Po získaní všeobecnej predstavy o rovnosti a po oboznámení sa s jedným z ich typov - číselnými rovnosťami, môžete začať hovoriť o inom type rovnosti, ktorý je z praktického hľadiska veľmi dôležitý - o rovniciach. V tomto článku sa pozrieme na čo je rovnica a čo sa nazýva koreň rovnice. Tu uvedieme zodpovedajúce definície, ako aj rôzne príklady rovníc a ich koreňov.

Navigácia na stránke.

čo je rovnica?

Cielený úvod do rovníc sa zvyčajne začína na hodinách matematiky v 2. ročníku. V tomto čase je uvedené nasledovné definícia rovnice:

Definícia.

Rovnica je rovnosť obsahujúca neznáme číslo, ktoré je potrebné nájsť.

Neznáme čísla v rovniciach sa zvyčajne označujú malými latinskými písmenami, napríklad p, t, u atď., ale najčastejšie sa používajú písmená x, y a z.

Teda rovnica je určená z hľadiska formy zápisu. Inými slovami, rovnosť je rovnica, keď dodržiava určené pravidlá písania – obsahuje písmeno, ktorého hodnotu je potrebné nájsť.

Uveďme príklady úplne prvých a najjednoduchších rovníc. Začnime rovnicami v tvare x=8, y=3 atď. Rovnice, ktoré obsahujú aritmetické znaky spolu s číslami a písmenami, vyzerajú trochu komplikovanejšie, napríklad x+2=3, z−2=5, 3 t=9, 8:x=2.

Rôznorodosť rovníc narastá po oboznámení sa s - začínajú sa objavovať rovnice so zátvorkami, napríklad 2·(x−1)=18 a x+3·(x+2·(x−2))=3. Neznáme písmeno v rovnici sa môže objaviť niekoľkokrát, napríklad x+3+3·x−2−x=9, písmená môžu byť aj na ľavej strane rovnice, na jej pravej strane alebo na oboch stranách rovnice. rovnica, napríklad x·(3+1)−4=8, 7−3=z+1 alebo 3·x−4=2·(x+12) .

Ďalej, po štúdiu prirodzených čísel sa človek zoznámi s celými, racionálnymi, reálnymi číslami, študujú sa nové matematické objekty: mocniny, odmocniny, logaritmy atď., pričom sa objavujú stále nové a nové typy rovníc, ktoré tieto veci obsahujú. Ich príklady nájdete v článku základné typy rovnícštúdium na škole.

V 7. ročníku spolu s písmenami, ktoré znamenajú nejaké konkrétne čísla, začínajú zvažovať písmená, ktoré môžu nadobudnúť rôzne hodnoty, nazývajú sa premenné (pozri článok). Zároveň sa do definície rovnice vkladá slovo „premenná“ a stáva sa takto:

Definícia.

Rovnica nazývaná rovnosť obsahujúca premennú, ktorej hodnotu je potrebné nájsť.

Napríklad rovnica x+3=6·x+7 je rovnica s premennou x a 3·z−1+z=0 je rovnica s premennou z.

Na hodinách algebry v tom istom 7. ročníku sa stretávame s rovnicami obsahujúcimi nie jednu, ale dve rôzne neznáme premenné. Nazývajú sa rovnice v dvoch premenných. V budúcnosti je v rovniciach povolená prítomnosť troch alebo viacerých premenných.

Definícia.

Rovnice s jedným, dvoma, tromi atď. premenných– ide o rovnice obsahujúce vo svojom zápise jednu, dve, tri, ... neznáme premenné, resp.

Napríklad rovnica 3,2 x+0,5=1 je rovnica s jednou premennou x, rovnica v tvare x−y=3 je rovnica s dvomi premennými x a y. A ešte jeden príklad: x 2 +(y−1) 2 +(z+0,5) 2 =27. Je zrejmé, že takáto rovnica je rovnica s tromi neznámymi premennými x, y a z.

