Tröghetsmoment. Kroppens tröghetsmoment i förhållande till axeln Tröghetsmoment relativt

Låt det finnas en solid kropp. Låt oss välja någon rak linje OO (Fig. 6.1), som vi kommer att kalla en axel (den räta linjen OO kan vara utanför kroppen). Låt oss dela upp kroppen i elementära sektioner (materialpunkter) med massor
ligger på avstånd från axeln
respektive.

Tröghetsmomentet för en materialpunkt i förhållande till en axel (OO) är produkten av massan av en materialpunkt med kvadraten på dess avstånd till denna axel:

. (6.1)

Tröghetsmomentet (MI) för en kropp relativt en axel (OO) är summan av produkterna av massorna av elementära sektioner av kroppen med kvadraten på deras avstånd till axeln:

. (6.2)

Som du kan se är en kropps tröghetsmoment en additiv kvantitet - tröghetsmomentet för hela kroppen i förhållande till en viss axel lika med summan tröghetsmoment för dess individuella delar i förhållande till samma axel.

I detta fall

Tröghetsmomentet mäts i kgm 2. Därför att

, (6.3)

var  – ämnets densitet,
- volym i- avsnittet alltså

eller, gå till oändligt små element,

. (6.4)

Formel (6.4) är bekväm att använda för att beräkna MI för homogena kroppar med regelbunden form i förhållande till symmetriaxeln som passerar genom kroppens masscentrum. Till exempel, för MI för en cylinder i förhållande till en axel som går genom masscentrum parallellt med generatrisen, ger denna formel

Var T- vikt; R- cylinderns radie.

Steiners teorem ger stor hjälp vid beräkning av kropparnas MI i förhållande till vissa axlar: kropparnas MI jag i förhållande till vilken axel som helst är lika med summan av denna kropps MI jag c i förhållande till en axel som går genom kroppens masscentrum och parallell med den givna, och produkten av kroppsmassan med kvadraten på avståndet d mellan de angivna axlarna:

. (6.5)

Kraftmoment runt axeln

Låt kraften verka på kroppen F. Låt oss för enkelhetens skull anta att kraften F ligger i ett plan vinkelrätt mot någon rät linje OO (Fig. 6.2, A), som vi kommer att kalla axeln (det här är till exempel kroppens rotationsaxel). I fig. 6.2, A A- punkt för tillämpning av våld F,
- skärningspunkten för axeln med det plan i vilket kraften ligger; r- radievektor som definierar punktens position A i förhållande till punkten HANDLA OM"; O"B = b - axel av styrka. Kraftarmen i förhållande till axeln är det minsta avståndet från axeln till den räta linje som kraftvektorn ligger på F(längden på vinkelrät draget från punkten till denna rad).

Kraftmomentet relativt axeln är en vektorstorhet som definieras av likheten

. (6.6)

Modulen för denna vektor är . Ibland säger de därför att momentet för en kraft kring en axel är produkten av kraften och dess arm.

Om styrka F styrs godtyckligt, då kan den delas upp i två komponenter; Och (Fig. 6.2, b), dvs.
+, Var - komponent riktad parallellt med OO-axeln, och ligger i ett plan vinkelrätt mot axeln. I det här fallet under kraftmomentet F relativt OO-axeln förstå vektorn

. (6.7)

I enlighet med uttryck (6.6) och (6.7), vektorn M riktad längs axeln (se fig. 6.2, A,b).

En kropps rörelsemängd i förhållande till rotationsaxeln

P Låt kroppen rotera runt en viss axel OO med vinkelhastighet
. Låt oss mentalt bryta ner den här kroppen i elementära sektioner med massor
, som är belägna från axeln, respektive på avstånd
och rotera i cirklar, med linjära hastigheter
Det är känt att värdet är lika
– det finns en impuls i-komplott. impulsögonblick i-sektion (materialpunkt) i förhållande till rotationsaxeln kallas en vektor (närmare bestämt en pseudovektor)

, (6.8)

Var r i– radievektor som definierar positionen i- area relativt axeln.

