Rovnica prvého rádu s tromi neznámymi má tvar Ax + Ву + Cz + D = 0 a aspoň jeden z koeficientov A, B, C sa musí líšiť od nuly. Špecifikuje v priestore v pravouhlý súradnicový systém Oxyz algebraická plocha prvého rádu.

Vlastnosti algebraickej plochy prvého rádu sú v mnohom podobné vlastnostiam priamky v rovine - geometrický obraz rovnice prvého rádu s dvoma neznámymi.

Veta 5.1. Akákoľvek rovina v priestore je plocha prvého rádu a každá plocha prvého rádu v priestore je rovina.

◄ Tvrdenie vety aj jej dôkaz sú podobné vete 4.1. Nech je totiž rovina π definovaná jej bodom M 0 a nenulový vektor n, ktorá je na ňu kolmá. Potom sa množina všetkých bodov v priestore rozdelí na tri podmnožiny. Prvý pozostáva z bodov patriacich do roviny a ďalšie dva - z bodov umiestnených na jednej a druhej strane roviny. Ktorá z týchto množín patrí do ľubovoľného bodu M priestoru závisí od znamienka skalárny súčin nM 0 M. Ak bod M patrí do roviny (obr. 5.1, a), potom uhol medzi vektormi n a M 0 M je priamy, a preto podľa vety 2.7 je ich skalárny súčin rovný nule:

nMo M = 0

Ak bod M nepatrí do roviny, potom je uhol medzi vektormi n a M 0 M ostrý alebo tupý, a preto nM 0 M > 0 alebo nM 0 M

Označme súradnice bodov M0, M a vektor n až (x°; y°; z°), (x; y; z) a (A; B; C). Pretože M 0 M = (x - x 0 0; y - y 0; z - z 0 ), potom zapísanie skalárneho súčinu z (5.1) v súradnicovom tvare (2.14) ako súčet párových súčinov rovnakých súradníc vektorov n a M 0 M získame podmienku, aby bod M patril do uvažovanej roviny v tvare

A(x - x 0) + B (y - y 0) + C (z - z 0) = 0. (5.2)

Otvorením zátvoriek získate rovnicu

Ax + Wu + Cz + D = 0, (5,3)

kde D = - Ax 0 - Ву 0 - Cz 0 a aspoň jeden z koeficientov A, B alebo C je odlišný od nuly, pretože vektor n = (A; B; C) je nenulový. To znamená, že rovina je geometrickým obrazom rovnice (5.3), t.j. algebraická plocha prvého rádu.

Vykonaním vyššie uvedeného dôkazu prvého tvrdenia vety v opačnom poradí dokážeme, že geometrickým obrazom rovnice Ax + Ву + Cz + D = 0, A 2 + В 2 + C 2 = 0 je rovina . Vyberme tri čísla (x = x 0, y = y 0, z = z 0), ktoré vyhovujú tejto rovnici. Takéto čísla existujú. Napríklad, keď A ≠ 0 môžeme dať y 0 = 0, z 0 = 0 a potom x 0 = - D/A. Zvoleným číslam zodpovedá bod M 0 (x 0 ; y 0 ; z 0), ktorý patrí geometrickému obrazu danej rovnice. Z rovnosti Ax 0 + Ву 0 + Cz 0 + D = 0 vyplýva, že D = - Ax 0 - Ву 0 - Cz 0 . Dosadením tohto výrazu do uvažovanej rovnice dostaneme Ax + Ву + Cz - Ax 0 - Ву 0 - Cz 0 = 0, čo je ekvivalentné (5.2). Rovnosť (5.2) možno považovať za kritérium ortogonality vektora n = (A; B; C) a M 0 M, kde bod M má súradnice (x; y; z). Toto kritérium je splnené pre body roviny prechádzajúce bodom M 0 kolmým na vektor n = (A; B; C) a nie je splnené pre ostatné body v priestore. To znamená, že rovnica (5.2) je rovnicou označenej roviny.

Rovnica Ax + Wu + Cz + D = 0 sa nazýva všeobecná rovinná rovnica. Koeficienty A, B, C pre neznáme v tejto rovnici majú jasný geometrický význam: vektor n = (A; B; C) je kolmý na rovinu. Volá sa vektor normálnej roviny. Rovnako ako všeobecná rovnica roviny je určená až do (nenulového) číselného faktora.

Pomocou známych súradníc bodu patriaceho do určitej roviny a nenulového vektora naňho kolmého sa pomocou (5.2) zapíše rovnica roviny bez akýchkoľvek výpočtov.

Príklad 5.1. Nájdite všeobecnú rovnicu roviny kolmej na vektor polomeru bod A(2; 5; 7) a prechádzajúci bodom M 0 (3; - 4; 1).

Keďže nenulový vektor OA = (2; 5; 7) je kolmý na požadovanú rovinu, jeho rovnica typu (5.2) má tvar 2(x - 3) + 5(y + 4) + 7(z- 1) = 0. Otvorením zátvoriek získame požadovanú všeobecnú rovnicu roviny 2x + 5y + 7z + 7 = 0.

2. prednáška. Rovina ako plocha prvého rádu. Rovinné rovnice a ich štúdium. Priamka v priestore, vzájomná poloha priamok v priestore, rovina a priamka v priestore. Priamka na rovine, rovnice priamky na rovine, vzdialenosť od bodu k priamke v rovine. Krivky druhého rádu; odvodzovanie kanonických rovníc, štúdium rovníc a konštrukcia kriviek. Plochy druhého rádu, štúdium kanonických rovníc plôch. Sekčná metóda. 1

Prvky analytickej geometrie § 1. Rovina. Máme OXYZ a nejakú plochu S F(x, y, z) = 0 z x (S) О y Definícia 1: rovnica s tromi premennými sa nazýva rovnica plochy S v priestore, ak túto rovnicu spĺňajú súradnice každej z nich. bod ležiaci na povrchu a nevyhovujúci súradnicami ani jeden bod ležiaci na ňom. 2

Príklad. Rovnica (x - a)2 + (y - b)2 + (z - c)2 = R 2 (R > 0) definujeme guľu so stredom v bode C(a, b, c) a polomerom R. M M (x , y, z) – premenný bod M ϵ (S) |CM| = RC3

