Polysémia

Polysémia alebo polysémia slov vzniká v dôsledku toho, že jazyk predstavuje systém, ktorý je v porovnaní s nekonečnou rozmanitosťou skutočnej reality obmedzený, takže slovami akademika Vinogradova „Jazyk je nútený distribuovať nespočetné množstvo významov pod jeden, resp. ďalšia rubrika základných pojmov.“ (Vinogradov „Ruský jazyk“ 1947). Je potrebné rozlišovať medzi rôznymi použitiami slov v jednom lexikálno-sémantickom variante a skutočným rozdielom slova. Takže napríklad slovo (das)Ol môže označovať množstvo rôznych olejov, okrem kravského (pre ktorý existuje slovo maslo). Z toho však nevyplýva, že pri označení rôznych olejov bude mať slovo Ol zakaždým iný význam: vo všetkých prípadoch bude jeho význam rovnaký, totiž olej (všetko okrem kravského). Rovnako ako napríklad význam slova Tisch table bez ohľadu na to, aký typ tabuľky slovo v tomto konkrétnom prípade označuje. Iná situácia je, keď slovo Ol znamená olej. Tu už nevystupuje do popredia podobnosť oleja z hľadiska olejnatosti s rôznymi druhmi oleja, ale zvláštna kvalita oleja – horľavosť. A zároveň sa so slovom Ol budú spájať slová označujúce rôzne druhy paliva: Kohl, Holz atď. To nám dáva možnosť odlíšiť od slova Ol dva významy (alebo inými slovami dve lexikálno-sémantické možnosti): 1) olej (nie zviera) 2) olej.
Nové významy zvyčajne vznikajú prenesením jedného z existujúcich slov na nový objekt alebo jav. Takto sa tvoria obrazné významy. Sú založené buď na podobnosti predmetov alebo na spojení jedného objektu s druhým. Je známych niekoľko typov prenosu mien. Najdôležitejšie z nich sú metafora alebo metonymia.
V metafore je prenos založený na podobnosti vecí vo farbe, tvare, povahe pohybu atď. So všetkými metaforickými zmenami zostáva nejaký znak pôvodného konceptu

Homonymia

Polysémia slova je taký veľký a mnohostranný problém, že s ním nejako súvisí široká škála problémov v lexikológii. Najmä problém homonymie sa v niektorých aspektoch dostáva do kontaktu s týmto problémom.
Homonymá sú slová, ktoré znejú rovnako, ale majú odlišný význam. V niektorých prípadoch homonymá vznikajú z polysémie, ktorá prešla procesom deštrukcie. No homonymá môžu vzniknúť aj v dôsledku náhodných zvukových zhôd. Kľúč, ktorý otvára dvere, a kľúč - pružina alebo kosa - účes a kosa - poľnohospodársky nástroj - tieto slová majú rôzny význam a rôzny pôvod, ale zhodou okolností sa zhodujú vo svojom zvuku.
Homonymá rozlišujeme lexikálne (týkajú sa jedného slovného druhu, napr. kľúč je na otváranie zámku a kľúč je pružina. zdroj), morfologické (týkajú sa rôznych slovných druhov, napr. tri je číslovka, trojka je sloveso v rozkazovacom spôsobe), lexiko-gramatické, ktoré vznikajú konverziou, keď dané slovo prechádza do iného slovného druhu. napríklad v angličtine pozri-pozri a pozri-pozri. V anglickom jazyku je obzvlášť veľa lexikálnych a gramatických homoným.
Homofóny a homografy treba odlíšiť od homonym. Homofóny sú rôzne slová, ktoré sa síce líšia v pravopise, ale sú rovnaké vo výslovnosti, napríklad: cibuľa - lúka, Seite - stránka a Saite - struna.
Homografy sú také odlišné slová, ktoré majú rovnaký pravopis, hoci sa inak vyslovujú (aj z hľadiska zvukového zloženia, aj miesta prízvuku v slove), napríklad hrad - hrad.

Synonymia

Synonymá sú slová, ktoré sú si významovo blízke, ale znejú inak, vyjadrujú odtiene jedného pojmu.
Existujú tri typy synoným:
1. Koncepčný alebo ideografický. Líšia sa od seba lexikálnym významom. Tento rozdiel sa prejavuje v rôznych stupňoch označeného atribútu (mráz - chladný, silný, mocný, mohutný), v charaktere jeho označenia (vypchávaná bunda - prešívaná bunda - vystužená bunda), v objeme vyjadreného pojmu (banner - vlajkový, odvážny - tučný), v miere koherencie lexikálnych významov (hnedý - lieskový, čierny - havran).
2. Synonymá sú štylistické alebo funkčné. Líšia sa od seba v oblasti použitia, napríklad oči - oči, tvár - tvár, čelo - čelo. Synonymá citovo – hodnotiaci. Tieto synonymá otvorene vyjadrujú postoj hovoriaceho k označenej osobe, predmetu alebo javu. Napríklad dieťa možno slávnostne nazvať dieťaťom, láskavo malý chlapec a malý chlapec, opovržlivo chlapec a prísavník a tiež zosilnene a pohŕdavo šteniatko, prísavník, spratek.
3. Antonymá - spojenia slov, ktoré sú v lexikálnom význame opačné, napr.: hore - dole, biela - čierna, hovoriť - ticho, hlasno - ticho.

Antonymia

Existujú tri typy antoným:
1. Antonymá postupnej a koordinovanej opozície, napríklad biely - čierny, tichý - hlasný, blízko - vzdialený, dobrý - zlý atď. Tieto antonymá majú niečo spoločné vo svojom význame, čo umožňuje ich kontrast. Čiernobiele pojmy teda označujú pojmy opačných farieb.
2. Antonymá komplementárnych a konverzných protikladov: vojna - mier, manžel - manželka, ženatý - slobodný, možný - nemožný, uzavretý - otvorený.
3. Antonymá dichotomického delenia pojmov. Často sú to rovnaké korene slov: ľudové – protinárodné, legálne – nezákonné, humánne – neľudské.
Zaujímavosťou je tzv vnútroslovná antonymia, keď sú proti sebe postavené významy slov, ktoré majú rovnaký materiálny obal. Napríklad v ruštine sloveso požičať niekomu peniaze znamená „požičať“ a požičať si peniaze od niekoho už znamená požičať si od niekoho peniaze. Vnútroslovná opozícia významov sa nazýva enantiosemia.

6. Axiomatická konštrukcia sústavy prirodzených čísel. Axiomatická metóda konštrukcie matematickej teórie. Požiadavky na systém axióm: dôslednosť, nezávislosť, úplnosť. Peanova axiomatika. Pojem prirodzeného čísla z axiomatickej pozície. Modely systému Peanovho axiómu. Sčítanie a násobenie prirodzených čísel z axiomatických pozícií. Usporiadanosť množiny prirodzených čísel. Vlastnosti množiny prirodzených čísel. Odčítanie a delenie množiny prirodzených čísel od axiomatických pozícií. Metóda matematickej indukcie. Zavedenie nuly a konštrukcia množiny nezáporných celých čísel. Veta o delení so zvyškom.

Základné pojmy a definície

číslo - ide o vyjadrenie určitej veličiny.

Prirodzené číslo prvok nekonečne pokračujúcej sekvencie.

Prirodzené čísla (prirodzené čísla) -čísla, ktoré prirodzene vznikajú pri počítaní (v zmysle enumerácie aj v zmysle kalkulu).

Existujú dva prístupy k definovaniu prirodzených čísel - čísla používané v:

zoznam (číslovanie) položiek (prvý, druhý, tretí, ...);

označenie počtu položiek (žiadne položky, jedna položka, dve položky, ...).

axióma – to sú základné východiská (samozrejmé princípy) konkrétnej teórie, z ktorých sa dedukciou, teda čisto logickými prostriedkami, vyťahuje zvyšok obsahu tejto teórie.

Číslo, ktoré má iba dvoch deliteľov (samotné číslo a jeden), sa nazýva - prvočíslo.

