Riešenie diferenciálnych rovníc prvého rádu so separovateľnými premennými. Diferenciálne rovnice redukujúce na rovnice so separovateľnými premennými

V celom rade obyčajných diferenciálnych rovníc 1. rádu sú také, v ktorých možno premenné x a y rozdeliť na pravú a ľavú stranu rovnice. Premenné môžu byť už oddelené, ako je možné vidieť v rovnici f(y)d y = g(x)dx. Premenné v ODR f 1 (y) · g 1 (x) d y = f 2 (y) · g 2 (x) d x môžete oddeliť vykonaním transformácií. Najčastejšie sa na získanie rovníc so separovateľnými premennými používa metóda zavádzania nových premenných.

V tejto téme podrobne preskúmame spôsob riešenia rovníc s oddelenými premennými. Uvažujme rovnice so separovateľnými premennými a diferenciálne rovnice, ktoré možno redukovať na rovnice so separovateľnými premennými. V tejto časti sme analyzovali veľké množstvo problémov na danú tému s podrobnou analýzou riešenia.

Aby ste si uľahčili zvládnutie témy, odporúčame vám oboznámiť sa s informáciami uverejnenými na stránke „Základné definície a pojmy z teórie diferenciálnych rovníc“.

Separované diferenciálne rovnice f (y) d y = g (x) d x

Definícia 1

Rovnice so separovanými premennými sa nazývajú diferenciálne rovnice tvaru f (y) d y = g (x) d x. Ako už názov napovedá, premenné, ktoré tvoria výraz, sú na oboch stranách znamienka rovnosti.

Dohodnime sa, že funkcie f (y) a g(x) budeme predpokladať nepretržité.

Pre rovnice so separovanými premennými bude všeobecný integrál ∫ f (y) d y = ∫ g (x) d x. Všeobecné riešenie diferenciálnej rovnice môžeme získať v tvare implicitne špecifikovanej funkcie Ф (x, y) = 0 za predpokladu, že integrály z vyššie uvedenej rovnosti sú vyjadrené v elementárnych funkciách. V niektorých prípadoch je možné vyjadriť funkciu y v explicitnom tvare.

Príklad 1

Nájdite všeobecné riešenie separovanej diferenciálnej rovnice y 2 3 d y = sin x d x .

Riešenie

Poďme integrovať obe strany rovnosti:

∫ y 2 3 d y = ∫ sin x d x

Toto je v skutočnosti všeobecné riešenie tohto riadiaceho systému. V skutočnosti sme zredukovali problém hľadania všeobecného riešenia diferenciálnej rovnice na problém hľadania neurčitých integrálov.

Teraz môžeme použiť tabuľku primitív na získanie integrálov, ktoré sú vyjadrené v elementárnych funkciách:

∫ y 2 3 d y = 3 5 y 5 3 + C 1 ∫ sin x d x = - cos x + C 2 ⇒ ∫ y 2 3 d y = ∫ sin x d x ⇔ 3 5 y 3 5 + C 1 = -
kde C1 a C2 sú ľubovoľné konštanty.

Funkcia 3 5 y 3 5 + C 1 = - cos x + C 2 je špecifikovaná implicitne. Je to všeobecné riešenie pôvodnej separovanej premennej diferenciálnej rovnice. Dostali sme odpoveď a nemusíme pokračovať v rozhodnutí. V uvažovanom príklade však možno požadovanú funkciu vyjadriť explicitne pomocou argumentu x.

Dostaneme:

3 5 y 5 3 + C 1 ⇒ y = - 5 3 cos x + C 3 5, kde C = 5 3 (C 2 - C 1)

Všeobecným riešením tohto DE je funkcia y = - 5 3 cos x + C 3 5

odpoveď:

Odpoveď môžeme napísať niekoľkými spôsobmi: ∫ y 2 3 d y = ∫ sin x d x alebo 3 5 y 5 3 + C 1 = - cos x + C 2, alebo y = - 5 3 cos x + C 3 5

Vždy stojí za to, aby ste učiteľovi objasnili, že okrem zručností pri riešení diferenciálnych rovníc máte aj schopnosť transformovať výrazy a prijímať integrály. Je to jednoduché. Konečnú odpoveď stačí dať vo forme explicitnej funkcie alebo implicitne špecifikovanej funkcie Ф (x, y) = 0.

Diferenciálne rovnice so separovateľnými premennými f 1 (y) g 1 (x) d y = f 2 (y) g 2 (x) d x

y " = d y d x v prípadoch, keď y je funkciou argumentu x.

V DE f 1 (y) g 1 (x) d y = f 2 (y) g 2 (x) d x alebo f 1 (y) g 1 (x) y " = f 2 (y) g 2 (x) d x môžeme vykonávať transformácie takým spôsobom, aby sme oddelili premenné. Tento typ DE sa nazýva DE so separovateľnými premennými. Zodpovedajúce DE so separovanými premennými budeme písať ako f 1 (y) f 2 (y) d y = g 2 ( x ) g 1 ( x ) d x .

Pri oddeľovaní premenných je potrebné vykonávať všetky transformácie opatrne, aby sa predišlo chybám. Výsledná a pôvodná rovnica musia byť navzájom ekvivalentné. Ako kontrolu môžete použiť podmienku, podľa ktorej f 2 (y) a g 1 (x) by nemala zmiznúť na integračnom intervale. Ak táto podmienka nie je splnená, existuje možnosť, že o niektoré z riešení prídete.

Príklad 2

Nájdite všetky riešenia diferenciálnej rovnice y " = y · (x 2 + e x) .

Riešenie

Vieme oddeliť x a y, preto máme do činenia s diferenciálnou rovnicou so separovateľnými premennými.

y " = y · (x 2 + e x) ⇔ d y d x = y · (x 2 + e x) ⇔ d y y = (x 2 + e x) d x pr a y ≠ 0

Keď y = 0, pôvodná rovnica sa stane identitou: 0 " = 0 · (x 2 + e x) ⇔ 0 ≡ 0. To nám umožní tvrdiť, že y = 0 je riešením DE. Toto sme nemohli vziať riešenie pri vykonávaní transformácií.

