A cikk ismerteti a lineáris algebra alapjait: a lineáris teret, tulajdonságait, a bázis fogalmát, a tér méreteit, a lineáris testet, a lineáris terek kapcsolatát és a mátrixok rangját.

Lineáris tér

Egy csomó L hívott lineáris tér, ha minden elemére a két elem összeadásának és egy elem számmal való szorzásának műveletei kielégítik én csoport Weyl axiómái. A lineáris tér elemeit ún vektorok. Ez egy teljes definíció; rövidebben azt mondhatjuk, hogy a lineáris tér olyan elemek halmaza, amelyekre két elem összeadásának és egy elem számmal való szorzásának műveletei vannak meghatározva.

Weyl axiómái.

Hermann Weil azt javasolta, hogy a geometriában kétféle objektumunk van ( vektorok és pontok), amelynek tulajdonságait a következő axiómák írják le, amelyek a szakasz alapját képezték lineáris algebra. Az axiómákat célszerű 3 csoportra osztani.

I. csoport

1. bármely x és y vektorra teljesül az x+y=y+x egyenlőség;
2. bármely x, y és z vektorra teljesül az x+(y+z)=(x+y)+z egyenlőség;
3. van olyan o vektor, amelyre bármely x vektorra teljesül az x+o=x egyenlőség;
4. bármely vektorhoz x van egy (-x) vektor, amelyre x+(-x)=o;
5. bármely vektorhoz x az 1x=x egyenlőség fennáll;
6. bármilyen vektorhoz xÉs nál nélés tetszőleges λ szám a λ( x+nál nél)=λ x+λ nál nél;
7. bármely vektorhoz xés bármely λ és μ számra érvényes az egyenlőség (λ+μ) x=λ x+μ x;
8. bármely vektorhoz xés bármely λ és μ szám a λ(μ x)=(λμ) x;

csoport II

Az I. csoport határozza meg a fogalmat vektorok lineáris kombinációja, lineáris függés és lineáris függetlenség. Ez lehetővé teszi további két axióma megfogalmazását:

1. van n lineárisan független vektor;
2. bármely (n+1) vektor lineárisan függő.

Planimetriára n=2, sztereometriára n=3.

csoport III

Ez a csoport feltételezi, hogy létezik egy skaláris szorzási művelet, amely hozzárendel egy vektorpárt xÉs nál nél szám ( x,y). Ahol:

1. bármilyen vektorhoz xÉs nál nél az egyenlőség érvényesül ( x,y)=(y, x);
2. bármilyen vektorhoz x , nál nélÉs z az egyenlőség érvényesül ( x+y,z)=(x,z)+(y,z);
3. bármilyen vektorhoz xÉs nál nélés bármely λ szám a (λ x,y)=λ( x,y);
4. bármely x vektorra érvényes az egyenlőtlenség ( x, x)≥0 és ( x, x)=0 akkor és csak akkor x=0.

A lineáris tér tulajdonságai

A lineáris tér legtöbb tulajdonsága Weyl axiómáin alapul:

1. Vektor O, amelynek létezését az Axióma 3 garantálja, egyedi módon határozza meg;
2. vektor (- x), amelynek létezését az Axióma 4 garantálja, egyedi módon határozza meg;
3. Bármely két vektorra AÉs b térhez tartozó L, csak egy vektor van x, szintén a térhez tartozó L, ami az egyenlet megoldása a+x=bés vektorkülönbségnek nevezzük b-a.

Meghatározás. Részhalmaz L' lineáris tér L hívott lineáris altér hely L, ha maga egy lineáris tér, amelyben a vektorok összege, valamint egy vektor és egy szám szorzata ugyanúgy definiálva van, mint L.

Meghatározás. Lineáris héj L(x1, x2, x3, …, xk) vektorok x1, x2, x3,És xk e vektorok összes lineáris kombinációjának halmazának nevezzük. A lineáris héjról azt mondhatjuk

-a lineáris span egy lineáris altér;

– a lineáris hajótest a vektorokat tartalmazó minimális lineáris altér x1, x2, x3,És xk.

Meghatározás. Egy lineáris teret n-dimenziósnak nevezünk, ha kielégíti a Weyl axiómarendszer II. csoportját. Az n számot hívják dimenzió lineáris tér és írás dimL=n.

