Trieda iracionálnych funkcií je veľmi široká, takže jednoducho nemôže existovať univerzálny spôsob, ako ich integrovať. V tomto článku sa pokúsime identifikovať najcharakteristickejšie typy iracionálnych integrandových funkcií a priradiť k nim integračnú metódu.

Sú prípady, kedy je vhodné použiť metódu prihlásenia sa na rozdielové znamienko. Napríklad pri hľadaní neurčitých integrálov tvaru, kde p– racionálny zlomok.

Príklad.

Nájdite neurčitý integrál .

Riešenie.

Nie je ťažké si to všimnúť. Preto to dáme pod diferenciálne znamienko a použijeme tabuľku primitív:

odpoveď:

.

13. Zlomková lineárna substitúcia

Integrály typu, kde a, b, c, d sú reálne čísla, a, b,..., d, g sú prirodzené čísla, sa substitúciou redukujú na integrály racionálnej funkcie, kde K je najmenší spoločný násobok menovateľov zlomkov

Zo substitúcie skutočne vyplýva, že

t.j. x a dx sú vyjadrené prostredníctvom racionálnych funkcií t. Okrem toho je každý stupeň zlomku vyjadrený prostredníctvom racionálnej funkcie t.

Príklad 33.4. Nájdite integrál

Riešenie: Najmenší spoločný násobok menovateľov zlomkov 2/3 a 1/2 je 6.

Preto dáme x+2=t 6, x=t 6 -2, dx=6t 5 dt, Preto,

Príklad 33.5. Zadajte náhradu za hľadanie integrálov:

Riešenie: Za I 1 substitúcia x=t 2, za I 2 substitúcia

14. Trigonometrická substitúcia

Integrály typu sú redukované na integrály funkcií, ktoré racionálne závisia od goniometrických funkcií pomocou nasledujúcich goniometrických substitúcií: x = a sint pre prvý integrál; x=a tgt pre druhý integrál, pre tretí integrál.

Príklad 33.6. Nájdite integrál

Riešenie: Dajme x=2 sin t, dx=2 cos tdt, t=arcsin x/2. Potom

Tu je integrand racionálna funkcia vzhľadom na x a Výberom úplného štvorca pod radikálom a vykonaním substitúcie sa integrály uvedeného typu redukujú na integrály už uvažovaného typu, t. j. na integrály typu Tieto integrály možno vypočítať pomocou vhodných trigonometrických substitúcií.

Príklad 33.7. Nájdite integrál

Riešenie: Pretože x 2 +2x-4=(x+1) 2 -5, potom x+1=t, x=t-1, dx=dt. Preto Položme

Poznámka: Integrálny typ Je účelné nájsť pomocou substitúcie x=1/t.

15. Určitý integrál

Nech je funkcia definovaná na segmente a má na ňom primitívnu deriváciu. Rozdiel je tzv určitý integrál funkcie pozdĺž segmentu a označujú. takže,

Rozdiel je zapísaný vo forme . Volajú sa čísla hranice integrácie .

Napríklad jeden z primitívnych derivátov funkcie. Preto

16 . Ak c je konštantné číslo a funkcia ƒ(x) je integrovateľná na , potom

to znamená, že konštantný faktor c možno vyňať zo znamienka určitého integrálu.

▼Poďme zostaviť integrálny súčet funkcie s ƒ(x). Máme:

Potom z toho vyplýva, že funkcia c ƒ(x) je integrovateľná na [a; b] a vzorec (38.1) je platný.▲

2. Ak sú funkcie ƒ 1 (x) a ƒ 2 (x) integrovateľné na [a;b], potom integrovateľné na [a; b] ich súčet u

to znamená, že integrál súčtu sa rovná súčtu integrálov.

▼
▲

Vlastnosť 2 sa vzťahuje na súčet ľubovoľného konečného počtu členov.

3.

Táto vlastnosť môže byť akceptovaná podľa definície. Túto vlastnosť potvrdzuje aj Newtonov-Leibnizov vzorec.

4. Ak je funkcia ƒ(x) integrovateľná na [a; b] a a< с < b, то

to znamená, že integrál v celom segmente sa rovná súčtu integrálov v častiach tohto segmentu. Táto vlastnosť sa nazýva aditivita určitého integrálu (alebo vlastnosť aditivity).