Urobme integráciu diferenciálnej rovnice so separovanými premennými d y y = (x 2 + e x) d x:
∫ d y y = ∫ (x 2 + e x) d x ∫ d y y = ln y + C 1 ∫ (x 2 + e x) d x = x 3 3 + e x + C 2 ⇒ ln y + C 1 = e x 3 + C 2 ⇒ ln y = x 3 3 + e x + C

Pri realizácii transformácie sme vykonali výmenu C2 - C1 na S. Riešenie DE má tvar implicitne špecifikovanej funkcie ln y = x 3 3 + e x + C . Túto funkciu sme schopní explicitne vyjadriť. Aby sme to dosiahli, zosilnime výslednú rovnosť:

ln y = x 3 3 + e x + C ⇔ e ln y = e x 3 3 + e x + C ⇔ y = e x 3 3 + e x + C

odpoveď: y = ex33 + ex + C, y = 0

Diferenciálne rovnice redukujúce na rovnice s oddeliteľnými premennými y " = f (a x + b y), a ≠ 0, b ≠ 0

Aby sa zmenšil obyčajný 1. rád DE y " = f (a x + b y), a ≠ 0, b ≠ 0, do rovnice s oddeliteľnými premennými je potrebné zaviesť novú premennú z = a x + b y, kde z je funkcia argumentu X.

Dostaneme:

z = a x + b y ⇔ y = 1 b (z - a x) ⇒ y " = 1 b (z " - a) f (a x + b y) = f (z)

Vykonávame substitúciu a potrebné transformácie:

y " = f (a x + b y) ⇔ 1 b (z " - a) = f (z) ⇔ z " = b f (z) + a ⇔ d z b f (z) + a = d x, b f (z) + a ≠ 0

Príklad 3

Nájdite všeobecné riešenie diferenciálnej rovnice y " = 1 ln (2 x + y) - 2 a konkrétne riešenie spĺňajúce počiatočnú podmienku y (0) = e.

Riešenie

Predstavme si premennú z = 2 x + y, dostaneme:

y = z - 2 x ⇒ y " = z " - 2 ln (2 x + y) = ln z

Výsledok, ktorý sme dostali, dosadíme do pôvodného výrazu a transformujeme ho na diferenciálnu rovnicu s oddeliteľnými premennými:

y " = 1 ln (2 x + y) - 2 ⇔ z " - 2 = 1 ln z - 2 ⇔ d z d x = 1 ln z

Po oddelení premenných integrujme obe strany rovnice:

d z d z = 1 ln z ⇔ ln z d z = d x ⇔ ∫ ln z d z = ∫ d x

Použime metódu integrácie po častiach, aby sme našli integrál umiestnený na ľavej strane rovnice. Pozrime sa na integrál na pravej strane tabuľky.

∫ ln z d z = u = ln z, d v = d z d u = d z z, v = z = z ln z - ∫ z d z z = = z ln z - z + C 1 = z (ln z - 1) + C 1 ∫ d x = x + C 2

Môžeme konštatovať, že z · (ln z - 1) + C 1 = x + C 2 . Teraz ak to prijmeme C = C2-C1 a vykonáme spätnú výmenu z = 2 x + y, potom získame všeobecné riešenie diferenciálnej rovnice vo forme implicitne špecifikovanej funkcie:

(2 x + y) · (ln (2 x + y) - 1) = x + C

Teraz začnime hľadať konkrétne riešenie, ktoré musí spĺňať počiatočnú podmienku y(0)=e. Urobme náhradu x = 0 a y (0) = e do všeobecného riešenia DE a nájdite hodnotu konštanty C.

(2 0 + e) (ln (2 0 + e) - 1) = 0 + C e (ln e - 1) = C C = 0

Dostaneme konkrétne riešenie:

(2 x + y) · (ln (2 x + y) - 1) = x

Keďže problémový príkaz nešpecifikoval interval, v ktorom je potrebné nájsť všeobecné riešenie pre DE, hľadáme riešenie, ktoré je vhodné pre všetky hodnoty argumentu x, pre ktoré má pôvodný DE zmysel.

V našom prípade má DE zmysel pre ln (2 x + y) ≠ 0, 2 x + y > 0

Diferenciálne rovnice redukujúce na rovnice s oddeliteľnými premennými y " = f x y alebo y " = f y x

Diferenciálne rovnice v tvare y " = f x y alebo y " = f y x môžeme zredukovať na separovateľné diferenciálne rovnice tak, že dosadíme z = x y alebo z = y x , kde z– funkcia argumentu x.

Ak z = x y, potom y = x z a podľa pravidla zlomkovej diferenciácie:

y " = x y " = x " z - x z " z 2 = z - x z " z 2

V tomto prípade budú rovnice mať tvar z - x · z " z 2 = f (z) alebo z - x · z " z 2 = f 1 z

Ak vezmeme z = y x, potom y = x ⋅ z a podľa pravidla derivácie súčinu y " = (x z) " = x " z + x z " = z + x z ". V tomto prípade sa rovnice zredukujú na z + x z " = f1 z alebo z + x z " = f (z).

Príklad 4

Vyriešte diferenciálnu rovnicu y " = 1 e y x - y x + y x

Riešenie

Zoberme si z = y x, potom y = x z ⇒ y " = z + x z ". Dosadíme do pôvodnej rovnice:

y " = 1 e y x - y x + y x ⇔ z + x z " = 1 e z - z + z ⇔ x d z d x = 1 e z - z ⇔ (e z - z) d z = d x x

Integrujme rovnicu s oddelenými premennými, ktoré sme získali pri vykonávaní transformácií:

∫ (e z - z) d z = ∫ d x x e z - z 2 2 + C 1 = ln x + C 2 e z - z 2 2 = ln x + C, C = C 2 - C 1

Urobme opačnú substitúciu, aby sme získali všeobecné riešenie pôvodného DE vo forme implicitne špecifikovanej funkcie:

e y x - 1 2 y 2 x 2 = ln x + C

Teraz sa pozrime na diaľkové ovládače, ktoré majú tvar:

y " = a 0 y n + a 1 y n - 1 x + a 2 y n - 2 x 2 + ... + a n x n b 0 y n + b 1 y n - 1 x + b 2 y n - 2 x 2 + ... + b n x n

Delenie čitateľa a menovateľa zlomku umiestneného na pravej strane záznamu o y n alebo x n, môžeme si predstaviť pôvodné DE y " = f x y alebo y " = f y x

Príklad 5

Nájdite všeobecné riešenie diferenciálnej rovnice y " = y 2 - x 2 2 x y

Riešenie

V tejto rovnici sa x a y líšia od 0. To nám umožňuje rozdeliť čitateľa a menovateľa zlomku umiestneného na pravej strane zápisu x 2:

y " = y 2 - x 2 2 x y ⇒ y " = y 2 x 2 - 1 2 y x

Ak zavedieme novú premennú z = y x, dostaneme y = x z ⇒ y " = z + x z ".

