Pojem krivočiarych integrálov a príklady riešení. Integrál s uzavretou slučkou, Greenov vzorec, príklady

Pre prípad, keď doménou integrácie je úsek určitej krivky ležiaci v rovine. Všeobecné označenie čiarového integrálu je nasledovné:

Kde f(X, r) je funkciou dvoch premenných a L- krivka pozdĺž segmentu AB ktorá integrácia prebieha. Ak sa integrand rovná jednej, potom riadkový integrál rovná dĺžke oblúky AB .

Ako vždy v integrálnom počte, čiarový integrál sa chápe ako limit integrálnych súčtov niektorých veľmi malých častí niečoho veľmi veľkého. Čo je zhrnuté v prípade krivočiarych integrálov?

Nech je na rovine segment AB nejaká krivka L a funkciou dvoch premenných f(X, r) definované v bodoch krivky L. S týmto segmentom krivky vykonajte nasledujúci algoritmus.

Delená krivka AB na časti s bodkami (obrázky nižšie).
Voľne vyberte bod v každej časti M.
Nájdite hodnotu funkcie vo vybraných bodoch.
Hodnoty funkcie sa vynásobia
- dĺžky dielov v puzdre krivočiary integrál prvého druhu ;
- priemety dielov na súradnicovú os v prípade krivočiary integrál druhého druhu .
Nájdite súčet všetkých produktov.
Nájdite limit nájdeného integrálneho súčtu za predpokladu, že dĺžka najdlhšej časti krivky má tendenciu k nule.

Ak existuje spomínaná hranica, tak toto limita integrálneho súčtu a nazýva sa krivočiary integrál funkcie f(X, r) pozdĺž krivky AB .

prvý druh

Prípad krivočiareho integrálu
druhý druh

Uveďme si nasledujúci zápis.

Mja( ζ i; η i)- bod so súradnicami vybranými na každom mieste.

fja( ζ i; η i)- funkčná hodnota f(X, r) vo vybranom bode.

Δ si- dĺžka časti časti krivky (v prípade krivočiareho integrálu prvého druhu).

Δ Xi- priemet časti oblúkového segmentu na os Vôl(v prípade krivočiareho integrálu druhého druhu).

d= maxΔ s i- dĺžka najdlhšej časti oblúka.

Krivkové integrály prvého druhu

Na základe vyššie uvedeného o limite integrálnych súčtov je riadkový integrál prvého druhu napísaný takto:

Krivkový integrál prvého druhu má všetky vlastnosti, ktoré má určitý integrál. Je tu však jeden dôležitý rozdiel. Pre určitý integrál, keď sú hranice integrácie prehodené, znamienko sa zmení na opačné:

V prípade krivočiareho integrálu prvého druhu nezáleží na tom, ktorý bod krivky AB (A alebo B) sa považuje za začiatok segmentu a ktorý z nich je koniec, tj

Krivkové integrály druhého druhu

Na základe toho, čo bolo povedané o limite integrálnych súčtov, je krivočiary integrál druhého druhu napísaný takto:

V prípade krivočiareho integrálu druhého druhu, keď sa prehodí začiatok a koniec segmentu krivky, znamienko integrálu sa zmení:

Pri zostavovaní integrálneho súčtu krivočiareho integrálu druhého druhu, hodnoty funkcie fja( ζ i; η i) môže byť tiež vynásobená projekciou častí krivkového segmentu na os Oj. Potom dostaneme integrál

V praxi sa zvyčajne používa spojenie krivočiarych integrálov druhého druhu, teda dvoch funkcií f = P(X, r) A f = Q(X, r) a integrály

a súčet týchto integrálov

volal všeobecný krivočiary integrál druhého druhu .

Výpočet krivočiarych integrálov prvého druhu

Výpočet krivočiarych integrálov prvého druhu sa redukuje na výpočet určitých integrálov. Uvažujme o dvoch prípadoch.

