështu, ne përcaktojmë intervalet ( A, b), Ku a–b=1 që përmban tre rrënjë reale dhe gjeni intervalin për x 0 .

Kështu, sistemi Sturm i polinomit g(x) humbet një ndryshim të shenjave gjatë tranzicionit x nga –3 në –2, nga –1 në 0 dhe nga 0 në 1. Rrënjët x 1 , x 2 , x Prandaj, 3 i këtij polinomi plotëson pabarazitë:

–3<x 1 <–2, –1<x 2 <0, 0<x 3 <1, т.е. наибольший корень x 0 (0,1).

3. Le të ndërtojmë një grafik skematik të polinomit në intervalin (0, 1) g(x), duke llogaritur vlerat e mëposhtme të polinomeve:

g(0)=–1, g(1)=3, g"(0)=0, g"(1)=9 (funksioni rritet në intervalin në shqyrtim), g""(0)>0g""(1)>0 (funksioni është konveks).

Një grafik skematik i funksionit është paraqitur në Fig. 1.

Së pari, duke përdorur metodën e kordës në segmentin (0,1), kurba y=g(x) zëvendësohet me kordën AB dhe abshisa merret si vlera e parë e përafërt e rrënjës. x=nga pika e prerjes së kësaj kordeje me boshtin x. Trekëndëshi KBC është i ngjashëm me trekëndëshin CAE, pra , ose , ose . Në përgjithësi .

Më pas, duke përdorur metodën e Njutonit, vizatojmë një tangjente y për të planifikuar g(x) në pikën A(1, g(1)) (ne vizatojmë një tangjente në pikë x=1, sepse g(1) dhe g""(1) të së njëjtës shenjë) dhe merr abshisën si një vlerë tjetër të përafërt të rrënjës x=R pika e prerjes së kësaj tangjente me boshtin Ox.

Le të shkruajmë ekuacionin e tangjentes që kalon në pikën A

y–g(1)=g"(1)(x–1).

Meqenëse kjo tangjente kalon nëpër pikën ( fq, 0), më pas duke i zëvendësuar këto vlera në ekuacionin tangjentë, marrim

0–g(1)=g"(1)(fq–1) ose fq=1– =1– .

Në përgjithësi fq=b- .

Vlera më e saktë e rrënjës së dëshiruar x 0 tani mund të kërkohet në të re

intervali ( A 1 , b 1), duke vënë A 1 =0,3, b 1 = 0,7. Duke përsëritur metodën e kordës dhe metodën e Njutonit në intervalin ( A 1 , b 1) kemi: g(A 1)=–0,703; g(b 1)=0,813; g"(b 1)=5,67.

Sepse g(A 1) dhe g(b 1) atëherë shenja të ndryshme x 0 (A 1 ,b 1)

fq 1 =0,7– .

Le të shqyrtojmë një interval të ri ( A 2 , b 2), duke vënë A 2 =0,5, b 2 =0,55, g(A 2)=–0,125, g(b 2)=0,073875, g"(b 2)=4.2075, sepse g(A 2) dhe g(b 2) - atëherë shenja të ndryshme x 0 (A 2 ,b 2),

, fq 2 =0,55– .

Dhe së fundi, duke marrë parasysh intervalin ( A 3 , b 3), ku A 3 =0,531, b 3 =0,532, le ta gjejmë më saktë x 0 .

Detyrë 18.Tysha racionale e mëposhtme, ku

f(x)= 2x 4 –10x 3 +7x 2 +4x+3, g(x)=x 5 –2x 3 +2x 2 –3x+2,

zgjerohet në shumën e thyesave të thjeshta në fushën e numrave racionalë.

Zgjidhje. Çdo thyesë e duhur racionale ka një zbërthim unik në shumën e thyesave të thjeshta. Në rastin tonë, diploma f(x) më pak se diplomë g(x), pra thyesa është e saktë.

Fjalë kyçe: ekuacionet, Polinom, Rrënjët e ekuacionit

Prezantimi për mësimin

Kthehu përpara

Kujdes! Pamjet paraprake të diapozitivëve janë vetëm për qëllime informative dhe mund të mos përfaqësojnë të gjitha tiparet e prezantimit. Nëse jeni të interesuar për këtë punë, ju lutemi shkarkoni versionin e plotë.

