Prednáška 1.

METODICKÉ ZÁKLADY MODELOVANIA

Súčasný stav problematiky modelovania systémov

Koncepcie modelovania a simulácie

Modelovanie možno považovať za nahradenie skúmaného objektu (originálu) jeho konvenčným vyobrazením, popisom alebo iným objektom tzv Model a poskytovanie správania blízkeho originálu v rámci určitých predpokladov a prijateľných chýb. Modelovanie sa zvyčajne vykonáva s cieľom porozumieť vlastnostiam originálu štúdiom jeho modelu a nie samotného objektu. Samozrejme, modelovanie má svoje opodstatnenie vtedy, keď je jednoduchšie ako vytvárať samotný originál, alebo keď je z nejakého dôvodu lepšie originál nevytvárať vôbec.

Pod Model sa chápe ako fyzikálny alebo abstraktný objekt, ktorého vlastnosti sú v určitom zmysle podobné vlastnostiam skúmaného objektu.V tomto prípade sú požiadavky na model dané riešeným problémom a dostupnými prostriedkami. Existuje niekoľko všeobecných požiadaviek na modely:

2) úplnosť – poskytnutie všetkých potrebných informácií príjemcovi

o objekte;

3) flexibilita - schopnosť reprodukovať rôzne situácie vo všetkom

rozsah zmien podmienok a parametrov;

4) zložitosť vývoja musí byť akceptovateľná pre existujúce

čas a softvér.

Modelovanie je proces konštrukcie modelu objektu a štúdium jeho vlastností skúmaním modelu.

Modelovanie teda zahŕňa 2 hlavné fázy:

1) vývoj modelu;

2) štúdium modelu a vyvodenie záverov.

Zároveň sa v každej fáze riešia rôzne úlohy a

v podstate odlišné metódy a prostriedky.

V praxi sa používajú rôzne metódy modelovania. V závislosti od spôsobu implementácie možno všetky modely rozdeliť do dvoch veľkých tried: fyzikálne a matematické.

Matematické modelovanie Zvyčajne sa považuje za prostriedok na štúdium procesov alebo javov pomocou ich matematických modelov.

Pod fyzické modelovanie sa vzťahuje na štúdium predmetov a javov na fyzikálnych modeloch, keď sa skúmaný proces reprodukuje pri zachovaní jeho fyzikálnej podstaty alebo sa použije iný fyzikálny jav podobný skúmanému. V čom fyzické modely Spravidla predpokladajú skutočné stelesnenie tých fyzikálnych vlastností originálu, ktoré sú významné v konkrétnej situácii.Napríklad pri návrhu nového lietadla sa vytvorí maketa, ktorá má rovnaké aerodynamické vlastnosti; Pri plánovaní zástavby architekti vytvárajú model, ktorý odráža priestorové usporiadanie jeho prvkov. V tomto smere sa nazýva aj fyzikálne modelovanie prototypovanie.

Modelovanie s polčasom rozpadu je štúdium ovládateľných systémov na modelovacích komplexoch so zahrnutím reálnych zariadení do modelu. Spolu s reálnymi zariadeniami uzavretý model obsahuje simulátory vplyvov a interferencií, matematické modely vonkajšieho prostredia a procesov, pre ktoré nie je známy dostatočne presný matematický popis. Zaradenie reálnych zariadení alebo reálnych systémov do okruhu modelovania zložitých procesov umožňuje znížiť apriórnu neistotu a preskúmať procesy, pre ktoré neexistuje presný matematický popis. Pomocou poloprirodzeného modelovania sa výskum vykonáva s prihliadnutím na malé časové konštanty a linearity, ktoré sú vlastné skutočným zariadeniam. Pri štúdiu modelov pomocou skutočného vybavenia sa používa koncept dynamická simulácia pri štúdiu zložitých systémov a javov - evolučné, imitácia A kybernetické modelovanie.

Je zrejmé, že skutočný prínos modelovania možno získať len vtedy, ak sú splnené dve podmienky:

1) model poskytuje správne (adekvátne) zobrazenie vlastností

pôvodný, významný z hľadiska skúmanej prevádzky;

2) model vám umožňuje odstrániť vyššie uvedené problémy

vykonávanie výskumu na skutočných objektoch.

2. Základné pojmy matematického modelovania

Riešenie praktických problémov pomocou matematických metód sa dôsledne uskutočňuje formulovaním problému (vytvorením matematického modelu), výberom metódy na štúdium výsledného matematického modelu a analýzou získaného matematického výsledku. Matematická formulácia problému sa zvyčajne prezentuje vo forme geometrických obrazov, funkcií, systémov rovníc atď. Opis objektu (javu) môže byť reprezentovaný pomocou spojitých alebo diskrétnych, deterministických alebo stochastických a iných matematických foriem.

Teória matematického modelovania zabezpečuje identifikáciu vzorcov výskytu rôznych javov v okolitom svete alebo prevádzky systémov a zariadení pomocou ich matematického popisu a modelovania bez vykonávania testov v plnom rozsahu. V tomto prípade sa používajú ustanovenia a zákony matematiky, ktoré opisujú simulované javy, systémy alebo zariadenia na určitej úrovni ich idealizácie.

Matematický model (MM) je formalizovaný popis systému (alebo operácie) v nejakom abstraktnom jazyku, napríklad vo forme množiny matematických vzťahov alebo diagramu algoritmu, t.j. t. j. taký matematický popis, ktorý poskytuje simuláciu prevádzky systémov alebo zariadení na úrovni dostatočne blízkej ich skutočnému správaniu získanému počas testovania systémov alebo zariadení v plnom rozsahu.

Akýkoľvek MM opisuje skutočný objekt, jav alebo proces s určitým stupňom priblíženia sa realite. Typ MM závisí od povahy skutočného objektu a od cieľov štúdie.

Matematické modelovanie sociálne, ekonomické, biologické a fyzikálne javy, predmety, systémy a rôzne zariadenia je jedným z najdôležitejších prostriedkov na pochopenie prírody a navrhovanie širokej škály systémov a zariadení. Známe sú príklady efektívneho využitia modelovania pri tvorbe jadrových technológií, letectva a kozmických systémov, pri predpovedaní atmosférických a oceánskych javov, počasia a pod.

Takéto vážne oblasti modelovania si však často vyžadujú superpočítače a roky práce veľkých tímov vedcov na príprave dát pre modelovanie a jeho odladenie. V tomto prípade však matematické modelovanie zložitých systémov a zariadení nielen šetrí peniaze na výskum a testovanie, ale môže eliminovať aj ekologické katastrofy – napríklad umožňuje opustiť testovanie jadrových a termonukleárnych zbraní v prospech ich matematického modelovania. či testovanie leteckých systémov pred ich skutočnými letmi.Medzi Preto sa matematické modelovanie na úrovni riešenia jednoduchších problémov, napríklad z oblasti mechaniky, elektrotechniky, elektroniky, rádiotechniky a mnohých ďalších oblastí vedy a techniky, v súčasnosti stalo tzv. dostupné na vykonávanie na moderných počítačoch. A pri použití zovšeobecnených modelov je možné simulovať pomerne zložité systémy, napríklad telekomunikačné systémy a siete, radarové alebo rádionavigačné systémy.

Účel matematického modelovania je analýza reálnych procesov (v prírode alebo technológii) pomocou matematických metód. To si zase vyžaduje formalizáciu procesu MM, ktorý sa má študovať. Modelom môže byť matematický výraz obsahujúci premenné, ktorých správanie je podobné správaniu reálneho systému. Model môže obsahovať prvky náhodnosti, ktoré zohľadňujú pravdepodobnosti možné akcie dvoch alebo viacerých „hráčov“, ako napríklad v teoretických hrách; alebo môže predstavovať reálne premenné vzájomne prepojených častí operačného systému.

Matematické modelovanie na štúdium charakteristík systémov možno rozdeliť na analytické, simulačné a kombinované. MM sú zase rozdelené na simulačné a analytické.

Analytické modelovanie

Pre analytické modelovanie Je charakteristické, že procesy fungovania systému sú zapísané vo forme určitých funkčných vzťahov (algebraické, diferenciálne, integrálne rovnice). Analytický model možno študovať pomocou nasledujúcich metód:

1) analytické, keď sa snažia získať vo všeobecnej forme explicitné závislosti pre charakteristiky systémov;

2) numerické, keď nie je možné nájsť riešenie rovníc vo všeobecnej forme a riešia sa pre konkrétne počiatočné údaje;

3) kvalitatívne, keď sa pri absencii riešenia zistia niektoré jeho vlastnosti.

Analytické modely je možné získať len pre relatívne jednoduché systémy. Pre zložité systémy často vznikajú veľké matematické problémy. Na uplatnenie analytickej metódy idú k výraznému zjednodušeniu pôvodného modelu. Výskum pomocou zjednodušeného modelu však pomáha získať len orientačné výsledky. Analytické modely matematicky správne odrážajú vzťah medzi vstupnými a výstupnými premennými a parametrami. Ich štruktúra však neodráža vnútornú štruktúru objektu.