Definícia 2: Plocha S sa nazýva plocha n-tého rádu, ak je v niektorom karteziánskom súradnicovom systéme daná algebraickou rovnicou n-tého stupňa F(x, y, z) = 0 (1) V príklade (S) - kruh, plocha druhého rádu . Ak S je plocha n-tého rádu, potom F(x, y, z) je polynóm n-tého stupňa vzhľadom na (x, y, z) Uvažujme jedinú plochu 1. rádu - rovinu. Vytvorme rovnicu pre rovinu prechádzajúcu bodom M (x, y, z), s normálovým vektorom 4

Nech M(x, y, z) je ľubovoľný (aktuálny) bod roviny. M M 0 O α alebo v súradnicovom tvare: (2) Rovnica (2) je rovnica roviny prechádzajúcej bodom M s daným normálovým vektorom. 5

D (*) (3) - úplná rovnica roviny Neúplná rovnica roviny. Ak je v rovnici (3) viacero koeficientov (ale nie A, B, C súčasne) = 0, potom sa rovnica nazýva neúplná a rovina α má znaky vo svojom umiestnení. Napríklad, ak D = 0, potom α prechádza počiatkom. 6

Vzdialenosť od bodu M 1 k rovine α M 1(x 1, y 1, z 1) α: M 1 d α M 0 sa vzťahuje na bod M 0 K 7

- vzdialenosť od bodu M 1 k rovine α Rovnica roviny „v segmentoch“ Vytvorme rovnicu roviny orezávajúcej nenulové segmenty na súradnicových osiach s hodnotami C(0, 0, c) a, b, c. Zoberme si B(0, b, 0) ako hodnotu. Vytvorme rovnicu pre bod A s A(a, 0, 0) 8

-rovnica roviny α "v segmentoch" -rovnica roviny prechádzajúcej bodom A, kolmá na normálový vektor 9

§ 2. Všeobecná rovnica priamky. Priamka v priestore môže byť definovaná priesečníkom 2 rovín. (1) rovnica priamky Systém typu (1) definuje priamku v priestore, ak sú koeficienty A 1, B 1, C 1 súčasne neproporcionálne k A 2, B 2, C 2. 10

Parametrické a kanonické rovnice priamky - ľubovoľný bod bodu priamky M M 0 Parametrická rovnica t - parameter 11

Elimináciou t dostaneme: - kanonická rovnica Sústava (3) určuje pohyb hmotného bodu, priamočiary a rovnomerný z počiatočnej polohy M 0 (x 0, y 0, z 0) rýchlosťou v smere vektora. 12

Uhol medzi priamymi čiarami v priestore. Podmienky rovnobežnosti a kolmosti. Nech sú v priestore dve priamky L 1, L 2 dané ich kanonickými rovnicami: Potom sa úloha určenia uhla medzi týmito priamkami zredukuje na určenie uhla

ich smerových vektorov: Pomocou definície skalárneho súčinu a vyjadrenia v súradniciach zadaného skalárneho súčinu a dĺžok vektorov q 1 a q 2 dostaneme: 15

Podmienka rovnobežnosti priamok l 1 a l 2 zodpovedá kolinearite q 1 a q 2, spočíva v úmernosti súradníc týchto vektorov, t.j. má tvar: Podmienka kolmosti vyplýva z definície skalárny súčin a jeho rovnosť nule (pri cos = 0) a má tvar : l 1 l 2 + m 1 m 2 + n 1 n 2 = 0. 16

Uhol medzi priamkou a rovinou: podmienky rovnobežnosti a kolmosti priamky a roviny Uvažujme rovinu P, definovanú všeobecnou rovnicou: Ax + By + Cz + D = 0, a priamku L, definovanú kanonická rovnica: 17

Keďže uhol medzi priamkou L a rovinou P je komplementárny k uhlu medzi smerovým vektorom priamky q = (l, m, n) a normálovým vektorom roviny n = (A, B, C) , potom z definície skalárneho súčinu q n = q n cos a rovnosti cos = sin (= 90 -), dostaneme: 18

Podmienka rovnobežnosti priamky L a roviny П (vrátane toho, že L patrí do П) je ekvivalentná podmienke kolmosti vektorov q a n a je vyjadrená = 0 skalárnym súčinom týchto vektorov: q n = 0: Аl + Bm + Cn = 0. Podmienka kolmosti priamky L a roviny P je ekvivalentná podmienke rovnobežnosti vektorov n a q a je vyjadrená úmernosťou súradníc týchto vektorov: 19

Podmienky na to, aby dve priamky patrili do tej istej roviny Dve priamky v priestore L 1 a L 2 sa môžu: 1) pretínať; 2) byť paralelné; 3) krížiť sa. V prvých dvoch prípadoch ležia priamky L 1 a L 2 v rovnakej rovine. Stanovme podmienku, aby dve priamky definované kanonickými rovnicami patrili do tej istej roviny: 20

Je zrejmé, že na to, aby dve označené čiary patrili do rovnakej roviny, je nevyhnutné a postačujúce, aby tri vektory = (x2 - x1, y2 - y1, z2 - z 1); q 1 = (l 1, m 1, n 1) a q 2 = (l 2, m 2, n 2), boli koplanárne, pre ktoré je zase potrebné a postačujúce, aby zmiešaný súčin týchto troch vektorov = 0,21

Zápisom zmiešaných súčinov uvedených vektorov v súradniciach získame nevyhnutnú a postačujúcu podmienku, aby dve priamky L 1 a L 2 patrili do tej istej roviny: 22

Podmienka, aby priamka patrila do roviny Nech existuje priamka a rovina Ax + Bi + Cz + D = 0. Tieto podmienky majú tvar: Ax1 + Bi1 + Cz 1 + D = 0 a Al + Bm + Cn = 0, z ktorých prvá znamená, že bod M 1(x1, y1, z 1), ktorým priamka prechádza, patrí do roviny a druhá je podmienkou rovnobežnosti priamky a roviny. 23

Krivky druhého rádu. § 1. Pojem rovnice priamky na rovine. Rovnica f (x, y) = 0 sa nazýva rovnica priamky L vo zvolenom súradnicovom systéme, ak je splnená súradnicami ľubovoľného bodu ležiaceho na priamke a nevyhovuje súradniciam žiadneho bodu, ktorý na nej neleží. 24

Src="https://present5.com/presentation/-127141277_437875303/image-25.jpg" alt="Príklad: (x - a)2 + (y - b)2 = R 2 (R > 0)"> Пример: (x - a)2 + (y - b)2 = R 2 (R > 0) – уравнение окружности радиуса R и центром в точке С(a, b). Если 1.) 25!}

