Ky manual do t'ju ndihmojë të mësoni se si të veproni veprimet me matrica: mbledhja (zbritja) matricore, transpozimi i matricës, shumëzimi i matricës, gjetja matricë e anasjelltë. I gjithë materiali paraqitet në një formë të thjeshtë dhe të arritshme, jepen shembuj përkatës, kështu që edhe një person i papërgatitur mund të mësojë se si të kryejë veprime me matrica. Për vetë-monitorim dhe vetë-testim, mund të shkarkoni falas një kalkulator matricë >>>.

Do të përpiqem të minimizoj llogaritjet teorike në disa vende janë të mundshme shpjegimet "në gishta" dhe përdorimi i termave joshkencor. Dashamirët e teorisë solide, ju lutemi mos u përfshini në kritika, detyra jonë është Mësoni të kryeni veprime me matrica.

Për përgatitjen SUPER FAST për temën (kush është "në zjarr") ekziston një kurs intensiv pdf Matricë, përcaktues dhe test!

Një matricë është një tabelë drejtkëndore e disa elementet. Si elementet do të shqyrtojmë numrat, pra matricat numerike. ELEMENTështë një term. Këshillohet të mbani mend termin, do të shfaqet shpesh, nuk është rastësi që kam përdorur font të theksuar për ta theksuar.

Përcaktimi: matricat zakonisht shënohen me shkronja të mëdha latine

Shembull: Konsideroni një matricë dy nga tre:

Kjo matricë përbëhet nga gjashtë elementet:

Të gjithë numrat (elementet) brenda matricës ekzistojnë më vete, domethënë nuk bëhet fjalë për ndonjë zbritje:

Është vetëm një tabelë (grumbull) numrash!

Ne gjithashtu do të pajtohemi mos u riorganizoni numrat, përveç nëse përcaktohet ndryshe në shpjegime. Çdo numër ka vendndodhjen e vet dhe nuk mund të ngatërrohet!

Matrica në fjalë ka dy rreshta:

dhe tre kolona:

STANDARD: kur flasim për madhësitë e matricës, atëherë ne fillim tregoni numrin e rreshtave dhe vetëm atëherë numrin e kolonave. Sapo kemi zbërthyer matricën dy nga tre.

Nëse numri i rreshtave dhe kolonave të një matrice është i njëjtë, atëherë matrica quhet katrore, Për shembull: - një matricë tre-nga-tre.

Nëse një matricë ka një kolonë ose një rresht, atëherë matrica të tilla quhen gjithashtu vektorët.

Në fakt, ne e kemi njohur konceptin e një matrice që në shkollë, merrni parasysh, për shembull, një pikë me koordinatat "x" dhe "y": . Në thelb, koordinatat e një pike shkruhen në një matricë një nga dy. Nga rruga, këtu është një shembull se pse renditja e numrave ka rëndësi: dhe janë dy pika krejtësisht të ndryshme në aeroplan.

Tani le të kalojmë te studimi veprimet me matrica:

1) Vepro një. Heqja e një minus nga matrica (futja e një minus në matricë).

Le të kthehemi në matricën tonë . Siç e keni vënë re ndoshta, ka shumë numra negativë në këtë matricë. Kjo është shumë e papërshtatshme nga pikëpamja e performancës. veprime të ndryshme me një matricë, është e papërshtatshme të shkruash kaq shumë minuse, dhe thjesht duket e shëmtuar në dizajn.

Le ta zhvendosim minusin jashtë matricës duke ndryshuar shenjën e CDO elementi të matricës:

Në zero, siç e kuptoni, shenja nuk ndryshon zero është gjithashtu zero në Afrikë.

Shembull i kundërt: . Duket e shëmtuar.

Le të futim një minus në matricë duke ndryshuar shenjën e CDO elementi të matricës:

Epo, doli shumë më bukur. Dhe, më e rëndësishmja, do të jetë më e lehtë për të kryer çdo veprim me matricën. Sepse ka një matematikë të tillë shenjë popullore: sa më shumë minuse, aq më shumë konfuzion dhe gabime.

2) Akti i dytë. Shumëzimi i një matrice me një numër.

Shembull:

Është e thjeshtë, për të shumëzuar një matricë me një numër, ju duhet çdo elementi i matricës i shumëzuar me një numër të caktuar. Në këtë rast - një tre.

