Z pohybových rovníc konzervatívneho mechanického systému okolo stabilnej rovnovážnej polohy

v prípade dvoch stupňov voľnosti máme:

(1)

(Podľa Sylvesterovho kritéria:

(1) sústava diferenciálnych rovníc malých voľných kmitov mechanického systému s dvoma stupňami voľnosti v blízkosti stabilnej rovnovážnej polohy. Jeho riešenie sa hľadá v tvare:

(2)

Nahradením tohto riešenia do systému diferenciálnych rovníc malých vibrácií:

(3)

Vzhľadom na A a B ide o systém homogénnych algebraických rovníc. Má netriviálne riešenie, keď sa determinant systému rovná nule:

(4)

Táto bikvadratická rovnica sa nazýva frekvenčná rovnica, má dva kladné korene, ktoré zodpovedajú dvom riešeniam systému diferenciálnych rovníc malých kmitov:

Každá zovšeobecnená súradnica sa teda nachádza ako súčet dvoch kmitov rôznych frekvencií, ktoré sú tzv. hlavné výkyvy . V tomto prípade, ako vyplýva zo systému (3), amplitúdy hlavných vibrácií sú vo vzájomnom vzťahu takto:

(5)

Kde - tvarové faktory hlavné výkyvy.

Výsledkom je, že riešenie rovníc voľných vibrácií (1) má nakoniec tvar:

(6)

Doručená pošta (6) amplitúdy a počiatočné fázy, oscilácie sa určujú z počiatočných podmienok.

Vynútené vibrácie mechanických systémov s dvoma stupňami voľnosti. Dynamický tlmič vibrácií

Odstránenie nežiaducich vibrácií v mechanických systémoch je tzv ochrana proti vibráciám (tlmenie). Technické zariadenia použité v tomto prípade sú tzv tlmiče vibrácií (tlmiče).

Princíp činnosti dynamického tlmiča je založený na využití antirezonančného javu, kedy je pôsobenie periodicky sa meniacej rušivej zovšeobecnenej sily zodpovedajúcej jednej súradnici neutralizované pôsobením potenciálnej zovšeobecnenej sily zodpovedajúcej inej súradnici.

Nech mechanický systém okrem konzervatívnych síl podlieha aj rušivej sile, ktorá sa v čase mení podľa harmonického zákona

Diferenciálne rovnice pohybu mechanického systému majú v tomto prípade tvar:

Hľadáme všeobecné riešenie sústavy lineárnych diferenciálnych nehomogénnych (v tomto prípade) rovníc ako súčet dvoch riešení: , - všeobecné riešenie sústavy homogénnych diferenciálnych rovníc; -čiastočné riešenie sústavy nehomogénnych diferenciálnych rovníc.

Pri zohľadnení závislosti rušivej sily od času sa hľadá konkrétne riešenie vo forme

Jeho dosadením do systému diferenciálnych rovníc dostaneme:

Vyriešením tohto systému pomocou Cramerovho pravidla dostaneme

Pretože sa zhoduje s ľavou stranou frekvenčnej rovnice a zmizne

keď sa frekvencia rušivej sily zhoduje s niektorou z vlastných frekvencií

oscilácie alebo koeficienty A a B sa v tomto prípade otáčajú do nekonečna. Teda v prípade kmitov sústavy s dvoma stupňami voľnosti existujú dve rezonančné frekvencie

Všeobecné riešenie sústavy vynútených diferenciálnych rovníc

vibrácie pri má tvar:

Ako vidno, voľbou parametrov kmitajúcej sústavy je možné dosiahnuť napríklad splnenie podmienky A = 0, teda amplitúda vynútených kmitov zodpovedajúca prvej zovšeobecnenej súradnici bude nulová.

Tento jav sa nazýva antirezonancia.

V posudzovanom prípade k tomu dôjde, ak

Základné pojmy a hypotézy teórie dopadu. Základná rovnica teórie nárazu

Jav, pri ktorom v krátkom časovom úseku, t.j. takmer okamžite sa rýchlosti bodov hmotných objektov zmenia na konečné hodnoty, tzv fúkať .

