Ruajtja e privatësisë suaj është e rëndësishme për ne. Për këtë arsye, ne kemi zhvilluar një politikë të privatësisë që përshkruan se si ne përdorim dhe ruajmë informacionin tuaj. Ju lutemi rishikoni praktikat tona të privatësisë dhe na tregoni nëse keni ndonjë pyetje.
Mbledhja dhe përdorimi i informacionit personal
Informacioni personal i referohet të dhënave që mund të përdoren për të identifikuar ose kontaktuar një person specifik.
Mund t'ju kërkohet të jepni informacionin tuaj personal në çdo kohë kur na kontaktoni.
Më poshtë janë disa shembuj të llojeve të informacionit personal që mund të mbledhim dhe se si mund ta përdorim këtë informacion.
Çfarë informacioni personal mbledhim:
- Kur dorëzoni një aplikim në sajt, ne mund të mbledhim informacione të ndryshme, duke përfshirë emrin tuaj, numrin e telefonit, adresën e emailit, etj.
Si i përdorim të dhënat tuaja personale:
- Informacioni personal që mbledhim na lejon t'ju kontaktojmë me oferta unike, promovime dhe ngjarje të tjera dhe ngjarje të ardhshme.
- Herë pas here, ne mund të përdorim të dhënat tuaja personale për të dërguar njoftime dhe komunikime të rëndësishme.
- Ne gjithashtu mund të përdorim të dhënat personale për qëllime të brendshme, si kryerja e auditimeve, analizave të të dhënave dhe kërkimeve të ndryshme, me qëllim që të përmirësojmë shërbimet që ofrojmë dhe t'ju ofrojmë rekomandime në lidhje me shërbimet tona.
- Nëse merrni pjesë në një tërheqje çmimesh, konkurs ose promovim të ngjashëm, ne mund të përdorim informacionin që ju jepni për të administruar programe të tilla.
Zbulimi i informacionit palëve të treta
Ne nuk ua zbulojmë informacionin e marrë nga ju palëve të treta.
Përjashtimet:
- Nëse është e nevojshme - në përputhje me ligjin, procedurën gjyqësore, në procedurat ligjore dhe/ose në bazë të kërkesave publike ose kërkesave nga autoritetet qeveritare në territorin e Federatës Ruse - për të zbuluar informacionin tuaj personal. Ne gjithashtu mund të zbulojmë informacione për ju nëse përcaktojmë se një zbulim i tillë është i nevojshëm ose i përshtatshëm për qëllime sigurie, zbatimi të ligjit ose qëllime të tjera me rëndësi publike.
- Në rast të një riorganizimi, bashkimi ose shitjeje, ne mund t'i transferojmë informacionet personale që mbledhim te pala e tretë pasardhëse e aplikueshme.
Mbrojtja e informacionit personal
Ne marrim masa paraprake - duke përfshirë administrative, teknike dhe fizike - për të mbrojtur informacionin tuaj personal nga humbja, vjedhja dhe keqpërdorimi, si dhe qasja, zbulimi, ndryshimi dhe shkatërrimi i paautorizuar.
Respektimi i privatësisë suaj në nivel kompanie
Për t'u siguruar që informacioni juaj personal është i sigurt, ne i komunikojmë punonjësve tanë standardet e privatësisë dhe sigurisë dhe zbatojmë në mënyrë rigoroze praktikat e privatësisë.
Ku x* - një nga zgjidhjet për sistemin johomogjen (2) (për shembull (4)), (E−A+A) formon bërthamën (hapësirën nule) të matricës A.
Le të bëjmë një dekompozim skeletor të matricës (E−A+A):
E−A + A=Q·S
Ku P n×n−r- matrica e renditjes (Q)=n−r, S n−r×n-matrica e rangut (S)=n−r.
Pastaj (13) mund të shkruhet në formën e mëposhtme:
x=x*+Q·k, ∀ k ∈ Rn-r.
Ku k=Sz.