Hela kroppens rörelsemängd i förhållande till rotationsaxeln kallas vektorn

(6.9)

vars modul
.

I enlighet med uttrycken (6.8) och (6.9), vektorerna
Och riktad längs rotationsaxeln (fig. 6.3). Det är lätt att visa att rörelsemängden hos en kropp L i förhållande till rotationsaxeln och tröghetsmomentet jag av denna kropp i förhållande till samma axel är relaterade av relationen

. (6.10)

Låt oss hitta kroppens tröghetsmoment i förhållande till axeln u passerar någon punkt HANDLA OM(Fig. 36).

Fig. 36

Per definition, tröghetsmoment.

Låt oss sätta det på punkt HANDLA OM koordinataxlarnas ursprung x, y, z. Från rät triangel OAM i följer , var . Och eftersom radievektorn för punkten är , då projicerar denna likhet på axeln u, får vi ( , , - vinklar mellan axeln u och yxor x, y, z).

Som bekant från trigonometri

Och om vi grupperar liknande termer som innehåller cosinus med identiska vinklar får vi:

Men - avstånd från punkten M i till yxor x, y, z, respektive. Det är därför

Var Jag x, jag y, jag z– kroppens tröghetsmoment i förhållande till koordinataxlarna; I xy, J yz, J xz - centrifugalmoment tröghet i förhållande till axlarna markerade i indexen.

Om två centrifugala tröghetsmoment, som båda innehåller namnen på någon axel i sina index, är lika med noll, kallas denna axel huvudaxel tröghet. Till exempel om J yz = 0och J xz= 0, sedan axeln z– huvudaxel tröghet.

Eftersom alla tröghetsmoment beror på var punkten är belägen HANDLA OM, från valet av ursprunget för koordinater, då är det nödvändigt att ange för vilken punkt dessa tröghetsmoment bestäms. Om ursprunget för koordinaterna tas vid massans centrum MED, då kallas alla tröghetsaxlar huvudsakliga centrala tröghetsaxlar.

Om vid denna tidpunkt koordinataxlarär tröghetsaxlarnas huvudaxlar (centrifugaltröghetsmomenten i förhållande till dem är lika med noll), då förenklas formel (2):

Ibland, baserat på vissa tecken, är det inte svårt att hitta kroppens huvudsakliga tröghetsaxlar.

1. Om en homogen kropp har en symmetriaxel, är denna axel den huvudsakliga centrala tröghetsaxeln.

Verkligen. Låt oss rikta koordinataxeln z längs symmetriaxeln. Sedan för varje punkt på kroppen med koordinater ( x i, y i, z i) kan du hitta en punkt med koordinater ( -x i, -y i, -z i) och därför de centrifugala tröghetsmomenten och . Alltså axeln z– huvudaxeln för tröghet, och den centrala axeln, eftersom masscentrum, som är känt, ligger på symmetriaxeln. Dessutom kommer denna axel att vara huvudaxeln för vilken punkt som helst på symmetriaxeln.

2. Om en homogen kropp har ett symmetriplan, kommer vilken som helst axel som är vinkelrät mot den att vara huvudtröghetsaxeln för alla punkter i detta plan.

Låt oss rikta axeln z vinkelrätt mot symmetriplanet från vilken punkt som helst av det HANDLA OM, tilldelar ursprunget för koordinater där. Sedan för varje punkt på kroppen med koordinater ( x i, y i, z i) kan du hitta en punkt som är symmetrisk till den med koordinater ( x i, y i, - z i). Därför de centrifugala tröghetsmomenten jag xz Och jag yz kommer att vara lika med noll. Alltså axeln z– huvudtröghetsaxel.

Exempel 9. Låt oss bestämma skivans tröghetsmoment i förhållande till axeln u, placerad i en vinkel mot skivans symmetriaxel z(Fig. 37).

Fig. 37

Axlar x, y Och z– huvud centrala axlar tröghet, eftersom de är symmetriaxlar.

Var är då vinkeln mellan axlarna u Och z; vinkel - vinkeln mellan axlarna u Och y, lika med ; vinkel - vinkeln mellan axlarna u Och x, lika med 90°. Det är därför

Differentiell systemets rörelseekvationer.

