Där C1 och C2 är okända.
Alla y är kända tal, beräknade som x = x 0. För att systemet ska ha en lösning för valfri höger sida är det nödvändigt och tillräckligt att huvuddeterminanten skiljer sig från 0.
Vronskys avgörande. Om determinanten är 0, så har systemet en lösning endast om det finns en andel av initialförhållandena. Av detta följer därför att valet av inledande villkor lyder under lagen, så att ev initiala förhållanden kan inte tas, och detta är ett brott mot villkoren för Cauchy-problemet.
Om , då är Wronski-determinanten inte lika med 0, för alla värden på x 0.
Bevis. Låt determinanten vara lika med 0, men låt oss välja de initiala icke-nollvillkoren y=0, y’=0. Då får vi följande system:
Detta system har ett oändligt antal lösningar när determinanten är 0. C 11 och C 12 är lösningar till systemet.
Detta motsäger det första fallet, vilket innebär att Wronski-determinanten inte är lika med 0 för någon x 0 om . Det är alltid möjligt att välja en speciell lösning från den allmänna lösningen för .
Biljett nr 33
Ett sats om strukturen för den allmänna lösningen av en linjär homogen differentialekvation av 2:a ordningen med bevis.
Sats om den allmänna lösningen av en differentialekvation:
lösningar till denna ekvation, sedan funktionen 
också en lösning. Baserat på detta teorem kan vi dra slutsatser om strukturen för den allmänna lösningen av en homogen ekvation: om 1 och 2 har lösningar till differentialekvationen så att deras förhållanden inte är lika med en konstant, så är den linjära kombinationen av dessa funktioner allmän lösning på differentialekvationen. En trivial lösning (eller en noll) kan inte fungera som en lösning på denna ekvation.
Bevis:
Biljett nr 34
Ett sats om strukturen för den allmänna lösningen av en linjär inhomogen differentialekvation av 2:a ordningen med bevis.
Låt en ekvation med höger sida ges: . Ekvation utan höger sida
om vi sätter 0 istället för en funktion så kallar vi det för karakteristik.
Ett sats om strukturen för den allmänna lösningen av en ekvation med höger sida.
T.1 Gemensamt beslut ekvationer på höger sida kan vara sammansatta som summan av den allmänna lösningen av ekvationen utan höger sida och någon speciell lösning given ekvation.
Bevis.
Låt oss beteckna med den allmänna lösningen och någon speciell lösning av denna ekvation. Låt oss ta funktionen 
. Vi har
, 
.
Genom att ersätta uttrycken för y, y', y'' i ekvationens vänstra sida finner vi: Uttrycket i den första parentesen är lika med 0. Och uttrycket i den andra parentesen är lika med funktionen f(x) ). Därför funktionen 
det finns en lösning på denna ekvation.
Biljett nr 35
Linjär homogen differentialekvationer 2:a ordningen med konstanta koefficienter, F.S.R. och allmän lösning vid olika reella rötter, karakteristiska ekvationer med bevis.
Låt oss ta en homogen linjär ekvation av andra ordningen med konstanta koefficienter:
,
där a är siffror.
Låt oss försöka uppfylla ekvationen med en funktion av formen . Härifrån har vi:
Av detta kan vi se vad lösningen på denna ekvation blir om r är roten andragradsekvation. Denna ekvation kallas karakteristik. För att skapa en karakteristisk ekvation måste du ersätta y med ett och varje derivata med r till en potens av derivatans ordning.
1) Rötterna till den karakteristiska ekvationen är verkliga och annorlunda.
I det här fallet kan båda rötterna tas som indikatorer på r-funktionen. Här kan du direkt få två ekvationer. Det är tydligt att deras förhållande inte är lika med ett konstant värde.
Den allmänna lösningen i fallet med verkliga och olika rötter ges av formeln:
.
Biljett nr 36
Linjära homogena differentialekvationer av 2:a ordningen med konstanta koefficienter, F.S.R. och allmän lösning i fallet med multipla rötter, karakteristiska ekvationer med bevis.
Rötterna till en verklig ekvation är verkliga och lika.
