Çfarë do të ndodhë me probabilitetet e gjendjeve kur P 1 (t), P 2 (t), ... do të priren në disa kufij? Nëse këto kufij ekzistojnë dhe nuk varen nga gjendja fillestare e sistemit, atëherë thirren probabilitetet përfundimtare të gjendjeve. Në teorinë e proceseve të rastësishme vërtetohet se nëse numringjendjet e sistemit janë të fundme dhe nga secila prej tyre është e mundur (në një numër të caktuar hapash) të kalohet në ndonjë tjetër, atëherë ekzistojnë probabilitetet përfundimtare.(ky kusht është i mjaftueshëm, por jo i nevojshëm për ekzistencën e probabiliteteve përfundimtare).

Le të supozojmë se ky kusht plotësohet dhe probabilitetet përfundimtare ekzistojnë:

Do t'i shënojmë me të njëjtat shkronja P 1 , P 2 , ... si vetë probabilitetet e gjendjes, por me to nënkuptojmë jo funksione të kohës, por numra konstante. Natyrisht, ata gjithashtu shtojnë deri në një:

. (4.10)

Si të kuptohen këto probabilitete përfundimtare? Në
në sistemin S vendoset një regjim stacionar kufizues, gjatë të cilit sistemi ndryshon rastësisht gjendjet e tij, por probabilitetet e tyre nuk varen më nga koha. Probabiliteti përfundimtar i gjendjes S i mund të kuptohet si koha mesatare relative që sistemi qëndron në këtë gjendje.

Për shembull, nëse sistemi S ka tre gjendje S 1, S 2, S 3 dhe probabilitetet përfundimtare të tyre janë të barabarta me 0,2; 0.3; 0.5, kjo do të thotë se në modalitetin stacionar kufizues sistemi kalon mesatarisht dy të dhjetat e kohës në gjendjen S1, tre të dhjetat në gjendjen S2 dhe gjysmën e kohës në gjendjen S3.

Si të llogaritni probabilitetet përfundimtare? Nëse probabilitetet P 1, P 2, ... janë konstante, atëherë derivatet e tyre janë të barabartë me zero. Kjo do të thotë që për të gjetur probabilitetet përfundimtare, duhet të vendosni të gjitha anët e majta në ekuacionet e Kolmogorov të barabarta me zero dhe të zgjidhni sistemin rezultues të ekuacioneve algjebrike lineare dhe jo ato diferenciale. Ju madje mund të shkruani menjëherë një sistem ekuacionesh algjebrike duke përdorur grafikun e gjendjes. Nëse e zhvendosim termin negativ të secilit ekuacion nga ana e djathtë në të majtë, marrim menjëherë një sistem ekuacionesh, ku në të majtë është probabiliteti përfundimtar i një gjendjeje të caktuar. P i , shumëzuar me intensitetin total të të gjitha rrjedhave,duke dalë nga kjo gjendje, dhe në të djathtë është shuma e produkteve të intensiteteve të të gjitha rrjedhave,të përfshira në i – shteti, mbi probabilitetet e gjendjeve nga të cilat burojnë këto rrjedha.

Duke përdorur këtë rregull, ne shkruajmë ekuacione algjebrike lineare për probabilitetet përfundimtare të gjendjeve të sistemit; grafiku i gjendjes është paraqitur në Fig. 4.9:

(4.11)

Ky sistem prej 4 ekuacionesh me 4 të panjohura P 0 , P 1 , P 2 , P 3 mund të zgjidhet duke përdorur të ashtuquajturat gjendja e normalizimit:

, (4.12)

në këtë rast, një (ndonjë) nga ekuacionet mund të hidhet poshtë (kjo vjen si pasojë e të tjerave).