Betrakta ett system som består av P materiella poäng. Låt oss välja någon punkt i systemet med massa. Låt oss beteckna resultanten av alla applicerade på en punkt yttre krafter(både aktiva och reaktionsanslutningar) genom , och resultatet av alla inre krafter - genom . Om punkten har en acceleration , då enligt dynamikens grundläggande lag

Vi får ett liknande resultat för vilken punkt som helst. Därför blir det för hela systemet:

Dessa ekvationer, från vilka rörelselagen för varje punkt i systemet kan bestämmas, kallas differentialekvationer för systemets rörelse i vektorform. Ekvationerna är differentiella eftersom ; krafterna som ingår i de högra sidorna av ekvationerna kommer att vara in allmänt fall beror på tid, koordinater för systempunkter och deras hastigheter.

Vi kan projicera på några koordinataxlar differentialekvationer rörelse av systemet i projektioner på dessa axlar.

Komplett lösning Huvudproblemet med dynamiken för systemet skulle vara att, med kännedom om de givna krafterna, integrera motsvarande differentialekvationer och på detta sätt bestämma rörelselagen för var och en av systemets punkter separat.

Denna lösning används dock vanligtvis inte av två skäl. För det första är denna väg för komplicerad och är nästan alltid förknippad med oöverstigliga matematiska svårigheter. För det andra, i de flesta fall, när man löser mekanikproblem, är det tillräckligt att känna till några sammanfattande egenskaper för systemets rörelse som helhet, och inte rörelsen för var och en av dess punkter separat. Dessa sammanfattande egenskaper bestäms med hjälp av allmänna satser systemets dynamik, till vilken vi kommer att studera.

Ekvationers huvudsakliga roll är att de, eller konsekvenser av dem, är utgångspunkterna för att erhålla motsvarande generella satser.

Allmänna satser dynamik hos ett mekaniskt system: satser om rörelsen av ett mekaniskt systems masscentrum och om rörelsemängdsförändringen, satser om rörelsemängdsförändringen och rörelseenergin är en följd av dynamikens grundläggande ekvation. Dessa satser tar inte hänsyn till rörelsen av enskilda punkter och kroppar som ingår i ett mekaniskt system, utan några integrerade egenskaper, såsom rörelsen av det mekaniska systemets masscentrum, dess rörelsemängd, kinetiskt ögonblick Och rörelseenergi. Som ett resultat utesluts okända från beaktande inre krafter, och i vissa fall även reaktionen av anslutningar, vilket avsevärt förenklar lösningen av problemet.

Vi hör ofta uttrycken: "det är trögt", "förflytta sig med tröghet", "tröghetsmoment". I bildlig betydelse ordet ”tröghet” kan tolkas som brist på initiativ och handling. Vi är intresserade av den direkta innebörden.

Vad är tröghet

Enligt definition tröghet inom fysiken är det kropparnas förmåga att upprätthålla ett tillstånd av vila eller rörelse i frånvaro av yttre krafter.

Om allt är klart med själva begreppet tröghet på en intuitiv nivå, då tröghetsmoment– en separat fråga. Håller med, det är svårt att föreställa sig vad det är. I den här artikeln kommer du att lära dig hur du löser grundläggande problem i ämnet "Tröghetsmoment".

Bestämning av tröghetsmoment

Från skolkursen är det känt att massa – ett mått på en kropps tröghet. Om vi skjuter två vagnar med olika massa blir den tyngre svårare att stoppa. Det vill säga, ju större massa, desto större yttre påverkan krävs för att förändra kroppens rörelse. Vad som anses gäller translationell rörelse, när vagnen från exemplet rör sig i en rak linje.

I analogi med massa och framåtrörelse Tröghetsmoment är ett mått på en kropps tröghet under rotationsrörelse runt en axel.

Tröghetsmoment– skalär fysisk kvantitet, ett mått på en kropps tröghet när den roterar runt en axel. Betecknas med bokstaven J och i systemet SI mätt i kilogram gånger en kvadratmeter.