Zložené číslo je číslo, ktoré má viac ako dvoch deliteľov.

§2. Axiomatika prirodzených čísel

Prirodzené čísla sa získavajú počítaním predmetov a meraním veličín. Ale ak sa počas merania objavia iné čísla ako prirodzené čísla, potom počítanie vedie len k prirodzeným číslam. Na počítanie potrebujete postupnosť číslic, ktorá začína jednotkou a ktorá vám umožňuje prechádzať z jednej číslice na druhú toľkokrát, koľkokrát je to potrebné. Inými slovami, potrebujeme segment prirodzeného radu. Preto pri riešení problému zdôvodnenia sústavy prirodzených čísel bolo v prvom rade potrebné zodpovedať otázku, čo je to číslo ako prvok prirodzeného radu. Odpoveď na to dali diela dvoch matematikov - Nemec Grassmann a Talian Peano. Navrhli axiomatiku, v ktorej prirodzené číslo bolo odôvodnené ako prvok nekonečne pokračujúcej postupnosti.

Axiomatická konštrukcia sústavy prirodzených čísel sa uskutočňuje podľa formulovaných pravidiel.

Päť axióm možno považovať za axiomatickú definíciu základných pojmov:

1 je prirodzené číslo;

Nasledujúce prirodzené číslo je prirodzené číslo;

1 nenasleduje žiadne prirodzené číslo;

Ak je prirodzené číslo A nasleduje prirodzené číslo b a mimo prirodzeného čísla s, To b A s sú identické;

Ak je nejaký výrok dokázaný pre 1 a ak z predpokladu, že platí pre prirodzené číslo n, z toho vyplýva, že platí pre nasledujúce n prirodzené číslo, potom táto veta platí pre všetky prirodzené čísla.

Jednotka– toto je prvé číslo prirodzeného radu , ako aj jednu z číslic v desiatkovej číselnej sústave.

Predpokladá sa, že označenie jednotky akejkoľvek kategórie s rovnakým znakom (celkom blízko k modernému) sa prvýkrát objavilo v starovekom Babylone približne 2 000 rokov pred naším letopočtom. e.

Starí Gréci, ktorí za čísla považovali iba prirodzené čísla, považovali každé z nich za súbor jednotiek. Samotná jednotka má osobitné miesto: nepovažovala sa za číslo.

I. Newton napísal: „... pod číslom nerozumieme ani tak súhrn jednotiek, ako skôr abstraktný vzťah jednej veličiny k inej veličine, u nás konvenčne akceptovanej ako jednotka.“ Jeden už teda zaujal svoje právoplatné miesto medzi ostatnými číslami.

Aritmetické operácie s číslami majú rôzne vlastnosti. Možno ich opísať slovami, napríklad: „Súčet sa nemení zmenou miesta výrazov.“ Môžete to napísať písmenami: a+b = b+a. Dá sa vyjadriť osobitnými výrazmi.

Základné aritmetické zákony používame často zo zvyku, bez toho, aby sme si to uvedomovali:

1) komutatívny zákon (komutativity), - vlastnosť sčítania a násobenia čísel, vyjadrená identitami:

a+b = b+a a*b = b*a;

2) kombinačný zákon (asociativita), - vlastnosť sčítania a násobenia čísel, vyjadrená identitami:

(a+b)+c = a+(b+c) (a*b)*c = a*(b*c);

3) distributívny zákon (distributivity), - vlastnosť, ktorá spája sčítanie a násobenie čísel a je vyjadrená identitami:

a*(b+c) = a*b+a*c (b+c) *a = b*a+c*a.

Po dokázaní komutatívneho, kombinačného a distributívneho (vo vzťahu k sčítaniu) zákonov pôsobenia násobenia nepredstavuje ďalšia konštrukcia teórie aritmetických operácií na prirodzených číslach zásadné ťažkosti.

V súčasnosti v hlave alebo na papieri robíme len tie najjednoduchšie výpočty, zložitejšie výpočtové práce čoraz častejšie zverujeme kalkulačkám a počítačom. Činnosť všetkých počítačov – jednoduchých aj zložitých – je však založená na najjednoduchšej operácii – sčítaní prirodzených čísel. Ukazuje sa, že najzložitejšie výpočty sa dajú zredukovať na sčítanie, ale táto operácia sa musí vykonať mnoho miliónov krát.

Axiomatické metódy v matematike

Jedným z hlavných dôvodov rozvoja matematickej logiky je rozšírenosť axiomatická metóda pri konštrukcii rôznych matematických teórií, predovšetkým geometrie a potom aritmetiky, teórie grúp atď. Axiomatická metóda možno definovať ako teóriu, ktorá je postavená na vopred vybranom systéme nedefinovaných pojmov a vzťahov medzi nimi.

Pri axiomatickej konštrukcii matematickej teórie sa predbežne vyberá určitý systém nedefinovaných pojmov a vzťahov medzi nimi. Tieto pojmy a vzťahy sa nazývajú základné. Ďalej zadajte axiómy tie. hlavné ustanovenia uvažovanej teórie, prijaté bez dôkazov. Všetok ďalší obsah teórie je logicky odvodený od axióm. Prvýkrát sa axiomatickej konštrukcie matematickej teórie ujal Euclid pri konštrukcii geometrie.

OZO MATEMATIKA 1. ročník 2. pol

Príklad 1: Zdôvodnime výber akcie pri riešení problému: „Kúpili sme 4 balenia farebného papiera a 3 balenia bieleho papiera. Koľko balíkov bieleho papiera ste si kúpili?

Riešenie. Problém sa týka dvoch množín. Nech A je súbor balíkov farebného papiera, B je súbor balíkov bieleho papiera. Podľa stavu je známy počet balení farebného papiera, t.j. n(A)=4 a je potrebné nájsť veľkosť množiny B. Okrem toho podľa podmienok úlohy môžeme v množine B vybrať podmnožinu C, ktorej počet je 3, t.j. n(C)=3. Urobme to napríklad tak, ako je znázornené na obr. 1.

Obrázok 1

Potom sa rozdiel B \ C = B 1 bude rovnať množine A, t.j. n(B1) = n(A).

Množina B je teda zjednotením množín B 1 a C, kde B 1 C=Æ.

Úloha spočíva v určení veľkosti spojenia dvoch disjunktných množín a rieši sa sčítaním: n(B) = n(B 1 C) = n(B 1) + n(C); n(B) = 4+3 = 7.

Príklad 2: Použitím pojmu číslo ako meradla veľkosti zdôvodníme výber akcie pri riešení problému: „Na sukňu boli použité 3 m látky a na blúzku 2 m. Koľko metrov látky išlo na celý oblek?

Riešenie: Problém sa zaoberá veličinou – dĺžkou, ktorá sa meria pomocou jednotky 1 meter, pretože dĺžka je spojitá, potom si vysvetlíme voľbu akcie pri riešení úlohy pomocou segmentov (obr. 2).

Nech e=1m, segment a ukazuje dĺžku látky použitej na sukňu, a=3e. Segment b znázorňuje dĺžku látky použitej na blúzku, b = 2e. Pretože V úlohe musíte zistiť množstvo všetkej použitej látky, potom segment c bude udávať množstvo všetkej použitej látky: c = a + b.

Obrázok 2

a=3e b=2e m e (c)= m e (a)+m e (c) m e (c) = 2+3 m e (c) = 5 Odpoveď: 5 m.

Príklad 3: Použitím pojmu číslo ako meradla veľkosti zdôvodníme výber akcie pri riešení problému: „V prvej krabici bolo 12 kg sušienok a v druhej o 3 kg menej. Koľko kilogramov sušienok bolo v druhej krabici?

Riešenie:Úloha sa zaoberá veličinou hmotnosť, ktorej mernou jednotkou je 1 kilogram, e = 1 kg, pretože veličina, hmotnosť je spojitá, potom si vysvetlíme voľbu akcie pri riešení úlohy pomocou segmentov (obr. 3).

