Aby bolo možné faktorizovať, je potrebné zjednodušiť výrazy. To je potrebné, aby sa mohlo ďalej znižovať. Rozšírenie polynómu má zmysel vtedy, keď jeho stupeň nie je nižší ako dva. Polynóm s prvým stupňom sa nazýva lineárny.
Článok bude pokrývať všetky koncepty rozkladu, teoretické základy a metódy faktorizácie polynómu.
teória
Veta 1Pri akomkoľvek polynóme so stupňom n, ktorý má tvar P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0, sú reprezentované ako súčin s konštantným faktorom s najvyšším stupňom a n a n lineárnych faktorov (x - x i), i = 1, 2, ..., n, potom P n (x) = a n (x - x n) (x - x n - 1) · . . . · (x - x 1) , kde x i, i = 1, 2, …, n sú korene polynómu.
Veta je určená pre korene komplexného typu x i, i = 1, 2, …, n a pre komplexné koeficienty a k, k = 0, 1, 2, …, n. To je základ každého rozkladu.
Keď koeficienty tvaru a k, k = 0, 1, 2, …, n sú reálne čísla, potom sa komplexné korene budú vyskytovať v konjugovaných pároch. Napríklad korene x 1 a x 2 súvisia s polynómom v tvare P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 sa považujú za komplexne konjugované, potom sú ostatné korene reálne, z čoho dostaneme, že polynóm má tvar P n (x) = a n (x - x n) (x - x n - 1) · . . . · (x - x 3) x 2 + p x + q, kde x 2 + p x + q = (x - x 1) (x - x 2).
Komentujte
Korene polynómu sa môžu opakovať. Zoberme si dôkaz algebrickej vety, dôsledok Bezoutovej vety.
Základná veta algebry
Veta 2Každý polynóm so stupňom n má aspoň jeden koreň.
Bezoutova veta
Po delení polynómu tvaru P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 na (x - s), potom dostaneme zvyšok, ktorý sa rovná polynómu v bode s, potom dostaneme
Pn x = a n x n + a n - 1 x n - 1 +. . . + a 1 x + a 0 = (x - s) · Q n - 1 (x) + P n (s) , kde Q n - 1 (x) je polynóm so stupňom n - 1.
Dôsledok Bezoutovej vety
Keď sa koreň polynómu P n (x) považuje za s, potom P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 = (x - s) · Qn - 1 (x) . Tento dôsledok je dostatočný, keď sa použije na opis riešenia.
Rozdelenie kvadratického trinomu
Štvorcový trojčlen v tvare a x 2 + b x + c možno rozdeliť na lineárne faktory. potom dostaneme, že a x 2 + b x + c = a (x - x 1) (x - x 2) , kde x 1 a x 2 sú korene (komplexné alebo skutočné).
To ukazuje, že samotná expanzia sa redukuje na následné riešenie kvadratickej rovnice.
Príklad 1
Faktor kvadratického trinomu.
Riešenie
Je potrebné nájsť korene rovnice 4 x 2 - 5 x + 1 = 0. Aby ste to dosiahli, musíte pomocou vzorca nájsť hodnotu diskriminantu, potom dostaneme D = (- 5) 2 - 4 · 4 · 1 = 9. Odtiaľ to máme
x 1 = 5 - 9 2 4 = 1 4 x 2 = 5 + 9 2 4 = 1
Z toho dostaneme, že 4 x 2 - 5 x + 1 = 4 x - 1 4 x - 1.
Ak chcete vykonať kontrolu, musíte otvoriť zátvorky. Potom dostaneme výraz vo forme:
4 x - 1 4 x - 1 = 4 x 2 - x - 1 4 x + 1 4 = 4 x 2 - 5 x + 1
Po kontrole sa dostávame k pôvodnému výrazu. To znamená, že môžeme konštatovať, že rozklad bol vykonaný správne.
Príklad 2
Faktor kvadratického trinomu v tvare 3 x 2 - 7 x - 11 .
Riešenie
Zistíme, že je potrebné vypočítať výslednú kvadratickú rovnicu v tvare 3 x 2 - 7 x - 11 = 0.
Ak chcete nájsť korene, musíte určiť hodnotu diskriminantu. Chápeme to
3 x 2 - 7 x - 11 = 0 D = (- 7) 2 - 4 3 (- 11) = 181 x 1 = 7 + D 2 3 = 7 + 181 6 x 2 = 7 - D 2 3 = 7 - 181 6
Z toho dostaneme, že 3 x 2 - 7 x - 11 = 3 x - 7 + 181 6 x - 7 - 181 6.
Príklad 3
Vynásobte polynóm 2 x 2 + 1.
Riešenie
Teraz musíme vyriešiť kvadratickú rovnicu 2 x 2 + 1 = 0 a nájsť jej korene. Chápeme to
2 x 2 + 1 = 0 x 2 = - 1 2 x 1 = - 1 2 = 1 2 i x 2 = - 1 2 = - 1 2 i
Tieto korene sa nazývajú komplexne konjugované, čo znamená, že samotná expanzia môže byť znázornená ako 2 x 2 + 1 = 2 x - 1 2 · i x + 1 2 · i.
Príklad 4
Rozlož kvadratickú trojčlenku x 2 + 1 3 x + 1 .
Riešenie
Najprv musíte vyriešiť kvadratickú rovnicu v tvare x 2 + 1 3 x + 1 = 0 a nájsť jej korene.
x 2 + 1 3 x + 1 = 0 D = 1 3 2 - 4 1 1 = - 35 9 x 1 = - 1 3 + D 2 1 = - 1 3 + 35 3 i 2 = - 1 + 35 · i 6 = - 1 6 + 35 6 · i x 2 = - 1 3 - D 2 · 1 = - 1 3 - 35 3 · i 2 = - 1 - 35 · i 6 = - 1 6 - 35 6 · i
Po získaní koreňov píšeme
x 2 + 1 3 x + 1 = x - - 1 6 + 35 6 i x - - 1 6 - 35 6 i = = x + 1 6 - 35 6 i x + 1 6 + 35 6 i
Komentujte
Ak je diskriminačná hodnota záporná, potom polynómy zostanú polynómami druhého rádu. Z toho vyplýva, že ich nebudeme rozširovať na lineárne faktory.
Metódy faktorizácie polynómu stupňa vyššieho ako dva
Pri rozklade sa predpokladá univerzálna metóda. Väčšina všetkých prípadov je založená na dôsledku Bezoutovej vety. Aby ste to dosiahli, musíte vybrať hodnotu koreňa x 1 a znížiť jeho stupeň delením polynómom o 1 delením (x - x 1). Výsledný polynóm potrebuje nájsť koreň x 2 a proces vyhľadávania je cyklický, kým nedosiahneme úplné rozšírenie.
Ak sa koreň nenájde, potom sa použijú iné metódy faktorizácie: zoskupenie, ďalšie výrazy. Táto téma zahŕňa riešenie rovníc s vyššími mocninami a celočíselnými koeficientmi.
Vyňatie spoločného faktora zo zátvoriek
Uvažujme prípad, keď sa voľný člen rovná nule, potom tvar polynómu bude P n (x) = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x .
Je vidieť, že koreň takéhoto polynómu sa bude rovnať x 1 = 0, potom je možné polynóm znázorniť ako výraz P n (x) = a n x n + a n - 1 x n - 1 +. . . + a 1 x = = x (a n x n - 1 + a n - 1 x n - 2 + ... + a 1)
Táto metóda sa považuje za vyňatie spoločného faktora zo zátvoriek.
Príklad 5
Faktor polynómu tretieho stupňa 4 x 3 + 8 x 2 - x.
Riešenie
Vidíme, že x 1 = 0 je koreň daného polynómu, potom môžeme odstrániť x zo zátvoriek celého výrazu. Dostaneme:
4 x 3 + 8 x 2 - x = x (4 x 2 + 8 x - 1)
Prejdime k hľadaniu koreňov štvorcového trojčlenu 4 x 2 + 8 x - 1. Poďme nájsť diskriminant a korene:
D = 8 2 - 4 4 (- 1) = 80 x 1 = - 8 + D 2 4 = - 1 + 5 2 x 2 = - 8 - D 2 4 = - 1 - 5 2
Potom z toho vyplýva
4 x 3 + 8 x 2 - x = x 4 x 2 + 8 x - 1 = = 4 x x - - 1 + 5 2 x - - 1 - 5 2 = = 4 x x + 1 - 5 2 x + 1 + 5 2
Na začiatok zoberme do úvahy metódu rozkladu obsahujúcu celočíselné koeficienty v tvare P n (x) = x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0, kde koeficient najvyššieho stupňa je 1.
Keď má polynóm celé číslo, potom sa považujú za deliteľa voľného člena.
Príklad 6
Rozložte výraz f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18.
Riešenie
Zvážme, či existujú úplné korene. Je potrebné zapísať deliteľa čísla - 18. Dostaneme, že ±1, ±2, ±3, ±6, ±9, ±18. Z toho vyplýva, že tento polynóm má celočíselné korene. Môžete to skontrolovať pomocou Hornerovej schémy. Je to veľmi pohodlné a umožňuje vám rýchlo získať koeficienty expanzie polynómu:
Z toho vyplýva, že x = 2 a x = - 3 sú korene pôvodného polynómu, ktorý možno znázorniť ako súčin tvaru:
f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18 = (x - 2) (x 3 + 5 x 2 + 9 x + 9) = = (x - 2) (x + 3) (x 2 + 2 x + 3)
Pristúpime k rozvoju kvadratického trinómu v tvare x 2 + 2 x + 3.
Keďže diskriminant je záporný, znamená to, že neexistujú žiadne skutočné korene.
odpoveď: f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18 = (x - 2) (x + 3) (x 2 + 2 x + 3)
Komentujte
Namiesto Hornerovej schémy je dovolené použiť výber koreňa a delenie polynómu polynómom. Prejdime k úvahe o expanzii polynómu obsahujúceho celočíselné koeficienty v tvare P n (x) = x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 , z ktorých najvyššia sa rovná jednej.
