Shprehjet dhe problemet matematikore kërkojnë shumë njohuri shtesë. NOC është një nga ato kryesore, veçanërisht shpesh përdoret në Tema studiohet në shkollë të mesme dhe nuk është veçanërisht e vështirë për të kuptuar materialin; një person i njohur me fuqitë dhe tabelën e shumëzimit nuk do të ketë vështirësi të identifikojë numrat e nevojshëm dhe të zbulojë rezultat.

Përkufizimi

Një shumëfish i përbashkët është një numër që mund të ndahet plotësisht në dy numra në të njëjtën kohë (a dhe b). Më shpesh, ky numër fitohet duke shumëzuar numrat origjinalë a dhe b. Numri duhet të jetë i pjesëtueshëm me të dy numrat njëherësh, pa devijime.

NOC është emri i shkurtër i miratuar për përcaktimin, i mbledhur nga shkronjat e para.

Mënyrat për të marrë një numër

Metoda e shumëzimit të numrave nuk është gjithmonë e përshtatshme për të gjetur LCM; është shumë më e përshtatshme për numra të thjeshtë njëshifrorë ose dyshifrorë. Është zakon të ndahet në faktorë; sa më i madh të jetë numri, aq më shumë faktorë do të ketë.

Shembulli #1

Për shembullin më të thjeshtë, shkollat ​​zakonisht përdorin numra të thjeshtë, njëshifrorë ose dyshifrorë. Për shembull, duhet të zgjidhni detyrën e mëposhtme, të gjeni shumëfishin më të vogël të përbashkët të numrave 7 dhe 3, zgjidhja është mjaft e thjeshtë, mjafton t'i shumëzoni ato. Si rezultat, ekziston një numër 21, thjesht nuk ka numër më të vogël.

Shembulli nr. 2

Versioni i dytë i detyrës është shumë më i vështirë. Janë dhënë numrat 300 dhe 1260, gjetja e LOC është e detyrueshme. Për të zgjidhur problemin, supozohen veprimet e mëposhtme:

Zbërthimi i numrave të parë dhe të dytë në faktorë të thjeshtë. 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 * 5 * 7. Faza e parë ka përfunduar.

Faza e dytë përfshin punën me të dhënat e marra tashmë. Secili nga numrat e marrë duhet të marrë pjesë në llogaritjen e rezultatit përfundimtar. Për secilin faktor, numri më i madh i dukurive merret nga numrat origjinalë. LCM është një numër i përgjithshëm, kështu që faktorët e numrave duhet të përsëriten në të, secili, edhe ata që janë të pranishëm në një kopje. Të dy numrat fillestarë përmbajnë numrat 2, 3 dhe 5, me fuqi të ndryshme; 7 është i pranishëm vetëm në një rast.

Për të llogaritur rezultatin përfundimtar, ju duhet të merrni çdo numër në fuqinë më të madhe të paraqitur në ekuacion. Gjithçka që mbetet është të shumëzoni dhe të merrni përgjigjen; nëse plotësohet saktë, detyra përshtatet në dy hapa pa shpjegim:

1) 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 *5 *7.

2) NOC = 6300.

Ky është i gjithë problemi, nëse përpiqeni të llogarisni numrin e kërkuar me shumëzim, atëherë përgjigjja definitivisht nuk do të jetë e saktë, pasi 300 * 1260 = 378,000.

Ekzaminimi:

6300 / 300 = 21 - e saktë;

6300 / 1260 = 5 - e saktë.

Korrektësia e rezultatit të marrë përcaktohet duke kontrolluar - pjesëtuar LCM me të dy numrat fillestarë; nëse numri është një numër i plotë në të dy rastet, atëherë përgjigja është e saktë.

Çfarë do të thotë NOC në matematikë?

Siç e dini, nuk ka asnjë funksion të vetëm të padobishëm në matematikë, ky nuk bën përjashtim. Qëllimi më i zakonshëm i këtij numri është të zvogëlojë thyesat në një emërues të përbashkët. Çfarë studiohet zakonisht në klasat 5-6 të shkollës së mesme. Ai është gjithashtu një pjesëtues i përbashkët për të gjithë shumëfishat, nëse kushte të tilla janë të pranishme në problem. Një shprehje e tillë mund të gjejë një shumëfish jo vetëm të dy numrave, por edhe të një numri shumë më të madh - tre, pesë, e kështu me radhë. Sa më shumë numra, aq më shumë veprime në detyrë, por kompleksiteti nuk rritet.

Për shembull, duke pasur parasysh numrat 250, 600 dhe 1500, ju duhet të gjeni LCM-në e tyre të përbashkët:

1) 250 = 25 * 10 = 5 2 *5 * 2 = 5 3 * 2 - ky shembull përshkruan faktorizimin në detaje, pa reduktim.

