Produkt av två vektorer formel. Vektorprodukt av vektorer online

Vektor konstverkär en pseudovektor vinkelrät mot ett plan konstruerat av två faktorer, vilket är resultatet av den binära operationen "vektormultiplikation" över vektorer i det tredimensionella euklidiska rummet. Vektorprodukten har inte egenskaperna kommutativitet och associativitet (den är antikommutativ) och är, till skillnad från skalärprodukten av vektorer, en vektor. Används allmänt i många ingenjörs- och fysikapplikationer. Till exempel skrivs rörelsemängd och Lorentzkraft matematiskt som en vektorprodukt. Korsprodukten är användbar för att "mäta" vinkelrätheten hos vektorer - modulen för korsprodukten för två vektorer är lika med produkten av deras moduler om de är vinkelräta, och minskar till noll om vektorerna är parallella eller antiparallella.

Vektorprodukten kan definieras på olika sätt, och teoretiskt kan man i ett utrymme av vilken dimension n som helst beräkna produkten av n-1 vektorer och därigenom erhålla en enda vektor vinkelrät mot dem alla. Men om produkten är begränsad till icke-triviala binära produkter med vektorresultat, definieras den traditionella vektorprodukten endast i tredimensionella och sjudimensionella utrymmen. Resultatet av en vektorprodukt, som en skalär produkt, beror på måtten för det euklidiska rummet.

Till skillnad från formeln för att beräkna skalära produktvektorer från koordinater i ett tredimensionellt rektangulärt koordinatsystem, beror formeln för korsprodukten på orienteringen av det rektangulära koordinatsystemet, eller, med andra ord, dess "kiralitet".

Definition:
Vektorprodukten av vektor a och vektor b i rymden R3 är en vektor c som uppfyller följande krav:
längden av vektor c är lika med produkten av längderna av vektorerna a och b och sinus av vinkeln φ mellan dem:
|c|=|a||b|sin φ;
vektor c är ortogonal mot var och en av vektorerna a och b;
vektor c är riktad så att trippeln av vektorer abc är högerhänt;
i fallet med utrymmet R7 krävs associativiteten för trippeln av vektorerna a, b, c.
Beteckning:
c===a × b

Ris. 1. Arean av ett parallellogram är lika med modulen för vektorprodukten

Geometriska egenskaper hos en korsprodukt:
Ett nödvändigt och tillräckligt villkor för kollineariteten hos två vektorer som inte är noll är att deras vektorprodukt är lika med noll.

Cross Product Module är lika med area S parallellogram konstruerat på vektorer reducerade till ett gemensamt ursprung a Och b(se fig. 1).

Om e- enhetsvektor ortogonal mot vektorerna a Och b och valt så att tre a,b,e- rätt, och Sär området för parallellogrammet konstruerat på dem (reducerat till ett gemensamt ursprung), då är formeln för vektorprodukten giltig:
=S e

Fig.2. Volym av en parallellepiped med hjälp av vektorn och skalärprodukten av vektorer; de streckade linjerna visar projektionerna av vektor c på a × b och vektor a på b × c, det första steget är att hitta de skalära produkterna

Om c- någon vektor, π - vilket plan som helst som innehåller denna vektor, e- enhetsvektor som ligger i planet π och ortogonalt mot c,g- enhetsvektor ortogonal mot planet π och riktade så att trippeln av vektorer ecgär rätt, då för alla som ligger i planet π vektor a formeln är korrekt:
=Pr e a |c|g
där Pr e a är projektionen av vektorn e på a
|c|-modul för vektor c

När du använder vektor- och skalära produkter kan du beräkna volymen av en parallellepiped byggd på vektorer reducerade till ett gemensamt ursprung a, b Och c. En sådan produkt av tre vektorer kallas blandad.
V=|a (b×c)|
Figuren visar att denna volym kan hittas på två sätt: det geometriska resultatet bevaras även när produkterna "skalär" och "vektor" byts:
V=a×b c=a b×c

Storleken på korsprodukten beror på sinus för vinkeln mellan de ursprungliga vektorerna, så korsprodukten kan uppfattas som graden av "vinkelrätt" av vektorerna, precis som den skalära produkten kan ses som graden av "parallellism" ”. Vektorprodukten av två enhetsvektorer är lika med 1 (enhetsvektor) om de ursprungliga vektorerna är vinkelräta och lika med 0 (nollvektorer) om vektorerna är parallella eller antiparallella.

