Priestor pravdepodobnosti

Prvé teoretické výsledky v teórii pravdepodobnosti sa týkajú

do polovice 17. storočia a patrí B. Pascalovi, P. Fermatovi, H. Huygensovi, J. Bernoullimu. Táto teória vďačí za svoje úspechy v 18. storočí a na začiatku 19. storočia A. Moivre, P. Laplace, C. Gauss, S. Poisson, A. Legendre. Významný pokrok v teórii pravdepodobnosti sa dosiahol koncom 19. a začiatkom 20. storočia v prácach L. Boltzmanna, P. Čebyševa, A. Ljapunova, A. Markova, E. Borela atď. začiatku 20. storočia prísna a konzistentná teória. Dosiahnuť to umožnil iba axiomatický prístup. Prvú axiomatickú konštrukciu teórie urobil S.N. Bernstein v roku 1917, ktorý svoje konštrukcie založil na porovnávaní náhodných udalostí podľa ich stupňa pravdepodobnosti. Tento prístup sa však ďalej nerozvíjal. Axiomatický prístup založený na teórii množín a teórii mier, ktorý vyvinul A.N. Kolmogorov v 20. rokoch 20. storočia, sa ukázal byť plodnejším. V Kolmogorovovej axiomatike nie je koncept náhodnej udalosti na rozdiel od klasického prístupu počiatočný, ale je dôsledkom elementárnejších konceptov. Kolmogorovov zdroj je množina (priestor) W elementárnych udalostí (priestor výsledkov, priestor vzoriek). Na povahe prvkov tohto priestoru nezáleží.

Ak A,B,C О W , potom sú zrejmé nasledujúce vzťahy stanovené v teórii množín:

A+A = A, AA = A, AÆ =Æ, A +Æ = A, A +W =W, AW = A, W = Æ, Æ = W, A = A,

kde overbar označuje doplnok vo W; A+B = A B, AB = A + B, AB=BA, A+B = B+A, (A+B)+C=A+(B+C), (AB)C=A(BC), A (B+C) = AB+AC, A+BC = (A+B)(A+C);

tu Æ označuje prázdnu množinu, t.j. nemožné podujatie.

V Kolmogorovovej axiomatike sa uvažuje s určitou sústavou U podmnožín množiny W, ktorej prvky sa nazývajú náhodné udalosti. Systém U spĺňa nasledujúce požiadavky: ak sú v systéme U zahrnuté podmnožiny A a B množiny W, potom tento systém obsahuje aj množiny A È B, A Ç B, A a B; samotná množina W je tiež prvkom sústavy U. Takáto sústava množín sa nazýva (booleovská) algebra množín.

Z definície množinovej algebry samozrejme vyplýva, že rodina U obsahuje aj prázdnu množinu Æ. Algebra množín (t.j. množina náhodných udalostí) je teda vzhľadom na operácie sčítania, prieniku a tvorby sčítaní uzavretá, a preto elementárne operácie s náhodnými javmi nevedú za množinu náhodných udalostí. U.

Pre väčšinu aplikácií je potrebné vyžadovať, aby rodina množín U zahŕňala nielen konečné súčty a priesečníky podmnožín W, ale aj spočítateľné súčty a prieniky. To nás privádza k definícii pojmu s-algebra.

Definícia 1.1. S-algebra je rodina podmnožín (U) množiny W, ktorá je uzavretá operáciami vytvárania doplnkov, spočítateľných súčtov a spočítateľných priesečníkov.

Je jasné, že každá s-algebra obsahuje samotnú množinu W a prázdnu množinu. Ak je daná ľubovoľná rodina U podmnožín množiny W, potom najmenšia s-algebra obsahujúca všetky množiny rodiny U sa nazýva s-algebra generovaná rodinou U.

Najväčšia s-algebra obsahuje všetky podmnožiny s; je užitočná v diskrétnych priestoroch W, v ktorých je pravdepodobnosť zvyčajne definovaná pre všetky podmnožiny množiny W. Vo všeobecnejších priestoroch je však definovanie pravdepodobnosti (definícia pravdepodobnosti bude uvedená nižšie) pre všetky podmnožiny buď nemožné alebo nežiaduce. Ďalšou extrémnou definíciou s-algebry môže byť s-algebra pozostávajúca len z množiny W. a prázdnej množiny Æ.

Ako príklad výberu W a s-algebry podmnožín U uvažujme hru, v ktorej účastníci hádžu kockou, na ktorej každej zo šiestich plôch sú vytlačené čísla od 1 do 6. Pre akýkoľvek hod kockou , je realizovaných iba šesť stavov: w 1, w 2, w 3, w 4, w 5 a w 6, z ktorých i-tý znamená, že sú hodené i body. Rodina U náhodných udalostí pozostáva z 2 6 = 64 prvkov vytvorených zo všetkých možných kombinácií w i: w 1 ,…,w 6 ; (š 1, š 6),...,(š 5, š 6);(š 1, š 2, š 3),...,(š 1, š 2, š 3, š 4, š 5 ,š 6) Æ.

Náhodné udalosti, t.j. Prvky s-algebry U budeme často označovať písmenami A, B,... Ak dva náhodné javy A a B neobsahujú rovnaké prvky w i ОW, potom ich budeme nazývať nezlučiteľné. Udalosti A a A sa nazývajú opačné (v inom zápise namiesto A môžeme dať CA). Teraz môžeme prejsť k definovaniu pojmu pravdepodobnosti.

Definícia 1.2. Pravdepodobnostná miera P na s-algebre U podmnožín množiny W je funkciou množiny P, ktorá spĺňa tieto požiadavky:

1) P(A) 30; AÎU;

, t.j. majúci vlastnosť spočítateľnej aditivity, kde A k sú vzájomne disjunktné množiny z U.