2) 600 = 60 * 10 = 3 * 2 3 *5 2 ;

3) 1500 = 15 * 100 = 33 * 5 3 *2 2 ;

Për të kompozuar një shprehje, është e nevojshme të përmenden të gjithë faktorët, në këtë rast janë dhënë 2, 5, 3 - për të gjithë këta numra është e nevojshme të përcaktohet shkalla maksimale.

Kujdes: të gjithë faktorët duhet të sillen në pikën e thjeshtimit të plotë, nëse është e mundur, të zbërthehen në nivelin e njëshifrore.

Ekzaminimi:

1) 3000 / 250 = 12 - e saktë;

2) 3000 / 600 = 5 - e vërtetë;

3) 3000 / 1500 = 2 - e saktë.

Kjo metodë nuk kërkon ndonjë truk apo aftësi të nivelit gjenial, gjithçka është e thjeshtë dhe e qartë.

Menyre tjeter

Në matematikë, shumë gjëra janë të lidhura, shumë gjëra mund të zgjidhen në dy ose më shumë mënyra, e njëjta gjë vlen edhe për gjetjen e shumëfishit më të vogël të përbashkët, LCM. Metoda e mëposhtme mund të përdoret në rastin e numrave të thjeshtë dyshifrorë dhe njëshifrorë. Përpilohet një tabelë në të cilën shumëzuesi futet vertikalisht, shumëzuesi horizontalisht dhe produkti tregohet në qelizat kryqëzuese të kolonës. Mund ta pasqyroni tabelën duke përdorur një rresht, të merrni një numër dhe të shkruani rezultatet e shumëzimit të këtij numri me numra të plotë, nga 1 në pafundësi, ndonjëherë mjaftojnë 3-5 pikë, numrat e dytë dhe të mëpasshëm i nënshtrohen të njëjtit proces llogaritës. Gjithçka ndodh derisa të gjendet një shumëfish i përbashkët.

Duke pasur parasysh numrat 30, 35, 42, duhet të gjeni LCM që lidh të gjithë numrat:

1) Shumëfishat e 30: 60, 90, 120, 150, 180, 210, 250, etj.

2) Shumëfishat e 35: 70, 105, 140, 175, 210, 245, etj.

3) Shumëfishat e 42: 84, 126, 168, 210, 252, etj.

Vërehet se të gjithë numrat janë krejt të ndryshëm, i vetmi numër i përbashkët mes tyre është 210, pra do të jetë NOC. Ndër proceset e përfshira në këtë llogaritje ka edhe një pjesëtues më të madh të përbashkët, i cili llogaritet sipas parimeve të ngjashme dhe haset shpesh në problemet fqinje. Dallimi është i vogël, por mjaft domethënës, LCM përfshin llogaritjen e numrit që ndahet me të gjitha vlerat e dhëna fillestare, dhe GCD përfshin llogaritjen e vlerës më të madhe me të cilën ndahen numrat origjinalë.

Por shumë numra natyrorë janë gjithashtu të pjesëtueshëm me numra të tjerë natyrorë.

Për shembull:

Numri 12 pjesëtohet me 1, me 2, me 3, me 4, me 6, me 12;

Numri 36 pjesëtohet me 1, me 2, me 3, me 4, me 6, me 12, me 18, me 36.

Numrat me të cilët numri pjesëtohet me një të tërë (për 12 këto janë 1, 2, 3, 4, 6 dhe 12) quhen pjesëtuesit e numrave. Pjesëtues i një numri natyror a- është një numër natyror që pjesëton një numër të caktuar a pa lënë gjurmë. Një numër natyror që ka më shumë se dy pjesëtues quhet të përbëra .

Ju lutemi vini re se numrat 12 dhe 36 kanë faktorë të përbashkët. Këta numra janë: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Pjesëtuesi më i madh i këtyre numrave është 12. Pjesëtuesi i përbashkët i këtyre dy numrave a Dhe b- ky është numri me të cilin të dy numrat e dhënë ndahen pa mbetje a Dhe b.

Shumëfisha të përbashkët disa numra është një numër që pjesëtohet me secilin prej këtyre numrave. Për shembull, numrat 9, 18 dhe 45 kanë një shumëfish të përbashkët të 180. Por 90 dhe 360 ​​janë gjithashtu shumëfishat e tyre të përbashkët. Midis të gjithë shumëfishave të përbashkët ka gjithmonë një më të vogël, në këtë rast është 90. Ky numër quhet më i voglishumëfish i përbashkët (CMM).

LCM është gjithmonë një numër natyror që duhet të jetë më i madh se më i madhi i numrave për të cilët është përcaktuar.

Shumëfishi më i vogël i përbashkët (LCM). Vetitë.

Komutativiteti:

Asociacioni:

Në veçanti, nëse dhe janë numra të dyfishtë, atëherë:

Shumëfishi më i vogël i përbashkët i dy numrave të plotë m Dhe nështë pjesëtues i të gjithë shumëfishave të tjerë të përbashkët m Dhe n. Për më tepër, grupi i shumëfishave të përbashkët m, n përkon me grupin e shumëfishave të LCM( m, n).