Čo je koreňom rovnice?

Definícia rovnice priamo súvisí s definíciou koreňa tejto rovnice. Urobme nejaké úvahy, ktoré nám pomôžu pochopiť, čo je koreňom rovnice.

Povedzme, že máme rovnicu s jedným písmenom (premennou). Ak sa namiesto písmena zahrnutého v položke tejto rovnice nahradí určité číslo, rovnica sa zmení na číselnú rovnosť. Navyše výsledná rovnosť môže byť buď pravdivá alebo nepravdivá. Ak napríklad v rovnici a+1=5 dosadíte namiesto písmena a číslo 2, dostanete nesprávnu číselnú rovnosť 2+1=5. Ak do tejto rovnice dosadíme číslo 4 namiesto a, dostaneme správnu rovnosť 4+1=5.

V praxi sa v drvivej väčšine prípadov zaujímajú tie hodnoty premennej, ktorých substitúcia do rovnice dáva správnu rovnosť; tieto hodnoty sa nazývajú korene alebo riešenia tejto rovnice.

Definícia.

Koreň rovnice- je to hodnota písmena (premennej), pri ktorej dosadení sa rovnica zmení na správnu číselnú rovnosť.

Všimnite si, že koreň rovnice v jednej premennej sa nazýva aj riešenie rovnice. Inými slovami, riešenie rovnice a koreň rovnice sú to isté.

Vysvetlime si túto definíciu na príklade. Aby sme to urobili, vráťme sa k rovnici napísanej vyššie a+1=5. Podľa uvedenej definície koreňa rovnice je číslo 4 koreňom tejto rovnice, keďže pri dosadení tohto čísla namiesto písmena a dostaneme správnu rovnosť 4+1=5 a číslo 2 nie je jej koreň, keďže zodpovedá nesprávnej rovnosti tvaru 2+1= 5 .

V tomto bode vyvstáva množstvo prirodzených otázok: „Má nejaká rovnica koreň a koľko koreňov má daná rovnica? My im odpovieme.

Existujú rovnice, ktoré majú korene a rovnice, ktoré nemajú korene. Napríklad rovnica x+1=5 má koreň 4, ale rovnica 0 x=5 nemá korene, keďže bez ohľadu na to, aké číslo do tejto rovnice dosadíme namiesto premennej x, dostaneme nesprávnu rovnosť 0=5 .

Pokiaľ ide o počet koreňov rovnice, existujú rovnice, ktoré majú určitý konečný počet koreňov (jeden, dva, tri atď.), ako aj rovnice, ktoré majú nekonečný počet koreňov. Napríklad rovnica x−2=4 má jeden koreň 6, korene rovnice x 2 =9 sú dve čísla −3 a 3, rovnica x·(x−1)·(x−2)=0 má tri korene 0, 1 a 2 a riešením rovnice x=x je ľubovoľné číslo, to znamená, že má nekonečný počet koreňov.

Malo by sa povedať niekoľko slov o akceptovanom označení koreňov rovnice. Ak rovnica nemá korene, zvyčajne píšu „rovnica nemá korene“ alebo používajú znak prázdnej množiny ∅. Ak má rovnica korene, potom sa píšu oddelené čiarkami alebo sa píšu ako prvky súpravy v zložených zátvorkách. Napríklad, ak sú koreňmi rovnice čísla −1, 2 a 4, napíšte −1, 2, 4 alebo (−1, 2, 4). Je tiež prípustné zapísať korene rovnice vo forme jednoduchých rovníc. Napríklad, ak rovnica obsahuje písmeno x a korene tejto rovnice sú čísla 3 a 5, potom môžete napísať x=3, x=5 a často sa pridávajú dolné indexy x 1 =3, x 2 =5 na premennú, ako keby označoval korene čísel rovnice. Nekonečná množina koreňov rovnice sa zvyčajne zapisuje v tvare, ak je to možné, používa sa aj zápis pre množiny prirodzených čísel N, celé čísla Z a reálne čísla R. Napríklad, ak koreň rovnice s premennou x je ľubovoľné celé číslo, potom napíšte , a ak korene rovnice s premennou y sú akékoľvek reálne číslo od 1 do 9 vrátane, potom napíšte .

