Premietnutím rovnice (1) na súradnicové osi a zohľadnením závislosti zadaných síl od súradníc, rýchlostí a času získame diferenciálne rovnice pre dynamiku bodu. Takže pre karteziánske súradnice máme:

Diferenciálne rovnice pohybu vo valcovom súradnicovom systéme budú mať tvar

;

Na záver uvádzame diferenciálne rovnice dynamiky bodu v projekciách na os prirodzeného triédra; Tieto rovnice sú vhodné najmä v prípadoch, keď je známa trajektória bodu. Premietnutím rovnice (3.1) na dotyčnicu, hlavnú normálu a binormálu k trajektórii dostaneme

, ,

Uvažujme teraz na príklade rovníc dynamiky bodu v karteziánskych súradniciach (3.2) o formulácii a postupe riešenia úloh dynamiky bodu. Existujú dva hlavné problémy bodovej dynamiky: rovno A obrátene. Prvý problém dynamiky (priamy) je nasledujúci: daný pohybom bodu s hmotnosťou , t.j. funkcie sú dané

je potrebné nájsť sily spôsobujúce tento pohyb. Riešenie tohto problému nie je ťažké. Podľa rovníc (3.1) a (3.3) nájdeme projekcie, pre ktoré dané funkcie (3.3) dvakrát derivujeme.

, , (3.4)

Výrazy (3.4) predstavujú priemet výslednice všetkých síl pôsobiacich na bod; Niektoré sily (alebo niektoré z projekcií) možno poznať, zvyšok (ale nie viac ako tri projekcie) možno nájsť z rovníc (3.4). Túto úlohu možno formálne zredukovať na riešenie úlohy statiky, ak rovnicu (3.1) prepíšeme do tvaru

Tu je zotrvačná sila bodu, ktorého priemet na os x, y, z sa rovnajú výrazom (3.3) s opačnými znamienkami. Formálna redukcia dynamického problému na statický problém zavedením zotrvačných síl, ktorá sa pomerne často praktizuje v úlohách mechaniky, sa nazýva tzv. kinetostatická metóda.

Druhý (inverzný) problém dynamiky bodu je formulovaný takto: v hmotnom bode T, vektor polohy a rýchlosti, ktorých v počiatočnom časovom okamihu sú známe, pôsobia dané sily; musíte nájsť pohyb tohto bodu (jeho súradnice x,y,z) ako funkcia času. Pretože pravé strany rovníc (2) sú projekcie síl na os x, y, z- sú známe funkcie súradníc, ich prvé derivácie a čas, potom na získanie požadovaného výsledku je potrebné integrovať sústavu troch obyčajných diferenciálnych rovníc druhého rádu. Analytické riešenie takéhoto problému sa ukazuje ako možné len v určitých špeciálnych prípadoch. Numerické metódy však umožňujú vyriešiť problém takmer s akoukoľvek požadovanou mierou presnosti. Predpokladajme, že sme integrovali systém diferenciálnych rovníc (3.2) a našli výrazy pre súradnice x, y, z ako funkcia času. Keďže systém (3.2) je šiesteho rádu, pri jeho integrácii sa objaví šesť ľubovoľných konštánt a pre súradnice dostaneme nasledujúce výrazy:

Na určenie konštánt (i = 1, 2,... 6) v tomto riešení by sme sa mali obrátiť na počiatočné podmienky úlohy. Zapísaním uvedených podmienok vo vzťahu ku karteziánskym súradniciam máme kedy t= 0

Dosadením do nájdeného výrazu (3.5) prvej skupiny počiatočných podmienok (3.6) at t= 0, získame tri rovnice týkajúce sa integračných konštánt:

Chýbajúce tri vzťahy nájdeme nasledovne: pohybové rovnice (3.5) diferencujeme vzhľadom na čas a dosadíme druhú skupinu počiatočných podmienok (3.6) do výsledných výrazov pri t= 0; máme

Pri spoločnom riešení týchto šiestich rovníc získame požadované hodnoty šiestich ľubovoľných integračných konštánt (i = 1, 2,... 6), ktorých dosadením do pohybových rovníc (3.5) nájdeme konečné riešenie úlohy.

Pri zostavovaní diferenciálnych pohybových rovníc bodu pre konkrétny prípad je potrebné v prvom rade vyhodnotiť pôsobenie rôznych faktorov: vziať do úvahy hlavné sily a vylúčiť sekundárne. Pri riešení rôznych technických problémov sa často zanedbávajú sily odporu vzduchu a sily suchého trenia; Tak sa to robí napríklad pri výpočte vlastných frekvencií oscilačných systémov, ktorých hodnoty sú zanedbateľne ovplyvnené spomínanými silami. Ak sa teleso pohybuje blízko povrchu Zeme, potom sa jeho gravitácia považuje za konštantnú a povrch Zeme sa považuje za plochý; pri vzďaľovaní sa od zemského povrchu na vzdialenosti porovnateľné s jeho polomerom je potrebné počítať so zmenou gravitácie s výškou, preto sa pri takýchto problémoch používa Newtonov gravitačný zákon.

Pri vysokých rýchlostiach pohybu tela nemožno zanedbať silu odporu vzduchu; v tomto prípade sa zvyčajne prijíma kvadratický zákon odporu (sila odporu sa považuje za úmernú štvorcu rýchlosti telesa).