Nech je teda výberový priestor W akýkoľvek, pravdepodobnosti priraďujeme len množinám nejakej s-algebry U a tieto pravdepodobnosti sú určené hodnotou miery P na týchto množinách.

V každom probléme skúmania náhodných udalostí je teda východiskovým konceptom vzorový priestor s, v ktorom je tak či onak zvolená s-algebra, na ktorej je už určená miera pravdepodobnosti P. V dôsledku toho môžeme uviesť nasledovné: definícia

Definícia 1.3. Pravdepodobnostný priestor je trojica (W,U,P) pozostávajúca zo vzorového priestoru W,s-algebry U jeho podmnožín a miery pravdepodobnosti P definovanej na U.

V praxi môžu nastať problémy, pri ktorých sú rovnakým náhodným udalostiam z U priradené rôzne pravdepodobnosti. Napríklad v prípade symetrickej kocky je prirodzené dať:

P(w 1) = P(w 2) = ... = P(w 6) == 1/6,

a ak je kosť asymetrická, potom nasledujúce pravdepodobnosti môžu byť v súlade so skutočnosťou: P(w 1) = P(w 2) = P(w 3) = P(w 4) = 1/4, P(w 5 ) = P (w6) = 1/12.

Budeme sa zaoberať hlavne množinami W, ktoré sú podmnožinami konečnorozmerného euklidovského priestoru Rn. Hlavným predmetom teórie pravdepodobnosti sú náhodné premenné, t.j. niektoré funkcie definované na vzorovom priestore W. Našou prvou úlohou je obmedziť triedu funkcií, s ktorými budeme operovať. Triedu funkcií je vhodné zvoliť tak, aby štandardné operácie, na ktorých by sa z tejto triedy neodvodzovali, najmä tak, aby z nej neboli odvodené napríklad operácie s bodovými limitami, skladbou funkcií atď. trieda.

Definícia 1.4. Najmenšia trieda funkcií B, ktorá je uzavretá pod bodovými limitnými prechodmi (t.j. ak ¦ 1 , ¦ 2 ,... patrí do triedy B a pre všetky x existuje limita ¦(x) = lim¦ n (x), potom ¦( x) patrí do B), ktoré obsahuje všetky spojité funkcie, sa nazýva Baireova trieda.

Z tejto definície vyplýva, že súčet, rozdiel, súčin, projekcia, zloženie dvoch Bairových funkcií sú opäť Baireove funkcie, t.j. každá funkcia funkcie Baire je opäť funkciou Baire. Ukazuje sa, že ak sa obmedzíme na užšie triedy funkcií, nemožno dosiahnuť žiadne posilnenie alebo zjednodušenie teórie.

Vo všeobecnom prípade náhodné premenné, t.j. funkcie X = U(x), kde XÎWÌR n , by mali byť definované tak, aby udalosti (X £ t) pre ľubovoľné t mali určitú pravdepodobnosť, t.j. tak, že množiny (X £ t) patria do rodiny U, pre ktorých prvky sú určené pravdepodobnosti P, t.j. tak, aby boli určené hodnoty P(X £ t). To nás vedie k nasledujúcej definícii merateľnosti funkcie vzhľadom na rodinu U.

Definícia 1.5. Reálna funkcia U(x), xОW, sa nazýva U-merateľná, ak pre akékoľvek reálne t je množina tých bodov xОW, pre ktoré U(x) £ t patrí do rodiny U.

Keďže s-algebra U je uzavretá operáciou preberania doplnkov, potom v definícii merateľnosti môže byť nerovnosť £ nahradená ktoroukoľvek z nerovníc ³, >,<. Из самого определения следует, что n-измеримые функции образуют замкнутый класс наподс бие класса бэровских функций.

Ako už bolo naznačené, s-algebru možno zvoliť celkom ľubovoľne, a to najmä takto: najprv sa definujú n-rozmerné intervaly na priestore WÎR n, potom pomocou operácií množinovej algebry množiny zložitejších z týchto intervalov možno zostaviť štruktúru a tvoria sa rodiny množín. Spomedzi všetkých možných rodín je možné vybrať takú, ktorá obsahuje všetky otvorené podmnožiny vo W. Táto konštrukcia vedie k nasledujúcej definícii.

Definícia 1.6. Najmenšia s-algebra U b obsahujúca všetky otvorené (a teda všetky uzavreté) podmnožiny množín WÌ R n sa nazýva Borelova s-algebra a jej množiny sa nazývajú Borel.

Ukazuje sa, že trieda Beerových funkcií B je totožná s triedou funkcií merateľných vzhľadom na s-algebru U b Borelových množín.

Teraz môžeme jasne definovať pojem náhodná premenná a jej funkcia rozdelenia pravdepodobnosti.

Definícia 1.7. Náhodná premenná X je reálna funkcia X =U(x), xОW, merateľná vzhľadom na s-algebru U zahrnutú v definícii pravdepodobnostného priestoru.

Definícia 1.8. Distribučnou funkciou náhodnej veličiny X je funkcia F(t) = P(X £ t), ktorá určuje pravdepodobnosť, že náhodná veličina X nepresiahne hodnotu t.

Pre danú distribučnú funkciu F možno jednoznačne zostrojiť mieru pravdepodobnosti a naopak.

Uvažujme základné pravdepodobnostné zákony na príklade konečnej množiny W. Nech A,BÌ W. Ak A a B obsahujú spoločné prvky, t.j. AB¹0, potom môžeme písať: A+B=A+(B-AB) a B = AB+(B-AB), kde na pravej strane sú disjunktné množiny (t. j. nezlučiteľné udalosti), a teda vlastnosťou aditivity miera pravdepodobnosti: P(A+B) = P(B-AB)+P(A), P(B) = P(AB)+P(B-AB); teda nasleduje vzorec pre súčet pravdepodobností ľubovoľných udalostí: P(A+B) = P(A) + P(B) - P(AB).

