Táto príručka vám pomôže naučiť sa, ako postupovať operácie s maticami: sčítanie (odčítanie) matíc, transpozícia matice, násobenie matíc, nájdenie inverznej matice. Všetok materiál je prezentovaný v jednoduchej a prístupnej forme, sú uvedené relevantné príklady, takže aj nepripravená osoba sa môže naučiť vykonávať akcie s maticami. Pre vlastné monitorovanie a samotestovanie si môžete zadarmo stiahnuť maticovú kalkulačku >>>.

Pokúsim sa minimalizovať teoretické výpočty, na niektorých miestach sú možné vysvetlenia „na prstoch“ a používanie nevedeckých pojmov. Milovníci solídnej teórie, prosím, nezapájajte sa do kritiky, našou úlohou je naučiť sa vykonávať operácie s maticami.

Pre SUPER RÝCHLU prípravu na tému (kto „horí“) je tu intenzívny pdf kurz Matica, determinant a test!

Matica je obdĺžniková tabuľka niektorých prvkov. Ako prvkov budeme uvažovať čísla, teda číselné matice. ELEMENT je termín. Termín je vhodné si zapamätať, bude sa objavovať často, nie náhodou som na jeho zvýraznenie použil tučné písmo.

Označenie: matriky sa zvyčajne označujú veľkými latinskými písmenami

Príklad: Zvážte maticu dva krát tri:

Táto matica pozostáva zo šiestich prvkov:

Všetky čísla (prvky) vo vnútri matice existujú samy osebe, to znamená, že neprichádza do úvahy žiadne odčítanie:

Je to len tabuľka (množina) čísel!

Tiež sa dohodneme nepreskupovaťčísla, pokiaľ nie je vo vysvetlivkách uvedené inak. Každé číslo má svoje vlastné umiestnenie a nie je možné ho zamiešať!

Príslušná matica má dva riadky:

a tri stĺpce:

ŠTANDARDNÝ: keď hovoríme o veľkostiach matrice, potom najprv uveďte počet riadkov a až potom počet stĺpcov. Práve sme rozdelili maticu dva na tri.

Ak je počet riadkov a stĺpcov matice rovnaký, potom sa matica zavolá námestie, Napríklad: – matica tri krát tri.

Ak má matica jeden stĺpec alebo jeden riadok, potom sa takéto matice tiež nazývajú vektory.

V skutočnosti poznáme pojem matica už zo školy, predstavme si napríklad bod so súradnicami „x“ a „y“: . Súradnice bodu sa v podstate zapisujú do matice jedna ku dvom. Mimochodom, tu je príklad, prečo na poradí čísel záleží: a sú to dva úplne odlišné body v rovine.

Teraz prejdime k štúdiu operácie s maticami:

1) Prvé dejstvo. Odstránenie mínus z matice (zavedenie mínus do matice).

Vráťme sa k nášmu matrixu . Ako ste si pravdepodobne všimli, v tejto matici je príliš veľa záporných čísel. To je veľmi nepohodlné z hľadiska vykonávania rôznych akcií s maticou, je nepohodlné písať toľko mínusov a dizajnovo to vyzerá jednoducho škaredo.

Posuňme mínus mimo maticu zmenou znamienka KAŽDÉHO prvku matice:

Pri nule, ako viete, sa znamienko nemení; nula je v Afrike tiež nula.

Opačný príklad: . Vyzerá to škaredo.

Zaveďme do matice mínus zmenou znamienka KAŽDÉHO prvku matice:

No dopadlo to oveľa krajšie. A čo je najdôležitejšie, bude jednoduchšie vykonávať akékoľvek akcie s maticou. Pretože existuje taký matematický ľudový znak: čím viac mínusov, tým viac zmätkov a chýb.

2) Dejstvo druhé. Násobenie matice číslom.

Príklad:

Je to jednoduché, na vynásobenie matice číslom potrebujete každý prvok matice vynásobený daným číslom. V tomto prípade - trojka.