(3.6)

Tu je tlak rýchlosti, ρ – hustota prostredia, v ktorom sa bod pohybuje, – koeficient odporu, – charakteristická priečna veľkosť. Ako však bude ukázané nižšie, pri niektorých problémoch je potrebné vziať do úvahy vnútorné trenie v kvapaline (plyne), čo vedie k všeobecnejšiemu vzorcu na určenie odporovej sily

Ak sa teleso pohybuje vo viskóznom médiu, tak aj pri nízkych otáčkach treba počítať s odporovou silou, ale pri tomto probléme ju stačí považovať za úmernú prvej mocnine rýchlosti.

Príklad. Uvažujme problém priamočiareho pohybu bodu v prostredí s odporom, odporová sila je daná výrazom (3.6). Počiatočná rýchlosť bodu je , konečná rýchlosť je . Je potrebné určiť priemernú rýchlosť pohybu pri danom rýchlostnom intervale. Zo vzorca (3.2) máme

(3.7)

Ide o diferenciálnu rovnicu so separovateľnými premennými, ktorej riešenie možno znázorniť ako

,

ktorého riešenie bude napísané vo formulári

(3.8)

Aby sme určili prejdenú vzdialenosť, prejdime na nové súradnice, aby sme to dosiahli, vynásobíme ľavú a pravú stranu rovnice (3.7) číslom ; Zároveň podotýkame

,

potom aj tu získame diferenciálnu rovnicu so separovateľnými premennými

,

ktorého riešenie môže byť prezentované vo forme

(3.9)

Zo vzorcov (3.8) a (3.9) získame výraz pre priemernú rýchlosť

.

Pre priemernú rýchlosť je .

Ale ak dáme , potom je ľahké vidieť, že v tomto prípade a , teda pohybujúce sa teleso sa nikdy nezastaví, čo po prvé odporuje zdravému rozumu a po druhé, nie je jasné, aká bude priemerná rýchlosť . Na určenie použijeme ľavé integrály v rozsahu od do nekonečne malé ε, potom dostaneme

Ministerstvo všeobecného a odborného technického vzdelávania

Moskovská štátna technická univerzita MAMI

oddelenie: Teoretická mechanika

Abstrakt k téme :

Diferenciálne pohybové rovnice bodu.

Riešenie problémov dynamiky bodov.

Študent: Zinoviev M.Yu.

Skupina: 3-AiU-1

učiteľ:

Úvod do dynamiky. Zákony dynamiky.

Základné pojmy a definície.

Dynamika je odbor mechaniky, ktorý študuje pohyb hmotných telies pod vplyvom síl.

V kinematike sa uvažuje o pohybe z čisto geometrického hľadiska. Rozdiel medzi dynamikou je v tom, že pri štúdiu pohybu telies sa berú do úvahy sily, ktoré na ne pôsobia, ako aj zotrvačnosť samotných hmotných telies.

Pojem sila, ako hlavná miera mechanického pôsobenia pôsobiaceho na hmotné teleso, bol zavedený v statike. Ale statika sa netýka otázky možných zmien pôsobiacich síl v čase a pri riešení problémov sa všetky sily považovali za konštantné. Medzitým, spolu s konštantnými silami, na pohybujúce sa teleso zvyčajne pôsobia premenlivé sily, ktorých moduly a smery sa pri pohybe telesa menia. V tomto prípade dané (aktívne) sily ( Aktívne zvyčajne nazývaná sila, ktorá keď začala pôsobiť na teleso v pokoji, môže ho uviesť do pohybu) a reakcie súvislostí.

Skúsenosti ukazujú, že premenlivé sily môžu určitým spôsobom závisieť od času, polohy tela a jeho rýchlosti. Najmä ťažná sila elektrickej lokomotívy pri postupnom vypínaní alebo zapínaní reostatu alebo sila, ktorá spôsobuje vibrácie základu, keď motor pracuje so zle vycentrovaným hriadeľom, závisí od času; Newtonova gravitačná sila alebo elastická sila pružiny závisí od polohy tela; Odporové sily média závisia od rýchlosti. Na záver poznamenávame, že všetky pojmy zavedené v statike a tam získané výsledky platia rovnako pre premenlivé sily, keďže podmienka stálosti síl sa v statike nikde nepoužívala.

Zotrvačnosť telesa sa prejavuje v tom, že si udržiava pohyb v neprítomnosti pôsobiacich síl a keď naň začne pôsobiť sila, rýchlosti bodov telesa sa nemenia okamžite, ale postupne a čím ďalej tým viac pomaly, tým väčšia je zotrvačnosť tohto telesa. Kvantitatívnou mierou zotrvačnosti hmotného telesa je fyzikálna veličina tzv omša teleso (Hmotnosť je aj mierou gravitačných vlastností telesa), V klasickej mechanike hmotnosť T sa považuje za skalárnu, kladnú a konštantnú veličinu pre každé dané teleso.

Pohyb telesa závisí vo všeobecnom prípade okrem celkovej hmotnosti aj od tvaru telesa, presnejšie od vzájomnej polohy častíc, ktoré ho tvoria, t.j. o rozložení hmoty v tele.

Aby bolo možné abstrahovať od zohľadnenia tvaru tela (rozloženia hmoty) počas počiatočného štúdia dynamiky, abstraktný pojem hmotný bod, ako bod s hmotnosťou a štúdium dynamiky začína dynamikou hmotného bodu.

