7. ábra.

,

,

,

Ahol én x, én y – a referenciatengelyekhez viszonyított tengelyirányú tehetetlenségi nyomatékok;

Én xy– a referenciatengelyekhez viszonyított centrifugális tehetetlenségi nyomaték;

Én xc, én yc– a központi tengelyekhez viszonyított tengelyirányú tehetetlenségi nyomatékok;

Én xcyc– centrifugális tehetetlenségi nyomaték a központi tengelyekhez képest;

a, b– a tengelyek közötti távolság.

Egy szakasz tehetetlenségi nyomatékainak meghatározása a tengelyek forgatásakor

A szakasznak a központi tengelyekhez viszonyított összes geometriai jellemzője ismert x C,C-nél(8. ábra). Határozzuk meg a tengelyekre vonatkozó tehetetlenségi nyomatékokat x 1,1-kor, a központiakhoz képest egy bizonyos szöggel elforgatva a.

8. ábra

,

Ahol I x 1, I y 1 – tengelyirányú tehetetlenségi nyomatékok a tengelyekre x 1,1-kor ;

I x 1 y 1– a tengelyekhez viszonyított centrifugális tehetetlenségi nyomaték x 1,1-kor .

A fő központi tehetetlenségi tengelyek helyzetének meghatározása

A szakasz fő központi tehetetlenségi tengelyeinek helyzetét a következő képlet határozza meg:

,

Ahol egy 0 – a központi és a fő tehetetlenségi tengely közötti szög.

A fő tehetetlenségi nyomatékok meghatározása

A szakasz fő tehetetlenségi nyomatékait a következő képlet határozza meg:

Egy összetett szakasz számítási sorrendje

1) Bontsa fel egy összetett szakaszt egyszerű geometriai alakzatokra [S 1, S 2,…;x 1, y 1; x 2, y 2, …]

2) Válasszon tetszőleges tengelyeket XOY .

3) Határozza meg a szakasz súlypontjának helyzetét! [x c , y c].

4) Rajzolja meg a központi tengelyeket X c OY c.

5) Számítsa ki a tehetetlenségi nyomatékokat! Ix c, Iy c , a tengelyek párhuzamos fordításának tételével.

6) Számítsa ki a centrifugális tehetetlenségi nyomatékot! Ix c y c.

7) Határozza meg a fő tehetetlenségi tengelyek helyzetét! tg2a 0.

8) Számítsa ki a fő tehetetlenségi nyomatékokat! Imax, Én benne vagyok.

2. PÉLDA

A 13. ábrán látható ábrához határozza meg a főbb pontokat

a tehetetlenség és a fő tehetetlenségi tengelyek helyzete.

1) Az összetett szakaszt egyszerű geometriai alakzatokra bontjuk

S 1 = 2000 mm 2, S 2 = 1200 mm2, S= 3200 mm 2.

2) Válasszon tetszőleges XOY tengelyt.

3) Határozza meg a szakasz súlypontjának helyzetét!

x c = 25 mm, y c=35 mm.

4) A központi tengelyek megrajzolása X c OY c

5) Számítsa ki a tehetetlenségi nyomatékokat! Ix c, Iy c

6) Számítsa ki a centrifugális tehetetlenségi nyomatékot! Ix c y c

7) Határozza meg a fő tehetetlenségi tengelyek helyzetét!

Ha I x >I y És a 0 >0 , majd a szög egy 0 tengelytől eltolva X s óramutató járásával ellentétes irányban.

8) Számítsa ki a fő tehetetlenségi nyomatékokat! Imax, Én benne vagyok

3. PÉLDA

ábrán látható ábrához. 8 határozza meg a főtengelyek helyzetét

8. ábra.

tehetetlenség és fő tehetetlenségi nyomatékok.

1) Minden ábrához felírjuk az alapvető kiindulási adatokat

Csatorna

S 1 = 10,9 cm2

I x = 20,4 cm 4

I y = 174 cm 4

y 0= 1,44 cm

h= 10 cm

Egyenetlen sarok

S 3 = 6,36 cm2

I x = 41,6 cm 4

I y = 12,7 cm 4

I min = 7,58 cm 4

tga= 0,387

x 0= 1,13 cm

y 0= 2,6 cm

Téglalap

S 2 = 40 cm2

cm 4

cm 4

2) Rajzolja meg a szakaszt méretarányosan

3) Rajzoljon tetszőleges koordinátatengelyeket

4) Határozza meg a szakasz súlypontjának koordinátáit!

5) Rajzolja meg a központi tengelyeket

6) Határozza meg a központi tengelyekhez viszonyított tengelyirányú tehetetlenségi nyomatékokat!

7) Határozza meg a központi tengelyekhez viszonyított centrifugális tehetetlenségi nyomatékot!

A szöghengerelt acél súlypontjához viszonyított centrifugális tehetetlenségi nyomatékát a következő képletek egyike határozza meg:

-4

A szöghengerelt acél centrifugális tehetetlenségi nyomatékának előjelét az ábra szerint határozzuk meg. 9 tehát I xy 3= -13,17 cm 4.

8) Határozza meg a fő tehetetlenségi tengelyek helyzetét!

a 0 = 21,84°

9) Határozza meg a fő tehetetlenségi nyomatékokat!