Nech e ​​= 1 kg, segment a ukazuje, koľko kilogramov cookies bolo v prvom poli, a = 12e.

Segment b ukazuje, o koľko kilogramov cookies bolo v druhom boxe menej ako v prvom, b = 3e.

Segment c ukazuje, koľko kilogramov cookies bolo v druhom poli, m e (c) - ? Je známe, že druhá krabica obsahuje o 3 kg koláčikov menej ako prvá, t.j. to isté, ale o 3 menej.

Nech d=a, potom c = d – b. a = 12e, čo znamená d = 12e. m e (c) = m e (d) - m e (c) m e (c) = 12-3 m e (c) = 9

Obrázok 3

Odpoveď: V druhom boxe bolo 9 kilogramov sušienok.

Pri axiomatickej konštrukcii akejkoľvek matematickej teórie sa dodržiavajú určité pravidlá:

Niektoré koncepty teórie sú vybrané ako Hlavná a sú akceptované bez definície;

Každý pojem teórie, ktorý nie je obsiahnutý v zozname základných, má definíciu, jeho význam je v nej vysvetlený pomocou základných a predchádzajúcich pojmov;

Sú formulované axiómy- návrhy, ktoré sú v tejto teórii prijaté bez dôkazu; odhaľujú vlastnosti základných pojmov;

Každý návrh teórie, ktorý nie je obsiahnutý v zozname axióm, musí byť dokázaný; takéto tvrdenia sa nazývajú vety a sú dokázané na základe axióm a viet, ktoré predchádzajú uvažovanej.

Ak sa konštrukcia teórie uskutočňuje pomocou axiomatickej metódy, t.j. podľa vyššie uvedených pravidiel potom hovoria, že teória je vykonštruovaná deduktívne.

V axiomatickej konštrukcii teórie sú v podstate všetky tvrdenia odvodené dôkazom z axióm. Preto sú na systém axióm kladené špeciálne požiadavky. V prvom rade musí byť dôsledný a nezávislý.

Systém axióm je tzv konzistentný, ak z neho nemožno logicky odvodiť dve vzájomne sa vylučujúce vety.

Ak systém axióm túto vlastnosť nemá, nemôže byť vhodný na podloženie vedeckej teórie.

Konzistentný systém axióm je tzv nezávislý, ak žiadna z axióm tohto systému nie je dôsledkom iných axióm tohto systému.

Pri konštrukcii tej istej teórie axiomaticky možno použiť rôzne systémy axióm. Ale musia byť rovnocenné. Okrem toho matematici pri výbere konkrétneho systému axióm berú do úvahy, ako jednoducho a jasne možno v budúcnosti získať dôkazy teorémov. Ak je však výber axióm podmienený, potom samotná veda alebo samostatná teória nezávisia od žiadnych podmienok - sú odrazom skutočného sveta.

Axiomatická konštrukcia sústavy prirodzených čísel sa uskutočňuje podľa formulovaných pravidiel. Štúdiom tohto materiálu musíme zistiť, ako možno celú aritmetiku prirodzených čísel odvodiť zo základných pojmov a axióm. Samozrejme, jeho prezentácia v našom kurze nebude vždy striktná – niektoré dôkazy pre ich veľkú zložitosť vynechávame, ale každý takýto prípad rozoberieme.

Cvičenie

1. Čo je podstatou axiomatickej metódy konštrukcie teórie?

2. Je pravda, že axióma je tvrdenie, ktoré nevyžaduje dôkaz?

3. Vymenujte základné pojmy školského kurzu planimetrie. Pamätajte si niekoľko axióm z tohto kurzu. Vlastnosti akých pojmov sú v nich opísané?

4. Definujte obdĺžnik a vyberte rovnobežník ako všeobecný pojem. Vymenujte tri pojmy, ktoré by mali predchádzať pojmu „rovnobežník“ v kurze geometrie.

5. Aké vety sa nazývajú vety? Pamätajte si, aká je logická štruktúra vety a čo znamená dokázať vetu.

Základné pojmy a axiómy. Definícia prirodzeného čísla

Ako základný koncept v axiomatickej konštrukcii aritmetiky prirodzených čísel sa berie vzťah „priamo nasledovať“, definovaný na neprázdnej množine N. Za známy sa považuje aj pojem množina, prvok množiny a ďalšie množinovo-teoretické pojmy, ako aj pravidlá logiky.

Prvok bezprostredne nasledujúci za prvkom A, označovať A".

Podstata postoja „priamo nasledovať“ je odhalená v nasledujúcich axiómach.

Axióma 1. V množine N je prvok, ktorý bezprostredne nenasleduje žiadny prvok tejto množiny. Nazveme ho jednota a označíme symbolom 1.

Axióma 2. Pre každý prvok a od N existuje len jeden prvok a“, bezprostredne nasledujúce A.

Axióma 3. Pre každý prvok A V N je najviac jeden prvok, za ktorým bezprostredne nasleduje A.

Axióma 4. Každá podmnožina M súpravy N sa zhoduje s N, ak má tieto vlastnosti: 1) 1 je obsiahnutý v M; 2) zo skutočnosti, že A obsiahnuté v M, z toho vyplýva A" obsiahnuté v M.

Sformulované axiómy sa často nazývajú Peanove axiómy.

Pomocou vzťahu „okamžite nasledovať“ a axióm 1-4 môžeme dať nasledujúcu definíciu prirodzeného čísla.

Definícia. Kopa N, pre ktorých prvky je stanovený vzťah „priamo nasledovať“, ktorý spĺňa axiómy 1-4, sa nazýva množina prirodzených čísel a jej prvky- prirodzené čísla.

Táto definícia nehovorí nič o povahe prvkov súboru N. Takže to môže byť čokoľvek. Výber ako

množina N je nejaká špecifická množina, na ktorej je špecifikovaný špecifický vzťah „priamo nasledovať“, ktorý spĺňa axiómy 1-4, dostaneme model daného systému axióm. V matematike sa dokázalo, že medzi všetkými takýmito modelmi je možné vytvoriť vzájomnú korešpondenciu pri zachovaní vzťahu „priamo nasledovať“ a všetky takéto modely sa budú líšiť iba povahou prvkov, ich názvom a označením. Štandardný model systému Peanovho axiómu je séria čísel, ktoré sa objavili v procese historického vývoja spoločnosti:

Každé číslo v tejto sérii má svoje označenie a názov, ktorý budeme považovať za známy.

Vzhľadom na prirodzený rad čísel ako jeden z modelov axióm 1-4 je potrebné poznamenať, že opisujú proces tvorby tohto radu, a to vtedy, keď vlastnosti vzťahu „priamo nasledujú“ sú odhalené v axiómach. . Prirodzený rad teda začína číslom 1 (axióma 1); za každým prirodzeným číslom bezprostredne nasleduje jediné prirodzené číslo (axióma 2); každé prirodzené číslo bezprostredne nasleduje najviac za jedným prirodzeným číslom (axióma 3); počnúc číslom 1 a pohybom k prirodzeným číslam, ktoré bezprostredne nasledujú za sebou, dostaneme celú množinu týchto čísel (axióma 4). Všimnite si, že axióma 4 formálne opisuje nekonečnosť prirodzeného radu a dôkaz tvrdení o prirodzených číslach je na nej založený.

Vo všeobecnosti môže byť modelom systému Peano axióma akákoľvek spočítateľná množina, napríklad:!...

Zoberme si napríklad postupnosť množín, v ktorej je množina (oo) počiatočným prvkom a každá nasledujúca množina sa získa z predchádzajúcej množiny pridaním ďalšieho kruhu (obr. 108, a). Potom N existuje množina pozostávajúca z množín opísaného tvaru a je to model systému Peanovho axiómu. V množine N sa totiž nachádza prvok (oo), ktorý bezprostredne nenasleduje žiadny prvok tejto množiny, t.j.

existuje jedinečná sada, ktorú je možné získať z A pridaním jednej kružnice, teda je splnená axióma 2. Pre každú množinu A existuje najviac jedna množina, z ktorej sa zostava tvorí A pridaním jedného kruhu, t.j. Platí axióma 3. Ak MÌ N a je známe, že mnohí A obsiahnuté v M, vyplýva, že množina, v ktorej je o jeden kruh viac ako v množine A, obsiahnuté aj v M, To M = N(a preto je splnená axióma 4).

