„Objem lopty“ - Objem parabolického segmentu. Nájdite objem gule vpísanej do pravidelného štvorstenu s hranou 1. Guľa je vpísaná do kužeľa, ktorého polomer základne je 1 a tvoriaca čiara je 2. Úsek gule rovinou umiestnenou vo vzdialenosti 8 cm od stredu gule má polomer 6 cm Objem guľového segmentu s výškou h odrezaného od gule s polomerom R je vyjadrený vzorcom .
„Kruhová guľa guľa“ - Koleso. Chlapci, všetci sa teraz stávate členmi počítačového centra. Analogicky s kruhom vysvetlite, čo je: a) polomer; b) akord; c) priemer gule. Nájdite povrch gule s polomerom 3 m. Priemer. Stred lopty (guľa). Lopta a guľa. Lopta. Pamätajte, ako je definovaný kruh. Skúste definovať guľu pomocou konceptov vzdialenosti medzi bodmi.
„Pravidelné mnohosteny“ - Súčet rovinných uhlov dvadsaťstenu v každom vrchole je 300?. Pravidelné mnohosteny sú „najziskovejšie“ postavy. Súčet rovinných uhlov kocky v každom vrchole je 270?. Pravidelný osemsten. Ikosahedrónovo-dvanásťstenná štruktúra Zeme. Kocka je najstabilnejšia z figúrok. Pravidelný dvanásťsten. Pravidelné konvexné mnohosteny.
„Ples“ – Výskumné aktivity mimo vyučovania. Úloha č.1. Kužeľ. Opakovanie teoretických princípov. Guľa je vpísaná do pravidelného štvoruholníkového ihlana. Povrch gule sa nazýva guľa. Pyramída. V našej práci sme: Výskumná prax, proces spracovania témy. Práca v kluboch a voliteľné predmety.
„Vpísaný a opísaný kruh“ - ARCHIMEDES (287-212 pred Kr.) - starogrécky matematik a mechanik. Opísané a vpísané kruhy. Na problematické otázky vieme odpovedať. Kruh. So zvyšujúcim sa počtom strán pravidelného mnohouholníka sa zväčšuje uhol mnohouholníka. Starovekí matematici neovládali pojmy matematickej analýzy.
„Sféra a lopta“ - Úsek prechádzajúci stredom lopty je veľký kruh. (diametrálny rez). Astronomické pozorovania nebeskej klenby vždy vyvolávali obraz gule. Guľa bola vždy široko používaná v rôznych oblastiach vedy a techniky. Dotyková rovina ku gule. Všeobecné pojmy. Na povrchu lopty sú tri body.
Hovorí sa, že mnohosten je vpísaný do gule, ak všetky jeho vrcholy patria do tejto gule. Samotná guľa je údajne ohraničená okolo mnohostenu.
Veta. Guľa môže byť opísaná okolo pyramídy vtedy a len vtedy, ak je možné opísať kruh okolo základne tejto pyramídy.
Mnohosten vpísaný do gule
Veta. Guľa môže byť opísaná v blízkosti hranola vtedy a len vtedy, ak je možné opísať kruh v blízkosti základne tohto hranola. Jeho stredom bude bod O, čo je stred segmentu spájajúceho stredy kružníc opísaných okolo základov hranola. Polomer gule R vypočítané podľa vzorca
Kde h- výška hranola, r– polomer opísanej kružnice okolo základne hranola.
V režime snímky sa odpovede a riešenia zobrazia po kliknutí myšou
Cvičenie 1
Je možné opísať guľu okolo pravouhlého rovnobežnostena?
Odpoveď: Áno. Jeho stred je priesečníkom uhlopriečok a polomer sa rovná polovici uhlopriečky rovnobežnostena.
Cvičenie 2
Je možné opísať guľu okolo nakloneného rovnobežnostena, ktorého všetky strany sú kosoštvorce?
odpoveď: Nie.
Cvičenie 3
Je možné opísať guľu okolo nakloneného hranola?
odpoveď: Nie.
Cvičenie 4
Môže byť stred gule opísanej okolo hranola umiestnený mimo hranola?