Le të vendosim vlerat numerike të intensiteteve λ 1 =1, λ 2 =2, μ 1 =2, μ 2 =3 dhe të zgjidhim sistemin (4.11). Le të hedhim poshtë ekuacionin e katërt dhe në vend të kësaj të shtojmë kushtin e normalizimit (4.12). Ekuacionet do të marrin formën:

(4.13)

Duke i zgjidhur ato, marrim d.m.th. në modalitetin kufizues, të palëvizshëm, sistemi S do të kalojë mesatarisht 40% të kohës në gjendjen S 0 (të dy nyjet janë duke punuar), 20% në gjendjen S 1 (nyja e parë po riparohet, e dyta po funksionon ), 27% në gjendje S 2 (nyja e dytë është duke u riparuar), e para është duke punuar) dhe 13% janë në gjendje S 3 të prishur plotësisht (të dyja njësitë janë duke u riparuar). Njohja e këtyre probabiliteteve kufizuese mund të ndihmojë në vlerësimin e efikasitetit mesatar të sistemit dhe ngarkesës së punës së njësive të riparimit. Le të supozojmë se sistemi S në gjendjen S 0 sjell të ardhura 8 (njësi konvencionale) për njësi të kohës, në gjendjen S 1 - të ardhura 3, në shtetin S 2 - të ardhura 5, dhe në shtetin S 3 - pa të ardhura fare. Pastaj, në modalitetin stacionar kufizues, të ardhurat mesatare për njësi të kohës do të jenë . Tani le të vlerësojmë ngarkesën e organeve të riparimit (punëtorëve) të zënë me riparimin e nyjeve 1 dhe 2. Nyja 1 riparohet për një pjesë të kohës të barabartë me Nyja 2 riparohet një pjesë të kohës
.

Këtu tashmë mund të lindë çështja e optimizimit të zgjidhjes. Le të themi se mund të zvogëlojmë kohën mesatare të riparimit të një ose një njësie tjetër (ose ndoshta të dyja), por kjo do të na kushtojë disa para. Dhe është e nevojshme të vlerësohet nëse rritja e të ardhurave që lidhet me përshpejtimin e riparimeve do të paguajë kostot e rritura të riparimeve? (për këtë do t'ju duhet të zgjidhni një sistem prej 4 ekuacionesh me 4 të panjohura).

Le të shqyrtojmë përshkrimin matematikor të një procesi Markov me gjendje diskrete dhe kohë të vazhdueshme duke përdorur shembullin e një procesi të rastësishëm nga shembulli i mëparshëm, grafiku i të cilit është paraqitur në Fig. 15. Do të supozojmë se të gjitha kalimet e sistemit nga shteti S i V Sj ndodhin nën ndikimin e rrjedhave të thjeshta të ngjarjeve me intensitet ( i, j= 0, 1, 2, 3); Kështu, sistemi kalon nga shteti S 0 in S 1 do të ndodhë nën ndikimin e rrjedhës së dështimit të nyjës së parë dhe kalimit të kundërt nga gjendja S 1 in S 0 - nën ndikimin e rrjedhës së përfundimeve të riparimeve të nyjës së parë, etj.

Grafiku i gjendjeve të sistemit me intensitetet e shënuara në shigjeta do të quhet i etiketuar (shih Fig. 3.1). Sistemi në shqyrtim S ka katër gjendje të mundshme: S 0 ,S 1 , S 2 , S 3 .

Probabiliteti i gjendjes i-të është probabiliteti p i(t) çfarë për momentin t sistemi do të jetë në gjendje S,. Natyrisht, për çdo moment t shuma e probabiliteteve të të gjitha gjendjeve është e barabartë me një:

Sistemi i ekuacioneve diferenciale të Kolmogorov për probabilitetet e gjendjes:

(3.2.)

Le të formulojmë një rregull për kompozimin e ekuacioneve Kolmogorov. Në anën e majtë të secilit prej tyre është derivati i probabilitetit i-shtet. Në anën e djathtë është shuma e produkteve të probabiliteteve të të gjitha gjendjeve (nga të cilat shigjetat shkojnë në një gjendje të caktuar) me intensitetin e flukseve përkatëse të ngjarjeve, minus intensitetin total të të gjitha flukseve që e çojnë sistemin jashtë një gjendje e dhënë, shumëzuar me probabilitetin e një të dhënë (gjendja e parë).