Z kinematiky je známe, že pohyb telesa vo všeobecnosti pozostáva z translačného a rotačného pohybu. Pri riešení konkrétnych problémov možno hmotné teleso považovať za hmotný bod v prípadoch, keď je podľa podmienok problému prípustné nebrať do úvahy rotačnú časť pohybu telesa. Napríklad planétu možno považovať za hmotný bod pri štúdiu jej pohybu okolo Slnka alebo delostrelecký granát pri určovaní dosahu letu atď. Podľa toho možno translačne sa pohybujúce teleso vždy považovať za hmotný bod s hmotnosťou rovnajúcou sa hmotnosti celého telesa.

Štúdium dynamiky zvyčajne začína dynamikou hmotného bodu, pretože je prirodzené, že skúmaniu pohybu jedného bodu predchádza štúdium pohybu sústavy bodov a najmä tuhého telesa.

ZÁKONY DYNAMIE.

PROBLÉMY DYNAMIKY HMOTNÉHO BODU

Dynamika je založená na zákonitostiach stanovených zhrnutím výsledkov množstva experimentov a pozorovaní venovaných štúdiu pohybu telies a overených rozsiahlou spoločenskou a priemyselnou praxou ľudstva. Zákony dynamiky prvýkrát systematicky vysvetlil I. Newton vo svojom klasickom diele „Matematické princípy prírodnej filozofie“, publikovanom v roku 1687. (Existuje vynikajúci ruský preklad od A.N. Krymova. Pozri: Zobrané diela akademika A.N. Krylova, zv. VII. M.-L., 1936). Tieto zákony možno formulovať nasledovne.

Prvý zákon(zákon zotrvačnosti):

hmotný bod izolovaný od vonkajších vplyvov si zachováva svoj pokojový alebo rovnomerný priamočiary pohyb, kým ho aplikované sily neprinútia tento stav zmeniť. Pohyb vykonávaný bodom v neprítomnosti síl sa nazýva pohyb zotrvačnosťou.

Zákon zotrvačnosti odráža jednu zo základných vlastností hmoty – zostať neustále v pohybe. Je dôležité poznamenať, že rozvoj dynamiky ako vedy sa stal možným až po tom, čo Galileo objavil tento zákon (1638), a tým vyvrátil názor prevládajúci od čias Aristotela, že pohyb telesa môže nastať iba pod vplyvom sily.

Dôležitou otázkou je, v akej vzťažnej sústave platí zákon zotrvačnosti. Newton predpokladal, že existuje nejaký pevný (absolútny) priestor, vo vzťahu ku ktorému je tento zákon pravdivý. No podľa moderných názorov je priestor formou existencie hmoty a nejaký absolútny priestor, ktorého vlastnosti nezávisia od hmoty, ktorá sa v ňom pohybuje, neexistuje. Medzitým, keďže zákon má experimentálny pôvod (Galileo tiež poukázal na to, že k tomuto zákonu možno dospieť uvažovaním pohybu gule na naklonenej rovine s neustále sa zmenšujúcim uhlom sklonu), musia existovať referenčné systémy, v ktorých sa tento zákon bude splnený v rôznej miere aproximácie. V tomto ohľade v mechanike, ako obvykle, k vedeckej abstrakcii, zavádzajú koncept referenčného systému, v ktorom platí zákon zotrvačnosti, postulujú jeho existenciu a volajú inerciálny referenčný systém.

Či daný reálny referenčný systém možno považovať pri riešení určitých úloh mechaniky za inerciálny, sa zistí kontrolou, do akej miery sú výsledky získané za predpokladu, že tento systém je inerciálny, potvrdené skúsenosťou. Podľa skúseností možno pre našu Slnečnú sústavu považovať za referenčný systém s vysokou presnosťou inerciálny, ktorého počiatok je v strede Slnka a osi sú nasmerované k takzvaným stáliciam. Pri riešení väčšiny technických problémov možno inerciálnu sústavu s dostatočnou presnosťou pre prax považovať za referenčný systém pevne spojený so Zemou.

Druhý zákon(základný zákon dynamiky)

určuje, ako sa mení rýchlosť bodu, keď naň pôsobí nejaká sila, a to: súčin hmotnosti hmotného bodu a zrýchlenia, ktoré dostane pri pôsobení danej sily, sa rovná veľkosti tejto sily a smer zrýchlenia sa zhoduje so smerom sily.

Matematicky je tento zákon vyjadrený vektorovou rovnosťou

V tomto prípade existuje vzťah medzi modulmi zrýchlenia a sily

ta= F. (1")

Druhý zákon dynamiky, podobne ako prvý, prebieha iba vo vzťahu k inerciálnej vzťažnej sústave. Z tohto zákona je hneď jasné, že mierou zotrvačnosti hmotného bodu je jeho hmotnosť, keďže pri pôsobení danej sily bod, ktorého hmotnosť je väčšia, teda zotrvačnejšia, dostane menšie zrýchlenie a naopak.

