Geometrisk progression. Serier bildade av en geometrisk progression Summan av en geometrisk progressionsserie

ÄMNE 8. RANGER

NUMERISK SERIE

1. Grundläggande begrepp för nummerserier.

2. Geometrisk progressionsserie.

3. Grundläggande egenskaper hos konvergenta serier. Resten av raden.

4. Ett nödvändigt tecken på konvergens av en nummerserie.

5. Harmonisk serie.

Serier är ett av de viktigaste verktygen för matematisk analys. Med hjälp av serier hittas ungefärliga värden på funktioner, integraler och lösningar av differentialekvationer. Alla tabeller som du hittar i applikationer är kompilerade med hjälp av rader.

Historisk referens

Teorin om numeriska och funktionella serier utvecklades på 1600- och 1700-talen. På den tiden fanns det fortfarande inga exakta definitioner av den matematiska analysens grundläggande begrepp. Det ansågs möjligt att behandla en serie, oavsett dess konvergens och divergens, som en enkel summa. Även om denna summa ansågs vara "bestående av ett oändligt antal termer", behandlades den som en summa bestående av ett visst (ändligt) antal termer. Detta ledde ibland till fel i beräkningar, oförklarliga med tanke på den matematiska vetenskapens dåvarande tillstånd.

Summeringen av oändliga geometriska progressioner med en nämnare mindre än en utfördes redan i antiken (Archimedes).

Avvikelsen mellan den harmoniska serien fastställdes av den italienska vetenskapsmannen Meng 1650, och sedan mer rigoröst av bröderna Jacob och Nicholas Bernoulli. Power-serier introducerades av Newton (1665), som visade att de kan användas för att representera vilken funktion som helst. Leibniz, Euler, Lagrange, Gauss, Bolzano, Cauchy, Weierstrass, Riemann och många andra framstående matematiker ägnade mycket ansträngning åt att vidareutveckla serieteorin.

Bland dessa forskare borde utan tvekan Newtons student Taylor, som publicerade sitt huvudverk "The Method of Increments, Direct and Inverse", inkluderas 1715. I denna bok ger Taylor för första gången härledningen av serieexpansionen av en godtycklig analytisk funktion. Tack vare detta blev kraftserien "bron" som gjorde det möjligt att flytta från området för rationella funktioner till studiet av transcendentala funktioner.

Men den grundläggande betydelsen av detta bidrag till matematiken insåg inte omedelbart. År 1742 publicerades den berömda "Treatise on Fluxions" av Colin Maclaurin, där Maclaurin på ett nytt sätt erhöll serien som bär hans namn och angav att denna serie finns i "Method of Increments". Eftersom Maclaurin på ett stort antal funktioner visade att användningen av den här serien förenklar problemet med att utöka funktionerna, började denna serie, och därför Taylor-serien, åtnjuta stor popularitet.

Taylor-seriens betydelse växte ännu mer när Lagrange 1772 gjorde den till grunden för all differentialkalkyl. Han trodde att teorin om serieexpansion av funktioner innehåller de sanna principerna för differentialkalkyl, befriad från infinitesimals och gränser.

Fråga 1. Grundbegrepp för nummerserier

Själva konceptet med en oändlig serie är i grunden inte nytt i grunden. En oändlig serie är bara en speciell form av en numerisk sekvens. Den här nya formen har dock vissa funktioner som gör användningen av rader mer bekväm.

Låt oss ges en oändlig talföljd

a 1 , a 2 , …, a n ,…

O.1.1. Formens uttryck

(1)

kallad nummerserie eller bara nära.

Siffrorna a 1, a 2, …, a n,… kallas medlemmar av ett nummer, och talet a n med ett godtyckligt nummer n anropas vanlig medlem i serien (1).

Serie (1) anses given om den allmänna termen för serien a n är känd, uttryckt som en funktion av dess nummer n:

a n = f(n), n=1,2,...

Exempel 1. En serie med en vanlig term har formen

O.1.2. Summan av de första n termerna i serien (1) kallas n-seriens delsumma och betecknas med S n, dvs.

S n = a 1 + a 2 + …+ a n .

Betrakta sekvensen av delsummor av serier (1):

S 1 = a 1, S 2 = a 1 + a 2, ……., S n = a 1 + a 2 + …+ a n, …… (2)

O.1.3. Rad (1) kallas konvergerande, om det finns en ändlig gräns S för sekvensen av dess partiella summor (2), dvs. . I det här fallet anropas numret S summan av serien (1).