Asimptotika për mund të shprehet në terma të disa funksioneve teorike të numrave.

Kështu që, Funksioni i Chebyshev. Dhe:

Kjo rrjedh nga përkufizimi dhe vetitë e funksionit Landau g(n).

Çfarë rrjedh nga ligji i shpërndarjes së numrave të thjeshtë.

Gjetja e shumëfishit më të vogël të përbashkët (LCM).

NOC( a, b) mund të llogaritet në disa mënyra:

1. Nëse dihet pjesëtuesi më i madh i përbashkët, mund të përdorni lidhjen e tij me LCM:

2. Le të dihet zbërthimi kanonik i të dy numrave në faktorë të thjeshtë:

Ku p 1 ,...,p k- numra të thjeshtë të ndryshëm dhe d 1,...,d k Dhe e 1 ,...,e k- numra të plotë jo negativë (ato mund të jenë zero nëse numri i thjeshtë përkatës nuk është në zgjerim).

Pastaj NOC ( a,b) llogaritet me formulën:

Me fjalë të tjera, zbërthimi LCM përmban të gjithë faktorët kryesorë të përfshirë në të paktën një nga zbërthimet e numrave a, b, dhe merret më i madhi nga dy eksponentët e këtij shumëzuesi.

Shembull:

Llogaritja e shumëfishit më të vogël të përbashkët të disa numrave mund të reduktohet në disa llogaritje sekuenciale të LCM të dy numrave:

Rregulli. Për të gjetur LCM-në e një serie numrash, ju nevojiten:

- të zbërthejë numrat në faktorë të thjeshtë;

- transferoni zbërthimin më të madh (prodhimin e faktorëve të numrit më të madh të atyre të dhënë) në faktorët e produktit të dëshiruar dhe më pas shtoni faktorët nga zbërthimi i numrave të tjerë që nuk figurojnë në numrin e parë ose që shfaqen në të. më pak herë;

— produkti rezultues i faktorëve të thjeshtë do të jetë LCM e numrave të dhënë.

Çdo dy ose më shumë numra natyrorë kanë LCM-në e tyre. Nëse numrat nuk janë shumëfish të njëri-tjetrit ose nuk kanë faktorë të njëjtë në zgjerim, atëherë LCM e tyre është e barabartë me prodhimin e këtyre numrave.

Faktorët kryesorë të numrit 28 (2, 2, 7) plotësohen me një faktor 3 (numri 21), produkti që rezulton (84) do të jetë numri më i vogël që pjesëtohet me 21 dhe 28.

Faktorët kryesorë të numrit më të madh 30 plotësohen me faktorin 5 të numrit 25, produkti që rezulton 150 është më i madh se numri më i madh 30 dhe është i pjesëtueshëm me të gjithë numrat e dhënë pa mbetje. Ky është prodhimi më i vogël i mundshëm (150, 250, 300...) që është shumëfish i të gjithë numrave të dhënë.

Numrat 2,3,11,37 janë numra të thjeshtë, kështu që LCM e tyre është e barabartë me prodhimin e numrave të dhënë.

Rregulli. Për të llogaritur LCM-në e numrave të thjeshtë, duhet të shumëzoni të gjithë këta numra së bashku.

Një tjetër opsion:

Për të gjetur shumëfishin më të vogël të përbashkët (LCM) të disa numrave ju nevojiten:

1) përfaqësoni çdo numër si produkt i faktorëve të tij të thjeshtë, për shembull:

504 = 2 2 2 3 3 7,

2) shkruani fuqitë e të gjithë faktorëve kryesorë:

504 = 2 2 2 3 3 7 = 2 3 3 2 7 1,

3) shkruani të gjithë pjesëtuesit (shumëzuesit) e thjeshtë të secilit prej këtyre numrave;

4) zgjidhni shkallën më të madhe të secilit prej tyre, që gjendet në të gjitha zgjerimet e këtyre numrave;

5) shumëzojini këto fuqi.

Shembull. Gjeni LCM-në e numrave: 168, 180 dhe 3024.

Zgjidhje. 168 = 2 2 2 3 7 = 2 3 3 1 7 1,

180 = 2 2 3 3 5 = 2 2 3 2 5 1,

3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1.

Ne shkruajmë fuqitë më të mëdha të të gjithë pjesëtuesve kryesorë dhe i shumëzojmë ato:

NOC = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15120.

Nxënësve të shkollës u jepen shumë detyra në matematikë. Midis tyre, shumë shpesh ka probleme me formulimin e mëposhtëm: ka dy kuptime. Si të gjeni shumëfishin më të vogël të përbashkët të numrave të dhënë? Është e nevojshme të jeni në gjendje të kryeni detyra të tilla, pasi aftësitë e fituara përdoren për të punuar me thyesa me emërues të ndryshëm. Në këtë artikull do të shikojmë se si të gjejmë LOC dhe konceptet themelore.