Pri analytickom modelovaní sú jeho výsledky prezentované vo forme analytických výrazov. Napríklad pripojením R.C.- obvod na zdroj konštantného napätia E(R, C A E- komponenty tohto modelu), môžeme vytvoriť analytický výraz pre časovú závislosť napätia u(t) na kondenzátore C:

Táto lineárna diferenciálna rovnica (DE) je analytickým modelom tohto jednoduchého lineárneho obvodu. Jeho analytické riešenie, za počiatočných podmienok u(0) = 0, čo znamená vybitý kondenzátor C na začiatku modelovania vám umožňuje nájsť požadovanú závislosť - vo forme vzorca:

u(t) = E(1− naprp(- t/RC)). (2)

Avšak aj v tomto najjednoduchšom príklade je potrebné určité úsilie na vyriešenie DE (1) alebo na jeho aplikáciu počítačové matematické systémy(SCM) so symbolickými výpočtami – systémy počítačovej algebry. Pre tento úplne triviálny prípad, riešenie problému modelovania lineárneho R.C.-obvod poskytuje analytické vyjadrenie (2) pomerne všeobecnej formy - je vhodné na popis činnosti obvodu pre ľubovoľné hodnoty komponentov R, C A E a popisuje exponenciálny náboj kondenzátora C cez odpor R zo zdroja konštantného napätia E.

Samozrejme, že hľadanie analytických riešení počas analytického modelovania sa ukazuje ako mimoriadne cenné pre identifikáciu všeobecných teoretických vzorcov jednoduchých lineárnych obvodov, systémov a zariadení. Jeho zložitosť však prudko narastá, keď sa vplyvy na model stávajú komplexnejšími a poradie a počet stavové rovnice popisujúce nárast modelovaného objektu. Pri modelovaní objektov druhého alebo tretieho rádu môžete získať viac či menej viditeľné výsledky, ale s vyšším rádom sa analytické výrazy stávajú príliš ťažkopádne, zložité a ťažko pochopiteľné. Napríklad aj jednoduchý elektrónkový zosilňovač často obsahuje desiatky komponentov. Avšak mnohé moderné SCM, napríklad systémy symbolickej matematiky Javor, Mathematica alebo prostredie MATLAB, sú schopné do značnej miery automatizovať riešenie zložitých problémov analytického modelovania.

Jeden typ modelovania je numerické modelovanie, ktorá spočíva v získaní potrebných kvantitatívnych údajov o správaní sa systémov alebo zariadení akoukoľvek vhodnou numerickou metódou, ako je Eulerova alebo Runge-Kutta metóda. V praxi sa ukazuje, že modelovanie nelineárnych systémov a zariadení pomocou numerických metód je oveľa efektívnejšie ako analytické modelovanie jednotlivých súkromných lineárnych obvodov, systémov alebo zariadení. Napríklad pre riešenie systémov DE (1) alebo DE v zložitejších prípadoch nie je možné získať riešenie v analytickej forme, ale pomocou údajov numerickej simulácie môžete získať pomerne úplné údaje o správaní simulovaných systémov a zariadení. ako zostrojiť grafy závislostí popisujúcich toto správanie.

Simulačné modelovanie

o imitácia 10a modelovanie, algoritmus, ktorý implementuje model, reprodukuje proces fungovania systému v priebehu času. Simulujú sa elementárne javy, ktoré tvoria proces, pričom sa zachováva ich logická štruktúra a sled udalostí v čase.

Hlavnou výhodou simulačných modelov oproti analytickým je schopnosť riešiť zložitejšie problémy.

Simulačné modely uľahčujú zohľadnenie prítomnosti diskrétnych alebo spojitých prvkov, nelineárnych charakteristík, náhodných vplyvov atď. Preto je táto metóda široko používaná v štádiu návrhu zložitých systémov. Hlavným prostriedkom implementácie simulačného modelovania je počítač, ktorý umožňuje digitálne modelovanie systémov a signálov.

V tejto súvislosti definujme slovné spojenie „ počítačové modelovanie“, ktorý sa v literatúre používa čoraz častejšie. Predpokladajme, že počítačové modelovanie je matematické modelovanie pomocou výpočtovej techniky. V súlade s tým technológia počítačového modelovania zahŕňa vykonávanie nasledujúcich akcií:

1) určenie účelu modelovania;

2) vývoj koncepčného modelu;

3) formalizácia modelu;

4) softvérová implementácia modelu;

5) plánovanie modelových experimentov;

6) implementácia experimentálneho plánu;

7) analýza a interpretácia výsledkov modelovania.

o simulačné modelovanie použitý MM reprodukuje algoritmus („logiku“) fungovania skúmaného systému v priebehu času pre rôzne kombinácie hodnôt parametrov systému a vonkajšieho prostredia.

Príkladom najjednoduchšieho analytického modelu je rovnica priamočiareho rovnomerného pohybu. Pri štúdiu takéhoto procesu pomocou simulačného modelu by sa malo implementovať pozorovanie zmien v prejdenej dráhe v čase.Je zrejmé, že v niektorých prípadoch je vhodnejšie analytické modelovanie, v iných - simulácia (alebo kombinácia oboch). Pre úspešnú voľbu je potrebné zodpovedať dve otázky.

Aký je účel modelovania?

Do akej triedy možno zaradiť modelovaný jav?

Odpovede na obe tieto otázky možno získať počas prvých dvoch fáz modelovania.

Simulačné modely nielen vlastnosťami, ale aj štruktúrou zodpovedajú modelovanému objektu. V tomto prípade existuje jednoznačná a zrejmá zhoda medzi procesmi získanými na modeli a procesmi vyskytujúcimi sa na objekte. Nevýhodou simulácie je, že vyriešenie problému trvá dlho, kým sa dosiahne dobrá presnosť.

Výsledkom simulačného modelovania činnosti stochastického systému sú realizácie náhodných veličín alebo procesov. Na nájdenie charakteristík systému je preto potrebné viacnásobné opakovanie a následné spracovanie údajov. Najčastejšie sa v tomto prípade používa typ simulácie - štatistické

modelovanie(alebo metóda Monte Carlo), t.j. reprodukcia náhodných faktorov, udalostí, veličín, procesov, polí v modeloch.

Na základe výsledkov štatistického modelovania sú stanovené odhady pravdepodobnostných kritérií kvality, všeobecných a špecifických, charakterizujúcich fungovanie a efektívnosť riadeného systému. Štatistické modelovanie sa široko používa na riešenie vedeckých a aplikovaných problémov v rôznych oblastiach vedy a techniky. Metódy štatistického modelovania sú široko používané pri štúdiu zložitých dynamických systémov, pri hodnotení ich fungovania a efektívnosti.

Záverečná fáza štatistického modelovania je založená na matematickom spracovaní získaných výsledkov. Tu sa využívajú metódy matematickej štatistiky (parametrický a neparametrický odhad, testovanie hypotéz). Príkladom parametrického odhadu je vzorový priemer merania výkonnosti. Medzi neparametrické metódy rozšírené histogramová metóda.

Uvažovaná schéma je založená na opakovaných štatistických testoch systému a metódach štatistiky nezávislých náhodných veličín.Táto schéma nie je v praxi vždy prirodzená a z hľadiska nákladov optimálna. Skrátenie času testovania systému je možné dosiahnuť použitím presnejších metód hodnotenia. Ako je známe z matematických štatistík, efektívne odhady majú najväčšiu presnosť pre danú veľkosť vzorky. Optimálna filtrácia a metóda maximálnej pravdepodobnosti poskytujú všeobecnú metódu na získanie takýchto odhadov.V problémoch štatistického modelovania je spracovanie implementácií náhodných procesov nevyhnutné nielen na analýzu výstupných procesov.

Veľmi dôležitá je aj kontrola charakteristík vstupných náhodných vplyvov. Kontrola pozostáva z kontroly súladu distribúcií generovaných procesov s danými distribúciami. Tento problém je často formulovaný ako problém testovania hypotéz.

Všeobecným trendom v počítačovom modelovaní zložitých riadených systémov je túžba skrátiť čas modelovania, ako aj vykonávať výskum v reálnom čase. Je vhodné reprezentovať výpočtové algoritmy v opakujúcej sa forme, čo umožňuje ich implementáciu rýchlosťou prijímania aktuálnych informácií.

PRINCÍPY SYSTÉMOVÉHO PRÍSTUPU V MODELOVANÍ

Základné princípy teórie systémov

Základné princípy teórie systémov vznikli pri štúdiu dynamických systémov a ich funkčných prvkov. Systém je chápaný ako skupina vzájomne prepojených prvkov, ktoré spoločne pôsobia na splnenie vopred určenej úlohy. Analýza systémov nám umožňuje určiť najrealistickejšie spôsoby vykonávania danej úlohy, zabezpečujúce maximálne splnenie stanovených požiadaviek.

Prvky, ktoré tvoria základ teórie systémov, sa nevytvárajú prostredníctvom hypotéz, ale sú objavované experimentálne. Aby bolo možné začať budovať systém, je potrebné mať všeobecné charakteristiky technologických procesov. To isté platí o princípoch tvorby matematicky formulovaných kritérií, ktoré musí proces alebo jeho teoretický popis spĺňať. Modelovanie je jednou z najdôležitejších metód vedeckého výskumu a experimentovania.

Pri konštrukcii modelov objektov sa využíva systémový prístup, čo je metodika riešenia zložitých problémov, ktorá je založená na považovaní objektu za systém fungujúci v určitom prostredí. Systematický prístup zahŕňa odhalenie integrity objektu, identifikáciu a štúdium jeho vnútornej štruktúry, ako aj prepojenia s vonkajším prostredím. V tomto prípade je objekt prezentovaný ako súčasť reálneho sveta, ktorý je izolovaný a študovaný v súvislosti s problémom konštrukcie modelu. Okrem toho systémový prístup zahŕňa dôsledný prechod od všeobecného ku konkrétnemu, keď je základom úvahy cieľ návrhu a objekt sa zvažuje vo vzťahu k životnému prostrediu.

Komplexný objekt možno rozdeliť na podsystémy, čo sú časti objektu, ktoré spĺňajú nasledujúce požiadavky:

1) subsystém je funkčne nezávislá časť objektu. Je prepojený s inými subsystémami, vymieňa si s nimi informácie a energiu;

2) pre každý podsystém možno definovať funkcie alebo vlastnosti, ktoré sa nezhodujú s vlastnosťami celého systému;

3) každý zo subsystémov je možné podrobiť ďalšiemu deleniu na úroveň prvkov.