Uttryck för korsprodukten i kartesiska koordinater
Om två vektorer a Och b definieras av deras rektangulära kartesiska koordinater, eller mer exakt, representerade på en ortonormal basis
a=(a x ,a y ,a z)
b=(b x ,b y ,b z)
och koordinatsystemet är högerhänt, då har deras vektorprodukt formen
=(a y b z -a z b y, a z b x -a x b z, a x b y -a y b x)
För att komma ihåg denna formel:
i =∑ε ijk a j b k
Var ε ijk- symbol för Levi-Civita.

Vi kommer att använda korsprodukttabellen för vektorerna i, j och k:

om riktningen för den kortaste vägen från den första vektorn till den andra sammanfaller med pilens riktning är produkten lika med den tredje vektorn; om den inte sammanfaller tas den tredje vektorn med ett minustecken.

Låt två vektorer a=axi +ayj +azk och b =bxi +byj +bzk ges. Låt oss hitta vektorprodukten för dessa vektorer genom att multiplicera dem som polynom (enligt vektorproduktens egenskaper):
Den resulterande formeln kan skrivas ännu kortare: eftersom den högra sidan av likhet (7.1) motsvarar expansionen av tredje ordningens determinant när det gäller elementen i den första raden, är likhet (7.2) lätt att komma ihåg.

7.4. Vissa tillämpningar av korsprodukt

Etablering av kollinearitet av vektorer.
Hitta arean av ett parallellogram och en triangel

Enligt definitionen av vektorprodukten av vektorerna a och b |a xb | = |a| * |b |sing, d.v.s. S-par = |a x b |. Och därför är DS =1/2|a x b |.

Bestämning av kraftmomentet kring en punkt

Låt en kraft F =AB appliceras i punkt A och låt O vara någon punkt i rymden Det är känt från fysiken att kraftmomentet F relativt punkt O är vektorn M som passerar genom punkt O och:

1) vinkelrätt mot planet som passerar genom punkterna O, A, B;

2) är numeriskt lika med produkten av kraften från axeln 3) bildar en högertrippel med vektorerna OA och A B.

Därför är M = OA x F. Hitta linjär rotationshastighet

Hastigheten v för en punkt M av en stel kropp som roterar med en vinkelhastighet w runt en fast axel bestäms av Eulerformeln v =w xr, där r =OM, där O är någon fast punkt på axeln (se fig. 21).

Vinkel mellan vektorer

Av definitionen av den skalära produkten av två vektorer följer att Om vektorerna och specificeras av koordinaterna och , då kommer formel (1.6.3.1) att skrivas som:

Arean av ett parallellogram byggt på vektorer

Problem med att mäta längder på segment, avstånd mellan punkter, ytareor och volymer av kroppar tillhör en viktig klass av problem som vanligtvis kallas metriska. I föregående avsnitt lärde vi oss hur man använder vektoralgebra för att beräkna linjesegmentlängder och avstånd mellan punkter. Nu ska vi hitta sätt att beräkna ytor och volymer. Vektoralgebra låter dig posera och lösa sådana problem endast för ganska enkla fall. För att beräkna arean av godtyckliga ytor och volymer av godtyckliga kroppar krävs analysmetoder. Men analysmetoderna förlitar sig i sin tur väsentligt på resultaten som vektoralgebra ger.

För att lösa problemet valde vi en ganska lång och svår väg, föreslog av Hilbert Strang, förknippad med många geometriska transformationer och noggranna algebraiska beräkningar. Vi valde denna väg trots att det finns andra tillvägagångssätt som leder till målet snabbare eftersom det verkade direkt och naturligt för oss. Den direkta vägen inom vetenskapen är inte alltid den lättaste. Erfarna människor vet om detta och föredrar rondellvägar, men om du inte försöker gå rakt kan du förbli okunnig om några av teorins finesser.

På den väg vi har valt uppstår naturligt begrepp som rumslig orientering, determinant, vektor och blandprodukter. Den geometriska betydelsen av determinanten och dess egenskaper avslöjas särskilt tydligt, som under ett mikroskop. Traditionellt introduceras begreppet determinant i teorin om linjära ekvationssystem, men det är just för att lösa sådana system som determinanten är nästan värdelös. Den geometriska betydelsen av determinanten är väsentlig för vektor- och tensoralgebra.