Pre rovnice s dvomi, tromi alebo viacerými premennými sa spravidla nepoužíva pojem „koreň rovnice“, v týchto prípadoch sa hovorí o „riešení rovnice“. Čo sa nazýva riešenie rovníc s viacerými premennými? Uveďme zodpovedajúcu definíciu.

Definícia.

Riešenie rovnice s dvoma, tromi atď. premenných nazývaný pár, tri atď. hodnoty premenných, čím sa táto rovnica zmení na správnu číselnú rovnosť.

Ukážme vysvetľujúce príklady. Uvažujme rovnicu s dvoma premennými x+y=7. Dosadíme namiesto x číslo 1 a namiesto y číslo 2 a máme rovnosť 1+2=7. Je zrejmé, že je to nesprávne, preto pár hodnôt x=1, y=2 nie je riešením napísanej rovnice. Ak vezmeme pár hodnôt x=4, y=3, tak po dosadení do rovnice dospejeme k správnej rovnosti 4+3=7, preto je tento pár premenných hodnôt podľa definície riešením na rovnicu x+y=7.

Rovnice s niekoľkými premennými, podobne ako rovnice s jednou premennou, nemusia mať žiadne korene, môžu mať konečný počet koreňov alebo môžu mať nekonečný počet koreňov.

Dvojica, trojica, štvorica atď. Hodnoty premenných sa často píšu stručne, pričom ich hodnoty sú oddelené čiarkami v zátvorkách. V tomto prípade zapísané čísla v zátvorkách zodpovedajú premenným v abecednom poradí. Ujasnime si tento bod návratom k predchádzajúcej rovnici x+y=7. Riešenie tejto rovnice x=4, y=3 môžeme stručne zapísať ako (4, 3).

Najväčšia pozornosť v školskom kurze matematiky, algebry a začiatkov analýzy je venovaná hľadaniu koreňov rovníc s jednou premennou. O pravidlách tohto procesu budeme veľmi podrobne diskutovať v článku. riešenie rovníc.

Bibliografia.

• Matematika. 2 triedy Učebnica pre všeobecné vzdelanie inštitúcie s adj. na elektrón dopravca. O 14:00 1. časť / [M. I. Moro, M. A. Bantová, G. V. Beltyuková atď.] - 3. vyd. - M.: Vzdelávanie, 2012. - 96 s.: chor. - (Ruská škola). - ISBN 978-5-09-028297-0.
• Algebra: učebnica pre 7. ročník všeobecné vzdelanie inštitúcie / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; upravil S. A. Teljakovskij. - 17. vyd. - M.: Vzdelávanie, 2008. - 240 s. : chorý. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Algebra: 9. ročník: výchovný. pre všeobecné vzdelanie inštitúcie / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; upravil S. A. Teljakovskij. - 16. vyd. - M.: Vzdelávanie, 2009. - 271 s. : chorý. - ISBN 978-5-09-021134-5.

Osobitné miesto zaujíma riešenie rovníc v matematike. Tomuto procesu predchádza mnoho hodín štúdia teórie, počas ktorej sa študent naučí riešiť rovnice, určovať ich typ a prináša zručnosť úplnej automatizácie. Hľadanie koreňov však nie vždy dáva zmysel, pretože možno jednoducho neexistujú. Existujú špeciálne techniky na hľadanie koreňov. V tomto článku budeme analyzovať hlavné funkcie, ich domény definície, ako aj prípady, keď chýbajú ich korene.

Ktorá rovnica nemá korene?