Gratis cellbedömning– (se potentiell metod)
Cykel - en sådan sekvens av celler i transporttabellen (i 1 ,j 1), (i 1 ,j 2), (i 2 ,j 2),...(ik ,j 1), i vilken två och endast två intilliggande celler är placerad i en rad eller kolumn, där den första och sista cellen också finns i samma rad eller kolumn.
(?)Permutation längs cykeln - (skift längs cykeln med värdet t)- en ökning av volymen i alla udda celler i cykeln markerade med ett "+" tecken med t och en minskning av transportvolymer i alla jämna celler markerade med ett "-" tecken med t.
^ Förutsättning för referensplanens optimalitet.
Den optimala transportplanen motsvarar minimum av den linjära målfunktionen f(X)= min under restriktioner för förbrukning och utbud
Nr 32. Formulera definitionen av en differensekvation av ordningen k och dess allmänna lösning. Ange definitionen av en linjär differensekvation av ordningen k med konstanta koefficienter. Formulera satser om den allmänna lösningen av homogena och inhomogena linjära differensekvationer (utan bevis).
En ekvation av formen F(n; x n; x n +1 ;…; x n + k) = 0, där k är fixerad och n är godtycklig naturligt nummer,xn; xn+1;…; x n + k – termer av några okända nummerföljd, kallas en differensekvation av ordningen k.
Att lösa en differensekvation innebär att hitta alla sekvenser (x n) som uppfyller ekvationen.
Den allmänna lösningen av en k:te ordningens ekvation är dess lösning x n = φ(n, C 1 , C 2 , …, C k ), beroende på k oberoende godtyckliga konstanter C 1 , C 2 , …, C k . Antalet k konstanter är lika med ordningen för differensekvationen, och oberoende innebär att ingen av konstanterna kan uttryckas i termer av de andra.
Betrakta en linjär differensekvation av ordningen k med konstanta koefficienter:
a k x n+k + a k-1 x n+k-1 + … + a 1 x n+1 + a 0 x n = f n , där a i R (a k ≠ 0, a 0 ≠ 0) och
(fn) – givna siffror och konsistens.
^ Det är inte den allmänna lösningssatsen homogen ekvation.
Den allmänna lösningen xn av en linjär inhomogen differensekvation är summan av den specifika lösningen xn* av denna ekvation och den allmänna lösningen n av motsvarande homogena ekvation.
^ Sats om den allmänna lösningen av en homogen ekvation.
Låt x n 1 ,..., x n k vara ett system som består av k linjärt oberoende lösningar av en linjär homogen differensekvation. Sedan ges den allmänna lösningen av denna ekvation av formeln: x n = C 1 x n 1 + … + C k x n k.
Nr 33. Beskriv en algoritm för att lösa en homogen linjär differensekvation med konstanta koefficienter. Formulera definitioner av följande begrepp: grundläggande uppsättning lösningar av en linjär differensekvation, karakteristisk ekvation, Casoratti-determinant.
Kunskap om rötter karakteristisk ekvation låter dig konstruera en generell lösning till en homogen differensekvation. Låt oss överväga detta med hjälp av exemplet med en andra ordningens ekvation: De resulterande lösningarna kan enkelt överföras till fallet med högre ordningens ekvationer.
Beroende på värdena för diskriminanten D=b 2 -4ac i den karakteristiska ekvationen, är följande fall möjliga:
C1, C2 är godtyckliga konstanter.
Mängden lösningar till en linjär homogen differensekvation av k:te ordningen bildar en k-dimensionell linjärt utrymme, och varje uppsättning av k linjärt oberoende lösningar (kallad den grundläggande mängden) är dess bas. Ett tecken på linjärt oberoende av lösningar av en homogen ekvation är att Casoratti-determinanten inte är lika med noll:
Ekvationen kallas den karakteristiska ekvationen för en homogen linjär ekvation.
№ 34. Givet en linjär differensekvation med konstanta koefficienter X n +2 – 4x n +1 + 3x n = n 2 2 n + n 3 3 n.
^ I vilken form ska man leta efter dess specifika lösning? Förklara svaret.
X n +2 -4x n +1 +3x n =n 2 2 n +n 3 3 n I vilken form ska man leta efter dess speciella lösning? Svaret måste förklaras.