Ďalší užitočný príklad:

– násobenie matice zlomkom

Najprv sa pozrime na to, čo robiť NETREBA:

Do matice NIE JE NUTNÉ zadávať zlomok, po prvé to len skomplikuje ďalšie úkony s maticou a po druhé to sťažuje učiteľovi kontrolu riešenia (najmä ak – konečná odpoveď na úlohu).

a hlavne, NETREBA vydeľte každý prvok matice mínus siedmimi:

Z článku Matematika pre figuríny alebo kde začať, pamätáme si, že vo vyššej matematike sa snažia všemožne vyhýbať desatinným zlomkom s čiarkami.

Jediná vec je prednostneČo robiť v tomto príklade je pridať do matice mínus:

Ale keby len VŠETKY maticové prvky boli rozdelené 7 bez stopy, potom by bolo možné (a potrebné!) rozdeliť.

Príklad:

V tomto prípade môžete POTREBOVAŤ vynásobte všetky prvky matice číslom , pretože všetky čísla matice sú deliteľné 2 bez stopy.

Poznámka: V teórii vysokoškolskej matematiky neexistuje pojem „delenie“. Namiesto toho, aby ste povedali „toto delené tamtým“, môžete vždy povedať „toto vynásobené zlomkom“. To znamená, že delenie je špeciálny prípad násobenia.

3) Tretie dejstvo. Maticová transpozícia.

Aby ste mohli transponovať maticu, musíte jej riadky zapísať do stĺpcov transponovanej matice.

Príklad:

Transponovať maticu

Je tu len jeden riadok a podľa pravidla ho treba napísať do stĺpca:

– transponovaná matica.

Transponovaná matica je zvyčajne označená horným indexom alebo prvočíslom vpravo hore.

Príklad krok za krokom:

Transponovať maticu

Najprv prepíšeme prvý riadok do prvého stĺpca:

Potom prepíšeme druhý riadok do druhého stĺpca:

A nakoniec prepíšeme tretí riadok do tretieho stĺpca:

Pripravený. Zhruba povedané, transpozícia znamená otočenie matrice na bok.

4) Štvrté dejstvo. Súčet (rozdiel) matíc.

Súčet matíc je jednoduchá operácia.
NIE JE MOŽNÉ ZLOŽIŤ VŠETKY MATICE. Na sčítanie (odčítanie) matíc je potrebné, aby boli ROVNAKEJ VEĽKOSTI.

Napríklad, ak je daná matica dva krát dva, potom môže byť pridaná iba s maticou dva krát dva a žiadna iná!

Príklad:

Pridajte matice A

Ak chcete pridať matice, musíte pridať ich zodpovedajúce prvky:

Pre rozdiel matíc je pravidlo podobné, je potrebné nájsť rozdiel zodpovedajúcich prvkov.

Príklad:

Nájdite maticový rozdiel ,

Ako môžete tento príklad vyriešiť jednoduchšie, aby ste sa nezamotali? Odporúča sa zbaviť sa zbytočných mínusov, aby ste to urobili, pridajte do matice mínus:

Poznámka: V teórii vysokoškolskej matematiky neexistuje pojem „odčítanie“. Namiesto toho, aby ste povedali „odčítajte toto od tohto“, môžete vždy povedať „pripočítajte k tomu záporné číslo“. To znamená, že odčítanie je špeciálny prípad sčítania.

5) Piate dejstvo. Maticové násobenie.

Aké matice možno násobiť?

Aby sa matica vynásobila maticou, je to nevyhnutné aby sa počet stĺpcov matice rovnal počtu riadkov matice.

Príklad:
Je možné vynásobiť maticu maticou?

To znamená, že maticové údaje možno znásobiť.

Ak sa však matice preusporiadajú, potom v tomto prípade násobenie už nie je možné!

Preto násobenie nie je možné:

Nie je tak zriedkavé stretnúť sa s úlohami s trikom, kedy je žiak vyzvaný na násobenie matíc, ktorých násobenie je evidentne nemožné.