Në sistemin (3.2) ka një ekuacion më pak të pavarur se numri i përgjithshëm i ekuacioneve. Prandaj, për të zgjidhur sistemin është e nevojshme të shtohet ekuacioni (3.1).

E veçanta e zgjidhjes së ekuacioneve diferenciale në përgjithësi është se është e nevojshme të vendosen të ashtuquajturat kushte fillestare, d.m.th. në këtë rast probabilitetet e sistemit deklarohen në momentin fillestar t= 0. Pra, për shembull, është e natyrshme të zgjidhet sistemi i ekuacioneve (15.9) me kusht që në momentin fillestar të dy ekipet të jenë të lira dhe sistemi të ishte në gjendje S 0, d.m.th. në kushtet fillestare fq 0 (0) = 1, fq 1 (0) = 0, fq 2 (0) = 0, fq 3 (0) = 0.

Ekuacionet e Kolmogorovit bëjnë të mundur gjetjen e të gjitha probabiliteteve të gjendjeve në funksion të kohës. Me interes të veçantë janë probabilitetet e sistemit p i(t) në modalitetin stacionar kufizues, d.m.th. në , të cilat quhen probabilitete kufizuese (ose përfundimtare) të gjendjeve.

Kufizoni probabilitetin e gjendjes S, ka një kuptim të qartë: tregon kohën mesatare relative që sistemi qëndron në këtë gjendje. Për shembull, nëse probabiliteti margjinal i një shteti S 0 d.m.th. R 0 = 0.5, kjo do të thotë se mesatarisht gjysmën e kohës sistemi është në gjendje S 0 .

Meqenëse probabilitetet kufizuese janë konstante, duke zëvendësuar derivatet e tyre në ekuacionet Kolmogorov me vlera zero, marrim një sistem ekuacionesh algjebrike lineare që përshkruajnë regjimin e palëvizshëm. Për sistemin S me grafikun e gjendjes të paraqitur në Fig. 3.2), një sistem i tillë ekuacionesh ka formën:

(3.3)

Sistemi (4.3) mund të përpilohet drejtpërdrejt nga një grafik i gjendjes së etiketuar nëse udhëhiqet nga rregulli që në anën e majtë të ekuacioneve është probabiliteti margjinal i një gjendjeje të caktuar p, shumëzuar me intensitetin total të të gjitha rrjedhave që çojnë nga një e dhënë. gjendje, dhe në të djathtë është shuma e produkteve të intensiteteve të të gjitha flukseve që hyjnë në gjendjen e parë, në probabilitetin e atyre gjendjeve nga vijnë këto flukse.

Duke marrë parasysh proceset Markov me gjendje diskrete dhe kohë të vazhdueshme, do të jetë e përshtatshme për ne të imagjinojmë se të gjitha kalimet e një sistemi shtetëror në një gjendje ndodhin nën ndikimin e disa rrjedhave të ngjarjeve (rrjedha e thirrjeve, rrjedha e dështimeve, rrjedha e restaurimeve, etj.). Nëse të gjitha rrjedhat e ngjarjeve që transferojnë sistemin S nga gjendja në gjendje janë më të thjeshtat, atëherë procesi që ndodh në sistem do të jetë Markovian. Kjo është e natyrshme, pasi rrjedha më e thjeshtë nuk ka një efekt të mëvonshëm: në të "e ardhmja" nuk varet nga "e kaluara".

Nëse sistemi S është në një gjendje nga e cila ka një kalim të drejtpërdrejtë në një gjendje tjetër (një shigjetë që çon nga grafiku i gjendjes), atëherë ne do ta imagjinojmë këtë sikur sistemi, ndërsa është në gjendje, i nënshtrohet rrjedha më e thjeshtë e ngjarjeve, duke e lëvizur atë përgjatë shigjetës. Sapo shfaqet ngjarja e parë e kësaj rryme, sistemi "kërcen" nga

Për qartësi, është shumë i përshtatshëm për të treguar në grafikun e gjendjes në secilën shigjetë intensitetin e rrjedhës së ngjarjeve që lëviz sistemin përgjatë kësaj shigjete. Le të shënojmë intensitetin e rrjedhës së ngjarjeve që e transferon sistemin nga shteti

Në Fig. 17.1 ekziston një grafik i gjendjeve me intensitet të shënuar në shigjeta (ne do ta quajmë një grafik të tillë të etiketuar.