Xn +2 -4x n +1 +3x n =n 2 2 n +n 3 3 n
Xn+2-4xn+1+3xn=0
Xn=Ci3n+C21n
X n =(a 1 n 2 + b 1 n+ C 1) 2 n
X2n =(d2n3+a2n2+b2n+C2)n2n
X n = C 1 3 n + C 2 1 n + X 1 n + X 2 n
Nr 35. Givet en linjär differensekvation med konstanta koefficienter x n +2 -4x n +1 +3x n =n 2 +2 n +3 n. I vilken form ska man leta efter dess specifika lösning?
x n +2 -4x n +1 +3x n =n 2 +2 n +3 n
1) xn +2 -4x n +1 +3x=0
Xi=3, X2=1
x n o =C 1 (3) n + C 2 (1) n = C 1 (3) n + C 2
2) f(n)=2n, g(n)=3n, z(n)=n2
Sedan basen exponentiell grad f(n)=2 n, lika med 2, sammanfaller inte med någon av rötterna till den karakteristiska ekvationen. Sedan basen exponentiell funktion g(n)=3 n, lika med 3, sammanfaller med en av rötterna till den karakteristiska ekvationen, då letar vi efter motsvarande specifika lösning på formen X n =Bn(3) n. Eftersom z(n)=n 2 är ett polynom kommer vi att leta efter en speciell lösning i form av ett polynom: Z n =A 1 n 2 +A 2 n+A 3 .
Nr 36. En linjär differensekvation med konstanta koefficienter x n +2 +2x n +1 +4x n =cos+3 n +n 2 ges. I vilken form ska man leta efter dess specifika lösning?
x n +2 +2x n +1 +4x n =cos +3 n +n 2
1) x n+2 +2x n+1 +4x n =0
Xi=-1+i, X2=-1-i
Eftersom basen för exponentialpotensen f(n)=3 n, lika med 3, inte sammanfaller med någon av rötterna i den karakteristiska ekvationen, letar vi efter motsvarande speciella lösning i formen Y n =B(3) n . Eftersom g(n)=n 2 är ett polynom kommer vi att leta efter en speciell lösning i form av ett polynom: X n =A 1 n 2 +A 2 n+A 3. Z n = Ccos
Nr 37. Givet en linjär differensekvation med konstanta koefficienter x n +2 +2x n +1 +4x n = cos+3 n +n 2 . I vilken form ska man leta efter dess specifika lösning?
x n +2 +2x n +1 +4x n = cos +3 n +n 2
Xi=-1+i, X2=-1-i
Xn 0 =(2) n (C 1 cos + C 2 sin )
2) f(n)=3n, g(n)=n2, z(n)=cos
Eftersom basen för exponentialpotentialen f(n)=3 n, lika med 3, inte sammanfaller med någon av rötterna i den karakteristiska ekvationen, letar vi efter motsvarande speciella lösning i formen Y n =B(3) n . Eftersom g(n)=n 2 är ett polynom kommer vi att leta efter en speciell lösning i form av ett polynom: X n =A 1 n 2 +A 2 n+A 3. Z n = Cncos
#38: Beskriv Samuelson-Hicks-modellen. Vilka ekonomiska antaganden ligger bakom det? I vilket fall är lösningen till Hicks ekvation en stationär sekvens?
Samuelson-Hicks konjunkturcykelmodell förutsätter direkt proportionalitet av investeringsvolymer till ökningen av nationalinkomsten (accelerationsprincipen), d.v.s.
där koefficienten V>0 är accelerationsfaktorn,
I t - investeringsbeloppet under period t,
X t -1 , X t -2 - värdet av nationalinkomsten i perioder (t-1) respektive (t-2).
Det antas också att efterfrågan i detta skede 
beror på storleken på nationalinkomsten i föregående skede 
linjärt 
. Villkoret för lika utbud och efterfrågan har formen 
. Sedan kommer vi till Hicks ekvation
där a, b är koefficienterna för det linjära uttrycket av efterfrågan i detta skede:
Stationär sekvens 
är en lösning på Hicks ekvation endast för 
; faktor 
kallas Keynes multiplikator (en endimensionell analog av totalkostnadsmatrisen).