Treba poznamenať, že v niektorých prípadoch je možné násobiť matice oboma spôsobmi.
Napríklad pre matice je možné násobenie aj násobenie

1. ročník, vyššia matematika, štúdium matice a základné úkony na nich. Tu systematizujeme základné operácie, ktoré možno vykonávať s maticami. Kde začať so zoznamovaním sa s matrikami? Samozrejme, od tých najjednoduchších vecí – definície, základné pojmy a jednoduché operácie. Uisťujeme vás, že matrikám bude rozumieť každý, kto sa im aspoň trochu venuje!

Definícia matice

Matrix je obdĺžniková tabuľka prvkov. Jednoducho povedané – číselná tabuľka.

Matice sa zvyčajne označujú veľkými latinskými písmenami. Napríklad matrix A , matica B a tak ďalej. Matice môžu mať rôznu veľkosť: obdĺžnikové, štvorcové a existujú aj riadkové a stĺpcové matice nazývané vektory. Veľkosť matice je určená počtom riadkov a stĺpcov. Napíšme napríklad obdĺžnikovú maticu veľkosti m na n , Kde m – počet riadkov a n – počet stĺpcov.

Položky, pre ktoré i=j (a11, a22, .. ) tvoria hlavnú uhlopriečku matice a nazývajú sa uhlopriečka.

Čo môžete robiť s matrikami? Pridať/Odčítať, vynásobiť číslom, množiť sa medzi sebou, transponovať. Teraz o všetkých týchto základných operáciách s maticami v poradí.

Operácie sčítania a odčítania matice

Okamžite vás upozorňujeme, že pridávať môžete len matice rovnakej veľkosti. Výsledkom bude matica rovnakej veľkosti. Pridávanie (alebo odčítanie) matíc je jednoduché - stačí sčítať ich zodpovedajúce prvky . Uveďme si príklad. Vykonajte sčítanie dvoch matíc A a B veľkosti dva krát dva.

Odčítanie sa vykonáva analogicky, iba s opačným znamienkom.

Každá matica môže byť vynásobená ľubovoľným číslom. Robiť to, musíte vynásobiť každý jeho prvok týmto číslom. Napríklad vynásobme maticu A z prvého príkladu číslom 5:

Operácia násobenia matice

Nie všetky matice sa dajú spolu násobiť. Napríklad máme dve matice - A a B. Vzájomne ich možno vynásobiť len vtedy, ak sa počet stĺpcov matice A rovná počtu riadkov matice B. V tomto prípade každý prvok výslednej matice, ktorý sa nachádza v i-tom riadku a j-tom stĺpci, sa bude rovnať súčtu súčinov zodpovedajúcich prvkov v i-tom riadku prvého faktora a j-tom stĺpci druhy. Aby sme pochopili tento algoritmus, napíšme si, ako sa násobia dve štvorcové matice:

A príklad s reálnymi číslami. Vynásobme matice:

Operácia maticovej transpozície

Maticová transpozícia je operácia, pri ktorej sa vymenia zodpovedajúce riadky a stĺpce. Napríklad transponujme maticu A z prvého príkladu:

Maticový determinant

Determinant alebo determinant je jedným zo základných pojmov lineárnej algebry. Kedysi ľudia vymýšľali lineárne rovnice a po nich mali prísť s determinantom. Nakoniec je len na vás, ako sa s tým všetkým vysporiadate, takže posledný tlak!

Determinant je numerická charakteristika štvorcovej matice, ktorá je potrebná na riešenie mnohých problémov.
Na výpočet determinantu najjednoduchšej štvorcovej matice je potrebné vypočítať rozdiel medzi produktmi prvkov hlavnej a sekundárnej uhlopriečky.

Determinant matice prvého rádu, ktorá pozostáva z jedného prvku, sa rovná tomuto prvku.

Čo ak je matica tri na tri? Je to náročnejšie, ale dá sa to zvládnuť.