Odpoveď: Áno, ak základňa hranola je tupý trojuholník.
Cvičenie 5
Môže byť stred gule opísanej v blízkosti pyramídy umiestnený mimo tejto pyramídy?
Odpoveď: Áno.
Guľa opísaná okolo kocky
V režime snímky sa odpovede a riešenia zobrazia po kliknutí myšou
Cvičenie 1
Nájdite polomer gule opísanej jednotkovej kocke.
Cvičenie 2
Nájdite hranu kocky vpísanú do jednotkovej gule.
Cvičenie 3
Nájdite polomer gule opísanej okolo pravouhlého rovnobežnostena, ktorého hrany siahajúce z jedného vrcholu sú rovné 1, 2, 3.
Cvičenie 4
Dve hrany kvádra vybiehajúce z toho istého vrcholu sú 1 a 2. Polomer opísanej gule je 1,5. Nájdite tretiu hranu vychádzajúcu z rovnakého vrcholu rovnobežnostena.
Guľa ohraničená okolo štvorstenu
V režime snímky sa odpovede a riešenia zobrazia po kliknutí myšou
Cvičenie 1
Nájdite polomer gule opísanej jednotke štvorstenu.
Riešenie. V štvorstene SABC máme:
BE=SE=
V pravouhlom trojuholníku OBE máme:
R, nájdeme
Cvičenie 2
Nájdite okraj pravidelného štvorstenu vpísaného do jednotkovej gule.
Cvičenie 3
Základňa pyramídy je pravidelný trojuholník, ktorého strana sa rovná 3. Jedna z bočných hrán sa rovná 2 a je kolmá na rovinu základne. Nájdite polomer opísanej gule.
Riešenie. Nechaj O- stred opísanej gule, Q– stred kruhu opísaného okolo základne, E– stredný S.C.. Štvoruholník CEOQ- obdĺžnik, v ktorom CE= 1, CQ= teda R=OC= 2.
odpoveď: R = 2.
Cvičenie 4
Na obrázku je pyramída SABC, pre ktoré okraj S.C. rovná 2 a kolmá na rovinu základne ABC, roh ACB rovná 90 o, AC = BC = 1. Zostrojte stred gule opísanej okolo tejto pyramídy a nájdite jej polomer.
Riešenie. Cez stred D rebrá AB nakreslíme rovnobežnú čiaru S.C.. Cez stred E rebrá S.C. nakreslíme rovnobežnú čiaru CD. Ich priesečník O bude požadovaný stred opísanej gule. V pravouhlom trojuholníku OCD máme:
OD=CD= Podľa vety
Pytagoras, nájdeme
Cvičenie 5
Nájdite polomer gule opísanej okolo pravidelného trojuholníkového ihlanu, ktorého bočné hrany sú rovné 1 a rovinné uhly na vrchole sú rovné 90°.
Riešenie. V štvorstene SABC máme:
AB=AE= SE =
V pravouhlom trojuholníku OAE máme:
Riešenie tejto rovnice pre R, nájdeme
Guľa opísaná okolo trojuholníkového hranola
V režime snímky sa odpovede a riešenia zobrazia po kliknutí myšou
Cvičenie 1
Nájdite polomer gule opísanej okolo pravidelného hranola, ktorého všetky hrany sú rovné 1.
Riešenie. Máme:
A.A. 1 = 1, AD=OD=
teda R=AO=
Cvičenie 2
Guľa s polomerom 2 je opísaná okolo pravidelného trojuholníkového hranola, ktorého strana sa rovná 1. Nájdite výšku hranola.
Riešenie. Máme: A.O. = 2, OD=
teda h = AA 1 = 2 AO=
Cvičenie 3
Guľa s polomerom 1 je opísaná okolo pravidelného trojuholníkového hranola, ktorého výška je 1. Nájdite stranu podstavy hranola.
Riešenie. Máme: A.O. = 1 , OD=
teda AD=
znamená, AB =
Cvičenie 4
Nájdite polomer gule opísanej okolo pravého trojuholníkového hranola, ktorého základňa je pravouhlý trojuholník s nohami rovnými 1 a výškou hranola rovnou 2.