Konceptet Bazë

Para se të gjeni përgjigjen e pyetjes se si të gjeni LCM, duhet të përcaktoni termin e shumëfishtë. Më shpesh, formulimi i këtij koncepti tingëllon kështu: një shumëfish i një vlere të caktuar A është një numër natyror që do të pjesëtohet me A pa mbetje. Pra, për 4, shumëfishat do të jenë 8, 12, 16, 20, dhe kështu me radhë, në kufirin e kërkuar.

Në këtë rast, numri i pjesëtuesve për një vlerë specifike mund të jetë i kufizuar, por shumëfishat janë pafundësisht shumë. E njëjta vlerë ka edhe për vlerat natyrore. Ky është një tregues që ndahet në to pa mbetje. Pasi të kemi kuptuar konceptin e vlerës më të vogël për tregues të caktuar, le të kalojmë se si ta gjejmë atë.

Gjetja e NOC

Shumëfishi më i vogël i dy ose më shumë eksponentëve është numri më i vogël natyror që është plotësisht i pjesëtueshëm me të gjithë numrat e specifikuar.

Ka disa mënyra për të gjetur një vlerë të tillë, merrni parasysh metodat e mëposhtme:

1. Nëse numrat janë të vegjël, atëherë shkruani në një rresht të gjithë ata që pjesëtohen me të. Vazhdoni ta bëni këtë derisa të gjeni diçka të përbashkët mes tyre. Me shkrim, ato shënohen me shkronjën K. Për shembull, për 4 dhe 3, shumëfishi më i vogël është 12.
2. Nëse këto janë të mëdha ose ju duhet të gjeni një shumëfish prej 3 ose më shumë vlerash, atëherë duhet të përdorni një teknikë tjetër që përfshin zbërthimin e numrave në faktorët kryesorë. Së pari, vendosni më të madhin e listuar, pastaj të gjithë të tjerët. Secila prej tyre ka numrin e vet të shumëzuesve. Si shembull, le të zbërthejmë 20 (2*2*5) dhe 50 (5*5*2). Për më të voglin nënvizoni faktorët dhe shtojini te më i madhi. Rezultati do të jetë 100, i cili do të jetë shumëfishi më i vogël i përbashkët i numrave të mësipërm.
3. Kur gjeni 3 numra (16, 24 dhe 36) parimet janë të njëjta si për dy të tjerët. Le të zgjerojmë secilën prej tyre: 16 = 2*2*2*2, 24=2*2*2*3, 36=2*2*3*3. Vetëm dy dy nga zgjerimi i numrit 16 nuk janë përfshirë në zgjerimin e më të madhit. I mbledhim dhe marrim 144, që është rezultati më i vogël për vlerat numerike të treguara më parë.

Tani e dimë se cila është teknika e përgjithshme për gjetjen e vlerës më të vogël për dy, tre ose më shumë vlera. Megjithatë, ka edhe metoda private, duke ndihmuar në kërkimin e NOC nëse të mëparshmet nuk ndihmojnë.

Si të gjeni GCD dhe NOC.

Metodat private të gjetjes

Ashtu si me çdo seksion matematikor, ka raste të veçanta të gjetjes së LCM që ndihmojnë në situata specifike:

• nëse njëri prej numrave është i pjesëtueshëm me të tjerët pa mbetje, atëherë shumëfishi më i ulët i këtyre numrave është i barabartë me të (LCM e 60 dhe 15 është 15);
• numrat relativisht të thjeshtë nuk kanë faktorë të thjeshtë të përbashkët. Vlera e tyre më e vogël është e barabartë me prodhimin e këtyre numrave. Kështu, për numrat 7 dhe 8 do të jetë 56;
• i njëjti rregull funksionon edhe për raste të tjera, përfshirë ato të veçanta, për të cilat mund të lexohen në literaturë të specializuar. Këtu duhet të përfshihen edhe rastet e zbërthimit të numrave të përbërë, të cilët janë temë e artikujve individualë dhe madje edhe disertacioneve të kandidatëve.

Rastet e veçanta janë më pak të zakonshme sesa shembujt standardë. Por falë tyre, ju mund të mësoni të punoni me fraksione me shkallë të ndryshme kompleksiteti. Kjo është veçanërisht e vërtetë për fraksionet, ku ka emërues të pabarabartë.

Pak shembuj

Le të shohim disa shembuj që do t'ju ndihmojnë të kuptoni parimin e gjetjes së shumëfishit më të vogël:

1. Gjeni LOC (35; 40). Së pari zbërthejmë 35 = 5 * 7, pastaj 40 = 5 * 8. Shtoni 8 në numrin më të vogël dhe merrni LOC 280.
2. NOC (45; 54). Ne zbërthejmë secilën prej tyre: 45 = 3*3*5 dhe 54 = 3*3*6. Shtojmë numrin 6 në 45. Marrim një LCM të barabartë me 270.
3. Epo, shembulli i fundit. Ka 5 dhe 4. Nuk ka shumëfisha të thjeshtë të tyre, kështu që shumëfishi më i vogël i zakonshëm në këtë rast do të jetë produkti i tyre, i cili është i barabartë me 20.