Priamka L sa nazýva priamka n-tého rádu, ak je v niektorom karteziánskom súradnicovom systéme daná algebraickou rovnicou n-tého stupňa vzhľadom na x a y. Poznáme jedinú priamku 1. rádu - priamku: Ax + By + D = 0 Budeme uvažovať krivky 2. rádu: elipsa, hyperbola, parabola. Všeobecná rovnica čiar 2. rádu je: Ax 2 + By 2 + Cxy + Dy + Ex + F = 0 26

Elipsa (E) Definícia. Elipsa je množina všetkých bodov roviny, súčet vzdialeností dvoch pevných bodov roviny F 1 a F 2, nazývaných ohniská, je konštantná hodnota a veľká vzdialenosť medzi ohniskami. Označme konštantu ako 2 a, vzdialenosť medzi ohniskami ako 2 c. Nakreslite os X cez ohniská (a > c, a > 0, c > 0). Os Y cez stred ohniskovej vzdialenosti. Nech M je ľubovoľný bod elipsy, t. M ϵ E r 1 + r 2 = 2 a (1), kde r 1, r 2 je ohniskových 27 polomerov E.

Napíšme (1) v súradnicovom tvare: (2) Toto je rovnica elipsy vo zvolenom súradnicovom systéme. Zjednodušením (2) dostaneme: b 2 = a 2 - c 2 (3) – kanonická rovnica elipsy. Dá sa ukázať, že (2) a (3) sú ekvivalentné: 28

Štúdium tvaru elipsy pomocou kanonickej rovnice 1) Elipsa je krivka 2. rádu 2) Symetria elipsy. keďže x a y sú v (3) zahrnuté len v párnych mocninách, elipsa má 2 osi a 1 stred súmernosti, ktoré sa vo zvolenom súradnicovom systéme zhodujú s vybranými súradnicovými osami a bodom O. 29

3) Umiestnenie elipsy To znamená, že celé E sa nachádza vo vnútri obdĺžnika, ktorého strany sú x = ± a a y = ± b. 4) Priesečník s osami. Ai(-a; 0); A2(a; 0); C OX: vrcholy elipsy C OU: B 1(0; b); B2(0; -b); Vzhľadom na symetriu elipsy budeme uvažovať o jej správaní (↓) len v prvej štvrtine. tridsať

Src="https://present5.com/presentation/-127141277_437875303/image-31.jpg" alt=" Vyriešením (3) vzhľadom na y dostaneme: v prvej štvrtine x > 0 a elipsu klesá."> Разрешив (3) относительно y получим: в I четверти x > 0 и эллипс убывает. Вывод: Э – замкнутая кривая, овальная, имеющая четыре вершины. План построения Э. 1) Строим прямоугольник со сторонами 2 a, 2 b 2) Вписываем выпуклую овальную линию 31!}

Hyperbola (Г) Definícia: Г je množina všetkých bodov roviny, modul rozdielu vzdialeností k 2 pevným bodom roviny F 1, F 2 je konštantná hodnota a

Zjednodušenie (1): (2) je kanonická rovnica G. (1) a (2) sú ekvivalentné. Štúdium hyperboly pomocou kanonickej rovnice 1) Г je priamka 2. rádu 2) Г má dve osi a jeden stred symetrie, ktoré sa v našom prípade zhodujú so súradnicovými osami a počiatkom. 3) Umiestnenie hyperboly. 34

Hyperbola sa nachádza mimo pásu medzi čiarami x = a, x = -a. 4) Priesečníky s osami. OX: OY: nemá žiadne riešenia A 1(-a; 0); A 2(a; 0) – reálne vrcholy Г B 1(0; b); B 2(0; -b) – imaginárne vrcholy Г 2 a – reálna os Г 2 b – imaginárna os Г 35

5) Asymptoty hyperboly. Vzhľadom na symetriu Г uvažujeme o jeho časti v prvom štvrťroku. Po vyriešení (2) vzhľadom na y dostaneme: rovnicu Г v prvej štvrtine x ≥ 0 Uvažujme priamku: keďže v prvej štvrtine x>0, teda v prvej štvrtine s rovnakou osou, je ordináta priamky > ordinuje príslušný bod Г, t.j. v prvej štvrtine Г leží pod touto priamkou. Celé G leží vo zvislom uhle so stranami 36

6) Dá sa ukázať, že v prvej časti sa G zväčšuje 7) Plán zostrojenia G a) postavte obdĺžnik 2 a, 2 b b) nakreslite jeho uhlopriečky c) označte A 1, A 2 - zapíšte skutočné vrcholy G a 38 tieto pobočky

Parabola (P) Uvažujme d (smernica) a F (ohnisko) na rovine. Definícia. П – množina všetkých bodov roviny rovnako vzdialených od priamky da bodu F (ohnisko) 39

d-directrix F-focus XOY bod М П potom |MF| = |MN| (1) rovnica P, zvolená v súradnicovom systéme. Zjednodušením (1) dostaneme y 2 = 2 px (2) – kanonická rovnica P. (1) a (2) sú ekvivalentné 40

Štúdium P pomocou kanonickej rovnice x 2=2 py x 2=-2 py y 2=2 px y 2=-2 px 41

§ 4. Valce. Valcové plochy s tvoriacimi priamkami rovnobežnými so súradnicovými osami Bodom x priamky L vedieme priamku rovnobežnú s osou OZ. Plocha tvorená týmito priamkami sa nazýva valcová plocha alebo valec (C). Akákoľvek priamka rovnobežná s osou OZ sa nazýva tvoriaca čiara. l je vedenie valcovej plochy roviny XOY. Z(x, y) = 0 (1) 42

Nech M(x, y, z) je ľubovoľný bod valcovej plochy. Premietnime to na L. M 0 ϵ L => Z(x 0, y 0) = 0 (2) x = x 0 => Z(x, y) = 0 Mϵ Ц y = y 0 M ϵL 0 tzn. , súradnice M vyhovujú (1), je zrejmé, že ak M C, potom sa nepremietne do bodu M 0 ϵ L a teda súradnice M nebudú spĺňať rovnicu (1), ktorá určuje C s rovnobežkou tvoriacej čiary k osi OZ v priestore. Podobne je možné ukázať, že: Ф(x, z) = 0 v priestore Г || OY 43 (y, z) = 0 definuje v priestore C || VÔL