Alap– bármely megrendelt rendszer n lineárisan független térvektorok. A bázis jelentése az, hogy a bázist alkotó vektorokkal a tér bármely vektorát leírhatjuk.

Tétel. Bármely n lineárisan független vektor az L térben bázist képez.

Izomorfizmus.

Meghatározás. Lineáris terek LÉs L' izomorfnak nevezzük, ha elemeik között ilyen egy az egyhez megfeleltetés állapítható meg x↔x', Mit:

1. Ha x↔x', y↔y', Azt x+y↔x’+y’;
2. Ha x↔x', majd λ x↔λ X'.

Ezt a levelezést magát az ún izomorfizmus. Az izomorfizmus lehetővé teszi, hogy a következő állításokat tegyük:

• ha két tér izomorf, akkor a méretük egyenlő;
• tetszőleges két lineáris tér ugyanazon a téren és azonos méretben izomorf.

Vektor(vagy lineáris) hely- matematikai struktúra, amely vektoroknak nevezett elemek halmaza, amelyekre az egymással való összeadás és a számmal való szorzás műveletei vannak definiálva - skalár. Ezekre a műveletekre nyolc axióma vonatkozik. A skalárok lehetnek valós, összetett vagy bármilyen más számmező elemei. Egy ilyen tér speciális esete a közönséges háromdimenziós euklideszi tér, amelynek vektorait például fizikai erők ábrázolására használják. Megjegyzendő, hogy egy vektort, mint a vektortér elemét, nem feltétlenül kell irányított szegmens formájában megadni. A „vektor” fogalmának általánosítása egy tetszőleges természetű vektortér elemére nemcsak hogy nem okoz zavart a kifejezésekben, hanem lehetővé teszi számos olyan eredmény megértését vagy akár előrejelzését is, amelyek tetszőleges természetű terekre érvényesek.

A vektorterek a lineáris algebra tárgyát képezik. A vektortér egyik fő jellemzője a mérete. A dimenzió a tér lineárisan független elemeinek maximális számát jelenti, vagyis durva geometriai értelmezéshez folyamodva az egymáson csak az összeadás és a skalárral való szorzás műveletei által nem kifejezhető irányok száma. A vektortér felruházható további struktúrákkal, például normával vagy belső szorzattal. Az ilyen terek természetesen megjelennek a matematikai elemzésben, elsősorban végtelen dimenziós függvényterek formájában (Angol), ahol a függvények a vektorok. Számos elemzési probléma megköveteli annak megállapítását, hogy egy vektorsorozat konvergál-e egy adott vektorhoz. Az ilyen kérdések megfontolása további szerkezetű vektorterekben lehetséges, a legtöbb esetben megfelelő topológiával, amely lehetővé teszi a közelség és a folytonosság fogalmának definiálását. Az ilyen topológiai vektorterek, különösen a Banach és Hilbert terek mélyebb tanulmányozást tesznek lehetővé.

Az első művek, amelyek a vektortér fogalmának bevezetését várták, a 17. századból származnak. Ekkor kezdett kialakulni az analitikus geometria, a mátrixok tana, a lineáris egyenletrendszerek és az euklideszi vektorok.

Meghatározás

Lineáris vagy vektor tér V (F) (\displaystyle V\left(F\right)) a mező fölött F (\displaystyle F)- ez egy megrendelt négy (V , F , + , ⋅) (\displaystyle (V,F,+,\cdot)), Ahol

• V (\displaystyle V)- tetszőleges természetű elemek nem üres halmaza, amelyek ún vektorok;
• F (\displaystyle F)- olyan mező, amelynek elemeit hívjuk skalárok;
• Művelet meghatározott kiegészítés vektorok V × V → V (\displaystyle V\time V\to V), amely minden elempárt társít x , y (\displaystyle \mathbf (x) ,\mathbf (y)) készletek V (\displaystyle V) V (\displaystyle V) hívta őket összegés kijelölték x + y (\displaystyle \mathbf (x) +\mathbf (y) );
• Művelet meghatározott vektorokat skalárokkal szorozva F × V → V (\displaystyle F\times V\to V), minden elemhez illeszkedve λ (\displaystyle \lambda) mezőket F (\displaystyle F)és minden egyes elemet x (\displaystyle \mathbf (x) ) készletek V (\displaystyle V) a készlet egyetlen eleme V (\displaystyle V), jelölve λ ⋅ x (\displaystyle \lambda \cdot \mathbf (x) ) vagy λ x (\displaystyle \lambda \mathbf (x) );

Az ugyanazon az elemkészleten, de különböző mezők felett meghatározott vektorterek különböző vektorterek lesznek (például valós számpárok halmaza R 2 (\displaystyle \mathbb (R) ^(2)) lehet kétdimenziós vektortér a valós számok mezője felett vagy egydimenziós - a komplex számok mezője felett).