Kështu që, Procedura për gjetjen e një zgjidhjeje të përgjithshme sistemet e ekuacioneve lineare duke përdorur një matricë pseudoinverse mund të përfaqësohen në formën e mëposhtme:
- Llogaritja e matricës pseudoinverse A + .
- Ne llogarisim një zgjidhje të veçantë për sistemin johomogjen të ekuacioneve lineare (2): x*=A + b.
- Ne kontrollojmë përputhshmërinë e sistemit. Për ta bërë këtë, ne llogarisim A.A. + b. Nëse A.A. + b≠b, atëherë sistemi është i paqëndrueshëm. Përndryshe, ne vazhdojmë procedurën.
- Le ta kuptojmë E−A+A.
- Bërja e zbërthimit të skeletit E−A + A=Q·S.
- Ndërtimi i një zgjidhjeje
x=x*+Q·k, ∀ k ∈ Rn-r.
Zgjidhja e një sistemi ekuacionesh lineare në internet
Llogaritësi në internet ju lejon të gjeni zgjidhjen e përgjithshme të një sistemi ekuacionesh lineare me shpjegime të hollësishme.
Një sistem m ekuacionesh lineare me n të panjohura quhet sistem i formës
Ku një ij Dhe b i (i=1,…,m; b=1,…,n) janë disa numra të njohur, dhe x 1,…,x n– e panjohur. Në përcaktimin e koeficientëve një ij indeksi i parë i tregon numrin e ekuacionit, dhe i dyti j– numri i të panjohurës në të cilën qëndron ky koeficient.
Koeficientët për të panjohurat do t'i shkruajmë në formë matrice 
, të cilin do ta quajmë matricës së sistemit.
Numrat në anën e djathtë të ekuacioneve janë b 1,…,b m quhen anëtarë të lirë.
Tërësia n numrat c 1,…,c n thirrur vendim të një sistemi të caktuar, nëse çdo ekuacion i sistemit bëhet barazi pas zëvendësimit të numrave në të c 1,…,c n në vend të të panjohurave përkatëse x 1,…,x n.
Detyra jonë do të jetë të gjejmë zgjidhje për sistemin. Në këtë rast, mund të lindin tre situata:
Një sistem ekuacionesh lineare që ka të paktën një zgjidhje quhet të përbashkët. Përndryshe, d.m.th. nëse sistemi nuk ka zgjidhje, atëherë ai quhet jo të përbashkët.
Le të shqyrtojmë mënyrat për të gjetur zgjidhje për sistemin.
METODA E MATRIKES PER ZGJIDHEN E SISTEMEVE TE EKUACIONET LINEARE
Matricat bëjnë të mundur që shkurtimisht të shkruhet një sistem ekuacionesh lineare. Le të jepet një sistem prej 3 ekuacionesh me tre të panjohura:
Konsideroni matricën e sistemit 
dhe matricat e kolonave të termave të panjohur dhe të lirë 
Le ta gjejmë punën
ato. si rezultat i produktit, marrim anët e majta të ekuacioneve të këtij sistemi. Pastaj, duke përdorur përkufizimin e barazisë së matricës, ky sistem mund të shkruhet në formë
ose më të shkurtër A∙X=B.
Këtu janë matricat A Dhe B janë të njohura, dhe matrica X i panjohur. Është e nevojshme ta gjesh atë, sepse... elementet e tij janë zgjidhja e këtij sistemi. Ky ekuacion quhet ekuacioni i matricës.
Le të jetë përcaktori i matricës i ndryshëm nga zero | A| ≠ 0. Më pas ekuacioni i matricës zgjidhet si më poshtë. Shumëzoni të dyja anët e ekuacionit në të majtë me matricën A-1, inversi i matricës A: . Sepse A -1 A = E Dhe E∙X = X, atëherë marrim një zgjidhje për ekuacionin e matricës në formë X = A -1 B .