Priemet priestorovej priamky na súradnicovú rovinu Čiaru v priestore je možné definovať parametricky a priesečníkom plôch. Rovnaká čiara môže byť definovaná ako ∩ rôznych povrchov. Nech je priestorová priamka L daná ∩ dvoch plôch α: S 1: Ф 1(x, y, z) = 0 S 2: Ф 2(x, y, z) = 0 rovnica L Ф 1(x, y, z) = 0 (1) Ф 2(x, y, z) = 0 Nájdime priemet L do roviny XOY z rovnice (1) a vylúčme Z. Dostaneme rovnicu: Z(x, y) = 0 – v priestore je to rovnica Ε s generátorom || OZ a sprievodca L. 46

Priemet: L xy Z(x, y) = 0 Z=0 Plochy druhého rádu Elipsoid - kanonická rovnica plochy má tvar: 1) Elipsoid - plocha druhého rádu. 2) X, Y, Z zadajte rovnicu len v párnych mocninách => plocha má 3 roviny a 1 stred symetrie, ktoré sa vo zvolenom súradnicovom systéme zhodujú so súradnicovými rovinami a počiatkom. 47

3) Umiestnenie elipsoidu Povrch je uzavretý medzi || roviny s rovnicami x = a, x = -a. Podobne, t.j. celý povrch je obsiahnutý vo vnútri pravouhlého rovnobežnostena. x = ± a, y = ± b, z = ± c. Plochu budeme skúmať metódou rezov - pretínanie plochy súradnicovými rovinami || koordinovať. V reze získame čiary, podľa tvaru ktorých budeme posudzovať tvar plochy. 48

Pretínajme plochu s rovinou XOY. V sekcii dostaneme čiaru. - elipsa a a b – poloosi Podobne ako rovina YOZ - elipsa s poloosami b a c Rovina || XOY Ak h(0, c), potom osi elipsy klesnú z aab na 0. 49

a = b = c - guľa Paraboloidy a) Hyperbolický paraboloid - plocha s kanonickou rovnicou: 1) Plocha druhého rádu 2) Keďže x, y vstupujú do rovnice len v párnych mocninách, plocha má roviny symetrie, ktoré sa zhodujú pre danú voľbu súradníc s 50 rovinami XOZ, YOZ.

3) povrch skúmame metódou sedlového rezu. XOZ V priereze je parabola symetrická k osi OZ, stúpajúca. pl. YOZ 51

Src="https://present5.com/presentation/-127141277_437875303/image-53.jpg" alt=" plocha ||XOY pre h > 0 hyperbol, so skutočnou poloosou pozdĺž OX, pre h"> пл. ||XOY при h > 0 гиперболы, с действительной полуосью вдоль OX, при h z ≥ 0, то есть, вся поверхность расположена над XOY. 4) исследуем поверхность методом сечения 53!}

b) Dvojvrstvový hyperboloid 1) povrch druhého rádu 2) má 3 roviny a 1 stred symetrie 3) umiestnenie povrchu x 2 ≥ a 2; |x| ≥ a; (a, b, c > 0) Povrch sa skladá z dvoch častí umiestnených mimo pásu medzi rovinami s rovnicami x = a, x = -a 4) študujeme metódu rezov (Sami!) 57

Kužeľ 2. rádu Kužeľ 2. rádu je plocha, ktorej kanonická rovnica má tvar: 1) plocha 2. rádu 2) má 3 roviny a 1 stred symetrie 3) študujeme metódu štvorcových rezov. XOY 58

Src="https://present5.com/presentation/-127141277_437875303/image-59.jpg" alt=" štvorec ||XOY |h| –>∞ od 0 do ∞ štvorec YOZ pár rovných čiar, prechádzajúc cez"> пл. ||XOY |h| –>∞ от 0 до ∞ пл. YOZ пара прямых, проходящих через начало координат пл. XOZ пара прямых, проходящих через начало координат 59!}

60

Vo vesmíre analytická geometria študuje povrchy, ktoré sú určené v pravouhlých karteziánskych súradniciach algebraickými rovnicami ako prvý, druhý atď. stupne vzhľadom na X,Y,Z:

Ax+By+Cz+D=0 (1)

Ax²+By²+Cz²+2Dxy+2Exz+2Fyz+2Mx+2Ny+2Lz+K=0 (2)

a tak ďalej. Poradie rovnice sa nazýva poradie povrchu, ktorý definuje. Už sme videli, že rovnica prvá objednávka(lineárne) (1) vždy špecifikuje lietadlo je jediný povrch prvého rádu. Existuje už veľa povrchov druhého rádu. Pozrime sa na najdôležitejšie z nich.

§2. Valcové plochy s tvoriacimi priamkami rovnobežnými s jednou zo súradnicových osí.

Nech je napríklad daná určitá priamka L v rovine XОY, jej rovnica je F(x,y)=0 (1) . Potom množina priamok rovnobežných s osou oz (generátory) a prechádzajúcich bodmi na L tvorí plochu S tzv. valcový povrch.

Ukážme, že rovnica (1), ktorá neobsahuje premennú z, je rovnicou tejto valcovej plochy S. Vezmime ľubovoľný bod M(x,y,z) patriaci do S. Nech tvoriaca čiara prechádzajúca cez M pretína L v bode N. Bod N má súradnice N(x,y,0), spĺňajú rovnicu (1), pretože (·)N patrí do L. Ale potom súradnice (x,y,z,) vyhovujú aj (1), pretože neobsahuje z. To znamená, že súradnice ktoréhokoľvek bodu valcovej plochy S spĺňajú rovnicu (1). To znamená, že F(x,y)=0 je rovnica tejto valcovej plochy. Krivka L sa nazýva vodítko (krivka) valcový povrch. Všimnite si, že v priestorovom systéme by L malo byť vo všeobecnosti dané dvomi rovnicami F(x,y)=0, z=0 ako priesečník.

Príklady:

Vodidlá v rovine Howe sú elipsa, parabola, hyperbola. Je zrejmé, že rovnice F=(y,z)=0 a F(x,z)=0 definujú valcové plochy s generátormi rovnobežnými s osami OX a OY. Ich vodidlá ležia v rovinách YOZ a XOZ.

Komentujte. Valcový povrch nie je nevyhnutne povrchom druhého rádu. Napríklad existuje valcová plocha 3. rádu a rovnica y=sin(x) špecifikuje sínusový valec, ktorému nie je priradený žiadny rád, nejde vôbec o algebraickú plochu.

§3. Rovnica rotačnej plochy.

Niektoré povrchy 2. rádu sú rotačné povrchy. Nech nejaká krivka L F(y,z)=0(1) leží v rovine YOZ. Poďme zistiť, aká bude rovnica plochy S, vytvorenej rotačnou krivkou (1) okolo osi oz.