A legegyszerűbb tulajdonságok

1. A vektortér egy összeadás alatt álló Abel-csoport.
2. Semleges elem 0 ∈ V (\displaystyle \mathbf (0) \in V)
3. 0 ⋅ x = 0 (\displaystyle 0\cdot \mathbf (x) =\mathbf (0)) bárkinek .
4. Bárkinek x ∈ V (\displaystyle \mathbf (x) \in V) ellentétes elem − x ∈ V (\displaystyle -\mathbf (x) \in V) az egyetlen dolog, ami a csoport tulajdonságaiból következik.
5. 1 ⋅ x = x (\displaystyle 1\cdot \mathbf (x) =\mathbf (x) ) bárkinek x ∈ V (\displaystyle \mathbf (x) \in V).
6. (− α) ⋅ x = α ⋅ (− x) = − (α x) (\displaystyle (-\alpha)\cdot \mathbf (x) =\alpha \cdot (-\mathbf (x))=-( \alpha \mathbf (x))) bármely és x ∈ V (\displaystyle \mathbf (x) \in V).
7. α ⋅ 0 = 0 (\displaystyle \alpha \cdot \mathbf (0) =\mathbf (0)) bárkinek α ∈ F (\displaystyle \alpha \in F).

Kapcsolódó definíciók és tulajdonságok

Altér

Algebrai definíció: Lineáris altér vagy vektor altér- nem üres részhalmaz K (\displaystyle K) lineáris tér V (\displaystyle V) oly módon, hogy K (\displaystyle K) pontban meghatározottakhoz képest maga egy lineáris tér V (\displaystyle V) skalárral való összeadás és szorzás műveletei. Az összes alterek halmazát általában így jelölik L a t (V) (\displaystyle \mathrm (Lat) (V)). Ahhoz, hogy egy részhalmaz altér legyen, az szükséges és elegendő

Az utolsó két állítás egyenértékű a következőkkel:

Minden vektorhoz x , y ∈ K (\displaystyle \mathbf (x) ,\mathbf (y) \in K) vektor α x + β y (\displaystyle \alpha \mathbf (x) +\beta \mathbf (y) ) is tartozott K (\displaystyle K) bármilyen α , β ∈ F (\displaystyle \alpha ,\beta \in F).

Konkrétan egy csak egy nulla vektorból álló vektortér bármely tér altere; minden tér önmaga altere. Azokat az altereket, amelyek nem esnek egybe ezzel a kettővel, ún saját vagy nem triviális.

Az alterek tulajdonságai

Lineáris kombinációk

Az űrlap végső összege

α 1 x 1 + α 2 x 2 + … + α n x n (\displaystyle \alpha _(1)\mathbf (x) _(1)+\alpha _(2)\mathbf (x) _(2)+\ ldots +\alpha _(n)\mathbf (x) _(n))

A lineáris kombináció neve:

Alap. Dimenzió

Vektorok x 1 , x 2 , … , x n (\displaystyle \mathbf (x) _(1),\mathbf (x) _(2),\ldots ,\mathbf (x) _(n)) hívják lineárisan függő, ha van köztük egy nem triviális lineáris kombináció, amelynek értéke nullával egyenlő; vagyis

α 1 x 1 + α 2 x 2 + … + α n x n = 0 (\displaystyle \alpha _(1)\mathbf (x) _(1)+\alpha _(2)\mathbf (x) _(2) +\ldots +\alpha _(n)\mathbf (x) _(n)=\mathbf (0) )

bizonyos együtthatókkal α 1 , α 2 , … , α n ∈ F , (\displaystyle \alpha _(1),\alpha _(2),\ldots ,\alpha _(n)\in F,)és legalább az egyik együttható α i (\displaystyle \alpha _(i)) különbözik a nullától.

Egyébként ezeket a vektorokat nevezzük lineárisan független.