Låt oss nu ha tålamod och börja med de enklaste och mest begripliga fallen.

1. Vektorer är orienterade längs det kartesiska koordinatsystemets koordinataxlar.

Låt vektor a riktas längs x-axeln och vektor b längs y-axeln. I fig. Figur 21 visar fyra olika alternativ för placering av vektorer i förhållande till koordinataxlarna.

Vektorerna a och b i koordinatform: Där a och b anger storleken på motsvarande vektor, och a är tecknet på vektorkoordinaten.

Eftersom vektorerna är ortogonala är parallellogrammen som är konstruerade på dem rektanglar. Deras områden är helt enkelt produkten av deras sidor. Låt oss uttrycka dessa produkter i termer av vektorkoordinater för alla fyra fallen.

Alla fyra formlerna för beräkning av arean är desamma förutom tecknet. Du kan bara blunda och skriva ner, det i alla fall. En annan möjlighet visar sig dock vara mer produktiv: att ge tecknet en viss betydelse. Låt oss titta noga på fig. 21. I de fall där rotationen av vektor till vektor utförs medurs. I de fall vi tvingas använda ett minustecken i formeln, utförs rotationen av vektor till vektor moturs. Denna observation låter oss relatera tecknet i uttrycken för area till planets orientering.

Arean av en rektangel byggd på vektorerna a och b med ett plus- eller minustecken kommer att betraktas som ett orienterat område, och tecknet kommer att associeras med den orientering som anges av vektorerna. För ett orienterat område kan vi skriva en enda formel för alla fyra fall som beaktas: . "Vektor"-tecknet ovanför bokstaven S introduceras för att skilja det vanliga området, som alltid är positivt, från det orienterade.

Dessutom är det uppenbart att samma vektorer, tagna i en annan ordning, bestämmer den motsatta orienteringen, därför . Vi fortsätter bara att beteckna området med bokstaven S och därför .

Nu när det verkar som att vi till priset av att utöka begreppet område har fått ett allmänt uttryck, kommer den uppmärksamma läsaren att säga att vi inte har övervägt alla möjligheter. I själva verket, förutom de fyra alternativen för placeringen av vektorer som presenteras i fig. 21, det finns fyra till (fig. 22) Låt oss skriva vektorerna igen i koordinatform: Låt oss uttrycka områdena genom vektorernas koordinater. 4. . Tecknen i de nya uttrycken har inte ändrats, men tyvärr har orienteringen i förhållande till de tidigare fyra fallen ändrats. Därför, för det orienterade området är vi tvungna att skriva: . Även om hoppet om genialisk enkelhet inte var berättigat, kan vi ändå skriva ner ett allmänt uttryck för alla fyra fallen.

Det vill säga det orienterade området för en rektangel byggd på vektorer, som på sidor, är lika med determinanten, sammansatt av vektorernas koordinater, som på kolumner.

Vi tror att läsaren är bekant med teorin om determinanter, därför uppehåller vi oss inte vid detta koncept i detalj. Men vi ger lämpliga definitioner för att ändra betoningen och visa att detta begrepp kan komma fram från rent geometriska överväganden. , , är olika notationsformer för samma koncept - en determinant som består av vektorkoordinater, som kolumner. Jämlikhet kan tas som dess definition för det tvådimensionella fallet.

2. Vektor b är inte parallell med x-axeln; vektorn a/ är en godtycklig vektor.

För att reducera detta fall till de som redan är kända, låt oss överväga några geometriska transformationer av ett parallellogram byggt på vektorer och (Fig. blandade produkter av vektorer och dess egenskaper)

7.1. Definition av korsprodukt

Tre icke-samplanära vektorer a, b och c, tagna i angiven ordning, bildar en högerhänt triplett om, från slutet av den tredje vektorn c, det kortaste varvet från den första vektorn a till den andra vektorn b ses till vara moturs, och en vänsterhänt triol om medurs (se fig. 16).

Vektorprodukten av vektor a och vektor b kallas vektor c, som:

1. Vinkelrätt mot vektorerna a och b, dvs c ^ a och c ^ b;

2. Har en längd numeriskt lika med arean av ett parallellogram konstruerat på vektorerna a ochb som på sidorna (se fig. 17), d.v.s.