4. FELADAT

A megadott sémákhoz (6. táblázat) szükséges:

1) Rajzoljon keresztmetszetet szigorú léptékben.

2) Határozza meg a súlypont helyzetét!

3) Keresse meg a tengelyirányú tehetetlenségi nyomatékok értékét a központi tengelyekhez viszonyítva.

4) Határozza meg a centrifugális tehetetlenségi nyomaték értékét a központi tengelyekhez viszonyítva!

5) Határozza meg a fő tehetetlenségi tengelyek helyzetét!

6) Keresse meg a fő tehetetlenségi nyomatékokat!

Vegye ki a numerikus adatokat a táblázatból. 6.

Számítási sémák a 4. feladathoz

6. táblázat

Kiinduló adatok a 4. számú feladathoz

№	Egyenlő szögű sarok	Egyenetlen sarok	I-sugár	Csatorna	Téglalap	számú séma
	30'5	50'32'4			100×30
	40'6	56´36´4			100×40
	50'4	63'40'8			100×20
	56´4	70'45'5			80'40
	63´6	80'50'6		14a	80'60
	70'8	90'56'6			80'100
	80'8	100'63'6	20a	16a	80'20
	90'9	90'56'8			60'40
	75'9	140'90'10	22a	18a	60'60
	100×10	160'100'12			60'40
	d	A	b	V	G	d

Útmutató az 5. problémához

A hajlítás egy olyan alakváltozás, amelyben a V.S.F. megjelenik a rúd keresztmetszetében. – hajlítónyomaték.

A hajlítási gerenda kiszámításához ismerni kell a maximális hajlítónyomaték értékét Més annak a szakasznak a helyzete, amelynél előfordul. Ugyanígy tudnia kell a maximális nyíróerőt is K. Ebből a célból a hajlítónyomatékok és a nyíróerők diagramjai készülnek. A diagramokból könnyen meg lehet ítélni, hogy hol lesz a nyomaték vagy a nyíróerő maximális értéke. Az értékek meghatározásához MÉs K használja a szakaszos módszert. Tekintsük az ábrán látható áramkört. 9. Állítsuk össze a tengelyre ható erők összegét! Y, a gerenda levágott részére hat.

9. ábra.

A keresztirányú erő egyenlő a szakasz egyik oldalán ható összes erő algebrai összegével.

Állítsuk össze a gerenda levágott részére ható nyomatékok összegét a metszethez képest.

A hajlítónyomaték egyenlő a nyaláb levágott részére ható összes nyomaték algebrai összegével a szakasz súlypontjához képest.

Annak érdekében, hogy a számításokat a gerenda bármely végéről lehessen elvégezni, a belső erőtényezőkre vonatkozó előjelszabályt kell elfogadni.

Nyíróerőhöz K.

10. ábra.

Ha külső erő az óramutató járásával megegyező irányba forgatja a gerenda vágott részét, akkor az erő pozitív, ha külső erő a nyaláb vágott részét az óramutató járásával ellentétes irányba forgatja, akkor az erő negatív.

Hajlítási nyomatékhoz M.

11. ábra.

Ha külső erő hatására a gerenda ívelt tengelye homorú tál alakot vesz fel, úgy, hogy a felülről érkező eső vízzel tölti meg, akkor a hajlítónyomaték pozitív (11a. ábra). Ha külső erő hatására a gerenda ívelt tengelye domború tál alakú, így a felülről érkező eső nem tölti meg vízzel, akkor a hajlítónyomaték negatív (11b. ábra).

Az elosztott terhelési intenzitás között q, nyíróerő Kés hajlítónyomaték M, egy bizonyos szakaszban a következő különbségi függőségek vannak:

A hajlítás során feltüntetett differenciális függőségek lehetővé teszik a keresztirányú erők és hajlítónyomatékok diagramjainak néhány jellemzőjének megállapítását.

1) Azokon a területeken, ahol nincs megosztott terhelés, diagram K a diagram és a diagram tengelyével párhuzamos egyenesek határolják M , általános esetben ferde egyenesekkel (19. ábra).

2) Azokon a területeken, ahol egyenletes eloszlású terhelés éri a gerendát, diagram K ferde egyenesek és a diagram korlátozza M – másodfokú parabolák (20. ábra). Diagram készítésekor M összenyomott szálakon a parabola konvexitása az elosztott terhelés hatásával ellentétes irányba néz (21a, b ábra).

12. ábra.

13. ábra.

3) Azokban a szakaszokban, ahol K= 0, a diagram érintője M párhuzamos a diagram tengelyével (12., 13. ábra). A hajlítónyomaték a gerenda ilyen szakaszaiban extrém nagyságú ( M max,Mmin).

4) Azokon a területeken, ahol Q> 0, M növeli, azaz balról jobbra a diagram pozitív ordinátáit M nőnek, negatívak csökkennek (12., 13. ábra); azokon a területeken, ahol K < 0, M csökken (12., 13. ábra).

5) Azokon a szakaszokon, ahol koncentrált erők fejtik ki a gerendát:

a) a diagramon K a kifejtett erők nagysága és iránya szerint ugrások lesznek (12., 13. ábra).

b) az ábrán M törések lesznek (12., 13. ábra), a törés csúcsa az erőhatás ellen irányul.