Tento prípad nastáva pre racionálne zlomky.
Príklad 7
Faktorizujte f (x) = 2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 .
Riešenie
Je potrebné nahradiť premennú y = 2 x, mali by ste prejsť na polynóm s koeficientmi rovnými 1 na najvyššom stupni. Musíte začať vynásobením výrazu číslom 4. Chápeme to
4 f (x) = 2 3 x 3 + 19 2 2 x 2 + 82 2 x + 60 = = y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 = g (y)
Keď má výsledná funkcia tvaru g (y) = y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 celé číslo, potom je ich umiestnenie medzi deliteľmi voľného člena. Záznam bude vyzerať takto:
±1, ±2, ±3, ±4, ±5, ±6, ±10, ±12, ±15, ±20, ±30, ±60
Prejdime k výpočtu funkcie g (y) v týchto bodoch, aby sme vo výsledku dostali nulu. Chápeme to
g (1) = 1 3 + 19 1 2 + 82 1 + 60 = 162 g (- 1) = (- 1) 3 + 19 (- 1) 2 + 82 (- 1) + 60 = - 4 g (2 ) = 2 3 + 19 2 2 + 82 2 + 60 = 308 g (- 2) = (- 2) 3 + 19 (- 2) 2 + 82 (- 2) + 60 = - 36 g (3) = 3 3 + 19 3 2 + 82 3 + 60 = 504 g (- 3) = (- 3) 3 + 19 (- 3) 2 + 82 (- 3) + 60 = - 42 g (4) = 4 3 + 19 · 4 2 + 82 · 4 + 60 = 756 g (- 4) = (- 4) 3 + 19 · (- 4) 2 + 82 · (- 4) + 60 = - 28 g (5) = 5 3 + 19 5 2 + 82 5 + 60 = 1070 g (- 5) = (- 5) 3 + 19 (- 5) 2 + 82 (- 5) + 60
Zistíme, že y = - 5 je koreň rovnice v tvare y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60, čo znamená, že x = y 2 = - 5 2 je koreň pôvodnej funkcie.
Príklad 8
Je potrebné rozdeliť stĺpcom 2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 x + 5 2.
Riešenie
Zapíšme si to a získame:
2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 = x + 5 2 (2 x 2 + 14 x + 6) = = 2 x + 5 2 (x 2 + 7 x + 3)
Kontrola deliteľov zaberie veľa času, preto je výhodnejšie výsledný kvadratický trojčlen v tvare x 2 + 7 x + 3 rozložiť na faktor. Vyrovnaním nuly nájdeme diskriminant.
x 2 + 7 x + 3 = 0 D = 7 2 - 4 1 3 = 37 x 1 = - 7 + 37 2 x 2 = - 7 - 37 2 ⇒ x 2 + 7 x + 3 = x + 7 2 - 37 2 x + 7 2 + 37 2
Z toho vyplýva
2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 = 2 x + 5 2 x 2 + 7 x + 3 = = 2 x + 5 2 x + 7 2 - 37 2 x + 7 2 + 37 2
Umelé techniky faktorizácie polynómu
Racionálne korene nie sú vlastné všetkým polynómom. Aby ste to dosiahli, musíte použiť špeciálne metódy na nájdenie faktorov. Ale nie všetky polynómy môžu byť rozšírené alebo reprezentované ako súčin.
Metóda zoskupovania
Existujú prípady, keď môžete zoskupiť členy polynómu, aby ste našli spoločný faktor a dali ho mimo zátvorky.
Príklad 9
Vynásobte polynóm x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2.
Riešenie
Pretože koeficienty sú celé čísla, potom korene môžu byť pravdepodobne aj celé čísla. Pre kontrolu vezmite hodnoty 1, - 1, 2 a - 2, aby ste vypočítali hodnotu polynómu v týchto bodoch. Chápeme to
1 4 + 4 1 3 - 1 2 - 8 1 - 2 = - 6 ≠ 0 (- 1) 4 + 4 (- 1) 3 - (- 1) 2 - 8 (- 1) - 2 = 2 ≠ 0 2 4 + 4 2 3 - 2 2 - 8 2 - 2 = 26 ≠ 0 (- 2) 4 + 4 (- 2) 3 - (- 2) 2 - 8 (- 2) - 2 = - 6 ≠ 0
To ukazuje, že neexistujú žiadne korene, je potrebné použiť iný spôsob expanzie a riešenia.
Je potrebné zoskupiť:
x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 = x 4 + 4 x 3 - 2 x 2 + x 2 - 8 x - 2 = = (x 4 - 2 x 2) + (4 x 3 - 8 x) + x 2 - 2 = = x 2 (x 2 - 2) + 4 x (x 2 - 2) + x 2 - 2 = = (x 2 - 2) (x 2 + 4 x + 1)
Po zoskupení pôvodného polynómu ho musíte reprezentovať ako súčin dvoch štvorcových trojčlenov. Aby sme to dosiahli, musíme faktorizovať. dostaneme to
x 2 - 2 = 0 x 2 = 2 x 1 = 2 x 2 = - 2 ⇒ x 2 - 2 = x - 2 x + 2 x 2 + 4 x + 1 = 0 D = 4 2 - 4 1 1 = 12 x 1 = - 4 - D 2 1 = - 2 - 3 x 2 = - 4 - D 2 1 = - 2 - 3 ⇒ x 2 + 4 x + 1 = x + 2 - 3 x + 2 + 3
x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 = x 2 - 2 x 2 + 4 x + 1 = = x - 2 x + 2 x + 2 - 3 x + 2 + 3
Komentujte
Jednoduchosť zoskupovania neznamená, že výber výrazov je dostatočne jednoduchý. Neexistuje žiadna špecifická metóda riešenia, preto je potrebné použiť špeciálne vety a pravidlá.
Príklad 10
Faktor polynóm x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 .
Riešenie
Daný polynóm nemá celočíselné korene. Pojmy by mali byť zoskupené. Chápeme to
x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 = = (x 4 + x 3) + (2 x 3 + 2 x 2) + (- 2 x 2 - 2 x) - x 2 - 2 x + 2 = = x 2 (x 2 + x) + 2 x (x 2 + x) - 2 (x 2 + x) - (x 2 + 2 x - 2) = = (x 2 + x) (x 2 + 2 x - 2) - (x 2 + 2 x - 2) = (x 2 + x - 1) (x 2 + 2 x - 2)
Po faktorizácii to dostaneme
x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 = x 2 + x - 1 x 2 + 2 x - 2 = = x + 1 + 3 x + 1 - 3 x + 1 2 + 5 2 x + 1 2 - 5 2
Použitie skrátených vzorcov na násobenie a Newtonovho binomu na faktor polynómu
Zo vzhľadu často nie je vždy jasné, ktorá metóda by sa mala pri rozklade použiť. Po vykonaní transformácií môžete zostaviť čiaru pozostávajúcu z Pascalovho trojuholníka, inak sa nazývajú Newtonov binom.
Príklad 11
Vynásobte polynóm x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2.
Riešenie
Je potrebné previesť výraz do formy
x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3
Postupnosť koeficientov súčtu v zátvorkách je označená výrazom x + 1 4 .
To znamená, že máme x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3.
Po nanesení rozdielu štvorcov dostaneme
x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 = = x + 1 4 - 3 = x + 1 2 - 3 x + 1 2 + 3
Zvážte výraz, ktorý je v druhej zátvorke. Je jasné, že tam nie sú žiadni rytieri, takže by sme mali znova použiť vzorec rozdielu štvorcov. Dostaneme vyjadrenie formy
x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 = = x + 1 4 - 3 = x + 1 2 - 3 x + 1 2 + 3 = = x + 1 - 3 4 x + 1 + 3 4 x 2 + 2 x + 1 + 3
Príklad 12
Faktorizujte x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 .
Riešenie
Začnime transformovať výraz. Chápeme to
x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 = x 3 + 3 2 x 2 + 3 2 2 x + 2 3 - 2 = (x + 2) 3 - 2
Je potrebné použiť vzorec na skrátené násobenie rozdielu kociek. Dostaneme:
x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 = = (x + 2) 3 - 2 = = x + 2 - 2 3 x + 2 2 + 2 3 x + 2 + 4 3 = = x + 2 - 2 3 x 2 + x 2 + 2 3 + 4 + 2 2 3 + 4 3
Metóda nahradenia premennej pri faktorizácii polynómu
Pri nahradení premennej sa stupeň zníži a polynóm sa rozloží.
Príklad 13
Faktor polynóm tvaru x 6 + 5 x 3 + 6 .
Riešenie
Podľa podmienky je zrejmé, že je potrebné urobiť náhradu y = x 3. Dostaneme:
x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6
Korene výslednej kvadratickej rovnice sú teda y = - 2 a y = - 3
x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6 = = y + 2 y + 3 = x 3 + 2 x 3 + 3
Je potrebné použiť vzorec na skrátené násobenie súčtu kociek. Dostávame výrazy vo forme:
x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6 = = y + 2 y + 3 = x 3 + 2 x 3 + 3 = = x + 2 3 x 2 - 2 3 x + 4 3 x + 3 3 x 2 - 3 3 x + 9 3
To znamená, že sme získali požadovaný rozklad.
Vyššie uvedené prípady pomôžu pri zvažovaní a faktorizácii polynómu rôznymi spôsobmi.
Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter
Úloha 1. Nájdite gcd polynómov
f(X)=X 4 –2X 3 –X+2, g(X)=X 4 –X 3 +X–1, h(X)=X 4 –4X 2 –X+2.
Riešenie. GCD polynómov možno nájsť jedinečne len do konštantného faktora (konštantné nenulové faktory neovplyvňujú deliteľnosť polynómov). Preto sa môžeme dohodnúť, že za GCD polynómov budeme považovať ten, ktorého vodiaci koeficient sa rovná 1.