Nech je na rovine daná krivka r = r(X) a segment krivky AB zodpovedá zmene premennej X od a predtým b. Potom v bodoch krivky integrandová funkcia f(X, r) = f(X, r(X)) ("Y" musí byť vyjadrené pomocou "X") a diferenciálom oblúka a čiarový integrál možno vypočítať pomocou vzorca

Ak sa integrál ľahšie integruje r, potom z rovnice krivky potrebujeme vyjadriť X = X(r) („x“ až „y“), kde pomocou vzorca vypočítame integrál

Príklad 1

Kde AB- priamka medzi bodmi A(1; -1) a B(2; 1) .

Riešenie. Zostavme rovnicu priamky AB pomocou vzorca (rovnica priamky prechádzajúcej cez dva dané body A(X1 ; r 1 ) A B(X2 ; r 2 ) ):

Z priamkovej rovnice vyjadríme r cez X :

Potom a teraz môžeme vypočítať integrál, pretože nám zostali iba „X“:

Nech je daná krivka v priestore

Potom v bodoch krivky musí byť funkcia vyjadrená cez parameter t() a oblúkový diferenciál , preto krivočiary integrál možno vypočítať pomocou vzorca

Podobne, ak je na rovine daná krivka

potom sa krivočiary integrál vypočíta podľa vzorca

Príklad 2 Vypočítajte čiarový integrál

Kde L- časť kruhovej čiary

nachádza v prvom oktante.

Riešenie. Táto krivka je štvrtina kružnice umiestnenej v rovine z= 3. Zodpovedá hodnotám parametrov. Pretože

potom diferenciál oblúka

Vyjadrime funkciu integrandu pomocou parametra t :

Teraz, keď máme všetko vyjadrené cez parameter t, môžeme zredukovať výpočet tohto krivočiareho integrálu na určitý integrál:

Výpočet krivočiarych integrálov druhého druhu

Tak ako v prípade krivočiarych integrálov prvého druhu, aj výpočet integrálov druhého druhu je zredukovaný na výpočet určitých integrálov.

Krivka je uvedená v karteziánskych pravouhlých súradniciach

Nech je krivka v rovine daná rovnicou funkcie „Y“, vyjadrenou pomocou „X“: r = r(X) a oblúkom krivky AB zodpovedá zmene X od a predtým b. Potom do integrandu dosadíme výraz „y“ cez „x“ a určíme diferenciál tohto výrazu „y“ vzhľadom na „x“: . Teraz, keď je všetko vyjadrené ako „x“, čiarový integrál druhého druhu sa vypočíta ako určitý integrál:

Krivkový integrál druhého druhu sa vypočíta podobne, keď je krivka daná rovnicou funkcie „x“ vyjadrenou pomocou „y“: X = X(r) , . V tomto prípade je vzorec na výpočet integrálu nasledujúci:

Príklad 3 Vypočítajte čiarový integrál

, Ak

A) L- rovný segment O.A., Kde O(0; 0) , A(1; −1) ;

b) L- oblúk paraboly r = X² od O(0; 0) až A(1; −1) .

a) Vypočítajme krivočiary integrál na priamke (na obrázku je modrá). Napíšme rovnicu priamky a vyjadrime „Y“ až „X“:

Dostaneme D Y = dx. Riešime tento krivočiary integrál:

b) ak L- oblúk paraboly r = X², dostaneme D Y = 2xdx. Vypočítame integrál:

V práve vyriešenom príklade sme v dvoch prípadoch dostali rovnaký výsledok. A to nie je náhoda, ale výsledok vzoru, pretože tento integrál spĺňa podmienky nasledujúcej vety.

Veta. Ak funkcie P(X,r) , Q(X,r) a ich parciálne deriváty sú v oblasti spojité D funkcií a v bodoch v tejto oblasti sú parciálne derivácie rovnaké, potom krivočiary integrál nezávisí od cesty integrácie pozdĺž priamky L nachádza v oblasti D .

Krivka je daná v parametrickej forme

Nech je daná krivka v priestore

a do integrandov, ktoré nahrádzame

vyjadrenie týchto funkcií prostredníctvom parametra t. Dostaneme vzorec na výpočet krivočiareho integrálu:

Príklad 4. Vypočítajte čiarový integrál

Ak L- časť elipsy

splnenie podmienky r ≥ 0 .