6) Azokon a szakaszokon, ahol koncentrált nyomatékok hatnak a gerendára, a diagramon M ezeknek a pillanatoknak a nagyságrendjében ugrások lesznek a diagramon K nem lesz változás (14. ábra).

14. ábra.

15. ábra.

7) Ha egy koncentrált

nyomaték, akkor ebben a szakaszban a hajlítónyomaték egyenlő a külső nyomatékkal (szakasz CÉs Bábrán. 15).

8) Diagram Kábrázolja a diagram deriváltját M. Tehát az ordináták K arányos a diagram érintőjének dőlésszögének érintőjével M(14. ábra).

A rajzolás sorrendje KÉs M:

1) A gerenda tervrajzát (tengely alakban) elkészítjük, amely bemutatja a rá ható terheléseket.

2) A támasztékok gerendára gyakorolt ​​hatását megfelelő reakciók váltják fel; a reakciók megnevezései és elfogadott irányai vannak feltüntetve.

3) A gerenda egyensúlyegyenleteit állítják össze, amelyek megoldása határozza meg a támasztó reakciók értékeit.

4) A gerenda szakaszokra van felosztva, amelyek határai a külső koncentrált erők és nyomatékok alkalmazási pontjai, valamint a hatás vagy az elosztott terhelések természetében bekövetkező változás kezdetének és végének pontjai.

5) Összeállítjuk a hajlítónyomatékok kifejezéseit Més nyíróerők K a gerenda minden szakaszához. A számítási diagram minden szakaszra jelzi a távolságmérés kezdetét és irányát.

6) A kapott kifejezések felhasználásával a diagramok ordinátáit kiszámítjuk a gerenda számos szakaszára, olyan mennyiségben, amely elegendő ezen diagramok megjelenítéséhez.

7) Meghatározzuk azokat a szakaszokat, amelyekben a keresztirányú erők nullával egyenlőek, és amelyekben ezért nyomatékok hatnak Mmax vagy Mmin a gerenda adott szakaszára; ezeknek a momentumoknak az értékeit kiszámítjuk.

8) A kapott ordinátaértékek felhasználásával diagramokat készítünk.

9) A megszerkesztett diagramokat egymással összehasonlítva ellenőrizzük.

A veszélyes szakasz meghatározásához a hajlítás során fellépő belső erőtényezők diagramjai készülnek. A veszélyes szakasz megtalálása után a gerenda szilárdságát számítják ki. A keresztirányú hajlítás általános esetben, amikor egy rúd szakaszain hajlítónyomaték és keresztirányú erő hat, a gerenda szakaszán normál és nyírófeszültségek keletkeznek. Ezért logikus két erősségi feltételt figyelembe venni:

a) normál feszültségek szerint

b) érintőleges feszültségekkel

Mivel a gerendák fő romboló tényezője a normál feszültségek, az elfogadott alakú gerenda keresztmetszetének méreteit a normál feszültségekre vonatkozó szilárdsági feltételből határozzuk meg:

Ezután ellenőrzik, hogy a kiválasztott gerendaszakasz megfelel-e a nyírófeszültségi szilárdsági feltételnek.

A gerendák számításának ez a megközelítése azonban még nem jellemzi a gerenda szilárdságát. Sok esetben a gerendaszakaszokon vannak olyan pontok, amelyekben egyszerre hat nagy normál- és nyírófeszültség. Ilyen esetekben szükségessé válik a gerenda szilárdságának ellenőrzése főfeszültségekkel. A harmadik és negyedik szilárdságelmélet a leginkább alkalmazható az ilyen vizsgálatokhoz:

, .

1. PÉLDA

Készítsen nyíróerő diagramokat Kés hajlítónyomaték Mábrán látható gerendához. 16 ha: F 1= 3 kN, F 2= 1,5 kN, M = 5,1 kN∙m, q = =2kN/m, A = 2 m, b = 1 m, Val vel = 3 m.

16. ábra.

1) Határozza meg a támasztó reakciókat!

;

;

Vizsgálat:

A reakciókat helyesen találtuk

2) A gerendát szakaszokra osztjuk C.A.,HIRDETÉS,DE,E.K.,K.B..

3) Határozza meg az értékeket! KÉs M minden helyszínen.

SA

, ; , .

HIRDETÉS

, ;

, .

DE

, ;

, .

HF

, , .

Keressük meg a területen a maximális hajlítónyomatékot K.B..

Tegyük egyenlővé az egyenletet K ebben a szakaszban nullázzuk, és fejezzük ki a koordinátát z max , amellyel K= 0, és a pillanatnak van maximális értéke. Ezután helyettesítjük z max a szakasz pillanategyenletébe, és keresse meg Mmax.

EK

, .

4) Diagramokat készítünk (16. ábra)

2. PÉLDA

ábrán látható gerendához. 16 határozza meg egy kerek, téglalap alakú ( h/b = 2) és I-szakasz. Ellenőrizze az I-gerenda szilárdságát főfeszültségekkel, ha [s]= 150 MPa, [t]= 150 MPa.

1) A szilárdsági feltételből meghatározzuk a szükséges ellenállási nyomatékot

2) Határozza meg a körmetszet méreteit!