Keďže pri náraze nastáva konečná zmena rýchlosti vo veľmi krátkom časovom období, vznikajú veľmi veľké zrýchlenia a následne veľmi veľké sily. Tieto sily pôsobia vo veľmi krátkom časovom období, ale ich impulzy počas tohto časového obdobia sú konečné veličiny.

Sily, ktoré vznikajú pri náraze v krátkom časovom úseku, no zároveň dosahujú veľkú hodnotu, takže ich impulzy za tento časový úsek sú konečné hodnoty, tzv. šokové sily .

Krátky časový úsek, počas ktorého úder trvá, sa nazýva čas nárazu. Impulzy nárazových síl pri náraze sú tzv šokové impulzy .

Nech je daná MT hmotnosti m, ktorá sa pohybuje pôsobením obyčajnej (nerázovej) sily. V momente, keď má uvažovaný MT rýchlosť - rýchlosť pred nárazom, začne naň pôsobiť nárazová sila, ktorej pôsobenie v momente ustáva. Určme pohyb MT pod vplyvom síl a počas doby nárazu.

Aplikovaním vety o zmene hybnosti bodu dostaneme:

,

kde je rýchlosť bodu v momente po náraze.

Pomocou vety o strednej hodnote určitého integrálu môžeme napísať:

,

kde a sú priemerné hodnoty síl a v určitom časovom období. Navyše je to konečné množstvo; Nárazová sila pri náraze dosahuje veľmi veľkú hodnotu (rádovo ). Preto bude výrobok zanedbateľný v porovnaní s výrobkom, čo je konečné množstvo.

Systémy s dvoma stupňami voľnosti sú špeciálnym prípadom systémov s niekoľkými stupňami voľnosti. Tieto systémy sú však najjednoduchšie a umožňujú získať v konečnej forme výpočtové vzorce na určenie frekvencií vibrácií, amplitúd a dynamických výchyliek.

yVychýlenie lúča v dôsledku zotrvačných síl:

P2 = 1 (1)

Znamienka (-) vo výrazoch (1) sú spôsobené tým, že zotrvačné sily a jednotky. pohyby sú v opačnom smere.

Veríme, že k vibráciám hmoty dochádza podľa harmonického zákona:

(2)

Poďme zistiť zrýchlenie pohybu hmoty:

(3)

Dosadením výrazov (2) a (3) do rovnice (1) dostaneme:

(5)

Amplitúdy kmitov A 1 a A 2 považujeme za neznáme a transformujeme rovnice:

(6)

Riešenie sústavy homogénnych rovníc A 1 = A 2 =0 nám nevyhovuje, aby sme dostali nenulové riešenie, determinanty sústavy (6) dáme rovnítkom k nule:

(7)

Transformujme rovnicu (8), berúc do úvahy kruhovú frekvenciu vlastných kmitov  neznáma:

Rovnica (9) sa nazýva biharmonická rovnica voľných kmitov sústav s dvoma stupňami voľnosti.

Nahradením premennej  2 =Z dostaneme

odtiaľ určíme Z 1 a Z 2.

V dôsledku toho možno vyvodiť tieto závery:

1. Voľné vibrácie systémov s dvoma stupňami voľnosti sa vyskytujú s dvoma frekvenciami  1 a  2. Nižšia frekvencia 1 sa nazýva základný alebo základný tón, vyššia frekvencia 2 sa nazýva druhá frekvencia alebo podtón.

Voľné vibrácie systémov s n-stupňami voľnosti sú n-tónové, pozostávajúce z n-voľných vibrácií.

2. Pohyby hmôt m 1 a m 2 sú vyjadrené nasledujúcimi vzorcami:

t.j. ak sa oscilácie vyskytujú s frekvenciou  1, potom pohyby hmoty majú v každom okamihu rovnaké znaky.

Ak sa oscilácie vyskytujú len s frekvenciou  2, potom pohyby hmoty majú v každom okamihu opačné znamienka.