Riešenie. Polomer gule sa rovná polovici uhlopriečky A 1 C obdĺžnik ACC 1 A 1 .
Máme: A.A. 1 = 2, AC =
teda R=
Guľa opísaná okolo pravidelného šesťuholníkového hranola
V režime snímky sa odpovede a riešenia zobrazia po kliknutí myšou
Cvičenie
Nájdite polomer gule opísanej okolo pravidelného šesťhranného hranolu, ktorého všetky hrany sú rovné 1.
Riešenie. Máme AG = 1, OG=
teda R=AO=
Guľa opísaná okolo pravidelnej štvoruholníkovej pyramídy
V režime snímky sa odpovede a riešenia zobrazia po kliknutí myšou
Cvičenie
Nájdite polomer gule opísanej okolo pravidelného štvorbokého ihlanu, ktorého všetky hrany sú rovné 1.
Guľa opísaná okolo pravidelného šesťhranného ihlana
V režime snímky sa odpovede a riešenia zobrazia po kliknutí myšou
Cvičenie
Nájdite polomer gule opísanej okolo pravidelnej 6-uholníkovej pyramídy, ktorej základné hrany sa rovnajú 1 a bočné hrany sa rovnajú 2.
Riešenie. Trojuholník S.A.D.– rovnostranný so stranou 2. Polomer R opísaná guľa sa rovná polomeru opísanej kružnice trojuholníka S.A.D.. teda
Guľa ohraničená okolo osemstenu
V režime snímky sa odpovede a riešenia zobrazia po kliknutí myšou
Cvičenie
Nájdite polomer gule opísanej jednotke osemstenu.
Riešenie. Polomer R opísaná guľa sa rovná polovici uhlopriečky štvorca A B C D so stranou 1. Preto
Guľa ohraničená okolo dvadsaťstenu
V režime snímky sa odpovede a riešenia zobrazia po kliknutí myšou
Cvičenie
Nájdite polomer gule opísanej okolo jednotky dvadsaťsten.
Riešenie. V obdĺžniku ABCD AB = CD = 1, B.C. A AD – uhlopriečky pravidelných päťuholníkov so stranami 1. Preto
BC=AD=
Podľa Pytagorovej vety AC =
Potrebný polomer sa rovná polovici tejto uhlopriečky, t.j.
Cvičenie
Nájdite polomer gule opísanej okolo jednotky dvanásťsten.
Riešenie. A B C D E- pravidelný päťuholník so stranou
V obdĺžniku ACGF AF=CG= 1, A.C. A FG – päťuholníkové uhlopriečky A B C D E a preto AC=FG=
Podľa Pytagorovej vety
FC= Požadovaný polomer
rovná polovici tejto uhlopriečky, t.j.
Cvičenie
Obrázok znázorňuje skrátený štvorsten získaný odrezaním rohov pravidelného štvorstenu trojuholníkových ihlanov, ktorých strany sú pravidelné šesťuholníky a trojuholníky. Nájdite polomer gule opísanej okolo zrezaného štvorstenu, ktorého hrany sa rovnajú 1.
Cvičenie
Obrázok znázorňuje zrezanú kocku získanú odrezaním trojuholníkových ihlanov z rohov kocky, ktorých strany sú pravidelné osemuholníky a trojuholníky. Nájdite polomer gule opísanej okolo zrezanej kocky, ktorej hrany sa rovnajú 1.
Cvičenie
Obrázok znázorňuje skrátený osemsten získaný odrezaním trojuholníkových ihlanov z rohov osemstenu, ktorých strany sú pravidelné šesťuholníky a trojuholníky. Nájdite polomer gule opísanej okolo zrezaného osemstenu, ktorého hrany sa rovnajú 1.
Cvičenie
Obrázok znázorňuje skrátený dvadsaťsten získaný odrezaním rohov dvadsaťstena päťuholníkových pyramíd, ktorých strany sú pravidelné šesťuholníky a päťuholníky. Nájdite polomer gule opísanej okolo skráteného dvadsaťstenu, ktorého hrany sa rovnajú 1.