3) Határozza meg a téglalap alakú metszet méreteit!

4) A 10-es számú I-beam-et választjuk ki a választék szerint (GOST 8239-89)

W X= 39,7 cm 3, S X * =23 cm 3, én X = 198 cm 4, h = 100 mm, b = 55 mm, d = 4,5 mm, t = 7,2 mm.

A gerenda szilárdságának főfeszültségek alapján történő ellenőrzéséhez szükség van egy veszélyes szakaszon a normál és tangenciális feszültségek diagramjainak elkészítésére. Mivel a főfeszültségek nagysága mind a normál, mind a tangenciális feszültségektől függ, a szilárdsági vizsgálatot a gerenda azon szakaszán kell elvégezni, ahol MÉs K elég nagy. Egy támaszon BAN BEN(16. ábra) nyíróerő K itt azonban van egy maximális értéke M= 0. Ezért a támasztékról szóló részt veszélyesnek tartjuk A, ahol a hajlítónyomaték maximális és a nyíróerő viszonylag nagy.

A normál feszültségek, amelyek a metszet magassága mentén változnak, egy lineáris törvénynek engedelmeskednek:

Ahol y– a szakaszpont koordinátája (24. ábra).

nál nél nál nél= 0, s = 0;

nál nél ymax ,

A nyírófeszültségek változásának törvényét a terület statikus nyomatékának változásának törvénye határozza meg, amely viszont a metszet magassága mentén a parabolatörvény szerint változik. A szelvény jellemző pontjainak értékének kiszámítása után elkészítjük a tangenciális feszültségek diagramját. A t értékeinek kiszámításakor a szelvényméretekre vonatkozó jelöléseket használjuk az ábrán. 17.

A 3-3 réteg szilárdsági feltétele teljesül.

5. FELADAT

Adott gerendasémákhoz (12. táblázat) készítsen keresztirányú erődiagramokat Kés hajlítónyomaték M. Válassza ki az a) diagram kör keresztmetszetét [s]= 10 MPa; b) I-gerenda [s]= 150 MPa.

Vegye ki a numerikus adatokat a táblázatból. 7.

7. táblázat

Kiinduló adatok a 6. számú feladathoz

№

a, m

q 1 = q 3, kN/m

q 2, kN/m

F 1, kN

F 2, kN

F 3, kN

M 1, kN∙m

M 2, kN∙m

M 3, kN∙m

számú séma

0,8

1,2

A 12. táblázat folytatása

A sík alakzat súlypontján átmenő tengelyeket központi tengelyeknek nevezzük.
A központi tengely körüli tehetetlenségi nyomatékot központi tehetetlenségi nyomatéknak nevezzük.

Tétel

A tehetetlenségi nyomaték bármely tengely körül megegyezik az adott tengelyhez tartozó középtengely körüli tehetetlenségi nyomaték összegével, valamint az ábra területének és a tengelyek közötti távolság négyzetének szorzatával.

Ennek a tételnek a bizonyításához vegyünk egy tetszőleges síkidomot, amelynek területe egyenlő A , a súlypont azon a ponton található VAL VEL , és a tengely körüli központi tehetetlenségi nyomaték x akarat Ix .
Számítsuk ki az ábra tehetetlenségi nyomatékát egy bizonyos tengelyhez képest! x 1 , párhuzamosan a központi tengellyel, és attól bizonyos távolságra A (rizs).

I x1 = Σ y 1 2 dA + Σ (y + a) 2 dA =
= Σ y 2 dA + 2a Σ y dA + a 2 Σ dA.

A kapott képletet elemezve megjegyezzük, hogy az első tag a központi tengelyhez viszonyított tengelyirányú tehetetlenségi nyomaték, a második tag az ábra területének statikus nyomatéka a központi tengelyhez képest (tehát egyenlő nulla), az integráció utáni harmadik tag pedig szorzatként ábrázolható a 2 A , azaz ennek eredményeként a következő képletet kapjuk:

I x1 = I x + a 2 A- a tétel bebizonyosodott.

A tétel alapján arra a következtetésre juthatunk párhuzamos tengelyek sorozatából egy lapos alak tengelyirányú tehetetlenségi nyomatéka lesz a legkisebb a központi tengelyhez képest .

Főtengelyek és fő tehetetlenségi nyomatékok

Képzeljünk el egy lapos alakot, amelynek tehetetlenségi nyomatékai a koordinátatengelyekhez viszonyítva Ix És I y , és az origóhoz viszonyított poláris tehetetlenségi nyomaték egyenlő I ρ . Mint korábban megállapították,

I x + I y = I ρ.

Ha a koordinátatengelyeket síkjukban a koordináták origója körül elforgatjuk, akkor a poláris tehetetlenségi nyomaték változatlan marad, a tengelyirányú nyomatékok pedig változnak, összegük pedig állandó marad. Mivel a változók összege állandó, az egyik csökken, a másik növekszik, és fordítva.
Következésképpen a tengelyek bizonyos helyzetében az egyik axiális nyomaték eléri a maximális értéket, a másik pedig a minimumot.