Falë shembujve, mund të kuptoni se si ndodhet NOC, cilat janë nuancat dhe cili është kuptimi i manipulimeve të tilla.

Gjetja e NOC është shumë më e lehtë sesa mund të duket fillimisht. Për ta bërë këtë, përdoren si zgjerimi i thjeshtë ashtu edhe shumëzimi i vlerave të thjeshta me njëra-tjetrën. Aftësia për të punuar me këtë seksion të matematikës ndihmon në studimin e mëtejshëm të temave matematikore, veçanërisht fraksioneve me shkallë të ndryshme kompleksiteti.

Mos harroni të zgjidhni periodikisht shembuj duke përdorur metoda të ndryshme; kjo zhvillon aparatin tuaj logjik dhe ju lejon të mbani mend terma të shumtë. Mësoni se si të gjeni një eksponent të tillë dhe do të jeni në gjendje të bëni mirë në pjesën tjetër të seksioneve të matematikës. Gëzuar mësimin e matematikës!

Video

Kjo video do t'ju ndihmojë të kuptoni dhe mbani mend se si të gjeni shumëfishin më të vogël të përbashkët.

Materiali i paraqitur më poshtë është një vazhdim logjik i teorisë nga artikulli me titull LCM - shumëfishi më pak i zakonshëm, përkufizimi, shembuj, lidhja midis LCM dhe GCD. Këtu do të flasim për gjetja e shumëfishit më të vogël të përbashkët (LCM), dhe vëmendje të veçantë do t'i kushtojmë zgjidhjes së shembujve. Së pari, ne do të tregojmë se si llogaritet LCM e dy numrave duke përdorur GCD të këtyre numrave. Më pas, do të shqyrtojmë gjetjen e shumëfishit më të vogël të përbashkët duke faktorizuar numrat në faktorë të thjeshtë. Pas kësaj, ne do të fokusohemi në gjetjen e LCM të tre ose më shumë numrave, dhe gjithashtu do t'i kushtojmë vëmendje llogaritjes së LCM të numrave negativë.

Navigimi i faqes.

Llogaritja e shumëfishit më të vogël të zakonshëm (LCM) nëpërmjet GCD

Një mënyrë për të gjetur shumëfishin më të vogël të përbashkët bazohet në marrëdhënien midis LCM dhe GCD. Lidhja ekzistuese midis LCM dhe GCD na lejon të llogarisim shumëfishin më të vogël të përbashkët të dy numrave të plotë pozitivë përmes një pjesëtuesi të përbashkët më të madh të njohur. Formula përkatëse është LCM(a, b)=a b:GCD(a, b) . Le të shohim shembuj të gjetjes së LCM duke përdorur formulën e dhënë.

Shembull.

Gjeni shumëfishin më të vogël të përbashkët të dy numrave 126 dhe 70.

Zgjidhje.

Në këtë shembull a=126 , b=70 . Le të përdorim lidhjen midis LCM dhe GCD, të shprehur me formulë LCM(a, b)=a b:GCD(a, b). Kjo do të thotë, së pari duhet të gjejmë pjesëtuesin më të madh të përbashkët të numrave 70 dhe 126, pas së cilës mund të llogarisim LCM-në e këtyre numrave duke përdorur formulën e shkruar.

Le të gjejmë GCD(126, 70) duke përdorur algoritmin Euklidian: 126=70·1+56, 70=56·1+14, 56=14·4, pra, GCD(126, 70)=14.

Tani gjejmë shumëfishin më të vogël të zakonshëm të kërkuar: GCD(126, 70)=126·70:GCD(126, 70)= 126·70:14=630.

Përgjigje:

LCM(126, 70)=630 .

Shembull.

Me çfarë është e barabartë LCM(68, 34)?

Zgjidhje.

Sepse 68 pjesëtohet me 34, pastaj GCD(68, 34)=34. Tani ne llogarisim shumëfishin më të vogël të përbashkët: GCD(68, 34)=68·34:GCD(68, 34)= 68·34:34=68.

Përgjigje:

LCM(68, 34)=68 .

Vini re se shembulli i mëparshëm i përshtatet rregullit të mëposhtëm për gjetjen e LCM për numrat e plotë pozitivë a dhe b: nëse numri a është i pjesëtueshëm me b, atëherë shumëfishi më i vogël i përbashkët i këtyre numrave është a.

Gjetja e LCM duke faktorizuar numrat në faktorë të thjeshtë

Një mënyrë tjetër për të gjetur shumëfishin më të vogël të përbashkët bazohet në faktorizimin e numrave në faktorë të thjeshtë. Nëse kompozoni një produkt nga të gjithë faktorët kryesorë të numrave të dhënë, dhe më pas përjashtoni nga ky produkt të gjithë faktorët e thjeshtë të zakonshëm të pranishëm në zbërthimin e numrave të dhënë, atëherë produkti që rezulton do të jetë i barabartë me shumëfishin më të vogël të përbashkët të numrave të dhënë. .