Cvičenie
Na obrázku je znázornený skrátený dvanásťsten získaný odrezaním trojuholníkových ihlanov z rohov dvanástnika, ktorých čelné plochy sú pravidelné desaťuholníky a trojuholníky. Nájdite polomer gule opísanej okolo skráteného dvanásťstena, ktorého hrany sa rovnajú 1.
Cvičenie
Nájdite polomer gule opísanej jednotke kuboktaedrón
Riešenie. Pripomeňme, že kuboktaedrón sa získa z kocky odrezaním pravidelných trojuholníkových ihlanov s vrcholmi na vrcholoch kocky a bočnými hranami rovnými polovici hrany kocky. Ak sa hrana osemstenu rovná 1, potom sa hrana príslušnej kocky rovná polomeru opísanej gule sa rovná vzdialenosti od stredu kocky po stred jej hrany, t.j. rovná sa 1.
odpoveď: R = 1.
Mnohosten vpísaný do gule Konvexný mnohosten sa nazýva vpísaný, ak všetky jeho vrcholy ležia na nejakej gule. Táto guľa sa nazýva popísaná pre daný mnohosten. Stred tejto gule je bod rovnako vzdialený od vrcholov mnohostenu. Je to priesečník rovín, z ktorých každá prechádza stredom hrany mnohostenu kolmo na ňu.
Vzorec na nájdenie polomeru opísanej gule Nech SABC je ihlan s rovnakými bočnými hranami, h je jeho výška, R je polomer kružnice opísanej základni. Nájdite polomer opísanej gule. Všimnite si podobnosť pravouhlých trojuholníkov SKO1 a SAO. Potom S01/SA = KS/SO; R 1 = KS · SA/SO Ale KS = SA/2. Potom R1 = SA2/(2SO); R1 = (h2 + R2)/(2h); R1 = b2 /(2h), kde b je bočná hrana.
Rovnobežník vpísaný do gule Veta: Guľu možno opísať okolo kvádra práve vtedy, ak je kváder pravouhlý, pretože v tomto prípade je rovný a okolo jeho základne možno opísať kruh - rovnobežník (keďže základňa je obdĺžnik).
Úloha 1 Nájdite polomer gule opísanej okolo pravidelného štvorstenu s hranou a. Roztok: S01 = SA2/(2SO); SO = = = a S01 = a2/(2a) = a/4. Odpoveď: SO 1 = a /4. Zostrojme najprv obraz stredu opísanej gule pomocou obrazu pravidelného štvorstenu SABC. Nakreslíme apotémy SD a AD (SD = AD). V rovnoramennom trojuholníku ASD je každý bod strednej DN rovnako vzdialený od koncov úsečky AS. Preto je bod O 1 priesečníkom výšky SO a úsečky DN. Pomocou vzorca z R 1 = b 2 /(2h) dostaneme:
Úloha 2 Riešenie: Pomocou vzorca R 1 =b 2 /(2h) nájdeme polomer opísanej gule, nájdeme SC a SO. SC = a/(2sin(a/2)); SO 2 = (a/(2sin(α /2)) 2 – (a /2)2 = = a 2 /(4sin 2 (α /2)) – 2a 2 /4 = = a 2 /(4sin 2 ( α /2)) · (1 – 2sin 2 (α /2)) = = a 2 /(4sin 2 (α /2)) · cos α V pravidelnej štvorhrannej pyramíde sa strana podstavy rovná a, a rovinný uhol na vrchole je rovný α. Nájdite polomer opísanej gule. R 1 = a 2 /(4sin 2 (α /2)) · 1/(2a/(2sin(α /2)))) =a/(4sin(α /2) ·).Odpoveď: R 1 = a/(4sin(α /2) ·).
Mnohosten opísaný okolo gule Konvexný mnohosten sa nazýva ohraničený, ak sa všetky jeho strany dotýkajú nejakej gule. Táto guľa sa nazýva vpísaná pre daný mnohosten. Stred vpísanej gule je bod rovnako vzdialený od všetkých plôch mnohostenu.