Azokat a tengelyeket, amelyeken a tehetetlenségi nyomaték minimális és maximális értéke van, fő tehetetlenségi tengelyeknek nevezzük.
A főtengely körüli tehetetlenségi nyomatékot fő tehetetlenségi nyomatéknak nevezzük.

Ha a főtengely átmegy egy alakzat súlypontján, akkor azt főtengelynek, az ilyen tengely körüli tehetetlenségi nyomatékot pedig fő központi tehetetlenségi nyomatéknak nevezzük.
Megállapíthatjuk, hogy ha egy ábra szimmetrikus bármely tengelyre, akkor mindig ez a tengely lesz ennek az alaknak az egyik fő központi tehetetlenségi tengelye.

Centrifugális tehetetlenségi nyomaték

Egy lapos alak centrifugális tehetetlenségi nyomatéka a teljes területen vett elemi területek és két egymásra merőleges tengely távolságának szorzata:

I xy = Σ xy dA,

Ahol x , y - távolságok a helyszíntől dA tengelyekhez x És y .
A centrifugális tehetetlenségi nyomaték lehet pozitív, negatív vagy nulla.

A centrifugális tehetetlenségi nyomatékot az aszimmetrikus szakaszok főtengelyeinek helyzetét meghatározó képletek tartalmazzák.
A szabványos profiltáblázatok ún a szakasz forgási sugara , a következő képletekkel számítjuk ki:

i x = √ (I x / A),i y = √ (I y / A) , (a továbbiakban a jel"√"- gyökér jel)

Ahol én x, én y - a szakasz tengelyirányú tehetetlenségi nyomatékai a központi tengelyekhez képest; A - keresztmetszeti terület.
Ezt a geometriai jellemzőt az excentrikus feszítés vagy összenyomás, valamint a hosszirányú hajlítás vizsgálatánál használják.

Torziós deformáció

Alapfogalmak a torzióról. Kerek gerenda torziója.

A torzió az alakváltozás olyan fajtája, amelynél a gerenda bármely keresztmetszetében csak nyomaték lép fel, azaz olyan erőtényező, amely a szakasznak a szakaszra merőleges tengelyhez képest körkörös elmozdulását idézi elő, vagy megakadályozza ezt a mozgást. Más szavakkal, torziós alakváltozások lépnek fel, ha egy vagy több erőt egy egyenes gerendára a tengelyére merőleges síkban fejtünk ki.
Ezen erőpárok nyomatékait csavarodásnak vagy forgásnak nevezzük. A nyomatékot jelöli T .
Ez a meghatározás hagyományosan a torziós alakváltozás erőtényezőit külső tényezőkre (torziós, nyomaték) osztja. T ) és belső (nyomatékok M kr ).

A gépekben és mechanizmusokban a kerek vagy cső alakú tengelyek leggyakrabban csavarodásnak vannak kitéve, ezért leggyakrabban az ilyen egységekre, alkatrészekre készülnek szilárdsági és merevségi számítások.

Tekintsük egy körhengeres tengely torzióját.
Képzeljünk el egy gumi hengeres tengelyt, amelyben az egyik vége mereven van rögzítve, és a felületén egy hosszirányú vonalakból és keresztirányú körökből álló rács található. A tengely szabad végére, ennek a tengelynek a tengelyére merőlegesen, pár erőt fogunk kifejteni, azaz a tengely mentén megcsavarjuk. Ha gondosan megvizsgálja a rácsvonalakat a tengely felületén, észre fogja venni, hogy:
- a tengelytengely, amelyet torziós tengelynek nevezünk, egyenes marad;
- a körök átmérője változatlan marad, és a szomszédos körök közötti távolság nem változik;
- a tengelyen lévő hosszanti vonalak csavarvonalakká alakulnak.

Ebből arra következtethetünk, hogy kerek hengeres gerenda (tengely) csavarásakor érvényes a síkszelvényekre vonatkozó hipotézis, és azt is feltételezhetjük, hogy a körök sugarai az alakváltozás során egyenesek maradnak (hiszen átmérőjük nem változott). És mivel a tengelyszakaszokban nincsenek hosszirányú erők, a köztük lévő távolság megmarad.

Következésképpen a kerek tengely torziós deformációja a keresztmetszetek egymáshoz viszonyított elfordulásából áll a torziós tengely körül, és elfordulási szögeik egyenesen arányosak a rögzített szakasztól való távolságokkal - minél távolabb van bármely szakasz a rögzített végtől a tengely, annál nagyobb a szög a tengelyhez képest elcsavarodik.
A tengely minden szakaszánál a forgásszög megegyezik a tengely e szakasz és a tömítés (rögzített vég) közé zárt részének csavarodási szögével.


sarok ( rizs. 1) a tengely szabad végének (végszakasz) forgását a hengeres gerenda (tengely) teljes csavarási szögének nevezzük.
Relatív csavarási szög φ 0 torziós szög aránynak nevezzük φ 1 a távolba l 1 adott szakasztól a beágyazásig (fix szakasz).
Ha a hengeres gerenda (tengely) hosszú l állandó keresztmetszetű és a szabad végén torziós nyomatékkal van terhelve (azaz homogén geometriai metszetből áll), akkor igaz a következő állítás:
φ 0 = φ 1 / l 1 = φ / l = állandó - az érték állandó.