Le të ndërtojmë një grafik gjendjeje të etiketuar për shembullin e dhënë në § 15 (një pajisje teknike me dy nyje). Le të kujtojmë gjendjet e sistemit:

Të dy nyjet janë në rregull

Njësia e parë është duke u riparuar, e dyta është duke punuar,

Njësia e dytë është duke u riparuar, e para është duke punuar,

Të dy njësitë janë duke u riparuar.

Ne do të llogarisim intensitetin e rrjedhave të ngjarjeve që transferojnë sistemin nga një gjendje në tjetrën, duke supozuar se koha mesatare e riparimit për një nyje nuk varet nga fakti nëse një nyje ose të dyja riparohen menjëherë.

Ky do të jetë pikërisht rasti nëse një specialist i veçantë përfshihet në riparimin e secilës njësi. Le të gjejmë të gjitha intensitetet e rrjedhave të ngjarjeve që transferojnë sistemin nga shteti në shtet. Le të jetë sistemi në gjendje. Çfarë rrjedhe ngjarjesh e vendos atë në gjendje? Natyrisht, shkalla e dështimit të nyjës së parë. Intensiteti i tij është i barabartë me një pjesëtuar me kohën mesatare të funksionimit të nyjës së parë. Nga cila rrjedhë ngjarjesh e kthen sistemin prapa? Natyrisht, rrjedha e "përfundimit të riparimeve" të nyjës së parë. Intensiteti i tij është i barabartë me një pjesëtuar me kohën mesatare të riparimit të nyjës së parë. Në mënyrë të ngjashme, intensiteti i rrjedhave të ngjarjeve që lëvizin sistemin përgjatë të gjitha shigjetave të grafikut në Fig. 17.2.

Duke pasur në dispozicion një grafik të shënuar të gjendjeve të sistemit, është e lehtë të ndërtoni një model matematikor të këtij procesi.

Në fakt, le të shqyrtojmë një sistem S që ka gjendje të mundshme. Le ta quajmë probabilitet të gjendjes probabiliteti që në momentin t sistemi të jetë në gjendje. Është e qartë se për çdo moment shuma e të gjitha probabiliteteve të gjendjes është e barabartë me një:

Me një grafik të etiketuar të gjendjes në dispozicionin tuaj, mund të gjeni të gjitha probabilitetet e gjendjes në funksion të kohës. Për këtë qëllim, përpilohen dhe zgjidhen të ashtuquajturat ekuacione Kolmogorov - një lloj i veçantë i ekuacioneve diferenciale në të cilat funksionet e panjohura janë probabilitetet e gjendjeve.

Le të tregojmë me një shembull konkret se si përbëhen këto ekuacione. Le të ketë sistemi S katër gjendje: grafiku i etiketuar i të cilit është paraqitur në Fig. 17.3. Le të shqyrtojmë një nga gjendjet probabiliste, për shembull Ky është probabiliteti që në momentin t sistemi të jetë në gjendjen S. Le të japim t një rritje të vogël dhe të gjejmë probabilitetin që në momentin t sistemi të jetë në gjendje . Si mund të ndodhë kjo? Natyrisht, në dy mënyra: ose 1) në momentin t sistemi ishte tashmë në gjendje dhe nuk e la atë gjatë kohës; ose 2) në momentin t sistemi ishte në gjendje dhe gjatë kohës së kalimit prej tij në

Le të gjejmë probabilitetin e opsionit të parë. Probabiliteti që në momentin t sistemi të ishte në gjendje është i barabartë me . Ky probabilitet duhet të shumëzohet me probabilitetin që, duke qenë në gjendje në momentin t, sistemi nuk do të lëvizë prej tij as në ose në . Rrjedha totale e ngjarjeve që e nxjerr sistemin jashtë gjendjes do të jetë gjithashtu më e thjeshta, me intensitet (me mbivendosjen - mbivendosjen - të dy rrjedhave më të thjeshta, përsëri fitohet rrjedha më e thjeshtë, pasi vetitë e stacionaritetit, normalitetit dhe mungesës. të efekteve të mëvonshme janë ruajtur).