Ak pri výpočte pravdepodobnosti udalosti A nie sú stanovené žiadne podmienky, potom sa pravdepodobnosť P(A) nazýva nepodmienená. Ak sa udalosť A realizuje napríklad za predpokladu, že sa realizuje udalosť B, potom hovoríme o podmienenej pravdepodobnosti, pričom ju označíme symbolom P(A/B). V axiomatickej teórii pravdepodobnosti sa podľa definície predpokladá:

P(A/B) = P(AB)/P(B).

Aby bola táto definícia intuitívne jasná, zvážte napríklad nasledujúcu situáciu. Nech škatuľka obsahuje k papierov označených písmenom A, r papierov označených písmenom B, m papierikov označených písmenami A B a n prázdnych papierikov. Existuje p = k + r + n + m kusov papiera. A nech sa z krabice postupne vyťahuje jeden papierik za druhým a po každom vytiahnutí sa zaznačí typ vytiahnutého papiera a ten sa vloží späť do krabice. Zaznamenávajú sa výsledky veľmi veľkého počtu takýchto testov. Podmienená pravdepodobnosť P(A/B) znamená, že udalosť A sa uvažuje len v súvislosti s realizáciou udalosti B. V tomto príklade to znamená, že je potrebné spočítať počet vytiahnutých papierikov s písmenami A·B. a písmeno B a vydeľte prvé číslo súčtom prvého a druhého čísla. Pri dostatočne veľkom počte pokusov bude tento pomer smerovať k číslu, ktoré určuje podmienenú pravdepodobnosť P(A/B). Ukáže to podobný počet ďalších kúskov papiera

Výpočtový pomer

Dbáme na to, aby sa presne zhodovala s hodnotou, ktorú sme predtým vypočítali pre pravdepodobnosť P(A/B). Tak dostaneme

P(A-B) = P(A/B)-P(B).

Ak vykonáme podobné uvažovanie, prehodíme A a B, dostaneme

P(A B) = P(B/A) P(A)

Rovnosti

P(A B) = P(A/B) P(B) = P(B/A) P(A)

nazývaná veta o násobení pravdepodobnosti.

Uvažovaný príklad nám tiež umožňuje jasne overiť platnosť nasledujúcej rovnosti pre A·B¹Æ :

P(A + B) == P(A) + P(B) - P(A B).

Príklad 1.1. Nechajte kocku hodiť dvakrát a musíte určiť pravdepodobnosť P(A/B), že získate celkovo 10 bodov, ak je prvý hod 4.

Pravdepodobnosť získania 6 pri druhom hode je 1/6. teda

Príklad 1.2. Nech je 6 urien:

v urne typu A 1 sú dve biele a jedna čierna guľa, v urne typu A 2 sú dve biele a dve čierne gule, v urne typu A 3 sú dve čierne a jedna biela guľa. K dispozícii je 1 urna typu A 1, 2 urny typu A 2 a 3 urny typu A 3. Náhodne sa vyberie urna a z nej sa vyžrebuje loptička. Aká je pravdepodobnosť, že táto guľa je biela? Označme B udalosť vytiahnutia bielej gule.

Na vyriešenie úlohy predpokladajme, že nejaká udalosť B sa realizuje len spolu s jednou z n nezlučiteľných udalostí A 1,..., A n, t.j. B = , kde udalosti VA i a VA j s rôznymi indexmi i a j sú nekompatibilné. Z vlastnosti aditivity pravdepodobnosti P vyplýva:

Nahradením závislosti (1.1) tu získame

Tento vzorec sa nazýva vzorec celkovej pravdepodobnosti. Na vyriešenie posledného príkladu použijeme vzorec celkovej pravdepodobnosti. Keďže bielu guľu (udalosť B) možno vziať z jednej z troch urien (udalosti A 1, A 2, A 3), môžeme napísať

B = A1B + A2B + A3B.

Vzorec celkovej pravdepodobnosti dáva

Vypočítajme pravdepodobnosti zahrnuté v tomto vzorci. Pravdepodobnosť, že sa loptička vyberie z urny typu A 1, sa zjavne rovná P(A 1) = 1/6, z urny typu A 2: P(A 2) = 2/6 == 1/3 a z urny typu A 3: P(A 3) = 3/6 = 1/2. Ak je lopta prevzatá z urny typu A 1, potom P(B/A 1) = 2/3, ak z urny typu A 2, potom P(B/A 2) = 1/2, a ak z urny typu A 3, potom P(B/A 3) = 1/3. teda

P(B) = (1/6) (2/W)+ (1/3) (1/2) + (1/2) (1/3) = 4/9.

Podmienená pravdepodobnosť Р(В/А) má všetky vlastnosti pravdepodobnosti Р(В/А)³0, В(В/В) = 1 a P(В/А) je aditívna.

Pretože

Р(А·В) == Р(В/А)-Р(А) = Р(А/В)·Р(В) ,

potom z toho vyplýva, že ak A nezávisí od B, teda ak

P(A/B) = P(A),

potom B nezávisí od A, t.j. P(B/A) = P(B).

V prípade nezávislých udalostí má teda veta o násobení najjednoduchšiu formu:

Р(А·В) = Р(А)·Р(В) (1,3)

Ak sú udalosti A a B nezávislé, potom je nezávislý aj každý z nasledujúcich párov udalostí: (A,B), (A,B), (A,B). Uistime sa napríklad, že ak sú nezávislé A a B, potom sú nezávislé aj A a B. Keďže P(B/A) + P(B/A) = I, potom pri zohľadnení podmienky nezávislosti udalostí A a B, t.j. podmienky P(B/A) = P(B), z toho vyplýva: P(B/A) = 1 - P(B) = P(B).