Ak na bod pôsobí niekoľko síl súčasne, potom, ako vyplýva zo zákona rovnobežníka síl, budú ekvivalentné jednej sile, t.j. , rovná geometrickému súčtu týchto síl. Rovnica vyjadrujúca základný zákon dynamiky má v tomto prípade tvar

Rovnaký výsledok možno dosiahnuť použitím zákona rovnobežníka zákon nezávislého pôsobenia síl, podľa ktorého, keď na bod pôsobí niekoľko síl súčasne, každá z nich udelí bodu rovnaké zrýchlenie, aké by udelila, keby pôsobil sám.

Tretí zákon(zákon o rovnosti akcie a reakcie) stanovuje povahu mechanickej interakcie medzi hmotnými telesami. Pre dva materiálne body znie:

dva hmotné body na seba pôsobia silami rovnakej veľkosti a smerujúcimi pozdĺž priamky spájajúcej tieto body v opačných smeroch.

Tento zákon sa používa v statike. Zohráva veľkú úlohu v dynamike systému hmotných bodov, pretože stanovuje vzťah medzi vnútornými silami pôsobiacimi na tieto body.

Keď dva voľné hmotné body interagujú, budú sa podľa tretieho a druhého zákona dynamiky pohybovať so zrýchleniami nepriamo úmernými ich hmotnosti.

Problémy s dynamikou. Pre voľný hmotný bod sú problémy dynamiky nasledovné:

1) poznať zákon pohybu bodu, určiť silu, ktorá naň pôsobí (prvý problém dynamiky);

2) 2) poznajúc sily pôsobiace na bod, určte zákon pohybu bodu (druhý, alebo hlavnou úlohou dynamiky).

Pre nevoľný hmotný bod, teda bod, na ktorý je uvalené obmedzenie, ktoré ho núti pohybovať sa po danom povrchu alebo krivke, je prvou úlohou dynamiky zvyčajne určiť reakciu obmedzenia, pričom poznáme pohyb bod a naň pôsobiace aktívne sily. Druhá (hlavná) úloha dynamiky pri nevoľnom pohybe je rozdelená na dve časti a spočíva v poznaní aktívnych síl pôsobiacich na bod na určenie: a) zákona o pohybe bodu, b) reakcie zavedeného obmedzenia.

JEDNOTOVÉ SYSTÉMY

Na meranie všetkých mechanických veličín stačí zaviesť jednotky merania niektorých troch veličín, ktoré sú na sebe nezávislé. Dve z nich sa považujú za jednotky dĺžky a času. Ako tretie sa ukazuje ako najpohodlnejšie zvoliť jednotku merania buď hmotnosti alebo sily. Keďže tieto veličiny sú spojené rovnosťou (1), nie je možné ľubovoľne zvoliť mernú jednotku pre každú z nich. Z toho vyplýva možnosť zavedenia dvoch systémov jednotiek v mechanike, ktoré sa od seba zásadne líšia.

Prvý typ jednotkových systémov.

V týchto systémoch sa jednotky dĺžky, času a hmotnosti berú ako základné a sila sa meria derivačnou jednotkou.

Medzi tieto systémy patrí Medzinárodný systém merania fyzikálnych veličín (SI), v ktorom sú hlavnými jednotkami merania mechanických veličín meter (m), kilogram hmotnosti (kg) a sekunda (s). Jednotkou merania sily je odvodená jednotka - 1 newton (N);

1 N je sila, ktorá spôsobuje zrýchlenie 1 m/s 2 hmotnosti 1 kg (1 N = 1 kg-m/s 2 ). Čo je 1 m, 1 kg a 1 s je známe z kurzu fyziky. Medzinárodný systém jednotiek (SI) bol v Rusku zavedený ako preferovaný systém od roku 1961

Druhý typ jednotkových systémov.

V týchto systémoch sa za základné berú jednotky dĺžky, času a sily a hmotnosť sa meria derivačnou jednotkou.

Medzi takéto systémy patrí systém MKGSS, ktorý bol široko používaný v technike, v ktorom sú hlavnými jednotkami meter (m), kilogram sily (kg) a sekunda (s). Jednotkou merania hmotnosti v tomto systéme bude 1 kgf 2 / m, t. j. hmotnosť, ktorej sila 1 kg spôsobí zrýchlenie 1 m/s 2.

Vzťah medzi jednotkami sily v sústavách SI a MKGSS je nasledovný: 1 kg = 9,81 N alebo 1 N = 0,102 kg.

Na záver treba poznamenať, že je potrebné rozlišovať medzi pojmami rozmer veľkosť a jednotka jej merania. Rozmer je určený len typom rovnice vyjadrujúcej hodnotu danej veličiny a od výberu základných jednotiek závisí aj merná jednotka. Napríklad, ak, ako je zvykom, označíme rozmery dĺžky, času a hmotnosti symbolmi L, T a M , potom rozmer rýchlosti L/T , a jednotka merania môže byť 1 m/s, 1 km/h atď.

HLAVNÉ DRUHY SILÍ

Uvažujme nasledujúce konštantné alebo premenlivé sily (zákony zmeny premenných síl sú spravidla stanovené experimentálne).

Gravitácia. Je to stála sila , pôsobiace na akékoľvek teleso nachádzajúce sa v blízkosti zemského povrchu. Modul gravitácie sa rovná hmotnosti telesa.