Kjo do të thotë që probabiliteti që sistemi të largohet nga gjendja me kalimin e kohës është i barabartë me probabilitetin që nuk do të ndodhë: Prandaj probabiliteti i opsionit të parë është i barabartë me .

Le të gjejmë probabilitetin e opsionit të dytë. Është e barabartë me probabilitetin që në momentin t sistemi të jetë në gjendje dhe të kalojë prej tij në një gjendje me kalimin e kohës, d.m.th. është i barabartë me

Duke mbledhur probabilitetet e të dy opsioneve (sipas rregullit të shtimit të probabiliteteve), marrim:

Hapni kllapat katrore, zhvendosini në anën e majtë dhe ndajini të dyja pjesët me

Le të përpiqemi, siç duhet të jetë në raste të tilla, në zero; majtas fitojmë në kufi derivatin e funksionit Kështu shkruajmë ekuacionin diferencial për

ose, me pak fjalë, duke hequr argumentin t nga funksionet (tani nuk na nevojitet më):

Duke arsyetuar në mënyrë të ngjashme për të gjitha gjendjet e tjera, ne do të shkruajmë edhe tre ekuacione diferenciale. Duke shtuar ekuacionin (17.2) në to, marrim një sistem ekuacionesh diferenciale për probabilitetet e gjendjeve:

Ky është një sistem prej katër ekuacionesh diferenciale lineare me katër funksione të panjohura. Vini re se njëri prej tyre (ndonjë) mund të hidhet poshtë, duke përdorur faktin se ndonjë nga probabilitetet mund të shprehet në terma të të tjerëve, kjo shprehje mund të zëvendësohet në ( 17.3), dhe ekuacioni përkatës me derivatin mund të hidhet poshtë.

Le të formulojmë tani një rregull të përgjithshëm për kompozimin e ekuacioneve të Kolmogorov. Në anën e majtë të secilit prej tyre është derivati i probabilitetit të ndonjë gjendjeje. Në anën e djathtë është shuma e produkteve të probabiliteteve të të gjitha gjendjeve nga të cilat shigjetat shkojnë në një gjendje të caktuar me intensitetin e flukseve përkatëse të ngjarjeve, minus intensitetin total të të gjitha rrjedhave që e çojnë sistemin jashtë një gjendjeje të caktuar. , shumëzuar me probabilitetin e një gjendjeje të caktuar.

Duke përdorur këtë rregull, ne shkruajmë ekuacionet Kolmogorov për sistemin S, grafiku i gjendjes së etiketuar i të cilit është dhënë në Fig. 17.2:

Për të zgjidhur ekuacionet Kolmogorov dhe për të gjetur probabilitetet e gjendjeve, së pari duhet të vendosni kushtet fillestare. Nëse e dimë saktësisht gjendjen fillestare të sistemit, atëherë në momentin fillestar (në ) dhe të gjitha probabilitetet e tjera fillestare janë të barabarta me zero. Kështu, për shembull, është e natyrshme të zgjidhen ekuacionet (17.4) në kushtet fillestare (në momentin fillestar të dy nyjet janë funksionale).

Si të zgjidhen ekuacione të tilla? Në përgjithësi, ekuacionet diferenciale lineare me koeficientë konstante mund të zgjidhen në mënyrë analitike, por kjo është e përshtatshme vetëm kur numri i ekuacioneve nuk i kalon dy (ndonjëherë tre).

Nëse ka më shumë ekuacione, ato zakonisht zgjidhen numerikisht - me dorë ose në një kompjuter.