Aplikovaním euklidovského algoritmu na polynómy s celočíselnými koeficientmi môžeme, aby sme sa vyhli zlomkovým koeficientom, vynásobiť deliteľa alebo deliteľa ľubovoľným nenulovým číslom, a to nielen počnúc ktorýmkoľvek z po sebe nasledujúcich delení, ale aj počas samotného delenia. To samozrejme povedie k skresleniu kvocientu, ale pre nás zaujímavé zvyšky získajú len určitý faktor nula.
Aby sme našli GCD troch polynómov, najprv použijeme Euklidovský algoritmus na nájdenie GCD akýchkoľvek dvoch polynómov, napr. d(X)=(f(X),h(X)) a potom nájdite súbor gcd d(X) A g(X).
Euklidov algoritmus pozostáva zo sekvenčného delenia polynómov so zvyškom. Najprv sa rozdeľme f(X) zapnuté h(X), potom h(X) zvyškom získaným delením r(X) (prvý zvyšok), potom prvý zvyšok druhým zvyškom atď., až kým vo zvyšku nedostaneme nulu. GCD polynómov f(X) A h(X) bude posledný nenulový zvyšok. Proces delenia sa uskutoční pomocou „uhlu“.
| _ | x 4 -2x 3 -x+2 | x 4 - 4 x 2 - x + 2 | _ | x 4 - 4 x 2 - x + 2 | x 3 - 2 x 2 | ||||
| x 4 - 4 x 2 - x + 2 | 1 | x 4 - 2 x 3 | x+2 | ||||||
| -2x3+4x2 | _ | 2x 3 -4x 2 -x+2 | |||||||
| x 3 - 2 x 2 | 2x 3-4x 2 | ||||||||
| _ | -x+2 | ||||||||
| x-2 | |||||||||
| 0 | |||||||||
| _ | x 3 - 2 x 2 | x-2 | ||
| x 3 - 2 x 2 | x 2 | |||
| 0 | ||||
To znamená gcd polynómov f(X) A h(X) sa rovná binomickej X–2.
d(X)=(f(X), h(X))=X–2.
Podobne nájdeme gcd polynómov d(X) A g(X), bude sa rovnať 1. Teda ( f(X), g(X), h(X))=(g(X), (f(X), h(X)))=1.
Poznámka . Znak „=“ alebo „!!“. znamená, že pri delení sa vykonalo násobenie iným číslom ako nula.
Úloha 2. Použitie euklidovského algoritmu na nájdenie polynómov u(X) A v(X), splnenie rovnosti f(X)u(X)+g(X)v(X)=d(X), Kde d(X) – gcd polynómov f(X) A g(X): f(X)=4X 4 –2X 3 –16X 2 +5X+9, g(X)=2X 3 –X 2 –5X+4.
Riešenie. Použiť na polynómy f(X) A g(X) Euklidovský algoritmus. Treba mať na pamäti, že tu nemožno pripustiť svojvôľu, ktorá spočíva v násobení polynómov konštantnými faktormi, čo je možné pri hľadaní GCD, pretože tu budeme používať aj kvocienty, ktoré môžu byť skreslené s naznačenou ľubovoľnosťou.
V dôsledku delenia dostaneme:
f(X)=g(X)q 1 (X)+r 1 (X),
Kde q 1 (X)=2X, r 1 (X)= –6X 2 –3X+9,
g(X)=r 1 (X)q 2 (X)+r 2 (X),
Kde q 2 (X)= –X/3+1/3, r 2 (X)= –X+1,
r 1 (X)=r 2 (X)q 3 (X)+r 3 (X),
Kde q 3 (X)=6X+9, r 3 (X)=0.
Euklidovský algoritmus je tu napísaný v troch riadkoch a najväčší spoločný deliteľ sa rovná - r 2 (X)=X–1=d(X). Vyjadriť d(X) cez polynómy f(X) A g(X), nájdeme r 2 (X) z druhého riadku euklidovského algoritmu:
r 2 (X)=g(X)–r 1 (X)q 2 (X).
Namiesto toho dosadzovanie do tejto rovnosti r 1 (X) jeho výraz, zistený z prvého riadku euklidovského algoritmu, dostaneme:
r 2 (X)=f(X)[–q 2 (X)]+g(X),
získať rovnosť f(X)u(X)+g(X)v(X)=d(X), musíte predchádzajúcu rovnosť vynásobiť (–1), dostaneme:
–r 2 (X)=f(X)q 2 (X) +g(X)[–1–q 1 (X)q 2 (X)]=d(X),
Kde u(X)=q 2 (X), v(X)= –1–q 1 (X)q 2 (X).
Po dosadení polynómov do tejto rovnosti q 1 (X), q 2 (X) dostaneme:
u(X)= , v(X)= .
Úloha 3. Použitie metódy neurčitých koeficientov na výber polynómov u(X) A v(X), takže f(X)u(X)+g(X)v(X)=1, (1) pre polynómy f(X)=X 2 –2X–1, g(X)=2X 4 –3X 3 –6X 2 +2X+2.
Riešenie. Použime vetu: ak d(X) je gcd polynómov f(X) A g(X), potom môžeme nájsť takéto polynómy u(X) A v(X), Čo
f(X)u(X)+g(X)v(X)=d(X).
V tomto prípade môžeme predpokladať, že stupne polynómov f(X) A g(X) je väčší ako nula, čo je stupeň u(X) menej ako stupeň g(X) a stupeň v(X) menej ako stupeň f(X).
Polynómy f(X) A g(X) splniť rovnosť (1), ak ( f(X),g(X))=1. V našom prípade f(X) A g(X) sú relatívne prvočísla, čo znamená, že môžeme nájsť polynóm u(X)=sekera 3 +bx 2 +cx+d a polynóm v(X)=napr+f.
Namiesto toho dosadzovanie do rovnosti (1). f(X), g(X), u(X), v(X) ich výrazov, dostaneme:
(X 2 – 2X- 1)(sekera 3 +bx 2 +cx+d)+(2X 4 – 3X 3 – 6X 2 + 2x+ 2)(ex+f)=1
(a+ 2e)X 5 + (b– 2a+ 2f– 3e)X 4 + (c– 2b–a– 3f– 6e)X 3 + (d– 2c–b– 6f+ 2e)X 2 +(–2d–c+ 2f+ 2e)x––d+ 2f= 1.
Máme teda rovnosť dvoch polynómov: na ľavej strane polynóm piateho stupňa s neurčenými koeficientmi a na pravej strane polynóm nultého stupňa. Dva polynómy sú rovnaké, ak sú ich koeficienty rovnaké pre rovnaké mocniny neznámej.
Prirovnaním koeficientov pre rovnaké stupne neznámej dostaneme systém šiestich lineárnych rovníc s neznámymi A b c d e f:
Keď to vyriešime, dostaneme: d= 3, e=–1, f= 2, c=–4, b=–3, a= 2.
Teda požadované polynómy u(X) A v(X) bude:
u(X)=2X 3 –3X 2 –4X+3, v(X)= –X+2.
Úloha 4. Pomocou Hornerovej schémy vypočítajte f(A) a rozviňte polynóm f(X) podľa stupňov X–A, Kde f(X)=X 4 +2X 3 –7X 2 +3X–1, A=2.
Riešenie. Podľa Bezoutovej vety je zvyšok polynómu f(X) na lineárnu binómiu X–A rovná hodnote f(A) polynóm at X=A.
Delenie podľa „uhlu“ možno napísať jednoduchšie: ak f(X)=a 0 x n+a 1 x n –1 +a 2 xn– 2 + …+a n –1 X+a n, potom koeficienty kvocientu q(X)=b 0 X n–1 + b 1 x n –2 + b 2 x n –3 + …+b n–1 a zvyšok r z divízie f(X) zapnuté X–a možno nájsť pomocou Hornerovej schémy:
f(2)=9=r 1, a podiel delenia f(X) zapnuté X-2 áno q 1 (X)=X 3 +4X 2 +X+5, t.j. f(X)=
=(X–2)q 1 (X)+r 1
Potom podľa Hornerovej schémy rozdelíme q 1 (X) zapnuté X–2, dostaneme kvocient q 2 (X) a zvyšok r 2, ďalej q 2 (X) deliť X-2, dostávame q 3 (X) A r 3 atď.
Pre polynóm f(X) dostaneme:
f(X)=(X–2)q 1 (X)+r 1 =(X–2)[(X–2)q 2 (X)+r 2 ]+r 1 =(X–2) 2 q 2 (X)+r 2 (X–2)+r 1 =
=(X––2) 2 [(X–2)q 3 (X)+r 3 ]+r 2 (X–2)+r 1 =(X–2) 3 q 3 (X)+r 3 (X–2) 2 +r 2 (X–2)+r 1 =
=(X–2) 3 [(X––2)q 4 (X)+r 4 ]+r 3 (X–2) 2 +r 2 (X–2)+r 1 =(X–2) 4 q 4 (X)+r 4 (X–2) 3 +r 3 (X–2) 2 +r 2 (X–2)+ +r 1 = r 5 (X–2) 4 +r 4 (X–2) 3 +r 3 (X–2) 2 +r 2 (X–2)+r 1.
Teda koeficienty v expanzii polynómu f(X) podľa stupňov X–2 sa rovnajú zvyškom z delenia polynómov f(X), q 1 (X), q 2 (X), q 3 (X), q 4 (X) zapnuté X–2.
Celé riešenie je možné zapísať do tabuľky:
| –7 | –1 | ||||
Z tabuľky je jasné, že r 5 =1, r 4 =10, r 3 =29, r 2 =31, r 1 = 9 a
f(X)= (X–2) 4 +10(X–2) 3 +29(X–2) 2 +31(X–2)+9.
Úloha 5.Dokážte to.
Riešenie. Zoberme si polynóm. číslo X= –1 je koreň polynómu f(X) a Bezoutovou vetou f(X) je úplne deliteľné X+1, t.j. f(X)=(X+1)g(X), Kde g(X) je teda polynóm s celočíselnými koeficientmi X 11+1 sa delí o X+1 pre akékoľvek celé číslo X. Položme X= 35. Dostávame, t.j. , a preto , usudzujeme, že .