№ ^
39. Beskriv spindelmarknadsmodellen. Vilka ekonomiska antaganden ligger bakom det? Hitta jämviktstillståndet för webbmarknadsmodellen.
40. Formulera problemet med att bestämma det aktuella värdet av en kupongobligation. Vad är Cauchy-problemet för en differensekvation? Hitta en jämviktslösning på Cauchy-problemet att bestämma det aktuella värdet av en kupongobligation. Kontrollera att det hittade värdet stämmer överens med det belopp som måste betalas för tillfället för att få kupongbeloppet i varje kupongperiod under oändligt lång tid till en given ränta under en kupongperiod.
Låta F
– nominellt värde för en kupongobligation (dvs. summan pengar som betalades av emittenten vid tidpunkten för inlösen som sammanfaller med slutet av den senaste kupongperioden), K
– kupongvärde (dvs. summan pengar som betalas i slutet av varje kupongperiod), X 
- obligationens nuvarande värde vid slutet av den n:e kupongperioden,
De där. sid 
sammanfaller med det belopp som för tillfället måste betalas för att få kupongbeloppet i varje kupongperiod under oändligt lång tid till en given ränta under en kupongperiod.
Sats om den allmänna lösningen (om strukturen för den allmänna lösningen) för ett normalt system av inhomogena linjära oder.
Låt oss betrakta ett inhomogent linjärt system av vanliga differentialekvationer av n:e ordningen
Här 
A 
Följande är sant allmän lösningsstruktursats av detta inhomogena linjära system av ODE.
Om matris A(x) och vektorfunktion b
(x) är kontinuerliga på [ a,
b], släpp det Φ
(x) är den grundläggande matrisen av lösningar av ett homogent linjärt system, sedan den allmänna lösningen av det inhomogena systemet Y"
= A(x) Y
+ b(x) har formen: 
Var C- en godtycklig konstant kolumnvektor, x 0 - en godtycklig fixpunkt från segmentet.
Från ovanstående formel är det lätt att få en formel för att lösa Cauchy-problemet för ett linjärt inhomogent ODE-system - Cauchy-formeln.
Löser Cauchy-problemet, Y(x 0) = Y 0 är en vektorfunktion
Metod för variation av godtyckliga konstanter för att hitta partiella lösningar av ett normalt system av inhomogena linjära oder.
Definition av ett system av inhomogena linjära ODE. ODU-system typ:
kallad linjär heterogen . Låta
System (*) i vektormatrisform: .- systemet är homogent, annars är det inhomogent.
Själva metoden.
Låt det finnas ett linjärt inhomogent system 
, sedan linjär homogent system, motsvarande en linjär inhomogen sådan. Låt vara den grundläggande matrisen för beslutssystemet, 
, där C är en godtycklig konstant vektor, är den allmänna lösningen av systemet. Låt oss leta efter en lösning på system (1) i formuläret 
, där C(x) är en okänd (ännu) vektorfunktion. Vi vill att vektorfunktionen (3) ska vara en lösning på system (1). Då måste identiteten vara sann:
(en godtycklig konstant vektor, som erhålls som ett resultat av integration, kan anses vara lika med 0). Här är punkterna x 0 vilka som helst.
Vi ser därför att om vi i (3) tar som C(t) 
, sedan vektorfunktionen 
kommer att vara en lösning på system (1).
Den allmänna lösningen av det linjära inhomogena systemet (1) kan skrivas i formen 
. Låt det vara nödvändigt att hitta en lösning på system (1) som uppfyller initialvillkoret 
. Substitution (4) av initialdata (5) ger 
. Därför kan lösningen på Cauchy-problemet (1)-(5) skrivas som: 
. I det speciella fallet när den sista formeln har formen: 
.
Grundläggande system av lösningar till ett normalt system av homogena linjära ekvationer med konstanta koefficienter i fallet med enkla reella rötter av den karakteristiska ekvationen.