Rregulli i deklaruar për gjetjen e LCM rrjedh nga barazia LCM(a, b)=a b:GCD(a, b). Në të vërtetë, prodhimi i numrave a dhe b është i barabartë me produktin e të gjithë faktorëve të përfshirë në zgjerimin e numrave a dhe b. Nga ana tjetër, GCD(a, b) është e barabartë me produktin e të gjithë faktorëve të thjeshtë të pranishëm në të njëjtën kohë në zgjerimet e numrave a dhe b (siç përshkruhet në seksionin për gjetjen e GCD duke përdorur zgjerimin e numrave në faktorë të thjeshtë).

Le të japim një shembull. Na tregoni se 75=3·5·5 dhe 210=2·3·5·7. Të përpilojmë prodhimin nga të gjithë faktorët e këtyre zgjerimeve: 2·3·3·5·5·5·7 . Tani nga ky produkt përjashtojmë të gjithë faktorët e pranishëm si në zgjerimin e numrit 75 ashtu edhe në zgjerimin e numrit 210 (këta faktorë janë 3 dhe 5), atëherë prodhimi do të marrë formën 2·3·5·5·7. . Vlera e këtij produkti është e barabartë me shumëfishin më të vogël të përbashkët të 75 dhe 210, d.m.th. NOC(75, 210)= 2·3·5·5·7=1050.

Shembull.

Faktoroni numrat 441 dhe 700 në faktorë të thjeshtë dhe gjeni shumëfishin më të vogël të përbashkët të këtyre numrave.

Zgjidhje.

Le të faktorizojmë numrat 441 dhe 700 në faktorët kryesorë:

Marrim 441=3·3·7·7 dhe 700=2·2·5·5·7.

Tani le të krijojmë një produkt nga të gjithë faktorët e përfshirë në zgjerimin e këtyre numrave: 2·2·3·3·5·5·7·7·7. Le të përjashtojmë nga ky produkt të gjithë faktorët që janë njëkohësisht të pranishëm në të dy zgjerimet (ka vetëm një faktor i tillë - ky është numri 7): 2·2·3·3·5·5·7·7. Kështu, LCM(441, 700)=2·2·3·3·5·5·7·7=44 100.

Përgjigje:

NOC(441, 700)= 44 100 .

Rregulli për gjetjen e LCM duke përdorur faktorizimin e numrave në faktorë të thjeshtë mund të formulohet pak më ndryshe. Nëse faktorët që mungojnë nga zgjerimi i numrit b u shtohen faktorëve nga zgjerimi i numrit a, atëherë vlera e produktit që rezulton do të jetë e barabartë me shumëfishin më të vogël të përbashkët të numrave a dhe b..

Për shembull, le të marrim të njëjtët numra 75 dhe 210, zbërthimet e tyre në faktorë të thjeshtë janë si më poshtë: 75=3·5·5 dhe 210=2·3·5·7. Faktorëve 3, 5 dhe 5 nga zgjerimi i numrit 75 u shtojmë faktorët 2 dhe 7 që mungojnë nga zgjerimi i numrit 210, fitojmë prodhimin 2·3·5·5·7, vlera e të cilit është e barabartë me LCM(75, 210).

Shembull.

Gjeni shumëfishin më të vogël të përbashkët të 84 dhe 648.

Zgjidhje.

Fillimisht marrim zbërthimin e numrave 84 dhe 648 në faktorë të thjeshtë. Ato duken si 84=2·2·3·7 dhe 648=2·2·2·3·3·3·3. Faktorëve 2, 2, 3 dhe 7 nga zgjerimi i numrit 84 u shtojmë faktorët që mungojnë 2, 3, 3 dhe 3 nga zgjerimi i numrit 648, fitojmë prodhimin 2 2 2 3 3 3 3 7, që është e barabartë me 4 536 . Kështu, shumëfishi më i vogël i zakonshëm i dëshiruar i 84 dhe 648 është 4,536.

Përgjigje:

LCM(84, 648)=4,536.

Gjetja e LCM-së së tre ose më shumë numrave

Shumëfishi më i vogël i përbashkët i tre ose më shumë numrave mund të gjendet duke gjetur në mënyrë sekuenciale LCM-në e dy numrave. Le të kujtojmë teoremën përkatëse, e cila jep një mënyrë për të gjetur LCM të tre ose më shumë numrave.

Teorema.

Le të jepen numrat e plotë pozitiv a 1 , a 2 , …, a k, shumëfishi më i vogël i përbashkët m k i këtyre numrave gjendet duke llogaritur në mënyrë sekuenciale m 2 = LCM(a 1 , a 2), m 3 = LCM(m 2, a 3) , … , m k = LCM(m k−1 , a k) .