Riešenie. Táto krivka je časťou elipsy umiestnenej v rovine z= 2. Zodpovedá hodnote parametra.

môžeme reprezentovať krivočiary integrál vo forme určitého integrálu a vypočítať ho:

Ak je daný krivkový integrál a L je uzavretá čiara, potom sa takýto integrál nazýva integrál s uzavretou slučkou a jeho použitie je jednoduchšie Greenov vzorec .

Ďalšie príklady výpočtu čiarových integrálov

Príklad 5. Vypočítajte čiarový integrál

Kde L- priamka medzi bodmi jej priesečníka so súradnicovými osami.

Riešenie. Určme priesečníky priamky so súradnicovými osami. Dosadenie priamky do rovnice r= 0, dostaneme ,. Nahrádzanie X= 0, dostaneme ,. Teda priesečník s osou Vôl - A(2; 0), s os Oj - B(0; −3) .

Z priamkovej rovnice vyjadríme r :

, .

Teraz môžeme reprezentovať čiarový integrál ako určitý integrál a začať ho počítať:

V integrande vyberieme faktor a presunieme ho mimo znamienka integrálu. Vo výslednom integrande použijeme prihlásenie k rozdielovému znamienku a nakoniec to dostaneme.

Definícia: Nechajte v každom bode hladkej krivky L=AB v lietadle Oxy daný nepretržitá funkcia dve premenné f(x,y). Krivku si ľubovoľne rozdeľme L na nčasti s bodkami A = M0, Mi, M2, ... Mn = B. Potom na každej z výsledných častí $\bar((M)_(i-1)(M)_(i))$ vyberieme ľubovoľný bod $\bar((M)_(i))\vľavo (\ bar((x)_(i)),\bar((y)_(i))\right)$a urobte súčet $$(S)_(n)=\sum_(i=1) ^(n )f\left(\bar((x)_(i)),\bar((y)_(i))\right)\Delta (l)_(i)$$ kde $\Delta (l) _(i)=(M)_(i-1)(M)_(i)$ - oblúkový oblúk $\bar((M)_(i-1)(M)_(i ))$. Prijatá suma sa volá integrálny súčet prvého druhu pre funkciu f(x,y) , uvedená na krivke L.

Označme podľa d najväčšia z dĺžok oblúka $\bar((M)_(i-1)(M)_(i))$ (teda d = $max_(i)\Delta(l)_(i))\ )). Ak v d? 0 existuje hranica integrálnych súčtov S n (nezávislá od spôsobu rozdelenia krivky L na časti a výberu bodov \(\bar((M)_(i))$), potom sa táto hranica nazýva krivočiary integrál prvého rádu z funkcie f(x,y) pozdĺž krivky L a je označená $$\int_(L)f(x,y)dl$$

Dá sa dokázať, že ak funkcia f(x,y) je spojitý, potom existuje priamkový integrál $\int_(L)f(x,y)dl$.

Vlastnosti krivočiareho integrálu 1. druhu

Krivkový integrál prvého druhu má vlastnosti podobné zodpovedajúcim vlastnostiam určitého integrálu:

aditívnosť,
linearita,
modulové hodnotenie,
teorém o strednej hodnote.

Je tu však rozdiel: $$\int_(AB)f(x,y)dl=\int_(BA)f(x,y)dl$$ t.j. priamkový integrál prvého druhu nezávisí od smeru integrácie.