Pri delení segmentu [a;b] na časti zahrnieme bod c do počtu deliacich bodov (možno to urobiť z dôvodu nezávislosti limity integrálneho súčtu od spôsobu delenia segmentu [a;b]). na časti). Ak c = x m, potom celý súčet možno rozdeliť na dva súčty:

Každý zo zapísaných súčtov je pre segmenty [a; b], [a; s] a [s; b]. Prechodom na limitu v poslednej rovnosti ako n → ∞ (λ → 0) dostaneme rovnosť (38.3).

Vlastnosť 4 platí pre ľubovoľné umiestnenie bodov a, b, c (predpokladáme, že funkcia ƒ (x) je integrovateľná na väčšom z výsledných segmentov).

Takže ak napríklad a< b < с, то

(boli použité vlastnosti 4 a 3).

5. „Veta o stredných hodnotách.“ Ak je funkcia ƒ(x) spojitá na intervale [a; b], potom je tonka s є [a; b] taký, že

▼ Podľa Newtonovho-Leibnizovho vzorca máme

kde F"(x) = ƒ(x). Aplikovaním Lagrangeovej vety (vety o konečnom prírastku funkcie) na rozdiel F(b)-F(a) dostaneme

F(b)-F(a) = F"(c) (b-a) = ƒ(c) (b-a).▲

Vlastnosť 5 („teorém o strednej hodnote“) pre ƒ (x) ≥ 0 má jednoduchý geometrický význam: hodnota určitého integrálu sa pre niektorých rovná c є (a; b) ploche obdĺžnika s výškou ƒ (c) a základňou b-a (pozri obr. 170). číslo

sa nazýva priemerná hodnota funkcie ƒ(x) na intervale [a; b].

6. Ak si funkcia ƒ (x) zachová svoje znamienko na segmente [a; b], kde a< b, то интегралимеет тот же знак, что и функция. Так, если ƒ(х)≥0 на отрезке [а; b], то

▼Pomocou „teorému o strednej hodnote“ (vlastnosť 5)

kde c є [a; b]. A keďže ƒ(x) ≥ 0 pre všetky x О [a; b], potom

ƒ(с)≥0, b-а>0.

Preto ƒ(с) (b-а) ≥ 0, t.j. ▲

7. Nerovnosť medzi spojitými funkciami na intervale [a; b], (a

▼Keďže ƒ 2 (x)-ƒ 1 (x)≥0, potom keď a< b, согласно свойству 6, имеем

Alebo podľa vlastnosti 2,

Všimnite si, že nie je možné rozlíšiť nerovnosti.

8. Odhad integrálu. Ak m a M sú najmenšia a najväčšia hodnota funkcie y = ƒ (x) na segmente [a; b], (a< b), то

▼Keďže pre ľubovoľné x є [a;b] máme m≤ƒ(x)≤M, potom podľa vlastnosti 7 máme

Aplikovaním vlastnosti 5 na extrémne integrály dostaneme

▲

Ak ƒ(x)≥0, potom vlastnosť 8 je znázornená geometricky: plocha krivočiareho lichobežníka je uzavretá medzi oblasťami obdĺžnikov, ktorých základňa je , a ktorých výšky sú m a M (pozri obr. 171).

9. Modul určitého integrálu nepresahuje integrál modulu integrandu:

▼Aplikovaním vlastnosti 7 na zrejmé nerovnosti -|ƒ(x)|≤ƒ(x)≤|ƒ(x)| dostaneme

Z toho vyplýva

▲

10. Derivácia určitého integrálu vzhľadom na hornú hranicu premennej sa rovná integrandu, v ktorom je integračná premenná nahradená touto hranicou, t.j.

Výpočet plochy obrazca je jedným z najťažších problémov v teórii plochy. V školskom kurze geometrie sme sa naučili hľadať oblasti základných geometrických útvarov, napríklad kruh, trojuholník, kosoštvorec atď. Oveľa častejšie sa však musíte potýkať s výpočtom plôch zložitejších obrazcov. Pri riešení takýchto problémov sa treba uchýliť k integrálnemu počtu.

V tomto článku sa budeme zaoberať problémom výpočtu plochy krivočiareho lichobežníka a priblížime sa k nemu v geometrickom zmysle. To nám umožní zistiť priame spojenie medzi určitým integrálom a plochou krivočiareho lichobežníka.

Nechajte funkciu y = f(x) kontinuálne na segmente a nemení znamienko na ňom (teda nezáporné alebo nekladné). Obrázok G, ohraničený čiarami y = f(x), y = 0, x = a A x = b, volal zakrivený lichobežník. Označme jeho oblasť S(G).