Rovnica nemá korene, ak neexistujú žiadne reálne argumenty x, pre ktoré platí rovnica rovnako. Pre nešpecialistu vyzerá táto formulácia, podobne ako väčšina matematických teorémov a vzorcov, veľmi vágna a abstraktná, ale je to teoreticky. V praxi je všetko veľmi jednoduché. Napríklad: rovnica 0 * x = -53 nemá riešenie, pretože neexistuje žiadne číslo x, ktorého súčin s nulou by dával niečo iné ako nulu.

Teraz sa pozrieme na najzákladnejšie typy rovníc.

1. Lineárna rovnica

Rovnica sa nazýva lineárna, ak jej pravá a ľavá strana sú reprezentované ako lineárne funkcie: ax + b = cx + d alebo vo zovšeobecnenom tvare kx + b = 0. Kde a, b, c, d sú známe čísla a x je neznáme množstvo. Ktorá rovnica nemá korene? Príklady lineárnych rovníc sú uvedené na obrázku nižšie.

Lineárne rovnice sa v podstate riešia jednoduchým prenesením časti čísla do jednej časti a obsahu x do druhej. Výsledkom je rovnica v tvare mx = n, kde m a n sú čísla a x je neznáma. Ak chcete nájsť x, vydeľte obe strany číslom m. Potom x = n/m. Väčšina lineárnych rovníc má iba jeden koreň, ale existujú prípady, keď je koreňov buď nekonečne veľa alebo žiadne. Keď m = 0 an = 0, rovnica má tvar 0 * x = 0. Riešením takejto rovnice bude absolútne ľubovoľné číslo.

Ktorá rovnica však nemá korene?

Pre m = 0 an = 0 rovnica nemá korene v množine reálnych čísel. 0* x = -1; 0 * x = 200 - tieto rovnice nemajú korene.

2. Kvadratická rovnica

Kvadratická rovnica je rovnica v tvare ax 2 + bx + c = 0 pre a = 0. Najbežnejšie riešenie je cez diskriminant. Vzorec na nájdenie diskriminantu kvadratickej rovnice je: D = b 2 - 4 * a * c. Ďalej sú tu dva korene x 1,2 = (-b ± √D) / 2 * a.

Pre D > 0 má rovnica dva korene, pre D = 0 má jeden koreň. Ale ktorá kvadratická rovnica nemá korene? Najjednoduchší spôsob, ako zistiť počet koreňov kvadratickej rovnice, je vykresliť funkciu, ktorou je parabola. Pre a > 0 sú vetvy nasmerované nahor, pre a< 0 ветви опущены вниз. Если дискриминант отрицателен, такое квадратное уравнение не имеет корней на множестве действительных чисел.

Počet koreňov môžete určiť aj vizuálne bez výpočtu diskriminantu. Aby ste to dosiahli, musíte nájsť vrchol paraboly a určiť, ktorým smerom sú vetvy nasmerované. Súradnicu x vrcholu možno určiť pomocou vzorca: x 0 = -b / 2a. V tomto prípade sa súradnica y vrcholu nájde jednoduchým dosadením hodnoty x 0 do pôvodnej rovnice.

Kvadratická rovnica x 2 - 8x + 72 = 0 nemá korene, pretože má negatívny diskriminant D = (-8) 2 - 4 * 1 * 72 = -224. To znamená, že parabola sa nedotýka osi x a funkcia nikdy nenadobudne hodnotu 0, takže rovnica nemá žiadne skutočné korene.

3. Goniometrické rovnice

Goniometrické funkcie sú uvažované na goniometrickom kruhu, ale môžu byť reprezentované aj v karteziánskom súradnicovom systéme. V tomto článku sa pozrieme na dve základné goniometrické funkcie a ich rovnice: sinx a cosx. Keďže tieto funkcie tvoria trigonometrický kruh s polomerom 1, |sinx| a |cosx| nemôže byť väčšia ako 1. Takže, ktorá rovnica sinx nemá korene? Zvážte graf funkcie sinx zobrazený na obrázku nižšie.