Lloji i mësimit: Një mësim për përvetësimin dhe konsolidimin e njohurive parësore.

Qëllimi i mësimit:

• Prezantoni studentët me konceptin e rrënjëve të një polinomi dhe mësojini se si t'i gjejnë ato. Përmirësoni aftësitë në përdorimin e skemës së Hornerit për zgjerimin e një polinomi sipas fuqive dhe pjesëtimin e një polinomi me një binom.
• Mësoni të gjeni rrënjët e një ekuacioni duke përdorur skemën e Hornerit.
• Zhvilloni të menduarit abstrakt.
• Nxitja e një kulture kompjuterike.
• Zhvillimi i lidhjeve ndërdisiplinore.

Gjatë orëve të mësimit

1. Momenti organizativ.

Informoni temën e mësimit, formuloni qëllimet.

2. Kontrollimi i detyrave të shtëpisë.

3. Studimi i materialit të ri.

Le të Fn(x) = a n x n +a n-1 x n-1 +...+ a 1 x +a 0 - një polinom për x të shkallës n, ku a 0 , a 1 ,...,a n janë numra dhe a 0 nuk është e barabartë me 0. Nëse polinomi F n (x) pjesëtohet me pjesën e mbetur me binomin x-a , atëherë herësi (herësi jo i plotë) është polinomi Q n-1 (x) i shkallës n-1, pjesa e mbetur R është një numër dhe barazia është e vërtetë F n (x)=(x-a) Q n-1 (x) +R. Polinomi F n (x) pjesëtohet me binomin (x-a) vetëm në rastin e R=0.

Teorema e Bezout: Mbetja R nga pjesëtimi i polinomit F n (x) me binomin (x-a) është i barabartë me vlerën e polinomit F n (x) në x=a, d.m.th. R=Pn(a).

Pak histori. Teorema e Bezout, megjithë thjeshtësinë dhe qartësinë e saj të dukshme, është një nga teoremat themelore të teorisë së polinomeve. Kjo teoremë lidh vetitë algjebrike të polinomeve (të cilat lejojnë që polinomet të trajtohen si numra të plotë) me vetitë e tyre funksionale (të cilat lejojnë që polinomet të trajtohen si funksione). Një mënyrë për të zgjidhur ekuacionet e shkallës më të lartë është faktorizimi i polinomit në anën e majtë të ekuacionit. Llogaritja e koeficientëve të polinomit dhe pjesës së mbetur shkruhet në formën e një tabele të quajtur skema Horner.

Skema e Hornerit është një algoritëm për pjesëtimin e polinomeve, i shkruar për rastin e veçantë kur herësi është i barabartë me një binom x–a.

Horner William George (1786 - 1837), matematikan anglez. Hulumtimi kryesor ka të bëjë me teorinë e ekuacioneve algjebrike. Zhvilloi një metodë për zgjidhjen e përafërt të ekuacioneve të çdo shkalle. Në 1819 ai prezantoi një metodë të rëndësishme për algjebrën e pjesëtimit të një polinomi me një binom x - a (skema e Hornerit).

Nxjerrja e formulës së përgjithshme për skemën Horner.

Pjesëtimi i një polinomi f(x) me një mbetje me një binom (x-c) nënkupton gjetjen e një polinomi q(x) dhe një numri r të tillë që f(x)=(x-c)q(x)+r

Le ta shkruajmë këtë barazi në detaje:

f 0 x n + f 1 x n-1 + f 2 x n-2 + ...+f n-1 x + f n =(x-c) (q 0 x n-1 + q 1 x n-2 + q 2 x n-3 +...+ q n-2 x + q n-1)+r

Le të barazojmë koeficientët në të njëjtat shkallë:

xn:	f 0 = q 0	=> q 0 = f 0
xn-1:	f 1 = q 1 - c q 0	=> q 1 = f 1 + c q 0
xn-2:	f 2 = q 2 - c q 1	=> q 2 = f 2 + c q 1
...		...
x0:	f n = q n - c q n-1	=> q n = f n + c q n-1.

Demonstrimi i qarkut Horner duke përdorur një shembull.

Ushtrimi 1. Duke përdorur skemën e Horner-it, ne ndajmë polinomin f(x) = x 3 - 5x 2 + 8 me mbetje me binomin x-2.