Ha figyelembe vesszük a fenti gumihengeres rúd felületén egy vékony réteget ( rizs. 1), rácscella korlátozza cdef , akkor megjegyezzük, hogy ez a cella deformáció közben megvetemedik, és a rögzített szakasztól távolabbi oldala a gerenda csavarodása felé eltolódik, elfoglalva a pozíciót. cde 1 f 1 .

Megjegyzendő, hogy hasonló kép figyelhető meg a nyírási deformáció során, csak ebben az esetben a felület deformálódik a szakaszok egymáshoz viszonyított transzlációs mozgása miatt, és nem a forgó mozgás miatt, mint a torziós deformációnál. Ez alapján megállapíthatjuk, hogy a keresztmetszetek csavarása során csak érintőleges belső erők (feszültségek) keletkeznek, amelyek nyomatékot képeznek.

Tehát a nyomaték a keresztmetszetben ható belső érintőleges erők nyalábjának tengelyéhez viszonyított eredő nyomaték.

Határozzuk meg a metszet különböző tehetetlenségi nyomatékai közötti kapcsolatot két párhuzamos tengelyhez képest (6.7. ábra), amelyeket a függőségek kapcsolnak össze.

1. Statikus tehetetlenségi nyomatékokhoz

Végül,

2. Tengelyirányú tehetetlenségi nyomatékokhoz

ennélfogva,

Ha a tengely záthalad a szakasz súlypontján, akkor

A párhuzamos tengelyekre vonatkozó összes tehetetlenségi nyomaték közül a tengelyirányú tehetetlenségi nyomaték a legkisebb értékű a metszet súlypontján átmenő tengely körül.

Ugyanez az tengelyre

Amikor a tengely yáthalad a szakasz súlypontján

3. A centrifugális tehetetlenségi nyomatékokra kapjuk

Végre írhatunk

Abban az esetben, ha a koordinátarendszer origója yz a szakasz súlypontjában van, azt kapjuk

Abban az esetben, ha az egyik vagy mindkét tengely szimmetriatengely,

6.7. A tehetetlenségi nyomatékok változása tengelyek forgatásakor

Legyenek adottak a szakasz tehetetlenségi nyomatékai a koordinátatengelyekhez képest zy.

Meg kell határozni ugyanazon szakasz tehetetlenségi nyomatékait a koordinátarendszerhez képest bizonyos szögben elforgatott tengelyekhez képest zy(6.8. ábra).

A szöget akkor tekintjük pozitívnak, ha a régi koordinátarendszert az óramutató járásával ellentétes irányba kell elforgatni, hogy az újra váltsunk (jobbkezes derékszögű derékszögű koordinátarendszer esetén). Új és régi zyábrából következő függőségek kapcsolják össze a koordinátarendszereket. 6.8:

1. Határozzuk meg az új koordinátarendszer tengelyeihez viszonyított tengelyirányú tehetetlenségi nyomatékok kifejezéseit:

Ugyanígy a tengelyhez képest

Ha összeadjuk a és a tengelyekre vonatkozó tehetetlenségi nyomatékok értékeit, akkor azt kapjuk

vagyis amikor a tengelyek forognak, a tengelyirányú tehetetlenségi nyomatékok összege állandó érték.

2. Levezetjük a centrifugális tehetetlenségi nyomatékok képleteit.

.

6.8. A fő tehetetlenségi nyomatékok. Fő tehetetlenségi tengelyek

A szakasz tengelyirányú tehetetlenségi nyomatékainak szélső értékeit fő tehetetlenségi nyomatékoknak nevezzük.

Két egymásra merőleges tengelyt, amelyekre vonatkozóan a tengelyirányú tehetetlenségi nyomatékok szélső értékei vannak, fő tehetetlenségi tengelynek nevezzük.

A fő tehetetlenségi nyomatékok és a fő tehetetlenségi tengelyek helyzetének meghatározásához meghatározzuk az első deriváltot a (6.27) képlettel meghatározott tehetetlenségi nyomaték szögéhez képest.

Tegyük egyenlővé ezt az eredményt nullával:

ahol az a szög, amellyel a koordinátatengelyeket el kell forgatni yÉs z hogy egybeessenek a főtengelyekkel.

A (6.30) és (6.31) kifejezések összehasonlításával megállapíthatjuk, hogy

,

Következésképpen a fő tehetetlenségi tengelyekhez viszonyítva a centrifugális tehetetlenségi nyomaték nulla.

Az egymásra merőleges tengelyek, amelyek közül az egyik vagy mindkettő egybeesik a szakasz szimmetriatengelyével, mindig a fő tehetetlenségi tengely.

Oldjuk meg a (6.31) egyenletet a szögre:

.

Ha >0, akkor a jobb (bal) derékszögű derékszögű koordinátarendszer egyik fő tehetetlenségi tengelyének helyzetének meghatározásához egy tengelyre van szükség z forgassa el szögben a forgásiránnyal (a forgásirányban) az óramutató járásával megegyezően. Ha<0, то для оп­ре­деления по­ло­же­ния одной из главных осей инерции для пра­вой (левой) де­кар­то­вой пря­мо­у­го­ль­ной системы координат необ­хо­димо осьz forgassa el szögben a forgásirányban (az óramutató járásával ellentétes irányban) az óramutató járásával megegyezően.