Kështu, ekuacionet Kolmogorov bëjnë të mundur gjetjen e të gjitha probabiliteteve të gjendjeve në funksion të kohës.

Le të shtrojmë tani pyetjen: çfarë do të ndodhë me probabilitetet e shteteve në ? A do të përpiqen për ndonjë kufi? Nëse këto kufij ekzistojnë dhe nuk varen nga gjendja fillestare e sistemit, atëherë ato quhen probabilitete të gjendjes përfundimtare. Në teorinë e proceseve të rastësishme vërtetohet se nëse numri i gjendjeve të një sistemi është i fundëm dhe nga secila prej tyre është e mundur (në një numër të kufizuar hapash) të kalohet në ndonjë tjetër, atëherë probabilitetet përfundimtare ekzistojnë.

Le të supozojmë se ky kusht plotësohet dhe probabilitetet përfundimtare ekzistojnë:

Probabilitetet përfundimtare do t'i shënojmë me të njëjtat shkronja si probabilitetet e vetë gjendjeve, por me to nuk nënkuptojmë më madhësi të ndryshueshme (funksione të kohës), por numra konstante. Natyrisht, ata gjithashtu shtojnë deri në një:

Si të kuptohen këto probabilitete përfundimtare? Kur vendoset një regjim stacionar kufizues në sistemin S, gjatë të cilit sistemi ndryshon rastësisht gjendjet e tij, por probabilitetet e tyre nuk varen më nga koha. Probabiliteti përfundimtar i një gjendjeje mund të interpretohet si koha mesatare relative që sistemi qëndron në këtë gjendje. Për shembull, nëse sistemi S ka tre gjendje dhe probabilitetet e tyre përfundimtare janë të barabarta me 0.2, 0.3 dhe 0.5, kjo do të thotë se në modalitetin kufizues, të palëvizshëm, sistemi shpenzon mesatarisht dy të dhjetat e kohës së tij në gjendjen e tre të dhjetave - në gjendje dhe gjysmë kohe - në gjendje

Si të llogaritni probabilitetet përfundimtare? Shume e thjeshte. Nëse probabilitetet janë konstante, atëherë derivatet e tyre janë të barabartë me zero. Kjo do të thotë që për të gjetur probabilitetet përfundimtare, duhet të vendosni të gjitha anët e majta në ekuacionet e Kolmogorov të barabarta me zero dhe të zgjidhni sistemin rezultues të ekuacioneve algjebrike lineare dhe jo ato diferenciale. Ju nuk duhet të shkruani ekuacionet e Kolmogorovit, por të shkruani një sistem ekuacionesh algjebrike lineare drejtpërdrejt nga grafiku i gjendjes. Nëse e zhvendosim termin negativ të secilit ekuacion nga ana e djathtë në të majtë, fitojmë menjëherë një sistem ekuacionesh, ku në të majtë është probabiliteti përfundimtar i një gjendjeje të caktuar shumëzuar me intensitetin total të të gjitha rrjedhave që çojnë nga një gjendje e caktuar. , dhe në të djathtë është shuma e produkteve të intensiteteve të të gjitha flukseve që hyjnë në gjendje, mbi probabilitetet e gjendjeve nga të cilat burojnë këto flukse.

Le të shqyrtojmë një përshkrim matematikor të një procesi Markov me gjendje diskrete dhe kohë të vazhdueshme duke përdorur shembullin e grafikut të paraqitur në figurën 1. Supozojmë se të gjitha kalimet e sistemit nga gjendja Si në Sj ndodhin nën ndikimin e rrjedhave të thjeshta të ngjarjeve me intensitet ??ij (i, j=0, 1, 2, 3); Kështu, kalimi i sistemit nga gjendja S0 në S1 do të ndodhë nën ndikimin e rrjedhës së dështimeve të nyjës së parë, dhe kalimi i kundërt nga gjendja S1 në S0 do të ndodhë nën ndikimin e rrjedhës së "përfundimit të riparimeve". të nyjës së parë etj.