Zoberme si ľubovoľný bod M(x,y,z) na ploche S. Môže sa považovať za získaný z (.) N patriaceho do L, potom sú aplikácie bodov M a N rovnaké (=z). Ordináta bodu N je tu polomer otáčania, pretože .Ale C(0,0,z) a pretože . Ale bod N leží na krivke a preto ho jeho súradnice spĺňajú. Prostriedky (2) . Rovnica (2) je splnená súradnicami rotačnej plochy S. To znamená, že (2) je rovnica rotačnej plochy. Značky „+“ alebo „-“ sa berú v závislosti od toho, v ktorej časti rovinnej krivky YOZ (1) sa nachádza, kde y>0 alebo .

Takže, pravidlo: Ak chcete nájsť rovnicu povrchu vytvorenú otáčaním krivky L okolo osi OZ, musíte v rovnici krivky nahradiť premennú y

Rovnice pre rotačné plochy okolo osí OX a OY sú konštruované podobným spôsobom.

§7. Rovina ako plocha prvého rádu. Všeobecná rovnica roviny. Rovnica roviny prechádzajúcej daným bodom kolmým na daný vektor Zaveďme v priestore pravouhlý karteziánsky súradnicový systém Oxyz a uvažujme rovnicu prvého stupňa (alebo lineárnu rovnicu) pre x, y, z: (7.1) Ax  Podľa  Cz  D  0, A2  B2  C 2  0 . Veta 7.1. Akákoľvek rovina môže byť špecifikovaná v ľubovoľnom pravouhlom kartézskom súradnicovom systéme rovnicou v tvare (7.1). Presne tak, ako v prípade priamky v rovine, platí aj opačná veta 7.1. Veta 7.2. Akákoľvek rovnica tvaru (7.1) definuje rovinu v priestore. Dôkaz viet 7.1 a 7.2 možno vykonať podobne ako dôkaz viet 2.1, 2.2. Z viet 7.1 a 7.2 vyplýva, že rovina a iba ona je povrchom prvého rádu. Rovnica (7.1) sa nazýva všeobecná rovinná rovnica. Jeho  koeficienty A, B, C sú interpretované geometricky ako súradnice vektora n kolmé na rovinu definovanú touto rovnicou. Tento vektor  n(A, B, C) sa nazýva normálový vektor k danej rovine. Rovnica (7.2) A(x  x0)  B(y  y0)  C (z  z0)  0 pre všetky možné hodnoty koeficientov A, B, C definuje všetky roviny prechádzajúce bodom M 0 ( x0, y0, z0). Nazýva sa to rovnica zväzku rovín. Voľba konkrétnych hodnôt A, B, C v (7.2) znamená voľbu roviny P od spojnice prechádzajúcej bodom M 0 kolmo na daný vektor n(A, B, C) (obr. 7.1 ). Príklad 7.1. Napíšte rovnicu roviny P prechádzajúcej bodom   A(1, 2, 0) rovnobežným s vektormi a  (1, 2,–1), b  (2, 0, 1) .    Normálový vektor n až P je ortogonálny k daným vektorom a a b (obr. 7.2),   preto pre n môžeme vziať ich vektor n súčin: A    P i j k   1 2  1 1   2 n  a  b  1 2  1  i  j 2 1  k 12 0  0 1 2 0 1 n  2 0 1 n   a  4k. Dosadíme súradnice z obr. 7.2. Napríklad 7.1 P M0  bod M 0 a vektor n do rovnice (7.2), dostaneme Obr. 7.1. K rovnici roviny zväzku rovín P: 2(x  1)  3(y  2)  4z  0 alebo P: 2x  3y  4z  4  0 .◄ 1 Ak sú koeficienty dva A, B, C rovnice (7.1) sa rovnajú nule, udáva rovinu rovnobežnú s jednou zo súradnicových rovín. Napríklad, keď A  B  0, C  0 – rovina P1: Cz  D  0 alebo P1: z   D / C (obr. 7.3). Je rovnobežná s rovinou Oxy, pretože jej normálový vektor  n1(0, 0, C) je na túto rovinu kolmý. Pre A  C  0, B  0 alebo B  C  0, A  0 platí rovnica (7. 1) definuje roviny P2: Podľa  D  0 a P3: Ax  D  0, rovnobežné so súradnicovými rovinami Oxz a Oyz, pretože   ich normálové vektory n2(0, B, 0) a n3(A, 0 , 0 ) sú na ne kolmé (obr. 7.3). Ak sa len jeden z koeficientov A, B, C rovnice (7.1) rovná nule, potom udáva rovinu rovnobežnú s jednou zo súradnicových osí (alebo ju obsahuje, ak D  0). Rovina P: Ax  By  D  0 je teda rovnobežná s osou Oz, z z  n1  n  n2 P1 L P O  n3 x y O P2 y P3 x Obr. 7.4. Rovina P: Ax  B y  D  0, rovnobežná s osou Oz Obr. 7.3. Roviny sú rovnobežné so súradnicovými rovinami , pretože jeho normálový vektor n(A, B, 0) je kolmý na os Oz. Všimnite si, že prechádza cez priamku L: Ax  By  D  0 ležiacu v rovine Oxy (obr. 7.4). Pre D  0 rovnica (7.1) špecifikuje rovinu prechádzajúcu počiatkom. Príklad 7.2. Nájdite hodnoty parametra , pre ktoré rovnica x  (2  2) y  (2    2)z    3  0 definuje rovinu P: a) rovnobežnú s jednou súradnicových rovín; b) rovnobežne s jednou zo súradnicových osí; c) prechod cez počiatok súradníc. Napíšme túto rovnicu v tvare x  (  2) y  (  2)(  1) z    3  0 . (7.3) Pre ľubovoľnú hodnotu  definuje rovnica (7.3) určitú rovinu, keďže koeficienty x, y, z v (7.3) súčasne nezanikajú. a) Pre   0 rovnica (7.3) definuje rovinu P rovnobežnú s rovinou Oxy, P: z  3 / 2 a pre   2 definuje rovinu P 2 rovnobežnú s rovinou Oyz, P: x  5/ 2. Pre žiadne hodnoty  nie je rovina P definovaná rovnicou (7.3) rovnobežná s rovinou Oxz, keďže koeficienty x, z v (7.3) súčasne nemiznú. b) Pre   1 rovnica (7.3) definuje rovinu P rovnobežnú s osou Oz, P: x  3y  2  0. Pre ostatné hodnoty parametra  nedefinuje rovinu rovnobežnú len s jednou zo súradnicových osí. c) Pre   3 rovnica (7.3) definuje rovinu P prechádzajúcu počiatkom, P: 3x  15 y  10 z  0 . ◄ Príklad 7.3. Napíšte rovnicu roviny P prechádzajúcej: a) bodom M (1,  3, 2) rovnobežným s osou roviny Oxy; b) os Ox a bod M (2, – 1, 3).   a) Pre normálový vektor n až P tu môžeme vziať vektor k (0, 0,1) - jednotkový vektor osi Oz, pretože je kolmý na rovinu Oxy. Dosadíme súradnice bodu  M (1,  3, 2) a vektora n do rovnice (7.2), dostaneme rovnicu roviny P: z 3  0.   b) Normálny vektor n do P je ortogonálne k vektorom i (1, 0, 0) a OM (2,  1, 3) ,  preto ich vektorový súčin môžeme považovať za n:    i j k       i n  OM  1 0 0   j 12 03  k 12 01   3 j  k . 2 1 3  Dosadíme súradnice bodu O a vektora n do rovnice (7.2), dostaneme rovnicu roviny P:  3(y  0)  (z  0)  0 alebo P: 3 y  z  0 .◄ 3