Prvok sa v tomto prípade chápe ako podsystém nižšej úrovne, ktorého ďalšie členenie je z hľadiska riešeného problému nevhodné.

Systém teda možno definovať ako reprezentáciu objektu vo forme súboru subsystémov, prvkov a spojení za účelom jeho vytvorenia, výskumu alebo zlepšenia. V tomto prípade sa zväčšené znázornenie systému vrátane hlavných subsystémov a väzieb medzi nimi nazýva makroštruktúra a podrobné odhalenie vnútornej štruktúry systému až na úroveň prvkov sa nazýva mikroštruktúra.

Spolu so systémom zvyčajne existuje supersystém - systém vyššej úrovne, ktorý zahŕňa predmetný objekt a funkciu akéhokoľvek systému je možné určiť iba prostredníctvom supersystému.

Je potrebné vyzdvihnúť koncepciu prostredia ako súboru objektov vonkajšieho sveta, ktoré výrazne ovplyvňujú efektívnosť systému, ale nie sú súčasťou systému a jeho supersystému.

V súvislosti so systémovým prístupom k modelom budovania sa používa pojem infraštruktúra, ktorý popisuje vzťah systému s jeho prostredím (prostredím), v tomto prípade ide o identifikáciu, popis a štúdium vlastností objektu, ktoré sú podstatné. v rámci konkrétnej úlohy sa nazýva stratifikácia objektu a akýkoľvek model objektu je jeho stratifikovaným opisom.

Pre systémový prístup je dôležité určiť štruktúru systému, t.j. súbor spojení medzi prvkami systému, odrážajúci ich interakciu. Aby sme to dosiahli, najprv zvážime štrukturálne a funkčné prístupy k modelovaniu.

Štrukturálnym prístupom sa odhaľuje zloženie vybraných prvkov systému a súvislosti medzi nimi. Súbor prvkov a spojení nám umožňuje posúdiť štruktúru systému. Najvšeobecnejším popisom štruktúry je topologický popis. Umožňuje určiť komponenty systému a ich prepojenia pomocou grafov. Menej všeobecný je funkčný popis, keď sa berú do úvahy jednotlivé funkcie, t.j. algoritmy správania sa systému. V tomto prípade je implementovaný funkčný prístup, ktorý definuje funkcie, ktoré systém vykonáva.

Na základe systémového prístupu možno navrhnúť postupnosť vývoja modelu, pričom sa rozlišujú dve hlavné etapy návrhu: makrodizajn a mikrodizajn.

Vo fáze makronávrhu sa vytvorí model vonkajšieho prostredia, identifikujú sa zdroje a obmedzenia, vyberie sa systémový model a kritériá na posúdenie primeranosti.

Fáza mikronávrhu závisí vo veľkej miere od konkrétneho typu zvoleného modelu. Vo všeobecnosti ide o tvorbu informačných, matematických, technických a softvérových modelovacích systémov. V tejto fáze sa stanovujú hlavné technické charakteristiky vytvoreného modelu, odhaduje sa čas potrebný na prácu s ním a náklady na zdroje na získanie špecifikovanej kvality modelu.

Bez ohľadu na typ modelu je pri jeho konštrukcii potrebné riadiť sa niekoľkými zásadami systematického prístupu:

1) konzistentný postup cez fázy vytvárania modelu;

2) koordinácia informácií, zdrojov, spoľahlivosti a iných charakteristík;

3) správny vzťah medzi rôznymi úrovňami konštrukcie modelu;

4) celistvosť jednotlivých fáz návrhu modelu.

Všeobecne, Model je odrazom skutočného objektu. Takýto odraz objektu môže byť znázornený náčrtom, diagramom, fotografiou, grafom, tabuľkou atď.

Budeme uvažovať len o matematických modeloch rôznych ekonomických procesov, ktoré sú popísané matematickými symbolmi a riešené vhodnými matematickými metódami.

V ekonómii využívajú najmä matematické modely, ktoré popisujú skúmaný jav pomocou matematického aparátu (funkcie, rovnice, nerovnice a ich sústavy).

V teórii optimálnych riešení má hlavnú úlohu matematické modelovanie. Na zostavenie matematického modelu je potrebné presne pochopiť účel fungovania skúmaného systému a mať informácie o obmedzeniach, ktoré určujú rozsah prípustných hodnôt riadených veličín. Cieľ aj obmedzenia musia byť reprezentované ako funkcie riadených premenných. Analýza modelu by mala viesť k určeniu najlepšieho riadiaceho zásahu na objekte riadenia pri splnení všetkých stanovených obmedzení.

Model riadeného objektu je zostavený s cieľom použiť nejaký druh výpočtového zariadenia na optimalizáciu fungovania tohto objektu (maximalizovať efektivitu jeho prevádzky). Vývoj modelu je takmer vždy spojený so snahou dosiahnuť dva protichodné ciele: čo najpresnejšie znázorniť reálne procesy a získať model čo najjednoduchší, aby sa s ním dalo ľahko pracovať.

Pre aplikáciu kvantitatívnych metód na štúdium ekonomických procesov je potrebné zostaviť matematický model optimalizačného objektu. Pri konštrukcii modelu sa objekt spravidla zjednodušuje, schematizuje a diagram objektu sa opisuje pomocou jedného alebo druhého matematického aparátu.

Matematický model– ide o približný popis akéhokoľvek objektu alebo triedy javov vonkajšieho sveta vyjadrený pomocou matematického aparátu a matematickej symboliky.

Matematické modely majú oproti iným typom modelov množstvo výhod. Medzi najdôležitejšie z nich patria nasledovné:

· široký rozsah aplikácií,

nízke náklady na vytvorenie modelu v porovnaní s inými typmi,

· rýchlosť získavania výsledkov výskumu pri použití elektronickej výpočtovej techniky,

· možnosť experimentovania so skúmaným ekonomickým procesom,

· schopnosť overiť správnosť predložených predpokladov a podmienok zadanej ekonomickej úlohy.

Matematický model akéhokoľvek ekonomického problému zahŕňa objektívnu funkciu, systém obmedzení a kritérium optimality.

Účelová funkcia dáva do vzájomného vzťahu rôzne veličiny modelu. Spravidla sa za cieľ volí ekonomický ukazovateľ (zisk, náklady, ziskovosť atď.). Preto sa objektívna funkcia niekedy nazýva ekonomické kritérium.

Objektívna funkcia– charakteristika objektu z podmienky ďalšieho hľadania kritéria optimality, matematicky spájajúceho určité faktory predmetu štúdia.

Pri riešení optimalizačných úloh je potrebné určiť kritérium optimality, t.j. znak, ktorým sa vykoná porovnávacie posúdenie alternatív a z nich sa vyberie tá najlepšia z hľadiska stanoveného cieľa optimalizácie.

Kritérium optimality- ide o ukazovateľ, ktorý má spravidla ekonomický význam, ktorý slúži na formalizáciu špecifického cieľa riadenia predmetu štúdia a je vyjadrený pomocou objektívnej funkcie.

Kritérium optimálnosti operácie plní takú dôležitú funkciu, akou je porovnávacie hodnotenie zvolených stratégií (riešení) pred začiatkom ich implementácie a v záverečnej fáze operácie. Umožňuje vám analyzovať získané výsledky a vyvodiť záver o tom, ktorá stratégia by bola optimálna.

Veličiny, ktoré sa pri optimalizácii menia a sú zahrnuté v matematickom modeli objektu optimalizácie, sa nazývajú optimalizačné parametre a vzťahy, ktoré stanovujú hranice možných zmien týchto parametrov obmedzenia.

Obmedzenia- sú to vzťahy, ktoré zužujú oblasť realizovateľných, prijateľných alebo prípustných riešení a fixujú základné vonkajšie a vnútorné vlastnosti objektu. Tieto obmedzenia môžu byť dané vo forme rovnosti alebo nerovností (alebo ich systémov).

Rozhodnutím matematický model ekonomického problému, príp prijateľný plán je súbor neznámych hodnôt, ktorý spĺňa jeho systém obmedzení. Model môže mať veľa riešení, prípadne realizovateľných plánov, medzi ktorými je potrebné nájsť to jediné, ktoré vyhovuje systému obmedzení a cieľovej funkcie.

Uskutočniteľný plán, ktorý spĺňa cieľovú funkciu, sa nazýva optimálne .

Ak má model problému veľa optimálnych plánov, potom pre každý z nich je hodnota cieľovej funkcie rovnaká.

TedaNa optimálne riešenie akéhokoľvek ekonomického problému je potrebné vybudovať jeho matematický model, ktorý v štruktúre zahŕňa systém obmedzení, objektívnu funkciu, kritérium optimality a riešenie.

Proces konštrukcie matematického modelu je tzv matematického modelovania .

Zostavenie modelu objektu si vyžaduje pochopenie podstaty popisovaného javu a znalosť matematického aparátu.

Modelovanie a konštrukcia matematického modelu ekonomického objektu umožňuje zredukovať ekonomickú analýzu výrobných procesov na matematickú analýzu a efektívne (optimálne) rozhodovanie.

Pri konštrukcii matematického modelu je dôležité vyhnúť sa na jednej strane prílišnému zjednodušovaniu ekonomického javu alebo procesu (pretože prílišné zjednodušenie neodráža realitu), na druhej strane jeho nadmernému detailovaniu a zložitosti (pretože to vedie k veľké množstvo premenných a sťažuje zostavenie modelu).