	1	-5	0	8
2	1	2*1+(-5)=-3	2*(-3)+0=-6	2*(-6)+8=-4

f(x) = x 3 - 5x 2 + 8 =(x-2)(x 2 -3x-6)-4, ku g(x)= (x 2 -3x-6), r = -4 mbetje.

Zgjerimi i një polinomi në fuqitë e një binomi.

Duke përdorur skemën e Hornerit, zgjerojmë polinomin f(x)=x 3 +3x 2 -2x+4 në fuqitë e binomit (x+2).

Si rezultat, duhet të marrim zgjerimin f(x) = x 3 +3x 2 -2x+4 = (x+2)(x 2 +x-4)+12 = (x+2)((x-1 )(x+ 2)-2)+12 = (((1*(x+2)-3)(x+2)-2)(x+2))+12 = (x+2) 3 -3( x+2 ) 2 -2(x+2)+12

Skema e Hornerit përdoret shpesh kur zgjidhen ekuacionet e shkallës së tretë, të katërt dhe më të lartë, kur është e përshtatshme të zgjerohet polinomi në një binom x-a. Numri a thirrur rrënja e polinomit F n (x) = f 0 x n + f 1 x n-1 + f 2 x n-2 + ...+f n-1 x + f n, nëse në x=a vlera e polinomit F n (x) është e barabartë me zero: F n (a)=0, d.m.th. nëse polinomi pjesëtohet me binomin x-a.

Për shembull, numri 2 është rrënja e polinomit F 3 (x)=3x 3 -2x-20, meqë F 3 (2)=0. do te thote. Që faktorizimi i këtij polinomi përmban një faktor x-2.

F 3 (x)=3x 3 -2x-20=(x-2)(3x 2 +6x+10).

Çdo polinom F n(x) i shkallës n 1 nuk mund të ketë më n rrënjë të vërteta.

Çdo rrënjë numër i plotë i një ekuacioni me koeficientë të plotë është një pjesëtues i termit të tij të lirë.

Nëse koeficienti kryesor i një ekuacioni është 1, atëherë të gjitha rrënjët racionale të ekuacionit, nëse ekzistojnë, janë numra të plotë.

Konsolidimi i materialit të studiuar.

Për të konsoliduar materialin e ri, nxënësit ftohen të plotësojnë numrat nga teksti shkollor 2.41 dhe 2.42 (f. 65).

(2 studentë zgjidhin në tabelë, dhe pjesa tjetër, pasi vendosi, kontrolloni detyrat në fletore me përgjigjet në tabelë).

Duke përmbledhur.

Duke kuptuar strukturën dhe parimin e funksionimit të skemës Horner, ajo mund të përdoret gjithashtu në mësimet e shkencave kompjuterike, kur merret parasysh çështja e konvertimit të numrave të plotë nga sistemi i numrave dhjetorë në sistemin binar dhe anasjelltas. Baza për transferimin nga një sistem numrash në tjetrin është teorema e përgjithshme e mëposhtme

Teorema. Për të kthyer një numër të plotë Ap nga fq-sistemi i numrave ary në sistemin e numrave bazë d e nevojshme Ap pjesëtoj në mënyrë sekuenciale me mbetjen sipas numrit d, shkruar në të njëjtën fq sistemi -ar derisa herësi që rezulton të bëhet i barabartë me zero. Mbetjet nga ndarja do të jenë d-shifra numerike Ad, duke filluar nga kategoria më e re e deri tek më të moshuarit. Të gjitha veprimet duhet të kryhen në fq-sistemi i numrave ary. Për një person, ky rregull është i përshtatshëm vetëm kur fq= 10, d.m.th. gjatë përkthimit nga sistemi dhjetor. Sa i përket kompjuterit, përkundrazi, është "më i përshtatshëm" që ai të kryejë llogaritjet sistemi binar. Prandaj, për të kthyer "2 në 10", përdoret ndarja vijuese me dhjetë në sistemin binar, dhe "10 në 2" është shtimi i fuqive të dhjetë. Për të optimizuar llogaritjet e procedurës "10 në 2", kompjuteri përdor skemën e llogaritjes ekonomike të Horner.

Detyre shtepie. Propozohet të kryhen dy detyra.