Komentujte. Z pravidiel pre „delenie uhlom“ polynóm f(X) na polynóm g(X) je hneď jasné, že ak polynómy f(X) A g(X) s celočíselnými koeficientmi a g(X) redukovaný, potom kvocient a zvyšok sú polynómy s celočíselnými koeficientmi.
Úloha 6. Zvyšky z delenia polynómu f(X) na dvojčlenky X+5 a X-3 sa rovná -9 a 7 v tomto poradí. Nájdite zvyšky pri delení tohto polynómu polynómom g(X)=(X+5)(X-3).
Riešenie. Podľa Bezoutovej vety f(–5)= –9, f(3) = 7. Pri delení polynómu f(X) na polynóm g(X)=X 2 +2X–15 dostaneme nejaký kvocient q(X) a zvyšok p(X)=sekera+b, t.j. f(X)=(X 2 +2X–15)q(X)+(sekera+b) .
Dosadzovanie do poslednej rovnosti namiesto X hodnotami –5 a 3 dostaneme sústavu dvoch rovníc s dvomi neznámymi a A b:
Keď sme to vyriešili, nájdeme a=2, b=1. Potom požadovaný zvyšok delenia polynómu f(X) na polynóm g(X) sa bude rovnať 2 X+1.
Úloha 7. Daný polynóm f(X) s celočíselnými koeficientmi a . Dokáž to.
Riešenie. Zvážte rozšírenie polynómu f(X) po stupňoch ( X–10):
z dôvodu, že je deliteľné 21, t.j. je deliteľné 7. Podobne je deliteľné 3. Vzhľadom na relatívnu jednoduchosť 3 a 7 je číslo f(10)=a n deliteľné 21.
Úloha 8. Rozviňte polynóm X 7 +3 na súčin polynómov maximálne druhého stupňa s reálnymi koeficientmi.
Riešenie. Poďme nájsť korene polynómu X 7 +3, budú
dávať k hodnoty 0, 1, …, 6, dostaneme sedem koreňov polynómu X 7 +3;
X 0 = ; X 1 = ; X 2 = ;
X 3 = = – ; X 4 = = ;
X 5 = = ;
X 6 = = .
Spomedzi nich platí len jeden – tento X 3 = – , ostatné sú komplexné a párovo konjugované: X 6 = , X 5 = , X 4 = . Všeobecne
X k = , x k= .
Pozrime sa na prácu
(X–x k)(X– )=(X 2 –(x k+ )X+x k)=X 2 – X+ , kde k=0, 1, 2.
Máme kvadratický trinom s reálnymi koeficientmi. Polynóm X 7 +3 možno rozložiť na súčin 7 lineárnych faktorov (dôsledok základnej vety algebry). Vynásobením faktorov, ktoré zodpovedajú konjugovaným koreňom, získame požadovanú expanziu:
X 7 +3=(X–X 0)(X–X 1)(X–X 2)(X–X 3)(X–X 4)(X–X 5)(X–X 6)=(X–X 3)(X–X 0)(X–X 6)(X–X 1)
(X–X 5)(X–X 2)(X–-X 4)=(X–X 3)(X–X 0)(X– )(X–X 1)(X– )(X–X 2)(X– )=(X+ )
(X 2 – (2· ) X+ )(X 2 – (2· ) X+ ) (X 2 ––(2· ) X+ ).
Úloha 9. Prezentujte polynóm ako súčet druhých mocnín dvoch polynómov.
Riešenie. Akýkoľvek polynóm f(X) s reálnymi koeficientmi, kladnými pre ľubovoľný, je reprezentovaný ako súčet druhých mocnín dvoch polynómov. Aby sme to urobili, nájdime korene polynómu f(X): , rozložíme na lineárne faktory, potom vynásobíme a získame požadované zobrazenie:
Označme , , dostaneme f(X)=p 2 (X)+q 2 (X).
Úloha 10. Určte násobnosť koreňa polynómu. Nájdite polynóm najväčšieho stupňa s jednoduchými koreňmi, z ktorých každý koreň je koreňmi polynómu f(X).
1) Skontrolujeme, či polynóm je koreň f(X).
2) Skontrolujeme, či prvá derivácia polynómu je koreň f(X)
. f¢(–1)=0, teda – koreň
polynóm f(X), násobok nie menší ako 2.
3), preto odmocnina násobnosti nie je menšia ako 3.
4), koreň polynómu f(X) násobok 3, t.j. . Nájsť polynóm najväčšieho stupňa s jednoduchými koreňmi, z ktorých každý koreň je koreňom f(X), potrebné v polynóme f(X) zbaviť sa viacerých koreňov. Aby sme to dosiahli, rozdelíme polynóm f(X) najväčším spoločným deliteľom polynómov f(X) A f¢( X): . Preto požadovaný polynóm bude , kde , X=2 – jednoduché korene polynómu.
Poznámka: Mnohopočetnosť koreňa sa dá skontrolovať pomocou Hornerovej schémy.
Úloha 11. Oddeľte násobky polynómu
Riešenie. Podľa vety o viacerých faktoroch: ak nejaký ireducibilný polynóm nad poľom P g(X) je k- násobok polynómu f(X) s koeficientmi z poľa P, potom g(X) je ( k–1) – viacnásobný faktor derivátu f(X). Teda pri presune z f(X) Komu f′( X) násobnosť všetkých faktorov sa zníži o 1. Avšak pre polynóm f′( X) môžu existovať faktory, ktoré neexistujú f(X). Aby sme sa ich zbavili, nájdeme gcd f(x) a f′( X). Zahŕňa len tie faktory, ktoré sú zahrnuté v f(x), avšak s faktorom 1 menším.
Aplikovaním euklidovského algoritmu dostaneme
Keďže existuje polynóm tretieho stupňa, ktorého rozklad na faktory je vo všeobecnosti náročný, ale ktorý zase môže mať viacero faktorov, aplikujeme naň podobný proces znižovania mnohosti faktorov. Dostaneme to. Takže násobilka X–1 je zahrnutá v násobku 1, a preto je zahrnutá v násobku 2. Deliť ( X–1) 2 , poďme nájsť . Preto máme: multiplikátor ( X–1) zahrnuté v f(X) s násobkom 3 a X+3 s násobkom 2. Delenie f(X) k polynómu dostaneme
Úloha 12. Dokážte, že číslo je iracionálne.
Riešenie. Toto číslo je koreňom redukovaného celočíselného polynómu, ktorý nemá racionálne korene, pretože všetky jeho racionálne korene sú celé čísla a musia byť deliteľmi čísla 5.
Úloha 13. Nájdite racionálne korene polynómu
f(X)=6X 4 +19X 3 –7X 2 –26X+12.
Riešenie. Ak ide o racionálny neredukovateľný zlomok, ktorý je koreňom polynómu f(X)=A 0 x n + a 1 xn– 1 +a 2 xn– 2 +…+a n– 1 x+a n s celočíselnými koeficientmi, potom:
1. k existuje deliteľ A 0 ;
2. p existuje deliteľ a n;
3. p–mk existuje deliteľ f(m) pre akékoľvek celé číslo m.
V našom prípade: k môže nadobúdať hodnoty: ±1, ±2, ±3, ±6 a p– ±1,±2, ±3, ±4, ±6, ±12. Teraz by bolo možné skontrolovať každé z týchto čísel tvaru substitúciou do polynómu alebo pomocou Hornerovej schémy. Mnohé z týchto čísel sa však dajú „vypliesť“ jednoduchším spôsobom. Nájdite hranice skutočných koreňov tohto polynómu VG x =1+, NG x = –(1+), kde A je najväčšia z absolútnych hodnôt koeficientov a A 0 – koeficient pri x n alebo VG x = 1+, kde k– index prvého záporného koeficientu polynómu f(X), A B– najväčšia z absolútnych hodnôt jeho záporných koeficientov (táto metóda je použiteľná, keď A 0 > 0). V našom príklade k=2, B=26, A 0 = 6. VG x = 1+< 4.
Na nájdenie spodnej hranice pomocou tejto metódy stačí f(X) namiesto X náhradník (- X) a použite nasledujúce pravidlo: dolná hranica reálnych koreňov polynómu f(X) sa rovná hornej hranici reálnych koreňov polynómu f(–X), brané s opačným znamienkom. V našom prípade
f(–X)=6X 4 –19X 3 –7X 2 +26X+12 a 0 = 6, k=1, B=19. VG x = 1+<5, значит, нижняя граница – НГ х = –5. Итак, корни многочлена заключены в интервале (–5,4). Более точные границы можно было найти по методу Ньютона. Воспользуемся еще тем, что если – корень f(X), potom celé číslo. nájdeme f(1)=4,
f(–1)=13, potom – celé číslo, – celé číslo, ak – koreň f(X).
Kontrolujeme všetky druhy frakcií, berúc do úvahy hranice koreňov.
| ts | d | ts | ts | d | d | ts | d | ts | d | ts | d | ts | d | ts | ts | d | d | |
| ts | d | ts | d | d | d | ts | d | ts |
Počas tejto kontroly sa objavili racionálne čísla 2, –3, , - „korene kandidátov“, kontrolujeme ich podľa Hornerovej schémy, pričom sa ubezpečíme, že f(2)≠0, , f(–3) = 0, . Pre polynóm štvrtého stupňa sme našli dva korene, čo znamená f(X) viacnásobné ( X+3) alebo f(X)=(6X 2 +4X–8)(X+3). Korene polynómu g(X)=6X 2 +4X–8 nachádzame priamo X= sú neracionálne čísla.
Úloha 14. Dokážte, že táto rovnica nemá nenulové celočíselné riešenia.
Riešenie. Ľavá strana rovnosti je homogénny polynóm štvrtého stupňa. Vydeľme obe strany rovnosti o X 4. Dostaneme
Tak to dajme. Daná rovnica má nenulové celočíselné riešenie práve vtedy, ak má polynóm racionálne korene. Redukovaný polynóm je celé číslo, všetky jeho racionálne korene sú: po prvé, celé čísla; po druhé, deliteľmi voľného člena 9, t.j. musí patriť do súpravy (±1, ±3, ±9). Priamym overením sa môžete uistiť, že ani jeden prvok tejto množiny nie je koreňom polynómu, t.j. tento polynóm nemá racionálne korene, čo znamená, že daná rovnica má nenulové celé korene.