Hlavné prvky modelu:

1) Počiatočné údaje:

· deterministický,

· náhodný.

2) Požadované premenné:

· nepretržité,

· diskrétne.

3) Závislosti:

· lineárne (premenné sú zahrnuté v prvom stupni a neexistuje ich súčin),

· nelineárne (premenné sú zahrnuté v mocninách vyšších ako prvá alebo sú súčinom premenných).

Kombinácia rôznych prvkov modelu vedie k rôznym triedam optimalizačných problémov (téma 2), ktoré si vyžadujú rôzne metódy riešenia.

Pri riešení konkrétneho ekonomického problému použitie optimálnych metód riešenia zahŕňa:

· konštrukcia matematických modelov pre rozhodovacie problémy v zložitých situáciách alebo v podmienkach neistoty,

· štúdium vzťahov, ktoré následne určujú rozhodovanie a stanovenie kritérií optimality, ktoré umožňujú posúdiť výhodnosť jednej alebo druhej možnosti konania.

K hlavným metódam k optimálnym rozhodnutiam patrí:

1) Metódy matematického programovania:

· lineárne programovanie,

nelineárne programovanie,

celočíselné programovanie

· dynamické programovanie,

Konvexné programovanie

geometrické programovanie

Parametrické programovanie

· stochastické programovanie,

· heuristické programovanie.

2) Metódy teórie radenia.

3) Metódy teórie hier.

4) Klasické optimalizačné metódy (Lagrangeova metóda, gradientová metóda).

5) Sieťové metódy plánovania a riadenia.

Podľa učebnice Sovetova a Jakovleva: „model (lat. modul - miera) je náhradný objekt za pôvodný objekt, ktorý zabezpečuje štúdium niektorých vlastností originálu.“ (s. 6) “Nahradenie jedného objektu iným s cieľom získať informácie o najdôležitejších vlastnostiach pôvodného objektu pomocou objektu modelu sa nazýva modelovanie.” (s. 6) „Matematickým modelovaním rozumieme proces vytvárania súladu s daným reálnym objektom s určitým matematickým objektom, nazývaným matematický model, a štúdium tohto modelu, ktoré nám umožňuje získať charakteristiky reálneho posudzovaný objekt. Typ matematického modelu závisí tak od povahy skutočného objektu, ako aj od úloh štúdia objektu a od požadovanej spoľahlivosti a presnosti riešenia tohto problému.

Nakoniec najvýstižnejšia definícia matematického modelu: „Rovnica vyjadrujúca myšlienku."

Klasifikácia modelu

Formálna klasifikácia modelov

Formálna klasifikácia modelov je založená na klasifikácii použitých matematických nástrojov. Často konštruované vo forme dichotómií. Napríklad jeden z populárnych súborov dichotómií:

a tak ďalej. Každý skonštruovaný model je lineárny alebo nelineárny, deterministický alebo stochastický, ... Prirodzene sú možné aj zmiešané typy: koncentrované v jednom ohľade (z hľadiska parametrov), rozdelené v inom atď.

Klasifikácia podľa spôsobu znázornenia objektu

Spolu s formálnou klasifikáciou sa modely líšia v spôsobe, akým predstavujú objekt:

• Štrukturálne alebo funkčné modely

Štrukturálne modely predstavujú objekt ako systém s vlastnou štruktúrou a mechanizmom fungovania. Funkčné modely takéto reprezentácie nevyužívajú a odrážajú len zvonka vnímané správanie (fungovanie) objektu. V extrémnom vyjadrení sa im hovorí aj modely „black box.“ Možné sú aj kombinované typy modelov, ktoré sa niekedy nazývajú modely „grey box“.

Obsahové a formálne modely

Takmer všetci autori popisujúci proces matematického modelovania uvádzajú, že najprv sa vytvorí špeciálna ideálna štruktúra, obsahový model. Neexistuje tu ustálená terminológia a iní autori to nazývajú ideálnym objektom Koncepčný model , špekulatívny model alebo predmodelovať. V tomto prípade je výsledná matematická konštrukcia tzv formálny model alebo jednoducho matematický model získaný ako výsledok formalizácie daného zmysluplného modelu (predmodelu). Konštrukcia zmysluplného modelu môže byť vykonaná pomocou sady hotových idealizácií, ako v mechanike, kde ideálne pružiny, tuhé telesá, ideálne kyvadla, elastické médiá atď. poskytujú hotové konštrukčné prvky pre zmysluplné modelovanie. Avšak v oblastiach poznania, kde neexistujú úplne dokončené formalizované teórie (špičková fyzika, biológia, ekonómia, sociológia, psychológia a väčšina ďalších oblastí), sa tvorba zmysluplných modelov stáva dramaticky zložitejšou.

Obsahová klasifikácia modelov

Žiadna hypotéza vo vede nemôže byť dokázaná raz a navždy. Richard Feynman to formuloval veľmi jasne:

„Vždy máme možnosť vyvrátiť teóriu, ale všimnite si, že nikdy nemôžeme dokázať, že je správna. Predpokladajme, že ste predložili úspešnú hypotézu, vypočítali ste, kam vedie, a zistili ste, že všetky jej dôsledky sú experimentálne potvrdené. Znamená to, že vaša teória je správna? Nie, znamená to jednoducho, že si to nedokázal vyvrátiť."

Ak sa vytvorí model prvého typu, znamená to, že je dočasne uznaný za pravdu a človek sa môže sústrediť na iné problémy. To však nemôže byť bod vo výskume, ale len dočasná pauza: status modelu prvého typu môže byť len dočasný.

Typ 2: Fenomenologický model (správame sa ako keby…)

Fenomenologický model obsahuje mechanizmus na popis javu. Tento mechanizmus však nie je dostatočne presvedčivý, nedá sa dostatočne potvrdiť dostupnými údajmi, alebo sa dobre nezhoduje s existujúcimi teóriami a nahromadenými poznatkami o objekte. Preto majú fenomenologické modely status dočasných riešení. Verí sa, že odpoveď je stále neznáma a hľadanie „skutočných mechanizmov“ musí pokračovať. Peierls zaraďuje ako druhý typ napríklad kalorický model a kvarkový model elementárnych častíc.

Úloha modelu vo výskume sa môže časom meniť a môže sa stať, že nové dáta a teórie potvrdia fenomenologické modely a tie sa povýšia do stavu hypotézy. Rovnako aj nové poznatky sa môžu postupne dostať do konfliktu s modelmi-hypotézami prvého typu a môžu sa preniesť do druhého. Model kvarku sa teda postupne presúva do kategórie hypotéz; atomizmus vo fyzike vznikol ako dočasné riešenie, ale postupom dejín sa stal prvým typom. Ale éterové modely sa dostali od typu 1 k typu 2 a teraz sú mimo vedu.

Myšlienka zjednodušenia je veľmi populárna pri zostavovaní modelov. Zjednodušenie však prichádza v rôznych podobách. Peierls identifikuje tri typy zjednodušení v modelovaní.

Typ 3: Aproximácia (považujeme niečo za veľmi veľké alebo veľmi malé)

Ak je možné zostrojiť rovnice, ktoré popisujú skúmaný systém, neznamená to, že sa dajú vyriešiť aj pomocou počítača. Bežnou technikou je v tomto prípade použitie aproximácií (modely typu 3). Medzi nimi modely lineárnej odozvy. Rovnice sú nahradené lineárnymi. Štandardným príkladom je Ohmov zákon.

Tu prichádza typ 8, ktorý je rozšírený v matematických modeloch biologických systémov.

Typ 8: Ukážka funkcií (hlavná vec je ukázať vnútornú konzistenciu možnosti)

Toto sú tiež myšlienkové experimenty s imaginárnymi entitami, ktoré to dokazujú domnelý jav v súlade so základnými princípmi a vnútorne v súlade. To je hlavný rozdiel od modelov typu 7, ktoré odhaľujú skryté rozpory.

Jedným z najznámejších z týchto experimentov je Lobačevského geometria (Lobačevskij ju nazval „imaginárna geometria“). Ďalším príkladom je masová výroba formálne kinetických modelov chemických a biologických vibrácií, autovĺn atď. Einsteinov-Podolského-Rosenov paradox bol koncipovaný ako model 7. typu, aby demonštroval nekonzistentnosť kvantovej mechaniky. Úplne neplánovane sa z toho nakoniec stal model 8. typu – ukážka možnosti kvantovej teleportácie informácií.

Príklad

Uvažujme mechanický systém pozostávajúci z pružiny pripevnenej na jednom konci a hmoty hmoty m pripevnený k voľnému koncu pružiny. Budeme predpokladať, že zaťaženie sa môže pohybovať iba v smere osi pružiny (napríklad pohyb nastáva pozdĺž tyče). Zostavme si matematický model tohto systému. Stav systému popíšeme vzdialenosťou X od stredu zaťaženia do jeho rovnovážnej polohy. Popíšme interakciu pružiny a použitia zaťaženia Hookov zákon (F = − kX ) a potom použite druhý Newtonov zákon na jeho vyjadrenie vo forme diferenciálnej rovnice:

kde znamená druhú deriváciu Xčasom: .

Výsledná rovnica popisuje matematický model uvažovaného fyzikálneho systému. Tento model sa nazýva "harmonický oscilátor".

Podľa formálnej klasifikácie je tento model lineárny, deterministický, dynamický, koncentrovaný, spojitý. Pri jeho konštrukcii sme vychádzali z mnohých predpokladov (o absencii vonkajších síl, absencii trenia, malých odchýlok a pod.), ktoré v skutočnosti nemusia byť splnené.