Výpočet krivočiarych integrálov prvého druhu

Výpočet krivočiareho integrálu prvého druhu je zredukovaný na výpočet určitý integrál. menovite:

Ak je krivka L daná spojito diferencovateľnou funkciou y=y(x), x $\in $ , potom $$(\int\limits_L (f\left((x,y) \right)dl) ) = (\int \limits_a^b (f\left((x,y\left(x \right)) \right)\sqrt (1 + (\left((y"\left(x \right)) \ vpravo))^ 2)) dx) ;)$$ v tomto prípade výraz $dl=\sqrt((1 + (\left((y"\left(x \right)) \right))^2 ))) dx $ nazývaný diferenciál dĺžky oblúka.
Ak je krivka L špecifikovaná parametricky, t.j. v tvare x=x(t), y=y(t), kde x(t), y(t) sú plynule diferencovateľné funkcie na nejakom intervale $\left [ \alpha ,\beta \right ]$, potom $$ (\int\limits_L (f\left((x,y) \right)dl) ) = (\int\limits_\alpha ^\beta (f\left ((x\left(t \right), y \left(t \right)) \right)\sqrt ((\left((x"\left(t \right)) \right))^2) + (\left((y"\left( t \right)) \right))^2)) dt)) $$ Táto rovnosť sa vzťahuje aj na prípad priestorovej krivky L definovanej parametricky: x=x(t), y=y(t), z=z( t), $t\v \ľavom [ \alpha ,\beta \vpravo ]$. V tomto prípade, ak f(x,y,z) je spojitá funkcia pozdĺž krivky L, potom $$ (\int\limits_L (f\left((x,y,z) \right)dl) ) = ( \int \limits_\alpha ^\beta (f\left [ (x\left(t \right),y\left(t \right),z\left(t \right)) \right ]\sqrt ((( \left ((x"\left(t \right)) \right))^2) + (\left((y"\left(t \right)) \right))^2) + ((\left (( z"\left(t \right)) \right))^2)) dt)) $$
Ak je rovinná krivka L daná polárnou rovnicou r=r($\varphi $), $\varphi \in\left [ \alpha ,\beta \right ] $, potom $$ (\int\ limity_L (f\ left((x,y) \right)dl) ) = (\int\limits_\alpha ^\beta (f\left((r\cos \varphi ,r\sin \varphi ) \right)\ sqrt ((r ^2) + (((r)")^2)) d\varphi)) $$

Krivkové integrály 1. druhu - príklady

Príklad 1

Vypočítajte čiarový integrál prvého druhu

$$ \int_(L)\frac(x)(y)dl $$ kde L je oblúk paraboly y 2 =2x, uzavretý medzi bodmi (2,2) a (8,4).

Riešenie: Nájdite diferenciál oblúka dl pre krivku $y=\sqrt(2x)$. Máme:

$(y)"=\frac(1)(\sqrt(2x)) $ $$ dl=\sqrt(1+\left ((y)" \right)^(2)) dx= \sqrt( 1+\left (\frac(1)(\sqrt(2x)) \right)^(2)) dx = \sqrt(1+ \frac(1)(2x)) dx $$ Preto sa tento integrál rovná : $ $\int_(L)\frac(x)(y)dl=\int_(2)^(8)\frac(x)(\sqrt(2x))\sqrt(1+\frac(1)( 2x) )dx= \int_(2)^(8)\frac(x\sqrt(1+2x))(2x)dx= $$ $$ \frac(1)(2)\int_(2)^( 8) \sqrt(1+2x)dx = \frac(1)(2).\frac(1)(3)\vľavo (1+2x \vpravo)^(\frac(3)(2))|_ (2)^(8)= \frac(1)(6)(17\sqrt(17)-5\sqrt(5)) $$

Príklad 2

Vypočítajte krivočiary integrál prvého druhu $\int_(L)\sqrt(x^2+y^2)dl $, kde L je kružnica x 2 +y 2 =ax (a>0).

Riešenie: Zaveďme polárne súradnice: $x = r\cos \varphi $, $y=r\sin \varphi $. Potom, keďže x 2 +y 2 =r 2, rovnica kruhu má tvar: $r^(2)=arcos\varphi $, teda $r=acos\varphi $, a diferenciál oblúka $$ dl = \ sqrt(r^2+(2)"^2)d\varphi = $$ $$ =\sqrt(a^2cos^2\varphi=a^2sin^2\varphi )d \varphi=ad\varphi $$ .