Všimnite si, že v definícii prirodzeného čísla nemožno vynechať žiadnu z axióm – pre ktorúkoľvek z nich je možné zostrojiť množinu, v ktorej sú splnené ostatné tri axiómy, táto axióma však splnená nie je. Túto pozíciu jasne potvrdzujú príklady uvedené na obrázkoch 109 a 110. Obrázok 109a zobrazuje množinu, v ktorej sú splnené axiómy 2 a 3, ale nie je splnená axióma 1 (axióma 4 nebude dávať zmysel, pretože v súbor, ktorý priamo nenasleduje žiadne iné). Obrázok 109b zobrazuje množinu, v ktorej sú splnené axiómy 1, 3 a 4, ale za prvkom A dva prvky bezprostredne nasledujú, a nie jeden, ako sa vyžaduje v axióme 2. Obrázok 109c zobrazuje množinu, v ktorej sú splnené axiómy 1, 2, 4, ale prvok s bezprostredne nasleduje ako prvok A, a za živlom b. Obrázok 110 zobrazuje množinu, v ktorej sú splnené axiómy 1, 2, 3, ale nie je splnená axióma 4 - množina bodov ležiacich na lúči, obsahuje číslo bezprostredne za ňou, ale nezhoduje sa s celou množinou body znázornené na obrázku.

Skutočnosť, že axiomatické teórie nehovoria o „pravej“ povahe študovaných pojmov, robí tieto teórie na prvý pohľad príliš abstraktnými a formálnymi – ukazuje sa, že rovnaké axiómy spĺňajú rôzne množiny objektov a rôzne vzťahy medzi nimi. Táto zdanlivá abstrakcia je však silnou stránkou axiomatickej metódy: každý výrok odvodený logicky z týchto axióm je aplikovateľný na akékoľvek množiny objektov, pokiaľ sú v nich definované vzťahy, ktoré axiómy spĺňajú.

Axiomatickú konštrukciu systému prirodzených čísel sme teda začali výberom základného vzťahu „okamžite nasledovať“ a axióm, ktoré popisujú jeho vlastnosti. Ďalšia konštrukcia teórie zahŕňa úvahy o známych vlastnostiach prirodzených čísel a operácií s nimi. Musia byť zverejnené v definíciách a teorémoch, t.j. sú odvodené čisto logicky zo vzťahu „priamo nasledovať“ a axiómy 1-4.

Prvým pojmom, ktorý zavedieme po definovaní prirodzeného čísla, je vzťah „bezprostredne predchádza“, ktorý sa často používa pri zvažovaní vlastností prirodzeného čísla.

Definícia. Ak prirodzené číslo b bezprostredne nasleduje po prirodzenom čísle a, potom sa hovorí, že číslo a bezprostredne predchádza (alebo predchádza) číslu b.

Vzťah „predchádza“ má množstvo vlastností. Sú formulované ako vety a dokázané pomocou axióm 1 – 4.

Veta 1. Jednotka nemá žiadne predchádzajúce prirodzené číslo.

Pravdivosť tohto tvrdenia vyplýva bezprostredne z axiómy 1.

Veta 2. Každé prirodzené číslo A, odlišné od 1, má predchádzajúce číslo b, také že b ¢ = a.

Dôkaz. Označme podľa M množina prirodzených čísel pozostávajúca z čísla 1 a všetkých čísel, ktoré majú predchodcu. Ak číslo A obsiahnuté v M, to je číslo A" dostupné aj v M, keďže predchádza pre A" je číslo A. To znamená, že mnohí M obsahuje 1, a z toho, že číslo A patrí do sady M, z toho vyplýva, že číslo A" patrí M. Potom, podľa axiómy 4, množina M sa zhoduje s množinou všetkých prirodzených čísel. To znamená, že všetky prirodzené čísla okrem 1 majú predchádzajúce číslo.

Všimnite si, že na základe axiómy 3 majú čísla iné ako 1 jediné predchádzajúce číslo.

S axiomatickou konštrukciou teórie prirodzených čísel sa neuvažuje ani na základných, ani na stredných školách. Avšak tie vlastnosti vzťahu „priamo nasledovať“, ktoré sa odrážajú v Peanových axiómach, sú predmetom štúdia v počiatočnom kurze matematiky. Už v prvej triede sa pri zvažovaní čísiel prvej desiatky ukáže, ako sa dá každé číslo získať. Používajú sa pojmy „nasleduje“ a „predchádza“. Každé nové číslo pôsobí ako pokračovanie študovaného segmentu prirodzeného radu čísel. Študenti sú presvedčení, že za každým číslom nasleduje ďalšie, a navyše len jedna vec, že ​​prirodzený rad čísel je nekonečný. A samozrejme, znalosť axiomatickej teórie pomôže učiteľovi metodicky a kompetentne organizovať detskú asimiláciu znakov prirodzeného radu čísel.

Cvičenia

1.Axióma 3 môže byť formulovaná takto: „Pre každý prvok A od N existuje jeden prvok, za ktorým bezprostredne nasleduje a"?

2. Vyberte podmienku a záver v axióme 4, zapíšte ich pomocou symbolov О, =>.

3.Pokračujte v definícii prirodzeného čísla: „Prirodzené číslo je prvkom množiny Î, Þ.

Doplnenie

Podľa pravidiel konštrukcie axiomatickej teórie sa definícia sčítania prirodzených čísel musí zaviesť iba pomocou vzťahu „bezprostredne nasledovať“ a pojmov „prirodzené číslo“ a „predchádzajúce číslo“.

Definíciu sčítania uveďme na úvod nasledujúcimi úvahami. Ak na akékoľvek prirodzené číslo A pridajte 1, dostaneme číslo A", bezprostredne po a, t.j. A + 1 = A", a preto dostaneme pravidlo pre pridanie 1 k akémukoľvek prirodzenému číslu. Ale ako pridať k číslu A prirodzené číslo b, odlišná od 1? Využime nasledujúcu skutočnosť: ak vieme, že 2 + 3 = 5, tak súčet 2 + 4 sa rovná číslu 6, ktoré bezprostredne nasleduje po čísle 5. Deje sa tak preto, že v súčte 2 + 4 je druhý člen číslo bezprostredne nasledujúce za číslom 3 Teda suma A+ b" možno zistiť, ak je suma známa A+ b. Tieto skutočnosti tvoria základ pre definíciu sčítania prirodzených čísel v axiomatickej teórii. Okrem toho využíva koncept algebraickej operácie.

Definícia. Sčítanie prirodzených čísel je algebraická operácia, ktorá má nasledujúce vlastnosti:

1) ("A Î N ) a + 1=a",

2) (" A, b Î) a + b" = (a + b)".

číslo A+ b volal súčet čísel A A b, a samotné čísla A A b-podmienky.

Ako je známe, súčet akýchkoľvek dvoch prirodzených čísel je tiež prirodzeným číslom, a to pre akékoľvek prirodzené čísla A A b súčet A+ b- jediný. Inými slovami, súčet prirodzených čísel existuje a je jedinečný. Zvláštnosťou definície je, že nie je vopred známe, či existuje algebraická operácia, ktorá má špecifikované vlastnosti, a ak existuje, je jedinečná? Preto pri konštrukcii axiomatickej teórie prirodzených čísel sú dokázané tieto tvrdenia:

Veta 3. Sčítanie prirodzených čísel existuje a je jedinečné.

Táto veta pozostáva z dvoch tvrdení (dve vety):

1) existuje sčítanie prirodzených čísel;

2) sčítanie prirodzených čísel je jedinečné.