Vo vzťahu k realite ide najčastejšie o model 4. typu zjednodušenie(„pre prehľadnosť vynecháme niektoré detaily“), keďže niektoré základné univerzálne vlastnosti (napríklad rozptyl) sú vynechané. Do určitej aproximácie (povedzme, zatiaľ čo odchýlka zaťaženia od rovnováhy je malá, s nízkym trením, nie príliš dlho a za určitých ďalších podmienok), takýto model celkom dobre opisuje skutočný mechanický systém, pretože vyradené faktory zanedbateľný vplyv na jeho správanie . Model však možno spresniť zohľadnením niektorých z týchto faktorov. To povedie k novému modelu so širším (aj keď opäť obmedzeným) rozsahom použiteľnosti.

Pri zdokonaľovaní modelu sa však môže výrazne zvýšiť zložitosť jeho matematického výskumu a model sa môže stať prakticky zbytočným. Jednoduchší model často umožňuje lepšie a hlbšie skúmanie reálneho systému ako zložitejší (a formálne „správnejší“).

Ak použijeme model harmonického oscilátora na objekty ďaleko od fyziky, jeho vecný stav môže byť odlišný. Napríklad pri aplikácii tohto modelu na biologické populácie by mal byť s najväčšou pravdepodobnosťou klasifikovaný ako typ 6 analógia(„vezmime do úvahy len niektoré funkcie“).

Tvrdé a mäkké modely

Harmonický oscilátor je príkladom takzvaného „tvrdého“ modelu. Získava sa ako výsledok silnej idealizácie skutočného fyzického systému. Na vyriešenie otázky jej použiteľnosti je potrebné pochopiť, aké významné sú faktory, ktoré sme zanedbali. Inými slovami, je potrebné študovať „mäkký“ model, ktorý sa získa malou poruchou „tvrdého“. Môže byť daný napríklad nasledujúcou rovnicou:

Tu je nejaká funkcia, ktorá môže brať do úvahy treciu silu alebo závislosť koeficientu tuhosti pružiny od stupňa jej natiahnutia - nejaký malý parameter. Explicitná forma funkcie f Momentálne nás to nezaujíma. Ak dokážeme, že správanie mäkkého modelu sa zásadne nelíši od správania tvrdého (bez ohľadu na explicitný typ rušivých faktorov, ak sú dostatočne malé), problém sa zredukuje na štúdium tvrdého modelu. V opačnom prípade bude aplikácia výsledkov získaných štúdiom rigidného modelu vyžadovať ďalší výskum. Napríklad riešením rovnice harmonického oscilátora sú funkcie tvaru , teda kmity s konštantnou amplitúdou. Vyplýva z toho, že skutočný oscilátor bude oscilovať donekonečna s konštantnou amplitúdou? Nie, pretože ak vezmeme do úvahy systém s ľubovoľne malým trením (v reálnom systéme vždy prítomné), dostaneme tlmené oscilácie. Správanie systému sa kvalitatívne zmenilo.

Ak si systém zachováva svoje kvalitatívne správanie pri malých poruchách, hovorí sa, že je štrukturálne stabilný. Harmonický oscilátor je príkladom štrukturálne nestabilného (nehrubého) systému. Tento model však možno použiť na štúdium procesov počas obmedzených časových období.

Všestrannosť modelov

Najdôležitejšie matematické modely zvyčajne majú dôležitú vlastnosť všestrannosť: Zásadne odlišné reálne javy možno opísať rovnakým matematickým modelom. Napríklad harmonický oscilátor popisuje nielen správanie sa zaťaženia na pružine, ale aj iné oscilačné procesy, často úplne iného charakteru: malé kmity kyvadla, kolísanie hladiny kvapaliny v U-tvarovaná nádoba alebo zmena sily prúdu v oscilačnom obvode. Štúdiom jedného matematického modelu teda okamžite študujeme celú triedu javov, ktoré popisuje. Práve tento izomorfizmus zákonov vyjadrený matematickými modelmi v rôznych segmentoch vedeckého poznania inšpiroval Ludwiga von Bertalanffyho k vytvoreniu „Všeobecnej teórie systémov“.

Priame a inverzné úlohy matematického modelovania

S matematickým modelovaním je spojených veľa problémov. Najprv musíte prísť so základnou schémou modelovaného objektu, reprodukovať ho v rámci idealizácií tejto vedy. Vlakový vozeň sa tak mení na sústavu dosiek a zložitejších karosérií z rôznych materiálov, pričom každý materiál je špecifikovaný ako jeho štandardná mechanická idealizácia (hustota, moduly pružnosti, štandardné pevnostné charakteristiky), po ktorej sa zostavujú rovnice a po ceste niektoré detaily sú vyradené ako nedôležité, robia sa výpočty, porovnávajú sa s meraniami, model sa spresňuje atď. Na vývoj technológií matematického modelovania je však užitočné tento proces rozobrať na jeho hlavné komponenty.

Tradične existujú dve hlavné triedy problémov spojených s matematickými modelmi: priame a inverzné.

Priama úloha: štruktúra modelu a všetky jeho parametre sa považujú za známe, hlavnou úlohou je vykonať štúdiu modelu s cieľom získať užitočné poznatky o objekte. Aké statické zaťaženie most vydrží? Ako bude reagovať na dynamickú záťaž (napríklad na pochod roty vojakov, alebo na prechod vlaku rôznou rýchlosťou), ako lietadlo prekoná zvukovú bariéru, či sa rozpadne od trepotania - toto sú typické príklady priameho problému. Stanovenie správneho priameho problému (položenie správnej otázky) si vyžaduje špeciálnu zručnosť. Ak sa nepoloží správne otázky, most sa môže zrútiť, aj keď bol vybudovaný dobrý model pre jeho správanie. V roku 1879 sa v Anglicku zrútil kovový most cez rieku Tay, ktorého konštruktéri postavili model mosta, vypočítali, že má 20-násobný bezpečnostný faktor pre pôsobenie užitočného zaťaženia, ale neustále zabúdali na vetry. fúka v tých miestach. A po roku a pol sa to zrútilo.

V najjednoduchšom prípade (napríklad rovnica jedného oscilátora) je priamy problém veľmi jednoduchý a redukuje sa na explicitné riešenie tejto rovnice.

Inverzný problém: je známych veľa možných modelov, konkrétny model treba vybrať na základe dodatočných údajov o objekte. Najčastejšie je známa štruktúra modelu a je potrebné určiť niektoré neznáme parametre. Ďalšie informácie môžu pozostávať z dodatočných empirických údajov alebo požiadaviek na objekt ( dizajnový problém). Ďalšie údaje môžu prísť bez ohľadu na proces riešenia inverzného problému ( pasívne pozorovanie) alebo je výsledkom experimentu špeciálne naplánovaného počas riešenia ( aktívny dohľad).

Jedným z prvých príkladov majstrovského riešenia inverzného problému s maximálnym využitím dostupných údajov bola metóda skonštruovaná I. Newtonom na rekonštrukciu trecích síl z pozorovaných tlmených kmitov.

Ďalšie príklady

Kde X s- „rovnovážna“ veľkosť populácie, pri ktorej je pôrodnosť presne kompenzovaná úmrtnosťou. Veľkosť populácie v takomto modeli má tendenciu k rovnovážnej hodnote X s a toto správanie je štrukturálne stabilné.

Tento systém má rovnovážny stav, keď je počet králikov a líšok konštantný. Odchýlka od tohto stavu má za následok kolísanie počtov králikov a líšok, podobne ako kolísanie harmonického oscilátora. Rovnako ako v prípade harmonického oscilátora, toto správanie nie je štrukturálne stabilné: malá zmena v modeli (napríklad berúc do úvahy obmedzené zdroje požadované králikmi) môže viesť ku kvalitatívnej zmene v správaní. Napríklad, rovnovážny stav sa môže stať stabilným a kolísanie čísel zmizne. Možný je aj opačný stav, kedy každá malá odchýlka od rovnovážnej polohy povedie ku katastrofálnym následkom, až k úplnému vyhynutiu niektorého z druhov. Model Volterra-Lotka neodpovedá na otázku, ktorý z týchto scenárov sa realizuje: tu je potrebný ďalší výskum.