Le të shqyrtojmë zbatimin e kësaj teoreme duke përdorur shembullin e gjetjes së shumëfishit më të vogël të përbashkët të katër numrave.

Shembull.

Gjeni LCM-në e katër numrave 140, 9, 54 dhe 250.

Zgjidhje.

Në këtë shembull, a 1 =140, a 2 =9, a 3 =54, a 4 =250.

Së pari ne gjejmë m 2 = LOC(a 1 , a 2) = LOC(140, 9). Për ta bërë këtë, duke përdorur algoritmin Euklidian, përcaktojmë GCD(140, 9), kemi 140=9·15+5, 9=5·1+4, 5=4·1+1, 4=1·4, prandaj, GCD(140, 9)=1, nga ku GCD(140, 9)=140 9:GCD(140, 9)= 140·9:1=1260. Kjo është, m 2 = 1 260.

Tani ne gjejmë m 3 = LOC (m 2 , a 3) = LOC (1 260, 54). Le ta llogarisim atë përmes GCD(1 260, 54), të cilin e përcaktojmë gjithashtu duke përdorur algoritmin Euklidian: 1 260=54·23+18, 54=18·3. Pastaj gcd(1,260, 54)=18, nga e cila gcd(1,260, 54)= 1,260·54:gcd(1,260, 54)= 1,260·54:18=3,780. Kjo do të thotë, m 3 = 3 780.

Gjithçka që mbetet është të gjendet m 4 = LOC(m 3, a 4) = LOC (3 780, 250). Për ta bërë këtë, gjejmë GCD(3,780, 250) duke përdorur algoritmin Euklidian: 3,780=250·15+30, 250=30·8+10, 30=10·3. Prandaj, GCM(3,780, 250)=10, prej nga GCM(3,780, 250)= 3 780 250: GCD(3 780, 250)= 3780·250:10=94500. Domethënë m 4 =94.500.

Pra, shumëfishi më i vogël i përbashkët i katër numrave origjinalë është 94,500.

Përgjigje:

LCM(140, 9, 54, 250)=94,500.

Në shumë raste, është e përshtatshme të gjesh shumëfishin më të vogël të përbashkët të tre ose më shumë numrave duke përdorur faktorizimin e thjeshtë të numrave të dhënë. Në këtë rast, duhet t'i përmbaheni rregullit të mëposhtëm. Shumëfishi më i vogël i përbashkët i disa numrave është i barabartë me produktin, i cili përbëhet si më poshtë: faktorët që mungojnë nga zgjerimi i numrit të dytë u shtohen të gjithë faktorëve nga zgjerimi i numrit të parë, faktorët që mungojnë nga zgjerimi i numri i tretë u shtohet faktorëve që rezultojnë, e kështu me radhë.

Le të shohim një shembull të gjetjes së shumëfishit më të vogël të përbashkët duke përdorur faktorizimin e thjeshtë.

Shembull.

Gjeni shumëfishin më të vogël të përbashkët të pesë numrave 84, 6, 48, 7, 143.

Zgjidhje.

Së pari, marrim zbërthimin e këtyre numrave në faktorë të thjeshtë: 84=2·2·3·7, 6=2·3, 48=2·2·2·2·3, 7 (7 është numër i thjeshtë, përkon me zbërthimin e tij në faktorë të thjeshtë) dhe 143=11·13.

Për të gjetur LCM-në e këtyre numrave, në faktorët e numrit të parë 84 (ata janë 2, 2, 3 dhe 7), duhet të shtoni faktorët që mungojnë nga zgjerimi i numrit të dytë 6. Zbërthimi i numrit 6 nuk përmban faktorë që mungojnë, pasi edhe 2 edhe 3 janë tashmë të pranishëm në zbërthimin e numrit të parë 84. Më tej, faktorëve 2, 2, 3 dhe 7 shtojmë faktorët 2 dhe 2 që mungojnë nga zgjerimi i numrit të tretë 48, marrim një grup faktorësh 2, 2, 2, 2, 3 dhe 7. Nuk do të ketë nevojë të shtoni shumëzues në këtë grup në hapin tjetër, pasi 7 është tashmë i përfshirë në të. Së fundi, faktorëve 2, 2, 2, 2, 3 dhe 7 u shtojmë faktorët që mungojnë 11 dhe 13 nga zgjerimi i numrit 143. Marrim produktin 2·2·2·2·3·7·11·13, i cili është i barabartë me 48,048.

Le të shohim tre mënyra për të gjetur shumëfishin më të vogël të përbashkët.

Gjetja me faktorizim

Metoda e parë është gjetja e shumëfishit më të vogël të përbashkët duke faktorizuar numrat e dhënë në faktorë të thjeshtë.