Úloha 15. Za aké prirodzené n bude to číslo prvočíslo?
Riešenie. Ukážme to. Skutočne, ak A je teda ľubovoľný koreň polynómu A bude koreňom polynómu, t.j. A 3 = 1 a A 2 +A+1=0.
Uvažujme, t.j. A– koreň mnohočlenu. Pretože A je ľubovoľný koreň polynómu, potom každý koreň polynómu je koreňom polynómu, teda kde P(X) je polynóm s celočíselnými koeficientmi.
Predpokladajme potom, t.j. .
Uvažujme o prípadoch a .
2. Kedy je prvočíslo.
Prirodzené číslo je reprezentované ako súčin dvoch prirodzených čísel. Z toho vidíme, že to môže byť jednoduché, ak alebo , zahodíme to.
Keď , a sú prezentované ako súčin dvoch prirodzených čísel väčších ako 1, čo znamená, že toto číslo je zložené.
Úloha 16. Riešte rovnice v obore komplexných čísel:
1)X 3 +6X+2=0; 2) X 3 –9X 2 +18X–28=0; 3) X 4 -2X 3 +4X 2 -2x+ 3=0.
1. Vyriešte rovnicu X 3 +6X+2=0.
Pre korene kubickej rovnice X 3 +sekera+b=0 existuje takzvaný Cardano vzorec: x i =u i +v i (i=0, 1, 2), kde u 0 , u 1 , u 2 – radikálna hodnota
u= a v i= . v našom prípade A=6, b=2,
u= = = = = (cos + i hriech), kde l=0, 1, 2. Namiesto toho nahrádzame l hodnoty 0, 1, 2, dostaneme: u 0 = , u 1 =
= (cos + i hriech )= (– + i), u2 = (cos + i hriech )= (– – i ),
v 0 = = = = ,
v 1 = = = = ( +i ),
v 2 = = = = ( –i ),
X 0 = u 0 +v 0 = – , X 1 =u 1 +v 1 = , X 2 = u 2 +v 2 =
Odpoveď: - ; .
2. Vyriešte rovnicu X 3 –9X 2 +18X–28=0.
Zredukujme našu rovnicu na rovnicu tvaru r 3 +áno+b=0, čím sa vykoná náhrada X=r– =r+3, (a 0 , a 1 – koeficienty pre X 3 a X 2). Dostaneme:
r 3 –9r-28 = 0. Jeho riešenia sa nachádzajú pomocou vzorca Cardano: y i =u i+v i, (i=0, 1,…2),
Kde u 0 =3, u 1 = , u 2 = , v 0 =1 , v 1 = , v 2= ,
r 0 =4, r 1 = , r 2 = , X 0 =7, X 1 = , X 2 = .
Odpoveď: 7; .
3. Vyriešte rovnicu X 4 -2X 3 +4X 2 -2x+ 3=0.
Využime metódu Ferrari. Na ľavej strane rovnice necháme výrazy s X 4 a X 3 a pridajte ho do úplného štvorca:
Teraz pridajme podmienky s novým neznámym pre obe strany r aby sa ľavá strana opäť zmenila na štvorec (bez ohľadu na hodnotu r)
Tu sú koeficienty pred mocninami X na pravej strane závisia od neistej veličiny r. Zvoľme hodnotu y tak, aby sa z pravej strany stal štvorec. Na to je potrebné, aby diskriminant štvorca (vo vzťahu k X) trojčlenky na pravej strane sa rovnal nule. Prirovnaním tohto diskriminantu k nule dostaneme:
odtiaľ r= 4 a .
Nahrádzanie r=4 do rovnice (*), dostaneme: alebo . Ak vezmeme druhú odmocninu z oboch strán výslednej rovnice, získame dve kvadratické rovnice: a alebo a . Po ich vyriešení nájdeme 4 korene našej rovnice: , .
Odpoveď: ,.
Úloha 17. Dané polynómy
f(X)=X 3 –3X 2 +2X–5, g(X)=X 3 +3X 2 –1.
1) Určite počet skutočných koreňov každého z nich;
2) Pomocou Sturmovej vety nájdite interval ( a, b), Kde b–a=1 obsahujúci najväčší koreň X 0 polynóm g(X);
3) Vypočítajte koreň s presnosťou na 0,0001 X 0 pomocou metódy lineárnej interpolácie a Newtonovej metódy;
1. Ak je kurz a A b rovnice X 3 +sekera+b=0 sú skutočné, potom je počet reálnych koreňov tejto rovnice úplne určený znamienkom čísla D = – 4a 3 – 27b 2, nazývaný diskriminant polynómu X 3 +sekera+b, a to nasledujúcim spôsobom:
a) pre D=0 sú všetky tri korene skutočné, dva z nich sú rovnaké;
b) pre D>0 – platia všetky tri korene;
c) v D<0 – один корень действительный, два мнимых.
V našom prípade: f(X)=X 3 –3X 2 +2X–5 alebo uvedenie X=r+1, r 3 –r–5=0, t.j. D=4–27·25<0, поэтому многочлен f(X) má jeden skutočný koreň.
2. Pre polynóm g(X) počet reálnych koreňov určíme stanovením počtu zmien znamienka v Sturmovom systéme polynómu g(X) pri prechode z –∞ na +∞. Nájdeme aj celé hranice, medzi ktorými sa každý z týchto koreňov nachádza a nebudeme vopred zostavovať graf tejto funkcie.
Akýkoľvek polynóm g(X) s reálnymi koeficientmi a bez viacerých koreňov, má Sturmov systém. Ak má polynóm viacero koreňov, musíte sa ich zbaviť delením polynómu g(X) na gcd polynómov g(X) A g"(X). Sturmov polynómový systém g(X) možno zostrojiť takto: put g 1 (X)=g"(X), potom rozdeliť g(X) zapnuté g 1 (X) a zvyšok tohto delenia, braný s opačným znamienkom, sa berie ako g 2 (X), t.j. g(X)=g 1 (X)h 1 (X)–g 2 (X). Vo všeobecnosti, ak polynómy g k–1 ( X) A g Komu ( X) boli teda už nájdené g k+1 ( X) bude zvyšok divízie g k–1 ( X) zapnuté g Komu ( X), brané s opačným znamienkom:
g k–1 ( X)=g Komu ( X)q Komu ( X)– g k+1 ( X).
Poďme nájsť Sturmov systém g(X), pomocou určenej metódy. Navyše v procese delenia budeme, na rozdiel od euklidovského algoritmu, násobiť a redukovať iba ľubovoľné kladné čísla, pretože znaky zvyškov zohrávajú v Sturmovej metóde dôležitú úlohu. Dostaneme takýto systém
g(X)=X 3 +3X 2 –1,
g 1 (X)=3X 2 +6X,
g 2 (X)=2X+1,
g 3 (X)=1.
Určme znamienka polynómov tohto systému at X=–∞ a X= +∞, pri ktorých sa pozeráme len na znamienka vedúcich koeficientov a na stupne týchto polynómov. Pri +∞ sa znamienka všetkých polynómov Sturmovej sústavy budú zhodovať so znamienkami ich najvyšších členov a pri –∞ sa znamienka polynómov Sturmovej sústavy zhodujú so znamienkami ich najvyšších koeficientov pre polynómy párneho stupňa a sú opačné ako znamienka najvyšších polynómov nepárneho stupňa.
Teda pri prechode X od –∞ do +∞ Sturmov systém stráca tri zmeny znamienka, takže polynóm g(X) má práve tri skutočné korene (Sturmova veta).
Pokračujme v štúdiu znakov v Sturmovom systéme, berúc do úvahy intervaly (0,1), (1,2), (2,3), atď., (0,–1), (–1,–2) , (–2 ,–3) atď. Definujeme teda intervaly ( A, b), Kde a–b=1 obsahujúci tri skutočné korene a nájdite interval pre X 0 .
Teda Sturmov systém polynómu g(X) pri prechode stratí jednu zmenu znamienok X-3 až -2, -1 až 0 a 0 až 1. Korene X 1 , X 2 , X 3 tohto polynómu teda spĺňajú nerovnosti:
–3<X 1 <–2, –1<X 2 <0, 0<X 3 <1, т.е. наибольший корень X 0 (0,1).
3. Zostrojme schematický graf polynómu v intervale (0, 1) g(X), pri výpočte nasledujúcich hodnôt polynómov:
g(0)=–1, g(1)=3, g"(0)=0, g"(1)=9 (funkcia sa zvyšuje na uvažovanom intervale), g""(0)>0g""(1)>0 (funkcia je konvexná).
Schematický graf funkcie je uvedený na obr.
Najprv pomocou akordovej metódy na segmente (0,1), krivke r=g(X) sa nahradí akordom AB a úsečka sa berie ako prvá približná hodnota odmocniny X=od priesečníka tejto tetivy s osou X. Trojuholník KBC je podobný trojuholníku CAE, teda , alebo , alebo . Všeobecne .
Potom pomocou Newtonovej metódy nakreslíme dotyčnicu r naplánovať g(X) v bode A(1, g(1)) (v bode nakreslíme dotyčnicu X= 1, pretože g(1) a g""(1) rovnakého znamienka) a vezmite úsečku ako ďalšiu približnú hodnotu odmocniny X=R priesečník tejto dotyčnice s osou Ox.
Zapíšme si rovnicu dotyčnice prechádzajúcej bodom A
r–g(1)=g"(1)(X–1).
Keďže táto dotyčnica prechádza bodom ( p, 0), potom získame tieto hodnoty dosadením do tangentovej rovnice
0–g(1)=g"(1)(p–1) alebo p=1– =1– .
Všeobecne p=b– .
Presnejšia hodnota požadovaného koreňa X 0 je teraz možné hľadať v novom
interval ( A 1 , b 1), uvedenie A 1 =0,3, b 1 = 0,7. Opakovaním akordovej metódy a Newtonovej metódy v intervale ( A 1 , b 1) máme: g(A 1)=–0,703; g(b 1)=0,813; g"(b 1)=5,67.