Vini re se meqenëse matrica e anasjelltë mund të gjendet vetëm për matricat katrore, metoda e matricës mund të zgjidhë vetëm ato sisteme në të cilat numri i ekuacioneve përkon me numrin e të panjohurave. Megjithatë, regjistrimi me matricë i sistemit është i mundur edhe në rastin kur numri i ekuacioneve nuk është i barabartë me numrin e të panjohurave, atëherë matrica A nuk do të jetë katror dhe për këtë arsye është e pamundur të gjendet një zgjidhje për sistemin në formë X = A -1 B.
Shembuj. Zgjidh sisteme ekuacionesh.
RREGULLI I CRAMER
Konsideroni një sistem prej 3 ekuacionesh lineare me tre të panjohura:
Përcaktori i rendit të tretë që i përgjigjet matricës së sistemit, d.m.th. i përbërë nga koeficientë për të panjohurat,
thirrur përcaktues i sistemit.
Le të kompozojmë tre përcaktorë të tjerë si më poshtë: zëvendësoni në mënyrë sekuenciale 1, 2 dhe 3 kolona në përcaktorin D me një kolonë me terma të lirë
Atëherë mund të vërtetojmë rezultatin e mëposhtëm.
Teorema (rregulla e Kramerit). Nëse përcaktorja e sistemit Δ ≠ 0, atëherë sistemi në shqyrtim ka një dhe vetëm një zgjidhje, dhe
Dëshmi. Pra, le të shqyrtojmë një sistem prej 3 ekuacionesh me tre të panjohura. Le të shumëzojmë ekuacionin e parë të sistemit me komplementin algjebrik A 11 element një 11, ekuacioni i 2-të – në A 21 dhe 3 - në A 31:
Le të shtojmë këto ekuacione:
Le të shohim secilën nga kllapat dhe anën e djathtë të këtij ekuacioni. Nga teorema mbi zgjerimin e përcaktorit në elementet e kolonës 1
Në mënyrë të ngjashme, mund të tregohet se dhe .
Së fundi, është e lehtë të vërehet se 
Kështu, marrim barazinë: .
Prandaj, .
Barazitë dhe rrjedhin në mënyrë të ngjashme, nga e cila rrjedh pohimi i teoremës.
Kështu, vërejmë se nëse përcaktori i sistemit Δ ≠ 0, atëherë sistemi ka një zgjidhje unike dhe anasjelltas. Nëse përcaktorja e sistemit është e barabartë me zero, atëherë sistemi ose ka një numër të pafund zgjidhjesh ose nuk ka zgjidhje, d.m.th. të papajtueshme.
Shembuj. Zgjidh sistemin e ekuacioneve
METODA E GAUSS
Metodat e diskutuara më parë mund të përdoren për të zgjidhur vetëm ato sisteme në të cilat numri i ekuacioneve përkon me numrin e të panjohurave, dhe përcaktori i sistemit duhet të jetë i ndryshëm nga zero. Metoda e Gausit është më universale dhe e përshtatshme për sistemet me çdo numër ekuacionesh. Ai konsiston në eliminimin e vazhdueshëm të të panjohurave nga ekuacionet e sistemit.
Konsideroni përsëri një sistem prej tre ekuacionesh me tre të panjohura:
.
Ekuacionin e parë do ta lëmë të pandryshuar dhe nga e dyta dhe e treta do të përjashtojmë termat që përmbajnë x 1. Për ta bërë këtë, ndani ekuacionin e dytë me A 21 dhe shumëzojeni me - A 11, dhe më pas shtojeni në ekuacionin e parë. Në mënyrë të ngjashme, ne e ndajmë ekuacionin e tretë me A 31 dhe shumëzojeni me - A 11, dhe më pas shtojeni me të parën. Si rezultat, sistemi origjinal do të marrë formën:
Tani nga ekuacioni i fundit eliminojmë termin që përmban x 2. Për ta bërë këtë, ndani ekuacionin e tretë me, shumëzoni me dhe shtoni me të dytin. Atëherë do të kemi një sistem ekuacionesh:
Nga këtu, nga ekuacioni i fundit është e lehtë të gjendet x 3, pastaj nga ekuacioni i 2-të x 2 dhe së fundi, nga 1 - x 1.