Pri súčasných kmitoch hmôt s frekvenciami  1 a  2 sústava kmitá prevažne s frekvenciou  1 a do týchto kmitov zapadá podtón s frekvenciou  2.

Ak je systém s dvoma stupňami voľnosti vystavený hnacej sile s frekvenciou , potom je potrebné, aby:

  0,7  1 .

Prednáška 9

Oscilácie systémov s nekonečným počtom stupňov voľnosti.

Teória mechanických vibrácií má početné a veľmi rôznorodé aplikácie takmer vo všetkých oblastiach techniky. Bez ohľadu na účel a konštrukčné riešenie rôznych mechanických systémov, ich vibrácie podliehajú rovnakým fyzikálnym zákonom, ktorých štúdium je predmetom teórie vibrácií elastických systémov. Najplnšie bola rozvinutá lineárna teória kmitov. Teóriu kmitov systémov s niekoľkými stupňami voľnosti vrátil v 18. storočí Lagrange vo svojom klasickom diele „Analytická mechanika“.

Joseph Louis Lagrange (1736 - 1813) - od 19 rokov profesor matematiky v Turíne. Od roku 1759 - člen a od roku 1766 - prezident Berlínskej akadémie vied; od roku 1787 žil v Paríži. V roku 1776 bol zvolený za čestného zahraničného člena Petrohradskej akadémie vied.

Koncom 19. storočia Rayleigh položil základy lineárnej teórie kmitov sústav s nekonečným stupňom voľnosti (t. j. so spojitým rozložením hmoty v celom objeme deformovateľnej sústavy). V 20. storočí by sa dalo povedať, že lineárna teória bola dokončená (Bubnova-Galerkinova metóda, ktorá umožňuje určiť aj vyššie frekvencie kmitov pomocou postupných aproximácií).

John William Strett (Lord Rayleigh) (1842 - 1919) – anglický fyzik, autor množstva prác o teórii kmitov.

Ivan Grigorievich Bubnov (1872 - 1919) - jeden zo zakladateľov lodnej štrukturálnej mechaniky. Profesor na Petrohradskom polytechnickom inštitúte, od roku 1910 - na Námornej akadémii.

Boris Grigorievich Galerkin (1871-1945) - profesor Leningradského polytechnického inštitútu.

Rayleighov vzorec je najpopulárnejší v teórii vibrácií a stability elastických systémov. Myšlienka, ktorá je základom odvodenia Rayleighovho vzorca, spočíva v nasledujúcom. Pri monoharmonických (jednotónových) voľných kmitoch elastického systému s frekvenciou  dochádza k pohybom jeho bodov v čase podľa harmonického zákona:

kde  1 (x,y,z),  2 (x,y,z),  3 (x,y,z) sú funkcie priestorových súradníc bodu, ktoré určujú príslušný tvar kmitania (amplitúdu).

Ak sú tieto funkcie známe, potom frekvenciu  voľných vibrácií možno zistiť z podmienky, že súčet kinetickej a potenciálnej energie telesa je konštantný. Táto podmienka vedie k rovnici obsahujúcej iba jednu neznámu veličinu.

Tieto funkcie však nie sú vopred známe. Hlavnou myšlienkou Rayleighovej metódy je špecifikovať tieto funkcie a prispôsobiť ich výber okrajovým podmienkam a očakávanému tvaru vibrácií.

Pozrime sa podrobnejšie na implementáciu tejto myšlienky pre rovinné ohybové vibrácie tyče, tvar vibrácií je opísaný funkciou =(x). Voľné kmity sú opísané závislosťou

potenciálna energia ohnutej tyče

(2)

Kinetická energia

(3)

Kde l- dĺžka tyče, m=m(x) intenzita rozloženej hmoty tyče;

Zakrivenie zakrivenej osi tyče; - rýchlosť priečnych vibrácií.

Dané (1)

.

(4)

(5)

V priebehu času sa každá z týchto veličín neustále mení, ale podľa zákona zachovania energie zostáva ich súčet konštantný, t.j.

alebo nahradením výrazov (4), (5).