S tým rozdielom, že namiesto „plochých“ grafov zvážime najbežnejšie priestorové povrchy a tiež sa naučíme, ako ich kompetentne zostaviť ručne. Strávil som pomerne dlhý čas výberom softvérových nástrojov na vytváranie trojrozmerných výkresov a našiel som niekoľko dobrých aplikácií, ale napriek všetkej jednoduchosti použitia tieto programy neriešia dôležitý praktický problém. Faktom je, že v dohľadnej historickej budúcnosti budú študenti stále vyzbrojení pravítkom a ceruzkou a aj keď majú kvalitnú „strojovú“ kresbu, mnohí ju nedokážu správne preniesť na kockovaný papier. Preto je v návode venovaná zvláštna pozornosť technike ručnej stavby a značnú časť ilustrácií stránky tvorí handmade výrobok.

Ako sa tento referenčný materiál líši od analógov?

Keďže mám slušné praktické skúsenosti, veľmi dobre viem, s ktorými povrchmi sa najčastejšie musíme potýkať v reálnych úlohách vyššej matematiky a dúfam, že vám tento článok pomôže rýchlo doplniť batožinu o príslušné vedomosti a aplikované zručnosti, ktoré tvoria 90 -95% prípadov by malo byť dosť.

Čo potrebuješ momentálne vedieť?

Najzákladnejšie:

Po prvé, musíte byť schopní správne postaviť priestorový karteziánsky súradnicový systém (pozri začiatok článku Grafy a vlastnosti funkcií) .

Čo získate po prečítaní tohto článku?

Fľaša Po zvládnutí učebných materiálov sa naučíte rýchlo určovať typ povrchu podľa jeho funkcie a/alebo rovnice, predstavovať si jeho umiestnenie v priestore a samozrejme kresliť. Je v poriadku, ak si po prvom prečítaní neuvedomíte všetko – k akémukoľvek odseku sa môžete kedykoľvek vrátiť podľa potreby.

Informácie sú v moci každého – na ich zvládnutie nepotrebujete žiadne super znalosti, špeciálne umelecké nadanie či priestorové videnie.

Začať!

V praxi sa zvyčajne udáva priestorová plocha funkcia dvoch premenných alebo rovnica tvaru (konštanta na pravej strane je najčastejšie nula alebo jedna). Prvé označenie je typickejšie pre matematickú analýzu, druhé - pre analytická geometria. Rovnica je v podstate implicitne dané funkcia 2 premenných, ktoré sa v typických prípadoch dajú ľahko zredukovať na tvar . Dovoľte mi pripomenúť najjednoduchší príklad c:

–rovinná rovnica milý .

– funkcia roviny v výslovne .

Začnime s tým:

Bežné rovnice rovín

Typické možnosti usporiadania rovín v pravouhlom súradnicovom systéme sú podrobne diskutované na samom začiatku článku. Rovinná rovnica. Zastavme sa však ešte raz pri rovniciach, ktoré majú pre prax veľký význam.

V prvom rade musíte plne automaticky rozpoznať rovnice rovín, ktoré sú rovnobežné so súradnicovými rovinami. Úlomky rovín sú štandardne zobrazené ako obdĺžniky, ktoré v posledných dvoch prípadoch vyzerajú ako rovnobežníky. V predvolenom nastavení si môžete vybrať ľubovoľné rozmery (samozrejme v rozumných medziach), ale je žiaduce, aby bod, v ktorom súradnicová os „prepichne“ rovinu, bol stredom symetrie:


Presne povedané, súradnicové osi by mali byť na niektorých miestach zobrazené bodkovanými čiarami, ale aby sme sa vyhli nejasnostiam, túto nuanciu zanedbáme.

– (ľavý výkres) nerovnosť určuje polpriestor, ktorý je od nás najďalej, s výnimkou samotnej roviny;

– (stredná kresba) nerovnosť určuje správny polpriestor vrátane roviny;

– (pravá kresba) dvojitá nerovnosť definuje „vrstvu“ umiestnenú medzi rovinami, vrátane oboch rovín.

Na samozahriatie:

Príklad 1

Nakreslite teleso ohraničené rovinami
Vytvorte systém nerovností, ktoré definujú dané teleso.

Spod olova vašej ceruzky by sa mal vynoriť starý známy. kváder. Nezabudnite, že neviditeľné okraje a plochy musia byť nakreslené bodkovanou čiarou. Dokončené kreslenie na konci lekcie.

prosím, NEZANEDBAJTE učebné úlohy, aj keď sa zdajú príliš jednoduché. V opačnom prípade sa vám môže stať, že ste to minuli raz, dva razy a potom ste strávili pevnú hodinu a snažili sa prísť na trojrozmernú kresbu na nejakom skutočnom príklade. Mechanická práca vám navyše pomôže naučiť sa látku oveľa efektívnejšie a rozvíjať vašu inteligenciu! Nie náhodou sú deti v materských a základných školách zaťažené kreslením, modelovaním, stavebnými hračkami a inými úlohami na jemnú motoriku prstov. Prepáčte za odbočenie, ale moje dva zošity z vývojovej psychológie by nemali chýbať =)

Ďalšiu skupinu rovín budeme podmienene nazývať „priama úmernosť“ - sú to roviny prechádzajúce súradnicovými osami:

2) rovnica tvaru špecifikuje rovinu prechádzajúcu osou;

3) rovnica tvaru špecifikuje rovinu prechádzajúcu osou.