Udalosti môžu byť párovo nezávislé, ale ukáže sa, že sú závislé v súhrne. V tejto súvislosti sa zavádza aj pojem vzájomnej nezávislosti: udalosti A 1,..., A n sa nazývajú vzájomne nezávislé, ak pre ktorúkoľvek podmnožinu E indexov 1,2,...,n platí rovnosť.

V praxi je často potrebné odhadnúť pravdepodobnosti hypotéz po vykonaní určitého testovania. Nech sa napríklad udalosť B môže realizovať len s jednou z nezlučiteľných udalostí A 1,...,A n, t.j. a nech nastane udalosť B. Je potrebné nájsť pravdepodobnosť hypotézy (udalosti) A i, za predpokladu

čo sa stalo B. Z vety o násobení

P(A i B) = P(B) P(A i /B) = P(A i) P(B/A i)

Z toho vyplýva, že vezmeme do úvahy vzorec celkovej pravdepodobnosti pre P(B).

Tieto vzorce sa nazývajú Bayesove vzorce.

Príklad 1.3. V príklade 1.2 povedzme, že je vytiahnutá biela guľa a chcete určiť pravdepodobnosť, že pochádza z urny typu 3.

V ďalšom budeme prvok sigma algebry nazývať náhodná udalosť.

Kompletná skupina podujatí

Kompletná skupina udalostí je úplná skupina podmnožín, z ktorých každá je udalosťou. Hovorí sa, že udalosti celej skupiny sú predelením priestoru elementárnych výsledkov.

Funkcia konečnej aditívy

Nechaj A – algebra. Funkcia , zobrazenie algebry na množinu reálnych čísel

sa nazýva konečne aditívny, ak pre akúkoľvek konečnú množinu párovo nekompatibilných udalostí

Funkcia počítania

Nechaj F– algebra alebo sigma algebra. Funkcia

sa nazýva spočítateľne aditívny, ak je konečne aditívny a pre akúkoľvek spočítateľnú množinu párovo nekompatibilných udalostí

Miera je nezáporná spočítateľne aditívna funkcia definovaná na sigma algebre, ktorá spĺňa podmienku

Záverečné opatrenie

Zmerajte sa nazýva konečný ak

Pravdepodobnosť

Pravdepodobnosť (miera pravdepodobnosti) P toto je opatrenie také, že

Odteraz prestaneme merať pravdepodobnosť v percentách a začneme ju merať v reálnych číslach od 0 do 1.

sa nazýva pravdepodobnosť udalosti A

Priestor pravdepodobnosti

Pravdepodobnostný priestor je súbor troch objektov – priestor elementárnych výsledkov, sigma algebra udalostí a pravdepodobnosť.

Toto je matematický model náhodného javu alebo objektu.

Paradox definovania pravdepodobnostného priestoru

Vráťme sa k pôvodnej formulácii problému v teórii pravdepodobnosti. Naším cieľom bolo vybudovať matematický model náhodného javu, ktorý by pomohol kvantifikovať pravdepodobnosti náhodných udalostí. Zároveň na zostrojenie pravdepodobnostného priestoru je potrebné špecifikovať pravdepodobnosť, t.j. sa zdá byť presne to, čo hľadáme (?).

Riešením tohto paradoxu je úplne definovať pravdepodobnosť ako funkciu na všetkých prvkoch F, väčšinou ho stačí nastaviť len na niektoré udalosti z F, ktorého pravdepodobnosť je pre nás ľahké určiť , a potom pomocou jeho spočítateľnej aditivity vypočítajte ľubovoľný prvok F.

Nezávislé udalosti

Dôležitým pojmom v teórii pravdepodobnosti je nezávislosť.

Udalosti A a B sa nazývajú nezávislé ak

tie. pravdepodobnosť, že tieto udalosti nastanú súčasne, sa rovná súčinu ich pravdepodobností.

Udalosti v spočítateľnej alebo konečnej množine sa považujú za párovo nezávislé, ak je niektorý z nich párom nezávislých udalostí

Spolu

Udalosti v spočítateľnej alebo konečnej množine sa považujú za kolektívne nezávislé, ak pravdepodobnosť, že sa akákoľvek ich konečná podmnožina vyskytne súčasne, sa rovná súčinu pravdepodobností udalostí tejto podmnožiny.

Je zrejmé, že kolektívne nezávislé udalosti sú nezávislé aj vo dvojiciach. Opak nie je pravdou.

Podmienená pravdepodobnosť

Podmienená pravdepodobnosť udalosti A za predpokladu, že udalosť B nastala, je množstvo

Podmienenú pravdepodobnosť zatiaľ zadefinujeme len pre udalosti B, ktorých pravdepodobnosť sa nerovná nule.

Ak sú udalosti A a B nezávislé, potom

Vlastnosti a vety

Najjednoduchšie vlastnosti pravdepodobnosti

Vyplýva to zo skutočnosti, že A a nie-A sú opačné a vlastnosti konečnej aditivity pravdepodobnosti	Pravdepodobnosť opačnej udalosti
Vyplýva to z toho, že nemožné a isté udalosti sú protiklady	Pravdepodobnosť nemožnej udalosti
Vyplýva to zo skutočnosti, že	Monotónnosť pravdepodobnosti a v tomto prípade
Vyplýva to z toho, že každá udalosť je obsiahnutá v priestore elementárnych výstupov	Obmedzená pravdepodobnosť
Vyplýva z prezentácie	Pravdepodobnosť kombinácie udalostí
Vyplýva z predchádzajúceho	Poloaditivita pravdepodobnosti
Vyplýva z počítateľnej aditivity pravdepodobnosti a definície kompletnej skupiny udalostí	Pravdepodobnosti celej skupiny udalostí Súčet pravdepodobností celej skupiny udalostí je 1.
Vyplýva z počítateľnej aditivity pravdepodobnosti, definície úplnej skupiny udalostí a definície podmienenej pravdepodobnosti	Vzorec úplnej pravdepodobnosti Ak … je kompletná skupina podujatí, potom pre každú udalosť A Ak sú pravdepodobnosti všetkých udalostí v celej skupine väčšie ako nula, potom tiež
Vyplýva z predchádzajúceho vzorca a definície podmienenej pravdepodobnosti	Bayesov vzorec Ak … je úplná skupina udalostí s nenulovou pravdepodobnosťou, potom pre každú udalosť A s nenulovou pravdepodobnosťou

Táto kapitola stručne predstavuje vývoj teórie pravdepodobnosti od klasickej schémy s konečným počtom rovnako možných výsledkov k axiomatickej konštrukcii. Uvádzajú sa najdôležitejšie pojmy teórie pravdepodobnosti: priestor elementárnych dejov, náhodných dejov a akcií na nich, pole dejov, pravdepodobnosť, pravdepodobnostný priestor.