Grafiku i gjendjeve të një sistemi me intensitet të shënuar në shigjeta do të quhet i etiketuar. Sistemi S në shqyrtim ka katër gjendje të mundshme: S0, S1, S2, S3.

Probabiliteti i gjendjes i-të është probabiliteti pi(f) që në momentin t sistemi të jetë në gjendjen Si. Natyrisht, për çdo moment t shuma e probabiliteteve të të gjitha gjendjeve është e barabartë me një:

Le të shqyrtojmë sistemin në kohën t dhe, pasi kemi specifikuar një interval të vogël?t, të gjejmë probabilitetin p0(t+?t) që sistemi në kohën t+?t të jetë në gjendjen S0. Kjo arrihet në mënyra të ndryshme.

Sistemi në momentin t me probabilitet p0(t) ishte në gjendjen S0, por nuk e la atë gjatë kohës?t.

Sistemi mund të nxirret nga kjo gjendje duke përdorur rrjedhën totale më të thjeshtë me intensitet (l01+l02), d.m.th. në përputhje me formulën, me një probabilitet afërsisht të barabartë me (l01+l02)?t. Dhe probabiliteti që sistemi të mos largohet nga gjendja S0 është i barabartë me . Probabiliteti që sistemi të jetë në gjendjen S0 sipas metodës së parë është i barabartë, sipas teoremës së shumëzimit të probabilitetit:

Sistemi në kohën t me probabilitete p1(t) (ose p2(t)) ishte në gjendjen S1 ose S2 dhe gjatë kohës?t kaloi në gjendjen S0.

Me një rrjedhë me intensitet l10, sistemi do të kalojë në gjendjen S0 me një probabilitet afërsisht të barabartë me ??10?t (ose??20?t). Probabiliteti që sistemi të jetë në gjendjen S0 sipas kësaj metode është i barabartë me p1(t)??10?t. Duke zbatuar teoremën e mbledhjes së probabilitetit, marrim

Duke kaluar në kufirin në?t>0 (barazitë e përafërta të lidhura me zbatimin e formulës do të kthehen në ato të sakta), marrim derivatin në anën e majtë të ekuacionit (e shënojmë për thjeshtësi):

Ne morëm një ekuacion diferencial të rendit të parë, d.m.th. një ekuacion që përmban edhe vetë funksionin e panjohur dhe derivatin e tij të rendit të parë.

Duke arsyetuar në mënyrë të ngjashme për gjendjet e tjera të sistemit S, mund të marrim një sistem ekuacionesh diferenciale Kolmogorov për probabilitetet e gjendjeve:

Le të formulojmë një rregull për kompozimin e ekuacioneve Kolmogorov. Në anën e majtë të secilit prej tyre është derivati i probabilitetit të gjendjes i-të. Në anën e djathtë është shuma e produkteve të probabiliteteve të të gjitha gjendjeve (nga të cilat shigjetat shkojnë në një gjendje të caktuar) me intensitetin e flukseve përkatëse të ngjarjeve, minus intensitetin total të të gjitha flukseve që e çojnë sistemin jashtë një gjendje e dhënë, shumëzuar me probabilitetin e një gjendje të dhënë (i-të).

Në sistemin (14), ka një ekuacion më pak të pavarur se numri i përgjithshëm i ekuacioneve. Prandaj, për të zgjidhur sistemin është e nevojshme të shtoni një ekuacion.

Ju duhet të vendosni kushtet fillestare. Kështu, për shembull, është e natyrshme të zgjidhet sistemi i ekuacioneve (14) me kusht që në momentin fillestar të dy nyjet të jenë funksionale dhe sistemi të ishte në gjendjen S0, d.m.th. në kushtet fillestare p0(0)=1, p1(0)=p2(0)=p3(0)=0.

Ekuacionet e Kolmogorovit bëjnë të mundur gjetjen e të gjitha probabiliteteve të gjendjeve në funksion të kohës. Me interes të veçantë janë probabilitetet e sistemit pi(t) në modalitetin stacionar kufizues, d.m.th. për t>?, të cilat quhen probabilitete kufizuese (ose përfundimtare) të gjendjeve.