Teraz musíme dosadiť do pôvodnej rovnice:

y " = y 2 x 2 - 1 2 y x ⇔ z " x + z = z 2 - 1 2 z ⇔ z " x = z 2 - 1 2 z - z ⇔ z " x = z 2 - 1 - 2 z 2 2 z ⇔ d z d x x = - z 2 + 1 2 z ⇔ 2 z d z z 2 + 1 = - d x x

Takto sme sa dostali k DE s oddelenými premennými. Poďme nájsť jeho riešenie:

∫ 2 z d z z 2 + 1 = - ∫ d x x ∫ 2 z d z z 2 + 1 = ∫ d (z 2 + 1) z 2 + 1 = ln z 2 + 1 + C 1 - ∫ d x x = - ln x + C 2 z2 + 1 + C1 = - ln x + C2

Pre túto rovnicu môžeme získať explicitné riešenie. Aby sme to urobili, vezmime - ln C = C 2 - C 1 a aplikujme vlastnosti logaritmu:

ln z 2 + 1 = - ln x + C 2 - C 1 ⇔ ln z 2 + 1 = - ln x - ln C ⇔ ln z 2 + 1 = - ln C x ⇔ ln z 2 + 1 = ln C x - 1 ⇔ e ln z 2 + 1 = e ln 1 C x ⇔ z 2 + 1 = 1 C x ⇔ z ± 1 C x - 1

Teraz vykonáme opačnú substitúciu y = x ⋅ z a napíšeme všeobecné riešenie pôvodnej diferenciálnej rovnice:

y = ± x 1 C x - 1

V tomto prípade by bolo správne aj druhé riešenie. Môžeme použiť náhradu z = x y. Pozrime sa na túto možnosť podrobnejšie.

Rozdeľme čitateľa a menovateľa zlomku na pravej strane rovnice o y 2:

y " = y 2 - x 2 2 x y ⇔ y " = 1 - x 2 y 2 2 x y

Nech z = x y

Potom y " = 1 - x 2 y 2 2 x y ⇔ z - z " x z 2 = 1 - z 2 2 z

Dosadme do pôvodnej rovnice, aby sme získali diferenciálnu rovnicu s oddeliteľnými premennými:

y " = 1 - x 2 y 2 2 x y ⇔ z - z " x z 2 = 1 - z 2 2 z

Delením premenných dostaneme rovnosť d z z (z 2 + 1) = d x 2 x, ktorú môžeme integrovať:

∫ d z z (z 2 + 1) = ∫ d x 2 x

Ak integrand integrálnej funkcie ∫ d z z (z 2 + 1) rozšírime na jednoduché zlomky, dostaneme:

∫ 1 z - z z 2 + 1 d z

Vykonajte integráciu jednoduchých zlomkov:

∫ 1 z - z z 2 + 1 d z = ∫ z d z z 2 + 1 = ∫ d t z - 1 2 ∫ d (z 2 + 1) z 2 + 1 = = ln z - 1 2 ln z 2 + 1 + C 1 = ln zz2 + 1 + C1

Teraz nájdime integrál ∫ d x 2 x:

∫ d x 2 x = 1 2 ln x + C 2 = ln x + C 2

V dôsledku toho dostaneme ln z z 2 + 1 + C 1 = ln x + C 2 alebo ln z z 2 + 1 = ln C x, kde ln C = C2 - C1.

Urobme opačnú substitúciu z = x y a potrebné transformácie, dostaneme:

y = ± x 1 C x - 1

Možnosť riešenia, v ktorej sme nahradili z = x y, sa ukázala ako náročnejšia na prácu ako v prípade nahradenia z = y x. Tento záver bude platiť pre veľký počet rovníc v tvare y" = f x y alebo y" = f y x. Ak sa zvolená možnosť riešenia takýchto rovníc ukáže ako náročná na prácu, môžete namiesto nahradenia z = x y zaviesť premennú z = y x. Výsledok to nijako neovplyvní.

Diferenciálne rovnice redukujúce na rovnice so separovateľnými premennými y " = f a 1 x + b 1 y + c 1 a 2 x + b 2 y + c 2, a 1, b 1, c 1, a 2, b 2, c 2 ∈ R

Diferenciálne rovnice y" = f a 1 x + b 1 y + c 1 a 2 x + b 2 y + c 2 možno redukovať na rovnice y" = f x y alebo y" = f y x, teda na rovnice so separovateľnými premennými. Na tento účel nájdite (x 0 , y 0) - riešenie systému dvoch lineárnych homogénnych rovníc a 1 x + b 1 y + c 1 = 0 a 2 x + b 2 y + c 2 = 0 a nové premenné sú zavedené u = x - x 0 v = y - y 0. Po tomto nahradení bude mať rovnica tvar d v d u = a 1 u + b 1 v a 2 u + b 2 v.

Príklad 6

Nájdite všeobecné riešenie diferenciálnej rovnice y" = x + 2 y - 3 x - 1 .