Një shembull tjetër i dobishëm:

- shumëzimi i një matrice me një thyesë

Së pari le të shohim se çfarë të bëjmë NUK KA NEVOJË:

NUK KA NEVOJSHME të futet një fraksion në matricë, së pari, kjo vetëm ndërlikon veprimet e mëtejshme me matricën dhe së dyti, e bën të vështirë për mësuesin të kontrollojë zgjidhjen (veçanërisht nëse; – përgjigja përfundimtare e detyrës).

Dhe veçanërisht, NUK KA NEVOJË ndani çdo element të matricës me minus shtatë:

Nga artikulli Matematikë për dummies ose ku të filloni, ne e kujtojmë atë dhjetore në matematikën e lartë përpiqen t'i shmangin në çdo mënyrë të mundshme.

E vetmja gjë është mundësishtÇfarë duhet bërë në këtë shembull është të shtoni një minus në matricë:

Por nëse vetëm TE GJITHA Elementet e matricës u ndanë me 7 pa lënë gjurmë, atëherë do të ishte e mundur (dhe e nevojshme!) të ndahej.

Shembull:

Në këtë rast, ju mund të DUHET shumëzojini të gjithë elementët e matricës me , pasi të gjithë numrat e matricës janë të pjesëtueshëm me 2 pa lënë gjurmë.

Shënim: në teorinë e matematikës së shkollave të larta nuk ekziston koncepti i "ndarjes". Në vend që të thoni "kjo pjesëtuar me atë", mund të thoni gjithmonë "kjo shumëzuar me një thyesë". Kjo është, ndarja është rast i veçantë shumëzimi.

3) Akti i tretë. Transpozimi i matricës.

Për të transpozuar një matricë, duhet të shkruani rreshtat e saj në kolonat e matricës së transpozuar.

Shembull:

Transpozoni matricën

Këtu ka vetëm një rresht dhe, sipas rregullit, duhet të shkruhet në një kolonë:

– matrica e transpozuar.

Një matricë e transpozuar zakonisht tregohet nga një mbishkrim ose një kryetar në krye të djathtë.

Shembull hap pas hapi:

Transpozoni matricën

Së pari ne rishkruajmë rreshtin e parë në kolonën e parë:

Pastaj ne rishkruajmë rreshtin e dytë në kolonën e dytë:

Dhe së fundi, ne rishkruajmë rreshtin e tretë në kolonën e tretë:

Gati. Përafërsisht, transpozimi do të thotë të kthesh matricën në anën e saj.

4) Akti i katërt. Shuma (diferenca) e matricave.

Shuma e matricave është një veprim i thjeshtë.
JO TË GJITHA MATRICAT MUND TË PALOSEN. Për të kryer mbledhje (zbritje) të matricave, është e nevojshme që ato të jenë TË NJËJTË MADESISË.

Për shembull, nëse jepet një matricë dy-nga-dy, atëherë ajo mund të shtohet vetëm me një matricë dy-nga-dy dhe asnjë tjetër!

Shembull:

Shtoni matricat Dhe

Për të shtuar matricat, duhet të shtoni elementet e tyre përkatëse:

Për diferencën e matricave rregulli është i ngjashëm, është e nevojshme të gjendet dallimi i elementeve përkatëse.

Shembull:

Gjeni ndryshimin e matricës ,

Si të vendosni ky shembull më e lehtë për të mos u hutuar? Këshillohet që të hiqni qafe minuset e panevojshme për ta bërë këtë, shtoni një minus në matricë:

Shënim: në teorinë e matematikës së shkollës së lartë nuk ekziston koncepti i "zbritjes". Në vend që të thoni "zbrisni këtë nga kjo", mund të thoni gjithmonë "shtoje këtë në këtë". një numër negativ" Domethënë, zbritja është një rast i veçantë i mbledhjes.

5) Akti i pestë. Shumëzimi i matricës.

Cilat matrica mund të shumëzohen?

Në mënyrë që një matricë të shumëzohet me një matricë, është e nevojshme në mënyrë që numri i kolonave të matricës të jetë i barabartë me numrin e rreshtave të matricës.

Shembull:
A është e mundur të shumëzohet një matricë me një matricë?

Kjo do të thotë që të dhënat e matricës mund të shumëzohen.

Por nëse matricat riorganizohen, atëherë, në këtë rast, shumëzimi nuk është më i mundur!

Prandaj, shumëzimi nuk është i mundur:

Nuk është aq e rrallë të hasësh detyra me truk, kur nxënësit i kërkohet të shumëzojë matrica, shumëzimi i të cilave është padyshim i pamundur.