Kur përdorni metodën Gaussian, ekuacionet mund të ndërrohen nëse është e nevojshme.
Shpesh, në vend që të shkruajnë një sistem të ri ekuacionesh, ata kufizohen në shkrimin e matricës së zgjeruar të sistemit:
dhe më pas silleni në një formë trekëndore ose diagonale duke përdorur shndërrimet elementare.
TE transformimet elementare matricat përfshijnë transformimet e mëposhtme:
- riorganizimi i rreshtave ose kolonave;
- shumëzimi i një vargu me një numër të ndryshëm nga zero;
- duke shtuar rreshta të tjerë në një rresht.
Shembuj: Zgjidh sisteme ekuacionesh duke përdorur metodën e Gausit.
Kështu, sistemi ka një numër të pafund zgjidhjesh.
- Sistemet m ekuacionet lineare me n i panjohur.
Zgjidhja e një sistemi ekuacionesh lineare- ky është një grup i tillë numrash ( x 1, x 2, …, x n), kur zëvendësohet në secilin nga ekuacionet e sistemit, fitohet barazia e saktë.
Ku a ij , i = 1, …, m; j = 1, …, n— koeficientët e sistemit;
b i , i = 1, …, m- anëtarë të lirë;
x j, j = 1, …, n- e panjohur.
Sistemi i mësipërm mund të shkruhet në formë matrice: A X = B,
ku ( A|B) është matrica kryesore e sistemit;
A— matrica e zgjeruar e sistemit;
X- kolona e të panjohurave;
B— kolona e anëtarëve të lirë.
Nëse matrica B nuk është një matricë null ∅, atëherë ky sistem ekuacionesh lineare quhet johomogjen.
Nëse matrica B= ∅, atëherë ky sistem ekuacionesh lineare quhet homogjen. Një sistem homogjen ka gjithmonë një zgjidhje zero (të parëndësishme): x 1 = x 2 = …, x n = 0.
Sistemi i përbashkët i ekuacioneve lineareështë një sistem ekuacionesh lineare që ka një zgjidhje.
Sistemi i paqëndrueshëm i ekuacioneve lineareështë një sistem i pazgjidhshëm ekuacionesh lineare.
Një sistem i caktuar ekuacionesh lineareështë një sistem ekuacionesh lineare që ka një zgjidhje unike.
Sistemi i pacaktuar ekuacionesh lineareështë një sistem ekuacionesh lineare me një numër të pafund zgjidhjesh. - Sistemet e n ekuacioneve lineare me n të panjohura
Nëse numri i të panjohurave është i barabartë me numrin e ekuacioneve, atëherë matrica është katrore. Përcaktori i një matrice quhet përcaktor kryesor i një sistemi ekuacionesh lineare dhe shënohet me simbolin Δ.
Metoda Cramer për zgjidhjen e sistemeve n ekuacionet lineare me n i panjohur.
Rregulli i Kramerit.
Nëse përcaktori kryesor i një sistemi ekuacionesh lineare nuk është i barabartë me zero, atëherë sistemi është konsistent dhe i përcaktuar, dhe zgjidhja e vetme llogaritet duke përdorur formulat Cramer:
ku Δ i janë përcaktorë të përftuar nga përcaktorja kryesore e sistemit Δ duke zëvendësuar i kolona th në kolonën e anëtarëve të lirë. . - Sisteme m ekuacionesh lineare me n të panjohura
Teorema Kronecker–Capelli.
Në mënyrë që një sistem i caktuar ekuacionesh lineare të jetë konsistent, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që rangu i matricës së sistemit të jetë i barabartë me gradën e matricës së zgjeruar të sistemit, rang(Α) = rang(Α|B).