1. Duke përdorur skemën e Hornerit, pjesëtojeni polinomin f(x)=2x 5 -x 4 -3x 3 +x-3 me binomin (x-3).

2. Gjeni rrënjët e plota të polinomit f(x)=x 4 -2x 3 +2x 2 -x-6 (duke marrë parasysh që çdo rrënjë numër i plotë i një ekuacioni me koeficientë të plotë është pjesëtues i termit të tij të lirë).

Letërsia.

1. Kurosh A.G. "Kursi i Algjebrës së Lartë".
2. Nikolsky S.M., Potapov M.K. dhe të tjerët Klasa 10 "Algjebra dhe fillimet e analizës matematikore".
3. http://inf.1september.ru/article.php?ID=200600907.

Faktorizimi i një polinomi të shkallës së pestë në faktorë kuadratikë duke përdorur polinomin e interpolimit të Lagranzhit 1. Përkufizimi i polinomit të interpolimit të Lagranzhit të shkallës së pestë. Për të faktorizuar polinomin e reduktuar të shkallës së pestë është e nevojshme të plotësohet barazia: f(x)=φ(x)·g(x). Në këtë rast, shkalla e polinomeve φ(x) dhe g(x) nuk duhet të jetë më e lartë se pesë. Për të përcaktuar një polinom të plotë jo më të lartë se shkalla e pestë me një tabelë të caktuar vlerash, ekziston një formulë për polinomin e interpolimit të Lagranzhit (IPL): 6 Ak k=1 F"(xk)(x−xk) , ku F (x)=(x-x1)·( x-x2)·(x-x3)·(x-x4)·(x- φ(x) = F(x)· ∑ x5)(x-x6), Vlerat Fʹ(xk) të derivatit të funksionit F(x) në pikat xk Për të përcaktuar faktorët φ(x) dhe g(x). gjashtë vlera të plota x2; (x)= φ(x)·g(x) ·g(x2) = φ(x3)·g(x4) = φ(x5)·g(x5); x6 Këto barazime tregojnë se çdo vlerë φ(xk) e faktorit të kërkuar φ(x) është pjesëtues i numrit f(x), ne do të përdorim IML dhe do të zëvendësojmë ato arbitrare si f(xk) dhe zgjidhni vlerat e xk në formën e numrave të plotë afër zeros, d.m.th., x1= -3= -1;

F(x) φ(x) A4 + A2 A3 + A1 A5 F"(1)(x−1) + +A6 F"(−3)(x+3) F"(−2)(x+2) + + F"(0)x F"(−1)(x+1) F"(2)(x−2)) , ·(ku F(x)=(x+3)·(x+2) ·(x+1)·(x-1)·(x-2): numrat A1 të marra nga formula IML duke përdorur teorema 1 (përgjithësimi i skemës së Hornerit) Polinomi φ(x) është linear, nëse numrat A2 formojnë një sekuencë në rritje të numrave të plotë Emëruesi i përbashkët, d.m.th., shkruajmë numëruesin që rezulton si një polinom i shkallës së pestë, koeficientët e të cilit përmbajnë numrat A1 të shkallës së parë. Si rezultat, marrim sistemin e mëposhtëm prej pesë ekuacionesh; me gjashtë variabla: -A1+5 A2-10 A3+10 A4-5 A5+A6=0 5 A2-20 A3 +30 A4-20 A5+5 A6=0 5 A1-35 A2+70 A3-50 A4+ 5 A5+5 A6=0 -5 A2+80 A3-150 A4+80·A4-5·A6=0 -4·A1+30·A2-120·A3+40·A4+60·A5-6·A6 =120. Nëse fiksojmë numrin A6, atëherë gjithë pjesa tjetër do të shprehet me formulat e mëposhtme: A1=A6-5; A2=A6-4; A3=A6- 3; A4=A6-2; A5=A6-1.