Duhet të theksohet se në disa raste është e mundur të shumëzohen matricat në të dyja mënyrat.
Për shembull, për matricat, dhe shumëzimi dhe shumëzimi janë të mundshëm

Viti i 1-re, matematika e larte, studion matricat dhe veprimet themelore mbi to. Këtu ne sistematizojmë operacionet bazë që mund të kryhen me matrica. Ku të filloni të njiheni me matricat? Sigurisht, nga gjërat më të thjeshta - përkufizimet, konceptet themelore dhe operacionet e thjeshta. Ju sigurojmë se matricat do të kuptohen nga të gjithë ata që i kushtojnë të paktën pak kohë!

Përkufizimi i matricës

Matricëështë një tabelë elementësh drejtkëndëshe. Epo, me fjalë të thjeshta - një tabelë me numra.

Në mënyrë tipike, matricat shënohen me shkronja të mëdha latine. Për shembull, matricë A , matricë B e kështu me radhë. Matricat mund të jenë të madhësive të ndryshme: drejtkëndëshe, katrore, dhe ka edhe matrica rreshtash dhe kolonash të quajtura vektorë. Madhësia e matricës përcaktohet nga numri i rreshtave dhe kolonave. Për shembull, le të shkruajmë një matricë drejtkëndore të madhësisë m në n , Ku m – numri i rreshtave, dhe n - numri i kolonave.

Artikujt për të cilët i=j (a11, a22, .. ) formojnë diagonalen kryesore të matricës dhe quhen diagonale.

Çfarë mund të bëni me matricat? Shto/Zbris, shumëzohen me një numër, shumohen mes tyre, transpozoj. Tani për të gjitha këto operacione bazë në matrica në rend.

Veprimet e mbledhjes dhe zbritjes së matricës

Le t'ju paralajmërojmë menjëherë se mund të shtoni vetëm matrica me të njëjtën madhësi. Rezultati do të jetë një matricë me të njëjtën madhësi. Shtimi (ose zbritja) e matricave është e thjeshtë - ju vetëm duhet të shtoni elementet e tyre përkatëse . Le të japim një shembull. Le të kryejmë mbledhjen e dy matricave A dhe B me madhësi dy nga dy.

Zbritja kryhet me analogji, vetëm me shenjën e kundërt.

Çdo matricë mund të shumëzohet me një numër arbitrar. Për ta bërë këtë, ju duhet të shumëzoni çdo element të tij me këtë numër. Për shembull, le të shumëzojmë matricën A nga shembulli i parë me numrin 5:

Operacioni i shumëzimit të matricës

Jo të gjitha matricat mund të shumëzohen së bashku. Për shembull, ne kemi dy matrica - A dhe B. Ato mund të shumëzohen me njëra-tjetrën vetëm nëse numri i kolonave të matricës A është i barabartë me numrin e rreshtave të matricës B. Në këtë rast çdo element i matricës që rezulton, i vendosur në rreshtin i-të dhe kolonën j-të, do të jetë e barabartë me shumën produktet e elementeve përkatës në rreshti i-të faktori i parë dhe kolona j-të e të dytit. Për të kuptuar këtë algoritëm, le të shkruajmë se si shumëzohen dy matrica katrore:

Dhe një shembull me numra realë. Le të shumëzojmë matricat:

Operacioni i transpozimit të matricës

Transpozimi i matricës është një operacion ku ndërrohen rreshtat dhe kolonat përkatëse. Për shembull, le të transpozojmë matricën A nga shembulli i parë:

Përcaktues matricë

Përcaktor, ose përcaktor, është një nga konceptet themelore algjebër lineare. Njëherë e një kohë njerëzit dolën me ekuacionet lineare, dhe pas tyre duhej të dilnim me një përcaktues. Në fund, ju takon juve të merreni me gjithë këtë, pra, shtytja e fundit!

Përcaktori është një karakteristikë numerike e një matrice katrore, e cila nevojitet për të zgjidhur shumë probleme.
Për të llogaritur përcaktuesin e matricës katrore më të thjeshtë, duhet të llogaritni diferencën midis produkteve të elementeve të diagonaleve kryesore dhe dytësore.

Përcaktori i një matrice të rendit të parë, domethënë i përbërë nga një element, është i barabartë me këtë element.

Po sikur matrica të jetë tre me tre? Kjo është më e vështirë, por ju mund ta menaxhoni atë.

Për një matricë të tillë, vlera e përcaktorit është e barabartë me shumën e produkteve të elementeve të diagonales kryesore dhe produkteve të elementeve që shtrihen në trekëndëshat me faqe paralele me diagonalen kryesore, nga e cila prodhohet produkti i zbriten elementet e diagonales dytësore dhe produkti i elementeve që shtrihen në trekëndëshat me faqen e diagonales dytësore paralele.