Spelade in:

Av definition O.1.3 följer att summan av serierna inte nödvändigtvis existerar. Detta är huvudskillnaden mellan oändliga serier och ändliga summor: varje ändlig uppsättning tal har nödvändigtvis en summa, "men att lägga ihop en oändlig uppsättning tal är inte alltid möjligt."

Om det inte finns eller så anropas serie (1). avvikande. Denna serie har ingen summa.

Exempel 2.

1. Rad konvergerar och dess summa S = 0.

2. Rad avviker pga

Fråga 2. Geometrisk progressionsserie

O.2.1. En serie som består av medlemmar av en geometrisk progression, dvs. serie av formuläret

, a¹ 0, (3)

Ett nödvändigt villkor för konvergens av en serie.

Harmonisk serie

Sats på det nödvändiga villkoret för seriens konvergens.

Om en serie konvergerar är gränsen för sekvensen av vanliga termer i denna serie lika med noll:

. (1.11)

En annan formulering. För att en serie ska konvergera är det nödvändigt (men inte tillräckligt!) att gränsen för sekvensen av vanliga termer i serien är lika med noll.

Kommentar. Ibland, för korthetens skull, utelämnas ordet "sekvens" och de sägs: "gränsen för den vanliga termen i serien är lika med noll." Samma sak för en sekvens av delsummor ("delsummagräns").

Bevis för satsen. Låt oss representera den allmänna termen för serien i formen (1.10):

Genom villkor konvergerar serien därför, Det är självklart att , därför att P Och P-1 tenderar till oändligheten samtidigt . Låt oss hitta gränsen för sekvensen av vanliga termer i serien:

Kommentar. Det omvända påståendet är inte sant. Ett serietillfredsställande villkor (1.11) konvergerar inte nödvändigtvis. Därför är villkoret eller tecknet (1.11) nödvändigt, men inte ett tillräckligt tecken på seriens konvergens.

Exempel 1. Harmonisk serie. Tänk på serien

(1.12)

Denna serie kallas harmonisk eftersom var och en av dess termer, med början från den andra, är det harmoniska medelvärdet av dess närliggande termer:

Till exempel:

Fig.1.3.1 Fig.1.3.2

Den allmänna termen för övertonsserien uppfyller det nödvändiga villkoret för seriens konvergens (1.11): (Fig. 1.3.1). Det kommer dock att visas senare (med hjälp av Cauchy-integraltestet) att denna serie divergerar, d.v.s. dess summa är lika med oändligheten. Figur 1.3.2 visar att delsummor ökar oändligt i takt med att antalet ökar.

Följd. Av det nödvändiga villkoret för seriens konvergens följer det tillräckliga bevis på divergens rad: om eller inte existerar, då divergerar serien.

Bevis. Låt oss anta motsatsen, dvs. (eller finns inte), men serien konvergerar. Men enligt satsen om det nödvändiga villkoret för konvergensen av en serie måste gränsen för den gemensamma termen vara lika med noll: . Motsägelse.

Exempel 2. Undersök för konvergens en serie med en gemensam term .

Den här serien ser ut så här:

Låt oss hitta gränsen för seriens allmänna term:

. Enligt följden skiljer sig denna serie.

Serier bildade av geometrisk progression

Betrakta en serie som består av termer för en geometrisk progression. Låt oss komma ihåg att en geometrisk progression är en numerisk sekvens, där varje medlem, från den andra, är lika med den föregående, multiplicerat med samma tal, som inte är lika med noll och kallas nämnaren för denna progression. Den geometriska utvecklingen ser ut så här:

och en serie bestående av dess medlemmar:

En sådan serie kallas en geometrisk serie, men ibland för korthets skull kallas den helt enkelt en geometrisk progression. Namnet "geometrisk" progression gavs eftersom var och en av dess termer, med början från den andra, är lika med geometriskt medelvärde dess närliggande medlemmar:

, eller .

Sats. En serie som består av termer för en geometrisk progression

avviker kl och konvergerar vid , och vid summan av serier

Bevis. Seriens allmänna term, liksom den allmänna termen för den geometriska progressionen, har formen: .

1) Om , då , därför att i detta fall – ett oändligt stort värde.