Hur beräknar man tröghetsmomentet? Det finns en generell formel med vilken tröghetsmomentet för någon kropp beräknas i fysiken. Om en kropp bryts i oändligt små bitar med en massa dm , då blir tröghetsmomentet lika med summan av produkterna av dessa elementära massor med kvadraten på avståndet till rotationsaxeln.

Detta är den allmänna formeln för tröghetsmoment i fysiken. För en materialpunkt med massa m , roterar runt en axel på avstånd r från det tar denna formel formen:

Steiners teorem

Vad beror tröghetsmomentet på? Från massa, position för rotationsaxeln, form och storlek på kroppen.

Huygens-Steiners sats är en mycket viktig sats som ofta används för att lösa problem.

Förresten! För våra läsare finns nu 10% rabatt på någon typ av arbete

Huygens-Steiners sats säger:

Kroppens tröghetsmoment i förhållande till godtycklig axelär lika med summan av kroppens tröghetsmoment kring en axel som går genom masscentrum parallellt med en godtycklig axel och produkten av kroppsmassan med kvadraten på avståndet mellan axlarna.

För dem som inte ständigt vill integrera när de löser problem med att hitta tröghetsmomentet presenterar vi en ritning som indikerar tröghetsmomenten för några homogena kroppar som ofta stöter på i problem:

Ett exempel på att lösa ett problem för att hitta tröghetsmomentet

Låt oss titta på två exempel. Den första uppgiften är att hitta tröghetsmomentet. Den andra uppgiften är att använda Huygens-Steiners sats.

Uppgift 1. Hitta tröghetsmomentet för en homogen skiva med massan m och radien R. Rotationsaxeln går genom skivans mitt.

Lösning:

Låt oss dela upp skivan i oändligt tunna ringar, vars radie varierar från 0 innan R och överväga en sådan ring. Låt dess radie vara r, och massa – dm. Då är ringens tröghetsmoment:

Ringens massa kan representeras som:

Här dz– ringens höjd. Låt oss ersätta massan i formeln för tröghetsmomentet och integrera:

Resultatet var en formel för tröghetsmomentet för en absolut tunn skiva eller cylinder.

Uppgift 2. Låt återigen finnas en skiva med massan m och radien R. Nu måste vi hitta skivans tröghetsmoment i förhållande till axeln som går genom mitten av en av dess radier.

Lösning:

Skivans tröghetsmoment i förhållande till axeln som passerar genom masscentrum är känt från föregående problem. Låt oss tillämpa Steiners teorem och hitta:

Förresten, på vår blogg kan du hitta annat användbart material om fysik och problemlösning.

Vi hoppas att du hittar något användbart för dig själv i artikeln. Om det uppstår svårigheter i processen med att beräkna tröghetstensorn, glöm inte studenttjänsten. Våra specialister ger råd om alla problem och hjälper till att lösa problemet på några minuter.

Tröghetsmomentet för en materialpunkt i förhållande till en axel (OO) är produkten av massan av en materialpunkt med kvadraten på dess avstånd till denna axel:

. (6.1)

Tröghetsmomentet (MI) för en kropp relativt en axel (OO) är summan av produkterna av massorna av elementära sektioner av kroppen med kvadraten på deras avstånd till axeln:

. (6.2)

Som du kan se är en kropps tröghetsmoment en additiv kvantitet - tröghetsmomentet för hela kroppen i förhållande till en viss axel är lika med summan av tröghetsmomenten för dess individuella delar i förhållande till samma axel.

I detta fall

Tröghetsmomentet mäts i kgm 2. Därför att

, (6.3)

var  – ämnets densitet,
- volym i- avsnittet alltså

eller, gå till oändligt små element,

. (6.4)

Var T- vikt; R- cylinderns radie.

. (6.5)

Kraftmoment runt axeln

Kraftmomentet relativt axeln är en vektorstorhet som definieras av likheten

. (6.6)

Modulen för denna vektor är . Ibland säger de därför att momentet för en kraft kring en axel är produkten av kraften och dess arm.

. (6.7)

I enlighet med uttryck (6.6) och (6.7), vektorn M riktad längs axeln (se fig. 6.2, A,b).