Pretože g(A 1) a g(b 1) teda rôzne znaky X 0 (A 1 ,b 1)
p 1 =0,7– .
Uvažujme nový interval ( A 2 , b 2), uvedenie A 2 =0,5, b 2 =0,55, g(A 2)=–0,125, g(b 2)=0,073875, g"(b 2) = 4,2075, pretože g(A 2) a g(b 2) – teda rôzne znaky X 0 (A 2 ,b 2),
, p 2 =0,55– .
A nakoniec, vzhľadom na interval ( A 3 , b 3), kde A 3 =0,531, b 3 = 0,532, nájdime to presnejšie X 0 .
Úloha 18.Nasledujúci racionálny zlomok, kde
f(X)= 2X 4 –10X 3 +7X 2 +4X+3, g(X)=x 5 –2X 3 +2X 2 –3X+2,
expandovať do súčtu jednoduchých zlomkov v obore racionálnych čísel.
Riešenie. Každý správny racionálny zlomok má jedinečný rozklad na súčet jednoduchých zlomkov. V našom prípade stupeň f(X) menej ako stupeň g(X), takže zlomok je správny.
Kľúčové slová: rovnice, Polynóm, Korene rovnice
Prezentácia na lekciu
Späť dopredu
Pozor! Ukážky snímok slúžia len na informačné účely a nemusia predstavovať všetky funkcie prezentácie. Ak vás táto práca zaujala, stiahnite si plnú verziu.
Typ lekcie: Lekcia osvojovania a upevňovania základných vedomostí.
Účel lekcie:
- Oboznámiť žiakov s pojmom korene polynómu a naučiť ich, ako ich nájsť. Zdokonaľte sa v používaní Hornerovej schémy na rozšírenie polynómu o mocniny a delenie polynómu binomom.
- Naučte sa nájsť korene rovnice pomocou Hornerovho diagramu.
- Rozvíjajte abstraktné myslenie.
- Podporujte výpočtovú kultúru.
- Rozvoj interdisciplinárnych väzieb.
Počas vyučovania
1. Organizačný moment.
Informujte o téme hodiny, formulujte ciele.
2. Kontrola domácich úloh.
3. Štúdium nového materiálu.
Nech Fn(x) = a n x n +a n-1 x n-1 +...+ a 1 x +a 0 - polynóm pre x stupňa n, kde a 0 , a 1 ,...,a n sú dané čísla a a 0 sa nerovná 0. Ak je polynóm F n (x) delený zvyškom binomom x-a , potom kvocient (neúplný kvocient) je polynóm Q n-1 (x) stupňa n-1, zvyšok R je číslo a rovnosť je pravdivá Fn (x) = (x-a) Qn-1 (x) +R. Polynóm F n (x) je deliteľný binómom (x-a) len v prípade R=0.
Bezoutova veta: Zvyšok R z delenia polynómu F n (x) binómom (x-a) sa rovná hodnote polynómu F n (x) pri x=a, t.j. R = Pn(a).
Trochu histórie. Bezoutova veta, napriek svojej zjavnej jednoduchosti a samozrejmosti, je jednou zo základných teorém teórie polynómov. Táto veta spája algebraické vlastnosti polynómov (ktoré umožňujú, aby sa polynómy považovali za celé čísla) s ich funkčnými vlastnosťami (ktoré umožňujú, aby sa s polynómami zaobchádzalo ako s funkciami). Jedným zo spôsobov riešenia rovníc vyššieho stupňa je faktor polynómu na ľavej strane rovnice. Výpočet koeficientov polynómu a zvyšku je zapísaný vo forme tabuľky s názvom Hornerova schéma.
Hornerova schéma je algoritmus na delenie polynómov, napísaný pre špeciálny prípad, keď sa podiel rovná binomu. x–a.
Horner William George (1786 - 1837), anglický matematik. Hlavný výskum sa týka teórie algebraických rovníc. Vyvinul metódu na približné riešenie rovníc ľubovoľného stupňa. V roku 1819 zaviedol pre algebru dôležitú metódu delenia polynómu binómom x - a (Hornerova schéma).
Odvodenie všeobecného vzorca pre Hornerovu schému.
Delenie polynómu f(x) so zvyškom binómom (x-c) znamená nájsť polynóm q(x) a číslo r také, že f(x)=(x-c)q(x)+r
Napíšme túto rovnosť podrobne:
f 0 x n + f 1 x n-1 + f 2 x n-2 + ...+f n-1 x + f n = (x-c) (q 0 x n-1 + q 1 x n-2 + q 2 x n-3 +...+ q n-2 x + q n-1)+r
Dajme rovnítko medzi koeficienty v rovnakých stupňoch:
xn: f 0 = q 0 => q 0 = f 0 xn-1: f 1 = q 1 - c q 0 => q 1 = f 1 + c q 0 xn-2: f 2 = q 2 - c q 1 => q 2 = f 2 + c q 1 ... ... x0: f n = q n - c q n-1 => q n = f n + c q n-1.
Ukážka Hornerovho okruhu na príklade.
Cvičenie 1. Pomocou Hornerovej schémy delíme polynóm f(x) = x 3 - 5x 2 + 8 so zvyškom binómom x-2.
| 1 | -5 | 0 | 8 | |
| 2 | 1 | 2*1+(-5)=-3 | 2*(-3)+0=-6 | 2*(-6)+8=-4 |
f(x) = x 3 - 5 x 2 + 8 = (x - 2) ( x 2 - 3 x - 6) -4, kde g (x) = (x 2 - 3 x - 6), r = -4 zvyšok.
Rozšírenie mnohočlenu v mocninách dvojčlenu.
Pomocou Hornerovej schémy rozšírime polynóm f(x)=x 3 +3x 2 -2x+4 v mocninách binomu (x+2).
V dôsledku toho by sme mali dostať expanziu f(x) = x 3 +3x 2 -2x+4 = (x+2)(x 2 +x-4)+12 = (x+2)((x-1 )(x+ 2)-2)+12 = (((1*(x+2)-3)(x+2)-2)(x+2))+12 = (x+2) 3-3( x+2)2-2(x+2)+12
Hornerova schéma sa často používa pri riešení rovníc tretieho, štvrtého a vyššieho stupňa, kedy je vhodné polynóm rozšíriť na binom x-a. číslo a volal koreň polynómu F n (x) = f 0 x n + f 1 x n-1 + f 2 x n-2 + ...+f n-1 x + f n, ak pri x=a hodnota polynómu F n (x) sa rovná nule: F n (a)=0, t.j. ak je mnohočlen deliteľný dvojčlenom x-a.
Napríklad číslo 2 je koreňom polynómu F 3 (x)=3x 3 -2x-20, keďže F 3 (2)=0. to znamená. Že faktorizácia tohto polynómu obsahuje faktor x-2.
F3(x)=3x3-2x-20=(x-2)(3x 2 +6x+10).
Ľubovoľný polynóm F n(x) stupňa n 1 nemôže mať viac n skutočné korene.
Akýkoľvek celočíselný koreň rovnice s celočíselnými koeficientmi je deliteľom jej voľného člena.
Ak je vedúci koeficient rovnice 1, potom všetky racionálne korene rovnice, ak existujú, sú celé čísla.
Konsolidácia študovaného materiálu.
Na upevnenie nového učiva sú žiaci vyzvaní, aby doplnili čísla z učebnice 2.41 a 2.42 (s. 65).
(2 študenti riešia na tabuli a ostatní po rozhodnutí skontrolujú zadania v zošite s odpoveďami na tabuli).
Zhrnutie.
Po pochopení štruktúry a princípu fungovania Hornerovej schémy je možné ju použiť aj na hodinách informatiky, kde sa uvažuje o prevode celých čísel z desiatkovej číselnej sústavy do dvojkovej sústavy a naopak. Základom pre prechod z jednej číselnej sústavy do druhej je nasledujúca všeobecná veta
Veta. Ak chcete previesť celé číslo Ap od p-árna číselná sústava na základnú číselnú sústavu d nevyhnutné Ap postupne deliť so zvyškom číslom d, napísané v tom istom p-árny systém, kým sa výsledný kvocient nerovná nule. Zvyšky z rozdelenia budú d- číselné číslice Ad, začínajúc od najmladšej kategórie až po tú najstaršiu. Všetky akcie musia byť vykonané v p-árna číselná sústava. Pre človeka je toto pravidlo výhodné iba vtedy p= 10, t.j. pri prekladaní od desiatková sústava. Pokiaľ ide o počítač, naopak, je pre neho „pohodlnejšie“ vykonávať výpočty v binárnom systéme. Preto sa na prevod „2 na 10“ používa postupné delenie desiatimi v binárnom systéme a „10 na 2“ je sčítanie mocnín desiatich. Na optimalizáciu výpočtov postupu „10 v 2“ používa počítač Hornerovu ekonomickú výpočtovú schému.
Domáca úloha. Navrhuje sa splniť dve úlohy.
1. Pomocou Hornerovej schémy rozdeľte polynóm f(x)=2x 5 -x 4 -3x 3 +x-3 binómom (x-3).
2. Nájdite celočíselné korene polynómu f(x)=x 4 -2x 3 +2x 2 -x-6 (uvažujte, že každý celý koreň rovnice s celočíselnými koeficientmi je deliteľom jej voľného člena)
Literatúra.
- Kurosh A.G. "Kurz vyššej algebry."
- Nikolsky S.M., Potapov M.K. 10. ročník „Algebra a začiatky matematickej analýzy“.
- http://inf.1september.ru/article.php?ID=200600907.