Aj keď formálny znak je zrejmý (ktorá premenná v rovnici chýba – rovina prechádza touto osou), je vždy užitočné pochopiť podstatu udalostí, ktoré sa dejú:

Príklad 2

Konštruovať rovinu

Aký je najlepší spôsob stavania? Navrhujem nasledujúci algoritmus:

Najprv prepíšme rovnicu do tvaru , z ktorého je jasne vidieť, že „y“ môže byť akýkoľvek významy. Opravme hodnotu, to znamená, že budeme brať do úvahy rovinu súradníc. Sada rovníc vesmírna čiara, ležiace v danej súradnicovej rovine. Znázornime túto čiaru na výkrese. Priamka prechádza počiatkom súradníc, takže na jej zostrojenie stačí nájsť jeden bod. Nechajte . Odložte bod a nakreslite priamku.

Teraz sa vrátime k rovnici roviny. Keďže „Y“ prijíma akýkoľvek hodnoty, potom sa priamka zostrojená v rovine nepretržite „replikuje“ doľava a doprava. Presne tak vzniká naša rovina prechádzajúca osou. Na dokončenie výkresu položíme dve rovnobežné čiary vľavo a vpravo od priamky a „uzatvoríme“ symbolický rovnobežník s priečnymi horizontálnymi segmentmi:

Keďže táto podmienka nekladie ďalšie obmedzenia, fragment lietadla mohol byť zobrazený v mierne menších alebo mierne väčších veľkostiach.

Zopakujme si ešte raz význam priestorovej lineárnej nerovnosti na príklade. Ako určiť polovičný priestor, ktorý definuje? Vezmime si nejaký bod nepatriaci do rovine, napríklad bod z polpriestoru najbližšie k nám a jeho súradnice dosadíme do nerovnosti:

Prijaté skutočná nerovnosť, čo znamená, že nerovnosť udáva spodný (vzhľadom na rovinu) polpriestor, pričom samotná rovina nie je zahrnutá do riešenia.

Príklad 3

Konštruovať lietadlá
A);
b) .

Sú to úlohy na vlastnú výstavbu, v prípade ťažkostí použite podobné uvažovanie. Stručné pokyny a nákresy na konci hodiny.

V praxi sú bežné najmä roviny rovnobežné s osou. Špeciálny prípad, keď rovina prechádza osou, bol práve diskutovaný v odseku „be“ a teraz budeme analyzovať všeobecnejší problém:

Príklad 4

Konštruovať rovinu

Riešenie: premenná „z“ nie je explicitne zahrnutá v rovnici, čo znamená, že rovina je rovnobežná s osou aplikácie. Použime rovnakú techniku ​​ako v predchádzajúcich príkladoch.

Prepíšme rovnicu roviny do tvaru z čoho je zrejmé, že „zet“ môže brať akýkoľvek významy. Opravme to a nakreslíme pravidelnú „plochú“ priamku v „natívnej“ rovine. Na jeho konštrukciu je vhodné vziať referenčné body.

Keďže „Z“ prijíma Všetky hodnoty, potom sa zostrojená priamka plynule „násobí“ nahor a nadol, čím sa vytvorí požadovaná rovina . Starostlivo zostavujeme rovnobežník primeranej veľkosti:

Pripravený.

Rovnica roviny v segmentoch

Najdôležitejšia aplikovaná odroda. Ak Všetky kurzov všeobecná rovnica roviny nenulové, potom môže byť zastúpená vo forme ktorá sa volá rovnica roviny v segmentoch. Je zrejmé, že rovina pretína súradnicové osi v bodoch a veľkou výhodou takejto rovnice je jednoduchosť konštrukcie výkresu:

Príklad 5

Konštruovať rovinu

Riešenie: Najprv vytvorte rovnicu roviny v segmentoch. Hodíme voľný termín doprava a vydelíme obe strany 12:

Nie, nie je tu žiadny preklep a všetko sa deje vo vesmíre! Navrhovaný povrch skúmame pomocou rovnakej metódy, ktorá bola nedávno použitá pre lietadlá. Prepíšme rovnicu do tvaru , z čoho vyplýva, že „zet“ berie akýkoľvek významy. Zafixujme a zostrojme elipsu v rovine. Keďže „zet“ akceptuje Všetky hodnoty, potom sa zostrojená elipsa nepretržite „replikuje“ nahor a nadol. Je ľahké pochopiť, že povrch nekonečné:

Tento povrch je tzv eliptický valec. Volá sa elipsa (v akejkoľvek výške). sprievodca valec a nazývajú sa rovnobežné čiary prechádzajúce každým bodom elipsy formovanie valec (ktoré ho doslova tvoria). Os je os symetrie povrch (ale nie jeho časť!).

Súradnice akéhokoľvek bodu prislúchajúceho danému povrchu nevyhnutne vyhovujú rovnici .

Priestorový nerovnosť definuje „vnútro“ nekonečnej „potrubia“, vrátane samotného valcového povrchu, a teda opačná nerovnosť definuje množinu bodov mimo valca.

V praktických problémoch je najobľúbenejší špeciálny prípad kedy sprievodca valec je kruh:

Príklad 8

Zostrojte povrch daný rovnicou

Nie je možné zobraziť nekonečnú „rúru“, takže umenie sa zvyčajne obmedzuje na „orezávanie“.

Najprv je vhodné vytvoriť kruh s polomerom v rovine a potom niekoľko ďalších kruhov nad a pod. Výsledné kruhy ( sprievodcov valec) opatrne spojte štyrmi rovnobežnými priamkami ( formovanie valec):

Nezabudnite použiť bodkované čiary na čiary, ktoré sú pre nás neviditeľné.

Súradnice ľubovoľného bodu patriaceho do daného valca vyhovujú rovnici . Súradnice akéhokoľvek bodu ležiaceho presne vo vnútri „rúry“ vyhovujú nerovnosti a nerovnosť definuje množinu bodov vonkajšej časti. Pre lepšie pochopenie odporúčam zvážiť niekoľko konkrétnych bodov v priestore a presvedčiť sa na vlastné oči.