Pristúpme k problému výpočtu plochy krivočiareho lichobežníka nasledovne. V časti o kvadratických obrazcoch sme zistili, že zakrivený lichobežník je kvadratický obrazec. Ak segment rozdelíte na nčasti s bodkami na označenie a vyberte body tak, že pre , potom čísla zodpovedajúce dolným a horným Darbouxovým súčtom môžu byť považované za zahrnuté P a komplexné Q polygonálne tvary pre G.

Teda aj pri zvýšení počtu rozdeľovacích bodov n, dostávame sa k nerovnosti , kde je ľubovoľne malé kladné číslo, a s A S– dolné a horné Darbouxove súčty pre danú časť segmentu . V inom príspevku . Preto, keď sa obrátime na koncept určitého Darbouxovho integrálu, dostaneme .

Posledná rovnosť znamená, že určitý integrál pre spojitú a nezápornú funkciu y = f(x) predstavuje v geometrickom zmysle oblasť zodpovedajúceho zakriveného lichobežníka. To je čo geometrický význam určitého integrálu.

To znamená, že výpočtom určitého integrálu nájdeme plochu obrázku ohraničenú čiarami y = f(x), y = 0, x = a A x = b.

Komentujte.

Ak je funkcia y = f(x) nepozitívne v segmente , potom oblasť zakriveného lichobežníka možno nájsť ako .

Príklad.

Vypočítajte plochu obrázku ohraničenú čiarami .

Riešenie.

Postavme postavu na rovine: priamka y = 0 sa zhoduje s osou x, rovné čiary x = -2 A x = 3 sú rovnobežné so zvislou osou a krivku možno zostrojiť pomocou geometrických transformácií grafu funkcie.

Preto musíme nájsť oblasť zakriveného lichobežníka. Geometrický význam určitého integrálu nám naznačuje, že požadovaná plocha je vyjadrená určitým integrálom. teda . Tento určitý integrál možno vypočítať pomocou Newtonovho-Leibnizovho vzorca.

Integrály tvaru (m 1, n 1, m 2, n 2, ... - celé čísla). V týchto integráloch je integrand racionálny vzhľadom na integračnú premennú a radikály x. Vypočítajú sa dosadením x=t s, kde s je spoločný menovateľ zlomkov, ... Pri takomto nahradení premennej sú všetky vzťahy = r 1, = r 2, ... celé čísla, t.j. integrál je zredukované na racionálnu funkciu premennej t:

Integrály tvaru (m 1, n 1, m 2, n 2, ... - celé čísla). Tieto integrály sú substitúciou:

kde s je spoločný menovateľ zlomkov, ..., sú redukované na racionálnu funkciu premennej t.

Integrály tvaru Na výpočet integrálu I 1 vyberte úplný štvorec pod znamienkom radikálu:

a použije sa náhrada:

V dôsledku toho sa tento integrál zredukuje na tabuľkový:

V čitateli integrálu I 2 sa rozlišuje diferenciál výrazu pod radikálovým znamienkom a tento integrál je reprezentovaný ako súčet dvoch integrálov:

kde I 1 je vyššie vypočítaný integrál.

Výpočet integrálu I 3 je redukovaný na výpočet integrálu I 1 substitúciou:

Integrál tvaru Špeciálne prípady výpočtu integrálov tohto typu sú uvedené v predchádzajúcom odseku. Existuje niekoľko rôznych metód na ich výpočet. Uvažujme o jednej z týchto techník, založenej na použití trigonometrických substitúcií.

Štvorcová trinomická os 2 +bx+c izoláciou úplného štvorca a zmenou premennej môže byť reprezentovaná v tvare Stačí sa teda obmedziť na tri typy integrálov:

Integrál substitúciou

u=ksint (alebo u=kcost)

redukuje na integrál racionálnej funkcie s ohľadom na sint a náklady.

Integrály tvaru (m, n, p є Q, a, b є R). Uvažované integrály, nazývané integrály diferenciálneho binomu, sú vyjadrené prostredníctvom elementárnych funkcií iba v nasledujúcich troch prípadoch:

1) ak p є Z, potom sa použije substitúcia:

kde s je spoločný menovateľ zlomkov m a n;

2) ak Z, potom sa použije náhrada:

kde s je menovateľ zlomku

3) ak Z, potom sa použije náhrada:

kde s je menovateľ zlomku

Neexistuje univerzálny spôsob riešenia iracionálnych rovníc, pretože ich trieda sa líši v množstve. Článok poukáže na charakteristické typy rovníc so substitúciou pomocou integračnej metódy.