Poloha stredu vpísanej gule Koncepcia osovej roviny dihedrálneho uhla. Stredová rovina je rovina, ktorá rozdeľuje uhol klinu na dva rovnaké uhly klinu. Každý bod tejto roviny je rovnako vzdialený od plôch dihedrálneho uhla. Vo všeobecnom prípade je stred gule vpísanej do mnohostenu priesečníkom rovín osí všetkých uhlov mnohostenu. Vždy leží vo vnútri mnohostenu.
Pyramída opísaná okolo gule Guľa je vpísaná do (ľubovoľnej) pyramídy, ak sa dotýka všetkých strán pyramídy (bočnej aj základnej). Veta: Ak sú bočné steny rovnako naklonené k základni, potom je možné do takejto pyramídy vpísať guľu. Pretože sú uhly v základni rovnaké, ich polovice sú tiež rovnaké a priesečníky sa pretínajú v jednom bode vo výške pyramídy. Tento bod patrí všetkým rovinám osi na základni pyramídy a je rovnako vzdialený od všetkých strán pyramídy - stredu vpísanej gule.
Vzorec na nájdenie polomeru vpísanej gule Nech SABC je pyramída s rovnakými bočnými hranami, h je jej výška, r je polomer vpísanej kružnice. Nájdite polomer opísanej gule. Nech SO = h, OH = r, O 1 O = r 1. Potom pomocou vlastnosti osi vnútorného uhla trojuholníka O 1 O/OH = O 1 S/SH; r1 /r = (h – r1)/; r 1 · = rh – rr 1 ; r1 · (+ r) = rh; r1 = rh/(+ r). Odpoveď: r 1 = rh/(+ r).
Rovnobežník a kocka opísaná okolo gule Veta: Guľu možno vpísať do rovnobežnostena vtedy a len vtedy, ak je rovnobežnosten rovný a jeho základňou je kosoštvorec a výška tohto kosoštvorca je priemerom vpísanej gule, ktorá sa zasa rovná výške rovnobežnostena. (Zo všetkých rovnobežníkov možno do kosoštvorca vpísať iba kružnicu) Veta: Guľu možno vždy vpísať do kocky. Stred tejto gule je priesečníkom uhlopriečok kocky a polomer sa rovná polovici dĺžky hrany kocky.
Kombinácie obrázkov Vpísané a opísané hranoly Hranol opísaný okolo valca je hranol, ktorého základné roviny sú rovinami podstav valca a jeho bočné strany sa dotýkajú valca. Hranol vpísaný do valca je hranol, ktorého základné roviny sú roviny podstav valca a bočné hrany sú generátory valca. Dotyková rovina k valcu je rovina prechádzajúca cez tvoriacu čiaru valca a kolmá na rovinu osového rezu obsahujúceho túto tvoriacu čiaru.
Vpísané a opísané pyramídy Ihlana vpísaná do kužeľa je pyramída, ktorej základňou je mnohouholník vpísaný do kruhu základne kužeľa a vrchol je vrcholom kužeľa. Bočné okraje pyramídy vpísané do kužeľa tvoria kužeľ. Pyramída opísaná okolo kužeľa je pyramída, ktorej základňou je mnohouholník opísaný okolo základne kužeľa a vrchol sa zhoduje s vrcholom kužeľa. Roviny bočných plôch opísanej pyramídy sa dotýkajú roviny kužeľa. Dotyková rovina kužeľa je rovina prechádzajúca cez tvoriacu čiaru a kolmá na rovinu osového rezu obsahujúceho túto tvoriacu čiaru.
Iné typy konfigurácií Valec je vpísaný do pyramídy, ak sa kružnica jednej z jeho základov dotýka všetkých bočných stien pyramídy a jeho druhá základňa leží na základni pyramídy. Kužeľ je vpísaný do hranola, ak jeho vrchol leží na hornej podstave hranola a jeho podstavou je kružnica vpísaná do mnohouholníka - spodnej podstavy hranola. Hranol je vpísaný do kužeľa, ak všetky vrcholy hornej podstavy hranola ležia na bočnej ploche kužeľa a spodná podstava hranola leží na podstave kužeľa.