KLASICKÉ VYMEDZENIE PRAVDEPODOBNOSTI

Spoľahlivý zavolať udalosť, ktorá určite nastane, keď je splnená určitá sada podmienok. Napríklad voda zamrzne za normálnych atmosférických podmienok a 0 °C. resp. nemožné je udalosť, ktorá za určitých podmienok nikdy nenastane. Náhodný Je prirodzené pomenovať udalosť, ktorá za určitých podmienok môže, ale nemusí nastať. Mierou možnosti výskytu takejto udalosti je jej pravdepodobnosť. Určité a nemožné udalosti možno považovať za extrémne špeciálne prípady náhodných udalostí.

V nasledujúcom texte budeme náhodné udalosti označovať veľkými latinskými písmenami. A, B, C,.......Spoľahlivú udalosť označujeme písmenom?2, nemožnú udalosť symbolom 0. Uveďme si teraz niektoré vzťahy medzi udalosťami.

Dve udalosti A A IN sú nezlučiteľné, ak výskyt jedného z nich vylučuje výskyt druhého. Súčet udalostíA, B- toto je tretie podujatie C = A + B, ktorá nastane, keď nastane buď udalosť A, alebo udalosť IN, alebo oboje naraz. Produkovanie podujatíA, B- toto je taká udalosť C = AB, ktorá nastane, keď dôjde k udalosti A, a udalosť IN. Udalosť A naopak udalosť A, ak je to nezlučiteľné s udalosťou A a spolu s ním tvorí spoľahlivú udalosť A + A = Q..

Ukážme, ako možno zostaviť matematické modely javov s konečným počtom výsledkov. Jedným z takýchto modelov je model známy ako klasická pravdepodobnostná schéma. V tejto schéme je určenie pravdepodobnosti založené na ekvimožnosti ktoréhokoľvek z konečného počtu výsledkov, čo je typické pre prvé pokusy o výpočet šancí v hazardných hrách.

V prípade kociek je teda pri jednom hode rovnako možné, že sa objaví ktorákoľvek zo šiestich tvárí, na ktorých sú vyznačené čísla 1, 2, 3, 4, 5, 6. Označme tieto rovnako možné výsledky , alebo elementárne udalosti podľa C0|, (% (% a> 4, CO5, (%) Pravdepodobnosť, že sa to stane nie jednému výsledku, ale jednému z dvoch, napríklad C0[, alebo (pr, je Týmto spôsobom je možné určiť pravdepodobnosť výskytu akejkoľvek zloženej udalosti A, pozostávajúce z niekoľkých elementárnych, tzv zložený diania.

Vo všeobecnom prípade, keď existuje P rovnako možné elementárne udalosti (Oi, ..., сс, pravdepodobnosť akejkoľvek zloženej udalosti A, skladajúci sa z T elementárne udalosti,...,co, je definované ako

pomer počtu elementárnych udalostí v prospech udalosti A, k celkovému počtu elementárnych udalostí, t.j.

Napríklad v prípade kocky pravdepodobnosť udalosti A, pozostávajúce z hodenia párnym počtom bodov (t.j. A= (co^, (% ou)), rovná sa P(A) = 3 / b = V 2, keďže v príp A obsahuje tri základné udalosti a celkový počet základných udalostí je 6.

Z klasickej definície pravdepodobnosti predovšetkým vyplýva, že pravdepodobnosť úplnej udalosti?2 vrátane všetkých P elementárne udalosti sa rovnajú jednote:

Ale potom je úplná udalosť?2, ktorá pozostáva z objavenia sa ktorejkoľvek z celej množiny elementárnych udalostí?2 = (co, ..., w,), spoľahlivá udalosť, pretože sa nevyhnutne vyskytuje. Preto sa pravdepodobnosť spoľahlivej udalosti rovná jednej.

Ak sa udalosti považujú za podmnožiny množiny elementárnych udalostí, potom vyššie uvedené vzťahy medzi udalosťami možno interpretovať ako vzťahy medzi množinami. Nekompatibilné udalosti sú tie udalosti, ktoré neobsahujú spoločné prvky. Sum (A + B) a produkciu podujatí A B- to je respektíve ich spojenie A U IN a križovatka A P IN, opačná udalosť A- prídavok A. Záznam A s IN znamená, že v IN obsahuje všetky elementárne udalosti z A a môžu obsahovať elementárne udalosti, ktoré nie sú zahrnuté A. Ak AczBnBcz A, potom A = B.

V prípade klasickej definície pravdepodobnosti platí nasledujúca veta na sčítanie pravdepodobností:

Veta 1.1. Ak dve zložené udalosti L= (co,.co, ) a B =(s y,..., s j) sú nezlučiteľné, potom pravdepodobnosť kombinovanej udalosti C = A U IN sa rovná súčtu pravdepodobností týchto dvoch udalostí.