Për fat të mirë, në praktikë është e rrallë e nevojshme të llogariten përcaktuesit e matricave të madhësive të mëdha.

Këtu shikuam operacionet bazë mbi matricat. Sigurisht, në jeta reale ju nuk mund të hasni as edhe një aluzion të sistemi i matricës ekuacione ose, përkundrazi, përballeni me raste shumë më të ndërlikuara kur vërtet duhet të grumbulloni trurin tuaj. Pikërisht për raste të tilla ekzistojnë shërbime profesionale studentore. Kërkoni ndihmë, merrni një zgjidhje cilësore dhe të detajuar, shijoni suksesin akademik dhe kohën e lirë.

Shtimi i matricës$ A $ dhe $ B $ është një operacion aritmetik, si rezultat i të cilit duhet të merret matrica $ C $, secili element i së cilës është i barabartë me shumën e elementeve përkatëse të matricave që shtohen:

$$ c_(ij) = a_(ij) + b_(ij) $$

Ne detaje Formula për shtimin e dy matricave duket si kjo:

$$ A + B = \fillim(pmatrix) a_(11) & a_(12) & a_(13) \\ a_(21) & a_(22) & a_(23) \\ a_(31) & a_( 32) & a_(33) \fund(pmatrix) + \fillim(pmatrix) b_(11) & b_(12) & b_(13) \\ b_(21) & b_(22) & b_(23) \\ b_(31) & b_(32) & b_(33) \end (pmatrix) = $$

$$ = \fillim(pmatrix) a_(11) + b_(11) & a_(12)+b_(12) & a_(13)+b_(13) \\ a_(21)+b_(21) & a_ (22)+b_(22) & a_(23)+b_(23) \\ a_(31)+b_(31) & a_(32)+b_(32) & a_(33)+b_(33) \ fund (pmatrix) = C$$

Ju lutemi vini re se mund të shtoni dhe zbritni vetëm matrica të të njëjtit dimension. Me shumën ose ndryshimin, rezultati do të jetë një matricë $ C $ e të njëjtit dimension me termat (të zbritura) të matricave $ A $ dhe $ B $. Nëse matricat $ A $ dhe $ B $ ndryshojnë nga njëra-tjetra në madhësi, atëherë shtimi (zbritja) e matricave të tilla do të jetë një gabim!

Formula shton matrica 3 me 3, që do të thotë se rezultati duhet të jetë një matricë 3 me 3.

Zbritja e matricave krejtësisht i ngjashëm me algoritmin e mbledhjes, vetëm me një shenjë minus. Çdo element i matricës së kërkuar $C$ fitohet duke zbritur elementët përkatës të matricave $A$ dhe $B$:

$$ c_(ij) = a_(ij) - b_(ij) $$

Le të shkruajmë në detaje formula për zbritjen e dy matricave:

$$ A - B = \fillim(pmatrix) a_(11) & a_(12) & a_(13) \\ a_(21) & a_(22) & a_(23) \\ a_(31) & a_( 32) & a_(33) \fund (pmatrix) - \fillimi (pmatrix) b_(11) & b_(12) & b_(13) \\ b_(21) & b_(22) & b_(23) \\ b_(31) & b_(32) & b_(33) \end (pmatrix) = $$

$$ = \fillim(pmatrix) a_(11) - b_(11) & a_(12)-b_(12) & a_(13)-b_(13) \\ a_(21)-b_(21) & a_ (22)-b_(22) & a_(23)-b_(23) \\ a_(31)-b_(31) & a_(32)-b_(32) & a_(33)-b_(33) \ fund (pmatrix) = C$$

Vlen gjithashtu të theksohet se nuk mund të shtoni dhe zbritni matrica me numra të zakonshëm, si dhe me disa elementë të tjerë

Do të jetë e dobishme të njihen vetitë e mbledhjes (zbritjes) për zgjidhje të mëtejshme të problemeve me matricat.