Probabiliteti kufizues i gjendjes Si ka një kuptim të qartë: tregon kohën mesatare relative që sistemi qëndron në këtë gjendje. Për shembull, nëse probabiliteti marxhinal i gjendjes është S0, d.m.th. p0=0.5, kjo do të thotë se mesatarisht gjysmën e kohës sistemi është në gjendjen S0.

Meqenëse probabilitetet kufizuese janë konstante, duke zëvendësuar derivatet e tyre në ekuacionet Kolmogorov me vlera zero, marrim një sistem ekuacionesh algjebrike lineare që përshkruajnë regjimin e palëvizshëm. Për një sistem S me një grafik gjendjeje të paraqitur në Figurën 1, një sistem i tillë ekuacionesh ka formën:

Sistemi (15) mund të përpilohet drejtpërdrejt nga një grafik i gjendjes së shënuar nëse udhëhiqemi nga rregulli që në anën e majtë të ekuacioneve është probabiliteti maksimal i një gjendjeje të caktuar pi, shumëzuar me intensitetin total të të gjitha rrjedhave që çojnë nga një e dhënë. gjendje, dhe në të djathtë është shuma e produkteve të intensiteteve të të gjitha rrjedhave, që hyjnë në gjendjen i-e, mbi probabilitetet e atyre gjendjeve nga vijnë këto rrjedha.

Ndërtoni një grafik të gjendjes së procesit të rastësishëm vijues: sistemi përbëhet nga dy makina të shitjes së biletave, secila prej të cilave mund të jetë ose e zënë ose e lirë në një kohë të rastësishme.

Zgjidhja:

Sistemi mund të jetë në katër shtete, pasi çdo makinë shitëse biletash ka dy gjendje (të zënë ose të lirë). Le të jetë S 0 - të dy pajisjet janë të zëna; S 1 - 1 është i zënë, i dyti është falas; S 2 - 1 është falas, e dyta është e zënë; S 3 - të dyja pajisjet janë falas. Le të ndërtojmë një grafik të gjendjes, duke shënuar të gjitha gjendjet e mundshme në të me rrathë dhe duke treguar kalimet e mundshme nga gjendja në gjendje me shigjeta. Ne zbulojmë se kalimi nga S 0 në S 3 është i mundur ose përmes S 1, ose përmes S 2, ose drejtpërdrejt, siç tregohet në Figurën 4.

Figura 4 - Grafiku i gjendjes së makinave shitëse të biletave

Gjeni probabilitetet kufizuese për sistemin S, grafiku i të cilit është paraqitur në figurë.

Zgjidhja:

Në teorinë e proceseve të rastësishme, vërtetohet se nëse numri i gjendjeve të një sistemi është i fundëm dhe nga secila prej tyre është e mundur (në një numër të kufizuar hapash) të kalohet në ndonjë gjendje tjetër, atëherë ekzistojnë probabilitete kufizuese. Ato mund të gjenden nga ekuacionet e Kolmogorov duke kompozuar një sistem të bazuar në një grafik të caktuar të etiketimit të gjendjes, sipas rregullit të mëposhtëm:

Në anën e majtë të ekuacionit është probabiliteti maksimal i një gjendjeje të caktuar p i , shumëzuar me intensitetin total të të gjitha flukseve që çojnë nga një gjendje e caktuar, dhe në të djathtë - shuma e produkteve të intensiteteve të të gjitha flukseve që hyjnë në një gjendje të caktuar dhe probabilitetet e atyre gjendjeve nga të cilat dalin këto gjendje.

Përveç kësaj, duhet të kemi parasysh se shuma e të gjitha probabiliteteve të një sistemi të caktuar të fundëm është e barabartë me një. Le të krijojmë ekuacione për gjendjet S 1 dhe S 2 (ekuacioni për gjendjen S 0 është "ekstra"):