Úloha 1 V pravidelnom štvorhrannom ihlane je strana základne rovná a a rovinný uhol na vrchole je α. Nájdite polomer gule vpísanej do pyramídy. Riešenie: Vyjadrime strany SOK pomocou a a α. OK = a/2. SK = KC postieľka(α /2); SK = (a · ctg(α /2))/2. SO = = (a/2) Pomocou vzorca r 1 = rh/(+ r) zistíme polomer vpísanej gule: r 1 = OK · SO/(SK + OK); r 1 = (a/2) · (a/2) /((a/2) · ctg(α /2) + (a/2)) = = (a/2) /(ctg(α /2) + 1) = (a/2)= = (a/2) Odpoveď: r 1 = (a/2)
Záver Tému „Mnohosten“ študujú žiaci 10. a 11. ročníka, ale v učebných osnovách je veľmi málo materiálu na tému „Vpísané a ohraničené mnohosteny“, hoci študentov veľmi zaujíma, pretože štúdium vlastností mnohostenov prispieva k rozvoju abstraktného a logického myslenia, ktoré sa nám neskôr bude hodiť pri štúdiu, práci, živote. Pri práci na tejto eseji sme študovali všetok teoretický materiál na tému „Vpísané a ohraničené mnohosteny“, skúmali možné kombinácie obrázkov a naučili sme sa aplikovať všetok študovaný materiál v praxi. Problémy spojené s kombináciou tiel sú najťažšou otázkou v kurze stereometrie v 11. ročníku. Teraz však môžeme s istotou povedať, že s riešením takýchto problémov nebudeme mať problémy, pretože v priebehu našej výskumnej práce sme zistili a dokázali vlastnosti vpísaných a ohraničených mnohostenov. Študenti majú veľmi často problém zostaviť kresbu k problému na túto tému. Ale keď sme sa naučili, že na riešenie problémov spojených s kombináciou lopty a mnohostenu je obraz lopty niekedy zbytočný a stačí uviesť jej stred a polomer, môžeme si byť istí, že tieto ťažkosti nebudeme mať. Vďaka tejto eseji sme dokázali pochopiť túto ťažkú, ale veľmi fascinujúcu tému. Dúfame, že teraz už nebudeme mať problémy s aplikáciou naštudovaného materiálu v praxi.
Popis prezentácie po jednotlivých snímkach:
1 snímka
Popis snímky:
mestská autonómna vzdelávacia inštitúcia stredná škola č. 45 Metodická príručka pre žiakov 11. ročníka Zostavila učiteľka matematiky najvyššej kategórie Elena Vjačeslavovna Gavinskaja. Kaliningrad akademický rok 2016-2017
2 snímka
Popis snímky:
Mnohosten vpísaný do gule. Téma je podobná ako v kurze planimetrie, kde bolo povedané, že kruhy možno opísať okolo trojuholníkov a pravidelných n-uholníkov. Analógom kruhu v priestore je guľa a mnohouholník je mnohosten. V tomto prípade je analógom trojuholníka trojuholníkový hranol a analógom pravidelných mnohouholníkov je pravidelný mnohosten. Definícia. Hovorí sa, že mnohosten je vpísaný do gule, ak všetky jeho vrcholy patria do tejto gule. Samotná guľa je údajne ohraničená okolo mnohostenu.
3 snímka
Popis snímky:
"Guľu možno opísať okolo priameho hranola vtedy a len vtedy, ak je možné opísať kruh okolo základne tohto hranola." Dôkaz: Ak je guľa opísaná okolo priameho hranola, potom všetky vrcholy podstavy hranola patria gule a teda kružnici, ktorá je priesečníkom gule a roviny podstavy. Naopak, nech je kružnica so stredom v bode O1 a polomerom r opísaná v blízkosti podstavy priameho hranola. Potom okolo druhej základne hranola možno opísať kružnicu so stredom v bode O2 a rovnakým polomerom. Nech O1O2=d, O – stred O1O2. Potom guľa so stredom O a polomerom R= bude želanou opísanou guľou. Veta 1.