Vetitë

Nëse matricat $ A,B,C $ janë të njëjta në madhësi, atëherë për to zbatohet vetia e asociativitetit: $$ A + (B + C) = (A + B) + C $$
Për secilën matricë ekziston një matricë zero, e shënuar $ O $, pas mbledhjes (zbritjes) me të cilën matrica origjinale nuk ndryshon: $$ A \pm O = A $$
Për çdo matricë jo zero $ A $ ekziston një matricë e kundërt $ (-A) $ shuma e së cilës zhduket: $ $ A + (-A) = 0 $ $
Kur shtoni (zbrisni) matricat, vetia e komutativitetit lejohet, domethënë, matricat $ A $ dhe $ B $ mund të ndërrohen: $$ A + B = B + A $$ $$ A - B = B - A $$

Shembuj zgjidhjesh

Shembulli 1
Matricat e dhëna $ A = \fillimi(pmatrix) 2&3 \\ -1& 4 \end(pmatrix) $ dhe $ B = \fillimi(pmatrix) 1&-3 \\ 2&5 \fund(pmatrix) $. Kryeni mbledhjen e matricës dhe më pas zbritjen.
Zgjidhje
Para së gjithash, ne kontrollojmë matricat për dimensionalitet. Matrica $ A $ ka dimension $ 2 \ herë 2 $, matrica e dytë $ B $ ka dimension $ 2 \ herë 2 $. Kjo do të thotë se me këto matrica është e mundur të kryhet një veprim i përbashkët i mbledhjes dhe zbritjes. Kujtojmë se për shumën është e nevojshme të kryhet mbledhja në çift të elementeve përkatëse të matricave $ A \text( dhe ) B $. $$ A + B = \fillimi(pmatrix) 2&3 \\ -1& 4 \fund(pmatrix) + \fillimi(pmatrix) 1&-3 \\ 2&5 \fund(pmatrix) = $$ $$ = \fillimi(pmatrix) 2 + 1 & 3 + (-3) \\ -1 + 2 & 4 + 5 \fund(pmatrix) = \fillimi(pmatrix) 3 & 0 \\ 1 & 9 \fund( pmatrix) $$ Ngjashëm me shumën, ne gjejmë ndryshimin e matricave duke zëvendësuar shenjën "plus" me një "minus": $$ A - B = \fillimi(pmatrix) 2&3 \\ -1& 4 \end(pmatrix) + \fillimi(pmatrix) 1&-3 \\ 2&5 \fund(pmatrix) = $$ $$ = \fillimi(pmatrix) 2 - 1 & 3 - (-3) \\ -1 - 2 & 4 - 5 \fund (pmatrix) = \fillimi (pmatrix) 1 & 6 \\ -3 & -1 \ fund (pmatrix) $$ Nëse nuk mund ta zgjidhni problemin tuaj, atëherë na dërgoni atë. Ne do të ofrojmë zgjidhje të detajuar. Ju do të jeni në gjendje të shikoni ecurinë e llogaritjes dhe të merrni informacion. Kjo do t'ju ndihmojë të merrni notën tuaj nga mësuesi juaj në kohën e duhur!
Përgjigju
$$ A + B = \fillimi (pmatrix) 3 & 0 \\ 1 & 9 \fund (pmatrix); A - B = \fillimi(pmatrix) 1 & 6 \\ -3 & -1 \fund(pmatrix) $$

Në artikullin: "Mbledhja dhe zbritja e matricave" përkufizime, rregulla, komente, vetitë e operacioneve dhe shembuj praktik Zgjidhjet.

Prezantimi

shumëzimi aksiomatik i rendit të matricës

Veprimet mbi matricat, vetitë e operacioneve.

Në këtë artikull do të kuptojmë se si kryhet operacioni i mbledhjes në matrica të të njëjtit rend, operacioni i shumëzimit të një matrice me një numër dhe operacioni i shumëzimit të matricave të rendit të përshtatshëm, do të vendosim në mënyrë aksiomatike vetitë e operacioneve dhe diskutoni gjithashtu prioritetin e veprimeve në matrica. Paralelisht me teorinë do të paraqesim zgjidhje të detajuara shembuj në të cilët kryhen veprime në matrica.

Le të vërejmë menjëherë se të gjitha sa vijon zbatohen për matricat, elementët e të cilave janë numra realë (ose kompleksë).

Operacioni i mbledhjes së dy matricave

Përkufizimi i veprimit të mbledhjes së dy matricave.

Operacioni i mbledhjes është përcaktuar VETËM PËR MATRICAT TË TË NJETIT RENDI. Me fjalë të tjera, është e pamundur të gjendet shuma e matricave të dimensioneve të ndryshme dhe në përgjithësi është e pamundur të flitet për shtimin e matricave të dimensioneve të ndryshme. Ju gjithashtu nuk mund të flisni për shumën e një matrice dhe një numri ose shumën e një matrice dhe ndonjë elementi tjetër.