Ez a definíció a következő általánosítást teszi lehetővé: vektorok végtelen halmaza V (\displaystyle V) hívott lineárisan függő, ha néhány lineárisan függő végső annak egy részhalmaza, és lineárisan független, ha van belőle végső a részhalmaz lineárisan független.

Az alap tulajdonságai:

x = α 1 x 1 + α 2 x 2 + … + α n x n (\displaystyle \mathbf (x) =\alpha _(1)\mathbf (x) _(1)+\alpha _(2)\mathbf ( x) _(2)+\ldots +\alpha _(n)\mathbf (x) _(n)).

Lineáris héj

Lineáris héj részhalmazok X (\displaystyle X) lineáris tér V (\displaystyle V)- az összes altér metszéspontja V (\displaystyle V) tartalmazó X (\displaystyle X).

A lineáris fesztáv egy altér V (\displaystyle V).

Lineáris héjnak is nevezik altér generált X (\displaystyle X). Azt is mondják, hogy a lineáris héj V (X) (\displaystyle (\mathcal (V)) (X))- hely, átnyúlt Egy csomó X (\displaystyle X).

1. Polinomok halmaza P n (x) fok nem magasabb n.

2. Egy csomó n-tag sorozatok (tagonkénti összeadással és skalárral való szorzással).

3 . Sok funkció C [ A , b ] folyamatos a [ A, b] és pontszerű összeadással és skalárral való szorzással.

4. Számos funkció a [ A, b] és valami rögzített belső ponton eltűnik c: f (c) = 0 és pontszerű összeadás és skalárral való szorzás műveleteivel.

5. Állítsa be az R+-t, ha x ⊕ y  x  y, ⊙x x  .

§8. Az altér meghatározása

Hagyja a készletet W a lineáris tér egy részhalmaza V (W  V) és ilyenek

a)  x, yW  x ⊕ yW;

b)  xW,    ⊙ xW.

Az összeadás és szorzás műveletei itt ugyanazok, mint a térben V(térindukáltnak nevezik őket V).

Sok W a tér alterének nevezzük V.

7  . Altér W maga a tér.

◀ Ennek bizonyításához elegendő egy semleges elem létezését és annak ellentétét bizonyítani. 0⊙ egyenletek x=  és (–1)⊙ x = –x bizonyítsd be, ami szükséges.

Csak egy semleges elemből () és magával a térrel egybeeső altérből álló altér V, a tér triviális altereinek nevezzük V.

9. §. Vektorok lineáris kombinációja. A vektorrendszer lineáris terjedelme

Hagyjuk a vektorokat e 1 ,e 2 , …e n Vés  1,  2 , …  n .

Vektor x =  1 e 1 +  2 e 2 + … +  n e n = lineárisnak nevezzük vektorok kombinációja e 1 , e 2 , … , e n együtthatókkal  1,  2 , …  n .

Ha egy lineáris kombinációban minden együttható nulla, akkor a lineáris kombináció hívott jelentéktelen.

Az összes lehetséges lineáris vektorkombináció halmaza
lineáris hajótestnek nevezik ezt a vektorrendszert és jelölése:

ℒ(e 1 , e 2 , …, e n) = ℒ
.

8  . ℒ(e 1 , e 2 , …, e n

◀ Az összeadás és a skalárral való szorzás helyessége abból következik, hogy ℒ( e 1 , e 2 , …, e n) az összes lehetséges lineáris kombináció halmaza. A semleges elem egy triviális lineáris kombináció. Elemhez x=
az ellenkezője az elem - x =
. Az axiómák is teljesülnek, amelyeket a műveleteknek teljesíteniük kell. Így ℒ( e 1 , e 2 , …, e n) egy lineáris tér.

Bármely lineáris tér általános esetben végtelen számú egyéb lineáris teret (alteret) tartalmaz - lineáris héjakat

A jövőben az alábbi kérdésekre próbálunk választ adni:

Mikor állnak a különböző vektorrendszerek lineáris héjai azonos vektorokból (vagyis esnek egybe)?

2) Mennyi vektorok minimális száma határozza meg ugyanazt a lineáris tartományt?

3) Az eredeti tér valamely vektorrendszer lineáris fesztávja?