Normalt linjärt homogent systemnordning med konstanta koefficienter
-
eller 
,Koefficienterna för linjära kombinationer av de sökta funktionerna är konstanta. Detta system är i matrisform 
–matrisform, där A är en konstant matris. Matrismetod: Från karakteristisk ekvation 
vi kommer att hitta olika rötter och för varje rot (med hänsyn till dess mångfald) kommer vi att bestämma motsvarande specifika lösning. Den allmänna lösningen är: 
. I detta fall 1) if -
är alltså en verklig rot av multipel 1 
, där är egenvektorn för matris A som motsvarar egenvärdet, dvs. 2)
–
multiplicitetsrot, så söks den systemlösning som motsvarar denna rot i form av en vektor 
(**), vars koefficienter 
bestäms från ett system av linjära ekvationer som erhålls genom att likställa koefficienterna med samma potenser x som ett resultat av att vektorn (**) ersätts med det ursprungliga systemet.
Grundläggande system för NLOS-lösningarär en samling godtyckliga n linjärt oberoende lösningar
Ett grundläggande system av lösningar till ett normalt system av homogena linjära ODE med konstanta koefficienter i fallet när alla rötter i den karakteristiska ekvationen är enkla, men det finns komplexa rötter.
Frågan har tagits bort.
Allmän bild av systemet
, i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, ..., n, - systemkoefficienter; - gratis medlemmar; - variabler;
Om alla = 0 kallas systemet homogent.
Allmän lösning av systemet linjära ekvationer
Definition 1. Homogent system m linjär algebraiska ekvationer För n okända kallas ekvationssystem
typ (1) eller matrisform (2)
där A är en given matris av koefficienter av storleken mxn,
Kolumn n okända, - noll kolumn med höjd m.
Ett homogent system är alltid konsekvent (den utökade matrisen sammanfaller med A) och har uppenbara lösningar: x 1 = x 2 = ... = x n = 0.
Denna lösning kallas noll eller trivial. Alla andra lösningar, om det finns en, kallas icke-trivialt.
Sats 1. Om rangordningen för matris A är lika med antalet okända, så har system (1) en unik (trivial) lösning.
I själva verket, enligt Cramers teorem, är r=n och lösningen unik.
Sats 2. För att ett homogent system ska ha en lösning som inte är noll är det nödvändigt och tillräckligt att rangordningen för systemmatrisen är mindre antal okänd ( följer av satsen om antalet lösningar).
Þ om det finns lösningar som inte är noll, så är lösningen inte unik, då systemets determinant lika med noll, sedan r Ü om r Sats 3. Ett homogent system av n ekvationer med n okända har en lösning som inte är noll om och endast om detA = 0. Þ om det finns lösningar som inte är noll, så finns det oändligt många lösningar, då enligt satsen om antalet lösningar r Ü om detA = 0, då r Sats 4. För att ett homogent system ska ha en lösning som inte är noll, är det nödvändigt att antalet ekvationer i systemet är mindre än antalet okända. Eftersom rangordningen för en matris av koefficienter inte kan vara större än antalet rader (liksom antalet kolumner), då r Definition 2. Systemvariablerna som ligger på baskolumnerna i den ursprungliga koefficientmatrisen kallas grundläggande variabler, och de återstående variablerna i systemet kallas fri. Definition 4. Privat beslut inhomogent system AX = B kallas kolumnvektorn X som erhålls av noll värden fri variabler. Sats 6. Allmän lösning av ett inhomogent system linjära ekvationer AX = B har formen , där är en speciell lösning till ekvationssystemet AX = B, och är FSR för det homogena systemet AX = 0. Ett icke-homogent system av linjära ekvationer är ett system av formen: Dess utökade matris. Sats (om den allmänna lösningen av inhomogena system). · om , var är antalet variabler i system (2), så finns lösning (2) och den är unik; · om , då har den allmänna lösningen av system (2) formen , där är den allmänna lösningen av system (1), kallad allmän homogen lösning, är en speciell lösning av system (2), kallad privat inhomogen lösning. Ett homogent system av linjära ekvationer är ett system av formen: Nolllösningen av system (1) kallas trivial lösning. Homogena system är alltid kompatibla, eftersom det finns alltid en trivial lösning. Om det finns någon lösning som inte är noll på systemet, så kallas den icke-trivialt. Lösningar av ett homogent system har egenskapen linjäritet: Sats (om den linjära lösningen av homogena system). Sats (om den allmänna lösningens struktur). · om , var är antalet systemvariabler, så finns det bara en trivial lösning; · om , så finns det linjärt oberoende lösningar på det aktuella systemet: , och dess gemensamt beslut har formen: , där finns några konstanter. 