Ne kemi marrë një sekuencë në rritje të numrave të plotë. Nga teorema del se faktori linear ka këtë formë: φ(x)=x+A4 (3). Përkufizimi: sekuenca e numrave të dhënë nga këto marrëdhënie A1=A6-5; A2=A6-4; A3=A6-3; A4=A6-2; A5=A6-1; A6 quhet seri lineare Lagranzhiane. Përkufizimi: një seri lineare e Lagranzhit quhet "kandidat" nëse të gjithë numrat e saj Ak janë pjesëtues të vlerave përkatëse të funksionit f(xk), ku k=1;2;3;4;5;6. Për të gjithë kandidatët, ne ndërtojmë një faktor linear φ(x) duke përdorur formulën (3) dhe e kontrollojmë atë për pjesëtueshmëri me f(x). Nga teorema del se faktori linear ka formën e mëposhtme φ(x)=x+A4, ku A4 është pjesëtuesi i termit të lirë, d.m.th. Ngjashëm me polinomin e reduktuar sipas skemës së Hornerit. Shembull: f(x)= x5-8x4+2x3-16x2+x-8. Duke përdorur skemën e Horner-it gjejmë vlerën e polinomit në x = -3; -2; -1; 0;1;2. Për ta bërë këtë, le të përpilojmë tabelën 1: -8 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -3 -2 -1 0 1 2 Do të rishkruajmë kolonën e fundit të tabelës 1 me rreshtin e parë të tabelës 2. Zgjidh në këtë rresht një numër që ka numri më i vogël ndarëse. Në shembullin tonë, ky numër është -8. Le të shkruajmë të gjithë pjesëtuesit e tij në një kolonë. Për çdo pjesëtues të numrit -8, ne shkruajmë një seri lineare Lagranzhiane në një rresht. Nga seria e Lagranzhit që rezulton ne do të zgjedhim "kandidatët". Le të ndërtojmë një polinom φ(x) në f(0) duke përdorur "kandidatët". shumëzuesi linear -8 -1100 -250 -36 -8 -28 -150 përcaktohet nga 1 1 1 1 1 1 1 2 35 22 11 2 -5 -10 -16 -121 -60 -27 -16 -21 -36 1 364 121 28 1 -20 -71

36 A3 0 -2 1 -3 3 -5 7 -9 -8 A4 1 -1 2 -2 4 -4 8 -8 -28 A5 2 0 3 -1 5 -3 9 -7 -150 A6 3 1 4 0 6 -2 10 -6 formulën (3) dhe kontrollojini për pjesëtueshmëri me polinomin e dhënë f(x)= x5-8x4+2x3-16x2+x-8. Tabela 2: -250 -1100 A2 A1 -2 -1 -3 -4 0 -1 -5 -4 2 1 -6 -7 5 6 -11 "candide -10 at" Në tabelën e mësipërme 2, drejtkëndëshat janë të hijezuar në gri, të cilat përmbajnë numra që nuk janë pjesëtues të vlerave përkatëse të funksionit f(x). Kjo tabelë përmban një rresht ose seri Lagranzhiane të të gjithë numrave, të cilët janë pjesëtues të vlerave përkatëse të funksionit f(x). Ky serial është i vetmi kandidat. Në këtë seri A4 = -8, duke zëvendësuar φ(x)=x- A4 në formulë, gjejmë φ(x)=x- 8. Ne theksojmë kandidatin aktual me të zezë. 3. Zgjerimi i faktorëve polinomialë duke përdorur IML. Kontrollo:x5-8x4+2x3-16x2+x-8=(x-8)·(x4+2x2+1). në ato kuadratike Teorema 2. Faktori φ(x) është kuadratik nëse numrat A1; A2; A3; A4; A5; A6 janë të ndërlidhura nga këto marrëdhënie: A1=5·(A5+4)-4·A6 A2=4·(A5+3)-3·A6 A3=3·(A5+2)-2·A6 A4=2 · (A5+1)-1 A6