Pre takúto maticu sa hodnota determinantu rovná súčtu súčinov prvkov hlavnej uhlopriečky a súčinov prvkov ležiacich na trojuholníkoch s plochou rovnobežnou s hlavnou uhlopriečkou, z ktorých je súčin prvky vedľajšej uhlopriečky a súčin prvkov ležiacich na trojuholníkoch s plochou rovnobežnej vedľajšej uhlopriečky sa odčítajú.

Našťastie v praxi je zriedka potrebné vypočítať determinanty matíc veľkých veľkostí.

Tu sme sa pozreli na základné operácie s maticami. Samozrejme, v reálnom živote sa možno nikdy nestretnete ani s náznakom maticového systému rovníc, alebo naopak, môžete sa stretnúť s oveľa zložitejšími prípadmi, kedy si budete musieť poriadne polámať hlavu. Práve pre takéto prípady existujú profesionálne študentské služby. Požiadajte o pomoc, získajte kvalitné a podrobné riešenie, užívajte si akademické úspechy a voľný čas.

Pridanie matice$ A $ a $ B $ je aritmetická operácia, v dôsledku ktorej by sa mala získať matica $ C $, ktorej každý prvok sa rovná súčtu zodpovedajúcich prvkov pridaných matíc:

$$ c_(ij) = a_(ij) + b_(ij) $$

Detailne Vzorec na sčítanie dvoch matíc vyzerá takto:

$$ A + B = \begin(pmatrix) a_(11) & a_(12) & a_(13) \\ a_(21) & a_(22) & a_(23) \\ a_(31) & a_( 32) & a_(33) \end(pmatrix) + \begin(pmatrix) b_(11) & b_(12) & b_(13) \\ b_(21) & b_(22) & b_(23) \\ b_(31) & b_(32) & b_(33) \end(pmatrix) = $$

$$ = \begin(pmatrix) a_(11) + b_(11) & a_(12)+b_(12) & a_(13)+b_(13) \\ a_(21)+b_(21) & a_ (22)+b_(22) & a_(23)+b_(23) \\ a_(31)+b_(31) & a_(32)+b_(32) & a_(33)+b_(33) \ end(pmatrix) = C$$

Upozorňujeme, že môžete pridávať a odčítavať iba matice rovnakej dimenzie. So súčtom alebo rozdielom bude výsledkom matica $ C $ rovnakej dimenzie ako členy (odčítané) matíc $ A $ a $ B $. Ak sa matice $ A $ a $ B $ navzájom líšia veľkosťou, potom pridanie (odčítanie) takýchto matíc bude chybou!

Vzorec pridáva matice 3 x 3, čo znamená, že výsledkom by mala byť matica 3 x 3.

Odčítanie matícúplne podobný sčítaciemu algoritmu, len so znamienkom mínus. Každý prvok požadovanej matice $C$ sa získa odčítaním zodpovedajúcich prvkov matíc $A$ a $B$:

$$ c_(ij) = a_(ij) - b_(ij) $$

Zapíšme si podrobné vzorec na odčítanie dvoch matíc:

$$ A - B = \begin(pmatrix) a_(11) & a_(12) & a_(13) \\ a_(21) & a_(22) & a_(23) \\ a_(31) & a_( 32) & a_(33) \end(pmatrix) - \begin(pmatrix) b_(11) & b_(12) & b_(13) \\ b_(21) & b_(22) & b_(23) \\ b_(31) & b_(32) & b_(33) \end(pmatrix) = $$

$$ = \begin(pmatrix) a_(11) - b_(11) & a_(12)-b_(12) & a_(13)-b_(13) \\ a_(21)-b_(21) & a_ (22)-b_(22) & a_(23)-b_(23) \\ a_(31)-b_(31) & a_(32)-b_(32) & a_(33)-b_(33) \ end(pmatrix) = C$$

Za zmienku tiež stojí, že matice nemôžete sčítať a odčítať s obyčajnými číslami, ako aj s niektorými ďalšími prvkami

Pre ďalšie riešenia úloh s maticami bude užitočné poznať vlastnosti sčítania (odčítania).