3. Vektorerna a, b och c bildar en högerhänt trippel.

Korsprodukten betecknas a x b eller [a,b]. Följande relationer mellan enhetsvektorerna i följer direkt av definitionen av vektorprodukten, j Och k(se bild 18):

i x j = k, j x k = i, k x i = j.
Låt oss bevisa det till exempel i xj =k.

1) k ^ i, k ^ j ;

2) |k |=1, men | i x j| = |i | |J | sin(90°)=1;

3) vektorerna i, j och k bildar en högertrippel (se fig. 16).

7.2. Egenskaper hos en korsprodukt

1. Vid omarrangering av faktorerna byter vektorprodukten tecken, d.v.s. och xb =(b xa) (se fig. 19).

Vektorerna a xb och b xa är kolinjära, har samma moduler (arean av parallellogrammet förblir oförändrad), men är motsatt riktade (trippel a, b, a xb och a, b, b x a med motsatt orientering). Det är axb = -(b xa).

2. Vektorprodukten har en kombinerande egenskap med avseende på skalärfaktorn, dvs l (a xb) = (la) x b = a x (lb).

Låt l >0. Vektor l (a xb) är vinkelrät mot vektorerna a och b. Vektor ( l yxa bär också vinkelrät mot vektorerna a och b(vektorer a, l men ligger i samma plan). Det betyder att vektorerna l(a xb) och ( l yxa b kolinjär. Det är uppenbart att deras riktningar sammanfaller. De har samma längd:

Det är därför l(a xb)= l en xb. Det är bevisat på liknande sätt för l<0.

3. Två vektorer som inte är noll a och bär kolinjära om och endast om deras vektorprodukt är lika med nollvektorn, dvs a ||b<=>och xb = 0.

Speciellt i*i=j*j=k*k=0.

4. Vektorprodukten har distributionsegenskapen:

(a+b) xc = a xc + b xs.

Vi accepterar utan bevis.

7.3. Att uttrycka korsprodukten i termer av koordinater

Vi kommer att använda korsprodukttabellen av vektorer i, j och k:

Låt två vektorer a =a x i +a y ges j+a z k och b=bx i+b y j+b z k. Låt oss hitta vektorprodukten för dessa vektorer genom att multiplicera dem som polynom (enligt vektorproduktens egenskaper):

Den resulterande formeln kan skrivas ännu kortare:

eftersom den högra sidan av likhet (7.1) motsvarar expansionen av tredje ordningens determinant när det gäller elementen i den första raden, är likhet (7.2) lätt att komma ihåg.

7.4. Vissa tillämpningar av korsprodukt

Etablering av kollinearitet av vektorer

Hitta arean av ett parallellogram och en triangel

Enligt definitionen av vektorprodukten av vektorer A och b |a xb | =|a | * |b |sin g, dvs S-par = |a x b |. Och därför D S =1/2|a x b |.

Bestämning av kraftmomentet kring en punkt

Låt en kraft appliceras vid punkt A F =AB släpp det HANDLA OM- någon punkt i rymden (se fig. 20).

Det är känt från fysiken att kraftmoment F i förhållande till punkten HANDLA OM kallas vektor M, som går genom punkten HANDLA OM Och:

1) vinkelrätt mot planet som passerar genom punkterna O, A, B;

2) numeriskt lika med kraftprodukten per arm

3) bildar en rät trippel med vektorerna OA och A B.

Därför är M = OA x F.

Hitta linjär rotationshastighet

Fart v punkt M av en stel kropp som roterar med vinkelhastighet w runt en fast axel, bestäms av Eulers formel v =w xr, där r =OM, där O är någon fixpunkt på axeln (se fig. 21).

BLANDAD PRODUKT AV TRE VEKTORER OCH DESS EGENSKAPER

Blandat arbete tre vektorer kallas ett tal lika med . Utsedda . Här multipliceras de två första vektorerna vektoriellt och sedan multipliceras den resulterande vektorn skalärt med den tredje vektorn. Uppenbarligen är en sådan produkt ett visst antal.

Låt oss överväga egenskaperna hos en blandad produkt.

Geometrisk betydelse blandat arbete. Den blandade produkten av 3 vektorer, upp till ett tecken, är lika med volymen av parallellepipeden byggd på dessa vektorer, som på kanter, d.v.s. .
Alltså och .

Bevis. Låt oss avsätta vektorerna från det gemensamma ursprunget och konstruera en parallellepiped på dem. Låt oss beteckna och notera det. Per definition av den skalära produkten

Förutsatt att och betecknar med h hitta höjden på parallellepipeden.