Përkufizimi.

Shuma e dy matricave dhe është një matricë elementet e së cilës janë të barabarta me shumën e elementeve përkatëse të matricave A dhe B, që është, .

Kështu, rezultati i veprimit të mbledhjes së dy matricave është një matricë e të njëjtit rend.

Vetitë e veprimit të mbledhjes së matricës.

Çfarë vetish ka operacioni i mbledhjes së matricës? Kjo pyetje është mjaft e lehtë për t'u përgjigjur, duke u nisur nga përcaktimi i shumës së dy matricave të një rendi të caktuar dhe duke kujtuar vetitë e veprimit të mbledhjes së numrave realë (ose kompleksë).

Matricat A, B dhe C të të njëjtit rend karakterizohen nga vetia e asociativitetit të mbledhjes A+(B+C)=(A+B)+C.

Për matricat e një rendi të caktuar, ekziston një element neutral në lidhje me mbledhjen, që është matrica zero. Domethënë, vetia A+O=A është e vërtetë.

Për një matricë A jozero të një rendi të caktuar, ekziston një matricë (-A), shuma e tyre është një matricë zero: A+(-A)=O.

Për matricat A dhe B të një rendi të caktuar, vetia e mbledhjes A+B=B+A është komutative.

Rrjedhimisht, një grup matricash të një rendi të caktuar gjeneron një grup shtesë Abel (një grup abelian në lidhje me veprimin algjebrik të mbledhjes).

Operacioni i shumëzimit të një matrice me një numër

Përkufizimi i veprimit të shumëzimit të një matrice me një numër.

Operacioni i shumëzimit të një matrice me një numër përcaktohet PËR MATRICAT E ÇDO RENDI.

Përkufizimi.

Prodhimi i një matrice dhe një numri real (ose kompleks) është një matricë, elementët e së cilës fitohen duke shumëzuar elementët përkatës të matricës origjinale me numrin, domethënë .

Kështu, rezultati i shumëzimit të një matrice me një numër është një matricë e të njëjtit rend.

Vetitë e veprimit të shumëzimit të një matrice me një numër.

Për matricat e të njëjtit rend A dhe B, si dhe për një numër arbitrar real (ose kompleks), vetia shpërndarëse e shumëzimit në lidhje me mbledhjen është e vërtetë.

Për një matricë arbitrare A dhe çdo numër real (ose kompleks), vlen vetia e shpërndarjes.

Për një matricë arbitrare A dhe çdo numër real (ose kompleks) dhe vetia shoqëruese e shumëzimit është e vërtetë.

Numri neutral kur shumëzohet me një matricë arbitrare A është një, domethënë .

Nga vetitë e veprimit të shumëzimit të një matrice me një numër rrjedh se shumëzimi i një matrice zero me numrin zero do të japë një matricë zero, dhe produkti i një numri arbitrar dhe një matricë zero është një matricë zero.

Shumëzimi i një matrice me një numër - shembuj dhe zgjidhja e tyre.

Le të shohim veprimin e shumëzimit të një matrice me një numër duke përdorur shembuj.

Gjeni prodhimin e numrit 2 dhe matricës.

Për të shumëzuar një matricë me një numër, duhet të shumëzoni çdo element të saj me atë numër:

Shumëzoni një matricë me një numër.

Ne shumëzojmë çdo element të një matrice të caktuar me një numër të caktuar:

Operacioni i shumëzimit të dy matricave

Përkufizimi i veprimit të shumëzimit të dy matricave.

Veprimi i shumëzimit të dy matricave A dhe B përcaktohet vetëm për rastin kur NUMRI I KOLONAVE TË MATRICËS A ËSHTË I BARABAR ME NUMRIN E RRESHTAVE TË MATRICËS B.

Përkufizimi. Prodhimi i një matrice A të rendit dhe një matrice B të rendit është një matricë C e rendit, çdo element i së cilës është i barabartë me shumën e produkteve të elementeve të rreshtit të i-të të matricës A nga elementët përkatës të kolona j e matricës B, që është,

Kështu, rezultati i operacionit të shumëzimit të një matrice të rendit me një matricë të rendit është një matricë e rendit.

Shumëzimi i një matrice me një matricë - zgjidhje për shembuj.

Le të shohim shumëzimin e matricës duke përdorur shembuj dhe më pas të kalojmë në renditjen e vetive të operacionit të shumëzimit të matricës.

Gjeni të gjithë elementët e matricës C, e cila fitohet duke shumëzuar matricat dhe.