Le të themi se duhet të gjejmë LCM-në e numrave: 99, 30 dhe 28. Për ta bërë këtë, le të faktorizojmë secilin nga këta numra në faktorë të thjeshtë:

Që numri i dëshiruar të jetë i pjesëtueshëm me 99, 30 dhe 28, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që ai të përfshijë të gjithë faktorët kryesorë të këtyre pjesëtuesve. Për ta bërë këtë, ne duhet t'i marrim të gjithë faktorët kryesorë të këtyre numrave në fuqinë më të madhe të mundshme dhe t'i shumëzojmë së bashku:

2 2 3 2 5 7 11 = 13,860

Kështu, LCM (99, 30, 28) = 13,860. Asnjë numër tjetër më i vogël se 13,860 nuk është i pjesëtueshëm me 99, 30 ose 28.

Për të gjetur shumëfishin më të vogël të përbashkët të numrave të dhënë, i faktorizoni në faktorët e tyre të thjeshtë, më pas merrni secilin faktor të thjeshtë me eksponentin më të madh në të cilin shfaqet dhe shumëzoni këta faktorë së bashku.

Meqenëse numrat relativisht të thjeshtë nuk kanë faktorë të thjeshtë të përbashkët, shumëfishi i tyre më i vogël i përbashkët është i barabartë me produktin e këtyre numrave. Për shembull, tre numra: 20, 49 dhe 33 janë relativisht të thjeshtë. Kjo është arsyeja pse

LCM (20, 49, 33) = 20 49 33 = 32,340.

E njëjta gjë duhet bërë kur të gjejmë shumëfishin më të vogël të përbashkët të numrave të ndryshëm të thjeshtë. Për shembull, LCM (3, 7, 11) = 3 7 11 = 231.

Gjetja me përzgjedhje

Metoda e dytë është gjetja e shumëfishit më të vogël të përbashkët me përzgjedhje.

Shembulli 1. Kur më i madhi i numrave të dhënë pjesëtohet me një numër tjetër të dhënë, atëherë LCM e këtyre numrave është e barabartë me më të madhin prej tyre. Për shembull, jepen katër numra: 60, 30, 10 dhe 6. Secili prej tyre pjesëtohet me 60, pra:

LCM(60, 30, 10, 6) = 60

Në raste të tjera, për të gjetur shumëfishin më të vogël të përbashkët, përdoret procedura e mëposhtme:

1. Përcaktoni numrin më të madh nga numrat e dhënë.
2. Më pas, gjejmë numrat që janë shumëfish të numrit më të madh duke e shumëzuar atë me numra natyrorë në rend rritës dhe duke kontrolluar nëse produkti që rezulton është i pjesëtueshëm me numrat e dhënë të mbetur.

Shembulli 2. Jepen tre numra 24, 3 dhe 18. Ne përcaktojmë më të madhin prej tyre - ky është numri 24. Më pas, gjejmë numrat që janë shumëfish të 24, duke kontrolluar nëse secili prej tyre është i pjesëtueshëm me 18 dhe 3:

24 · 1 = 24 - i pjesëtueshëm me 3, por jo i pjesëtueshëm me 18.

24 · 2 = 48 - i pjesëtueshëm me 3, por jo i pjesëtueshëm me 18.

24 · 3 = 72 - ndahet me 3 dhe 18.

Kështu, LCM (24, 3, 18) = 72.

Gjetja duke gjetur në mënyrë sekuenciale LCM

Metoda e tretë është gjetja e shumëfishit më të vogël të përbashkët duke gjetur në mënyrë sekuenciale LCM.

LCM e dy numrave të dhënë është e barabartë me produktin e këtyre numrave të pjesëtuar me pjesëtuesin e tyre më të madh të përbashkët.

Shembulli 1. Gjeni LCM-në e dy numrave të dhënë: 12 dhe 8. Përcaktoni pjesëtuesin e tyre më të madh të përbashkët: GCD (12, 8) = 4. Shumëzoni këta numra:

Ne e ndajmë produktin me gcd-në e tyre:

Kështu, LCM (12, 8) = 24.

Për të gjetur LCM-në e tre ose më shumë numrave, përdorni procedurën e mëposhtme:

1. Së pari, gjeni LCM-në e çdo dy prej këtyre numrave.
2. Pastaj, LCM e shumëfishit më të vogël të përbashkët të gjetur dhe numrit të tretë të dhënë.
3. Pastaj, LCM e shumëfishit më të vogël të përbashkët që rezulton dhe numri i katërt, etj.
4. Kështu, kërkimi për LCM vazhdon për aq kohë sa ka numra.

Shembulli 2. Le të gjejmë LCM-në e tre numrave të dhënë: 12, 8 dhe 9. Ne kemi gjetur tashmë LCM-në e numrave 12 dhe 8 në shembullin e mëparshëm (ky është numri 24). Mbetet për të gjetur shumëfishin më të vogël të përbashkët të numrit 24 dhe numrin e tretë të dhënë - 9. Përcaktoni pjesëtuesin e tyre më të madh të përbashkët: GCD (24, 9) = 3. Shumëzoni LCM me numrin 9:

Ne e ndajmë produktin me gcd-në e tyre:

Kështu, LCM (12, 8, 9) = 72.

Artikuj të ngjashëm