10. §. Komplett vektorrendszerek

Ha az űrben V véges vektorhalmaz létezik
hát mi van,ℒ
 V, akkor a vektorok rendszere
teljes rendszernek nevezzük V, és a teret véges dimenziósnak nevezzük. Így a vektorok rendszere e 1 , e 2 , …, e n V teljesnek nevezik V rendszer, azaz Ha

xV   1 ,  2 , …  n olyan, hogy x =  1 e 1 +  2 e 2 + … +  n e n .

Ha az űrben V nincs véges teljes rendszer (és egy teljes rendszer mindig létezik - például a tér összes vektorának halmaza V), majd a szóköz V végtelen dimenziósnak nevezzük.

9  . Ha
tele be V vektorrendszer és y V, Az ( e 1 , e 2 , …, e n , y) is egy teljes rendszer.

◀ Lineáris kombinációkban az előző együttható y vegyük egyenlő 0-val.

Legyen egy vektorrendszer a vektortérből V a mező fölött P.

2. definíció: Lineáris héj L rendszerek A a rendszer összes lineáris vektorkombinációjának halmaza A. Kijelölés L(A).

Bármely két rendszerre kimutatható AÉs B,

A keresztül lineárisan kifejezve B ha, és csak akkor ha . (1)

A egyenértékű B akkor és csak akkor L(A)=L(B). (2)

A bizonyítás az előző tulajdonságból következik

3 Bármely vektorrendszer lineáris fesztávja a tér altere V.

Bizonyíték

Vegyünk bármelyik két vektort és -ból L(A), amelynek vektorai a következő kiterjesztéssel rendelkeznek A: . Ellenőrizzük a kritérium 1) és 2) feltételének megvalósíthatóságát:

Mivel rendszervektorok lineáris kombinációja A.

Mivel ez is rendszervektorok lineáris kombinációja A.

Nézzük most a mátrixot. Mátrixsorok lineáris fesztávja A a mátrix sorterének nevezzük és jelöljük Lr(A). Mátrixoszlopok lineáris fesztávja A oszloptérnek nevezzük és jelöljük Lc(A). Kérjük, vegye figyelembe, hogy amikor a sor és oszlop tér a mátrix A különböző aritmetikai terek alterei P nÉs Délután illetőleg. A (2) állítás felhasználásával a következő következtetésre juthatunk:

3. tétel: Ha az egyik mátrixot elemi transzformációk láncolatával kapjuk meg a másiktól, akkor az ilyen mátrixok sorterei egybeesnek.

Alterek összege és metszéspontja

Hadd LÉs M- a tér két altere R.

Összeg L+M vektorok halmazának nevezzük x+y , Ahol x ∈LÉs y ∈M. Nyilvánvaló, hogy a vektorok bármely lineáris kombinációja L+M tartozik L+M, ennélfogva L+M a tér altere R(egybeeshet a szóközzel R).

Átkelés útján L∩M alterek LÉs M azoknak a vektoroknak a halmaza, amelyek egyidejűleg alterekhez tartoznak LÉs M(csak nulla vektorból állhat).

6.1. Tétel. Tetszőleges alterek dimenzióinak összege LÉs M véges dimenziós lineáris tér R egyenlő ezen alterek összegének méretével és ezen alterek metszéspontjának dimenziójával:

dim L+dim M=dim(L+M)+dim(L∩M).

Bizonyíték. Jelöljük F=L+MÉs G=L∩M. Hadd G g-dimenziós altér. Válasszunk benne alapot. Mert G⊂LÉs G⊂M, tehát alap G hozzá lehet adni az alaphoz Lés a bázisra M. Legyen az altér alapja Lés legyen az altér alapja M. Mutassuk meg, hogy a vektorok

(6.1) képezik az alapot F=L+M. Ahhoz, hogy a (6.1) vektorok képezzék a tér alapját F lineárisan függetlennek kell lenniük és tetszőleges térvektornak kell lenniük F vektorok lineáris kombinációjával ábrázolható (6.1).