Nëse rang(Α) ≠ rang(Α|B), atëherë sistemi padyshim nuk ka zgjidhje.
Nëse rang(Α) = rang(Α|B), atëherë dy raste janë të mundshme:
1) rang(Α) = n(numri i të panjohurave) - zgjidhja është unike dhe mund të merret duke përdorur formulat e Cramer;
2) gradë (Α)< n - ka pafundësisht shumë zgjidhje. - Metoda e Gausit për zgjidhjen e sistemeve të ekuacioneve lineare
Le të krijojmë një matricë të zgjeruar ( A|B) të një sistemi të dhënë nga koeficientët e të panjohurave dhe të anëve të djathta.
Metoda Gaussian ose metoda e eliminimit të të panjohurave konsiston në zvogëlimin e matricës së zgjeruar ( A|B) duke përdorur shndërrimet elementare mbi rreshtat e tij në një formë diagonale (në formën e sipërme trekëndore). Duke u kthyer në sistemin e ekuacioneve, përcaktohen të gjitha të panjohurat.
Transformimet elementare mbi vargjet përfshijnë si më poshtë:
1) ndërroni dy rreshta;
2) shumëzimi i një vargu me një numër të ndryshëm nga 0;
3) shtimi i një vargu tjetër në një varg, i shumëzuar me një numër arbitrar;
4) hedhja e një rreshti zero.
Një matricë e zgjeruar e reduktuar në formë diagonale korrespondon me një sistem linear ekuivalent me atë të dhënë, zgjidhja e të cilit nuk shkakton vështirësi. . - Sistemi i ekuacioneve lineare homogjene.
Një sistem homogjen ka formën:
i përgjigjet ekuacionit të matricës A X = 0.
1) Një sistem homogjen është gjithmonë konsistent, pasi r(A) = r(A|B), ka gjithmonë një zgjidhje zero (0, 0, ..., 0).
2) Që një sistem homogjen të ketë një zgjidhje jo zero, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që r = r(A)< n , e cila është ekuivalente me Δ = 0.
3) Nëse r< n , atëherë padyshim Δ = 0, atëherë lindin të panjohura të lira c 1 , c 2 , …, c n-r, sistemi ka zgjidhje jo të parëndësishme dhe ka pafundësisht shumë prej tyre.
4) Zgjidhja e përgjithshme X në r< n mund të shkruhet në formë matrice si më poshtë:
X = c 1 X 1 + c 2 X 2 + … + c n-r X n-r,
ku janë zgjidhjet X 1, X 2, …, X n-r formojnë një sistem themelor zgjidhjesh.
5) Sistemi themelor i zgjidhjeve mund të merret nga zgjidhja e përgjithshme e një sistemi homogjen:
,
nëse vendosim në mënyrë sekuenciale vlerat e parametrave të barabarta me (1, 0, ..., 0), (0, 1, ..., 0), ..., (0, 0, ..., 1).
Zgjerimi i zgjidhjes së përgjithshme për sa i përket sistemit themelor të zgjidhjeveështë një regjistrim i një zgjidhjeje të përgjithshme në formën e një kombinimi linear të zgjidhjeve që i përkasin sistemit themelor.
Teorema. Në mënyrë që një sistem ekuacionesh homogjene lineare të ketë një zgjidhje jo zero, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që Δ ≠ 0.
Pra, nëse përcaktorja Δ ≠ 0, atëherë sistemi ka një zgjidhje unike.
Nëse Δ ≠ 0, atëherë sistemi i ekuacioneve homogjene lineare ka një numër të pafund zgjidhjesh.
Teorema. Në mënyrë që një sistem homogjen të ketë një zgjidhje jozero, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që r(A)< n .