Existencia a jedinečnosť sú spravidla spojené, ale najčastejšie sú na sebe nezávislé. Existencia objektu neznamená jeho jedinečnosť. (Napríklad, ak poviete, že máte ceruzku, neznamená to, že je len jedna.) Výrok jedinečnosti znamená, že nemôžu existovať dva objekty s danými vlastnosťami. Jedinečnosť sa často dokazuje protirečením: predpokladá sa, že existujú dva objekty, ktoré spĺňajú danú podmienku, a potom sa vytvorí reťaz deduktívnych záverov, ktoré vedú k rozporu.

Aby sme si overili pravdivosť vety 3, najprv dokážeme, že ak je v množine N existuje operácia s vlastnosťami 1 a 2, potom je táto operácia jedinečná; potom dokážeme, že operácia sčítania s vlastnosťami 1 a 2 existuje.

Dôkaz jedinečnosti pridania. Predpokladajme, že v množine N Existujú dve operácie sčítania, ktoré majú vlastnosti 1 a 2. Jednu z nich označujeme znamienkom + a druhú znamienkom Å. Pre tieto operácie máme:

1) + 1 = A"; 1) AÅ =a"\

2) a + b" = (a + b)" 2) AÅ b" = (aÅ b)“.

Dokážme to

("a, bÎ N )a + b=aÅ b. (1)

Nechajte číslo A náhodne vybrané a b M b, pre ktoré platí rovnosť (1).

Je ľahké overiť, že 1 О M. Skutočne, z toho, že A+ 1 = A"=AÅ 1 z toho vyplýva + 1 =aÅ 1.

Dokážme teraz, že ak bÎ M, To b" О М, tie. Ak a + b = aÅ b, To A+ b" = aÅ b". Pretože a + b - aÅ b, potom podľa axiómy 2 (a + b)" = (aÅ b)", a potom a + b" - (a + b)" = (aÅ b)" = aÅ b". Od mnohých M obsahuje 1 a spolu s každým číslom b obsahuje aj číslo b¢ potom podľa axiómy 4, množina M sa zhoduje s N, čo znamená rovnosť (1) b. Od čísla A bola zvolená ľubovoľne, potom rovnosť (1) platí pre akúkoľvek prirodzenú A A b, tie. operácie + a Å na súprave N sa môžu navzájom líšiť iba v označeniach.

Dôkaz o existencii dodatku. Ukážme, že algebraická operácia s vlastnosťami 1 a 2 špecifikovanými v definícii sčítania existuje.

Nechaj M - množina tých a len tých čísel A, pre ktoré je možné určiť a + b aby boli splnené podmienky 1 a 2. Ukážme, že 1 О M. Ak to chcete urobiť, pre akékoľvek b dajme tomu

1+b=b¢.(2)

1)1 + 1 = 1¢ - podľa pravidla (2), t.j. platí rovnosť + 1 = A" pri A= 1.

2)1 + b"= (b")¢b= (1 + b)" - podľa pravidla (2), teda rovnosti a + b"= (a + b)" pri a = 1.

Takže 1 patrí do sady M.

Predstierajme to A patrí M. Na základe tohto predpokladu si to ukážeme A" obsiahnuté v M, tie. tento dodatok možno definovať A" a ľubovoľné číslo b aby boli splnené podmienky 1 a 2. Aby sme to dosiahli, nastavíme:

A"+ b =(a + b)“.(3)

Keďže podľa predpokladu číslo a + b je definovaný, potom axiómou 2 je číslo tiež určené jedinečným spôsobom (A+ b)“. Skontrolujte, či sú splnené podmienky 1 a 2:

1)a" + 1 = (a + 1)" = (A")". teda A"+ 1 = (a")".

2)a" + b" = (a+ b¢)"= ((a + b)")"= (a" + b)". teda a" + b" = = (a" + b)".

Takže sme ukázali, že súbor M obsahuje 1 a spolu s každým číslom A obsahuje číslo A". Podľa axiómy 4 usudzujeme, že množina M existuje veľa prirodzených čísel. Existuje teda pravidlo, ktoré umožňuje akékoľvek prirodzené čísla A A b jedinečne nájsť také prirodzené číslo a + b,že vlastnosti 1 a 2 formulované v definícii adície sú splnené.

Ukážme si, ako možno z definície sčítania a 3. vety odvodiť známu tabuľku na sčítanie jednociferných čísel.

Dohodnime sa na nasledujúcom zápise: 1" = 2; 2" = 3; 3 ¢ =4; 4"=5 atď.

Tabuľku zostavíme v nasledujúcom poradí: najprv k ľubovoľnému jednocifernému prirodzenému číslu pripočítame jednotku, potom číslo dva, potom tri atď.

1 + 1 = 1¢ na základe vlastnosti 1 definície sčítania. Dohodli sme sa však, že 1¢ označíme ako 2, teda 1 + 1 = 2.

Podobne 2+1=2" = 3; 3 + 1=3" = 4 atď.

Uvažujme teraz o prípadoch pridania čísla 2 k akémukoľvek prirodzenému číslu s jednou hodnotou.

1+2 = 1 + 1¢ - použili sme akceptovanú notáciu. Ale 1 + 1¢ = = (1 + 1)" podľa vlastnosti 2 z definície sčítania je 1 + 1 2, ako je uvedené vyššie.

1 +2 = 1 + 1" = (1 +1)" = 2" = 3.

Podobne 2 + 2 = 2 + 1" = (2 + 1)" = 3" = 4; 3 + 2 = 3 + 1 ¢= (3 + 1)" = = 4" = 5 atď.

Ak budeme pokračovať v tomto procese, dostaneme celú tabuľku sčítania jednociferných čísel.

Ďalším krokom v axiomatickej konštrukcii sústavy prirodzených čísel je dôkaz vlastností sčítania a najskôr sa uvažuje o vlastnosti asociativity, potom o komutativite atď.

Veta 4.(" a,b,cО N )(a + b)+ s= A+ (b+ S).

Dôkaz. Nechajte prirodzené čísla A A b vybrané náhodne a s nadobúda rôzne prírodné významy. Označme podľa M množina všetkých tých a len tých prirodzených čísel c, pre ktoré platí rovnosť (a+b) +c = a+(b+c) správny.

Najprv dokážme, že 1 О M, tie. zaistime, aby bola rovnosť spravodlivá (A+ b)+ 1 = A+ (b+ 1) Podľa definície sčítania máme (a + b)+ 1 = (A+ b)"= A+ b"= A+ (b+ 1).

Dokážme teraz, že ak c О М, potom c" О M, tie. z rovnosti (A+ b)+ c = a+ (b + c) nasleduje rovnosť (A+ b)+ s"= A+ (b + c"). (A+ b)+ s"= ((A + b)+ S)". Potom na základe rovnosti (A+ b) + c= a + (b + c) dá sa napísať: ((A+ b)+ c)" = (a+ (b+ S))". Odkiaľ podľa definície sčítania dostaneme: ( a + (b+ c))" = a + (b + c)" = a + (b + c") .

M obsahuje 1, a z toho, že s obsiahnuté v M, z toho vyplýva s" obsiahnuté v M. Preto podľa axiómy 4 M= N, tie. rovnosť ( A + b)+ s= a + (b + c) platí pre akékoľvek prirodzené číslo s, a keďže čísla A A b boli zvolené ľubovoľne, potom to platí pre akékoľvek prirodzené čísla A A b, Q.E.D.

Veta 5.("a, bÎ N) a+ b= b+ A.

Dôkaz. Pozostáva z dvoch častí: najprv dokazujú, že (" aО N) A+1 = 1+a a potom čo(" a, bО N ) a + b = b+ A.

1 .Dokážme, že (" A ON) a+ 1 = 1 + a. Nechaj M - množina všetkých tých a len tých čísel A, pre ktorú rovnosť A+ 1 = 1 + A pravda.

Keďže 1+1=1 + 1 je skutočná rovnosť, potom 1 patrí do množiny M.