Vlastnosti

Ak sú matice $ A,B,C $ rovnakej veľkosti, potom sa na ne vzťahuje vlastnosť asociatívnosti: $$ A + (B + C) = (A + B) + C $$
Pre každú maticu existuje nulová matica, označená ako $ O $, po sčítaní (odčítaní), s ktorou sa pôvodná matica nemení: $$ A \pm O = A $$
Pre každú nenulovú maticu $ A $ existuje opačná matica $ (-A) $, ktorej súčet mizne: $ $ A + (-A) = 0 $ $
Pri sčítaní (odčítaní) matíc je povolená vlastnosť komutativity, to znamená, že matice $ A $ a $ B $ je možné zamieňať: $$ A + B = B + A $$ $$ A - B = B - A $$

Príklady riešení

Príklad 1
Dané matice $ A = \začiatok(pmatica) 2&3 \\ -1& 4 \end(pmatica) $ a $ B = \začiatok(pmatica) 1&-3 \\ 2&5 \end(pmatica) $. Vykonajte sčítanie matice a potom odčítanie.
Riešenie
Najprv skontrolujeme rozmernosť matíc. Matica $ A $ má rozmer $ 2 \krát 2 $, druhá matica $ B $ má rozmer $ 2 \krát 2 $. To znamená, že s týmito maticami je možné vykonávať spoločnú operáciu sčítania a odčítania. Pripomeňme, že pre súčet je potrebné vykonať párové sčítanie zodpovedajúcich prvkov matíc $ A \text( a ) B $. $$ A + B = \začiatok(pmatica) 2&3 \\ -1& 4 \koniec(pmatica) + \začiatok(pmatica) 1&-3 \\ 2&5 \end(pmatica) = $$ $$ = \začiatok(pmatica) 2 + 1 & 3 + (-3) \\ -1 + 2 & 4 + 5 \koniec(pmatica) = \začiatok(pmatica) 3 & 0 \\ 1 & 9 \end( pmatica) $$ Podobne ako pri súčte nájdeme rozdiel matíc nahradením znamienka „plus“ znamienkom „mínus“: $$ A - B = \začiatok(pmatica) 2&3 \\ -1& 4 \koniec(pmatica) + \začiatok(pmatica) 1&-3 \\ 2&5 \end(pmatica) = $$ $$ = \začiatok(pmatica) 2 - 1 & 3 - (-3) \\ -1 - 2 & 4 - 5 \koniec(pmatica) = \začiatok(pmatica) 1 & 6 \\ -3 & -1 \ end(pmatrix) $$ Ak nemôžete vyriešiť svoj problém, pošlite nám ho. Poskytneme podrobné riešenie. Budete si môcť pozrieť priebeh výpočtu a získať informácie. Pomôže vám to získať známku od učiteľa včas!
Odpoveď
$$ A + B = \začiatok(pmatica) 3 & 0 \\ 1 & 9 \end(pmatica); A - B = \začiatok(pmatica) 1 & 6 \\ -3 & -1 \end(pmatica) $$

V článku „Sčítanie a odčítanie matíc“ boli uvedené definície, pravidlá, komentáre, vlastnosti operácií a praktické príklady riešení.

Úvod

poradie matice axiomatické násobenie

Operácie s maticami, vlastnosti operácií.

V tomto článku pochopíme, ako sa vykonáva operácia sčítania na maticách rovnakého rádu, operácia násobenia matice číslom a operácia násobenia matíc vhodného rádu, axiomaticky nastavíme vlastnosti operácií a tiež diskutovať o priorite operácií na matriciach. Paralelne s teóriou uvedieme podrobné riešenia príkladov, v ktorých sa vykonávajú operácie s maticami.

Hneď si všimnime, že všetko nasledujúce platí pre matice, ktorých prvkami sú reálne (alebo komplexné) čísla.

Operácia sčítania dvoch matíc

Definícia operácie sčítania dvoch matíc.

Operácia sčítania je definovaná LEN PRE MATICE ROVNAKÉHO PORADIA. Inými slovami, je nemožné nájsť súčet matíc rôznych rozmerov a vo všeobecnosti nemožno hovoriť o sčítaní matíc rôznych rozmerov. Nemôžete tiež hovoriť o súčte matice a čísla alebo o súčte matice a nejakého iného prvku.