(7)

To vedie k Rayleighovmu vzorcu:

(8)

Ak sú sústredené zaťaženia s hmotnosťou M i spojené s tyčou s rozloženou hmotnosťou m, potom má Rayleighov vzorec tvar:

(9)

Celý priebeh odvodenia ukazuje, že v rámci prijatých predpokladov (platnosť technickej teórie ohybu tyčí, absencia nepružného odporu) je tento vzorec presný, ak (x) je skutočná forma vibrácií . Funkcia(x) je však vopred neznáma. Praktický význam Rayleighovho vzorca je v tom, že ho možno použiť na nájdenie vlastnej frekvencie, vzhľadom na tvar vibrácií(x). Zároveň sa do rozhodnutia vnáša viac či menej závažný prvok blízkosti. Z tohto dôvodu sa Rayleighov vzorec niekedy nazýva približný vzorec.

m=cosnt Zoberme si ako kmitanie z funkcie:(x)=ax 2, ktorá spĺňa kinematické okrajové podmienky úlohy.

Definujeme:

Podľa vzorca (8)

Tento výsledok sa výrazne líši od presného

Presnejší je vzorec Grammel, ktorý sa ešte nestal tak populárnym ako vzorec Rayleigh (možno kvôli svojej relatívnej „mladosti“ - bol navrhnutý v roku 1939).

Zastavme sa ešte raz pri rovnakom probléme kmitania tyče pri voľnom ohybe.

Nech (x) je určený tvar voľných kmitov tyče. Potom intenzitu maximálnych zotrvačných síl určíme výrazom m 2 , kde, ako predtým, m=m(x) je intenzita rozloženej hmoty tyče, 2 je druhá mocnina vlastnej frekvencie. Tieto sily dosiahnu uvedenú hodnotu v momente, keď sú priehyby maximálne, t.j. sú určené funkciou(x).

Napíšme výraz pre najvyššiu potenciálnu ohybovú energiu z hľadiska ohybových momentov spôsobených maximálnymi zotrvačnými silami:

. (10)

Tu - ohybové momenty spôsobené zaťažením m 2 . Označme ohybový moment spôsobený podmieneným zaťažením m, t.j.  2 krát menšia ako zotrvačná sila.

, (11)

a výraz (10) možno zapísať ako:

. (12)

Najvyššia kinetická energia, rovnaká ako vyššie

. (13)

Porovnaním výrazov (12) a (13) dospejeme ku Grammelovmu vzorcu:

(14)

Ak chcete vypočítať pomocou tohto vzorca, musíte najprv určiť vhodnú funkciu (x). Potom sa určí podmienené zaťaženie m=m(x)(x) a zapíšu sa výrazy pre ohyb spôsobený podmieneným zaťažením m. Pomocou vzorca (14) sa určí frekvencia vlastných kmitov systému.

Príklad: (vezmite do úvahy predchádzajúci)

r

m(x)·(x)=max 2

Uvažujme malé kmity systému s dvoma stupňami voľnosti, ktorý je vystavený silám potenciálneho poľa a silám, ktoré sa periodicky menia v čase. Výsledné pohyby systému sa nazývajú nútené kmity.

Nech sa rušivé zovšeobecnené sily menia podľa harmonického zákona s časom, pričom majú rovnaké periódy a počiatočnú fázu. Potom pohybové rovnice posudzovaného systému budú mať tvar:

Pohybové rovnice v posudzovanom prípade sú sústavou lineárnych diferenciálnych rovníc druhého rádu s konštantnými koeficientmi a pravou stranou.

Prejdite na hlavné súradnice

Pre uľahčenie štúdia pohybových rovníc prejdime na hlavné súradnice systému. Vzťah medzi súradnicami je určený vzorcami z predchádzajúceho odseku formulára:

Označme zodpovedajúcim spôsobom zovšeobecnené sily zodpovedajúce normálovým súradniciam Keďže zovšeobecnené sily predstavujú koeficienty pre zodpovedajúce variácie zovšeobecnených súradníc pri vyjadrení elementárnej práce síl pôsobiacich na systém, potom

Preto:

Pohybové rovnice v hlavných súradniciach majú teda tvar:

Rovnice vynútených kmitov systému s dvoma stupňami voľnosti v normálnych súradniciach sú na sebe nezávislé a možno ich integrovať samostatne.