Skúsenosti ukázali, že pod vplyvom sily má každé teleso voľne padajúce na Zem (z malej výšky a v priestore bez vzduchu) rovnaké zrýchlenie. , volal zrýchlenie voľného pádu, a niekedy gravitačné zrýchlenie ( Zákon voľného pádu telies objavil Galileo. Hodnota q je na rôznych miestach zemského povrchu rôzna; závisí od zemepisnej šírky miesta nad hladinou mora. V zemepisnej šírke Moskvy (na úrovni mora) q = 9,8156 m/s2

Potom z rovnice (1") vyplýva, že

P=t q alebo t=P/ q. (3)

Tieto rovnosti umožňujú pri znalosti hmotnosti telesa určiť jeho hmotnosť (modul gravitačnej sily, ktorá naň pôsobí) alebo pri znalosti hmotnosti telesa určiť jeho hmotnosť. Telesná hmotnosť alebo gravitácia, ako aj hodnota q , zmena so zmenami zemepisnej šírky a nadmorskej výšky; hmotnosť je konštantná veličina pre dané teleso.

Trecia sila . Takto stručne nazveme klznú treciu silu pôsobiacu (pri absencii tekutého maziva) na pohybujúce sa teleso. Jeho modul je určený rovnosťou

kde f je koeficient trenia, ktorý budeme považovať za konštantný;

N- normálna reakcia.

Gravitácia . To je sila, ktorou sa dve hmotné telesá k sebe priťahujú podľa zákona univerzálnej gravitácie, ktorý objavil Newton. Gravitačná sila závisí od vzdialenosti a pre dva hmotné body s hmotnosťou a umiestnené vo vzdialenosti r od seba je vyjadrená rovnosťou

kde f je gravitačná konštanta (v SI/=6,673* ).

Elastická sila . Táto sila závisí aj od vzdialenosti. Jeho hodnotu možno určiť na základe Hookovho zákona, podľa ktorého je napätie (sila na jednotku plochy) úmerné deformácii. Konkrétne pre pružnú silu pružiny získame hodnotu

kde l je predĺženie (alebo stlačenie) pružiny; s - takzvaný koeficient tuhosti pružiny (v SI meraný v N/m).

Viskózna trecia sila . Táto sila závislá od rýchlosti pôsobí na teleso, keď sa pomaly pohybuje vo veľmi viskóznom médiu (alebo v prítomnosti tekutého maziva) a môže byť vyjadrená rovnosťou

Kde v- rýchlosť tela; m , - koeficient odporu. Závislosť tvaru (7) možno získať na základe zákona viskózneho trenia, ktorý objavil Newton.

Aerodynamická (hydrodynamická) odporová sila . Táto sila závisí aj od rýchlosti a pôsobí na teleso pohybujúce sa napríklad v prostredí, ako je vzduch alebo voda. Zvyčajne je jeho hodnota vyjadrená rovnosťou

(8)

kde p je hustota média; S je oblasť priemetu tela na rovinu kolmú na smer pohybu (oblasť stredu);

Cx: je bezrozmerný koeficient odporu vzduchu, zvyčajne určený experimentálne a v závislosti od tvaru tela a jeho orientácie počas pohybu.

Inertné a gravitačnej hmotnosti.

Na experimentálne určenie hmotnosti daného telesa je možné vychádzať zo zákona (1), kde hmotnosť je zahrnutá ako miera zotrvačnosti, a preto sa nazýva zotrvačná hmotnosť. Môžeme však vychádzať aj zo zákona (5), kde hmotnosť je zahrnutá ako miera gravitačných vlastností telesa a podľa toho sa nazýva gravitačná (alebo ťažká) hmotnosť. V zásade odnikiaľ nevyplýva, že zotrvačná a gravitačná hmotnosť predstavujú rovnakú veličinu. Niekoľko experimentov však ukázalo, že hodnoty oboch hmotností sa zhodujú s veľmi vysokým stupňom presnosti (podľa experimentov vykonaných sovietskymi fyzikmi (1971) s presnosťou ). Tento experimentálne zistený fakt sa nazýva princíp ekvivalencie. Einstein vychádzal zo svojej všeobecnej teórie relativity (teória gravitácie).

Na základe vyššie uvedeného v mechanike používajú jednotný pojem „hmotnosť“, ktorý definuje hmotnosť ako mieru zotrvačnosti telesa a jeho gravitačných vlastností.

DIFERENCIÁLNE ROVNICE POHYBU BODU. RIEŠENIE PROBLÉMOV S DYNAMIKOU BODOV

DIFERENCIÁLNE ROVNICE POHYBU HMOTNÉHO BODU

Na riešenie problémov dynamiky bodov použijeme jednu z nasledujúcich dvoch sústav rovníc.

Rovnice v karteziánskych súradniciach .

Z kinematiky je známe, že pohyb bodu v pravouhlých kartézskych súradniciach je daný rovnicami:

Úlohou dynamiky bodu je určiť silu pôsobiacu na bod, poznať pohyb bodu, t.j. rovnicu (9), alebo naopak, poznať sily pôsobiace na bod, určiť zákon jeho pohybu. , t.j. rovnica (9). V dôsledku toho na riešenie problémov dynamiky bodu je potrebné mať rovnice týkajúce sa súradníc x, y, zg tento bod a sila (alebo sily), ktoré naň pôsobia. Tieto rovnice dávajú druhý zákon dynamiky.