A maximális tengely mindig kisebb szöget zár be a tengelyekkel ( y vagy z), amelyhez képest a tengelyirányú tehetetlenségi nyomaték nagyobb értékű (6.9. ábra).

A maximális tengely szöget zár be az axis(), if()-hez képest, és a tengelyek páros (páratlan) negyedében található, if().

Határozzuk meg a fő tehetetlenségi nyomatékokat és. A (6.27) képletből a trigonometriából származó képleteket használva a,,,függvényeket,,függvényekkel összekötve megkapjuk

,

Legyen Ix, Iy, Ixy is ismert. Rajzoljunk egy új x 1, y 1 tengelyt párhuzamosan az xy tengelyekkel.

És határozzuk meg ugyanannak a szakasznak az új tengelyekhez viszonyított tehetetlenségi nyomatékát.

X1 = x-a; y 1 = y-b

I x 1 = ∫ y 1 dA = ∫ (y-b) 2 dA = ∫ (y 2 - 2by + b 3) dA = ∫ y 2 dA - 2b ∫ ydA + b 2 ∫ dA=

Ix – 2b Sx + b 2 A.

Ha az x tengely átmegy a metszet súlypontján, akkor az Sx statikus nyomaték =0.

I x 1 = Ix + b 2 A

Az új y 1 tengelyhez hasonlóan a következő képlet lesz: I y 1 = Iy + a 2 A

Centrifugális tehetetlenségi nyomaték új tengelyekre

Ix 1 y 1 = Ixy – b Sx –a Sy + abA.

Ha az xy tengelyek áthaladnak a szakasz súlypontján, akkor Ix 1 y 1 = Ixy + abA

Ha a metszet szimmetrikus, akkor legalább az egyik központi tengely egybeesik a szimmetriatengellyel, akkor Ixy =0, ami azt jelenti, hogy Ix 1 y 1 = abA

A tehetetlenségi nyomatékok változása tengelyek forgatásakor.

Legyenek ismertek az xy tengelyekre vonatkozó tengelyirányú tehetetlenségi nyomatékok.

Új xy koordinátarendszert kapunk, ha a régi rendszert szöggel elforgatjuk (a > 0), ha a forgatás az óramutató járásával ellentétes.

Határozzuk meg a kapcsolatot a telephely régi és új koordinátái között

y 1 =ab = ac – bc = ab- de

háromszög acd-ből:

ac/ad =cos α ac= ad*cos α

oed háromszögből:

de/od =sin α dc = od*sin α

Helyettesítsük be ezeket az értékeket y kifejezésébe

y 1 = ad cos α - od sin α = y cos α - x sin α.

Hasonlóképpen

x 1 = x cos α + y sin α.

Számítsuk ki az új x 1 tengelyhez viszonyított tengelyirányú tehetetlenségi nyomatékot

Ix 1 = ∫y 1 2 dA = ∫ (y cos α - x sin α) 2 dA= ∫ (y 2 cos 2 α - 2xy sin α cos α + x 2 sin 2 α)dA= =cos 2 α ∫ 2 dA – sin2 α ∫xy dA + sin 2 α ∫x 2 dA = Ix cos 2 α - Ixy sin2 α + Iy sin 2 α .

Hasonlóképpen, Iy 1 = Ix sin 2 α - Ixy sin2 α + Iy cos 2 α.

Adjuk hozzá a kapott kifejezések bal és jobb oldalát:

Ix 1 + Iy 1 = Ix (sin 2 α + cos 2 α) + Iy (sin 2 α + cos 2 α) + Ixy (sin2 α - cos2 α).

Ix 1 + Iy 1 = Ix + Iy

A forgás közbeni tengelyirányú tehetetlenségi nyomatékok összege nem változik.

Határozzuk meg az új tengelyekhez viszonyított centrifugális tehetetlenségi nyomatékot. Képzeljük el az x 1 , y 1 értékeket.

Ix 1 y 1 = ∫x 1 y 1 dA = (Ix – Iy)/2*sin 2 α + Ixy cos 2 α.

Fő nyomatékok és fő tehetetlenségi tengelyek.

A fő tehetetlenségi nyomatékok szélsőséges értékeknek nevezzük.

Azokat a tengelyeket, amelyekről a szélső értékeket megkaptuk, fő tehetetlenségi tengelyeknek nevezzük. Mindig egymásra merőlegesek.

A főtengelyekhez viszonyított centrifugális tehetetlenségi nyomaték mindig 0. Mivel ismert, hogy a metszetben van szimmetriatengely, a centrifugális nyomaték 0, ami azt jelenti, hogy a szimmetriatengely a főtengely. Ha vesszük az I x 1 kifejezés első deriváltját, majd egyenlővé tesszük „0”-val, akkor megkapjuk a fő tehetetlenségi tengelyek helyzetének megfelelő = = szög értékét.

tan2 α 0 = -

Ha α 0 >0, akkor a főtengelyek egy bizonyos helyzetéhez a régi tengelyt kell az óramutató járásával ellentétes irányba forgatni. Az egyik főtengely max, a másik min. Ebben az esetben a max tengely mindig kisebb szöget zár be azzal a véletlen tengellyel, amelyhez képest nagyobb tengelyirányú tehetetlenségi nyomatéka van. A tengelyirányú tehetetlenségi nyomaték szélső értékeit a következő képlet határozza meg:

2. fejezet Az anyagok szilárdságának alapfogalmai. Célok és módszerek.