Vidíme, že funkcia je symetrická a má periódu opakovania 2pi. Na základe toho môžeme povedať, že maximálna hodnota tejto funkcie môže byť 1 a minimálna -1. Napríklad výraz cosx = 5 nebude mať korene, pretože jeho absolútna hodnota je väčšia ako jedna.

Toto je najjednoduchší príklad goniometrických rovníc. V skutočnosti ich riešenie môže zabrať veľa strán, na konci ktorých si uvedomíte, že ste použili nesprávny vzorec a musíte začať odznova. Niekedy, aj keď nájdete korene správne, môžete zabudnúť vziať do úvahy obmedzenia OD, preto sa v odpovedi objaví extra koreň alebo interval a celá odpoveď sa zmení na chybu. Preto prísne dodržiavajte všetky obmedzenia, pretože nie všetky korene zapadajú do rozsahu úlohy.

4. Sústavy rovníc

Systém rovníc je súbor rovníc spojených zloženými alebo hranatými zátvorkami. Zložené zátvorky označujú, že všetky rovnice sú spustené spolu. To znamená, že ak aspoň jedna z rovníc nemá korene alebo je v rozpore s inou, celý systém nemá riešenie. Hranaté zátvorky označujú slovo „alebo“. To znamená, že ak aspoň jedna z rovníc systému má riešenie, potom má riešenie celý systém.

Odpoveďou sústavy c je množina všetkých koreňov jednotlivých rovníc. A systémy s kučeravými zátvorkami majú len spoločné korene. Sústavy rovníc môžu obsahovať úplne odlišné funkcie, takže takáto zložitosť nám neumožňuje okamžite povedať, ktorá rovnica nemá korene.

V problémových knihách a učebniciach sú rôzne typy rovníc: tie, ktoré majú korene, a tie, ktoré nemajú. Po prvé, ak nemôžete nájsť korene, nemyslite si, že tam vôbec nie sú. Možno ste niekde urobili chybu, potom musíte svoje rozhodnutie dôkladne skontrolovať.

Pozreli sme sa na najzákladnejšie rovnice a ich typy. Teraz môžete povedať, ktorá rovnica nemá korene. Vo väčšine prípadov to nie je ťažké. Dosiahnutie úspechu pri riešení rovníc si vyžaduje len pozornosť a sústredenie. Cvičte viac, pomôže vám to oveľa lepšie a rýchlejšie sa orientovať v látke.

Takže rovnica nemá korene, ak:

• v lineárnej rovnici mx = n je hodnota m = 0 an = 0;
• v kvadratickej rovnici, ak je diskriminant menší ako nula;
• v goniometrickej rovnici v tvare cosx = m / sinx = n, ak |m| > 0, |n| > 0;
• v sústave rovníc so zloženými zátvorkami, ak aspoň jedna rovnica nemá korene, a s hranatými zátvorkami, ak všetky rovnice nemajú korene.

Po preštudovaní pojmu rovnosti, konkrétne jedného z ich typov – číselnej rovnosti, môžeme prejsť k ďalšiemu dôležitému typu – rovniciam. V rámci tohto materiálu si vysvetlíme, čo je rovnica a jej koreň, sformulujeme základné definície a uvedieme rôzne príklady rovníc a hľadania ich koreňov.

Pojem rovnica

Pojem rovnica sa zvyčajne vyučuje na samom začiatku kurzu školskej algebry. Potom je to definované takto:

Definícia 1

Rovnica volala rovnosť s neznámym číslom, ktoré treba nájsť.

Neznáme je zvykom označovať malými latinskými písmenami, napríklad t, r, m atď., ale najčastejšie sa používa x, y, z. Inými slovami, rovnica je určená formou jej záznamu, to znamená, že rovnosť bude rovnicou až vtedy, keď sa zredukuje na určitý tvar – musí obsahovať písmeno, hodnotu, ktorú treba nájsť.