2. Permutationer och substitutioner. Determinant av n:e ordningen. Determinanters egenskaper. Definition av determinanten - :e ordningen. Låt en kvadratisk matris av första ordningen ges: Definition. Produkten av elementen i matris A, taget en från varje rad och varje kolumn, kallas en medlem av determinanten av matris A.3 Om två rader eller två kolumner byts ut i determinanten, ändrar determinanten sitt tecken till motsatsen. 4Om en matris innehåller en nollrad (kolumn), så är determinanten för denna matris lika med noll.5 Om två rader (kolumner) i en matris är lika med varandra, är determinanten för denna matris lika med till noll.6 Om två rader (kolumner) i en matris är proportionella mot varandra, så är determinanten för denna matris lika med noll.7 Determinanten för en triangulär matris är lika med produkten av elementen på huvuddiagonalen.8 Om alla element k den th raden (kolumnen) av determinanten presenteras som summor a k j + b k j, då kan determinanten representeras som summan av motsvarande determinanter.9 Determinanten kommer inte att förändras om motsvarande element i en annan rad (eller motsvarande kolumn) läggs till elementen i någon av dess rader (eller motsvarande kolumn) , multiplicerat med samma tal.10. Låta A Och Bär kvadratiska matriser av samma ordning. Då är determinanten för produkten av matriser lika med produkten av determinanter: Linjära differentialsystem ekvationer. Systemet med differentialekvationer kallas linjär, om den är linjär med avseende på okända funktioner och deras derivator. systemet n-linjära ekvationer av första ordningen skrivs i formen: Systemkoefficienterna är konst. Det är bekvämt att skriva detta system i matrisform: , där är en kolumnvektor med okända funktioner beroende på ett argument. Kolumnvektor av derivat av dessa funktioner. Kolumnvektor av fria medlemmar. Koefficientmatris. Sats 1: Om alla matriskoefficienter Aär kontinuerliga på något intervall och , sedan i något grannskap av varje m. Faktum är att i det här fallet är systemets högra sidor kontinuerliga med avseende på uppsättningen av argument och deras partiella derivator med avseende på (lika med koefficienterna för matris A) är begränsade, på grund av kontinuitet på ett slutet intervall. Metoder för att lösa SLD 1.
Ett system av differentialekvationer kan reduceras till en ekvation genom att eliminera de okända. Exempel: Lös ekvationssystemet: Lösning: utesluta z från dessa ekvationer. Från den första ekvationen har vi . Substituerar i den andra ekvationen, Detta ekvationssystem (1)
reduceras till en enda andra ordningens ekvation. Efter att ha hittat från denna ekvation y, bör hittas z, med hjälp av jämlikhet. 2.
När man löser ett ekvationssystem genom att eliminera okända, erhålls vanligtvis en ekvation av högre ordning, så i många fall är det bekvämare att lösa systemet genom att hitta integrerade kombinationer. Fortsättning 27b Exempel: Lös systemet Lösning: Låt oss lösa detta system med Eulers metod. Låt oss skriva ner determinanten för att hitta egenskapen ekvation: , (eftersom systemet är homogent, för att det ska ha en icke-trivial lösning, måste denna determinant vara lika med noll). Vi får en karakteristisk ekvation och hittar dess rötter: Den allmänna lösningen är: Vi skriver ner lösningen för: Vi skriver ner lösningen för: Vi får den allmänna lösningen: Låt oss kolla: låt oss hitta : och ersätta den i den första ekvationen i detta system, dvs. . Vi får: Linjär diff. n:e ordningens ekvationer. Sats om den allmänna lösningen av en inhomogen linjär ekvation av n:e ordningen. En linjär differentialekvation av n:e ordningen är en ekvation av formen: (1)
Om denna ekvation har en koefficient, dividerar vi med den, kommer vi fram till ekvationen: (2)
. Vanligtvis ekvationer av typen (2).
