Partiell derivata funktioner z = f(x, y med variabel x Derivatan av denna funktion vid ett konstant värde av variabeln y kallas, den betecknas med eller z" x.

Partiell derivata funktioner z = f(x, y) med variabel y kallas derivatan med avseende på y vid ett konstant värde av variabeln y; det är betecknat eller z" y.

Den partiella derivatan av en funktion av flera variabler med avseende på en variabel definieras som derivatan av den funktionen med avseende på motsvarande variabel, förutsatt att de återstående variablerna hålls konstanta.

Full differential funktion z = f(x, y) någon gång kallas M(X, y) uttrycket

,

Där och beräknas vid punkten M(x, y), och dx = , dy = y.

Exempel 1

Beräkna full differential funktioner.

z = x 3 – 2x 2 y 2 + y 3 vid punkten M(1; 2)

Lösning:

1) Hitta partiella derivator:

2) Beräkna värdet av partiella derivator vid punkt M(1; 2)

() M = 3 1 2 – 4 1 2 2 = -13

() M = - 4 1 2 2 + 3 2 2 = 4

3) dz = - 13dx + 4 dy

Frågor för självkontroll:

1. Vad kallas ett antiderivat? Lista egenskaperna hos antiderivatet.

2. Vad kallas en obestämd integral?

3. Lista egenskaper inte bestämd integral.

4. Lista de grundläggande integrationsformlerna.

5. Vilka integrationsmetoder känner du till?

6. Vad är kärnan i Newton–Leibniz-formeln?

7. Ge definitionen av en bestämd integral.

8. Vad är kärnan i att beräkna en bestämd integral med hjälp av substitutionsmetoden?

9. Vad är kärnan i metoden för att beräkna en bestämd integral efter delar?

10. Vilken funktion kallas en funktion av två variabler? Hur betecknas det?

11. Vilken funktion kallas en funktion av tre variabler?

12. Vilken mängd kallas definitionsdomänen för en funktion?

13. Använd vilka ojämlikheter du kan ställa in stängt område D på ett plan?

14. Vad är partialderivatan av funktionen z = f(x, y) med avseende på variabeln x? Hur betecknas det?

15. Vad är partialderivatan av funktionen z = f(x, y) med avseende på variabeln y? Hur betecknas det?

16. Vilket uttryck kallas den totala differentialen för en funktion

Ämne 1.2 Vanliga differentialekvationer.

Problem som leder till differentialekvationer. Differentialekvationer med separerbara variabler. Allmänna och specifika lösningar. Homogena differentialekvationer av första ordningen. Linjär homogena ekvationer andra ordningen med konstanta koefficienter.

Praktisk lektion Nr 7 ”Att hitta allmänna och speciella lösningar differentialekvationer med separerbara variabler"*

Praktisk lektion nr 8 "Linjära och homogena differentialekvationer"

Praktisk lektion nr 9 ”Lösa 2:a ordningens differentialekvationer med konstanta koefficienter»*

L4, kapitel 15, s. 243 – 256

Riktlinjer

Låt funktionen definieras i någon (öppen) domän D poäng
dimensionellt utrymme, och
– en punkt på detta område, dvs.
D.

Delvis funktionsökning av många variabler för vilken variabel som helst är det inkrement som funktionen kommer att få om vi ger ett inkrement till denna variabel, förutsatt att alla andra variabler har konstanta värden.

Till exempel partiell ökning av en funktion med variabel kommer

Partiell derivata med avseende på den oberoende variabeln vid punkten
för en funktion kallas gränsen (om den finns) för det partiella ökningsförhållandet
funktioner för att öka
variabel medan man strävar
till noll:

Den partiella derivatan betecknas med en av symbolerna:

;
.

Kommentar. Index nedan i dessa beteckningar indikerar endast vilken av variablerna derivatan tas, och är inte relaterad till vid vilken tidpunkt
denna derivata beräknas.

Beräkningen av partiella derivator är inget nytt jämfört med beräkningen av den ordinarie derivatan du behöver bara komma ihåg att när du differentierar en funktion med avseende på vilken variabel som helst, tas alla andra variabler som konstanter. Låt oss visa detta med exempel.

Exempel 1.Hitta partiella derivator av funktioner
.

Lösning. Vid beräkning av den partiella derivatan av en funktion
genom argument överväga funktionen som funktion av endast en variabel , dvs. vi tror att har ett fast värde. Vid fast fungera
är en maktfunktion för argumentet . Med hjälp av formeln för att differentiera en potensfunktion får vi:

På samma sätt, vid beräkning av den partiella derivatan vi antar att värdet är fast , och överväg funktionen
Hur exponentiell funktion argument . Som ett resultat får vi:

Exempel 2. NIT partiella derivat Och funktioner
.

Lösning. Vid beräkning av den partiella derivatan med avseende på given funktionvi kommer att betrakta det som en funktion av en variabel , och uttryck som innehåller , kommer att vara konstanta faktorer, dvs.
fungerar som en konstant koefficient på kraftfunktion(
). Att särskilja detta uttryck med , vi får:

.