Riešenie

Zostavíme a vyriešime sústavu lineárnych rovníc:

x + 2 y - 3 = 0 x - 1 = 0 ⇔ x = 1 y = 1

Zmeňme premenné:

u = x - 1 v = y - 1 ⇔ x = u + 1 y = v + 1 ⇒ d x = d u d y = d v

Po dosadení do pôvodnej rovnice dostaneme d y d x = x + 2 y - 3 x - 1 ⇔ d v d u = u + 2 v u . Po rozdelení podľa u v čitateli a menovateli pravej strany máme d v d u = 1 + 2 v u .

Zavedieme novú premennú z = v u ⇒ v = z · y ⇒ d v d u = d z d u · u + z, potom

d v d u = 1 + 2 v u ⇔ d z d u · u + z = 1 + 2 z ⇔ d z 1 + z = d u u ⇒ ∫ d z 1 + z = ∫ d u u ⇔ ln 1 + z + C 1 = ln u + C 1 = ln u + C + z = ln u + ln C , ln C = C 2 - C 1 ln 1 + z = ln C u 1 + z = C u ⇔ z = C u - 1 ⇔ v u = C u - 1 ⇔ v = u ( C u - 1)

Vrátime sa k pôvodným premenným, pričom vykonáme opačnú substitúciu u = x - 1 v = y - 1:
v = u (Cu - 1) ⇔ y - 1 = (x - 1) (C (x - 1) - 1) ⇔ y = C x 2 - (2 C + 1) x + C + 2

Toto je všeobecné riešenie diferenciálnej rovnice.

Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter

Uvažujme príklady riešenia diferenciálnych rovníc so separovateľnými premennými.

1) Integrujte diferenciálnu rovnicu: (1+x²)dy-2xydx=0.

Táto rovnica je oddeliteľná rovnica, napísaná ako

Ponecháme člen s dy na ľavej strane rovnice a presunieme člen s dx na pravú stranu:

(1+x²)dy = 2xydx

Premenné oddelíme, to znamená, že na ľavej strane necháme len dy a na pravej strane všetko, čo obsahuje y, dx a x. Za týmto účelom vydeľte obe strany rovnice (1+x²) a y. Dostaneme

Integrujme obe strany rovnice:

Na ľavej strane je tabuľkový integrál. Integrál na pravej strane možno nájsť napríklad tak, že nahradíme t=1+x²

dt=(1+x²)’dx=2xdx.

V príkladoch, kde je možné vykonať potenciáciu, to znamená odstrániť logaritmy, je vhodné vziať nie C, ale lnC. Presne toto urobíme: ln│y│=ln│t│+ln│C│. Keďže súčet logaritmov sa rovná logaritmu súčinu, potom ln│y│=ln│Сt│, odkiaľ y=Ct. Urobíme opačnú zmenu a dostaneme všeobecné riešenie: y=C(1+x²).

Delili sme 1+x² a y za predpokladu, že sa nerovnajú nule. Ale 1+x² sa nerovná nule pre žiadne x. A y=0 pri C=0, teda nenastala žiadna strata koreňov.

Odpoveď: y=C(1+x²).

2) Nájdite všeobecný integrál rovnice

Premenné je možné oddeliť.

Vynásobte obe strany rovnice dx a vydeľte

Dostaneme:

Teraz sa integrujme

Na ľavej strane je tabuľkový integrál. Vpravo - urobíme náhradu 4-x²=t, potom dt=(4-x²)’dx=-2xdx. Dostaneme

Ak namiesto C vezmeme 1/2 ln│C│, môžeme odpoveď napísať kompaktnejšie:

Vynásobme obe strany 2 a použijeme vlastnosť logaritmu:

Rozdelili sme podľa

Nerovnajú sa nule: y²+1 - keďže súčet nezáporných čísel sa nerovná nule a radikálny výraz sa v zmysle podmienky nerovná nule. To znamená, že nedošlo k strate koreňov.

3) a) Nájdite všeobecný integrál rovnice (xy²+y²)dx+(x²-x²y)dy=0.

b) Nájdite parciálny integrál tejto rovnice, ktorý spĺňa počiatočnú podmienku y(e)=1.

a) Transformujte ľavú stranu rovnice: y²(x+1)dx+x²(1-y)dy=0, potom

y²(x+1)dx=-x²(1-y)dy. Obidve strany delíme x²y² za predpokladu, že ani x ani y sa nerovnajú nule. Dostaneme:

Integrujme rovnicu:

Pretože rozdiel logaritmov sa rovná logaritmu kvocientu, máme:

Toto je všeobecný integrál rovnice. V procese riešenia sme stanovili podmienku, že súčin x²y² sa nerovná nule, z čoho vyplýva, že x a y by sa nemali rovnať nule. Dosadením x=0 a y=0 do podmienky: (0,0²+0²)dx+(0²-0²0)dy=0 dostaneme správnu rovnosť 0=0. To znamená, že x=0 a y=0 sú tiež riešeniami tejto rovnice. Ale nie sú zahrnuté vo všeobecnom integráli pre žiadne C (nuly sa nemôžu objaviť pod znamienkom logaritmu a v menovateli zlomku), takže tieto riešenia by sa mali písať navyše k všeobecnému integrálu.

b) Keďže y(e)=1, dosadíme do výsledného riešenia x=e, y=1 a nájdeme C:

Príklady autotestov:

Diferenciálna rovnica s oddelenými premennými je napísaná takto: (1). V tejto rovnici jeden člen závisí iba od x a druhý iba od y. Integráciou tejto rovnice člen po člene dostaneme:
je jeho všeobecný integrál.

Príklad: nájdite všeobecný integrál rovnice:
.

Riešenie: Táto rovnica je oddelená diferenciálna rovnica. Preto
alebo
Označme
. Potom
– všeobecný integrál diferenciálnej rovnice.

Oddeliteľná rovnica má tvar (2). Rovnicu (2) možno ľahko zredukovať na rovnicu (1) jej delením po členoch
. Dostaneme:

– všeobecný integrál.

Príklad: Vyriešte rovnicu .

Riešenie: transformujte ľavú stranu rovnice: . Vydeľte obe strany rovnice

Riešením je výraz:
tie.

Homogénne diferenciálne rovnice. Bernoulliho rovnice. Lineárne diferenciálne rovnice prvého rádu.