Uvažujme hmotný bod pohybujúci sa pôsobením síl ., vo vzťahu k inerciálnej vzťažnej sústave Ohug. Premietanie oboch strán rovnosti (2), t.j. osová rovnosť x, y, zg a zvažujem to atď., dostaneme

(10)

alebo, označujúc druhé derivácie vzhľadom na čas dvoma bodmi,

Budú to požadované rovnice, t.j. diferenciálne rovnice pohybu bodu v pravouhlých karteziánskych súradniciach. Pretože pôsobiace sily môžu závisieť od času t, na polohe bodu, teda na jeho súradniciach x, y, z, a na rýchlosti, t.j. na , potom vo všeobecnom prípade pravá strana každej z rovníc (10) môže byť funkciou všetkých týchto premenných, t.j. t, x, y, z, súčasne.

Rovnice v projekciách na osiach prirodzeného triédra . Na získanie týchto rovníc premietneme obe strany rovnosti na os M t nb, tie. na dotyčnici M t: do bodové trajektórie, hlavná normál poslanec, smerujúce ku konkávnosti trajektórie a binormále Mb

Potom, keď vezmeme do úvahy, že , dostaneme

(11)

Rovnice (11), kde v=ds!dt, reprezentovať diferenciálne rovnice pohybu bodu v priemetoch na os prirodzeného trojstenu.

RIEŠENIE PRVÉHO PROBLÉMU S DYNAMIKOU

(STANOVENIE SÍL DANÝM POHYBOM)

Ak je dané zrýchlenie pohybujúceho sa bodu, potom sa pomocou rovníc (1) alebo (2) okamžite zistí pôsobiaca sila alebo reakcia spojenia. V tomto prípade je na výpočet reakcie potrebné dodatočne poznať aktívne sily. Keď zrýchlenie nie je priamo špecifikované, ale zákon pohybu bodu je známy, potom je možné na určenie sily použiť rovnice (10) alebo (11).

RIEŠENIE HLAVNÉHO PROBLÉMU DYNAMIKY S RECTOLINEÁRNYM POHYBOM BODU

Pohyb hmotného bodu bude priamočiary, keď sila pôsobiaca naň (alebo výslednica aplikovaných síl) má konštantný smer a rýchlosť bodu v počiatočnom časovom okamihu je nulová alebo smeruje pozdĺž sily.

Ak je pri priamočiarom pohybe súradnicová os nasmerovaná pozdĺž trajektórie oh, potom pohyb bodu bude určený prvou z rovníc (10), teda rovnicou

alebo (12)

Rovnica (12) sa nazýva diferenciálna rovnica priamočiareho pohybu bodu. Niekedy je vhodnejšie nahradiť ho dvoma rovnicami obsahujúcimi prvé derivácie:

(13)

V prípadoch, keď je pri riešení úlohy potrebné hľadať závislosť rýchlosti od súradnice x, a nie od času t (alebo keď samotné sily závisia od x), sa rovnica (13) prevedie na premennú x . Pretože dVx/dt=dVx/dx*dx/dt=dVx/dx*Vx, potom namiesto (13) dostaneme

(14)

Riešenie hlavného problému dynamiky spočíva v nájdení zákona o pohybe bodu z týchto rovníc, poznaní síl, t.j. x=f(t). Aby ste to dosiahli, musíte integrovať zodpovedajúcu diferenciálnu rovnicu. Aby bolo jasnejšie, na čo sa tento matematický problém scvrkáva, pripomíname, že sily zahrnuté v pravej strane rovnice (12) môžu závisieť od času t, z polohy bodu, teda od X, a zo svojej rýchlosti, T. od Vy=x. Preto je vo všeobecnom prípade rovnica (12) z matematického hľadiska diferenciálnou rovnicou 2. rádu, ktorá má tvar .

Ak je pre tento konkrétny problém integrovaná diferenciálna rovnica (12), potom výsledné riešenie bude obsahovať dve konštanty integrácie a a spoločné rozhodnutie rovnica (12) bude mať tvar

(15)

Na dokončenie riešenia každého konkrétneho problému je potrebné určiť hodnoty konštánt. Na tento účel slúži tzv počiatočné podmienky.

Štúdium akéhokoľvek pohybu začneme od určitého bodu v čase, tzv počiatočný moment. Od tohto momentu budeme počítať čas pohybu, berúc do úvahy, že v počiatočnom momente t = 0. Zvyčajne sa ako počiatočný moment berie počiatočný moment pohybu pod vplyvom daných síl. Pozícia, ktorú bod zaujíma v počiatočnom okamihu, sa nazýva počiatočná poloha a jej rýchlosť v tejto chvíli je počiatočná rýchlosť(bod môže mať počiatočnú rýchlosť buď preto, že sa pred momentom t=0 pohyboval zotrvačnosťou, alebo v dôsledku pôsobenia naň až do momentu t =0 niektoré iné sily). Na vyriešenie hlavného problému dynamiky je okrem pôsobiacich síl potrebné vedieť počiatočné podmienky, t.j. poloha a rýchlosť bodu v počiatočnom časovom okamihu.

V prípade priamočiareho pohybu sú počiatočné podmienky uvedené vo formulári

Pri t=0, . (16)

Pomocou počiatočných podmienok môžete určiť konkrétne hodnoty konštánt a nájsť súkromné ​​riešenie rovnica (12), ktorá dáva pohybový zákon bodu v tvare

Pomocou diferenciálnych pohybových rovníc sa rieši druhý problém dynamiky. Pravidlá skladania takýchto rovníc závisia od toho, ako chceme určiť pohyb bodu.