2) När raden beter sig annorlunda, eftersom tar på sig olika typer.

På ;

Därför att gränsen för en konstant är lika med konstanten själv. Därför att enligt satsens villkor , den vanliga termen för serien tenderar inte till noll.

På ; det finns ingen gräns.

Således, när det nödvändiga villkoret för seriens konvergens inte är uppfyllt:

Följaktligen divergerar serierna (1.13).

3) Om , då kallas progressionen oändligt minskande. Från skolkursen är det känt att n Den e partiella summan av serier (1.13) kan representeras som:

Låt oss hitta summan av serien. Sen när (oändligt litet värde), alltså

Alltså när serie (1.13) konvergerar och har en summa lika med

. (1.16)

Detta är summan av en oändligt minskande geometrisk progression.

Exempel 1º.

Fig.1.4.1

=2.

Låt oss uppskatta dess summa, dvs. Låt oss försöka bestämma vad sekvensen av dess delsummor tenderar till.

Det kan ses att sekvensen av delsummor tenderar mot talet 2 (Fig. 1.4.1).

Låt oss nu bevisa det. Låt oss dra fördel av det faktum att denna serie är en serie sammansatt av termer av en geometrisk progression, där . Summan av en oändligt minskande geometrisk progression

Exempel 2º.

Det beräknas på liknande sätt. Eftersom många av termerna i serien, till skillnad från föregående exempel, har ett minustecken, visade sig summan vara mindre.

Exempel 3º.

Detta är en geometrisk serie där >1. Denna serie skiljer sig åt.

Egenskaper för konvergerande serier

Betrakta två konvergenta serier:

, (1.17)

. (1.18)

1. En serie erhållen genom term-för-term addition (subtraktion) av två konvergerande serier konvergerar också, och dess summa är lika med den algebraiska summan av den ursprungliga serien, dvs.

. (1.19)

Bevis. Låt oss göra delsummor av serier (1.17) och (1.18):

Därför att Genom villkoret konvergerar dessa serier, det finns gränser för dessa delsummor:

, .

Låt oss komponera en delsumma av serier (1.19) och hitta dess gräns:

Exempel.

;

Kommentar. Det omvända påståendet är falskt, dvs. konvergensen av serien på den vänstra sidan av jämlikheten (1.19) innebär inte konvergensen av serien och . Till exempel konvergerar serien som betraktas i exempel 4 och dess summa är 1; den allmänna termen för denna serie omvandlades till formen:

Därför kan serien skrivas som:

Låt oss nu överväga separat rader:

Dessa serier avviker eftersom de är harmoniska serier. Konvergensen av en algebraisk summa av serier innebär alltså inte konvergensen av termer.

2. Om alla termer i en konvergent serie med summan S multiplicera med samma tal Med, då kommer den resulterande serien också att konvergera och ha summan cS:

. (1.20)

Beviset liknar den första egenskapen (bevisa det själv).

Exempel.c= 10000;

Båda serierna konvergerar, eftersom deras summor är ändliga.

Således kan konvergenta serier adderas, subtraheras och multipliceras term för term med en konstant faktor.

3. Sats om att kassera de första termerna i en serie.

Att ta bort (eller lägga till) de första termerna i en serie påverkar inte konvergensen eller divergensen för denna serie. Med andra ord, om serien konvergerar

sedan konvergerar serien

. (1.22)

(men mängden kan vara annorlunda). Och vice versa, om serien (1.22) konvergerar så konvergerar serien (1.21) också.

Anteckning 1. Inom matematiken betyder termen "flera" "ändligt antal", d.v.s. det kan vara 2, eller 100, eller 10 100 eller fler.

Anteckning 2. Av denna egenskap följer att serier med vanliga termer och är likvärdiga i betydelsen konvergens. Till exempel har en övertonsserie en gemensam term, och serier med vanliga termer och - även harmonisk.

4. Resten av raden. Dess egendom. Om de första i en rad kasseras k medlemmar, då får vi en ny serie som heter resten av serien efter k- medlemmen.

Definition. k-resten av serien

kallas en rad

(1.23),

erhålls genom att kassera den första k medlemmar i originalserien.

Index k betyder hur många första termer i serien som kasseras. Således,

etc.