Nu, tvärtom, funktionen betraktas som en funktion av en variabel , medan uttryck innehåller , fungera som en koefficient
(
).Differentiera enligt reglerna för differentiering av trigonometriska funktioner får vi:

Exempel 3. Beräkna partiella derivator av funktioner
vid punkten
.

Lösning. Vi hittar först de partiella derivatorna av denna funktion vid en godtycklig punkt
dess definitionsområde. Vid beräkning av den partiella derivatan med avseende på vi tror att
är permanenta.

när man särskiljer med kommer att vara permanent
:

och vid beräkning av partiella derivat med avseende på och genom att , på samma sätt, kommer att vara konstant, respektive,
Och
, dvs.:

Låt oss nu beräkna värdena för dessa derivator vid punkten
, ersätter specifika variabelvärden i deras uttryck. Som ett resultat får vi:

11. Partiella och fullständiga differentialfunktioner

Om nu till den partiella ökningen
tillämpa Lagranges sats på ändliga inkrement i en variabel , då med tanke på kontinuerligt får vi följande relationer:

Var
,
– en oändlig mängd.

Partiell differentialfunktion efter variabel kallas den huvudsakliga linjära delen av det partiella inkrementet
, lika med produkten av den partiella derivatan med avseende på denna variabel och ökningen av denna variabel, och betecknas

Uppenbarligen skiljer sig en partiell differential från en partiell ökning med en infinitesimal av högre ordning.

Full funktionsstegring av många variabler kallas det inkrement som det kommer att få när vi ger ett inkrement till alla oberoende variabler, d.v.s.

var är alla
, beroende och tillsammans med dem tenderar till noll.

Under differentialer av oberoende variabler gick med på att antyda slumpmässig steg
och utse dem
. Således kommer uttrycket för den partiella differentialen att ha formen:

Till exempel partiell differential Förbi definieras så här:

.

Full differential
en funktion av flera variabler kallas den huvudsakliga linjära delen av det totala inkrementet
, lika, dvs. summan av alla dess partiella differentialer:

Om funktionen
har kontinuerliga partiella derivator

vid punkten
sen hon differentierbar vid en given punkt.

När tillräckligt liten för en differentierbar funktion
det finns ungefärliga jämlikheter

,

som du kan göra ungefärliga beräkningar med.

Exempel 4.Hitta den fullständiga differentialen för en funktion
tre variabler
.

Lösning. Först och främst hittar vi de partiella derivatorna:

Märker att de är kontinuerliga för alla värden
, vi hittar:

För differentialer av funktioner för många variabler är alla satser om egenskaperna hos differentialer, bevisade för fallet med funktioner av en variabel, sanna, till exempel: om Och – kontinuerlig variablers funktioner
, med kontinuerliga partiella derivator med avseende på alla variabler, och Och är godtyckliga konstanter, då:

(6)

Låt oss överväga att ändra en funktion när vi anger ett inkrement till endast ett av dess argument - x i, och låt oss kalla det .

Definition 1.7.Partiell derivata fungerar efter argument x i ringde.

Beteckningar: .

Således definieras den partiella derivatan av en funktion av flera variabler faktiskt som derivatan av funktionen en variabel – x i. Därför är alla egenskaper hos derivat som bevisats för en funktion av en variabel giltiga för den.

Kommentar. I den praktiska beräkningen av partiella derivator använder vi de vanliga reglerna för att differentiera en funktion av en variabel, förutsatt att argumentet med vilket differentieringen utförs är variabelt, och de återstående argumenten är konstanta.

1. z = 2x² + 3 xy –12y² + 5 x – 4y +2,

2. z = xy,

Geometrisk tolkning av partiella derivator av en funktion av två variabler.

Tänk på ytekvationen z = f(x,y) och rita ett plan x = konst. Välj en punkt på skärningslinjen mellan planet och ytan M(x,y). Om du ger argumentet påöka Δ på och betrakta punkt T på kurvan med koordinater ( x, y+Δ y, z+Δy z), sedan tangenten för vinkeln som bildas av sekanten MT med O-axelns positiva riktning på, kommer att vara lika med . Om vi ​​går till gränsen vid , finner vi att den partiella derivatan är lika med tangenten till vinkeln som bildas av tangenten till den resulterande kurvan vid punkten M med positiv riktning för O-axeln u. Följaktligen är den partiella derivatan lika med tangenten för vinkeln med O-axeln X tangent till kurvan som erhålls som ett resultat av sektionering av ytan z = f(x,y) plan y= konst.

Definition 2.1. Hela ökningen av en funktion u = f(x, y, z) anropas

Definition 2.2. Om ökningen av funktionen u = f (x, y, z) i punkten (x 0 , y 0 , z 0) kan representeras i formen (2.3), (2.4), så kallas funktionen differentierbar vid denna punkt, och uttrycket kallas principiell linjär del av inkrementet eller den totala differentialen för funktionen i fråga.

Beteckningar: du, df (x 0, y 0, z 0).