Uveďme niekoľko príkladov najjednoduchších rovníc. Môžu to byť rovnosti v tvare x = 5, y = 6 atď., ako aj tie, ktoré zahŕňajú aritmetické operácie, napríklad x + 7 = 38, z − 4 = 2, 8 t = 4, 6: x = 3.

Po naučení sa konceptu zátvoriek sa objaví koncept rovníc so zátvorkami. Patria sem 7 · (x − 1) = 19, x + 6 · (x + 6 · (x − 8)) = 3 atď. Písmeno, ktoré je potrebné nájsť, sa môže objaviť viackrát, ale viackrát, napr. , napríklad v rovnici x + 2 + 4 · x − 2 − x = 10 . Neznáme môžu byť tiež umiestnené nielen vľavo, ale aj vpravo alebo v oboch častiach súčasne, napríklad x (8 + 1) − 7 = 8, 3 − 3 = z + 3 alebo 8 x − 9 = 2 (x + 17) .

Ďalej, keď sa študenti zoznámia s pojmami celé čísla, reálne čísla, racionálne čísla, prirodzené čísla, ako aj logaritmy, odmocniny a mocniny, objavia sa nové rovnice, ktoré zahŕňajú všetky tieto objekty. Príkladom takýchto výrazov sme venovali samostatný článok.

V učebných osnovách 7. ročníka sa prvýkrát objavuje pojem premenné. Ide o písmená, ktoré môžu nadobúdať rôzny význam (podrobnejšie v článku o číselných, písmenových a premenných výrazoch). Na základe tohto konceptu môžeme predefinovať rovnicu:

Definícia 2

Rovnica je rovnosť zahŕňajúca premennú, ktorej hodnotu je potrebné vypočítať.

To znamená, že napríklad výraz x + 3 = 6 x + 7 je rovnica s premennou x a 3 y − 1 + y = 0 je rovnica s premennou y.

Jedna rovnica môže mať viac ako jednu premennú, ale dve alebo viac. Nazývajú sa rovnice s dvoma, tromi premennými atď. Zapíšme si definíciu:

Definícia 3

Rovnice s dvoma (tromi, štyrmi alebo viacerými) premennými sú rovnice, ktoré obsahujú zodpovedajúci počet neznámych.

Napríklad rovnosť tvaru 3, 7 · x + 0, 6 = 1 je rovnica s jednou premennou x a x − z = 5 je rovnica s dvoma premennými x a z. Príkladom rovnice s tromi premennými by bolo x 2 + (y − 6) 2 + (z + 0, 6) 2 = 26.

Koreň rovnice

Keď hovoríme o rovnici, okamžite vzniká potreba definovať pojem jej koreňa. Pokúsme sa vysvetliť, čo to znamená.

Príklad 1

Dostali sme určitú rovnicu, ktorá obsahuje jednu premennú. Ak za neznáme písmeno dosadíme číslo, rovnica sa stane číselnou rovnosťou – pravda alebo nepravda. Takže, ak v rovnici a + 1 = 5 nahradíme písmeno číslom 2, potom sa rovnosť stane nepravdivou, a ak 4, potom správna rovnosť bude 4 + 1 = 5.

Viac nás zaujímajú práve tie hodnoty, s ktorými sa premenná zmení na skutočnú rovnosť. Nazývajú sa korene alebo riešenia. Zapíšme si definíciu.

Definícia 4

Koreň rovnice Nazývajú hodnotu premennej, ktorá mení danú rovnicu na skutočnú rovnosť.

Koreň možno nazvať aj riešením, alebo naopak – oba tieto pojmy znamenajú to isté.