Rovnica tvaru sa nazýva homogénne, Ak
A
– homogénne funkcie rovnakého rádu (rozmerov). Funkcia
sa nazýva homogénna funkcia prvého rádu (meranie), ak je každý jej argument vynásobený ľubovoľným faktorom celá funkcia sa vynásobí , t.j.
=
.

Homogénna rovnica môže byť zredukovaná do tvaru
. Použitie substitúcie
(
) homogénna rovnica sa zredukuje na rovnicu s oddeliteľnými premennými vzhľadom na novú funkciu .

Diferenciálna rovnica prvého rádu sa nazýva lineárne, ak sa to dá napísať v tvare
.

Bernoulliho metóda

Riešenie rovnice
sa hľadá ako súčin dvoch ďalších funkcií, t.j. pomocou substitúcie
(
).

Príklad: integrovať rovnicu
.

My veríme
. Potom, t.j. . Najprv vyriešime rovnicu
=0:

.

Teraz riešime rovnicu
tie.

. Takže všeobecné riešenie tejto rovnice je
tie.

Rovnica J. Bernoulliho

Rovnica tvaru , kde
volal Bernoulliho rovnica. Táto rovnica sa rieši Bernoulliho metódou.

Homogénne diferenciálne rovnice druhého rádu s konštantnými koeficientmi

Homogénna lineárna diferenciálna rovnica druhého rádu je rovnicou tvaru (1) , Kde A trvalé.

Čiastkové riešenia rovnice (1) budeme hľadať v tvare
, Kde Komu- určitý počet. Dvakrát diferencovať túto funkciu a nahradiť výrazy za
do rovnice (1), dostaneme, že je, alebo
(2) (
).

Rovnica 2 sa nazýva charakteristická rovnica diferenciálnej rovnice.

Pri riešení charakteristickej rovnice (2) sú možné tri prípady.

Prípad 1. Korene A rovnice (2) sú skutočné a rôzne:

A

.

Prípad 2 Korene A rovnice (2) sú skutočné a rovnajú sa:
. V tomto prípade sú parciálne riešenia rovnice (1) funkciami
A
. Preto všeobecné riešenie rovnice (1) má tvar
.

Prípad 3 Korene A rovnice (2) sú zložité:
,
. V tomto prípade sú parciálne riešenia rovnice (1) funkciami
A
. Preto všeobecné riešenie rovnice (1) má tvar

Príklad. Vyriešte rovnicu
.

Riešenie: Vytvorme charakteristickú rovnicu:
. Potom
. Všeobecné riešenie tejto rovnice
.

Extrém funkcie viacerých premenných. Podmienený extrém.

Extrém funkcie viacerých premenných

Definícia.Bod M (x O ,y O ) sa nazývamaximálny (minimálny) bod funkciez= f(X, y), ak existuje okolie bodu M také, že pre všetky body (x, y) z tohto okolia je nerovnosť
(
)

Na obr. 1 bod A
- existuje minimálny bod a bod IN
- maximálny bod.

Nevyhnutnéextrémna podmienka je viacrozmernou analógiou Fermatovej vety.

Veta.Nechajte bod
– je extrémnym bodom diferencovateľnej funkciez= f(X, y). Potom parciálne derivácie
A
Vv tomto bode sa rovnajú nule.

Body, v ktorých sú splnené nevyhnutné podmienky pre extrém funkcie z= f(X, y), tie. parciálne deriváty z" X A z" r sa rovnajú nule sa nazývajú kritický alebo stacionárne.

Rovnosť parciálnych derivácií k nule vyjadruje len nevyhnutnú, nie však postačujúcu podmienku pre extrém funkcie viacerých premenných.

Na obr. takzvaný sedlový bod M (x O ,y O ). Parciálne deriváty
A
sa rovnajú nule, ale v bode zjavne nie sú žiadne extrémy M(x O ,y O ) Nie

Takéto sedlové body sú dvojrozmernými analógmi inflexných bodov funkcií jednej premennej. Výzvou je oddeliť ich od extrémnych bodov. Inými slovami, musíte vedieť dostatočné extrémny stav.

Veta (dostatočná podmienka pre extrém funkcie dvoch premenných).Nechajte funkciuz= f(X, y): A) definované v niektorom okolí kritického bodu (x O ,y O ), kde
=0 a
=0 ;

b) má v tomto bode spojité parciálne derivácie druhého rádu
;

;
Potom, ak ∆=AC-B 2 >0, potom v bode (x O ,y O ) funkciuz= f(X, y) má extrém, a ak A<0 - maximálne ak A>0 - minimálne. V prípade ∆=AC-B 2 <0, функция z= f(X, y) nemá extrém. Ak ∆=AC-B 2 =0, potom otázka prítomnosti extrému zostáva otvorená.

Štúdium funkcie dvoch premenných v extréme odporúča sa vykonať nasledovné diagram:

Nájdite parciálne derivácie funkcie z" X A z" r .

Riešiť sústavu rovníc z" X =0, z" r =0 a nájdite kritické body funkcie.

Nájdite parciálne derivácie druhého rádu, vypočítajte ich hodnoty v každom kritickom bode a pomocou dostatočnej podmienky vyvodte záver o prítomnosti extrémov.

Nájdite extrémy (extrémne hodnoty) funkcie.

Príklad. Nájdite extrémy funkcie

Riešenie. 1. Hľadanie parciálnych derivácií

2. Kritické body funkcie nájdeme zo sústavy rovníc:

so štyrmi riešeniami (1; 1), (1; -1), (-1; 1) a (-1; -1).

3. Nájdite parciálne derivácie druhého rádu:

;
;
, vypočítame ich hodnoty v každom kritickom bode a skontrolujeme v ňom splnenie dostatočnej extrémnej podmienky.

Napríklad v bode (1; 1) A= z"(1; 1) = -1; B = 0; C = -1. Pretože ∆ =AC-B 2 = (-1)2-0=1 >0 a A=-1<0, potom bod (1; 1) je maximálny bod.

Podobne stanovíme, že (-1; -1) je minimálny bod a v bodoch (1; -1) a (-1; 1), pri ktorých ∆ =AC-B 2 <0, - экстремума нет. Эти точки являются седловыми.