Fig.1.5.2

Du kan konstruera en sekvens av rester och undersöka den för konvergens vid

, i motsats till föregående sats, där den tenderade mot oändligheten P. Varje efterföljande term i denna sekvens har "färre" termer (i själva verket har varje rest ett oändligt antal av dem). Vi kan också säga att här sker dynamiken i början av serien, och inte i slutet.

Resten av en serie kan också definieras som skillnaden mellan summan av serien och dess delsumma (Fig. 1.5.1):

. (1.24)

Fig.1.5.2

Låt oss hitta gränsen för sekvensen för en konvergent serie med summan S på . Från definitionen av summan av serien följer:

Sedan från (1.24) följer det:

Vi fann att resten av en konvergent serie är en oändligt liten kvantitet vid , dvs. när antalet kasserade termer i serien tenderar till oändlighet. Detta framgår av figurerna 1.5.1 och 1.5.2.

Kommentar. Satsen om att förkasta flera termer i en serie kan formuleras på följande sätt: för att en serie ska konvergera är det nödvändigt och tillräckligt att dess återstod tenderar mot noll.

§ 1.6. Positiv serie

Tänk på en serie med icke-negativa termer

Vi kommer att kalla sådana serier positivt tecken. Betrakta sekvensen av delsummor av en positiv serie (1.26). Beteendet för denna sekvens är särskilt enkelt: det ökar monotont som n, dvs. . (eftersom ett icke-negativt tal läggs till varje efterföljande delsumma).

Enligt Weierstrass teorem konvergerar varje monoton bunden sekvens (se I terminen av första året). Utifrån detta formulerar vi allmänt kriterium konvergens av serier med positiva termer.

Sats(allmänt kriterium för konvergens av positiva serier). För att en positiv serie ska konvergera är det nödvändigt och tillräckligt att sekvensen av dess delsummor avgränsas.

Låt oss komma ihåg definitionen av avgränsning av en sekvens: en sekvens kallas avgränsad om den existerar M>0 sådan att för (Fig. 1.6.1). För positiva serier , och vi kan tala om begränsning från ovan, därför att begränsas nedanför av noll.

Bevis. 1) Nödvändighet. Låt serier (1.26) konvergera och låt sekvensen av delsummor få en gräns, d.v.s. konvergerar. Genom satsen om begränsningen av en konvergent sekvens, är varje konvergent sekvens begränsad Þ bunden.

2) Tillräcklighet. Låt sekvensen av delsummor av serier (1.26) vara avgränsad.

Därför att , dvs. monoton. Genom Weierstrass-satsen om monotona avgränsade sekvenser konvergerar den och serien (1.26) konvergerar.

Känner du till den fantastiska legenden om korn på ett schackbräde?

Legenden om korn på ett schackbräde

När schackets skapare (en gammal indisk matematiker vid namn Sessa) visade sin uppfinning för landets härskare, gillade han spelet så mycket att han tillät uppfinnaren rätten att själv välja belöningen. Vismannen bad kungen att betala honom ett vetekorn för den första rutan på schackbrädet, två för den andra, fyra för den tredje, etc., vilket fördubblade antalet korn på varje efterföljande ruta. Härskaren, som inte förstod matematik, gick snabbt med på, även om han blev något förolämpad av en så låg bedömning av uppfinningen, och beordrade kassören att beräkna och ge uppfinnaren den nödvändiga mängden spannmål. Men när kassören en vecka senare fortfarande inte kunde räkna ut hur många korn som behövdes, frågade härskaren vad som var orsaken till förseningen. Kassören visade honom beräkningarna och sa att det var omöjligt att betala.Kungen lyssnade med häpnad till den äldstes ord.

Berätta för mig det här monstruösa numret”, sa han.

18 quintillions 446 quadrillion 744 biljoner 73 miljarder 709 miljoner 551 tusen 615, o herre!

Om vi antar att ett vetekorn har en massa på 0,065 gram, så kommer den totala massan av vete på schackbrädet att vara 1 200 biljoner ton, vilket är mer än hela volymen vete som skördats i mänsklighetens hela historia!

Definition

Geometrisk progression- nummersekvens ( medlemmar i progressionen) där varje efterföljande tal, med början från det andra, erhålls från det föregående genom att multiplicera det med ett visst tal ( progressionsnämnare):

Till exempel är sekvensen 1, 2, 4, 8, 16, ... geometrisk ()