Príklad 2

Na objasnenie tejto definície si uveďme príklad. Vyššie sme dali rovnicu a + 1 = 5. Podľa definície bude koreň v tomto prípade 4, pretože pri dosadení namiesto písmena dáva správnu číselnú rovnosť a dvojka nebude riešením, pretože zodpovedá nesprávnej rovnosti 2 + 1 = 5.

Koľko koreňov môže mať jedna rovnica? Má každá rovnica koreň? Odpovedzme si na tieto otázky.

Existujú aj rovnice, ktoré nemajú jediný koreň. Príkladom by bolo 0 x = 5. Môžeme do nej dosadiť nekonečné množstvo rôznych čísel, ale žiadne z nich ju nepremení na skutočnú rovnosť, pretože vynásobením 0 vždy dostaneme 0.

Existujú aj rovnice, ktoré majú niekoľko koreňov. Môžu mať konečný alebo nekonečný počet koreňov.

Príklad 3

Takže v rovnici x − 2 = 4 je len jeden koreň - šesť, v x 2 = 9 dva korene - tri a mínus tri, v x · (x − 1) · (x − 2) = 0 tri korene - nula, jedna a dva, v rovnici x=x je nekonečne veľa koreňov.

Teraz si vysvetlíme, ako správne napísať korene rovnice. Ak neexistujú žiadne, napíšeme: „rovnica nemá korene“. V tomto prípade môžete uviesť aj znamienko prázdnej množiny ∅. Ak existujú korene, píšeme ich oddelené čiarkami alebo ich označujeme ako prvky množiny a uzatvárame ich do zložených zátvoriek. Ak má teda akákoľvek rovnica tri korene - 2, 1 a 5, potom napíšeme - 2, 1, 5 alebo (- 2, 1, 5).

Je dovolené písať korene vo forme jednoduchých rovníc. Ak je teda neznáma v rovnici označená písmenom y a korene sú 2 a 7, potom napíšeme y = 2 a y = 7. Niekedy sa k písmenám pridávajú dolné indexy, napríklad x 1 = 3, x 2 = 5. Týmto spôsobom ukážeme na čísla koreňov. Ak má rovnica nekonečný počet riešení, potom odpoveď zapíšeme ako číselný interval alebo použijeme všeobecne uznávaný zápis: množina prirodzených čísel sa označí N, celé čísla - Z, reálne čísla - R. Povedzme, že ak potrebujeme napísať, že riešením rovnice bude ľubovoľné celé číslo, napíšeme, že x ∈ Z, a ak nejaké reálne číslo od jedna do deväť, tak y ∈ 1, 9.

Keď má rovnica dva, tri alebo viac koreňov, potom spravidla nehovoríme o koreňoch, ale o riešeniach rovnice. Sformulujme definíciu riešenia rovnice s viacerými premennými.

Definícia 5

Riešením rovnice s dvoma, tromi alebo viacerými premennými sú dve, tri alebo viac hodnôt premenných, ktoré menia danú rovnicu na správnu číselnú rovnosť.

Vysvetlime si definíciu na príkladoch.

Príklad 4

Povedzme, že máme výraz x + y = 7, čo je rovnica s dvoma premennými. Nahraďte jeden namiesto prvého a dva namiesto druhého. Dostaneme nesprávnu rovnosť, čo znamená, že táto dvojica hodnôt nebude riešením tejto rovnice. Ak vezmeme pár 3 a 4, potom sa rovnosť stane pravdou, čo znamená, že sme našli riešenie.

Takéto rovnice tiež nemusia mať žiadne korene alebo ich môže byť nekonečný počet. Ak potrebujeme zapísať dve, tri, štyri alebo viac hodnôt, potom ich zapíšeme oddelené čiarkami v zátvorkách. To znamená, že v príklade vyššie bude odpoveď vyzerať ako (3, 4).

V praxi sa najčastejšie musíte zaoberať rovnicami obsahujúcimi jednu premennú. Algoritmus na ich riešenie podrobne zvážime v článku venovanom riešeniu rovníc.

Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter

Podobné články