Poznámky

1. „Matematické znázornenie reality“ (Encyclopaedia Britanica)
2. Novik I. B., K filozofickým otázkam kybernetického modelovania. M., Vedomosti, 1964.
3. Sovetov B. Ya., Yakovlev S. A., Modelovanie systémov: Proc. pre vysoké školy - 3. vyd., prepracované. a dodatočné - M.: Vyššie. škola, 2001. - 343 s. ISBN 5-06-003860-2
4. Samarsky A. A., Michajlov A. P. Matematické modelovanie. Nápady. Metódy. Príklady. . - 2. vydanie, prepracované - M.: Fizmatlit, 2001. - ISBN 5-9221-0120-X
5. Myshkis A.D., Prvky teórie matematických modelov. - 3. vydanie, rev. - M.: KomKniga, 2007. - 192 s ISBN 978-5-484-00953-4
6. Wikislovník: matematický model
7. CliffsNotes
8. Model Reduction and Coarse-Graining Approaches for Multiscale Phenomena, Springer, Complexity series, Berlin-Heidelberg-New York, 2006. XII+562 s. ISBN 3-540-35885-4
9. „Teória sa považuje za lineárnu alebo nelineárnu v závislosti od toho, aký druh matematického aparátu – lineárny alebo nelineárny – a aký druh lineárnych alebo nelineárnych matematických modelov používa. ...bez popierania toho druhého. Ak by moderný fyzik musel znovu vytvoriť definíciu takej dôležitej entity, akou je nelinearita, s najväčšou pravdepodobnosťou by konal inak a uprednostnil by nelinearitu ako dôležitejší a rozšírenejší z dvoch protikladov, definoval by linearitu ako „nie nelinearita." Danilov Yu. A., Prednášky o nelineárnej dynamike. Elementárny úvod. Séria "Synergie: od minulosti k budúcnosti." Vydanie 2. - M.: URSS, 2006. - 208 s. ISBN 5-484-00183-8
10. „Dynamické systémy modelované konečným počtom obyčajných diferenciálnych rovníc sa nazývajú koncentrované alebo bodové systémy. Sú opísané pomocou konečnej dimenzie fázového priestoru a sú charakterizované konečným počtom stupňov voľnosti. Ten istý systém za rôznych podmienok možno považovať za koncentrovaný alebo distribuovaný. Matematické modely distribuovaných systémov sú parciálne diferenciálne rovnice, integrálne rovnice alebo obyčajné rovnice oneskorenia. Počet stupňov voľnosti distribuovaného systému je nekonečný a na určenie jeho stavu je potrebné nekonečné množstvo údajov.“ Aniščenko V.S., Dynamické systémy, Sorosov vzdelávací časopis, 1997, č. 11, s. 77-84.
11. „V závislosti od charakteru procesov, ktoré sa študujú v systéme S, možno všetky typy modelovania rozdeliť na deterministické a stochastické, statické a dynamické, diskrétne, spojité a diskrétne spojité. Deterministické modelovanie odráža deterministické procesy, teda procesy, v ktorých sa predpokladá absencia akýchkoľvek náhodných vplyvov; stochastické modelovanie zobrazuje pravdepodobnostné procesy a udalosti. ... Statické modelovanie slúži na opísanie správania objektu v akomkoľvek časovom bode a dynamické modelovanie odráža správanie objektu v priebehu času. Diskrétne modelovanie sa používa na opis procesov, o ktorých sa predpokladá, že sú diskrétne, respektíve kontinuálne modelovanie nám umožňuje reflektovať spojité procesy v systémoch a diskrétne spojité modelovanie sa používa v prípadoch, keď chcú zdôrazniť prítomnosť diskrétnych aj spojitých procesov. “ Sovetov B. Ya., Yakovlev S. A., Modelovanie systémov: Proc. pre vysoké školy - 3. vyd., prepracované. a dodatočné - M.: Vyššie. škola, 2001. - 343 s. ISBN 5-06-003860-2
12. Typicky matematický model odráža štruktúru (zariadenie) modelovaného objektu, vlastnosti a vzťahy komponentov tohto objektu, ktoré sú podstatné pre účely výskumu; takýto model sa nazýva štrukturálny. Ak model odráža len to, ako objekt funguje – napríklad ako reaguje na vonkajšie vplyvy – potom sa nazýva funkčný alebo obrazne čierna skrinka. Možné sú aj kombinované modely. Myshkis A.D., Prvky teórie matematických modelov. - 3. vydanie, rev. - M.: KomKniga, 2007. - 192 s ISBN 978-5-484-00953-4
13. „Zjavnou, ale najdôležitejšou počiatočnou fázou konštrukcie alebo výberu matematického modelu je získanie čo najjasnejšieho obrazu o modelovanom objekte a dolaďovanie jeho zmysluplného modelu na základe neformálnych diskusií. V tejto fáze by ste nemali šetriť čas a úsilie, od toho do značnej miery závisí úspech celej štúdie. Neraz sa stalo, že značná práca vynaložená na riešenie matematického problému sa ukázala ako neefektívna alebo dokonca zbytočná pre nedostatočnú pozornosť venovanú tejto stránke veci.“ Myshkis A.D., Prvky teórie matematických modelov. - 3. vydanie, rev. - M.: KomKniga, 2007. - 192 s ISBN 978-5-484-00953-4, s. 35.
14. « Popis koncepčného modelu systému. V tejto čiastkovej fáze budovania modelu systému: a) konceptuálny model M je opísaný v abstraktných termínoch a konceptoch; b) opis modelu je uvedený pomocou štandardných matematických schém; c) hypotézy a predpoklady sú nakoniec prijaté; d) voľba postupu aproximácie reálnych procesov pri konštruovaní modelu je opodstatnená.“ Sovetov B. Ya., Yakovlev S. A., Modelovanie systémov: Proc. pre vysoké školy - 3. vyd., prepracované. a dodatočné - M.: Vyššie. škola, 2001. - 343 s. ISBN 5-06-003860-2, s. 93.
15. Blekhman I. I., Myshkis A. D., Panovko N. G., Aplikovaná matematika: Predmet, logika, znaky prístupov. S príkladmi z mechaniky: Učebnica. - 3. vydanie, rev. a dodatočné - M.: URSS, 2006. - 376 s. ISBN 5-484-00163-3, kapitola 2.

Počítač pevne vstúpil do našich životov a prakticky neexistuje oblasť ľudskej činnosti, kde by sa počítač nepoužíval. Počítače sa dnes vo veľkej miere využívajú v procese tvorby a výskumu nových strojov, nových technologických postupov a hľadania ich optimálnych možností; pri riešení ekonomických problémov, pri riešení problémov plánovania a riadenia výroby na rôznych úrovniach. Vytváranie veľkých objektov v raketovej technike, výrobe lietadiel, stavbe lodí, ako aj projektovanie priehrad, mostov atď. je vo všeobecnosti nemožné bez použitia počítačov.

Pre využitie počítača pri riešení aplikovaných úloh je potrebné v prvom rade aplikovaný problém „preložiť“ do formálneho matematického jazyka, t. pre skutočný objekt, proces alebo systém musí byť zostavený jeho matematický model.

Slovo „model“ pochádza z latinského modus (kópia, obrázok, obrys). Modelovanie je nahradenie niektorého objektu A iným objektom B. Nahradený objekt A sa nazýva pôvodný alebo modelovací objekt a náhrada B sa nazýva model. Inými slovami, model je náhradný objekt za pôvodný objekt, ktorý poskytuje štúdium niektorých vlastností originálu.

Účelom modelovania je získavať, spracovávať, prezentovať a využívať informácie o objektoch, ktoré sa navzájom ovplyvňujú a s vonkajším prostredím; a model tu pôsobí ako prostriedok na pochopenie vlastností a vzorcov správania objektu.

Matematické modelovanie je prostriedkom na štúdium skutočného objektu, procesu alebo systému ich nahradením matematickým modelom, ktorý je vhodnejší pre experimentálny výskum pomocou počítača.

Matematické modelovanie je proces vytvárania a štúdia matematických modelov reálnych procesov a javov. Všetky prírodné a spoločenské vedy, ktoré používajú matematický aparát, sa v podstate zaoberajú matematickým modelovaním: nahrádzajú skutočný objekt jeho modelom a potom ho študujú. Ako pri každom modelovaní, ani matematický model úplne nepopisuje skúmaný jav a otázky o použiteľnosti takto získaných výsledkov sú veľmi zmysluplné. Matematický model je zjednodušený popis reality pomocou matematických pojmov.

Matematický model vyjadruje podstatné znaky objektu alebo procesu v jazyku rovníc a iných matematických nástrojov. Matematika samotná vďačí za svoju existenciu tomu, čo sa snaží reflektovať, t.j. modelujte vo svojom vlastnom špecifickom jazyku vzory okolitého sveta.

o matematického modelovaniaštúdium objektu sa uskutočňuje prostredníctvom modelu formulovaného v jazyku matematiky pomocou určitých matematických metód.

Cesta matematického modelovania v našej dobe je oveľa komplexnejšia ako modelovanie v plnom rozsahu. Obrovský impulz pre rozvoj matematického modelovania dal nástup počítačov, hoci samotná metóda vznikla súčasne s matematikou pred tisíckami rokov.

Matematické modelovanie ako také nie vždy vyžaduje počítačovú podporu. Každý odborník, ktorý sa profesionálne zaoberá matematickým modelovaním, robí všetko pre to, aby analyticky študoval model. Analytické riešenia (t. j. prezentované pomocou vzorcov vyjadrujúcich výsledky štúdie prostredníctvom pôvodných údajov) sú zvyčajne pohodlnejšie a informatívnejšie ako numerické. Možnosti analytických metód na riešenie zložitých matematických problémov sú však veľmi obmedzené a spravidla sú tieto metódy oveľa zložitejšie ako numerické.

Matematický model je približná reprezentácia skutočných objektov, procesov alebo systémov, vyjadrená matematickými výrazmi a zachovávajúca podstatné črty originálu. Matematické modely v kvantitatívnej forme pomocou logických a matematických konštruktov popisujú základné vlastnosti objektu, procesu alebo systému, jeho parametre, vnútorné a vonkajšie súvislosti.

Všetky modely možno rozdeliť do dvoch tried:

1. reálny,
2. perfektné.

Na druhej strane, skutočné modely možno rozdeliť na:

1. plná škála,
2. fyzický,
3. matematický.

Ideálne modely možno rozdeliť na:

1. vizuálne,
2. ikonický,
3. matematický.

Skutočné modely v plnom rozsahu sú skutočné objekty, procesy a systémy, na ktorých sa vykonávajú vedecké, technické a priemyselné experimenty.

Reálne fyzikálne modely sú modely, figuríny, ktoré reprodukujú fyzikálne vlastnosti originálov (kinematické, dynamické, hydraulické, tepelné, elektrické, svetelné modely).

Skutočné matematické modely sú analógové, štrukturálne, geometrické, grafické, digitálne a kybernetické modely.

Ideálne vizuálne modely sú diagramy, mapy, kresby, grafy, grafy, analógy, štrukturálne a geometrické modely.

Ideálne modely znakov sú symboly, abeceda, programovacie jazyky, usporiadaná notácia, topologická notácia, sieťová reprezentácia.