V tomto prípade $\varphi\in \left [- \frac(\pi )(2) ,\frac(\pi )(2) \right ] $. Preto $$ \int_(L)\sqrt(x^2+y^2)dl=a\int_(-\frac(\pi )(2))^(\frac(\pi )(2))acos \varphi d\varphi =2a^2 $$

Teoretické minimum
Krivkové a plošné integrály sa často nachádzajú vo fyzike. Prichádzajú v dvoch typoch, z ktorých prvý je diskutovaný tu. Toto
typ integrálov sa zostrojuje podľa všeobecnej schémy, podľa ktorej určité, dvojité a trojné integrály. V krátkosti si pripomeňme túto schému.
Existuje nejaký objekt, nad ktorým sa vykonáva integrácia (jednorozmerný, dvojrozmerný alebo trojrozmerný). Tento objekt je rozdelený na malé časti,
v každej časti je vybraný bod. V každom z týchto bodov sa vypočíta hodnota integrandu a vynásobí sa mierou časti, ktorá
patrí daný bod(dĺžka segmentu, plocha alebo objem čiastkovej oblasti). Potom sa všetky takéto produkty sčítajú a limit je splnený
prechod k rozbitiu objektu na nekonečne malé časti. Výsledná limita sa nazýva integrál.
1. Definícia krivočiareho integrálu prvého druhu
Uvažujme funkciu definovanú na krivke. Predpokladá sa, že krivka je rektifikovateľná. Pripomeňme si, čo to znamená, zhruba povedané,
že prerušovanú čiaru s ľubovoľne malými článkami možno vpísať do krivky a v hranici nekonečne veľkého počtu článkov musí dĺžka prerušovanej čiary zostať
Konečný. Krivka je rozdelená na čiastkové oblúky dĺžky a na každom z oblúkov je vybraný bod. Zostavuje sa dielo
sčítanie sa vykonáva cez všetky čiastkové oblúky . Potom sa prechod na limit uskutoční s tendenciou dĺžky najväčšej
z čiastočných oblúkov na nulu. Limita je krivočiary integrál prvého druhu
.
Dôležitým znakom tohto integrálu, ktorý priamo vyplýva z jeho definície, je jeho nezávislosť od smeru integrácie, t.j.
.
2. Definícia plošného integrálu prvého druhu
Zvážte funkciu definovanú na hladkom alebo po častiach hladkom povrchu. Plocha je rozdelená na čiastkové plochy
s plochami sa v každej takejto oblasti vyberie bod. Zostavuje sa dielo , vykoná sa súčet
na všetkých čiastkových plochách . Potom sa prechod na limit uskutoční s tendenciou priemeru najväčšieho zo všetkých čiastkových
plochy na nulu. Limita je plošný integrál prvého druhu
.
3. Výpočet krivočiareho integrálu prvého druhu
Spôsob výpočtu krivočiareho integrálu prvého druhu možno vidieť už z jeho formálneho zápisu, ale v skutočnosti priamo vyplýva z
definície. Integrál je zredukovaný na určitý, stačí si zapísať diferenciál oblúka krivky, pozdĺž ktorého sa integrácia vykonáva.
Začnime jednoduchým prípadom integrácie pozdĺž rovinnej krivky danej explicitnou rovnicou. V tomto prípade oblúkový diferenciál
.
Potom sa v integrande vykoná zmena premennej a integrál nadobudne tvar
,
kde segment zodpovedá zmene premennej pozdĺž tej časti krivky, pozdĺž ktorej sa vykonáva integrácia.
Veľmi často sa krivka špecifikuje parametricky, t.j. rovnice formulára Potom oblúkový diferenciál
.
Tento vzorec je veľmi jednoducho opodstatnený. V podstate ide o Pytagorovu vetu. Oblúkový diferenciál je vlastne dĺžka nekonečne malej časti krivky.
Ak je krivka hladká, potom jej nekonečne malú časť možno považovať za priamočiaru. Pre priamku máme vzťah