Rendi i matricës A është p=3 me n=2, rendi i matricës B është n=2 me q=4, prandaj, rendi i prodhimit të këtyre matricave do të jetë p=3 me q=4. Le të përdorim formulën

Ne marrim me radhë vlerat e i nga 1 në 3 (pasi p=3) për çdo j nga 1 në 4 (pasi q=4), dhe n=2 në rastin tonë, atëherë

Në këtë mënyrë, llogariten të gjithë elementët e matricës C, dhe matrica e fituar nga shumëzimi i dy matricave të dhëna ka formën.

Kryen shumëzimin e matricës dhe.

Rendit e matricave origjinale lejojnë që të kryhet operacioni i shumëzimit. Si rezultat, ne duhet të marrim një matricë të rendit 2 me 3.

Matricat dhe janë dhënë. Gjeni prodhimin e matricave A dhe B, si dhe matricave B dhe A.

Meqenëse rendi i matricës A është 3 me 1, dhe matrica B është 1 me 3, atëherë A?B do të ketë rendin 3 me 3, dhe prodhimi i matricës B dhe A do të ketë rendin 1 me 1.

Siç mund ta shihni,. Kjo është një nga vetitë e operacionit të shumëzimit të matricës.

Vetitë e veprimit të shumëzimit të matricës.

Nëse matricat A, B dhe C janë të rendit të përshtatshëm, atëherë vetitë e mëposhtme të veprimit të shumëzimit të matricës janë të vlefshme.

Vetia e asociativitetit të shumëzimit të matricës.

Dy veti të shpërndarjes dhe.

NË rast i përgjithshëm Operacioni i shumëzimit të matricës është jokomutativ.

Matrica e identitetit E e rendit n me n është një element neutral në lidhje me shumëzimin, domethënë, për një matricë arbitrare A të rendit p me n barazia është e vërtetë, dhe për një matricë arbitrare A të rendit n me p barazia është e vërtetë.

Duhet të theksohet se, me renditje të përshtatshme, prodhimi i matricës zero O dhe matricës A jep matricën zero. Prodhimi i A dhe O jep gjithashtu një matricë zero nëse urdhrat lejojnë shumëzimin e matricës.

Ndër matricat katrore Ekzistojnë të ashtuquajturat matrica permutacioni, operacioni i shumëzimit për to është komutativ, d.m.th. Një shembull i matricave të ndërrimit është një çift i matricës së identitetit dhe çdo matricë tjetër e të njëjtit rend, siç është e vërtetë.

Shtimi i matricës:

Zbritja dhe mbledhja e matricave reduktohet në veprimet përkatëse në elementet e tyre. Operacioni i mbledhjes së matricës hyrë vetëm për matricat të njëjtën madhësi, d.m.th matricat, në të cilën numri i rreshtave dhe kolonave është përkatësisht i barabartë. Shuma e matricave A dhe B quhen matricë C, elementet e të cilit janë të barabartë me shumën e elementeve përkatëse. C = A + B c ij = a ij + b ij Përcaktuar në mënyrë të ngjashme dallimi i matricës.

Shumëzimi i një matrice me një numër:

Operacioni i shumëzimit (pjestimit) të matricës e çdo madhësie me një numër arbitrar reduktohet në shumëzimin (pjestimin) e çdo elementi matricat për këtë numër. Produkt matricë Dhe numri k quhet matricë B, e tillë që

b ij = k × a ij . B = k × A b ij = k × a ij . Matricë- A = (-1) × A quhet e kundërta matricë A.

Vetitë e shtimit të matricave dhe shumëzimit të një matrice me një numër:

Operacionet e shtimit të matricës Dhe shumëzimi i matricës mbi një numër kanë këto veti: 1. A + B = B + A; 2. A + (B + C) = (A + B) + C; 3. A + 0 = A; 4. A - A = 0; 5. 1 × A = A; 6. α × (A + B) = αA + αB; 7. (α + β) × A = αA + βA; 8. α × (βA) = (αβ) × A; , ku A, B dhe C janë matrica, α dhe β janë numra.

Shumëzimi i matricës (produkti i matricës):

Operacioni i shumëzimit të dy matricave futet vetëm për rastin kur numri i kolonave të të parit matricat e barabartë me numrin e rreshtave të sekondës matricat. Produkt matricë Dhe m×n në matricë Në n×p, i quajtur matricë Me m×p të tillë që me ik = a i1 × b 1k + a i2 × b 2k + ... + a në × b nk , d.m.th., gjendet shuma e produkteve të elementeve të rreshtit të i-të. matricat Dhe tek elementët përkatës të kolonës j matricat B. Nëse matricat A dhe B janë katrorë me të njëjtën madhësi, atëherë prodhimet AB dhe BA ekzistojnë gjithmonë. Është e lehtë të tregohet se A × E = E × A = A, ku A është katror matricë, E - njësi matricë të njëjtën madhësi.