Vërtetim: Vërtetim: le ta reduktojmë polinomin (1) në emëruesin më të ulët të përbashkët, d.m.th. në 120· F(x), ne shkruajmë numëruesin që rezulton në formën e një polinomi të shkallës së pestë koeficientët e të cilit përmbajnë numrat A1; A2; A3; A4; A5; A6. Në mënyrë që polinomi (1) të jetë kuadratik, është e nevojshme që koeficientët e "x" të shkallës së pestë, të katërt dhe të tretë të barazohen me zero, dhe koeficienti i "x" të shkallës së dytë me 120. si rezultat, marrim sistemin e mëposhtëm të katër ekuacioneve me gjashtë ndryshore: -A1+5 A2-10 A3+10 A4-5 A5+A6=0 5 A2-20 A3+30 A4-20 A5+5 A6=0 5 A1 -35 A2 +70 A3-50 A4+5 A5+5 A6=0 -5 A2+80 A3-150 A4+80 A5-5 A6=120. Nëse fiksojmë dy numra A5 dhe A6, atëherë i gjithë pjesa tjetër do të shprehet me formulat e mëposhtme: A1=5·(A5+4)-4·A6; A2=4·(A5+3)-3·A6; A3=3·(A5+2)-2·A6; A4=2·(A5+1)-1·A6. Nga teorema del se faktori kuadratik do të shprehet me formulën φ(x)=x2+(A6-A5-3) x+ A4. (4) Përkufizimi: Një sekuencë e numrave të plotë të dhënë nga relacionet e mëposhtme; A3=3·(A5+2)-2·A6; A4=2·(A5+1)-1·A6 quhet seri Lagranzhiane kuadratike Përkufizim: një seri kuadratike Lagranzhiane quhet “kandidat” nëse të gjithë numrat e saj Ak janë pjesëtues të vlerave përkatëse të funksionit f(xk ), k=1;2;3;4;5;6. Për të gjithë kandidatët, ne ndërtojmë faktorin kuadratik φ(x) duke përdorur formulën (4) dhe e kontrollojmë për pjesëtueshmërinë me f(x). A1=5·(A5+4)-4·A6; A2=4·(A5+3)-3·A6

A3 A4+ d+4 A4 A5+ d+2 A5 A5 4. Forma e thjeshtuar e serive Lagranzhiane kuadratike. Formulat për serinë kuadratike të Lagranzhit mund të thjeshtohen. Për ta bërë këtë, shkronja "d" do të tregojë ndryshimin A5-A6, atëherë numrat e serisë kuadratike të Lagranzhit do të duken si formula më të thjeshta dhe të përshtatshme për ndërtimin e tyre: A1 A2 A2+ d+8 A3+ d+6 Shembull: A5= 7; A6=10 hartoni një seri Lagranzhiane kuadratike. Të gjejmë d=7-10=-3, pastaj duke përdorur formulat në tabelë do të gjejmë numrat e kësaj serie: A1 A2+ d+8 10+(- 3)+8 15 Përgjigje: 15; 10; 7; 6; 7; 10. Shqyrtoni një shembull të faktorizimit të polinomit të reduktuar të shkallës së pestë: f(x)=x5-5x4+13x3-22x2+27x- 20. A5 A2 A3+ d+6 A5 7+(-3)+6 6+( -3) +4 7+(-3)+2 7 7 10 A4 A5+ d+2 A3 A4+ d+4 7 6 A6 A6 A6 A6 10 10 1) Duke përdorur skemën e Horner, gjejmë vlerat e funksionit në x=-3; -2;-1; 0;1;2. Për ta bërë këtë, le të bëjmë një tabelë: 1 1 1 1 1 1 1 -5 -8 -7 -6 -5 -4 -3 13 37 27 19 13 9 7 -22 -133 -76 -41 -22 -13 - 8 -3 - 2 -1 0 1 2 2) Përcaktoni nëse ky polinom ka faktorë linearë. Për ta bërë këtë, ne shkruajmë vlerat e funksionit që rezultojnë në rreshtin e tabelës nr. 3. Nga këta zgjedhim numrin që ka numrin më të vogël të pjesëtuesve. Në shembullin tonë, ky është numri "2". Le t'i shkruajmë të gjithë pjesëtuesit e tij të plotë në një kolonë. Për çdo pjesëtues të numrit "2" në -20 -1298 -378 -88 -20 -6 2 27 426 179 68 27 14 11