Príklad 9

Zostrojte plochu a nájdite jej priemet do roviny

Prepíšme rovnicu do tvaru z čoho vyplýva, že „x“ berie akýkoľvek významy. Opravme a znázornime v rovine kruh– so stredom v počiatku, polomer jednotky. Pretože "x" nepretržite prijíma Všetky hodnoty, potom zostrojený kruh generuje kruhový valec s osou symetrie. Nakreslite ďalší kruh ( sprievodca valec) a opatrne ich spojte rovnými čiarami ( formovanie valec). Miestami boli prekrytia, ale čo robiť, taký sklon:

Tentokrát som sa obmedzil na kúsok valca v medzere, a to nie je náhodné. V praxi je často potrebné zobraziť len malý fragment povrchu.

Tu je mimochodom 6 generujúcich čiar - dve ďalšie priame čiary „pokrývajú“ povrch z ľavého horného a pravého dolného rohu.

Teraz sa pozrime na priemet valca do roviny. Mnoho čitateľov chápe, čo je to projekcia, ale napriek tomu urobme ďalšie päťminútové fyzické cvičenie. Postavte sa a sklonte hlavu nad kresbou tak, aby bod osi smeroval kolmo na vaše čelo. Z tohto uhla sa valec javí ako jeho priemet do roviny. Ale zdá sa, že je to nekonečný pás, uzavretý medzi rovnými čiarami, vrátane samotných priamych čiar. Táto projekcia je presne taká domény funkcie (horný „žľab“ valca), (spodný „žľab“).

Mimochodom, objasnime situáciu s projekciami na iné súradnicové roviny. Nechajte slnečné lúče svietiť na valec od špičky a pozdĺž osi. Tieň (priemet) valca do roviny je podobný nekonečný pás - časť roviny ohraničená priamkami (- ľubovoľnými), vrátane samotných priamok.

Ale projekcia do roviny je trochu iná. Ak sa pozriete na valec z vrcholu osi, potom sa premietne do kruhu s jednotkovým polomerom , ktorým sme stavbu začali.

Príklad 10

Zostrojte povrch a nájdite jeho projekcie do súradnicových rovín

Toto je úloha, ktorú musíte vyriešiť sami. Ak podmienka nie je veľmi jasná, urovnajte obe strany a analyzujte výsledok; zistiť, ktorá časť valca je určená funkciou. Použite stavebnú techniku ​​opakovane použitú vyššie. Krátke riešenie, kresba a komentáre na konci hodiny.

Eliptické a iné valcové plochy môžu byť posunuté vzhľadom na súradnicové osi, napríklad:

(na základe známych motívov článku o riadky 2. rádu) – valec jednotkového polomeru s čiarou súmernosti prechádzajúcou bodom rovnobežným s osou. V praxi sa však s takýmito valcami stretávame pomerne zriedkavo a je úplne neuveriteľné stretnúť sa s valcovou plochou, ktorá je „šikmá“ vzhľadom na súradnicové osi.

Parabolické valce

Ako už názov napovedá, sprievodca taký valec je parabola.

Príklad 11

Zostrojte povrch a nájdite jeho projekcie do súradnicových rovín.

Tomuto príkladu som nemohla odolať =)

Riešenie: Poďme po vychodených cestách. Prepíšme rovnicu do tvaru, z ktorého vyplýva, že „zet“ môže mať akúkoľvek hodnotu. Zafixujme a zostrojme obyčajnú parabolu na rovine, pričom sme predtým označili triviálne podporné body. Keďže „Z“ prijíma Všetky hodnoty, potom sa zostrojená parabola kontinuálne „replikuje“ hore a dole do nekonečna. Položíme rovnakú parabolu, povedzme, vo výške (v rovine) a opatrne ich spojíme rovnobežnými priamkami ( formovanie valca):

pripomínam ti užitočná technika: ak si spočiatku nie ste istí kvalitou kresby, potom je lepšie najskôr nakresliť čiary veľmi tenko ceruzkou. Potom zhodnotíme kvalitu skice, zistíme oblasti, kde je povrch skrytý našim očiam a až potom zatlačíme na stylus.

Projekcie.

1) Priemet valca do roviny je parabola. Treba poznamenať, že v tomto prípade sa o tom nedá hovoriť doména definície funkcie dvoch premenných– z dôvodu, že valcová rovnica nie je redukovateľná na funkčný tvar.

2) Priemet valca na rovinu je polrovina vrátane osi

3) A nakoniec, priemetom valca do roviny je celá rovina.

Príklad 12

Zostrojte parabolické valce:

a) obmedzte sa na fragment povrchu v blízkom polopriestore;

b) v intervale

V prípade ťažkostí sa neponáhľame a neuvažujeme analogicky s predchádzajúcimi príkladmi, našťastie je technológia dôkladne vyvinutá. Nie je kritické, ak sú povrchy trochu nemotorné - je dôležité správne zobraziť základný obrázok. Ja sám sa s krásou línií veľmi nezaoberám, ak dostanem prijateľnú kresbu s stupňom C, zvyčajne to nerobím. Mimochodom, vzorové riešenie využíva inú techniku ​​na zlepšenie kvality kresby ;-)

Hyperbolické valce

Sprievodcovia takéto valce sú hyperboly. Tento typ povrchu je podľa mojich pozorovaní oveľa menej bežný ako predchádzajúce typy, takže sa obmedzím na jediný schematický nákres hyperbolického valca:

Princíp uvažovania je tu úplne rovnaký - obvyklý školská hyperbola z roviny sa plynule „násobí“ hore a dole do nekonečna.

Uvažované valce patria medzi tzv Povrchy 2. rádu a teraz sa budeme aj naďalej zoznamovať s ďalšími predstaviteľmi tejto skupiny:

elipsoidný. Guľa a lopta

Kanonická rovnica elipsoidu v pravouhlom súradnicovom systéme má tvar , kde sú kladné čísla ( nápravové hriadele elipsoid), čo vo všeobecnom prípade rôzne. Elipsoid sa nazýva povrch, teda telo, obmedzený daným povrchom. Telo, ako mnohí uhádli, je určené nerovnosťou a súradnice akéhokoľvek vnútorného bodu (ako aj akéhokoľvek povrchového bodu) nevyhnutne spĺňajú túto nerovnosť. Návrh je symetrický vzhľadom na súradnicové osi a súradnicové roviny:

Pôvod pojmu „elipsoid“ je tiež zrejmý: ak je povrch „rozrezaný“ súradnicovými rovinami, výsledkom rezov budú tri rôzne (vo všeobecnom prípade)

Podobné články