Dokážme teraz, že ak AÎ M, To A"Î M, teda z rovnosti + 1 = 1 + A nasleduje rovnosť a" + 1 = 1 + A". naozaj, a" + 1 = (a + 1) + 1 podľa prvej vlastnosti sčítania. Ďalej možno výraz (a + 1) + 1 previesť na výraz (1 + a) + 1 s použitím rovnosti A+ 1 = 1 + A. Potom na základe asociatívneho zákona máme: (1 + A)+ 1 = 1 + (A+ 1). A nakoniec, podľa definície sčítania, dostaneme: 1 + (a + 1) = 1 +a“.

Tak sme ukázali, že množina M obsahuje 1 a spolu s každým číslom A obsahuje aj číslo A". Preto podľa axiómy A, M = ja, tie. rovnosť A+ 1 = 1 + A pravda pre všetky prírodné A.

2 . Dokážme to (" a, bÎ N ) A+ b = b+ A. Nechaj A -ľubovoľne zvolené prirodzené číslo a b nadobúda rôzne prírodné významy. Označme podľa M množina všetkých tých a len tých prirodzených čísel b, pre ktorú rovnosť a + b = b+ A pravda.

Odkedy b = 1 dostaneme rovnosť A+ 1 = 1 + A, ktorého pravdivosť je dokázaná v odseku 1, potom 1 je obsiahnutý v M.

Dokážme teraz, že ak b patrí M, potom a b" tiež patrí M, tie. z rovnosti A+ b = b+ A nasleduje rovnosť A+ b"= b"+ A. V skutočnosti podľa definície sčítania máme: A+ b"= (A+ b)“. Pretože A+ b= b+ A, To (A+ b)" = (b+ A)". Preto podľa definície pridania: (b+ A)"= b+ A"= b+ (a+ 1). Na základe skutočnosti, že + 1 = 1 + A, dostaneme: b+ (a + 1) = b+ (1 + A). Pomocou asociatívnej vlastnosti a definície sčítania vykonáme transformácie: b + (1 + a) = (b + 1) + a = b" + a.

Takže sme dokázali, že 1 je obsiahnutá v súprave M a spolu s každým číslom b kopa M obsahuje aj číslo b¢, bezprostredne nasledujúce b¢. Axiómou 4 to dostaneme M= A, tie. rovnosť a+ b= b+ A platí pre akékoľvek prirodzené číslo b, ako aj pre akékoľvek prírodné A, pretože jeho voľba bola svojvoľná.

Veta 6.("a,bÎ N) a + b¹ b.

Dôkaz. Nechaj A - prirodzené číslo vybrané náhodne a b nadobúda rôzne prírodné významy. Označme podľa M množina tých a len tých prirodzených čísel b, pre ktorú platí veta 6.

Dokážme, že 1 О M. Skutočne, odvtedy A+ 1 = A"(podľa definície sčítania) a 1 nenasleduje žiadne číslo (axióma 1). A+ 1 ¹ 1.

Dokážme teraz, že ak bÎ M, To b"Î M, tie. z čoho a +bÎ b z toho vyplýva a + b"¹ b". V skutočnosti podľa definície pridania, a + b" = (a + b)", ale pretože a +bÎ b, To (a + b)"¹ b" a preto, a +b¢=b¢.

Podľa axiómy existujú 4 sady M A N sa teda zhodujú pre akékoľvek prirodzené čísla a +bÎ b, Q.E.D.

Prístup k sčítaniu, uvažovaný v axiomatickej konštrukcii sústavy prirodzených čísel, je základom počiatočného matematického vzdelávania. Získavanie čísel sčítaním 1 úzko súvisí s princípom konštrukcie prirodzeného radu a druhá vlastnosť sčítania sa využíva pri výpočtoch napríklad v týchto prípadoch: 6 + 3 = (6+ 2)+ 1=8 + 1 = 9.

Všetky overené vlastnosti sa študujú v počiatočnom kurze matematiky a používajú sa na transformáciu výrazov.

Cvičenia

1. Je pravda, že každé prirodzené číslo sa získa z predchádzajúceho pripočítaním jednotky?

2. Pomocou definície sčítania nájdite význam výrazov:

a) 2 + 3; b) 3 + 3; c) 4 + 3.

3. Aké transformácie výrazov možno vykonať pomocou asociatívnej vlastnosti sčítania?

4. Transformujte výraz pomocou asociatívnej vlastnosti sčítania:

a) (12 + 3) + 17; b) 24 + (6 + 19); c) 27+13+18.

5. Dokáž to (" a, bÎ N) a + b¹ A.

6. Zistite, ako je matematika formulovaná v rôznych učebniciach základných škôl:

a) komutatívna vlastnosť sčítania;

b) asociatívna vlastnosť sčítania.

7 .Jedna z učebníc pre ZŠ skúma pravidlo na sčítanie čísla k súčtu na konkrétnom príklade (4 + 3) + 2 a navrhuje tieto spôsoby, ako sa dopátrať k výsledku:

a) (4 + 3) + 2 = 7 + 2 = 9;

b) (4 + 3) + 2 = (4 + 2) + 3 = 6 + 3 = 9;

c) (4 + 3) + 2 = 4 + (2 + 3) = 4 + 5 = 9.

Zdôvodnite vykonané transformácie. Dá sa povedať, že pravidlo na sčítanie čísla k súčtu je dôsledkom asociatívnej vlastnosti sčítania?

8 .To je známe a + b= 17. Čo sa rovná:

A) a + (b + 3); b) (A+ 6) + b; c) (13+ b)+a?

9 .Popíšte možné spôsoby výpočtu hodnoty výrazu formulára a + b + c. Zdôvodnite tieto metódy a ilustrujte ich na konkrétnych príkladoch.

Násobenie

Podľa pravidiel na zostavenie axiomatickej teórie možno násobenie prirodzených čísel určiť pomocou vzťahu „priamo nasledovať“ a pojmov zavedených vyššie.

Definíciu násobenia uveďme na úvod nasledujúcimi úvahami. Ak nejaké prirodzené číslo A vynásobte 1, dostanete A, tie. existuje rovnosť a× 1 = A a dostaneme pravidlo pre násobenie ľubovoľného prirodzeného čísla číslom 1. Ale ako vynásobiť číslo A na prirodzené číslo b, odlišná od 1? Využime nasledujúcu skutočnosť: ak vieme, že 7×5 = 35, tak na nájdenie súčinu 7×6 stačí pripočítať 7 k 35, keďže 7×6=7×(5 + 1) = 7×5 + 7. Teda práca a×b" možno nájsť, ak je práca známa: a×b" = a×b+ A.

Uvedené skutočnosti tvoria základ pre definíciu násobenia prirodzených čísel. Okrem toho využíva koncept algebraickej operácie.

Definícia. Násobenie prirodzených čísel je algebraická operácia, ktorá má tieto vlastnosti:

1) ("a Î N) a× 1= a;

2) ("a, Î N) a×b"= а×b+ A.

číslo а×b volal prácačísla A A b, a samotné čísla A A b-multiplikátory.

Zvláštnosťou tejto definície, ako aj definície sčítania prirodzených čísel, je, že nie je vopred známe, či existuje algebraická operácia, ktorá má uvedené vlastnosti, a ak existuje, tak či je jedinečná. V tejto súvislosti je potrebné túto skutočnosť dokázať.

Veta 7. Násobenie prirodzených čísel existuje a je jedinečné.

Dôkaz tejto vety je podobný dôkazu vety 3.

Pomocou definície násobenia, vety 7 a tabuľky sčítania môžete odvodiť tabuľku násobenia pre jednociferné čísla. Robíme to v nasledujúcom poradí: najprv uvažujeme násobenie 1, potom 2 atď.

Je ľahké vidieť, že násobenie 1 sa vykonáva vlastnosťou 1 v definícii násobenia: 1×1 = 1; 2x1=2; 3×1=3 atď.

Uvažujme teraz prípady násobenia 2: 1×2 = 1×1"= 1×1 + 1 = 1 + 1=2 - uskutoční sa prechod zo súčinu 1×2 na súčin 1×1¢ podľa predtým akceptovaného zápisu, prechod z výrazu 1 × 1 na výraz 1 × 1 + 1 - na základe druhej vlastnosti násobenia sa súčin 1 × 1 nahradí číslom 1 podľa výsledku získaného v a nakoniec sa zistí hodnota výrazu 1+1 podľa sčítacej tabuľky.