rreshtim shkruajmë seri lineare Lagranzhiane. Do të zgjedhim kandidatët prej tyre dhe do të kontrollojmë pjesëtueshmërinë me polinomin e dhënë f(x). Tabela nr. 3: -1298 A1 -378 A2 -88 A3 -20 A4 -3 0 -4 -5 -6 A5 0 -2 1 -3 2 A6 1 -1 2 -2 Në këtë tabelë nr. 3, qelizat janë të shënuara me gri të cilat përmbajnë numra që nuk janë pjesëtues të vlerave përkatëse të funksionit f(x). Nuk ka nevojë të plotësoni qeliza boshe, pasi seria e ndërtuar kuadratike e Lagranzhit me një numër në një qelizë gri nuk është sigurisht një "kandidat". Nga kjo tabelë nr. 3 del qartë se nuk ka “kandidatë”. Kjo do të thotë se ky polinom f(x)=x5-5x4+13x3- 22x2+27x-20 nuk mund të zgjerohet në faktorë linearë. 3) Përcaktoni nëse ky polinom ka faktorë kuadratikë. Për ta bërë këtë, ne shkruajmë vlerat e funksionit që rezultojnë në rreshtin e tabelës nr. 4. Nga këta zgjedhim dy numra që kanë numrin më të vogël të pjesëtuesve. Në shembullin tonë, këta janë numrat "2" dhe "-6" ne do t'i shkruajmë pjesëtuesit e tyre në kolona. Për çdo çift pjesëtues të numrave "2" dhe "-6", shkruajmë në një rresht seritë kuadratike të Lagranzhit. Do të zgjedhim kandidatët prej tyre dhe do t'i kontrollojmë për pjesëtueshmërinë me polinomin e dhënë f(x). Tabela nr 4: -1298 A1 A2+ d+8 -378 A2 A3+ d+6 5 -88 A3 A4+ d+4 1 10 -5 -20 A4 A5+ d+2 3 -1 5 -3 7 -5 -6 A5 A5 1 -1 2 -2 3 -3 2 A6 A6 1 1 1 1 1 d d= A5- A6 d=0 d=-2 d=1 d=-3 d=2 d=-4

19 7 2 14 -2 14 7 22 2 13 6 11 5 2 5 -1 8 -4 7 19 1 13 -11 5 1 7 -1 9 -3 15 -9 2 -2 4 -4 6 -6 12 -12 6 2 8 0 10 -2 16 -8 6 -6 1 -1 2 -2 3 -3 6 -6 1 -1 2 -2 3 -3 6 -6 1 -1 2 -2 3 -3 6 -6 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 2 2 2 2 2 2 2 2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 d=5 d=-7 d= 2 d=0 d=3 d=-1 d=4 d=-2 d=7 d=-5 d=-1 d=-3 d=0 d=-4 d=1 d=-5 d=4 d=-8 d=3 d=1 d=4 d=0 d=5 d=-1 d= 8 d=-4 “kand”. "karamele". Në këtë tabelë nr. 4 shohim dy “kandidatë”. Me ndihmën e tyre, duke përdorur formulën φ(x)=x2+(A6- A5-3) x+ A4 gjejmë faktorët katror: φ1(x)=x2-3x+ 4; φ2(x)=x2+x-4. Kontrolli tregon se njëri nga dy faktorët është i vërtetë, ky është φ1(x)=x2-3x+ 4, dhe faktori tjetër rezultoi i jashtëm. Përgjigje: x5-5x4+13x3-22x2+27x-20=(x2-3x+ 4)·(x3-2x2+3x-5). Në këtë tabelë nr. 4 kemi marrë 32 seri kuadratike Lagranzhiane. Ky numër përcaktohet nga numri i çifteve të ndryshme të pjesëtuesve, pozitivë dhe negativë, të cilët ndodhen në dy kolona ngjitur. dy vlera funksioni,

5. Zvogëlimi i numrit të serive kuadratike të Lagranzhit. Sipas përkufizimit, nëse vlerat e funksionit, numri i pjesëtuesve, të cilët janë minimalë, nuk ndodhen afër, atëherë mund të përdorni teoremën e mëposhtme: Teorema 3 Le të njihen A4 dhe A6, atëherë A5=(A4+ A6 · 1):2-1 Le të njihen A3 dhe A6, pastaj A5= (A3+ A6 ·2):3-2 Le të njihen A2 dhe A6, pastaj A5=(A2+ A6 ·3):4-3 Le të njihen A1 dhe A6 të jetë i njohur, atëherë A5=(A1+ A6 ·4):5-4. Vërtetim: të vërtetojmë barazinë e fundit A5=(A1+A6·4):5-4. numrat kuadratikë të Lagranzhit, A1=5·(A5+4)-4·A6, e zëvendësojmë këtë numër në barazinë origjinale dhe marrim A5=(5·(A5+4)-4·A6+A6·4):5- 4=(5 ·A5+20):5-4=A5+4-4=A5, që është ajo që duhej vërtetuar. Barazitë e tjera mund të vërtetohen në mënyrë të ngjashme. Kjo teoremë na lejon të zvogëlojmë numrin e serive kuadratike të Lagranzhit. Le të shqyrtojmë shembullin që kemi zgjidhur tashmë f(x)=x5-5x4+13x3-22x2+27x-20 dhe ta zgjidhim atë për rastin kur marrim parasysh seritë kuadratike të Lagranzhit të ndërtuara duke përdorur pjesëtuesit A4 dhe A6. Tabela nr 5: -1298 -378 A2 A1 A2+ A3+ d+6 d+8 d = A5- A6 -88 A3 A4+ d+4 -20 A4 A5+ d+2 1 -1 5 -5 1 -1 -6 A5 ( A4+ A6 ·1):2-1 0 -1 2 -3 -1 -2 2 A 6 A 6 1 1 d =-2 1 d =1 1 d =-4 - d =0 1 d =-1 - 1 5 7 1 10 -5 5 2 14