Dëshmi:
1) r nuk mund të ketë më shumë n(grada e matricës nuk e kalon numrin e kolonave ose rreshtave);
2) r< n , sepse Nëse r = n, atëherë përcaktori kryesor i sistemit Δ ≠ 0, dhe, sipas formulave të Cramer-it, ekziston një zgjidhje unike e parëndësishme x 1 = x 2 = … = x n = 0, që bie ndesh me kushtin. Do të thotë, r(A)< n .
Pasoja. Për një sistem homogjen n ekuacionet lineare me n të panjohurat kishin një zgjidhje jo zero, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që Δ = 0.
Zgjidhja e sistemeve të ekuacioneve algjebrike lineare është një nga problemet kryesore të algjebrës lineare. Ky problem ka një rëndësi të rëndësishme aplikative në zgjidhjen e problemeve shkencore dhe teknike, përveç kësaj, është ndihmës në zbatimin e shumë algoritmeve në matematikën llogaritëse, fizikën matematikore dhe përpunimin e rezultateve të kërkimit eksperimental.
Një sistem ekuacionesh algjebrike lineare quhet sistem ekuacionesh të formës: (1)
Ku – i panjohur; - anëtarë të lirë.
Zgjidhja e një sistemi ekuacionesh(1) thirrni çdo grup numrash që, kur vendosen në sistemin (1) në vend të të panjohurave konverton të gjitha ekuacionet e sistemit në barazi numerike të sakta.
Sistemi i ekuacioneve quhet të përbashkët, nëse ka të paktën një zgjidhje, dhe jo të përbashkët, nëse nuk ka zgjidhje.
Sistemi i njëkohshëm i ekuacioneve quhet të caktuara, nëse ka një zgjidhje unike, dhe i pasigurt, nëse ka të paktën dy zgjidhje të ndryshme.
Quhen dy sisteme ekuacionesh ekuivalente ose ekuivalente, nëse kanë të njëjtin grup zgjidhjesh.
Sistemi (1) quhet homogjene, nëse kushtet e lira janë zero:
Një sistem homogjen është gjithmonë konsistent - ai ka një zgjidhje (ndoshta jo të vetmen).
Nëse në sistemin (1), atëherë kemi sistemin n ekuacionet lineare me n i panjohur: ku – i panjohur; - koeficientët për të panjohurat, - anëtarë të lirë.
Një sistem linear mund të ketë një zgjidhje të vetme, pafundësisht shumë zgjidhje ose asnjë zgjidhje fare.
Konsideroni një sistem me dy ekuacione lineare me dy të panjohura
Nëse atëherë sistemi ka një zgjidhje unike;
nëse atëherë sistemi nuk ka zgjidhje;
nëse atëherë sistemi ka një numër të pafund zgjidhjesh.
Shembull. Sistemi ka një zgjidhje unike për një çift numrash
Sistemi ka një numër të pafund zgjidhjesh. Për shembull, zgjidhjet për një sistem të caktuar janë çifte numrash, etj.
Sistemi nuk ka zgjidhje, pasi ndryshimi i dy numrave nuk mund të marrë dy vlera të ndryshme.
Përkufizimi. Përcaktues i rendit të dytë quhet një shprehje e formës:
Përcaktori caktohet me simbolin D.
Numrat A 11, …, A 22 quhen elemente të përcaktorit.
Diagonale e formuar nga elementë A 11 ; A 22 quhen kryesore diagonale e formuar nga elementë A 12 ; A 21 − anësor
Kështu, përcaktori i rendit të dytë është i barabartë me ndryshimin midis produkteve të elementeve të diagonaleve kryesore dhe dytësore.
Vini re se përgjigjja është një numër.
Shembull. Le të llogarisim përcaktuesit:
Konsideroni një sistem prej dy ekuacionesh lineare me dy të panjohura: ku X 1, X 2 – i panjohur; A 11 , …, A 22 - koeficientët për të panjohurat, b 1 , b 2 – anëtarë të lirë.
Nëse një sistem prej dy ekuacionesh me dy të panjohura ka një zgjidhje unike, atëherë ai mund të gjendet duke përdorur përcaktorë të rendit të dytë.