Vetitë e shumëzimit të matricës:

Shumëzimi i matricës jo komutative, d.m.th. AB ≠ BA edhe nëse të dy produktet janë të përcaktuara. Megjithatë, nëse për ndonjë matricat marrëdhënia AB=BA është e kënaqur, atëherë e tillë matricat quhen komutative. Shembulli më tipik është një i vetëm matricë, i cili udhëton me ndonjë tjetër matricë të njëjtën madhësi. Vetëm ato katrore mund të jenë të pandryshueshme matricat të të njëjtit rend. A × E = E × A = A

Shumëzimi i matricës ka këto veti: 1. A × (B × C) = (A × B) × C; 2. A × (B + C) = AB + AC; 3. (A + B) × C = AC + BC; 4. α × (AB) = (αA) × B; 5. A × 0 = 0; 0 × A = 0; 6. (AB) T = B T A T; 7. (ABC) T = C T V T A T; 8. (A + B) T = A T + B T;

2. Përcaktuesit e rendit të dytë dhe të tretë. Vetitë e përcaktorëve.

Përcaktues matricë rendit të dytë, ose përcaktues Rendi i dytë është një numër që llogaritet me formulën:

Përcaktues matricë rendit të tretë, ose përcaktues Rendi i tretë është një numër që llogaritet me formulën:

Ky numër paraqet një shumë algjebrike të përbërë nga gjashtë terma. Çdo term përmban saktësisht një element nga çdo rresht dhe çdo kolonë matricat. Çdo term përbëhet nga produkti i tre faktorëve.

Shenjat me të cilat anëtarët përcaktues i matricës të përfshira në formulë gjetja e përcaktorit të matricës renditja e tretë mund të përcaktohet duke përdorur skemën e dhënë, e cila quhet rregulla e trekëndëshave ose rregulla e Sarrusit. Tre termat e parë merren me një shenjë plus dhe përcaktohen nga figura e majtë, dhe tre termat e tjerë merren me shenjën minus dhe përcaktohen nga figura e djathtë.

Përcaktoni numrin e termave për të gjetur përcaktues i matricës, në një shumë algjebrike, mund të llogarisni faktorialin: 2! = 1 × 2 = 2 3! = 1 × 2 × 3 = 6

Vetitë e përcaktorëve të matricës

Vetitë e përcaktuesve të matricës:

Prona #1:

Përcaktues matricë nuk do të ndryshojë nëse rreshtat e tij zëvendësohen me kolona, çdo rresht me një kolonë me të njëjtin numër dhe anasjelltas (Transpozimi). |A| = |A| T

Pasoja:

Kolonat dhe rreshtat përcaktues i matricës janë të barabarta, prandaj vetitë e natyrshme në rreshta plotësohen edhe për kolonat.

Prona #2:

Kur riorganizoni 2 rreshta ose kolona përcaktues matricë do ta ndryshojë shenjën në të kundërtën, duke ruajtur vlerën absolute, d.m.th.

Prona #3:

Përcaktues matricë të kesh dy rreshta identikë është e barabartë me zero.

Prona #4:

Faktori i përbashkët i elementeve të çdo serie përcaktues i matricës mund të merret si shenjë përcaktues.

Pasojat nga pronat nr. 3 dhe nr. 4:

Nëse të gjithë elementët e një serie të caktuar (rreshti ose kolona) janë proporcionale me elementët përkatës të një serie paralele, atëherë të tilla përcaktues matricë e barabartë me zero.

Prona #5:

përcaktues i matricës atëherë janë të barabarta me zero përcaktues matricë e barabartë me zero.

Prona #6:

Nëse të gjithë elementët e një rreshti ose kolone përcaktues paraqitet si një shumë prej 2 termash, atëherë përcaktues matricat mund të përfaqësohet si shuma e 2 përcaktuesit sipas formulës:

Prona #7:

Nëse në ndonjë rresht (ose kolonë) përcaktues shtoni elementet përkatëse të një rreshti (ose kolone) tjetër, të shumëzuar me të njëjtin numër, më pas përcaktues matricë nuk do të ndryshojë vlerën e saj.