Igazoljuk a vektorok lineáris függetlenségét (6.1). Legyen a tér nulla vektora F vektorok lineáris kombinációja (6.1) ábrázolja néhány együtthatóval:

A (6.3) bal oldala az altérvektor L, a jobb oldal pedig az altérvektor M. Ezért a vektor

(6.4) az altérhez tartozik G=L∩M. Másrészt a vektor v az altér bázisvektorainak lineáris kombinációjával ábrázolható G:

(6.5) A (6.4) és (6.5) egyenletekből a következőket kapjuk:

De a vektorok az altér alapjai M, ezért lineárisan függetlenek és . Ekkor a (6.2) a következőképpen alakul:

Az altér bázisának lineáris függetlensége miatt L nekünk van:

Mivel a (6.2) egyenletben szereplő összes együttható nulla, ezért a vektorok

lineárisan független. De bármilyen vektor z tól től F(az alterek összegének meghatározása szerint) az összeggel ábrázolható x+y , Ahol x ∈ L,y ∈ M. Viszont x vektorok lineáris kombinációja ábrázolja a y - vektorok lineáris kombinációja. Ezért a (6.10) vektorokból származik az altér F. Azt találtuk, hogy a (6.10) vektorok bázist alkotnak F=L+M.

Szubtéri bázisok tanulmányozása LÉs Més szubtér alapon F=L+M(6.10), a következőkkel rendelkezünk: dim L=g+l, dim M=g+m, dim (L+M)=g+l+m. Ennélfogva:

dim L+dim M−dim(L∩M)=dim(L+M). ■

Az alterek közvetlen összege

Meghatározás 6.2. Hely F az alterek közvetlen összegét jelenti LÉs M, ha minden vektor x hely F csak összegként ábrázolható x=y+z , Ahol y ∈L és z ∈M.

A közvetlen összeg fel van tüntetve L⊕M. Azt mondják, ha F=L⊕M, Azt F altereinek közvetlen összegére bomlik LÉs M.

6.2. Tétel. Azért, hogy n-dimenziós tér R alterek közvetlen összege volt LÉs M, elég a kereszteződéshez LÉs M csak a nulla elemet tartalmazza, és az R dimenzió egyenlő az alterek dimenzióinak összegével LÉs M.

Bizonyíték. Válasszunk egy bázist az L altérben és néhány bázist az M altérben. Bizonyítsuk be

(6.11) a tér alapja R. A tétel feltételei szerint a tér dimenziója Rn egyenlő az alterek összegével LÉs M (n=l+m). Elég bebizonyítani az elemek lineáris függetlenségét (6.11). Legyen a tér nulla vektora R vektorok lineáris kombinációja (6.11) ábrázolja néhány együtthatóval:

(6.13) Mivel a (6.13) bal oldala az altér vektora L, a jobb oldal pedig az altérvektor MÉs L∩M=0 , Azt

(6.14) De a vektorok az alterek alapjai LÉs M illetőleg. Ezért lineárisan függetlenek. Akkor

(6.15) Megállapítottuk, hogy (6.12) csak a (6.15) feltétel mellett érvényes, és ez bizonyítja a (6.11) vektorok lineáris függetlenségét. Ezért ezek képezik alapot R.

Legyen x∈R. Bővítsük ki a (6.11) alap szerint:

(6.16) A (6.16)-tól kezdve:

(6.18)A (6.17)-ből és (6.18)-ból az következik, hogy bármely vektor R vektorok összegeként ábrázolható x 1 ∈LÉs x 2 ∈M. Be kell bizonyítani, hogy ez az ábrázolás egyedülálló. Legyen a (6.17) ábrázoláson kívül a következő ábrázolás:

(6.19) Ha (6.17)-ből kivonjuk (6.19)-et, megkapjuk

(6.20) óta, és L∩M=0 , majd és . Ezért és. ■

8.4. Tétel az alterek összegének dimenziójáról. Ha és egy véges dimenziós lineáris tér alterei, akkor az alterek összegének dimenziója megegyezik a metszéspontjuk dimenziója nélküli méreteinek összegével ( Grassmann képlete):

(8.13)

Valójában legyen a kereszteződés alapja. Egészítsük ki egy rendezett vektorkészlettel az altér bázisáig és egy rendezett vektorhalmazzal az altér bázisáig. Egy ilyen összeadás a 8.2 Tétel szerint lehetséges. Ebből a három vektorhalmazból hozzunk létre egy rendezett vektorhalmazt. Mutassuk meg, hogy ezek a vektorok a tér generátorai. Valójában ennek a térnek bármely vektora egy rendezett halmazból származó vektorok lineáris kombinációjaként jelenik meg

Ennélfogva, . Bizonyítsuk be, hogy a generátorok lineárisan függetlenek, ezért a tér alapját képezik. Valóban, készítsünk lineáris kombinációt ezekből a vektorokból, és jelöljük meg a nulla vektorral: . Ennek a bővítésnek az összes együtthatója nulla: egy bilineáris alakú vektortér alterei az összes vektorra merőleges vektorok halmaza -ból. Ez a halmaz egy vektoraltér, amelyet általában jelölnek.