Precis som i fallet med en funktion av en variabel anses differentialerna för oberoende variabler vara deras godtyckliga inkrement, därför

Anmärkning 1. Så, påståendet "funktionen är differentierbar" är inte ekvivalent med påståendet "funktionen har partiella derivator" - för differentierbarhet krävs också kontinuiteten för dessa derivator vid den aktuella punkten.

4. Tangentplan och vinkelrät mot ytan. Geometrisk betydelse av differential.

Låt funktionen z = f (x, y)är differentierbar i närheten av punkten M (x 0 , y 0). Då är dess partiella derivator vinkelkoefficienterna för tangenterna till ytans skärningslinjer z = f (x, y) med flygplan y = y 0 Och x = x 0, som kommer att tangera själva ytan z = f (x, y). Låt oss skapa en ekvation för planet som passerar genom dessa linjer. Tangentriktningsvektorerna har formen (1; 0; ) och (0; 1; ), så normalen till planet kan representeras som vektor produkt: n = (- ,- , 1). Därför kan ekvationen för planet skrivas som följer:

Var z 0 = .

Definition 4.1. Planet definierat av ekvation (4.1) kallas tangentplan till grafen för funktionen z = f (x, y) vid en punkt med koordinater (x 0, y 0, z 0).

Av formel (2.3) för fallet med två variabler följer att funktionens inkrement f i närheten av en punkt M kan representeras som:

Följaktligen är skillnaden mellan applikationerna av grafen för en funktion och tangentplanet oändligt mer än hög order, hur ρ, på ρ→ 0.

I detta fall differentialfunktionen f har formen:

som motsvarar ökningen av tangentplanet tillämpas på grafen för en funktion. Detta är geometrisk betydelse differentiell.

Definition 4.2. Vektor som inte är noll vinkelrät mot tangentplanet vid en punkt M (x 0 , y 0) ytor z = f (x, y), ringde vanligt till ytan vid denna tidpunkt.

Det är bekvämt att ta vektorn -- n = { , ,-1}.

Linjärisering av en funktion. Tangentplan och normal mot ytan.

Derivat och differentialer av högre ordning.

1. Partiella derivat av FNP *)

Tänk på funktionen Och = f(P), РÎDÌR n eller, vad är samma,

Och = f(X 1 , X 2 , ..., x sid).

Låt oss fixa variablernas värden X 2 , ..., x sid, och variabeln X 1 låt oss ge inkrement D X 1 . Sedan funktionen Och kommer att få ett tillskott som bestäms av jämlikheten

= f (X 1 +D X 1 , X 2 , ..., x sid) – f(X 1 , X 2 , ..., x sid).

Denna ökning kallas privat inkrement funktioner Och efter variabel X 1 .

Definition 7.1. Partiell derivativ funktion Och = f(X 1 , X 2 , ..., x sid) av variabel X 1 är gränsen för förhållandet mellan det partiella ökningen av en funktion och ökningen av argumentet D X 1 på D X 1 ® 0 (om denna gräns finns).

Den partiella derivatan med avseende på X 1 tecken

Alltså per definition

Partiella derivator med avseende på andra variabler bestäms på liknande sätt X 2 , ..., x sid. Av definitionen är det tydligt att den partiella derivatan av en funktion med avseende på en variabel x iär den vanliga derivatan av en funktion av en variabel x i, när andra variabler anses vara konstanter. Därför kan alla tidigare studerade regler och differentieringsformler användas för att hitta derivatan av en funktion av flera variabler.

Till exempel för funktionen u = x 3 + 3xy – z 2 vi har

Således, om en funktion av flera variabler ges explicit, reduceras frågorna om existensen och upptäckten av dess partiella derivator till motsvarande frågor om funktionen av en variabel - den för vilken det är nödvändigt att bestämma derivatan.

Låt oss överväga en implicit definierad funktion. Låt ekvationen F( x, y) = 0 definierar implicit funktion en variabel X. Rättvis

Sats 7.1.

Låt F( x 0 , y 0) = 0 och funktionerna F( x, y), F¢ X(x, y), F¢ på(x, y) är kontinuerliga i någon del av punkten ( X 0 , på 0), och F^ på(x 0 , y 0) ¹ 0. Sedan funktionen på, givet implicit av ekvationen F( x, y) = 0, har vid punkten ( x 0 , y 0) derivata, som är lika med

.

Om villkoren för satsen är uppfyllda vid någon punkt i regionen DÌ R 2, då vid varje punkt i denna region .

Till exempel för funktionen X 3 –2på 4 + Wow+ 1 = 0 finner vi

Låt nu ekvationen F( x, y, z) = 0 definierar en implicit funktion av två variabler. Låt oss hitta och. Sedan beräkning av derivatan med avseende på X produceras vid en fast (konstant) på, sedan under dessa förhållanden är jämställdheten F( x, y=konst, z) = 0 definierar z som funktion av en variabel X och enligt sats 7.1 får vi

.

likaså .

Alltså för en funktion av två variabler som implicit ges av ekvationen , partiella derivator hittas med formlerna: ,

Liknande artiklar