Skutočne, pravdepodobnosti udalostí A A IN sú rovnaké resp t/n A c/p, a udalosť C = A U IN= (co,.,..., co,- ,co,-,...,co, ) obsahovať

t + k elementárne deje, keďže podľa podmienok vety sa medzi elementárne deje (с,.,...,сo, ) nenachádza ani jeden, ktorý by bol zaradený.

do množiny (С0у,..., С0д), teda podľa klasickej definície jej pravdepodobnosť

Z vety o sčítaní vyplýva, že preto

Z toho najmä vyplýva, že pravdepodobnosť nemožnej udalosti, ktorá je opakom spoľahlivej udalosti, sa rovná nule:

Schéma urny

Klasická schéma je napriek všetkým svojim obmedzeniam vhodná na riešenie množstva čisto praktických problémov.

Zoberme si napríklad určitú sadu objemových prvkov N. Môžu to byť výrobky, z ktorých každý je vhodný alebo chybný; alebo semená, z ktorých každé môže alebo nemusí byť životaschopné; alebo voličov, ktorí môžu hlasovať za alebo proti kandidátovi atď. Situácie tohto druhu popisuje urnový diagram: urna obsahuje N gule, z toho M biele a (N - M)čierna.

Predstavme si, že existujú iba deštruktívne prostriedky na testovanie vhodnosti každého produktu. Napríklad elektrická lampa sa považuje za vhodnú, ak uplynie aspoň určitý počet hodín, kým vlákno vyhorí, a to možno určiť iba priamym testovaním. V tomto prípade môžete preskúmať iba časť produktov a nie celú šaržu.

Takže z urny obsahujúcej N gule obsahujúce neznáme číslo M biele guľôčky, odoberie sa objemová vzorka P.

Je potrebné určiť pravdepodobnosť, že vzorka nájde T biele gule. Určte najmä pravdepodobnosť, že t/n blízko M/N tie. Je zastúpenie populácie získané zo vzorky spoľahlivé? Posledný z týchto dvoch formulovaných problémov, ako bude ukázané nižšie, je problémom matematickej štatistiky.

Prvou úlohou je aplikovať klasickú definíciu pravdepodobnosti. V skutočnosti v opísanej situácii nemá každá vzorka žiadnu prednosť pred žiadnou inou, t.j. všetky sú rovnako možné. Spočítajme počet všetkých možných objemových vzoriek P od N prvkov. Ako je známe z kombinatoriky, množstvo spôsobov, ktorými si človek môže vybrať P prvkov z ich celkového počtu

N, rovná počtu kombinácií N podľa l, t.j. s"= ^", kde /V! =

N n (N - a)!'

1 2-N. Celkový počet rovnako možných výsledkov je teda C„N. Poďme zistiť, koľko výsledkov z celkového počtu elementárnych výsledkov je v prospech podujatia A, tie. prítomnosť v objeme vzorky P počet bielych loptičiek T. Počet spôsobov, ktorými môžete M odstráňte biele guľôčky T kusov sa rovná, a počet spôsobov na výber ( N-M)čierne gule („- T) kusy rovnaké S^~_ t m. Preto počet výsledkov priaznivých pre udalosť A, rovná sa S^S^~_ t m, teda,

pravdepodobnosť udalosti A, rovný pomeru počtu priaznivých výsledkov k ich celkovému počtu je:

Príklad 1.1. Nech existuje šarža pozostávajúca z 500 produktov vrátane dvoch chybných. Aká je pravdepodobnosť, že vo vzorke 5 produktov nenájdete ani jeden chybný výrobok?

Použime vzorec (1.1.3):

Aký záver možno vyvodiť o populácii, ak sa vo vzorke nenájde jediný chybný výrobok? Zdá sa prirodzené rozšíriť tento záver na celú populáciu. Pri vzorke 1 % populácie sme teda dostali absolútne nesprávnu odpoveď s pravdepodobnosťou 0,98: v populácii sa nevyskytujú žiadne chybné výrobky. Tento záver z veľmi jednoduchého problému by nemal odradiť, ale naopak pomôcť správne vyvodiť štatistické závery zo vzorových údajov. V posudzovanom prípade by sme sa, samozrejme, nemali pokúšať odhadnúť podiel chybných výrobkov ( N - M)/N podľa ich podielu vo vzorke (P - t)/p, a zjavne je vhodné uviesť interval, ktorý by mal s určitou spoľahlivosťou pokrývať neznámy podiel chybných výrobkov (N-M)/N. Tento interval je prirodzené nastaviť vo formulári

--- ± 8, kde šírka intervalu je 8 (p, q) je funkciou objemu P

vzorky P a úroveň spoľahlivosti c.

Okrem toho je prirodzené očakávať (ako uvidíme neskôr), že šírka intervalu, ak sú ostatné veci rovnaké, klesá s rastúcou veľkosťou vzorky a zvyšuje sa so zvyšujúcou sa úrovňou spoľahlivosti.

Ako je uvedené vyššie, hovoríme o pravdepodobnosti R(L) ako miera možnosti výskytu náhodnej udalosti A má zmysel len vtedy, ak je splnený určitý súbor podmienok. Keď sa zmenia podmienky, zmení sa aj pravdepodobnosť. Teda ak k množine podmienok, za ktorých bola pravdepodobnosť študovaná P(A), pridať novú podmienku spočívajúcu vo výskyte udalosti IN, potom dostaneme inú hodnotu pravdepodobnosti P(A/B) - podmienené pravdepodobnosť udalosti A za predpokladu, že udalosť nastala IN. Pravdepodobnosť P(A) na rozdiel od kondicionálu budeme volať bezpodmienečné.