Pre použitie metódy priamej integrácie je potrebné vypočítať neurčité integrály typu ∫ k x + b p d x , kde p je racionálny zlomok, k a b sú reálne koeficienty.

Príklad 1

Nájdite a vypočítajte primitívne derivácie funkcie y = 1 3 x - 1 3 .

Riešenie

Podľa integračného pravidla je potrebné použiť vzorec ∫ f (k x + b) d x = 1 k F (k x + b) + C a tabuľka primitív ukazuje, že na túto funkciu existuje hotové riešenie. . Chápeme to

∫ d x 3 x - 1 3 = ∫ (3 x - 1) - 1 3 d x = 1 3 1 - 1 3 + 1 (3 x - 1) - 1 3 + 1 + C = = 1 2 (3 x - 1 ) 2 3 + C

odpoveď:∫ d x 3 x - 1 3 = 1 2 (3 x - 1) 2 3 + C .

Sú prípady, kedy je možné použiť metódu subsumovania diferenciálneho znamienka. Rieši to princíp hľadania neurčitých integrálov v tvare ∫ f " (x) · (f (x)) p d x , keď hodnotu p považujeme za racionálny zlomok.

Príklad 2

Nájdite neurčitý integrál ∫ 3 x 2 + 5 x 3 + 5 x - 7 7 6 d x .

Riešenie

Všimnite si, že d x 3 + 5 x - 7 = x 3 + 5 x - 7 "d x = (3 x 2 + 5) d x. Potom je potrebné priradiť znamienko diferenciálu pomocou tabuliek primitív. Získame, že

∫ 3 x 2 + 5 x 3 + 5 x - 7 7 6 d x = ∫ (x 3 + 5 x - 7) - 7 6 (3 x 2 + 5) d x = = ∫ (x 3 + 5 x - 7 ) - 7 6 d (x 3 + 5 x - 7) = x 3 + 5 x - 7 = z = = ∫ z - 7 6 d z = 1 - 7 6 + 1 z - 7 6 + 1 + C = - 6 z - 1 6 + C = z = x 3 + 5 x - 7 = - 6 (x 3 + 5 x - 7) 6 + C

odpoveď:∫ 3 x 2 + 5 x 3 + 5 x - 7 7 6 d x = - 6 (x 3 + 5 x - 7) 6 + C .

Riešenie neurčitých integrálov zahŕňa vzorec v tvare ∫ d x x 2 + p x + q, kde p a q sú reálne koeficienty. Potom musíte vybrať celý štvorec spod koreňa. Chápeme to

x 2 + p x + q = x 2 + p x + p 2 2 - p 2 2 + q = x + p 2 2 + 4 q - p 2 4

Použitím vzorca umiestneného v tabuľke neurčitých integrálov dostaneme:

∫ d x x 2 ± α = ln x + x 2 ± α + C

Potom sa vypočíta integrál:

∫ d x x 2 + p x + q = ∫ d x x + p 2 2 + 4 q - p 2 4 = = ln x + p 2 + x + p 2 2 + 4 q - p 2 4 + C = = ln x + p 2 + x 2 + p x + q + C

Príklad 3

Nájdite neurčitý integrál v tvare ∫ d x 2 x 2 + 3 x - 1 .

Riešenie

Ak chcete vypočítať, musíte vybrať číslo 2 a umiestniť ho pred radikál:

∫ d x 2 x 2 + 3 x - 1 = ∫ d x 2 x 2 + 3 2 x - 1 2 = 1 2 ∫ d x x 2 + 3 2 x - 1 2

Vyberte úplný štvorec v radikálnom výraze. Chápeme to

x 2 + 3 2 x - 1 2 = x 2 + 3 2 x + 3 4 2 - 3 4 2 - 1 2 = x + 3 4 2 - 17 16

Potom dostaneme neurčitý integrál v tvare 1 2 ∫ d x x 2 + 3 2 x - 1 2 = 1 2 ∫ d x x + 3 4 2 - 17 16 = = 1 2 ln x + 3 4 + x 2 + 3 2 x - 12 + C

odpoveď: d x x 2 + 3 x - 1 = 1 2 ln x + 3 4 + x 2 + 3 2 x - 1 2 + C

Integrácia iracionálnych funkcií sa vykonáva podobným spôsobom. Platí pre funkcie tvaru y = 1 - x 2 + p x + q.