19 11 7 22 2 2 14 -2 13 6 5 -1 8 -4 7 1 19 5 -5 2 -2 4 -4 10 -10 20 -20 2 -2 4 -4 10 -10 20 -20 1 -4 1 -1 2 -2 5 -5 10 -10 -1 -3 0 -4 3 -7 8 -12 "kand". "karamele". d =2 - 1 - 1 2 d =-1 2 d =-3 2 d =0 2 d =-4 2 2 2 2 - 2 - 2 - 2 - 2 - 2 - 2 - 2 - 2 d =1 d =-1 d =5 Në këtë tabelë nr. 5 morëm 24 seri kuadratike të Lagranzhit. Meqenëse në formulë shuma e A4 dhe A6 duhet të pjesëtohet me 2, prandaj pjesëtuesit e A4 dhe A6 duhet të jenë ose çift ose të dy tek. Për shkak të kësaj, numri i serive kuadratike Lagrange është zvogëluar. Nëse e përdorim këtë teoremë 3 për të shkruar seritë kuadratike të Lagranzhit të ndërtuara duke përdorur A1 dhe A6, atëherë numri i serive do të reduktohet në 12. Tabela nr. 6: -378 -1298 A1 A2 2 A6 d -88 A3 -20 A4 -6 A5

"karamele". A3+d+ 6 5 d=-4 d=0 “kand”. "karamele". A5+d+ 2 -5 -1 A4+d+ 4 -5 1 (4A1+A6): 5-4 -3 -1 -15 -5 -7 7 -2 2 -26 -6 -10 12 A6 d=A5- A6 d=-4 1 1 d=-2 1 -1 -1 -1 2 2 2 -2 d=-4 -2 -2 A2+d+ 8 1 11 -59 -1 -11 -59 2 22 -118 - 2 -22 118 Në tabelën nr. 6, numri i serive kuadratike të Lagranzhit është reduktuar në 12, pasi A5 gjendet sipas formulës (4A1 + A6): 5-4 dhe A5 si numër i plotë duhet të jetë më i vogël ose i barabartë. deri në -6. Në të gjitha tabelat, rreshti i theksuar i zi është "kandidati i vlefshëm". Kandidatët e mbetur janë "imagjinarë". Për një polinom të shkallës së gjashtë, mund të vërtetohet se faktori kuadratik mund të gjendet duke përdorur formulën: φ(x)=x2+ (A7 - A6 - 5) x+ A4, ku numrat janë A1; A2; A3; A4; A5; A6; A7 formojnë një seri kuadratike Lagranzhiane. 6. Përfundime: 1. Kjo metodë e zbërthimit duke përdorur IML -2 14 -4 8 -4 4 -8 është një përgjithësim i “skemës Horner”. 2. Duke përdorur këtë metodë, mund të përcaktoni faktorët kuadratikë për polinomet mbi shkallën e pestë. 3. Duke përdorur këtë metodë, mund të studioni vetitë e numrave Lagranzhian për përcaktimin e polinomeve kubike në zgjerimin e polinomeve të shkallës së pestë dhe më të lartë. 7. Literatura: 1. A. N. Chebotarev “Bazat e teorisë Galois”, OMTI GTTI, 1934, 1 orë.

2. “Numrat dhe polinomet”, hartuar nga A.A. Egorov - M.: Quantum Bureau, 2000 / shtojcë e revistës "Quantum" nr. 6, 2000.

Artikuj të ngjashëm