4. Nájdite extrémy funkcie z max = z(l; 1) = 2, z min = z(-l; -1) = -2,

Podmienený extrém. Lagrangeova multiplikačná metóda.

Uvažujme o špecifickom probléme funkcií viacerých premenných, keď sa jeho extrém nehľadá na celom definičnom obore, ale na množine, ktorá spĺňa určitú podmienku.

Uvažujme funkciu z = f(X, r), argumenty X A pri ktoré spĺňajú podmienku g(x,y)= S, volal rovnica spojenia.

Definícia.Bodka
nazvaný bodpodmienené maximum (minimum), ak existuje okolie tohto bodu také, že všetky body (x,y) z tohto okolia spĺňajú podmienkug (X, r) = C, nerovnosť platí

(
).

Na obr. zobrazí sa podmienený maximálny bod
. Je zrejmé, že to nie je bezpodmienečný extrém funkcie z = f(X, r) (na obrázku ide o bod
).

Najjednoduchší spôsob, ako nájsť podmienený extrém funkcie dvoch premenných, je zredukovať problém na nájdenie extrému funkcie jednej premennej. Predpokladajme rovnicu spojenia g (X, r) = S podarilo vyriešiť s ohľadom na jednu z premenných, napr pri cez X:
. Dosadením výsledného výrazu do funkcie dvoch premenných dostaneme z = f(X, r) =
, tie. funkcia jednej premennej. Jeho extrém bude podmieneným extrémom funkcie z = f(X, r).

Príklad. X 2 + r 2 vzhľadom na to 3x +2r = 11.

Riešenie. Z rovnice 3x + 2y = 11 vyjadríme premennú y cez premennú x a dosadíme výslednú
fungovať z. Dostaneme z= X 2 +2
alebo z =
. Táto funkcia má jedinečné minimum pri = 3. Hodnota zodpovedajúcej funkcie
Teda (3; 1) je podmienený extrém (minimálny) bod.

V uvažovanom príklade väzbová rovnica g(X, y) = C sa ukázalo byť lineárne, takže bolo ľahko vyriešené vzhľadom na jednu z premenných. V zložitejších prípadoch to však nie je možné.

Na nájdenie podmieneného extrému vo všeobecnom prípade používame Lagrangeova multiplikačná metóda.

Zvážte funkciu troch premenných

Táto funkcia sa nazýva Lagrangeova funkcia, A - Lagrangeov multiplikátor. Nasledujúca veta je pravdivá.

Veta.Ak bod
je podmienený extrémny bod funkciez = f(X, r) vzhľadom na tog (X, r) = C, potom existuje hodnota taký ten bod
je extrémnym bodom funkcieL{ X, r, ).

Teda nájsť podmienený extrém funkcie z = f(x,y) vzhľadom na to g(X, r) = C treba nájsť riešenie systému

Na obr. je znázornený geometrický význam Lagrangeových podmienok. Linka g(x,y)= C bodkovaná, rovná čiara g(X, r) = Q funkcie z = f(X, r) pevný.

Z obr. z toho vyplýva v podmienenom extrémnom bode čiara úrovne funkcie z = f(X, r) sa dotkne čiaryg(X, r) = S.

Príklad. Nájdite maximálny a minimálny bod funkcie z = X 2 + r 2 vzhľadom na to 3x +2r = 11 pomocou Lagrangeovej multiplikačnej metódy.

Riešenie. Kompilácia Lagrangeovej funkcie L= x 2 + 2 у 2 +

Prirovnaním jeho parciálnych derivácií k nule dostaneme sústavu rovníc

Jeho jediné riešenie (x=3, y=1, =-2). Podmienečným extrémom teda môže byť iba bod (3;1). Je ľahké overiť, že v tomto bode funguje z= f(X, r) má podmienené minimum.

Diferenciálne rovnice.

Základné pojmy o obyčajných diferenciálnych rovniciach.

Definícia 1. Obyčajná diferenciálna rovnica n– poradie funkcie r argument X sa nazýva vzťah formy

Kde F – daná funkcia jeho argumentov. V mene tejto triedy matematických rovníc výraz „diferenciál“ zdôrazňuje, že zahŕňajú derivácie (funkcie vytvorené ako výsledok diferenciácie); výraz „obyčajný“ znamená, že požadovaná funkcia závisí len od jedného skutočného argumentu.

Bežná diferenciálna rovnica nesmie obsahovať explicitný argument X, požadovanú funkciu a akúkoľvek jej deriváciu, ale do rovnice musí byť zahrnutá aj najvyššia derivácia n- poradie. Napríklad

a) – rovnica prvého poriadku;

b) – rovnica tretieho rádu.

Pri písaní obyčajných diferenciálnych rovníc sa často používa označenie pre derivácie z hľadiska diferenciálov:

V) – rovnica druhého rádu;

d) – rovnica prvého poriadku,

generátor po delení podľa dx ekvivalentný tvar upresnenia rovnice: .

Funkcia sa nazýva riešením obyčajnej diferenciálnej rovnice, ak sa po dosadení do nej zmení na identitu.

Napríklad rovnica 3. rádu

Má riešenie .

Nájsť takou či onakou metódou, napríklad výberom, jednu funkciu, ktorá vyhovuje rovnici, neznamená jej vyriešenie. Riešiť obyčajnú diferenciálnu rovnicu znamená nájsť Všetky funkcie, ktoré tvoria identitu, keď sú dosadené do rovnice. Pre rovnicu (1.1) je skupina takýchto funkcií vytvorená pomocou ľubovoľných konštánt a nazýva sa všeobecné riešenie obyčajnej diferenciálnej rovnice n-tého rádu a počet konštánt sa zhoduje s poradím rovnice: Všeobecné riešenie môže byť, ale nie je explicitne vyriešené vzhľadom na y(x): V tomto prípade sa riešenie zvyčajne nazýva všeobecný integrál rovnice (1.1).

Napríklad všeobecným riešením diferenciálnej rovnice je nasledujúci výraz: a druhý člen možno zapísať ako , pretože ľubovoľnú konštantu delenú 2 možno nahradiť novou ľubovoľnou konštantou.