.
Aby sa to dalo vykonať pre malý oblúk krivky, mali by sme prejsť od konečných prírastkov k diferenciálom:
.
Ak je krivka špecifikovaná parametricky, potom sa rozdiely jednoducho vypočítajú:
atď.
Po zmene premenných v integrande sa teda integrál krivky vypočíta takto:
,
kde časť krivky, pozdĺž ktorej sa vykonáva integrácia, zodpovedá segmentu zmeny parametra.
O niečo zložitejšia situácia je v prípade, keď je krivka špecifikovaná v krivočiarych súradniciach. Táto otázka sa zvyčajne diskutuje v rámci diferenciálu
geometria. Uveďme vzorec na výpočet integrálu pozdĺž krivky uvedenej v polárne súradnice rovnica:
.
Uveďme odôvodnenie pre diferenciál oblúka v polárnych súradniciach. Podrobná diskusia o konštrukcii mriežky polárneho súradnicového systému
cm. Vyberme malý oblúk krivky umiestnený vo vzťahu k súradnicovým čiaram, ako je znázornené na obr. 1. Vzhľadom na maličkosť všetkých uvedených
oblúk opäť môžeme použiť Pytagorovu vetu a napísať:
.
Odtiaľto nasleduje požadovaný výraz pre diferenciál oblúka.
Z čisto teoretického hľadiska je celkom jednoduché pochopiť, že krivočiary integrál prvého druhu musí byť zredukovaný na jeho konkrétny prípad -
k určitému integrálu. Tým, že urobíme zmenu diktovanú parametrizáciou krivky, podľa ktorej sa vypočítava integrál, zistíme
mapovanie jedna ku jednej medzi časťou danej krivky a segmentom zmeny parametra. A to je redukcia na integrál
pozdĺž priamky zhodujúcej sa s súradnicová os- určitý integrál.
4. Výpočet plošného integrálu prvého druhu
Po predchádzajúcom bode by malo byť jasné, že jednou z hlavných častí výpočtu plošného integrálu prvého druhu je zápis plošného prvku,
nad ktorým sa integrácia vykonáva. Opäť začnime s jednoduchým prípadom povrchu definovaného explicitnou rovnicou. Potom
.
V integrande sa vykoná substitúcia a plošný integrál sa zredukuje na dvojnásobok:
,
kde je oblasť roviny, do ktorej sa premieta časť povrchu, nad ktorou sa vykonáva integrácia.
Často je však nemožné definovať povrch explicitnou rovnicou a potom sa definuje parametricky, t.j. rovnice formulára
.
Povrchový prvok je v tomto prípade napísaný zložitejšie:
.
Plošný integrál možno zapísať takto:
,
kde je oblasť zmeny parametrov zodpovedajúca časti povrchu, na ktorej sa vykonáva integrácia.
5. Fyzikálny význam krivočiarych a plošných integrálov prvého druhu
Diskutované integrály majú veľmi jednoduchý a jasný fyzikálny význam. Nech existuje krivka, ktorej lineárna hustota nie je
konštantná a je funkciou bodu . Nájdite hmotnosť tejto krivky. Rozdeľme krivku na mnoho malých prvkov,
v rámci ktorého možno jeho hustotu približne považovať za konštantnú. Ak sa dĺžka malého kúska krivky rovná , potom jej hmotnosť
, kde je ľubovoľný bod vybranej časti krivky (akýkoľvek, pretože hustota je v rámci
tento kus sa približne považuje za konštantný). Hmotnosť celej krivky sa teda získa súčtom hmotností jej jednotlivých častí:
.
Aby sa rovnosť stala presnou, musíme ísť na hranicu rozdelenia krivky na nekonečne malé časti, ale toto je krivočiary integrál prvého druhu.