Definícia.

Súčet dvoch matíc a je maticou, ktorej prvky sa rovnajú súčtu zodpovedajúcich prvkov matíc A a B, teda .

Výsledkom operácie sčítania dvoch matíc je teda matica rovnakého rádu.

Vlastnosti operácie sčítania matice.

Aké vlastnosti má operácia sčítania matice? Na túto otázku je celkom ľahké odpovedať, počnúc definíciou súčtu dvoch matíc daného rádu a zapamätaním si vlastností operácie sčítania reálnych (alebo komplexných) čísel.

Matice A, B a C rovnakého rádu sú charakterizované vlastnosťou asociatívnosti sčítania A+(B+C)=(A+B)+C.

Pre matice daného rádu existuje neutrálny prvok vzhľadom na sčítanie, ktorým je nulová matica. To znamená, že vlastnosť A+O=A je pravdivá.

Pre nenulovú maticu A daného rádu existuje matica (-A), ich súčet je nulová matica: A+(-A)=O.

Pre matice A a B daného rádu je vlastnosť sčítania A+B=B+A komutatívna.

V dôsledku toho množina matíc daného rádu generuje aditívnu Abelovu grupu (abelovskú grupu vzhľadom na algebraickú operáciu sčítania).

Operácia násobenia matice číslom

Definícia operácie násobenia matice číslom.

Operácia násobenia matice číslom je definovaná PRE MATICE AKÉHOKOĽVEK PORADIA.

Definícia.

Súčin matice a reálneho (alebo komplexného) čísla je matica, ktorej prvky sa získajú vynásobením zodpovedajúcich prvkov pôvodnej matice číslom, teda .

Výsledkom vynásobenia matice číslom je teda matica rovnakého rádu.

Vlastnosti operácie násobenia matice číslom.

Pre matice rovnakého rádu A a B, ako aj pre ľubovoľné reálne (alebo komplexné) číslo, platí distributívna vlastnosť násobenia vzhľadom na sčítanie.

Pre ľubovoľnú maticu A a akékoľvek reálne (alebo komplexné) čísla platí vlastnosť distributivity.

Pre ľubovoľnú maticu A a akékoľvek reálne (alebo komplexné) čísla a asociatívna vlastnosť násobenia platí.

Neutrálne číslo pri vynásobení ľubovoľnou maticou A je jedna, teda .

Z vlastností operácie násobenia matice číslom vyplýva, že násobenie nulovej matice číslom nula poskytne nulovú maticu a súčin ľubovoľného čísla a nulovej matice je nulová matica.

Násobenie matice číslom - príklady a ich riešenie.

Pozrime sa na operáciu násobenia matice číslom na príkladoch.

Nájdite súčin čísla 2 a matice.

Ak chcete vynásobiť maticu číslom, musíte vynásobiť každý jej prvok týmto číslom:

Vynásobte maticu číslom.

Každý prvok danej matice vynásobíme daným číslom:

Operácia násobenia dvoch matíc

Definícia operácie násobenia dvoch matíc.

Operácia násobenia dvoch matíc A a B je definovaná len pre prípad, keď sa POČET STĹPCA MATICE A ROVNÁ POČTU RIADKOV MATICE B.

Definícia. Súčinom matice A rádu a matice B rádu je matica C rádu, ktorej každý prvok sa rovná súčtu súčinov prvkov i-tého riadku matice A zodpovedajúcimi prvkami matice. j-tý stĺpec matice B, tj.

Výsledkom operácie násobenia matice objednávok maticou objednávok je teda matica objednávok.

Maticovo-maticové násobenie - riešenia príkladov.

Pozrime sa na násobenie matice pomocou príkladov a potom prejdeme k zoznamu vlastností operácie násobenia matice.

Nájdite všetky prvky matice C, ktorá sa získa vynásobením matíc a.