1) Určenie pohybu bodu súradnicovou metódou.

Uvažujme voľný hmotný bod pohybujúci sa pod vplyvom síl , ,.., . Nakreslíme pevné súradnicové osi Oxyz(obr. 4). Premietnutie oboch strán rovnosti na tieto osi a zohľadnenie toho atď., dostaneme diferenciálne rovnice krivočiareho pohybu bodu v projekciách na osi pravouhlého karteziánskeho súradnicového systému:

Obr.4

Keďže sily pôsobiace na bod môžu závisieť od času, od polohy bodu a od jeho rýchlosti, pravá strana rovníc môže obsahovať čas t, súradnice bodu x, y, z a projekcie jeho rýchlosti. Navyše pravá strana každej rovnice môže obsahovať všetky tieto premenné.

Na vyriešenie hlavného problému dynamiky pomocou týchto rovníc je potrebné okrem pôsobiacich síl poznať aj počiatočné podmienky, t.j. polohu a rýchlosť bodu v počiatočnom momente. V súradnicových osiach Oxyz počiatočné podmienky sú uvedené v tvare: at

Keď poznáme pôsobiace sily, po integrácii rovníc nájdeme súradnice x, y, z pohyblivý bod ako funkcia času t, tie. Poďme nájsť zákon pohybu bodu.

Príklad 3 Poďme študovať pohyb telesa vrhaného počiatočnou rýchlosťou pod uhlom k horizontu, pričom ho považujeme za hmotný bod T. V tomto prípade zanedbáme odpor vzduchu a gravitačné pole budeme považovať za rovnomerné ( R=const), za predpokladu, že rozsah letu a výška trajektórie sú malé v porovnaní s polomerom Zeme.

Umiestnime pôvod O vo východiskovej polohe bodu. Nasmerujme os kolmo nahor; horizontálna os Vôl umiestnite ho do roviny, ktorá prechádza Oh a vektor a os Oz nakreslíme ho kolmo na prvé dve osi (obr. 5). Potom uhol medzi vektorom a osou Vôl sa bude rovnať .

Obr.5

Predstavme si pohybujúci sa bod M niekde po trajektórii. Na bod pôsobí iba gravitačná sila, ktorej priemet na súradnicové osi sa rovnajú: , , .

Dosadzovanie týchto veličín do diferenciálnych rovníc a zaznamenávanie, že atď. sme po redukcii o m dostaneme:

Vynásobením oboch strán týchto rovníc dt a integráciou nájdeme:

Počiatočné podmienky v našom probléme majú tvar:

pri t=0:

Po splnení počiatočných podmienok budeme mať:

, , .

Nahradením týchto hodnôt S 1 , S 2 a S 3 do vyššie uvedeného riešenia a nahraďte ho , , Poďme k rovniciam:

Integráciou týchto rovníc dostaneme:

Nahradenie počiatočných údajov dáva S 4 =S 5 =S 6 = 0 a nakoniec nájdeme pohybové rovnice bodu M ako:

Z poslednej rovnice vyplýva, že pohyb nastáva v rovine Oxy.

Ak máme pohybovú rovnicu bodu, je možné pomocou kinematických metód určiť všetky charakteristiky daného pohybu.

1. Trajektória bodu. Po vylúčení času t z prvých dvoch rovníc (1) dostaneme rovnicu trajektórie bodu:

Toto je rovnica paraboly s osou rovnobežnou s osou Oh. teda Ťažký bod vrhnutý pod uhlom k horizontu sa pohybuje v bezvzduchovom priestore pozdĺž paraboly (Galileo).

2. Horizontálny rozsah. Určme si horizontálny rozsah, t.j. merané pozdĺž osi Oh vzdialenosť OS=X. Za predpokladu rovnosti (2) r=0, nájdite priesečníky trajektórie s osou Oh. Z rovnice:

dostaneme

Prvé riešenie dáva pointu O, druhý bod S. teda X = X 2 a nakoniec

Zo vzorca (3) je zrejmé, že rovnaký horizontálny rozsah X sa získa pod uhlom, pre ktorý, t.j. ak uhol . V dôsledku toho pri danej počiatočnej rýchlosti možno dosiahnuť rovnaký bod C dvoma trajektóriami: plochou () a namontovanou ().

Pre danú počiatočnú rýchlosť sa najväčší horizontálny rozsah v bezvzduchovom priestore získa, keď, t.j. pod uhlom

3. Výška trajektórie. Ak dáme rovnicu (2)

Potom zistíme výšku trajektórie N:

4. Čas letu. Z prvej rovnice sústavy (1) vyplýva, že celkový čas letu T je určená rovnosťou . Výmena tu X dostaneme jeho hodnotu

V uhle najväčšieho rozsahu sú všetky nájdené hodnoty rovnaké:

Získané výsledky sú prakticky celkom použiteľné na približné určenie letových charakteristík striel (rakiet) s dosahom rádovo 200...600 km , keďže pri týchto dostreloch (a pri ) prejde strela hlavnú časť svojej dráhy v stratosfére, kde možno odpor vzduchu zanedbať. Pri kratších rozsahoch bude výsledok výrazne ovplyvnený odporom vzduchu a pri rozsahoch nad 600 km gravitáciu už nemožno považovať za konštantnú.