2×2 = 2×1" = 2×1 +2 = 2 + 2 = 4;

3×2 = 3×1¢ = 3×1 + 3 = 3 + 3 = 6.

Ak budeme pokračovať v tomto procese, dostaneme celú tabuľku násobenia pre jednociferné čísla.

Ako je známe, násobenie prirodzených čísel je komutatívne, asociatívne a distributívne vzhľadom na sčítanie. Pri axiomatickom budovaní teórie je vhodné tieto vlastnosti dokázať, počnúc distributivitou.

Ale vzhľadom na to, že vlastnosť komutatívnosti bude dokázaná neskôr, je potrebné uvažovať s distributivitou napravo a naľavo vzhľadom na sčítanie.

Veta 8. ("a,b,cÎ N) (A+ b) × c = a × c+ b×с.

Dôkaz. Nech prirodzené čísla a a b vybrané náhodne a s nadobúda rôzne prírodné významy. Označme podľa M množina všetkých tých a len tých prirodzených čísel c, pre ktoré platí rovnosť (a + b)×c = a×c+ b×с.

Dokážme, že 1 О M, tie. tá rovnosť ( a + b)× 1 = A×1+ b× 1 pravda. Podľa vlastnosti 1 z definície násobenia máme: (a + b) × 1=a+b=a× 1+ b×1.

Dokážme teraz, že ak sÎ M, To s"Î M, tie. ktoré z rovnosti ( a + b)c = a×c+ b×с nasleduje rovnosť (A+ b)×c" = a×c"+ b×с". Podľa definície násobenia máme: ( a + b) × c"= (a + b) x s+ (a + b). Pretože (a + b)×c=a×c + b×c, To ( a + b) x c+ (a+b)= (a×c + b×c) + (a+ b). Pomocou asociatívnej a komutatívnej vlastnosti sčítania vykonáme transformácie: ( a× s+ b×с)+ (A+ b) =(a× s + b×с+ A)+ b =(a×c + a + b×с)+ b= = ((a×c+ a) + b×с)+ b = (a×c+ a) + (b×с+ b). A nakoniec, podľa definície násobenia dostaneme: (a×c+ a) + (b×с+ b) =a×c"+ b×с".

Ukázali sme teda, že súbor M obsahuje 1 a keďže obsahuje c, z toho vyplýva, že s" obsiahnuté v M. Axiómou 4 to dostaneme M= N. To znamená, že rovnosť ( a + b)×c = a×c + b×c platí pre akékoľvek prirodzené čísla s, ako aj pre akékoľvek prírodné a A b, pretože boli vybraní náhodne.

Veta 9. (" a, b, cÎ N) a×(b + c) =a×b + a×c.

Toto je vlastnosť ľavej distributivity vzhľadom na sčítanie. Dokazuje sa to podobným spôsobom, ako to bolo urobené pre správnu distribúciu.

Veta 10.(" a,b,cÎ N)(axb)xc=ax(bxc).

Toto je asociatívna vlastnosť násobenia. Jeho dôkaz je založený na definícii násobenia a vetách 4-9.

Veta 11. ("a,b,Î N) a×b.

Dôkaz tejto vety je vo forme podobný dôkazu komutatívnej vlastnosti sčítania.

Prístup k násobeniu, uvažovaný v axiomatickej teórii, je základom výučby násobenia na základnej škole. Násobenie 1 je všeobecne definované a druhá vlastnosť násobenia sa používa v jednociferných násobiacich tabuľkách a výpočtoch.

V počiatočnom kurze študujeme všetky vlastnosti násobenia, ktoré sme uvažovali: komutativitu, asociativitu a distributivitu.

Cvičenia

1 . Pomocou definície násobenia nájdite význam výrazov:

a) 3x3; 6) 3x4; c) 4x3.

2. Napíšte ľavú distributívnu vlastnosť násobenia vzhľadom na sčítanie a dokážte ju. Aké výrazové transformácie sú na jeho základe možné? Prečo bolo potrebné zvážiť ľavú a pravú distributívnosť násobenia vo vzťahu k sčítaniu?

3. Dokážte asociatívnu vlastnosť násobenia prirodzených čísel. Aké výrazové transformácie sú na jeho základe možné? Vyučuje sa táto vlastnosť na základnej škole?

4. Dokážte komutatívnu vlastnosť násobenia. Uveďte príklady jeho využitia v kurze elementárnej matematiky.

5. Aké vlastnosti násobenia možno použiť pri hľadaní hodnoty výrazu:

a) 5 x (10 + 4); 6) 125 × 15 × 6; c) (8×379)×125?

6. Je známe, že 37 - 3 = 111. Pomocou tejto rovnosti vypočítajte:

a) 37 x 18; b) 185 × 12.

Zarovnajte všetky vykonané transformácie.

7 . Určte hodnotu výrazu bez vykonania písomných výpočtov. Svoju odpoveď zdôvodnite:

a) 8962×8 + 8962×2; b) 63402×3 + 63402×97; c) 849+ 849×9.

8 . Aké vlastnosti násobenia využijú žiaci základných škôl pri plnení nasledujúcich úloh:

Je možné bez výpočtu povedať, ktoré výrazy budú mať rovnaké hodnoty:

a) 3x7 + 3x5; b) 7 x (5 + 3); c) (7 + 5) × 3?

Sú tie rovnosti pravdivé:

a) 18x5x2 = 18x (5x2); c) 5 x 6 + 5 x 7 = (6 + 7) x 5;

b) (3x10)x17 = 3x10x17; d) 8×(7 + 9) = 8×7 + 9×8?

Je možné porovnať hodnoty výrazov bez vykonania výpočtov:

a) 70×32+ 9×32... 79×30 + 79×2;

b) 87×70 + 87×8 ... 80×78 +7×78?

Axiomatická metóda v matematike.

Základné pojmy a vzťahy axiomatickej teórie prirodzených radov. Definícia prirodzeného čísla.

Sčítanie prirodzených čísel.

Násobenie prirodzených čísel.

Vlastnosti množiny prirodzených čísel

Odčítanie a delenie prirodzených čísel.

Axiomatická metóda v matematike

Pri axiomatickej konštrukcii akejkoľvek matematickej teórie sa dodržiavajú tieto pravidlá: určité pravidlá:

1. Niektoré koncepty teórie sú vybrané ako Hlavná a sú akceptované bez definície.

2. Sú formulované axiómy, ktoré sú v tejto teórii prijímané bez dôkazu, odhaľujú vlastnosti základných pojmov.

3. Každý pojem teórie, ktorý nie je obsiahnutý v zozname základných, je uvedený definícia, vysvetľuje jeho význam pomocou hlavných a predchádzajúcich pojmov.

4. Každý návrh teórie, ktorý nie je obsiahnutý v zozname axióm, musí byť dokázaný. Takéto návrhy sú tzv teorémy a dokázať ich na základe axióm a teorém predchádzajúcich tej, o ktorej sa uvažuje.

Systém axióm by mal byť:

a) konzistentné: musíme si byť istí, že vyvodením všetkých možných záverov z daného systému axióm nikdy nedôjdeme k rozporu;

b) nezávislý: žiadna axióma by nemala byť dôsledkom iných axióm tohto systému.

V) plný, ak je v jej rámci vždy možné dokázať buď dané tvrdenie, alebo jeho negáciu.

Za prvú skúsenosť s konštrukciou axiomatickej teórie možno považovať prezentáciu geometrie Euklidom v jeho „Prvkoch“ (3. storočie pred Kristom). Významne prispel k rozvoju axiomatickej metódy konštrukcie geometrie a algebry N.I. Lobačevskij a E. Galois. Koncom 19. stor. Taliansky matematik Peano vyvinul systém axióm pre aritmetiku.