Különböző szerkezetek tervezésekor meg kell oldani a szilárdság, a merevség és a stabilitás különböző kérdéseit.

Erő– az adott test azon képessége, hogy roncsolás nélkül ellenálljon a különféle terheléseknek.

Merevség– a szerkezet nagy alakváltozások (elmozdulások) nélküli terhelésfelvételi képessége. Az előzetesen megengedett alakváltozási értékeket az építési szabályzatok és előírások (SNIP) szabályozzák.

Fenntarthatóság

Tekintsük egy rugalmas rúd összenyomását

Ha a terhelést fokozatosan növeljük, a rúd először lerövidül. Amikor az F erő elér egy bizonyos kritikus értéket, a rúd meghajlik. - abszolút rövidítés.

Ebben az esetben a rúd nem esik össze, hanem élesen megváltoztatja alakját. Ezt a jelenséget a stabilitás elvesztésének nevezik, és pusztuláshoz vezet.

Sopromat– ezek a mérnöki szerkezetek szilárdságával, merevségével és stabilitásával kapcsolatos tudományok alapjai. A szilárdsági anyagok az elméleti mechanika, fizika és matematika módszereit használják. Az elméleti mechanikától eltérően a szilárdsági ellenállás figyelembe veszi a testek méretének és alakjának változásait a terhelés és a hőmérséklet hatására.

Legyen z Val vel, y s– a szelvények központi tengelyei, – a szakasz tehetetlenségi nyomatékai ezekhez a tengelyekhez képest. Határozzuk meg a szakasz tehetetlenségi nyomatékait az új tengelyekhez viszonyítva z 1, 1-kor, párhuzamosak a központi tengelyekkel, és azokhoz képest távolságokkal eltolva aÉs d. Hadd dA– elemi terület egy pont közelében M koordinátákkal yÉs z a központi koordinátarendszerben. ábrából 4.3 világos, hogy a C pont koordinátái az új koordinátarendszerben egyenlőek lesznek, .

Határozzuk meg a szakasz tehetetlenségi nyomatékát az y tengelyhez képest 1 :

4.3

z c

y c

z 1

y 1

d

a

C

Nyilvánvalóan az első integrál megadja, a második - mivel az eredeti koordinátarendszer központi, a harmadik pedig - a keresztmetszeti területet A.

És így,

Hasonlóképpen

A szakasz tehetetlenségi nyomatékainak megváltoztatása a tengelyek forgatásakor

Keressük meg az összefüggést a tengelyekre vonatkozó tehetetlenségi nyomatékok között y, zés a tehetetlenségi nyomatékok a tengelyekkel kapcsolatban y 1, z 1, szögben elforgatva a. Hadd Jy> J zés pozitív szög a tengelytől mérve yóramutató járásával ellentétes irányban. Legyen a pont koordinátái M kanyar előtt - y, z, fordulás után - y 1, z 1(4.4. ábra).

Az ábrából ez következik:

Most határozzuk meg a tengelyekre vonatkozó tehetetlenségi nyomatékokat y 1És z 1:

Rizs. 4.4

M

z

z 1

y 1

y

a

y

y 1

z 1

z

. (4.13)

Hasonlóképpen:

A (4.13) és (4.14) egyenleteket tagonként összeadva a következőt kapjuk:

azok. a tehetetlenségi nyomatékok összege bármely egymásra merőleges tengely körül állandó marad, és nem változik a koordinátarendszer elforgatásakor.

Fő tehetetlenségi tengelyek és fő tehetetlenségi nyomatékok

A tengelyek forgásszögének változtatásával a Mindegyik mennyiség változik, de összegük változatlan marad. Ezért van egy ilyen jelentés

a = a 0, amelynél a tehetetlenségi nyomatékok elérik a szélső értéket, azaz. az egyik eléri a maximumát, a másik pedig a minimumát. Az érték megtalálásához a 0 vegye a (vagy) első deriváltját, és egyenlő legyen nullával:

Mutassuk meg, hogy a kapott tengelyekhez viszonyítva a centrifugális tehetetlenségi nyomaték egyenlő nullával. Ehhez a (4.15) egyenlet jobb oldalát nullával egyenlővé tesszük: , honnan, azaz. ugyanazt a képletet kapta a 0 .

Azokat a tengelyeket, amelyeken a centrifugális tehetetlenségi nyomaték nulla, a tengelyirányú tehetetlenségi nyomatékok pedig szélsőséges értéket vesznek fel, főtengelyeknek nevezzük. Ha ezek a tengelyek is központiak, akkor ezeket fő központi tengelyeknek nevezzük. A főtengelyekre vonatkozó tengelyirányú tehetetlenségi nyomatékokat főtehetetlenségi nyomatékoknak nevezzük.

Jelöljük a főtengelyeket y 0És z 0. Akkor

Ha egy szakasznak van szimmetriatengelye, akkor ez a tengely mindig a szakasz egyik fő központi tehetetlenségi tengelye.

Hasonló cikkek