Otázka celkového náboja krivky sa rieši podobne, ak je známa lineárna hustota náboja .
Tieto argumenty možno ľahko preniesť na prípad nerovnomerne nabitého povrchu s hustotou povrchového náboja . Potom
povrchový náboj je povrchový integrál prvého druhu
.
Poznámka. Ťažkopádny vzorec pre prvok povrchu definovaný parametricky je nepohodlný na zapamätanie. Ďalší výraz sa získa v diferenciálnej geometrii,
využíva tzv najprv kvadratická forma povrchy.
Príklady výpočtu krivočiarych integrálov prvého druhu
Príklad 1 Integrálne pozdĺž línie.
Vypočítajte integrál

pozdĺž úsečky prechádzajúcej cez body a .
Najprv napíšeme rovnicu priamky, pozdĺž ktorej sa integrácia vykonáva: . Nájdeme výraz pre:
.
Vypočítame integrál:
Príklad 2 Integrálne pozdĺž krivky v rovine.
Vypočítajte integrál

pozdĺž oblúka paraboly z bodu do bodu.
Nastavené hodnoty a umožňujú vám vyjadriť premennú z rovnice paraboly: .

Vypočítame integrál:
.
Bolo však možné vykonať výpočty aj iným spôsobom s využitím skutočnosti, že krivka je daná rovnicou vyriešenou vzhľadom na premennú.
Ak vezmeme premennú ako parameter, povedie to k miernej zmene výrazu pre diferenciálny oblúk:
.
Podľa toho sa integrál mierne zmení:
.
Tento integrál sa ľahko vypočíta dosadením premennej pod diferenciál. Výsledkom je rovnaký integrál ako v prvej metóde výpočtu.
Príklad 3 Integrál pozdĺž krivky v rovine (pomocou parametrizácie).
Vypočítajte integrál

pozdĺž hornej polovice kruhu .
Môžete samozrejme vyjadriť jednu z premenných z rovnice kruhu a potom vykonať zvyšok výpočtov štandardným spôsobom. Ale môžete tiež použiť
špecifikácia parametrickej krivky. Ako viete, kruh môže byť definovaný rovnicami. Horný polkruh
zodpovedá zmene parametra v rámci . Vypočítajme oblúkový diferenciál:
.
teda
Príklad 4. Integrál pozdĺž krivky v rovine špecifikovanej v polárnych súradniciach.
Vypočítajte integrál

pozdĺž pravého laloku lemniskátu .

Na obrázku vyššie je znázornený lemniskát. Integrácia sa musí vykonávať pozdĺž jeho pravého laloku. Poďme nájsť oblúkový diferenciál pre krivku :
.
Ďalším krokom je určenie hraníc integrácie cez polárny uhol. Je jasné, že nerovnosť musí byť uspokojená, a preto
.
Vypočítame integrál:
Príklad 5. Integrálne pozdĺž krivky v priestore.
Vypočítajte integrál

pozdĺž závitu špirály zodpovedajúceho limitom zmeny parametrov

1. druhu.

1.1.1. Definícia krivočiareho integrálu 1. druhu

Pustite do lietadla Oxy daná krivka (L). Dovoľte pre ľubovoľný bod krivky (L) definovaná spojitá funkcia f(x;y). Prelomme oblúk AB linky (L) bodky A = P°, P1, Pn = B na nľubovoľné oblúky Pj-1P i s dĺžkami ( i = 1, 2, n) (obr. 27)

Vyberme si na každom oblúku Pj-1P iľubovoľný bod Mi (x i; y i), vypočítajme hodnotu funkcie f(x;y) v bode M i. Urobme integrálny súčet

Nechaj kde.

λ→0 (n→∞), nezávisle od spôsobu rozdelenia krivky ( L)na elementárne časti, ani z výberu bodov M i krivočiary integrál 1. druhu z funkcie f(x;y)(krivočiary integrál pozdĺž dĺžky oblúka) a označujú:

Komentujte. Podobným spôsobom je zavedená aj definícia krivočiareho integrálu funkcie f(x;y;z) pozdĺž priestorovej krivky (L).

Fyzikálny význam krivočiareho integrálu 1. druhu:

Ak (L)- plochá krivka s lineárnou rovinou, potom hmotnosť krivky nájdeme podľa vzorca:

1.1.2. Základné vlastnosti krivočiareho integrálu 1. druhu:

3. Ak je integračná cesta je rozdelená na časti tak, že , a majú jeden spoločný bod, potom .

4. Krivkový integrál 1. druhu nezávisí od smeru integrácie:

5. , kde je dĺžka krivky.