Poradie matice A je p=3 x n=2, poradie matice B je n=2 x q=4, preto poradie súčinu týchto matíc bude p=3 x q=4. Použime vzorec

Postupne berieme hodnoty i od 1 do 3 (keďže p=3) pre každé j od 1 do 4 (pretože q=4) a n=2 v našom prípade, potom

Takto sa vypočítajú všetky prvky matice C a matica získaná vynásobením dvoch daných matíc má tvar.

Vykonajte násobenie matice a.

Poradie pôvodných matíc umožňuje vykonať operáciu násobenia. V dôsledku toho by sme mali dostať maticu poradia 2 x 3.

Matice a sú dané. Nájdite súčin matíc A a B, ako aj matíc B a A.

Keďže poradie matice A je 3 x 1 a matice B je 1 x 3, potom A?B bude mať poradie 3 x 3 a súčin matíc B a A bude mať poradie 1 x 1.

Ako môžeš vidieť, . Toto je jedna z vlastností operácie násobenia matice.

Vlastnosti operácie násobenia matíc.

Ak sú matice A, B a C vhodného rádu, potom platia nasledujúce vlastnosti operácie násobenia matíc.

Asociatívna vlastnosť násobenia matíc.

Dve vlastnosti distributivity a.

Vo všeobecnosti je operácia násobenia matíc nekomutatívna.

Matica identity E rádu n x n je neutrálny prvok vzhľadom na násobenie, to znamená, že pre ľubovoľnú maticu A rádu p x n platí rovnosť a pre ľubovoľnú maticu A rádu n x p je rovnosť pravda.

Treba poznamenať, že pri vhodnom usporiadaní súčin nulovej matice O a matice A dáva nulovú maticu. Súčin A a O tiež dáva nulovú maticu, ak objednávky umožňujú operáciu násobenia matíc.

Medzi štvorcovými maticami existujú takzvané permutačné matice, pri ktorých je operácia násobenia komutatívna, tj. Príkladom permutačných matíc je pár matice identity a akejkoľvek inej matice rovnakého rádu, ako je pravda.

Pridanie matice:

Odčítanie a sčítanie matíc redukuje na zodpovedajúce operácie na ich prvkoch. Operácia sčítania matice zadané len pre matice rovnakej veľkosti, t.j matice, v ktorom je počet riadkov a stĺpcov rovnaký. Súčet matíc A a B sa nazývajú matice C, ktorých prvky sa rovnajú súčtu zodpovedajúcich prvkov. C = A + B c ij = a ij + b ij Definované podobne maticový rozdiel.

Vynásobenie matice číslom:

Operácia násobenia (delenia) maticeľubovoľnej veľkosti ľubovoľným číslom sa zníži na vynásobenie (delenie) každého prvku matice pre toto číslo. Matrixový produkt A volá sa číslo k matice B, také že

b ij = k × a ij . B = k × A b ij = k × a ij. Matrix- A = (-1) × A sa nazýva opak matice A.

Vlastnosti sčítania matíc a násobenia matice číslom:

Operácie sčítania matice A násobenie matice na čísle majú tieto vlastnosti: 1. A + B = B + A; 2. A+ (B + C) = (A + B) + C; 3. A + 0 = A; 4. A - A = 0; 5,1 x A = A; 6. a x (A + B) = aA + aB; 7. (a + p) × A = aA + pA; 8. a x (pA) = (ap) x A; , kde A, B a C sú matice, α a β sú čísla.

Násobenie matice (produkt matice):

Operácia násobenia dvoch matíc sa zadáva len pre prípad, keď počet stĺpcov prvého matice rovný počtu riadkov druhého matice. Matrixový produkt A m×n ďalej matice V n×p, tzv matice S m×p také, že s ik = a i1 × b 1k + a i2 × b 2k + ... + a v × b nk , t. j. nájde sa súčet súčinov prvkov i-tého radu matice A k zodpovedajúcim prvkom j-tého stĺpca matice B. Ak matice A a B sú štvorce rovnakej veľkosti, potom vždy existujú produkty AB a BA. Je ľahké ukázať, že A × E = E × A = A, kde A je štvorec matice, E - jednotka matice rovnakej veľkosti.