En kropps rörelsemängd i förhållande till rotationsaxeln

, (6.8)

Var r i– radievektor som definierar positionen i- area relativt axeln.

Hela kroppens rörelsemängd i förhållande till rotationsaxeln kallas vektorn

(6.9)

vars modul
.

. (6.10)

Betrakta en materialpunkt med massan m, som ligger på ett avstånd r från fast axel(Fig. 26). Tröghetsmomentet J för en materialpunkt i förhållande till en axel är en skalär fysisk storhet lika med produkten av massan m med kvadraten på avståndet r till denna axel:

J = mr 2(75)

Tröghetsmomentet för ett system av N materialpunkter kommer att vara lika med summan av tröghetsmomenten för individuella punkter:

Ris. 26.

För att bestämma tröghetsmomentet för en punkt.

Om massan fördelas kontinuerligt i rymden, så ersätts summering av integration. Kroppen är uppdelad i elementära volymer dv, som var och en har en massa dm.

Resultatet är följande uttryck:

För en kropp som är homogen i volym är densiteten ρ konstant och skriv den elementära massan i formen:

dm = ρdv, vi transformerar formel (70) enligt följande:

Dimension av tröghetsmoment - kg*m 2.

En kropps tröghetsmoment är ett mått på trögheten hos en kropp i roterande rörelse, precis som en kropps massa är ett mått på dess tröghet i translationsrörelse.

tröghetsmoment - det är ett mått på inerta egenskaper fast under rotationsrörelse, beroende på fördelningen av massa i förhållande till rotationsaxeln. Med andra ord beror tröghetsmomentet på kroppens massa, form, storlek och rotationsaxelns position.

Vilken kropp som helst, oavsett om den roterar eller är i vila, har ett tröghetsmoment kring vilken axel som helst, precis som en kropp har massa oavsett om den rör sig eller i vila. I likhet med massa är tröghetsmomentet en additiv kvantitet.

I vissa fall är den teoretiska beräkningen av tröghetsmomentet ganska enkel. Nedan visas tröghetsmomenten för några fasta kroppar med regelbunden geometrisk form kring en axel som går genom tyngdpunkten.

Tröghetsmoment för en oändligt platt skiva med radien R relativt en axel vinkelrät mot skivans plan:

Tröghetsmoment för en boll med radie R:

Tröghetsmoment för en stavlängd L i förhållande till axeln som går genom mitten av stången vinkelrätt mot den:

Tröghetsmoment för en oändligt tunn båge med radie R i förhållande till en axel vinkelrät mot dess plan:

Tröghetsmomentet för en kropp kring en godtycklig axel beräknas med Steiners teorem:

Tröghetsmomentet för en kropp kring en godtycklig axel är lika med summan av tröghetsmomentet kring en axel som går genom masscentrum parallellt med denna och produkten av kroppsmassan med kvadraten på avståndet mellan axlarna .

Med hjälp av Steiners teorem beräknar vi tröghetsmomentet för en längdstav L i förhållande till axeln som går genom änden vinkelrät mot den (fig. 27).

För att beräkna stavens tröghetsmoment

Enligt Steiners sats är stavens tröghetsmoment i förhållande till O′O′-axeln lika med tröghetsmomentet relativt OO-axeln plus md 2. Härifrån får vi:

Uppenbarligen: tröghetsmomentet är inte detsamma i förhållande till olika axlar, och därför, när man löser problem med rotationsrörelsens dynamik, måste kroppens tröghetsmoment i förhållande till den axel som är av intresse för oss letas efter separat varje gång . Så, till exempel, vid konstruktion av tekniska anordningar som innehåller roterande delar (inom järnvägstransport, flygplanstillverkning, elektroteknik, etc.), krävs kunskap om värdena för dessa delars tröghetsmoment. Med en komplex kroppsform kan teoretisk beräkning av dess tröghetsmoment vara svår att utföra. I dessa fall föredrar de att mäta tröghetsmomentet för en icke-standarddel experimentellt.

Kraftmoment F i förhållande till punkt O