4 snímka
Popis snímky:
"Guľu možno opísať okolo akejkoľvek trojuholníkovej pyramídy a iba jednej." Dôkaz. Prejdime k dôkazu podobnému tomu z kurzu planimetrie. Najprv musíme nájsť lokus bodov rovnako vzdialených od dvoch vrcholov trojuholníka. Napríklad A a B. Takýmto geometrickým umiestnením je kolmica na úsečku AB. Potom nájdeme lokus bodov rovnako vzdialených od A a C. Toto je kolmica na úsečku AC. Priesečník týchto odvesničiek bude požadovaný stred O kružnice opísanej trojuholníku ABC. Veta 2.
5 snímka
Popis snímky:
Teraz zvážme priestorovú situáciu a urobme podobné konštrukcie. Nech je daný trojuholníkový ihlan DABC a body A, B a C definujú rovinu α. Geometrickým centrom bodov rovnako vzdialených od bodov A, B a C je priamka a, kolmá na rovinu α a prechádzajúca stredom O1 kružnice opísanej trojuholníku ABC. Geometrickým miestom bodov rovnako vzdialených od bodov A a D je rovina β, kolmá na úsečku AD a prechádzajúca jej vrcholom - bod E. Rovina β a priamka a sa pretínajú v bode O, ktorý bude požadovaným stredom úsečky. guľa opísaná okolo trojuholníkovej pyramídy DABC. Na základe konštrukcie je bod O rovnako vzdialený od všetkých vrcholov pyramídy DABC. Okrem toho bude takýto bod jedinečný, pretože pretínajúca sa priamka a rovina majú jeden spoločný bod.
6 snímka
Popis snímky:
Guľa opísaná okolo pravidelnej pyramídy. Lopta môže byť opísaná okolo akejkoľvek pravidelnej pyramídy. Stred gule leží na priamke prechádzajúcej výškou pyramídy a zhoduje sa so stredom kružnice opísanej okolo rovnoramenného trojuholníka, ktorého strana je bočným okrajom pyramídy a výška je výška pyramídy. pyramída. Polomer lopty sa rovná polomeru tohto kruhu. Polomer gule R, výška ihlana H a polomer kružnice r opísanej v blízkosti podstavy ihlana súvisia vzťahom: R2=(H-R)2+r2 Tento vzťah platí aj v prípade, keď H< R.
7 snímka
Popis snímky:
Problém sa týka gule opísanej okolo pravidelnej pyramídy. „Gule so stredom v bode O a polomerom 9√3 m je opísaná v blízkosti pravidelnej pyramídy PABC. Priamka PO, obsahujúca výšku pyramídy, pretína základňu pyramídy v bode H tak, že PH:OH = 2:1. Nájdite objem pyramídy, ak každá z jej bočných hrán zviera s rovinou základne uhol 45 stupňov.
8 snímka
Popis snímky:
Dané: PABC – pravidelná pyramída; guľa (O;R=9√3 m) je opísaná v blízkosti pyramídy; RO°(ABC)=N; PH:OH=2:1; ∟RAN=∟ RVN=∟ RSN=45o. Nájsť: Vpir. Riešenie: Keďže RN:OH=2:1 (podľa podmienok), potom RN:OR=2:3 RN:9√3 =2:3 RN=6√3 (m) 2. RN _ (ABC) (ako výška pyramídy) => => RN _ AN (podľa definície) => RAS - pravouhlý. 3. AT RAS:
Snímka 9
Popis snímky:
4. Keďže podľa podmienky je RABC pravidelná pyramída a PH je jej výška, potom je ABC podľa definície správne; H je stred kružnice opísanej okolo ABC, čo znamená 5. Odpoveď: 486 m3.
10 snímka
Popis snímky:
Guľa opísaná okolo hranola. Guľu možno opísať okolo hranola, ak je rovný a jeho základňami sú mnohouholníky vpísané do kruhu. Stred gule leží v strede výšky hranola spájajúceho stredy kružníc opísaných okolo základov hranola. Polomer gule R, výška hranola H a polomer kružnice r opísanej okolo podstavy hranola súvisia vzťahom:
11 snímka
Popis snímky:
Problém sa týka gule opísanej okolo hranola. „Pravidelný hranol ABCDA1B1C1D1 s výškou 6 cm je vpísaný do gule (teda; R = 5 cm). Nájdite plochu prierezu hranola rovinou rovnobežnou s rovinami základne a prechádzajúcou bodom O - stredom gule."