Kritické frekvencie rušivej sily

Rovnica pre alebo určuje oscilačnú povahu zmeny normálnych súradníc, podrobne študovanú pri zvažovaní nútenej oscilácie bodu pozdĺž priamky, pretože diferenciálne rovnice pohybu sú v oboch prípadoch rovnaké. Najmä ak sa frekvencia rušivej sily rovná frekvencii jednej z vlastných oscilácií systému, alebo potom riešenie bude zahŕňať čas t ako faktor. V dôsledku toho jedna z normálnych zovšeobecnených súradníc pre dostatočne veľké t bude ľubovoľne veľká, alebo máme fenomén rezonancie.

Ako viete, telo, ktoré nie je nijako obmedzené vo svojich pohyboch, sa nazýva voľné, pretože sa môže pohybovať akýmkoľvek smerom. Každé voľné tuhé teleso má teda šesť stupňov voľnosti pohybu. Má schopnosť produkovať nasledujúce pohyby: tri translačné pohyby zodpovedajúce trom hlavným súradnicovým systémom a tri rotačné pohyby okolo týchto troch súradnicových osí.

Uloženie spojov (upevnenie) znižuje počet stupňov voľnosti. Ak je teda teleso fixované v jednom bode, nemôže sa pohybovať po súradnicových osiach, jeho pohyby sú obmedzené len na rotáciu okolo týchto osí, t.j. telo má tri stupne voľnosti. V prípade, že sú dva body pevné, teleso má len jeden stupeň voľnosti, môže sa otáčať len okolo priamky (osi) prechádzajúcej oboma týmito bodmi. A nakoniec, s tromi pevnými bodmi, ktoré neležia na tej istej priamke, je počet stupňov voľnosti nula a nemôžu nastať žiadne pohyby tela. Pasívny pohybový aparát človeka pozostáva z častí jeho tela, ktoré sa nazývajú články. Všetky sú navzájom prepojené, takže strácajú schopnosť vykonávať tri druhy pohybov pozdĺž súradnicových osí. Majú len schopnosť otáčať sa okolo týchto osí. Maximálny počet stupňov voľnosti, ktoré môže mať jeden článok tela vo vzťahu k ďalšiemu článku, ktorý k nemu susedí, sú teda tri.

Týka sa to najpohyblivejších kĺbov ľudského tela, ktoré majú guľovitý tvar.

Sekvenčné alebo rozvetvené spojenia častí tela (články) tvoria kinematické reťazce.

U ľudí existujú:

• - otvorené kinematické reťazce majúci voľný pohyblivý koniec, upevnený iba na jednom konci (napríklad rameno vo vzťahu k telu);
• - uzavreté kinematické reťazce, upevnené na oboch koncoch (napríklad stavec - rebro - hrudná kosť - rebro - stavec).