Rozdelenie polynómu piateho stupňa na kvadratické faktory pomocou Lagrangeovho interpolačného polynómu 1. Definícia Lagrangeovho interpolačného polynómu piateho stupňa. Na rozklad redukovaného polynómu piateho stupňa je potrebné splniť rovnosť: f(x)=φ(x)·g(x). V tomto prípade by stupeň polynómov φ(x) a g(x) nemal byť vyšší ako päť. Na určenie celočíselného polynómu nie vyššieho ako piateho stupňa s danou tabuľkou hodnôt existuje vzorec pre Lagrangeov interpolačný polynóm (IPL): 6 Ak k=1 F"(xk)(x−xk), kde F (x)=(x-x1)·(x-x2)·(x-x3)·(x-x4)·(x- φ(x) = F(x)· ∑ x5)(x-x6), Hodnoty Fʹ(xk) derivácie funkcie F(x) v bodoch xk. Kde je potrebné nastaviť súradnice šiestich bodov v rovine. Na určenie faktorov φ(x) a g(x), vyberieme ľubovoľne šesť celočíselných hodnôt x = x1; x2; x3; x4; x5; x6 a dosadíme ich do rovnosti f (x)= φ(x) g(x) Dostaneme: f(x1)= φ( x1) g(x1); f(x2)= φ(x2) g(x2); f(x3) = φ(x3) g(x3); f(x4)= φ(x4) g(x4); f (x5)=φ(x5) g(x5); f(x6)= φ(x6) · g(x6). Tieto rovnosti ukazujú, že každá hodnota φ(xk) požadovaného faktora φ(x) je deliteľom číslo f(xk). Na zostrojenie faktora φ(x) použijeme IML a dosadíme ľubovoľné hodnoty ako f(xk) celé čísla Аk a zvolíme hodnoty xk vo forme po sebe nasledujúcich celých čísel blízkych nula, t. j. x1= -3; x2= -2; x3= -1; x4=0; x5=1; x6=2. V rozšírenej forme IML φ(x) vyzerá takto:
F(x) φ(x) A4 + A2 A3 + A1 A5 F"(1)(x−1) + +A6 F"(−3)(x+3) F"(−2)(x+2) + + F"(0)x F"(−1)(x+1) F"(2)(x−2)) , ·(kde F(x)=(x+3)·(x+2) ·(x+1)·x·(x-1)·(x-2) (2). Ak chcete zostrojiť faktor φ(x) pomocou IML, musíte zadať čísla A1; A2; A3; A4; A5 A6. Definícia: čísla A1; A2; A3; A4; A5; A6 prevzaté zo vzorca IML zapísaného v rade sa nazývajú Lagrangeove rady 2. Rozklad polynómu na lineárne faktory pomocou IML Veta 1 (zovšeobecnenie Hornerovej schémy ) Polynóm φ(x) je lineárny, ak čísla A1; A2; A3; A4; A5; A6 tvoria rastúcu postupnosť celých čísel Dôkaz: polynóm (2) zredukujeme na najmenší spoločný menovateľ, teda na 120· F(x), výsledný čitateľ zapíšeme ako polynóm piateho stupňa, ktorého koeficienty obsahujú čísla A1; A2; A3; A4; A5; A6. Aby bol polynóm (2) lineárny, je potrebné vyrovnať vynulujte koeficienty v bode „x“ piateho, štvrtého, tretieho a druhého stupňa a koeficient v bode „x“ prvého stupňa sa rovná 120. Výsledkom je nasledujúci systém piatich rovníc so šiestimi premennými: -A1+5 A2-10 A3+10 A4-5 A5+A6=0 5 A2-20 A3 +30 A4-20 A5+5 A6=0 5 A1-35 A2+70 A3-50 A4+5 A5+5 A6=0 -5 A2+80 A3-150 А4+80·А4-5·А6=0 -4·А1+30·А2-120·А3+40·А4+60·А5-6·А6=120. Ak zafixujeme číslo A6, potom všetko ostatné bude vyjadrené nasledujúcimi vzorcami: A1=A6-5; A2=A6-4; A3=A6-3; A4 = A6-2; A5 = A6-1.
Získali sme rastúcu postupnosť celých čísel. Z vety vyplýva, že lineárny faktor má tvar: φ(x)=x+A4 (3). Definícia: postupnosť čísel daná týmito vzťahmi A1=A6-5; A2=A6-4; A3=A6-3; A4 = A6-2; A5 = A6-1; A6 sa nazýva lineárny Lagrangeov rad. Definícia: Lineárna Lagrangeova séria sa nazýva „kandidát“, ak všetky jej čísla Аk sú deliteľmi zodpovedajúcich hodnôt funkcie f(xk), kde k=1;2;3;4;5;6. Pre všetkých kandidátov zostrojíme lineárny faktor φ(x) pomocou vzorca (3) a skontrolujeme jeho deliteľnosť pomocou f(x). Z vety vyplýva, že lineárny činiteľ má tvar φ(x)=x+A4, kde A4 je deliteľ voľného člena, t.j. Podobne ako redukovaný polynóm podľa Hornerovej schémy. Príklad: f(x)= x5-8x4+2x3-16x2+x-8. Pomocou Hornerovej schémy nájdeme hodnotu polynómu pri x = -3; -2; -1; 0;1;2. Aby sme to urobili, zostavme tabuľku 1: -8 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -3 -2 -1 0 1 2 Posledný stĺpec tabuľky 1 prepíšeme prvým riadkom tabuľky 2. Vyberte v tomto riadku číslo, ktoré má najmenší počet deliteľov. V našom príklade je toto číslo -8. Zapíšme si všetky jeho deliteľa do stĺpca. Pre každého deliteľa čísla -8 napíšeme lineárny Lagrangov rad v riadku. Z výslednej Lagrangianovej série vyberieme „kandidátov“. Zostrojme polynóm φ(x) v f(0) pomocou „kandidátov“. lineárny multiplikátor -8 -1100 -250 -36 -8 -28 -150 je určený 1 1 1 1 1 1 1 2 35 22 11 2 -5 -10 -16 -121 -60 -27 -16 -21 -36 1 364 121 28 1 -20 -71
36 A3 0 -2 1 -3 3 -5 7 -9 -8 A4 1 -1 2 -2 4 -4 8 -8 -28 A5 2 0 3 -1 5 -3 9 -7 -150 A6 3 1 4 0 6 -2 10 -6 vzorec (3) a skontrolujte ich deliteľnosť s daným polynómom f(x)= x5-8x4+2x3-16x2+x-8. Tabuľka 2: -250 -1100 A2 A1 -2 -1 -3 -4 0 -1 -5 -4 2 1 -6 -7 5 6 -11 „candide -10 at“ Vo vyššie uvedenej tabuľke 2 sú obdĺžniky vytieňované šedá, ktoré obsahujú čísla, ktoré nie sú deliteľmi zodpovedajúcich hodnôt funkcie f(x). Táto tabuľka obsahuje riadok alebo Lagrangov rad všetkých čísel, ktoré sú deliteľmi zodpovedajúcich hodnôt funkcie f(x). Táto séria je jediným kandidátom. V tomto rade A4 = -8, keď do vzorca dosadíme φ(x)=x- A4, nájdeme φ(x)=x- 8. Skutočného kandidáta zvýrazníme čiernou farbou. 3. Rozšírenie polynomických faktorov pomocou IML. Kontrola:x5-8x4+2x3-16x2+x-8=(x-8)·(x4+2x2+1). na kvadratické Veta 2. Faktor φ(x) je kvadratický, ak čísla A1; A2; A3; A4; A5; A6 sú vzájomne prepojené nasledujúcimi vzťahmi: A1=5·(A5+4)-4·A6 A2=4·(A5+3)-3·A6 A3=3·(A5+2)-2·A6 A4=2 · (A5+1)-1 A6
Dôkaz: Dôkaz: zredukujme polynóm (1) na najmenší spoločný menovateľ, t.j. do 120· F(x), výsledný čitateľ zapíšeme v tvare polynómu piateho stupňa, ktorého koeficienty obsahujú čísla A1; A2; A3; A4; A5; A6. Aby bol polynóm (1) kvadratický, je potrebné prirovnať koeficienty „x“ piateho, štvrtého a tretieho stupňa k nule a koeficient „x“ druhého stupňa k 120. výsledkom je nasledujúca sústava štyroch rovníc so šiestimi premennými: -A1+5 A2-10 A3+10 A4-5 A5+A6=0 5 A2-20 A3+30 A4-20 A5+5 A6=0 5 A1 -35 A2 +70 A3-50 A4+5 A5+5 A6=0 -5 A2+80 A3-150 A4+80 A5-5 A6=120. Ak zafixujeme dve čísla A5 a A6, potom všetko ostatné bude vyjadrené nasledujúcimi vzorcami: A1=5·(A5+4)-4·A6; A2 = 4.(A5+3)-3.A6; A3 = 3·(A5+2)-2·A6; A4 = 2·(A5+1)-1·A6. Z vety vyplýva, že kvadratický faktor bude vyjadrený vzorcom φ(x)=x2+(A6-A5-3) x+ A4. (4) Definícia: Postupnosť celých čísel daná nasledujúcimi vzťahmi; A3 = 3·(A5+2)-2·A6; A4=2·(A5+1)-1·A6 sa nazýva kvadratický Lagrangov rad Definícia: Kvadratický Lagrangov rad sa nazýva „kandidát“, ak všetky jeho čísla Ak sú deliteľmi zodpovedajúcich hodnôt funkcie f(xk) k = 1;2;3;4;5;6. Pre všetkých kandidátov zostrojíme kvadratický faktor φ(x) pomocou vzorca (4) a skontrolujeme jeho deliteľnosť s f(x). A1 = 5·(A5+4)-4·A6; A2 = 4·(A5+3)-3·A6