Priradením niektorých prípustných hodnôt všetkým ľubovoľným konštantám vo všeobecnom riešení alebo vo všeobecnom integráli získame určitú funkciu, ktorá už neobsahuje ľubovoľné konštanty. Táto funkcia sa nazýva čiastočné riešenie alebo parciálny integrál rovnice (1.1). Na nájdenie hodnôt ľubovoľných konštánt, a teda konkrétneho riešenia, sa používajú rôzne dodatočné podmienky k rovnici (1.1). Napríklad, takzvané počiatočné podmienky môžu byť špecifikované v (1.2)

Na pravej strane počiatočných podmienok (1.2) sú uvedené číselné hodnoty funkcie a derivácie a celkový počet počiatočných podmienok sa rovná počtu definovaných ľubovoľných konštánt.

Problém hľadania konkrétneho riešenia rovnice (1.1) na základe počiatočných podmienok sa nazýva Cauchyho problém.

§ 2. Obyčajné diferenciálne rovnice 1. rádu - základné pojmy.

Obyčajná diferenciálna rovnica 1. rádu ( n=1) má tvar: alebo, ak sa dá vyriešiť vzhľadom na derivát: . Spoločné rozhodnutie y=y(x,C) alebo všeobecný integrál rovníc 1. rádu obsahuje jednu ľubovoľnú konštantu. Jediná počiatočná podmienka pre rovnicu 1. rádu umožňuje určiť hodnotu konštanty zo všeobecného riešenia alebo zo všeobecného integrálu. Tak sa nájde konkrétne riešenie alebo, čo je to isté, sa vyrieši Cauchyho problém. Otázka existencie a jedinečnosti riešenia Cauchyho problému je jednou z ústredných otázok vo všeobecnej teórii obyčajných diferenciálnych rovníc. Najmä pre rovnicu 1. rádu platí veta, ktorá je tu akceptovaná bez dôkazu.

Veta 2.1. Ak je v rovnici funkcia a jej parciálna derivácia spojitá v nejakej oblasti D lietadlo XOY a v tejto oblasti je daný bod, potom existuje jedinečné riešenie, ktoré spĺňa rovnicu aj počiatočnú podmienku.

Geometricky je všeobecným riešením rovnice 1. rádu rodina kriviek v rovine XOY, ktoré nemajú spoločné body a líšia sa od seba v jednom parametri - hodnote konštanty C. Tieto krivky sa pre danú rovnicu nazývajú integrálne krivky. Krivky integrálnej rovnice majú zjavnú geometrickú vlastnosť: v každom bode sa dotyčnica dotyčnice ku krivke rovná hodnote pravej strany rovnice v tomto bode: . Inými slovami, rovnica je daná v rovine XOY pole smerov dotyčníc k integrálnym krivkám. komentár: Treba poznamenať, že k Eq. rovnica a takzvaná rovnica sú uvedené v symetrickom tvare .

Diferenciálne rovnice 1. rádu so separovateľnými premennými.

Definícia. Diferenciálna rovnica so separovateľnými premennými je rovnica tvaru (3.1)

alebo rovnica tvaru (3.2)

Aby bolo možné oddeliť premenné v rovnici (3.1), t.j. zredukujte túto rovnicu na takzvanú separovanú premennú rovnicu, postupujte takto:

;

Teraz musíme vyriešiť rovnicu g(y)= 0. Ak to má reálne riešenie y=a, To y=a bude tiež riešením rovnice (3.1).

Rovnica (3.2) sa redukuje na oddelenú rovnicu delením súčinom:

, čo nám umožňuje získať všeobecný integrál rovnice (3.2): . (3.3)

Integrálne krivky (3.3) budú doplnené riešeniami, ak takéto riešenia existujú.

Vyriešte rovnicu: .

Oddeľujeme premenné:

Integrácia, chápeme

Príklad: nájdite všeobecný integrál rovnice:
.

Riešenie: Táto rovnica je oddelená diferenciálna rovnica. Preto
alebo
Označme
. Potom
– všeobecný integrál diferenciálnej rovnice.

Oddeliteľná rovnica má tvar (2). Rovnicu (2) možno ľahko zredukovať na rovnicu (1) jej delením po členoch
. Dostaneme:

– všeobecný integrál.

Príklad: Vyriešte rovnicu .

Riešenie: transformujte ľavú stranu rovnice: . Vydeľte obe strany rovnice

Riešením je výraz:
tie.

Homogénne diferenciálne rovnice. Bernoulliho rovnice. Lineárne diferenciálne rovnice prvého rádu.

Homogénna rovnica môže byť zredukovaná do tvaru
. Použitie substitúcie
(
) homogénna rovnica sa zredukuje na rovnicu s oddeliteľnými premennými vzhľadom na novú funkciu .

Diferenciálna rovnica prvého rádu sa nazýva lineárne, ak sa to dá napísať v tvare
.

Bernoulliho metóda

Riešenie rovnice
sa hľadá ako súčin dvoch ďalších funkcií, t.j. pomocou substitúcie
(
).

Príklad: integrovať rovnicu
.

My veríme
. Potom, t.j. . Najprv vyriešime rovnicu
=0:

.

Teraz riešime rovnicu
tie.

. Takže všeobecné riešenie tejto rovnice je
tie.

Rovnica J. Bernoulliho

Rovnica tvaru , kde
volal Bernoulliho rovnica. Táto rovnica sa rieši Bernoulliho metódou.

Homogénne diferenciálne rovnice druhého rádu s konštantnými koeficientmi

Homogénna lineárna diferenciálna rovnica druhého rádu je rovnicou tvaru (1) , Kde A trvalé.

Rovnica 2 sa nazýva charakteristická rovnica diferenciálnej rovnice.

Pri riešení charakteristickej rovnice (2) sú možné tri prípady.

Prípad 1. Korene A rovnice (2) sú skutočné a rôzne:

A

.

Prípad 2 Korene A rovnice (2) sú skutočné a rovnajú sa:
. V tomto prípade sú parciálne riešenia rovnice (1) funkciami
A
. Preto všeobecné riešenie rovnice (1) má tvar
.