Legyen egy vektorrendszer -ból. Lineáris héj vektorrendszerek egy adott rendszer összes lineáris vektorkombinációjának halmaza, azaz.

Lineáris héj tulajdonságai: Ha , akkor és esetén.

A lineáris shellnek az a tulajdonsága, hogy a lineáris műveletek (összeadás és számmal való szorzás műveletei) tekintetében zárt.

A tér azon részhalmazát, amely zárt tulajdonsággal rendelkezik a számokkal való összeadás és szorzás műveletei tekintetében, az ún.a tér lineáris altere .

A vektorrendszer lineáris héja a tér lineáris altere.

A vektorok rendszerét bázisnak nevezzük ,Ha

Bármely vektor kifejezhető bázisvektorok lineáris kombinációjaként:

2. A vektorrendszer lineárisan független.

Lemma vektor tágulási együtthatók alapján egyedileg meghatározottak.

Vektor , amely vektortágulási együtthatókból áll bázis szerint a vektor koordinátavektorának nevezzük az alapban .

Kijelölés . Ez a bejegyzés hangsúlyozza, hogy a vektor koordinátái a bázistól függenek.

Lineáris terek

Definíciók

Legyen megadva tetszőleges természetű elemek halmaza. Legyen két művelet definiálva ennek a halmaznak az elemeire: összeadás és tetszőleges szorzás igazi szám: , és állítsa be zárva ezekkel a műveletekkel kapcsolatban: . Ezek a műveletek engedelmeskedjenek az axiómáknak:

3. Van egy nulla vektor, amelynek tulajdonsága ;

4. mindegyikhez van egy inverz vektor a tulajdonsággal;

6. mert , ;

7. mert , ;

Ekkor egy ilyen halmazt ún lineáris (vektor) tér, elemeit ún vektorok, és - hogy hangsúlyozzuk különbségüket a számoktól - az utóbbiakat hívják skalárok 1) . Egy csak egy nulla vektorból álló teret nevezünk jelentéktelen .

Ha a 6-8 axiómákban megengedjük a komplex skalárokkal való szorzást, akkor egy ilyen lineáris teret ún. átfogó. Érvelésünk leegyszerűsítése érdekében a következőkben csak a valós tereket fogjuk figyelembe venni.

A lineáris tér egy csoport az összeadás művelete szempontjából, és egy Abel-csoport.

A nulla vektor egyedisége és a vektorral inverz egyedisége könnyen bebizonyítható: , általában jelölik.

A lineáris tér azon részhalmazát, amely maga is lineáris tér (vagyis zárt vektorok összeadása és tetszőleges skalárral való szorzás hatására) az ún. lineáris altér hely. Triviális alterek A lineáris teret önmagának és az egy nullavektorból álló teret nevezzük.

Példa. A valós számok rendezett hármasainak tere

az egyenlőségekkel meghatározott műveletek:

A geometriai értelmezés kézenfekvő: az origóhoz „kötött” térbeli vektor a végének koordinátáiban megadható. Az ábrán a tér jellegzetes alterét is láthatjuk: az origón áthaladó síkot. Pontosabban, az elemek olyan vektorok, amelyek origója az origóban van, és a sík pontjaiban végződik. Egy ilyen halmaz zártsága a vektorok összeadása és tágulása tekintetében 2) nyilvánvaló.

E geometriai értelmezés alapján egy tetszőleges lineáris tér vektoráról gyakran úgy beszélnek pont a térben. Néha ezt a pontot a "vektor végének" nevezik. Az asszociatív észlelés kényelmén kívül ezek a szavak semmilyen formális jelentést nem kapnak: a „vektor vége” fogalma hiányzik a lineáris tér axiomatikájából.

Példa. Ugyanezen példa alapján a vektortér eltérő értelmezését adhatjuk (mellesleg a „vektor” szó eredetébe 3) beágyazva) - a térben lévő pontok „eltolódásainak” halmazát határozza meg. Ezeket az eltolásokat – vagy bármely térbeli alak párhuzamos fordítását – úgy választjuk meg, hogy párhuzamosak legyenek a síkkal.