Odvoďme teraz vzorec podmienenej pravdepodobnosti. Nechajte udalosti A A IN priazeň teak elementárne výsledky z "; potom podľa vzorca (1.1.1) sú ich bezpodmienečné pravdepodobnosti rovnaké t/n A c/p resp. Nechajte udalosť A za predpokladu, že udalosť IN stalo sa, láskavosť G elementárne výsledky, potom podľa vzorca (1.1.1) podmienená pravdepodobnosť udalosti A

Delenie čitateľa a menovateľa podľa P, dostaneme vzorec podmienenej pravdepodobnosti:

pretože udalosť A P IN zodpovedá G výsledky a teda g/p- jeho bezpodmienečná pravdepodobnosť. Udalosť A volal nezávislý od IN, ak sa jej podmienená pravdepodobnosť rovná nepodmienenej, t.j. P(A/B) = P(A), Navyše zo vzorca (1.1.4) dostaneme

tie. vlastnosť nezávislosti je recipročná a pre nezávislé udalosti sa pravdepodobnosť ich prieniku rovná súčinu ich pravdepodobností. Vzorec (1.1.4), napísaný vo formulári

volal vzorec násobenia pre závislé udalosti, a vzorec (1.1.5) - multiplikačná veta pre nezávislé udalosti.

Napríklad pri experimente s cenou hazardných hier: nechajte udalosť A pozostáva z vyvalcovania počtu bodov deliteľných tromi, t.j. A =(s, s %) a udalosť IN- pri strate párneho počtu bodov, t.j. IN= (co^, sch, ssts); Potom A P IN= с 6 a pomocou vzorca podmienenej pravdepodobnosti (1.1.4) dostaneme:

ale P(A) = 2/6 = teda Ouz P(A/B) = P(A), tie. diania Ach B nezávislý.

Hovorí sa, že existuje pravdepodobnostný (matematický) model náhodnej skúsenosti, ak sú skonštruované:

1) priestor elementárnych udalostí E

2) pole udalosti TO

3) rozdelenie pravdepodobnosti na poli udalostí TO, t.j. pre každú udalosť A z poľa udalostí K je daná pravdepodobnosť R(A)

Tri predmety ( E, TO, R) sa nazýva pravdepodobnostný priestor (model) daného náhodného experimentu.

Ak E– diskrétne, teda ( E, TO, R) sa nazýva diskrétny.

Ak E– nepretržite, potom ( E, TO, R) sa nazýva spojitý.

§6. Klasický pravdepodobnostný model.

Pravdepodobný model sa nazýva klasický, ak sú splnené tieto 2 podmienky:

1) priestor elementárnych udalostí je diskrétny konečný, pozostáva z n elementárne udalosti E={e 1, e 2, …, e n}

2) - pravdepodobnosti všetkých elementárnych udalostí sú rovnaké

Pravdepodobnostný priestor je definovaný takto:

pre daný priestor E pole udalosti TO- existuje množina všetkých podmnožín E a pravdepodobnosti R(A) na akúkoľvek udalosť A od TO sú vyjadrené prostredníctvom pravdepodobnosti elementárnych udalostí.

Podľa axiómy 3:

§7. Geometrické pravdepodobnosti.

Klasický model: diskrétny pravdepodobnostný model

Geometrický model: spojitý pravdepodobnostný model

(E, TO, R)

E– súvislý priestor, množina bodov oblasti na rovine

TO={A}

A od E: A- dĺžka; A- námestie; A- objem

Tieto pravdepodobnostné priestory slúžia ako model pre problémy tohto typu:

Bod je hodený náhodne, je pozorovaná udalosť: bod vstupuje do oblasti A. „Náhodný“ znamená: pravdepodobnosť udalosti A závisí od oblasti A, nezávisí od jeho tvaru a polohy E.

§8. Veta o sčítaní pravdepodobností.

(Nepliesť si s axiómou o sčítaní pravdepodobností).

Veta. Daný priestor pravdepodobnosti ( E,TO, R), existujú udalosti A, IN E.

Podľa axiómy 3:

Odčítaním 2. rovnosti od 1. rovnosti dostaneme atď.

Poznámka: Axióm 3 znamená, že ak udalosti tvoria kompletnú skupinu,

I - celá skupina

§9. Podmienené pravdepodobnosti.

Príklad.

Trikrát sa hodí minca. Výsledok: číslo alebo erb.

A– erb raz vypadol;

Dovoľte, aby sa ako výsledok zážitku stala udalosť IN. Počet vyžrebovaných emblémov je nepárny.

Potom ak IN Stalo, .

Uvažujme o všeobecnejšej situácii: nech klasický pravdepodobnostný model zodpovedá nejakej náhodnej skúsenosti.

, n elementárne udalosti

r zahŕňa aj elementárne udalosti A a v IN.

Poďme zistiť pravdepodobnosť udalosti A za predpokladu, že sa tak stalo IN. Ak IN stalo, potom je jeho pravdepodobnosť 1, potom .

Udalosť A nastane, ak dôjde k elementárnej udalosti, ktorá patrí do križovatky, existujú iba r.

Definícia: nech je daný priestor pravdepodobnosti ( E, TO, R); A, IN- diania. Ak , potom podmienená pravdepodobnosť udalosti A za predpokladu, že udalosť IN stalo, nazývané vzťah

Veta o násobení pravdepodobnosti.

Pravdepodobnosť dvoch udalostí sa rovná súčinu pravdepodobnosti jednej z udalostí a podmienenej pravdepodobnosti druhej, vypočítanej za podmienky, že nastala prvá udalosť.

Pravdepodobnosť vzniku n udalostí.

Príklad.

V urne je 12 loptičiek: 5 bielych, 7 čiernych. 2 tváre vyťahujú jednu loptičku po druhej. Nájdite pravdepodobnosť, že obe gule sú biele.

A– Peťa má bielu guľu

IN– Máša má bielu guľu

Príklad.

Pravdepodobnosť zasiahnutia cieľa pri streľbe z 1. a 2. dela je rovnaká:

Nájdite pravdepodobnosť zásahu jednou salvou aspoň jednou zo zbraní.

A– zásah z 1. zbrane

IN– zásah z 2. pištole

A+IN– zásah aspoň z jedného

Závislé a nezávislé udalosti.