Prípad 3 Korene A rovnice (2) sú zložité:
,
. V tomto prípade sú parciálne riešenia rovnice (1) funkciami
A
. Preto všeobecné riešenie rovnice (1) má tvar

Príklad. Vyriešte rovnicu
.

Riešenie: Vytvorme charakteristickú rovnicu:
. Potom
. Všeobecné riešenie tejto rovnice
.

Extrém funkcie viacerých premenných. Podmienený extrém.

Extrém funkcie viacerých premenných

Definícia.Bod M (x O ,y O ) sa nazývamaximálny (minimálny) bod funkciez= f(X, y), ak existuje okolie bodu M také, že pre všetky body (x, y) z tohto okolia je nerovnosť
(
)

Na obr. 1 bod A
- existuje minimálny bod a bod IN
- maximálny bod.

Nevyhnutnéextrémna podmienka je viacrozmernou analógiou Fermatovej vety.

Veta.Nechajte bod
– je extrémnym bodom diferencovateľnej funkciez= f(X, y). Potom parciálne derivácie
A
Vv tomto bode sa rovnajú nule.

Body, v ktorých sú splnené nevyhnutné podmienky pre extrém funkcie z= f(X, y), tie. parciálne deriváty z" X A z" r sa rovnajú nule sa nazývajú kritický alebo stacionárne.

Rovnosť parciálnych derivácií k nule vyjadruje len nevyhnutnú, nie však postačujúcu podmienku pre extrém funkcie viacerých premenných.

Na obr. takzvaný sedlový bod M (x O ,y O ). Parciálne deriváty
A
sa rovnajú nule, ale v bode zjavne nie sú žiadne extrémy M(x O ,y O ) Nie

Veta (dostatočná podmienka pre extrém funkcie dvoch premenných).Nechajte funkciuz= f(X, y): A) definované v niektorom okolí kritického bodu (x O ,y O ), kde
=0 a
=0 ;

Štúdium funkcie dvoch premenných v extréme odporúča sa vykonať nasledovné diagram:

Nájdite parciálne derivácie funkcie z" X A z" r .

Riešiť sústavu rovníc z" X =0, z" r =0 a nájdite kritické body funkcie.

Nájdite parciálne derivácie druhého rádu, vypočítajte ich hodnoty v každom kritickom bode a pomocou dostatočnej podmienky vyvodte záver o prítomnosti extrémov.

Nájdite extrémy (extrémne hodnoty) funkcie.

Príklad. Nájdite extrémy funkcie

Riešenie. 1. Hľadanie parciálnych derivácií

2. Kritické body funkcie nájdeme zo sústavy rovníc:

so štyrmi riešeniami (1; 1), (1; -1), (-1; 1) a (-1; -1).

3. Nájdite parciálne derivácie druhého rádu:

;
;
, vypočítame ich hodnoty v každom kritickom bode a skontrolujeme v ňom splnenie dostatočnej extrémnej podmienky.

Napríklad v bode (1; 1) A= z"(1; 1) = -1; B = 0; C = -1. Pretože ∆ =AC-B 2 = (-1)2-0=1 >0 a A=-1<0, potom bod (1; 1) je maximálny bod.

Podobne stanovíme, že (-1; -1) je minimálny bod a v bodoch (1; -1) a (-1; 1), pri ktorých ∆ =AC-B 2 <0, - экстремума нет. Эти точки являются седловыми.

4. Nájdite extrémy funkcie z max = z(l; 1) = 2, z min = z(-l; -1) = -2,

Podmienený extrém. Lagrangeova multiplikačná metóda.

Uvažujme o špecifickom probléme funkcií viacerých premenných, keď sa jeho extrém nehľadá na celom definičnom obore, ale na množine, ktorá spĺňa určitú podmienku.

Uvažujme funkciu z = f(X, r), argumenty X A pri ktoré spĺňajú podmienku g(x,y)= S, volal rovnica spojenia.

Definícia.Bodka
nazvaný bodpodmienené maximum (minimum), ak existuje okolie tohto bodu také, že všetky body (x,y) z tohto okolia spĺňajú podmienkug (X, r) = C, nerovnosť platí

(
).

Na obr. zobrazí sa podmienený maximálny bod
. Je zrejmé, že to nie je bezpodmienečný extrém funkcie z = f(X, r) (na obrázku ide o bod
).

Príklad. X 2 + r 2 vzhľadom na to 3x +2r = 11.

Na nájdenie podmieneného extrému vo všeobecnom prípade používame Lagrangeova multiplikačná metóda.

Zvážte funkciu troch premenných

Táto funkcia sa nazýva Lagrangeova funkcia, A - Lagrangeov multiplikátor. Nasledujúca veta je pravdivá.

Veta.Ak bod
je podmienený extrémny bod funkciez = f(X, r) vzhľadom na tog (X, r) = C, potom existuje hodnota taký ten bod
je extrémnym bodom funkcieL{ X, r, ).

Teda nájsť podmienený extrém funkcie z = f(x,y) vzhľadom na to g(X, r) = C treba nájsť riešenie systému

Na obr. je znázornený geometrický význam Lagrangeových podmienok. Linka g(x,y)= C bodkovaná, rovná čiara g(X, r) = Q funkcie z = f(X, r) pevný.

Z obr. z toho vyplýva v podmienenom extrémnom bode čiara úrovne funkcie z = f(X, r) sa dotkne čiaryg(X, r) = S.

Príklad. Nájdite maximálny a minimálny bod funkcie z = X 2 + r 2 vzhľadom na to 3x +2r = 11 pomocou Lagrangeovej multiplikačnej metódy.

Riešenie. Kompilácia Lagrangeovej funkcie L= x 2 + 2 у 2 +

Prirovnaním jeho parciálnych derivácií k nule dostaneme sústavu rovníc

Jeho jediné riešenie (x=3, y=1, =-2). Podmienečným extrémom teda môže byť iba bod (3;1). Je ľahké overiť, že v tomto bode funguje z= f(X, r) má podmienené minimum.