Treba poznamenať, že ide o potenciálny rozsah pohybov v kĺboch. V skutočnosti sú tieto ukazovatele u živého človeka vždy nižšie, čo dokázali početné práce domácich výskumníkov - P. F. Lesgaft, M. F. Ivanitsky, M. G. Prives, N. G. Ozolin atď. človeka ovplyvňuje množstvo faktorov súvisiacich s vekom, pohlavím, individuálnymi charakteristikami, funkčným stavom nervovej sústavy, stupňom natiahnutia svalov, teplotou okolia, dennou dobou a napokon, čo je pre športovcov dôležité, napr. stupeň zaškolenia. Teda vo všetkých kostných spojeniach (nespojitých a súvislých) je stupeň pohyblivosti u mladých ľudí väčší ako u starších ľudí; Ženy majú v priemere viac ako muži. Miera pohyblivosti je ovplyvnená stupňom natiahnutia tých svalov, ktoré sú na opačnej strane pohybu, ako aj silou svalov produkujúcich tento pohyb. Čím pružnejší je prvý z týchto svalov a čím silnejší je druhý, tým väčší je rozsah pohybov v danom spojení kostí a naopak. Je známe, že v chladnej miestnosti majú pohyby menší rozsah ako v teplej miestnosti, ráno sú menšie ako večer. Použitie rôznych cvičení má rôzne účinky na pohyblivosť kĺbov. Systematický tréning s cvikmi „ohybnosti“ teda zvyšuje rozsah pohybu v kĺboch, zatiaľ čo „silové“ cviky ho naopak zmenšujú, čo vedie k „stuhnutiu“ kĺbov. Zníženie rozsahu pohybu v kĺboch ​​pri silových cvičeniach však nie je absolútne nevyhnutné. Dá sa mu predísť správnou kombináciou silového tréningu a strečingových cvičení na rovnaké svalové skupiny.

V otvorených kinematických reťazcoch ľudského tela sa pohyblivosť počíta v desiatkach stupňov voľnosti. Napríklad pohyblivosť zápästia vo vzťahu k lopatke a pohyblivosť tarzu vo vzťahu k panve má sedem stupňov voľnosti a končeky prstov ruky vo vzťahu k hrudníku majú 16 stupňov voľnosti. Ak zrátame všetky stupne voľnosti končatín a hlavy vzhľadom na telo, potom to bude vyjadrené číslom 105, zloženým z nasledujúcich pozícií:

• - hlava - 3 stupne voľnosti;
• - ramená - 14 stupňov voľnosti;
• - nohy - 12 stupňov voľnosti;
• - ruky a nohy - 76 stupňov voľnosti.

Pre porovnanie uvádzame, že drvivá väčšina strojov má len jeden stupeň voľnosti pohybu.

V guľových kĺboch ​​sú možné rotácie okolo troch vzájomne kolmých osí. Celkový počet osí, okolo ktorých sú možné rotácie v týchto kĺboch, je nekonečne veľký. V dôsledku toho, čo sa týka guľových kĺbov, môžeme povedať, že články v nich kĺbovo spojené majú z možných šiestich stupňov voľnosti pohybu tri stupne voľnosti a tri stupne spojenia.

Kĺby s dvoma stupňami voľnosti pohybu a štyrmi stupňami spojenia majú menšiu pohyblivosť. Patria sem spoje vajcovitých alebo elipsovitých a sedlových tvarov, t.j. dvojosový. Umožňujú pohyby okolo týchto dvoch osí.

Telo sa spája v tých kĺboch, ktoré majú jednu os rotácie, t.j. majú jeden stupeň voľnosti pohyblivosti a súčasne päť stupňov konektivity. má dva pevné body.

Väčšina kĺbov v ľudskom tele má dva alebo tri stupne voľnosti. S niekoľkými stupňami voľnosti pohybu (dva alebo viac) je možný nekonečný počet trajektórií. Spojenia kostí lebky majú šesť stupňov spojenia a sú nepohyblivé. Spojenie kostí pomocou chrupaviek a väziva (synchondróza a syndesmóza) môže mať v niektorých prípadoch výraznú pohyblivosť, ktorá závisí od elasticity a od veľkosti útvarov chrupavkového alebo spojivového tkaniva umiestnených medzi týmito kosťami.

Kmity sústavy s niekoľkými stupňami voľnosti, ktoré majú dôležité praktické využitie, sa od kmitov sústavy s jedným stupňom voľnosti líšia v mnohých významných črtách. Aby sme získali predstavu o týchto vlastnostiach, zvážme prípad voľných oscilácií systému s dvoma stupňami voľnosti.