Përkufizimi. Një përcaktues i përbërë nga koeficientë për të panjohurat quhet përcaktues i sistemit: D= .
Kolonat e përcaktorit D përmbajnë koeficientët, përkatësisht, për X 1 dhe në , X 2. Le të prezantojmë dy kualifikues shtesë, të cilat fitohen nga përcaktorja e sistemit duke zëvendësuar njërën nga kolonat me një kolonë termash të lira: D 1 = D 2 = .
Teorema 14(Kramer, për rastin n=2). Nëse përcaktori D i sistemit është i ndryshëm nga zero (D¹0), atëherë sistemi ka një zgjidhje unike, e cila gjendet duke përdorur formulat:
Këto formula quhen Formulat e Cramer-it.
Shembull. Le të zgjidhim sistemin duke përdorur rregullin e Cramer:
Zgjidhje. Le të gjejmë numrat
Përgjigju.
Përkufizimi. Përcaktori i rendit të tretë quhet një shprehje e formës:
Elementet A 11; A 22 ; A 33 - formoni diagonalen kryesore.
Numrat A 13; A 22 ; A 31 - formoni një diagonale anësore.
Hyrja me plus përfshin: produktin e elementeve në diagonalen kryesore, dy termat e mbetur janë prodhimi i elementeve të vendosura në kulmet e trekëndëshave me baza paralele me diagonalen kryesore. Termat minus formohen sipas të njëjtës skemë në lidhje me diagonalen dytësore.
Shembull. Le të llogarisim përcaktuesit:
Konsideroni një sistem prej tre ekuacionesh lineare me tre të panjohura: ku – i panjohur; - koeficientët për të panjohurat, - anëtarë të lirë.
Në rastin e një zgjidhjeje unike, një sistem prej 3 ekuacionesh lineare me tre të panjohura mund të zgjidhet duke përdorur përcaktorë të rendit të tretë.
Përcaktori i sistemit D ka formën:
Le të prezantojmë tre përcaktues shtesë:
Teorema 15(Kramer, për rastin n=3). Nëse përcaktori D i sistemit është i ndryshëm nga zero, atëherë sistemi ka një zgjidhje unike, e cila gjendet duke përdorur formulat e Cramer-it:
Shembull. Le të zgjidhim sistemin duke përdorur rregullin e Cramer.
Zgjidhje. Le të gjejmë numrat
Le të përdorim formulat e Cramer dhe të gjejmë zgjidhjen për sistemin origjinal:
Përgjigju.
Vini re se teorema e Cramer-it është e zbatueshme kur numri i ekuacioneve është i barabartë me numrin e të panjohurave dhe kur përcaktorja e sistemit D është jozero.
Nëse përcaktorja e sistemit është e barabartë me zero, atëherë në këtë rast sistemi ose mund të mos ketë zgjidhje ose të ketë një numër të pafund zgjidhjesh. Këto raste studiohen veçmas.
Le të vërejmë vetëm një rast. Nëse përcaktorja e sistemit është e barabartë me zero (D=0), dhe të paktën një nga përcaktorët shtesë është i ndryshëm nga zero, atëherë sistemi nuk ka zgjidhje, domethënë është i paqëndrueshëm.
Teorema e Cramer-it mund të përgjithësohet në sistem n ekuacionet lineare me n i panjohur: ku – i panjohur; - koeficientët për të panjohurat, - anëtarë të lirë.
Nëse përcaktori i një sistemi ekuacionesh lineare me të panjohura, atëherë zgjidhja e vetme për sistemin gjendet duke përdorur formulat e Cramer-it:
Një përcaktues shtesë merret nga përcaktorja D nëse përmban një kolonë koeficientësh për të panjohurën x i zëvendësohet me një kolonë anëtarësh të lirë.
Vini re se përcaktorët D, D 1 , ... , D n kanë rregull n.