Alltså när

Om så då. Därav, .

Genom att kombinera båda dessa fall får vi eller .

Av beviset för denna egenskap, i synnerhet, följer att om trippeln av vektorer är högerhänt, då är den blandade produkten , och om den är vänsterhänt, då .
För alla vektorer , , är likheten sann
Beviset för denna egendom följer av fastighet 1. Det är faktiskt lätt att visa att och . Dessutom tas tecknen "+" och "–" samtidigt, eftersom vinklarna mellan vektorerna och och och är både spetsiga och trubbiga.
När två valfria faktorer omarrangeras ändrar den blandade produkten tecken.
Faktum är att om vi betraktar en blandad produkt, då, till exempel, eller
En blandad produkt om och endast om en av faktorerna är lika med noll eller om vektorerna är koplanära.
Bevis.

Således är ett nödvändigt och tillräckligt villkor för samplanariteten för 3 vektorer att deras blandade produkt är lika med noll. Dessutom följer att tre vektorer utgör en bas i rymden om .

Om vektorerna ges i koordinatform, kan det visas att deras blandade produkt hittas med formeln:

.

Således är den blandade produkten lika med tredje ordningens determinant, som har koordinaterna för den första vektorn på den första raden, koordinaterna för den andra vektorn på den andra raden och koordinaterna för den tredje vektorn på den tredje raden.

Exempel.

ANALYTISK GEOMETRI I RYMMEN

Ekvationen F(x, y, z)= 0 definierar i rymden Oxyz någon yta, dvs. plats för punkter vars koordinater x, y, z uppfylla denna ekvation. Denna ekvation kallas ytekvationen, och x, y, z– aktuella koordinater.

Ofta specificeras dock inte ytan av en ekvation, utan som en uppsättning punkter i rymden som har en eller annan egenskap. I det här fallet är det nödvändigt att hitta ytans ekvation baserat på dess geometriska egenskaper.

PLAN.

NORMAL PLAN VEKTOR.

EKVATION FÖR ETT PLAN SOM GÅR GENOM EN GIVET PUNKT

Låt oss betrakta ett godtyckligt plan σ i rymden. Dess position bestäms genom att specificera en vektor vinkelrät mot detta plan och någon fast punkt M0(x 0, y 0, z 0), som ligger i σ-planet.

Vektorn vinkelrät mot planet σ kallas vanligt vektor för detta plan. Låt vektorn ha koordinater.

Låt oss härleda ekvationen för planet σ som passerar genom denna punkt M0 och har en normal vektor. För att göra detta, ta en godtycklig punkt på planet σ M(x, y, z) och överväga vektorn.

För vilken punkt som helst MО σ är en vektor, därför är deras skalära produkt lika med noll. Denna jämlikhet är villkoret att poängen MО σ. Den är giltig för alla punkter på detta plan och bryts så snart som punkten M kommer att vara utanför σ-planet.

Om vi betecknar punkterna med radievektorn M, – radievektor för punkten M0, då kan ekvationen skrivas i formen

Denna ekvation kallas vektor plan ekvation. Låt oss skriva det i koordinatform. Sedan dess

Så vi har fått ekvationen för planet som passerar genom denna punkt. För att skapa en ekvation för ett plan måste du alltså känna till koordinaterna för normalvektorn och koordinaterna för någon punkt som ligger på planet.

Observera att ekvationen för planet är en ekvation av 1:a graden med avseende på de aktuella koordinaterna x, y Och z.

Exempel.

ALLMÄN EKVATION FÖR PLANET

Det kan visas att varje förstagradsekvation med avseende på kartesiska koordinater x, y, z representerar ekvationen för ett visst plan. Denna ekvation skrivs som:

Axe+By+Cz+D=0

och kallas allmän ekvation planet och koordinaterna A, B, C här är koordinaterna för planets normalvektor.

Låt oss överväga speciella fall av den allmänna ekvationen. Låt oss ta reda på hur planet ligger i förhållande till koordinatsystemet om en eller flera koefficienter i ekvationen blir noll.

A är längden på segmentet avskuret av planet på axeln Oxe. På samma sätt kan det visas att b Och c– längder av segment avskurna av det aktuella planet på axlarna Oj Och Uns.

Det är bekvämt att använda ekvationen för ett plan i segment för att konstruera plan.