Nech je poloha systému určená zovšeobecnenými súradnicami a systém nech je v stabilnej rovnováhe. Potom je možné nájsť kinetickú a potenciálnu energiu systému s presnosťou na druhú mocninu malých veličín rovnakým spôsobom, ako boli nájdené rovnosti (132), (133) a prezentované vo forme:

kde inerciálne koeficienty a kvázi-elastické koeficienty sú konštantné veličiny. Ak použijeme dve Lagrangeove rovnice tvaru (131) a dosadíme do nich tieto hodnoty T a P, dostaneme nasledujúce diferenciálne rovnice pre malé kmity sústavy s dvomi stupňami voľnosti

Budeme hľadať riešenie rovníc (145) v tvare:

kde A, B, k, a sú konštanty. Dosadením týchto hodnôt do rovníc (145) a znížením dostaneme

Aby rovnice (147) dávali riešenia pre A a B odlišné od júla, determinant tejto sústavy sa musí rovnať nule alebo v opačnom prípade musia byť koeficienty pre A a B v rovniciach proporcionálne, t.j.

Odtiaľto pre definíciu získame nasledujúcu rovnicu nazývanú frekvenčná rovnica.

Korene tejto rovnice sú skutočné a pozitívne; je to dokázané matematicky, ale dá sa to odôvodniť aj tým, že inak rovnice (145) nebudú reálne a nebudú mať riešenia tvaru (146), čo nemôže byť prípad systému v stabilnej rovnováhe (po jeho poruchách sa musí pohybovať v blízkosti pozície

Po zadefinovaní (149) nájdeme dve množiny čiastkových riešení tvaru (146). Vzhľadom na to, že podľa týchto rozhodnutí budú:

kde a sú hodnoty, ktoré získam z (148) na a resp.

Kmity definované rovnicami (150) a (151) sa nazývajú hlavné kmity a ich frekvencie a kg sú vlastné frekvencie systému. V tomto prípade sa kmitanie s frekvenciou (vždy menšou) nazýva prvé hlavné kmitanie a s frekvenciou - druhé hlavné kmitanie. Čísla definujúce pomery amplitúd (alebo samotných súradníc, t.j.) v každom z týchto kmitov sa nazývajú tvarové koeficienty.

Keďže rovnice (145) sú lineárne, súčty čiastkových riešení (150) a (151) budú tiež riešeniami týchto rovníc:

Rovnice (152), obsahujúce štyri ľubovoľné konštanty určené počiatočnými podmienkami, dávajú všeobecné riešenie rovníc (145) a určujú zákon malých kmitov sústavy. kmity sú zložené z dvoch hlavných kmitov s frekvenciami a nie sú harmonické. V určitých prípadoch, za vhodných počiatočných podmienok, môže systém vykonávať jednu z hlavných oscilácií (napríklad prvú, ak) a oscilácia bude harmonická.

Vlastné frekvencie a tvarové koeficienty nezávisia od počiatočných podmienok a sú hlavnými charakteristikami malých kmitov systému; riešenie konkrétnych problémov zvyčajne spočíva v určení týchto charakteristík.

Porovnaním výsledkov tohto a predchádzajúcich odsekov je možné získať predstavu o tom, k čomu príde štúdium tlmených a vynútených oscilácií systému s dvoma stupňami voľnosti. Nebudeme to brať do úvahy, len si všimneme, že pri vynútených osciláciách môže rezonancia v takomto systéme nastať dvakrát: pri a pri ( je frekvencia rušivej sily). Nakoniec poznamenávame, že kmity systému so s stupňami voľnosti budú pozostávať z kmitov s frekvenciami, ktoré je potrebné určiť z rovnice pomerného stupňa s. S tým sú spojené značné matematické ťažkosti, ktoré možno prekonať pomocou elektronických počítačov (alebo analógových) strojov.

Úloha 185. Určte vlastné frekvencie a tvarové koeficienty malých kmitov dvojitého fyzického kyvadla tvoreného tyčami a 2 rovnakej hmotnosti a dĺžky l (obr. 374, a).

Riešenie. Zvoľme malé uhly ako zovšeobecnené súradnice. Potom , kde a s požadovanou presnosťou výpočtu, . Nakoniec

Podobné články