Príklad 4

Nájdite neurčitý integrál ∫ d x - x 2 + 4 x + 5 .

Riešenie

Najprv musíte odvodiť druhú mocninu menovateľa výrazu spod odmocniny.

∫ d x - x 2 + 4 x + 5 = ∫ d x - x 2 - 4 x - 5 = = ∫ d x - x 2 - 4 x + 4 - 4 - 5 = ∫ d x - x - 2 2 - 9 = ∫ d x - (x - 2) 2 + 9

Tabuľkový integrál má tvar ∫ d x a 2 - x 2 = a r c sin x a + C, potom dostaneme, že ∫ d x - x 2 + 4 x + 5 = ∫ d x - (x - 2) 2 + 9 = a r c sin x - 2 3 + C

odpoveď:∫ d x - x 2 + 4 x + 5 = a rc sin x - 2 3 + C .

Proces hľadania primitívnych iracionálnych funkcií tvaru y = M x + N x 2 + p x + q, kde existujúce M, N, p, q sú reálne koeficienty a sú podobné integrácii jednoduchých zlomkov tretieho typu . Táto transformácia má niekoľko fáz:

sčítanie diferenciálu pod odmocninou, izolovanie úplného štvorca výrazu pod odmocninou pomocou tabuľkových vzorcov.

Príklad 5

Nájdite primitívne derivácie funkcie y = x + 2 x 2 - 3 x + 1.

Riešenie

Z podmienky máme, že d (x 2 - 3 x + 1) = (2 x - 3) d x a x + 2 = 1 2 (2 x - 3) + 7 2, potom (x + 2) d x = 1 2 (2 x - 3) + 7 2 d x = 1 2 d (x 2 - 3 x + 1) + 7 2 d x.

Vypočítajme integrál: ∫ x + 2 x 2 - 3 x + 1 d x = 1 2 ∫ d (x 2 - 3 x + 1) x 2 - 3 x + 1 + 7 2 ∫ d x x 2 - 3 x + 1 = = 1 2 ∫ (x 2 - 3 x + 1) - 1 2 d (x 2 - 3 x + 1) + 7 2 ∫ d x x - 3 2 2 - 5 4 = = 1 2 1 - 1 2 + 1 x 2 - 3 x + 1 - 1 2 + 1 + 7 2 ln x - 3 2 + x - 3 2 - 5 4 + C = = x 2 - 3 x + 1 + 7 2 ln x - 3 2 + x 2 - 3 x + 1 + C

odpoveď:∫ x + 2 x 2 - 3 x + 1 d x = x 2 - 3 x + 1 + 7 2 ln x - 3 2 + x 2 - 3 x + 1 + C.

Hľadanie neurčitých integrálov funkcie ∫ x m (a + b x n) p d x sa vykonáva substitučnou metódou.

Na vyriešenie je potrebné zaviesť nové premenné:

1. Keď p je celé číslo, potom sa uvažuje x = z N a N je spoločný menovateľ pre m, n.
2. Keď m + 1 n je celé číslo, potom a + b x n = z N a N je menovateľ p.
3. Keď m + 1 n + p je celé číslo, potom sa vyžaduje premenná a x - n + b = z N a N je menovateľ čísla p.

Príklad 6

Nájdite určitý integrál ∫ 1 x 2 x - 9 d x .

Riešenie

Dostaneme, že ∫ 1 x 2 x - 9 d x = ∫ x - 1 · (- 9 + 2 x 1) - 1 2 d x . Z toho vyplýva, že m = - 1, n = 1, p = - 1 2, potom m + 1 n = - 1 + 1 1 = 0 je celé číslo. Môžete zaviesť novú premennú v tvare - 9 + 2 x = z 2. X je potrebné vyjadriť pomocou z. Ako výstup to dostaneme

9 + 2 x = z 2 ⇒ x = z 2 + 9 2 ⇒ d x = z 2 + 9 2 " d z = z d z - 9 + 2 x = z

Do daného integrálu je potrebné vykonať substitúciu. To máme

∫ d x x 2 x - 9 = ∫ z d z z 2 + 9 2 z = 2 ∫ d z z 2 + 9 = = 2 3 a r c t g z 3 + C = 2 3 a r c c t g 2 x - 9 3 + C

odpoveď:∫ d x x 2 x - 9 = 2 3 a r c k t g 2 x - 9 3 + C.