Általánosságban elmondható, hogy a vektor fogalmának ilyen értelmezésével minden nem olyan egyszerű. Megpróbál a fizikai jelentésére hivatkozni – mint olyan tárgyra, amelynek van méretÉs irány- méltányos szemrehányást okozni a szigorú matematikusoktól. A vektor definíciója a vektortér elemeként nagyon emlékeztet a című epizódra sepulchami Stanislaw Lem híres tudományos-fantasztikus történetéből (lásd ☞ ITT). Ne ragaszkodjunk a formalizmushoz, hanem fedezzük fel ezt a homályos tárgyat a maga sajátos megnyilvánulásaiban.

Példa. Természetes általánosítás a tér: sor vagy oszlop vektortér . Az altér megadásának egyik módja a megszorítások megadása.

Példa. Lineáris homogén egyenletrendszer megoldásainak halmaza:

a tér lineáris alterét alkotja. Sőt, ha

A rendszer megoldása tehát

Ugyanaz a megoldás bármelyikhez. Ha

Akkor egy másik megoldás a rendszerre

Ez is az ő döntése lesz.

Miért van sok megoldás a rendszerre? heterogén egyenletek nem alkotnak lineáris alteret?

Példa. Tovább általánosítva tekinthetjük a „végtelen” húrok terét ill sorozatok , általában a matematikai elemzés tárgya - sorozatok és sorozatok figyelembevételekor. A vonalakat (szekvenciákat) „mindkét irányban végtelennek” tekintheti – a JELelméletben használatosak.

Példa. A valós elemű -mátrixok halmaza a mátrixösszeadás és valós számokkal való szorzás műveleteivel lineáris teret alkot.

A négyzetes rendű mátrixok terében két alteret lehet megkülönböztetni: a szimmetrikus mátrixok alterét és a ferde-szimmetrikus mátrixok alterét. Ezenkívül alterek alkotják az egyes halmazokat: felső háromszög alakú, alsó háromszög alakú idiagonális mátrixok.

Példa. Egy változó fokú polinomok halmaza, amely pontosan megegyezik a (ahol a vagy halmazok bármelyike) együtthatóival, a polinomok összeadásának és egy számmal való szorzásának szokásos műveleteivel. nem alakul ki lineáris tér. Miért? - Mivel az összeadás alatt nincs lezárva: a polinomok összege nem lesz harmadfokú polinom. De itt van sok fokszámpolinom nem magasabb

lineáris térformák; csak ehhez a halmazhoz kell hozzáadnunk egy azonos nulla polinomot is 4). A nyilvánvaló alterek a . Ezenkívül az alterek legfeljebb a páros és a páratlan polinomok halmazai lesznek. Az összes lehetséges polinom halmaza (fokkorlátozás nélkül) szintén egy lineáris teret képez.

Példa. Az előző eset általánosítása a több fokozatú változó polinomjainak tere, legfeljebb együtthatókkal. Például a lineáris polinomok halmaza

lineáris teret alkot. A homogén fokszámú polinomok (formák) halmaza (egy azonos nulla polinom hozzáadásával) szintén lineáris tér.

A fenti definíció értelmében az egész komponensű karakterláncok halmaza

az összetevőnkénti összeadás és szorzás műveletei tekintetében figyelembe véve egész számok a skalárok nem lineáris tér. Azonban minden 1-8 axióma teljesül, ha csak egész skalárokkal engedjük meg a szorzást. Ebben a részben nem erre az objektumra koncentrálunk, de a diszkrét matematikában igen hasznos, például a ☞ KÓDOLÁSELMÉLETben. A véges mezők feletti lineáris tereket ☞ ITT veszi figyelembe.

A változók izomorfok a harmadrendű szimmetrikus mátrixok terével. Az izomorfizmust egy megfeleltetéssel állapítjuk meg, amelyet az esetre illusztrálunk:

Az izomorfizmus fogalmát annak érdekében vezetik be, hogy az algebra különböző területein felmerülő, de „hasonló” műveleti tulajdonságokkal rendelkező objektumokat egy minta példáján keresztül lehessen tanulmányozni, azon eredményeket kidolgozni, amelyeket aztán olcsón meg lehet ismételni. Melyik lineáris teret vegyük „mintának”? - Lásd a következő bekezdés végét

Hasonló cikkek