Vlastnosti násobenia matíc:

Maticové násobenie nie komutatívne, t.j. AB ≠ BA, aj keď sú definované oba produkty. Ak však pre nejaké matice je spokojný vzťah AB=BA, potom napr matice sa nazývajú komutatívne. Najtypickejším príkladom je single matice, ktorý pendluje s ktorýmkoľvek iným matice rovnakej veľkosti. Len štvorcové môžu byť permutovateľné matice rovnakého poradia. A × E = E × A = A

Maticové násobenie má nasledujúce vlastnosti: 1. A × (B × C) = (A × B) × C; 2. A x (B + C) = AB + AC; 3. (A + B) x C = AC + BC; 4. a x (AB) = (aA) x B; 5. A x 0 = 0; 0 x A = 0; 6. (AB) T = BTA T; 7. (ABC) T = CTVTAT; 8. (A + B) T = AT + BT;

2. Determinanty 2. a 3. rádu. Vlastnosti determinantov.

Maticový determinant druhého rádu, príp determinant druhý rád je číslo, ktoré sa vypočíta podľa vzorca:

Maticový determinant tretieho rádu, príp determinant Tretí rád je číslo, ktoré sa vypočíta podľa vzorca:

Toto číslo predstavuje algebraický súčet pozostávajúci zo šiestich členov. Každý výraz obsahuje presne jeden prvok z každého riadka a každého stĺpca matice. Každý člen pozostáva zo súčinu troch faktorov.

Znamenia s ktorými členmi determinant matice zahrnuté vo vzorci nájdenie determinantu matice tretieho rádu je možné určiť pomocou danej schémy, ktorá sa nazýva pravidlo trojuholníkov alebo Sarrusovo pravidlo. Prvé tri pojmy sa berú so znamienkom plus a určujú sa z ľavého čísla a ďalšie tri pojmy sa berú so znamienkom mínus a určujú sa z pravého čísla.

Určte počet hľadaných výrazov determinant matice, v algebraickom súčte môžete vypočítať faktoriál: 2! = 1 × 2 = 2 3! = 1 × 2 × 3 = 6

Vlastnosti maticových determinantov

Vlastnosti maticových determinantov:

Nehnuteľnosť č. 1:

Maticový determinant sa nezmení, ak sú jeho riadky nahradené stĺpcami, každý riadok stĺpcom s rovnakým číslom a naopak (Transpozícia). |A| = |A| T

Dôsledok:

Stĺpce a riadky determinant matice sú rovnaké, preto vlastnosti vlastné riadkom sú splnené aj pre stĺpce.

Nehnuteľnosť č. 2:

Pri zmene usporiadania 2 riadkov alebo stĺpcov maticový determinant zmení znamienko na opačné, pričom zachová absolútnu hodnotu, t.j.:

Nehnuteľnosť č. 3:

Maticový determinant mať dva rovnaké riadky sa rovná nule.

Nehnuteľnosť č. 4:

Spoločný faktor prvkov ľubovoľného radu determinant matice možno brať ako znamenie determinant.

Dôsledky z vlastností č. 3 a č. 4:

Ak sú všetky prvky určitej série (riadok alebo stĺpec) úmerné zodpovedajúcim prvkom paralelnej série, potom napr maticový determinant rovná nule.

Nehnuteľnosť č. 5:

determinant matice sa teda rovnajú nule maticový determinant rovná nule.

Nehnuteľnosť č. 6:

Ak sú všetky prvky riadka alebo stĺpca determinant prezentované ako súčet 2 termínov, potom determinant matice môže byť vyjadrený ako súčet 2 determinanty podľa vzorca:

Nehnuteľnosť č. 7:

Ak do ľubovoľného riadka (alebo stĺpca) determinant potom pridajte zodpovedajúce prvky iného riadku (alebo stĺpca), vynásobte rovnakým číslom maticový determinant nezmení svoju hodnotu.