Na zjednodušenie riešenia iracionálnych rovníc sa používajú základné integračné metódy.

Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter

Sú uvedené základné metódy integrácie iracionálnych funkcií (korene). Patria sem: integrácia lineárnej zlomkovej iracionality, diferenciálny binom, integrály s druhou odmocninou štvorcového trinomu. Uvádzajú sa trigonometrické substitúcie a Eulerove substitúcie. Uvažuje sa o niektorých eliptických integráloch vyjadrených prostredníctvom elementárnych funkcií.

Obsah

Integrály z diferenciálnych dvojčlenov

Integrály z diferenciálnych binomických prvkov majú tvar:
,
kde m, n, p sú racionálne čísla, a, b sú reálne čísla.
Takéto integrály sa v troch prípadoch redukujú na integrály racionálnych funkcií.

1) Ak p je celé číslo. Substitúcia x = t N, kde N je spoločný menovateľ zlomkov m a n.
2) Ak - celé číslo. Substitúcia a x n + b = t M, kde M je menovateľ čísla p.
3) Ak - celé číslo. Substitúcia a + b x - n = t M, kde M je menovateľ čísla p.

V iných prípadoch sa takéto integrály nevyjadrujú prostredníctvom elementárnych funkcií.

Niekedy je možné takéto integrály zjednodušiť pomocou redukčných vzorcov:
;
.

Integrály obsahujúce druhú odmocninu štvorcového trojčlenu

Takéto integrály majú tvar:
,
kde R je racionálna funkcia. Pre každý takýto integrál existuje niekoľko metód na jeho riešenie.
1) Použitie transformácií vedie k jednoduchším integrálom.
2) Použite trigonometrické alebo hyperbolické substitúcie.
3) Použiť Eulerove substitúcie.

Pozrime sa na tieto metódy podrobnejšie.

1) Transformácia integrandovej funkcie

Použitím vzorca a vykonaním algebraických transformácií zredukujeme funkciu integrandu na tvar:
,
kde φ(x), ω(x) sú racionálne funkcie.

Typ I

Integrál formulára:
,
kde P n (x) je polynóm stupňa n.

Takéto integrály sa nachádzajú metódou neurčitých koeficientov pomocou identity:

.
Diferencovaním tejto rovnice a prirovnaním ľavej a pravej strany nájdeme koeficienty A i.

Typ II

Integrál formulára:
,
kde P m (x) je polynóm stupňa m.

Substitúcia t = (x - a) -1 tento integrál je redukovaný na predchádzajúci typ. Ak m ≥ n, zlomok by mal mať celočíselnú časť.

III typ

Tu vykonáme náhradu:
.
Potom bude mať integrál tvar:
.
Ďalej je potrebné zvoliť konštanty α, β tak, aby koeficienty t v menovateli boli nulové:
B = 0, B1 = 0.
Potom sa integrál rozloží na súčet integrálov dvoch typov:
,
,
ktoré sú integrované substitúciami:
u2 = A1t2 + C1,
v2 = Ai + Cit-2.

2) Trigonometrické a hyperbolické substitúcie

Pre integrály tvaru a > 0 ,
máme tri hlavné substitúcie:
;
;
;

Pre integrály, a > 0 ,
máme nasledujúce náhrady:
;
;
;

A nakoniec, pre integrály, a > 0 ,
náhrady sú nasledovné:
;
;
;

3) Eulerove substitúcie

Integrály možno tiež zredukovať na integrály racionálnych funkcií jednej z troch Eulerových substitúcií:
pre a > 0;
, pre c > 0;
, kde x 1 je koreň rovnice a x 2 + b x + c = 0. Ak má táto rovnica skutočné korene.

Eliptické integrály

Na záver zvážte integrály tvaru:
,
kde R je racionálna funkcia, . Takéto integrály sa nazývajú eliptické. Vo všeobecnosti nie sú vyjadrené prostredníctvom elementárnych funkcií. Sú však prípady, keď medzi koeficientmi A, B, C, D, E existujú vzťahy, v ktorých sú takéto integrály vyjadrené prostredníctvom elementárnych funkcií.

Nižšie je uvedený príklad súvisiaci s reflexnými polynómami. Výpočet takýchto integrálov sa vykonáva pomocou substitúcií:
.

Príklad

Vypočítajte integrál:
.

Urobme náhradu.

.
Tu na x > 0 (u> 0 ) použite horné znamienko ′+ ′. Pri x< 0 (u< 0 ) - nižšie "-".