A3 A4+ d+4 A4 A5+ d+2 A5 A5 4. Zjednodušený tvar kvadratickej Lagrangovej rady. Vzorce pre kvadratickú Lagrangovu sériu možno zjednodušiť. Aby ste to dosiahli, písmeno „d“ bude označovať rozdiel A5-A6, potom čísla kvadratickej Lagrangeovej série budú vyzerať ako jednoduchšie vzorce a vhodné na ich konštrukciu: A1 A2 A2+ d+8 A3+ d+6 Príklad: A5= 7; A6=10 zostavte kvadratickú Lagrangeovu sériu. Nájdeme d=7-10=-3, potom pomocou vzorcov v tabuľke nájdeme čísla tohto radu: A1 A2+ d+8 10+(- 3)+8 15 Odpoveď: 15; 10; 7; 6; 7; 10. Uvažujme príklad rozkladu redukovaného polynómu piateho stupňa: f(x)=x5-5x4+13x3-22x2+27x- 20. A5 A2 A3+ d+6 A5 7+(-3)+6 6+( -3) +4 7+(-3)+2 7 7 10 A4 A5+ d+2 A3 A4+ d+4 7 6 A6 A6 A6 A6 10 10 1) Pomocou Hornerovej schémy nájdeme hodnoty funkcie na x = -3; -2;-1; 0;1;2. Aby sme to urobili, urobme tabuľku: 1 1 1 1 1 1 1 -5 -8 -7 -6 -5 -4 -3 13 37 27 19 13 9 7 -22 -133 -76 -41 -22 -13 - 8 -3 - 2 -1 0 1 2 2) Určte, či má tento polynóm lineárne faktory. Za týmto účelom zapíšeme výsledné hodnoty funkcií do riadku tabuľky č.3. Z nich vyberieme číslo, ktoré má najmenší počet deliteľov. V našom príklade je to číslo „2“. Zapíšme si všetky jeho celočíselné delitele do stĺpca. Pre každého deliteľa čísla "2" v -20 -1298 -378 -88 -20 -6 2 27 426 179 68 27 14 11
riadok píšeme lineárny Lagrangov rad. Vyberieme z nich kandidátov a skontrolujeme deliteľnosť s daným polynómom f(x). Tabuľka č.3: -1298 A1 -378 A2 -88 A3 -20 A4 -3 0 -4 -5 -6 A5 0 -2 1 -3 2 A6 1 -1 2 -2 V tejto tabuľke č.3 sú bunky označené sivou farbou, ktoré obsahujú čísla, ktoré nie sú deliteľmi zodpovedajúcich hodnôt funkcie f(x). Nie je potrebné vypĺňať prázdne bunky, pretože zostrojený kvadratický Lagrangiánsky rad s číslom v sivej bunke určite nie je „kandidát“. Z tejto tabuľky č. 3 je zrejmé, že neexistujú žiadni „kandidáti“. To znamená, že tento polynóm f(x)=x5-5x4+13x3- 22x2+27x-20 nemožno rozšíriť na lineárne faktory. 3) Určte, či má tento polynóm kvadratické faktory. Za týmto účelom zapíšeme výsledné hodnoty funkcií do riadku tabuľky č.4. Z nich vyberieme dve čísla, ktoré majú najmenší počet deliteľov. V našom príklade sú to čísla „2“ a „-6“, ich deliteľov napíšeme do stĺpcov. Pre každú dvojicu deliteľov čísel „2“ a „-6“ napíšeme kvadratický Lagrangov rad v riadku. Vyberieme z nich kandidátov a skontrolujeme ich deliteľnosť s daným polynómom f(x). Tabuľka č.4: -1298 A1 A2+ d+8 -378 A2 A3+ d+6 5 -88 A3 A4+ d+4 1 10 -5 -20 A4 A5+ d+2 3 -1 5 -3 7 -5 -6 A5 A5 1 -1 2 -2 3 -3 2 A6 A6 1 1 1 1 1 1 d d= A5- A6 d=0 d=-2 d=1 d=-3 d=2 d=-4
19 7 2 14 -2 14 7 22 2 13 6 11 5 2 5 -1 8 -4 7 19 1 13 -11 5 1 7 -1 9 -3 15 -9 2 -2 4 -4 6 -6 12 -12 6 2 8 0 10 -2 16 -8 6 -6 1 -1 2 -2 3 -3 6 -6 1 -1 2 -2 3 -3 6 -6 1 -1 2 -2 3 -3 6 -6 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 2 2 2 2 2 2 2 2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 d=5 d=-7 d= 2 d=0 d=3 d=-1 d=4 d=-2 d=7 d=-5 d=-1 d=-3 d=0 d=-4 d=1 d=-5 d=4 d=-8 d=3 d=1 d=4 d=0 d=5 d=-1 d= 8 d=-4 „sladkosti“. "cukrík." V tejto tabuľke č. 4 vidíme dvoch „kandidátov“. S ich pomocou pomocou vzorca φ(x)=x2+(A6- A5-3) x+ A4 nájdeme štvorcové faktory: φ1(x)=x2-3x+ 4; φ2(x)=x2+x-4. Kontrola ukazuje, že jeden z dvoch faktorov je pravdivý, toto je φ1(x)=x2-3x+ 4, a druhý faktor sa ukázal ako cudzí. Odpoveď: x5-5x4+13x3-22x2+27x-20=(x2-3x+ 4)·(x3-2x2+3x-5). V tejto tabuľke č. 4 sme získali 32 kvadratických Lagrangeových radov. Toto číslo je určené počtom rôznych párov deliteľov, kladných aj záporných, ktoré sú umiestnené v dvoch susedných stĺpcoch. dve funkčné hodnoty,
5. Zníženie počtu kvadratických Lagrangeových radov. Podľa definície, ak sa hodnoty funkcie, počet deliteľov, ktoré sú minimálne, nenachádzajú v blízkosti, potom môžete použiť nasledujúcu vetu: Veta 3 Nech sú známe A4 a A6, potom A5=(A4+ A6 · 1):2-1 Nech sú známe A3 a A6, potom A5= (A3+ A6 ·2):3-2 Nech sú známe A2 a A6, potom A5=(A2+ A6 ·3):4-3 Nech A1 a A6 byť známy, potom A5=(A1+ A6 ·4):5-4. Dôkaz: dokážme poslednú rovnosť A5=(A1+A6·4):5-4. kvadratické Lagrangeove čísla, A1=5·(A5+4)-4·A6, toto číslo dosadíme do pôvodnej rovnosti a získame A5=(5·(A5+4)-4·A6+A6·4):5- 4=(5 ·A5+20):5-4=A5+4-4=A5, čo je potrebné dokázať. Podobným spôsobom sa dajú dokázať aj iné rovnosti. Táto veta nám umožňuje znížiť počet kvadratických Lagrangeových radov. Uvažujme príklad, ktorý sme už riešili f(x)=x5-5x4+13x3-22x2+27x-20 a vyriešme ho pre prípad, keď uvažujeme o kvadratickom Lagrangeovom rade skonštruovanom pomocou deliteľov A4 a A6. Tabuľka č.5: -1298 -378 A2 A1 A2+ A3+ d+6 d+8 d d = A5- A6 -88 A3 A4+ d+4 -20 A4 A5+ d+2 1 -1 5 -5 1 -1 -6 A5 ( A4+ A6 ·1):2-1 0 -1 2 -3 -1 -2 2 A 6 A 6 1 1 d =-2 1 d = 1 1 d =-4 - d =0 1 d =-1 - 1 5 7 1 10 -5 5 2 14
19 11 7 22 2 2 14 -2 13 6 5 -1 8 -4 7 1 19 5 -5 2 -2 4 -4 10 -10 20 -20 2 -2 4 -4 10 -10 20 -20 1 -4 1 -1 2 -2 5 -5 10 -10 -1 -3 0 -4 3 -7 8 -12 „cukrík“. "cukrík." d = 2 - 1 - 1 2 d = - 1 2 d = - 3 2 d = 0 2 d = - 4 2 2 2 2 - 2 - 2 - 2 - 2 - 2 - 2 - 2 - 2 d = 1 d =-1 d =5 V tejto tabuľke č.5 sme dostali 24 kvadratických Lagrangeových radov. Keďže vo vzorci musí byť súčet A4 a A6 vydelený 2, deliče A4 a A6 musia byť buď párne, alebo oba nepárne. Vďaka tomu sa znížil počet kvadratických Lagrangeových sérií. Ak použijeme túto vetu 3 na zápis kvadratických Lagrangeových radov zostrojených pomocou A1 a A6, potom sa počet sérií zníži na 12. Tabuľka č. 6: -378 -1298 A1 A2 2 A6 d -88 A3 -20 A4 -6 A5
"cukrík." A3+d+ 6 5 d=-4 d=0 „sladkosť“. "cukrík." A5+d+ 2 -5 -1 A4+d+ 4 -5 1 (4A1+A6): 5-4 -3 -1 -15 -5 -7 7 -2 2 -26 -6 -10 12 A6 d=A5- A6 d=-4 1 1 d=-2 1 -1 -1 -1 2 2 2 -2 d=-4 -2 -2 A2+d+ 8 1 11 -59 -1 -11 -59 2 22 -118 - 2 -22 118 V tabuľke č. 6 sa počet kvadratických Lagrangeových radov znížil na 12, pretože A5 sa nachádza podľa vzorca (4A1 + A6): 5-4 a A5 ako celé číslo musí byť menšie alebo rovné do -6. Vo všetkých tabuľkách je čierny zvýraznený riadok „platný kandidát“. Zvyšní kandidáti sú „imaginárni“. Pre polynóm šiesteho stupňa je možné dokázať, že kvadratický faktor možno nájsť pomocou vzorca: φ(x)=x2+ (A7 - A6 - 5) x+ A4, kde čísla sú A1; A2; A3; A4; A5; A6; A7 tvoria kvadratickú Lagrangeovu sériu. 6. Závery: 1. Táto metóda rozkladu pomocou IML -2 14 -4 8 -4 4 -8 je zovšeobecnením „Hornerovej schémy“. 2. Pomocou tejto metódy môžete určiť kvadratické faktory pre polynómy nad piatym stupňom. 3. Pomocou tejto metódy môžete študovať vlastnosti Lagrangeových čísel na určovanie kubických polynómov pri rozširovaní polynómov piateho a vyššieho stupňa. 7. Literatúra: 1. A. N. Chebotarev „Základy teórie Galois“, OMTI GTTI, 1934, 1 hod.
2. „Čísla a polynómy“, zostavil A.A. Egorov - M.: Quantum Bureau, 2000 / príloha časopisu „Quantum“ č. 6, 2000.
Podobné články