Príklad 4. Z dela namontovaného vo výške h, vystrelil pod uhlom k horizontále (obr. 6). Delová guľa v rýchlosti vyletela z hlavne u. Definujme pohybové rovnice jadra.

Obr.6

Na správne zostavenie diferenciálnych pohybových rovníc je potrebné takéto úlohy riešiť podľa určitej schémy.

a) Priraďte súradnicový systém (počet osí, ich smer a počiatok). Dobre zvolené osi zjednodušujú riešenie.

b) Ukážte bod v medzipolohe. V tomto prípade je potrebné zabezpečiť, aby súradnice tejto polohy boli nevyhnutne kladné (obr. 6).

c) Ukážte sily pôsobiace na bod v tejto medzipolohe (nezobrazujte zotrvačné sily!).

V tomto príklade je to len sila, hmotnosť jadra. Odpor vzduchu nebudeme brať do úvahy.

d) Zostavte diferenciálne rovnice pomocou vzorcov: . Odtiaľ dostaneme dve rovnice: a .

e) Riešte diferenciálne rovnice.

Ako je zrejmé z tohto príkladu, schéma riešenia problému je pomerne jednoduchá. Ťažkosti môžu nastať len pri riešení diferenciálnych rovníc, čo môže byť náročné.

2) Určenie pohybu bodu prirodzeným spôsobom.

Súradnicová metóda zvyčajne určuje pohyb bodu, ktorý nie je obmedzený žiadnymi podmienkami alebo spojeniami. Ak sú uvalené obmedzenia na pohyb bodu, na rýchlosť alebo súradnice, potom určenie takéhoto pohybu pomocou súradnicovej metódy nie je vôbec jednoduché. Pohodlnejšie je použiť prirodzený spôsob špecifikácie pohybu.

Určme napríklad pohyb bodu po danej pevnej čiare, po danej trajektórii (obr. 7).

Obr.7

K veci M Okrem daných aktívnych síl pôsobí reakcia vedenia. Zobrazujeme zložky reakcie pozdĺž prirodzených osí

Základný zákon mechaniky, ako je uvedené, stanovuje pre hmotný bod spojenie medzi kinematickými (w - zrýchlenie) a kinetickými ( - hmotnosť, F - sila) prvkami v tvare:

Platí pre inerciálne sústavy, ktoré sú zvolené ako hlavné sústavy, preto zrýchlenie, ktoré sa v nej objavuje, možno rozumne nazvať absolútnym zrýchlením bodu.

Ako je uvedené, sila pôsobiaca na bod vo všeobecnom prípade závisí od času polohy bodu, ktorý môže byť určený vektorom polomeru a rýchlosťou bodu. Nahradenie zrýchlenia bodu jeho vyjadrením pomocou polomerový vektor, zapíšeme základný zákon dynamiky v tvare:

V poslednom zázname je základným zákonom mechaniky diferenciálna rovnica druhého rádu, ktorá slúži na určenie pohybovej rovnice bodu v konečnej forme. Vyššie uvedená rovnica sa nazýva pohybová rovnica bodu v diferenciálnom a vektorovom tvare.

Diferenciálna pohybová rovnica bodu v projekciách na karteziánske súradnice

Integrácia diferenciálnej rovnice (pozri vyššie) vo všeobecnom prípade je zložitý problém a pri jeho riešení sa zvyčajne prechádza od vektorovej rovnice ku skalárnym rovniciam. Pretože sila pôsobiaca na bod závisí od časovej polohy bodu alebo jeho súradníc a rýchlosti bodu alebo priemetu rýchlosti, potom, označujúc priemet vektora sily na pravouhlý súradnicový systém, diferenciálne rovnice pohyb bodu v skalárnom tvare bude mať tvar:

Prirodzený tvar diferenciálnych rovníc pohybu bodu

V prípadoch, keď je trajektória bodu známa vopred, napríklad keď je na bod uložený spoj, ktorý určuje jeho trajektóriu, je vhodné použiť projekciu vektorovej rovnice pohybu na prirodzené osi smerujúce pozdĺž dotyčnice. , hlavná normála a binormála trajektórie. Priemetne sily, ktoré budeme nazývať podľa toho, budú v tomto prípade závisieť od času t, polohy bodu, ktorá je určená oblúkom trajektórie a rýchlosťou bodu, alebo Od zrýchlenia cez priemet na natural sekery sa píše v tvare:

potom pohybové rovnice v projekcii na prirodzené osi majú tvar:

Posledne menované rovnice sa nazývajú prirodzené pohybové rovnice. Z týchto rovníc vyplýva, že priemet sily pôsobiacej na bod do binormály je nulový a priemet sily do hlavnej normály sa určí po integrácii prvej rovnice. Skutočne, z prvej rovnice to bude určené ako funkcia času t pre daný potom, dosadením do druhej rovnice zistíme, že pre danú trajektóriu je známy jej polomer zakrivenia.

Diferenciálne rovnice pohybu bodu v krivočiarych súradniciach

Ak je poloha bodu určená jeho krivočiarymi súradnicami, potom premietnutím vektorovej pohybovej rovnice bodu na smery dotyčníc k súradnicovým čiaram získame pohybové rovnice v tvare.

Podobné články