.

Referencie:
N.M. Gunter, R.O. Kuzmin, Zbierka úloh z vyššej matematiky, „Lan“, 2003.

Pozri tiež:

Plán:

1. Integrácia jednoduchých racionálnych zlomkov.
2. Integrácia niektorých iracionálnych funkcií.
3. Univerzálna trigonometrická substitúcia.

1. Integrácia jednoduchých racionálnych zlomkov

Pripomeňme si, že funkcia formulára P(x)=a o x n + a 1 x n-1 + a 2 x n-2 +…+ a n-1 x n + a n, Kde , a o, a 1 ...a p – konštantné koeficienty sa nazývajú polynóm alebo racionálna funkcia . číslo P volal stupeň polynómu .

Zlomková racionálna funkcia sa nazýva funkcia rovnajúca sa podielu dvoch polynómov, t.j. .

Zoberme si niekoľko jednoduchých integrálov zlomkových racionálnych funkcií:

1.1. Nájsť integrály formulára (A - konšt) použijeme integrály niektorých zložitých funkcií: = .

Príklad 20.1. Nájdite integrál.

Riešenie. Použime vyššie uvedený vzorec =. Dostaneme to = .

1.2. Nájsť integrály formulára (A - konšt) použijeme metódu výberu úplného štvorca v menovateli. V dôsledku transformácií sa pôvodný integrál zredukuje na jeden z dvoch tabuľkových integrálov: alebo .

Uvažujme o výpočte takýchto integrálov na konkrétnom príklade.

Príklad 20.2. Nájdite integrál.

Riešenie. Skúsme v menovateli izolovať úplný štvorec, t.j. prísť na vzorec (a ± b) 2 = a 2 ± 2ab + b 2.

Za toto 4 X reprezentovať to ako dvojnásobok súčinu 2∙2∙ X. Preto k výrazu X 2 + 4X aby ste získali úplný štvorec, mali by ste pridať druhú mocninu čísla dva, t.j. 4: X 2 + 4x + 4 = (x + 2) 2 . x + 2) 2 odčítajte 4. Dostaneme nasledujúci reťazec transformácií:

x + 2 = A, Potom . Poďme nahradiť A A dx do výsledného integrálu: = = . Použime tabuľkový integrál: , Kde A= 3. Dostaneme, že = . Poďme namiesto toho nahradiť A výraz x+ 2:

odpoveď: = .

1.3. Nájsť integrály formulára (M, N - konšt) použijeme nasledovné algoritmu :

1. Vyberte celý štvorec v menovateli.

2. Výraz v zátvorke označujeme ako novú premennú t. nájdeme X, dx a dať ich dokopy s t do pôvodného integrálu (získame integrál obsahujúci iba premennú t).

3. Výsledný integrál rozdelíme na súčet dvoch integrálov, z ktorých každý vypočítame samostatne: jeden integrál riešime substitučnou metódou, druhý redukujeme na jeden zo vzorcov alebo .

Príklad 20.3. Nájdite integrál.

Riešenie. 1. Skúsme izolovať celý štvorec v menovateli . Za toto 6 X reprezentovať to ako dvojnásobok súčinu 2∙3∙ X. Potom k výrazu X 2 - 6X mali by ste pridať druhú mocninu čísla tri, t.j. číslo 9: X 2 – 6X + 9 = (X - 3) 2 . Ale aby sa výraz v menovateli nezmenil, je potrebné z ( X- 3) 2 odčítajte 9. Dostaneme reťaz transformácií:

2. Zavedme nasledujúcu substitúciu: nech x-3=t(Prostriedky , X=t+ 3), potom . Poďme nahradiť t, x, dx do integrálu:

3. Predstavme si výsledný integrál ako súčet dvoch integrálov:

Poďme ich nájsť samostatne.

3.1 Prvý integrál sa vypočíta substitučnou metódou. Označme menovateľ zlomku, teda . Odtiaľ. Poďme nahradiť A A dt do integrálu a priviesť ho do tvaru: = = = ln|u|+C= =ln|t 2+16|+C. Zostáva sa vrátiť k premennej X. Odvtedy ln|t 2+16|+C = ln|x 2 - 6X+25|+C.

3.2 Druhý integrál sa vypočíta podľa vzorca: (Kde a= 4). Potom = = .

3.3 Pôvodný integrál sa rovná súčtu integrálov nájdených v odsekoch 3.1 a 3.2: = ln|x 2 - 6X+25|+ .

odpoveď: =ln|x 2 - 6X+25|+ .