Ideálne matematické modely sú analytické, funkčné, simulačné a kombinované modely.

Vo vyššie uvedenej klasifikácii majú niektoré modely dvojitú interpretáciu (napríklad analóg). Všetky modely, okrem plnohodnotných, je možné kombinovať do jednej triedy mentálnych modelov, pretože sú produktom ľudského abstraktného myslenia.

Prvky teórie hier

Vo všeobecnom prípade je vyriešenie hry pomerne zložitý problém a zložitosť problému a množstvo výpočtov potrebných na jeho vyriešenie sa prudko zvyšuje so zvyšujúcim sa počtom. Tieto ťažkosti však nie sú zásadného charakteru a sú spojené len s veľmi veľkým objemom výpočtov, ktoré sa v niektorých prípadoch môžu ukázať ako prakticky nemožné. Princípový aspekt spôsobu hľadania riešenia zostáva pre každého ten istý.

Ukážme si to na príklade hry. Dajme tomu geometrický výklad – už priestorový. Naše tri stratégie budú reprezentovať tri body na rovine ; prvá leží na začiatku (obr. 1). druhý a tretí - na osiach Oh A OU vo vzdialenostiach 1 od začiatku.

Osi I-I, II-II a III-III sú nakreslené bodmi kolmo na rovinu . Na osi I-I sú prínosy pre stratégiu, na osiach II-II a III-III sú prínosy pre stratégie. Stratégia každého nepriateľa bude reprezentovaná rovinou odrezanou na osiach I-I, II-II a III-III, segmenty rovnajúce sa výhre

s vhodnou stratégiou a stratégiou . Po zostavení všetkých nepriateľských stratégií získame rodinu lietadiel nad trojuholníkom (obr. 2).

Pre túto rodinu môžete tiež zostrojiť dolnú hranicu výplaty, ako sme to urobili v tomto prípade, a nájsť na tejto hranici bod N s maximálnou výškou v rovine . Táto výška bude cenou hry.

Frekvencie stratégií v optimálnej stratégii budú určené súradnicami (x, y) body N, a to:

Takáto geometrická konštrukcia, dokonca aj pre prípad, však nie je jednoduchá na realizáciu a vyžaduje veľa času a úsilia predstavivosti. Vo všeobecnom prípade hry sa prenesie do -dimenzionálneho priestoru a stratí všetku jasnosť, hoci použitie geometrickej terminológie môže byť v mnohých prípadoch užitočné. Pri riešení hier v praxi je vhodnejšie použiť nie geometrické analógie, ale vypočítané analytické metódy, najmä preto, že tieto metódy sú jediné vhodné na riešenie problému na počítačoch.

Všetky tieto metódy v podstate vedú k riešeniu problému prostredníctvom po sebe nasledujúcich pokusov, ale usporiadanie postupnosti pokusov vám umožňuje zostaviť algoritmus, ktorý vedie k riešeniu najhospodárnejším spôsobom.

Tu sa stručne pozrieme na jeden spôsob výpočtu na riešenie hier - pomocou metódy takzvaného lineárneho programovania.

Aby sme to dosiahli, najprv uvedieme všeobecnú formuláciu problému hľadania riešenia hry. Nech je daná hra s T hráčske stratégie A A n hráčske stratégie IN a je daná platobná matica

Je potrebné nájsť riešenie hry, t.j. dve optimálne zmiešané stratégie hráčov A a B

kde (niektoré z čísel a môžu sa rovnať nule).

Naša optimálna stratégia S*A by nám mal poskytnúť zisk nie menší ako , pre akékoľvek správanie nepriateľa a zisk rovný , pre jeho optimálne správanie (stratégia S*B).Podobná stratégia S*B by mala poskytnúť nepriateľovi stratu nie väčšiu ako , pre akékoľvek naše správanie a rovnakú pre naše optimálne správanie (stratégia S*A).

Hodnota hry v tomto prípade je nám neznáma; budeme predpokladať, že sa rovná nejakému kladnému číslu. Veriac týmto spôsobom, neporušujeme všeobecnosť uvažovania; Na to, aby bola > 0, zjavne stačí, že všetky prvky matice sú nezáporné. To sa dá vždy dosiahnuť pridaním dostatočne veľkej kladnej hodnoty L k prvkom, v tomto prípade sa cena hry zvýši o L, ale riešenie sa nezmení.

Zvoľme si optimálnu stratégiu S*A. Potom sa naša priemerná odmena podľa súperovej stratégie bude rovnať:

Naša optimálna stratégia S*A má vlastnosť, že za akékoľvek správanie nepriateľa poskytuje zisk nie menší ako; preto žiadne z čísel nemôže byť menšie ako . Dostávame niekoľko podmienok:

(1)

Rozdeľme nerovnosti (1) kladnou hodnotou a označme:

Potom sa podmienka (1) zapíše ako

(2)

kde sú nezáporné čísla. Pretože množstvá spĺňajú podmienku

Chceme, aby naše garantované výhry boli čo najvyššie; Je zrejmé, že v tomto prípade pravá strana rovnosti (3) nadobúda minimálnu hodnotu.

Problém hľadania riešenia hry teda spočíva v nasledujúcom matematickom probléme: určiť nezáporné množstvá , pri splnení podmienok (2), takže ich súčet

bol minimálny.

Zvyčajne sa pri riešení problémov súvisiacich s hľadaním extrémnych hodnôt (maxima a minimá) funkcia diferencuje a derivácie sa rovnajú nule. Takáto technika je však v tomto prípade zbytočná, pretože funkcia Ф, ktorá potrebovať minimalizovať, je lineárny a jeho deriváty vzhľadom na všetky argumenty sú rovné jednej, t.j. nikde nemiznú. V dôsledku toho je maximum funkcie dosiahnuté niekde na hranici rozsahu zmien argumentov, ktorý je určený požiadavkou nezápornosti argumentov a podmienok (2). Technika zisťovania extrémnych hodnôt pomocou diferenciácie je nevhodná aj v prípadoch, keď je na riešenie hry určená maximálna dolná (alebo minimálna horná) hranica výhry, ako sme to urobili my. robili to napríklad pri riešení hier, dolná hranica sa totiž skladá z úsekov priamok a maximum sa nedosahuje v bode, kde sa derivácia rovná nule (taký bod vôbec neexistuje), ale na hranici intervalu alebo v mieste priesečníka priamych úsekov.

Na riešenie takýchto problémov, s ktorými sa v praxi pomerne často stretávame, bol vyvinutý špeciálny prístroj v matematike lineárne programovanie.

Problém lineárneho programovania je formulovaný nasledovne.

Daný systém lineárnych rovníc:

(4)

Je potrebné nájsť nezáporné hodnoty veličín, ktoré spĺňajú podmienky (4) a zároveň minimalizovať danú homogénnu lineárnu funkciu veličín (lineárny tvar):

Je ľahké vidieť, že vyššie uvedený problém teórie hier je špeciálnym prípadom problému lineárneho programovania

Na prvý pohľad sa môže zdať, že podmienky (2) nie sú ekvivalentné s podmienkami (4), keďže namiesto znamienka rovnosti obsahujú znamienka nerovnosti. Znakov nerovnosti sa však dá ľahko zbaviť zavedením nových fiktívnych nezáporných premenných a zapisovaním podmienok (2) vo forme:

(5)

Tvar Φ, ktorý je potrebné minimalizovať, sa rovná

Lineárne programovacie zariadenie umožňuje výber hodnôt pomocou relatívne malého počtu po sebe nasledujúcich vzoriek , spĺňajúce uvedené požiadavky. Pre väčšiu názornosť si tu ukážeme použitie tohto aparátu priamo na materiáli riešenia konkrétnych hier.

V tomto článku ponúkame príklady matematických modelov. Okrem toho budeme venovať pozornosť fázam vytvárania modelov a analyzovať niektoré problémy spojené s matematickým modelovaním.

Ďalšou otázkou, ktorú máme, sú matematické modely v ekonómii, na ktorých príklady sa pozrieme o niečo neskôr. Navrhujeme začať náš rozhovor samotným pojmom „model“, stručne zvážiť ich klasifikáciu a prejsť k našim hlavným otázkam.

Pojem "model"

Často počujeme slovo „modelka“. Čo je to? Tento pojem má veľa definícií, tu sú len tri z nich:

• špecifický objekt, ktorý je vytvorený na prijímanie a uchovávanie informácií, odrážajúcich niektoré vlastnosti alebo charakteristiky, a tak ďalej, originálu tohto objektu (tento špecifický objekt môže byť vyjadrený v rôznych formách: mentálna, popis pomocou znakov atď.);
• Model znamená aj znázornenie konkrétnej situácie, života alebo manažmentu;
• model môže byť zmenšenou kópiou objektu (vytvárajú sa na podrobnejšie štúdium a analýzu, pretože model odráža štruktúru a vzťahy).

Na základe všetkého, čo bolo povedané skôr, môžeme vyvodiť malý záver: model vám umožňuje podrobne študovať zložitý systém alebo objekt.

Všetky modely možno klasifikovať podľa niekoľkých charakteristík:

• podľa oblasti použitia (vzdelávacie, experimentálne, vedecko-technické, herné, simulačné);
• dynamikou (statickou a dynamickou);
• podľa odvetvia vedomostí (fyzikálne, chemické, geografické, historické, sociologické, ekonomické, matematické);
• spôsobom prezentácie (vecným a informačným).

Informačné modely sa zase delia na symbolické a verbálne. A to symbolické – do počítačových aj nepočítačových. Teraz prejdime k podrobnému zváženiu príkladov matematického modelu.