Antag att i ur-i (2)
alla odds, liksom f(x) kontinuerligt på något intervall (a,b). Sedan, enligt TS&E, ekvationen (2)
har en unik lösning som uppfyller de initiala förutsättningarna: , , …, för . Här - vilken punkt som helst från intervallet (a,b), och alla - alla givna nummer. Ekvationen (2)
uppfyller TC&E ,
har därför inte speciallösningar. Def.: speciell punkterna är de där =0. Egenskaper för en linjär ekvation: Def: om i ekvationen (2)
sätta f(x)=0, då får vi en ekvation av formen: (3)
, som kallas homogen ekvation i förhållande till den inhomogena ekvationen (2).
Låt oss presentera den linjära differentialoperatorn: (4).
Med den här operatorn kan du kortfattat skriva om ekvationen (2)
Och (3):
L(y)=f(x), L(y)=0. Operatör (4)
har följande enkla egenskaper: Av dessa två egenskaper kan en följd härledas: . Fungera y=y(x)är en lösning på den inhomogena ekvationen (2),
Om L(y(x))=f(x), Då f(x) kallas lösningen till ekvationen. Så lösningen på ekvationen (3)
kallas funktionen y(x), Om L(y(x))=0 på de betraktade intervallen. Överväga inhomogen linjär ekvation: , L(y)=f(x). Anta att vi har hittat en viss lösning på något sätt, då . Låt oss introducera en ny okänd funktion z enligt formeln: , där är en viss lösning. Låt oss ersätta det i ekvationen: , öppna parenteserna och få: . Den resulterande ekvationen kan skrivas om som: Eftersom är en särskild lösning på den ursprungliga ekvationen, då , då . Därmed har vi fått en homogen ekvation med avseende på z. Den allmänna lösningen på denna homogena ekvation är en linjär kombination: , där funktionerna - utgör det grundläggande systemet av lösningar till den homogena ekvationen. Ersätter z i ersättningsformeln får vi: Således den allmänna lösningen av den inhomogena linjen. ekvationen representeras som summan av en allmän lösning av en homogen linjär ekvation och någon speciell lösning av en inhomogen ekvation. (fortsättning på andra sidan) 30. Teorem om existens och unikhet av lösningen till differential. ekvationer Sats: Om den högra sidan av ekvationen är kontinuerlig i rektangeln Bevis: Tänk på hela metriska utrymmet MED, vars punkter är alla möjliga kontinuerliga funktioner y(x) definierade på intervallet Låt oss byta ut differentialen. ekvation med givna initiala villkor till en ekvivalent integralekvation: Med hjälp av Lipschitz ojämlikhet kan vi skriva att avståndet . Låt oss nu välja en för vilken följande ojämlikhet skulle gälla: . Du bör välja så att , då . Därmed visade vi det. Enligt principen för kontraktionsavbildningar finns det en enda punkt eller, vad som är samma, en enda funktion - en lösning på en differentialekvation som uppfyller de givna initialvillkoren.
Låt (dvs system (2) vara konsekvent), då:
Låt vara lösningarna av det homogena systemet (1), och låt vara godtyckliga konstanter. Då övervägs också en lösning på systemet.
Låt då:
1
| | | | | | | | | | |
TS&E-villkoren är uppfyllda. Följaktligen passerar en enda integralkurva genom varje sådan punkt.
(1)
efter förenkling får vi: 
.
;
- egenvektor.
;
- egenvektor.
;
.
- sann jämlikhet.
(*) för funktion y– okänd funktion av den ursprungliga ekvationen. Alla lösningar till den ursprungliga ekvationen kommer att finnas i (*).
och är begränsad, och uppfyller även Lipschitz-villkoret: , N=const, då finns det en unik lösning som uppfyller de initiala villkoren och definieras på segmentet 
, Var ., vars grafer ligger inuti rektangeln, och avståndet bestäms av likheten: 
. Detta utrymme används ofta i matematisk analys och kallas utrymme för enhetlig konvergens, eftersom konvergensen i metriken för detta utrymme är enhetlig.
och överväga operatören A(y), lika med den högra sidan av denna ekvation: 
. Denna operatör tilldelar varje kontinuerlig funktion
Liknande artiklar