Metódy integrácie iných racionálnych funkcií sú diskutované v úplnom kurze matematickej analýzy (pozri napríklad Pismenny D.T. Lecture notes in vyššej matematiky, časť 1 - M.: Airis-press, 2006.).

1. Integrácia niektorých iracionálnych funkcií.

Uvažujme o nájdení neurčitých integrálov nasledujúcich typov iracionálnych funkcií: a ( a,b,c – konšt.). Na ich nájdenie použijeme metódu izolácie úplného štvorca v iracionálnom vyjadrení. Potom je možné uvažované integrály zredukovať na tieto formy: ,

Pozrime sa na hľadanie integrálov niektorých iracionálnych funkcií pomocou konkrétnych príkladov.

Príklad 20.4. Nájdite integrál.

Riešenie. Pokúsme sa izolovať celý štvorec v menovateli . Pre toto 2 X reprezentovať to ako dvojnásobok súčinu 2∙1∙ X. Potom k výrazu X 2 +2X jeden by mal pridať druhú mocninu jednotky ( X 2 + 2X + 1 = (x + 1) 2) a odčítame 1. Dostaneme reťaz transformácií:

Vypočítajme výsledný integrál pomocou substitučnej metódy. Položme x + 1 = A, Potom . Poďme nahradiť a dx , Kde A= 4. Chápeme to . Poďme namiesto toho nahradiť A výraz x+ 1:

odpoveď: = .

Príklad 20.5. Nájdite integrál.

Riešenie. Pokúsme sa izolovať úplný štvorec pod koreňovým znakom . Za toto 8 X reprezentovať to ako dvojnásobok súčinu 2∙4∙ X. Potom k výrazu X 2 -8X treba pridať štvorec štyroch ( X 2 - 8X + 16 = (X - 4) 2) a odčítajte ho. Dostaneme reťaz transformácií:

Vypočítajme výsledný integrál pomocou substitučnej metódy. Položme X - 4 = A, Potom . Poďme nahradiť a dx do výsledného integrálu: = . Použime tabuľkový integrál: , Kde A= 3. Chápeme to . Poďme namiesto toho nahradiť A výraz X- 4:

odpoveď: = .

1. Univerzálna trigonometrická substitúcia.

Ak chcete nájsť neurčitý integrál funkcie, ktorá obsahuje sinx A cosx, ktoré sú spojené iba operáciami sčítania, odčítania, násobenia alebo delenia, potom môžete použiť univerzálna trigonometrická substitúcia .

Podstatou tejto substitúcie je to sinx A cosx možno vyjadriť pomocou tangens polovičného uhla takto: , . Potom, ak zavedieme substitúciu , tak sinx A cosx bude vyjadrený prostredníctvom t nasledujúcim spôsobom: , . Zostáva sa vyjadriť X cez t a nájsť dx.

Ak potom. nájdeme dx: = .

Takže na uplatnenie univerzálnej substitúcie stačí označiť sinx A cosx cez t(vzorce sú zvýraznené v rámčeku) a dx písať ako . Výsledkom je, že pod znamienkom integrálu by ste mali dostať racionálnu funkciu, ktorej integrácia bola uvažovaná v odseku 1. Metóda použitia univerzálnej substitúcie je zvyčajne veľmi ťažkopádna, ale vždy vedie k výsledku.

Zoberme si príklad použitia univerzálnej trigonometrickej substitúcie.

Príklad 20.6. Nájdite integrál.

Riešenie. Aplikujme univerzálnu substitúciu, potom , , dx=. Preto = = = = = ., teda sú brané ").

Existuje mnoho integrálov nazývaných " neprebraté ". Takéto integrály nie sú vyjadrené prostredníctvom nám známych elementárnych funkcií. Napríklad nie je možné vziať integrál, pretože neexistuje žiadna elementárna funkcia, ktorej derivácia by sa rovnala . Niektoré z „neprevzatých“ integrálov sú však má veľký praktický význam.Takto sa integrál nazýva Poissonov integrál a je široko používaný v teórii pravdepodobnosti.

Existujú ďalšie dôležité „neintegrovateľné“ integrály: - integrálny logaritmus (používaný v teórii čísel) a - Fresnelove integrály (používané vo fyzike). Boli pre nich zostavené podrobné tabuľky hodnôt pre rôzne hodnoty argumentu. X.

Kontrolné otázky:

Podobné články