1.1.3. Výpočet krivočiareho integrálu 1. druhu.

Výpočet krivočiareho integrálu sa redukuje na výpočet určitého integrálu.

1. Nechajte krivku (L) je dané rovnicou. Potom

To znamená, že diferenciál oblúka sa vypočíta pomocou vzorca.

Príklad

Vypočítajte hmotnosť priameho segmentu z bodu A(1;1) k veci B(2;4), Ak .

Riešenie

Rovnica priamky prechádzajúcej dvoma bodmi: .

Potom rovnica priamky ( AB): , .

Poďme nájsť derivát.

Potom . = .

2. Nechajte krivku (L)špecifikované parametricky: .

Potom sa pomocou vzorca vypočíta rozdiel oblúka.

Pre priestorový prípad určenia krivky: Potom

To znamená, že diferenciál oblúka sa vypočíta pomocou vzorca.

Príklad

Nájdite dĺžku oblúka krivky, .

Riešenie

Dĺžku oblúka zistíme pomocou vzorca: .

Aby sme to dosiahli, nájdeme diferenciálny oblúk.

Nájdite deriváty , , , Potom dĺžka oblúka: .

3. Nechajte krivku (L)špecifikované v polárnom súradnicovom systéme: . Potom

To znamená, že diferenciál oblúka sa vypočíta pomocou vzorca.

Príklad

Vypočítajte hmotnosť oblúka priamky, 0≤ ≤ ak .

Riešenie

Hmotnosť oblúka nájdeme pomocou vzorca:

Aby sme to urobili, nájdime oblúkový diferenciál.

Poďme nájsť derivát.

1.2. Krivkový integrál 2. druhu

1.2.1. Definícia krivočiareho integrálu 2. druhu

Pustite do lietadla Oxy daná krivka (L). Nechaj tak (L) je daná spojitá funkcia f(x;y). Prelomme oblúk AB linky (L) bodky A = P°, P1, Pn = B v smere od bodu A k veci IN na nľubovoľné oblúky Pj-1P i s dĺžkami ( i = 1, 2, n) (obr. 28).

Vyberme si na každom oblúku Pj-1P iľubovoľný bod Mi (x i ; y i), vypočítajme hodnotu funkcie f(x;y) v bode M i. Urobme integrálny súčet, kde - dĺžka premietania oblúka P i -1 P i na os Oh. Ak sa smer pohybu pozdĺž projekcie zhoduje s kladným smerom osi Oh, potom sa uvažuje o projekcii oblúkov pozitívne, inak - negatívne.

Nechaj kde.

Ak existuje limit na integrálny súčet pri λ→0 (n→∞), nezávisle od spôsobu rozdelenia krivky (L) do elementárnych častí, ani z výberu bodov M i v každej elementárnej časti sa potom táto hranica nazýva krivočiary integrál 2. druhu z funkcie f(x;y)(krivkový integrál nad súradnicou X) a označujú:

Komentujte. Krivočiary integrál nad súradnicou y sa zavedie podobne:

Komentujte. Ak (L) je uzavretá krivka, potom sa označuje integrál nad ňou

Komentujte. Ak je zapnuté ( L) sú dané tri funkcie naraz a z týchto funkcií sú integrály , , ,

potom sa volá výraz: ++ všeobecný krivočiary integrál 2. druhu a napíšte:

1.2.2. Základné vlastnosti krivočiareho integrálu 2. druhu:

3. Pri zmene smeru integrácie krivočiary integrál 2. druhu zmení svoje znamienko.

4. Ak je integračná cesta rozdelená na časti tak, že , a majú jeden spoločný bod, potom

5. Ak krivka ( L) leží v rovine:

Kolmá os Oh, potom =0;

Kolmá os Oj, To ;

Kolmá os Oz, potom =0.

6. Krivkový integrál 2. druhu nad uzavretou krivkou nezávisí od výberu počiatočného bodu (závisí len od smeru prechodu krivky).