Metoda e Gausit për zgjidhjen e sistemeve të ekuacioneve lineare
Një nga metodat më të zakonshme për zgjidhjen e sistemeve të ekuacioneve algjebrike lineare është metoda e eliminimit sekuencial të të panjohurave. −Metoda e Gausit. Kjo metodë është një përgjithësim i metodës së zëvendësimit dhe konsiston në eliminimin sekuencial të të panjohurave derisa të mbetet një ekuacion me një të panjohur.
Metoda bazohet në disa transformime të një sistemi ekuacionesh lineare, që rezulton në një sistem ekuivalent me sistemin origjinal. Algoritmi i metodës përbëhet nga dy faza.
Faza e parë quhet drejt përpara Metoda e Gausit. Ai konsiston në eliminimin sekuencial të të panjohurave nga ekuacionet. Për ta bërë këtë, në hapin e parë, ndajeni ekuacionin e parë të sistemit me (në të kundërtën, riorganizoni ekuacionet e sistemit). Ata tregojnë koeficientët e ekuacionit të reduktuar që rezulton, e shumëzojnë atë me koeficientin dhe e zbresin atë nga ekuacioni i dytë i sistemit, duke e eliminuar atë nga ekuacioni i dytë (zero koeficientin).
Bëni të njëjtën gjë me ekuacionet e mbetura dhe merrni një sistem të ri, në të gjitha ekuacionet e të cilit, duke filluar nga i dyti, koeficientët për , përmbajnë vetëm zero. Natyrisht, sistemi i ri që rezulton do të jetë i barabartë me sistemin origjinal.
Nëse koeficientët e rinj, për , nuk janë të gjithë të barabartë me zero, ata mund të përjashtohen në të njëjtën mënyrë nga ekuacioni i tretë dhe i mëpasshëm. Duke vazhduar këtë operacion për të panjohurat e mëposhtme, sistemi sillet në të ashtuquajturën formë trekëndore:
Këtu simbolet tregojnë koeficientët numerikë dhe termat e lirë që kanë ndryshuar si rezultat i transformimeve.
Nga ekuacioni i fundit i sistemit, të panjohurat e mbetura përcaktohen në mënyrë unike, dhe më pas me zëvendësim vijues.
Komentoni. Ndonjëherë, si rezultat i transformimeve, në cilindo nga ekuacionet të gjithë koeficientët dhe ana e djathtë kthehen në zero, domethënë ekuacioni kthehet në identitetin 0=0. Duke eleminuar një ekuacion të tillë nga sistemi, numri i ekuacioneve zvogëlohet në krahasim me numrin e të panjohurave. Një sistem i tillë nuk mund të ketë një zgjidhje të vetme.
Nëse, në procesin e aplikimit të metodës së Gausit, çdo ekuacion kthehet në një barazi të formës 0 = 1 (koeficientët për të panjohurat kthehen në 0, dhe ana e djathtë merr një vlerë jo zero), atëherë sistemi origjinal nuk ka zgjidhje, pasi një barazi e tillë është e rreme për çdo vlerë të panjohur.
Konsideroni një sistem prej tre ekuacionesh lineare me tre të panjohura:
Ku – i panjohur; - koeficientët për të panjohurat, - anëtarë të lirë. , duke zëvendësuar atë që u gjet
Zgjidhje. Duke aplikuar metodën Gaussian në këtë sistem, marrim
Ku dështon barazia e fundit për ndonjë vlerë të të panjohurave, prandaj sistemi nuk ka zgjidhje.
Përgjigju. Sistemi nuk ka zgjidhje.
Vini re se metoda Cramer e diskutuar më parë mund të përdoret për të zgjidhur vetëm ato sisteme në të cilat numri i ekuacioneve përkon me numrin e të panjohurave dhe përcaktori i sistemit duhet të jetë jo zero. Metoda e Gausit është më universale dhe e përshtatshme për sistemet me çdo numër ekuacionesh.
Artikuj të ngjashëm