Matematický model

Ako možno uhádnete, matematický model odráža akékoľvek vlastnosti objektu alebo javu pomocou špeciálnych matematických symbolov. Matematika je potrebná na modelovanie vzorcov okolitého sveta v jeho vlastnom špecifickom jazyku.

Metóda matematického modelovania vznikla pomerne dávno, pred tisíckami rokov, spolu s príchodom tejto vedy. Impulz k rozvoju tejto metódy modelovania však dal vznik počítačov (elektronických počítačov).

Teraz prejdime ku klasifikácii. Môže sa vykonávať aj podľa niektorých znakov. Sú uvedené v tabuľke nižšie.

Navrhujeme zastaviť sa a bližšie sa pozrieť na najnovšiu klasifikáciu, pretože odráža všeobecné vzorce modelovania a ciele vytváraných modelov.

Opisné modely

V tejto kapitole sa navrhujeme podrobnejšie venovať deskriptívnym matematickým modelom. Aby bolo všetko veľmi jasné, uvedieme príklad.

Začnime tým, že tento pohľad možno nazvať deskriptívnym. Je to spôsobené tým, že jednoducho robíme výpočty a prognózy, ale nemôžeme žiadnym spôsobom ovplyvniť výsledok udalosti.

Pozoruhodným príkladom deskriptívneho matematického modelu je výpočet dráhy letu, rýchlosti a vzdialenosti od Zeme kométy, ktorá napadla priestory našej slnečnej sústavy. Tento model je popisný, keďže všetky získané výsledky nás môžu len varovať pred akýmkoľvek nebezpečenstvom. Výsledok akcie bohužiaľ nevieme ovplyvniť. Na základe získaných výpočtov je však možné prijať akékoľvek opatrenia na zachovanie života na Zemi.

Optimalizačné modely

Teraz si povieme niečo o ekonomických a matematických modeloch, ktorých príklady môžu slúžiť ako rôzne súčasné situácie. V tomto prípade hovoríme o modeloch, ktoré za určitých podmienok pomáhajú nájsť správnu odpoveď. Určite majú nejaké parametre. Aby to bolo úplne jasné, pozrime sa na príklad z poľnohospodárskeho sektora.

Máme sýpku, ale obilie sa veľmi rýchlo kazí. V tomto prípade musíme zvoliť správne teplotné podmienky a optimalizovať proces skladovania.

Môžeme teda definovať pojem „model optimalizácie“. V matematickom zmysle ide o sústavu rovníc (lineárnych aj nie), ktorých riešenie pomáha nájsť optimálne riešenie v konkrétnej ekonomickej situácii. Pozreli sme sa na príklad matematického modelu (optimalizácie), ale rád by som dodal: tento typ patrí do triedy extrémnych problémov, pomáhajú opísať fungovanie ekonomického systému.

Všimnime si ešte jednu nuanciu: modely môžu mať rôznu povahu (pozri tabuľku nižšie).

Multikriteriálne modely

Teraz vás pozývame, aby ste sa trochu porozprávali o matematickom modeli multikriteriálnej optimalizácie. Predtým sme uviedli príklad matematického modelu na optimalizáciu procesu podľa ktoréhokoľvek kritéria, ale čo ak ich je veľa?

Pozoruhodným príkladom viackriteriálnej úlohy je organizácia správnej, zdravej a zároveň ekonomickej výživy pre veľké skupiny ľudí. S takýmito úlohami sa často stretávame v armáde, školských jedálňach, letných táboroch, nemocniciach a pod.

Aké kritériá máme v tejto úlohe?

1. Výživa by mala byť zdravá.
2. Výdavky na jedlo by mali byť minimálne.

Ako vidíte, tieto ciele sa vôbec nezhodujú. To znamená, že pri riešení problému je potrebné hľadať optimálne riešenie, rovnováhu medzi dvoma kritériami.

Herné modely

Keď hovoríme o herných modeloch, je potrebné pochopiť pojem „teória hier“. Jednoducho povedané, tieto modely odrážajú matematické modely skutočných konfliktov. Musíte len pochopiť, že na rozdiel od skutočného konfliktu má herný matematický model svoje špecifické pravidlá.

Teraz poskytneme minimum informácií z teórie hier, ktoré vám pomôžu pochopiť, čo je herný model. Model teda nevyhnutne obsahuje strany (dve alebo viac), ktoré sa zvyčajne nazývajú hráči.

Všetky modely majú určité vlastnosti.

Herný model môže byť párový alebo viacnásobný. Ak máme dva subjekty, konflikt je párový, ak je viac, je viacnásobný. Môžete tiež rozlíšiť antagonistickú hru, nazýva sa to aj hra s nulovým súčtom. Ide o model, v ktorom sa zisk jedného z účastníkov rovná strate druhého.

Simulačné modely

V tejto časti sa budeme venovať simulačným matematickým modelom. Príklady úloh:

• model populačnej dynamiky mikroorganizmov;
• model molekulárneho pohybu a pod.

V tomto prípade hovoríme o modeloch, ktoré sú čo najbližšie k reálnym procesom. Celkovo napodobňujú nejaký prejav v prírode. V prvom prípade môžeme napríklad simulovať dynamiku počtu mravcov v jednej kolónii. Zároveň môžete sledovať osud každého jednotlivca. V tomto prípade sa matematický popis používa zriedkavo, častejšie sú prítomné písomné podmienky:

• po piatich dňoch samica kladie vajíčka;
• po dvadsiatich dňoch mravec uhynie atď.

Používajú sa teda na opis veľkého systému. Matematickým záverom je spracovanie získaných štatistických údajov.

Požiadavky

Je veľmi dôležité vedieť, že tento typ modelu má určité požiadavky, vrátane tých, ktoré sú uvedené v tabuľke nižšie.

Všestrannosť	Táto vlastnosť vám umožňuje použiť rovnaký model pri popise podobných skupín objektov. Je dôležité poznamenať, že univerzálne matematické modely sú úplne nezávislé od fyzickej povahy skúmaného objektu
Primeranosť	Tu je dôležité pochopiť, že táto vlastnosť vám umožňuje čo najpresnejšie reprodukovať skutočné procesy. V operačných úlohách je táto vlastnosť matematického modelovania veľmi dôležitá. Príkladom modelu je proces optimalizácie využitia plynového systému. V tomto prípade sa porovnávajú vypočítané a skutočné ukazovatele, v dôsledku čoho sa kontroluje správnosť zostaveného modelu
Presnosť	Táto požiadavka implikuje zhodu hodnôt, ktoré získame pri výpočte matematického modelu a vstupných parametrov nášho reálneho objektu
Ekonomický	Požiadavka nákladovej efektívnosti pre akýkoľvek matematický model je charakterizovaná nákladmi na implementáciu. Ak s modelom pracujete manuálne, potom si musíte vypočítať, koľko času zaberie vyriešenie jedného problému pomocou tohto matematického modelu. Ak hovoríme o počítačom podporovanom dizajne, potom sa vypočítajú ukazovatele nákladov na čas a pamäť počítača

Fázy modelovania

Celkovo je matematické modelovanie zvyčajne rozdelené do štyroch etáp.

1. Formulácia zákonov spájajúcich časti modelu.
2. Štúdium matematických problémov.
3. Určenie zhody praktických a teoretických výsledkov.
4. Analýza a modernizácia modelu.

Ekonomický a matematický model

V tejto časti stručne poukážeme na problém. Príklady úloh:

• vytvorenie výrobného programu na výrobu mäsových výrobkov, ktorý zabezpečuje maximálny zisk z výroby;
• maximalizácia zisku organizácie výpočtom optimálneho množstva stolov a stoličiek vyrobených v továrni na výrobu nábytku atď.

Ekonomicko-matematický model zobrazuje ekonomickú abstrakciu, ktorá je vyjadrená pomocou matematických pojmov a symbolov.

Počítačový matematický model

Príklady počítačového matematického modelu sú:

• hydraulické problémy pomocou vývojových diagramov, diagramov, tabuliek atď.;
• problémy s pevnou mechanikou a pod.

Počítačový model je obraz objektu alebo systému prezentovaný vo forme:

• tabuľky;
• blokové schémy;
• diagramy;
• grafika a pod.

Tento model navyše odráža štruktúru a prepojenia systému.

Konštrukcia ekonomického a matematického modelu

Už sme hovorili o tom, čo je ekonomicko-matematický model. Práve teraz sa zváži príklad riešenia problému. Musíme analyzovať výrobný program, aby sme identifikovali rezervu na zvýšenie zisku s posunom v sortimente.

Nebudeme sa plne zaoberať problémom, ale vytvoríme iba ekonomický a matematický model. Kritériom našej úlohy je maximalizácia zisku. Potom má funkcia tvar: А=р1*х1+р2*х2..., smerujúci k maximu. V tomto modeli p je zisk na jednotku a x je počet vyrobených jednotiek. Ďalej, na základe skonštruovaného modelu, je potrebné urobiť výpočty a zhrnúť.

Príklad zostavenia jednoduchého matematického modelu

Úloha. Rybár sa vrátil s týmto úlovkom:

• 8 rýb - obyvateľov severných morí;
• 20 % úlovku tvoria obyvatelia južných morí;
• Z miestnej rieky sa nenašla ani jedna ryba.

Koľko rýb kúpil v obchode?

Takže príklad konštrukcie matematického modelu tohto problému vyzerá takto. Celkový počet rýb označíme x. Podľa podmienky 0,2x je počet rýb žijúcich v južných zemepisných šírkach. Teraz skombinujeme všetky dostupné informácie a dostaneme matematický model úlohy: x=0,2x+8. Riešime rovnicu a dostaneme odpoveď na hlavnú otázku: kúpil 10 rýb v obchode.

Podobné články