Dve udalosti A A IN sa nazývajú nezávislé, ak sa pravdepodobnosť ich súčinu rovná súčinu ich pravdepodobností.

Vlastnosti nezávislých udalostí:

1. Ak P(A)>0, potom nezávislosť A A IN je ekvivalentom rovnosti P(A/B)=P(A). Pravdepodobnosť A nemení, ak IN Stalo.

2 ̊. Ak A A IN sú nezávislé udalosti, potom sú nezávislé.

Z poslednej rovnosti dostaneme:

Príklad.

Skúsenosť: Minca sa hodí 2 krát.

A– erb na 1. hod

IN– strata čísla pri 2. hode

A A IN- nezávislý?

§10. Vzorec celkovej pravdepodobnosti. Bayesove vzorce.

Vzorec celkovej pravdepodobnosti.

Nechajte ( E, TO, R) je model nejakej náhodnej skúsenosti.

H 1, H 2, …, N n- celá skupina.

Ahoj– hypotéza

dôkaz:

pretože Ahoj– párovo nekonzistentné, , podľa axiómy 3.

Príklad.

Sú tam 3 rovnaké urny. Zloženie: 1. – 2 biele, 1 čierne; 2. – 3 biele, 1 čierne; 3. – 2 biele, 2 čierne. Urna sa vyberie náhodne; vyberie sa z neho lopta. Nájdite pravdepodobnosť, že lopta je biela.

hypotézy:

Ahoj- vybraný i- Som urna, i=1,2,3.

A- biela guľa

Bayesove vzorce.

Ak sú pravdepodobnosti hypotéz známe pred experimentom, potom sa nazývajú apriórne pravdepodobnosti hypotéz. Nech je známe, že udalosť A Stalo. Pravdepodobnosť všetkých hypotéz sa mení.

Pravdepodobnosti hypotéz po udalosti A stalo - zadné pravdepodobnosti.

Predpokladajme v podmienkach predchádzajúceho príkladu, že je nakreslená biela guľa. Nájdite pravdepodobnosť, že loptičku vytiahnete z druhej urny.

Pravdepodobnostný priestor je matematický model náhodného experimentu (zážitku) v axiomatike A. N. Kolmogorova. Pravdepodobnostný priestor obsahuje všetky informácie o vlastnostiach náhodného experimentu potrebné na jeho matematickú analýzu pomocou prostriedkov teórie pravdepodobnosti. Akýkoľvek problém v teórii pravdepodobnosti sa rieši v rámci určitého pravdepodobnostného priestoru, ktorý je na začiatku úplne špecifikovaný. Problémy, v ktorých nie je úplne špecifikovaný pravdepodobnostný priestor a chýbajúce informácie sa musia získať z výsledkov pozorovania, patria do oblasti matematickej štatistiky.

Definícia

Priestor pravdepodobnosti je trojica, kde:

Všimnite si, že posledná vlastnosť sigma-aditivity miery je ekvivalentná (s výhradou všetkých ostatných vlastností, vrátane konečnej aditivity) ktorejkoľvek z nasledujúcich vlastností kontinuita opatrenia:

Príklady najčastejšie používaných pravdepodobnostných priestorov

Priestory diskrétnej pravdepodobnosti

Ak je množina elementárnych výsledkov konečná alebo spočítateľná: , potom sa nazýva zodpovedajúci priestor pravdepodobnosti diskrétne. V prípade diskrétnych pravdepodobnostných priestorov sa udalosti zvyčajne považujú za všetky možné podmnožiny. V tomto prípade na nastavenie pravdepodobnosti je potrebné a postačujúce priradiť každému elementárnemu výsledku číslo tak, aby sa ich súčet rovnal 1. Potom je pravdepodobnosť ľubovoľnej udalosti špecifikovaná nasledovne:

Dôležitým špeciálnym prípadom takéhoto priestoru je klasický spôsob udávania pravdepodobností, keď je počet elementárnych výsledkov konečný a všetky majú rovnakú pravdepodobnosť. Potom je pravdepodobnosť akejkoľvek udalosti definovaná ako pomer jej sily (t. j. počtu elementárnych výsledkov, priaznivý danej udalosti) k celkovému počtu základných výsledkov:

.

Vždy je však potrebné pamätať na to, že pre aplikáciu tejto metódy je potrebné sa uistiť, že elementárne výsledky sú skutočne rovnako pravdepodobné. Tá musí byť buď formulovaná ako počiatočná podmienka, alebo táto skutočnosť musí byť striktne odvodená z existujúcich počiatočných podmienok.

Pravdepodobné medzery na čiare

Pravdepodobné priestory na čiare () vznikajú prirodzene pri štúdiu náhodných premenných. V tomto prípade vo všeobecnom prípade už nie je možné považovať žiadne podmnožiny riadku za udalosti, pretože na tak širokej triede je zvyčajne nemožné určiť mieru pravdepodobnosti, ktorá by spĺňala potrebné axiómy. Univerzálna sigma algebra udalostí postačujúca na fungovanie je sigma algebra Borelových množín: najmenšia sigma algebra obsahujúca všetky otvorené množiny. Ekvivalentná definícia je najmenšia sigma algebra obsahujúca všetky intervaly. Univerzálny spôsob, ako špecifikovať mieru pravdepodobnosti na danej sigma algebre, je prostredníctvom distribučnej funkcie náhodnej premennej.

Priestory pravdepodobnosti v konečnej dimenzii

Priestory pravdepodobnosti s mnohými elementárnymi výsledkami prirodzene vznikajú pri štúdiu náhodných vektorov. V tomto prípade je univerzálna sigma algebra udalostí tiež Borelova sigma algebra generovaná všetkými otvorenými množinami. V zásade sa tento prípad príliš nelíši od prípadu jednej priamky.

Podobné články