12 snímka
Popis snímky:
Dané: ABCDA1B1C1D1 – pravidelný hranol; guľa (O;R=5 cm) je opísaná okolo hranola; výška hranola h je 6 cm; α║(ABC); O s α. Nájdite: Ssec α, Riešenie: Keďže podľa podmienky je hranol vpísaný do gule, potom (r je polomer kružnice opísanej okolo podstavy hranola) Ale podmienkou je daný pravidelný hranol, čo znamená
Snímka 13
Popis snímky:
a) (АВВ1) ║(СС1D1) (vlastnosťou priameho hranola) α ∩ (АВВ1)=КМ α ∩ (СС1D1)=РН => KM ║ HP (vlastnosťou rovnobežných rovín) ║BCC1 (ADD1) (vlastnosťou priameho hranola) => KM=NR (vlastnosťou rovnobežných rovín). To znamená, že KMNR je rovnobežník (podľa atribútu) => MN=KR a MN ║ KR b) α ║ (ABC) (podľa konštrukcie) α ∩ (ABB1)=KM (ABC) ∩ (ABB1)=AB => KM ║ AB (podľa vlastnosti rovnobežných rovín) 2. 3. Keďže podľa podmienky ABCDA1B1C1D1 je pravidelný hranol a rez rovinou α je rovnobežný so základňami, potom obrazec tvorený rezom je štvorec. Dokážme to: => => =>
Snímka 14
Popis snímky:
KMH= ABC=90o (ako uhly so zodpovedajúcimi zarovnanými stranami) To znamená, že kosoštvorec KMNR je štvorec (podľa definície), čo je potrebné dokázať. Okrem toho sú štvorce KMNR a ABCD rovnaké. Preto podľa vlastnosti sú ich plochy rovnaké, a preto je prierez α.=SABCD=32 (cm2) Odpoveď: 32 cm2. c) KM ║ AB (dokázané) (BCC1) ║(ADD1) (vlastnosťou priameho hranola) => KM=AB=4√2 cm (vlastnosťou rovnobežných rovín). d) Podobne je dokázané, že MN ║ BC a MN = BC = 4√2 cm To znamená, že MN = KM => rovnobežník MNRK je kosoštvorec (podľa definície). e) MN ║ BC (dokázané) KM ║ AB (dokázané) => =>
15 snímka
Popis snímky:
Valec opísaný okolo hranola. Valec možno opísať okolo priameho hranolu, ak jeho základňou je mnohouholník vpísaný do kruhu. Polomer valca R sa rovná polomeru tejto kružnice. Os valca leží na rovnakej priamke s výškou H hranola a spája stredy kružníc opísaných v blízkosti základov hranola. Pri štvorhrannom hranole (ak je podstavou obdĺžnik) os valca prechádza priesečníkom uhlopriečok podstav hranola.
16 snímka
Popis snímky:
Problém je s valcom opísaným okolo hranola. Priamy hranol ABCDA1B1C1D1, ktorého základňou je obdĺžnik, je vpísaný do valca, ktorého tvoriaca čiara je 7 cm a polomer je 3 cm. Nájdite plochu bočnej plochy hranola, ak je uhol medzi uhlopriečkami ABCD je 60 stupňov. ОО1 – os valca.
Snímka 17
Popis snímky:
Dané: ABCDA1B1C1D1 – rovný hranol; valec je opísaný v blízkosti hranola; tvoriaca čiara valca AA1=7 cm; polomer základne valca je 3 cm; uhol medzi uhlopriečkami ABCD je 60°; ОО1 – os valca. Nájdi: Sside hranol. Riešenie: Keďže podľa podmienky je do gule vpísaný štvorhranný hranol, na ktorého podstave je obdĺžnik, tak podľa vlastnosti AC∩ВD=O. To znamená AOB=60o a AO=OB=3cm. 2. V AOB pomocou kosínusovej vety.
Podobné články