Základné pojmy a vzťahy axiomatickej teórie prirodzených čísel. Definícia prirodzeného čísla.

Ako základný (nedefinovaný) pojem v určitom súbore N je vybratý postoj , a tiež používa koncepty teórie množín, ako aj pravidlá logiky.

Prvok bezprostredne nasledujúci za prvkom A, označovať A".

Vzťah „priamo nasledovať“ spĺňa nasledujúce axiómy:

Peanove axiómy:

Axióma 1. V hojnosti N existuje priamo prvok nie ďalší nie pre žiadny prvok tejto sady. Zavolajme mu jednotka a označené symbolom 1 .

axióma 2. Pre každý prvok A od N existuje len jeden prvok A" , bezprostredne nasledujúce A .

axióma 3. Pre každý prvok A od N existuje najviac jeden prvok, za ktorým bezprostredne nasleduje A .

axióma 4. Akákoľvek podmnožina M súpravy N sa zhoduje s N , ak má tieto vlastnosti: 1) 1 obsiahnuté v M ; 2) zo skutočnosti, že A obsiahnuté v M , z toho vyplýva A" obsiahnuté v M.

Definícia 1. Kopa N , pre ktorých prvky je vzťah založený "priamo nasledovať“, ktorý spĺňa axiómy 1-4, sa nazýva množina prirodzených čísel, a jej prvky sú prirodzené čísla.

Táto definícia nehovorí nič o povahe prvkov súboru N . Takže to môže byť čokoľvek. Výber ako set N nejaká konkrétna množina, na ktorú je daný špecifický vzťah „priamo nadväzuje“, ktorý spĺňa axiómy 1-4, dostaneme model tohto systému axióma.

Štandardný model systému Peanových axióm je rad čísel, ktoré vznikli v procese historického vývoja spoločnosti: 1,2,3,4,... Prirodzený rad začína číslom 1 (axióma 1); za každým prirodzeným číslom bezprostredne nasleduje jediné prirodzené číslo (axióma 2); každé prirodzené číslo bezprostredne nasleduje najviac za jedným prirodzeným číslom (axióma 3); počnúc číslom 1 a pohybom k prirodzeným číslam, ktoré bezprostredne nasledujú za sebou, dostaneme celú množinu týchto čísel (axióma 4).

Takže sme začali axiomatickú konštrukciu systému prirodzených čísel výberom základného vzťah „priamo nasledovať“. a axiómy, ktoré popisujú jeho vlastnosti. Ďalšia konštrukcia teórie zahŕňa úvahy o známych vlastnostiach prirodzených čísel a operácií s nimi. Musia byť zverejnené v definíciách a teorémoch, t.j. sú odvodené čisto logicky zo vzťahu „priamo nasledovať“ a axiómy 1-4.

Prvý pojem, ktorý zavedieme po definovaní prirodzeného čísla, je postoj "bezprostredne predchádza" , čo sa často používa pri zvažovaní vlastností prírodného radu.

Definícia 2. Ak je prirodzené číslo b priamo nasleduje prirodzené číslo A, to číslo A volal bezprostredne predchádzajúci(alebo predchádzajúce) číslo b .

Vzťah „predchádza“ má množstvo vlastností.

Veta 1. Jednotka nemá žiadne predchádzajúce prirodzené číslo.

Veta 2. Každé prirodzené číslo A, iné ako 1, má jedno predchádzajúce číslo b, také že b"= A.

S axiomatickou konštrukciou teórie prirodzených čísel sa neuvažuje ani na základných, ani na stredných školách. Avšak tie vlastnosti vzťahu „priamo nasledovať“, ktoré sa odrážajú v Peanových axiómach, sú predmetom štúdia v počiatočnom kurze matematiky. Už v prvej triede sa pri zvažovaní čísiel prvej desiatky ukáže, ako sa dá každé číslo získať. Používajú sa pojmy „nasleduje“ a „predchádza“. Každé nové číslo pôsobí ako pokračovanie študovaného segmentu prirodzeného radu čísel. Študenti sú presvedčení, že za každým číslom nasleduje ďalšie, a navyše len jedna vec, že ​​prirodzený rad čísel je nekonečný.

Sčítanie prirodzených čísel

Podľa pravidiel pre konštrukciu axiomatickej teórie musí byť definícia sčítania prirodzených čísel zavedená iba pomocou vzťahu "priamo sledovať" a koncepty "prirodzené číslo" A "predchádzajúce číslo".

Definíciu sčítania uveďme na úvod nasledujúcimi úvahami. Ak na akékoľvek prirodzené číslo A pridajte 1, dostaneme číslo A", bezprostredne nasledujúce A, t.j. A+ 1= a" a preto dostaneme pravidlo pre pridanie 1 k akémukoľvek prirodzenému číslu. Ale ako pridať k číslu A prirodzené číslo b, odlišná od 1? Využime nasledujúcu skutočnosť: ak vieme, že 2 + 3 = 5, tak súčet je 2 + 4 = 6, čo bezprostredne nasleduje za číslom 5. Deje sa tak preto, lebo v súčte 2 + 4 je druhý člen číslo, ktoré bezprostredne nasleduje číslo 3. Teda 2 + 4 = 2+3 " =(2+3)". Vo všeobecnosti máme , .

Tieto skutočnosti tvoria základ pre definíciu sčítania prirodzených čísel v axiomatickej teórii.

Definícia 3. Sčítanie prirodzených čísel je algebraická operácia, ktorá má nasledujúce vlastnosti:

číslo a + b volal súčet čísel A A b , a samotné čísla A A b - podmienky.

GOUVPO

Štátna pedagogická univerzita v Tule

Pomenovaný podľa L. N. Tolstého

ČÍSELNÉ SYSTÉMY

Tula 2008

Numerické sústavy

Príručka je určená pre študentov matematických odborov vysokej školy pedagogickej a bola vypracovaná v súlade so štátnym štandardom pre predmet „Numerické systémy“. Prezentuje sa teoretický materiál. Analyzujú sa riešenia typických úloh. Poskytujú sa cvičenia na riešenie na hodinách praktických cvičení.

Skomplikovaný -

Kandidát fyzikálnych a matematických vied, docent Katedry algebry a geometrie TSPU pomenovaný po. L. N. Tolstoj Yu A. Ignatov

Recenzent -

Kandidát fyzikálnych a matematických vied, profesor Katedry matematickej analýzy TSPU pomenovaný po. L. N. Tolstoj I. V. Denisov

Vzdelávacie vydanie

Numerické sústavy

Skomplikovaný

IGNATOV Jurij Alexandrovič

© Yu. Ignatov, 2008

ČÍSELNÉ SYSTÉMY

Tento kurz pokrýva základy matematiky. Poskytuje prísnu axiomatickú konštrukciu základných číselných systémov: prirodzené, celočíselné, racionálne, reálne, komplexné, ako aj kvaternióny. Je založený na teórii formálnych axiomatických systémov, preberaných v kurze matematickej logiky.

V každom odseku sú vety očíslované ako prvé. Ak je potrebné odkázať na vetu z iného odseku, používa sa postupné číslovanie: číslo odseku sa umiestni pred číslo vety. Napríklad Veta 1.2.3 je Veta 3 z odseku 1.2.

Celé čísla

Axiomatická teória prirodzených čísel

Axiomatická teória je definovaná nasledujúcimi prvkami:

Súbor konštánt;

Sada funkčných symbolov na označenie operácií;

Sada predikátových symbolov na reprezentáciu vzťahov;

Zoznam axióm spájajúcich vyššie uvedené prvky.

Pre formálnu axiomatickú teóriu sú tiež naznačené pravidlá inferencie, pomocou ktorých sa dokazujú vety. V tomto prípade sú všetky výroky zapísané vo forme vzorcov, na význame ktorých nezáleží a na týchto vzorcoch sa vykonávajú transformácie podľa daných pravidiel. V substantívnej axiomatickej teórii nie sú pravidlá inferencie špecifikované. Dôkazy sa vykonávajú na základe bežných logických konštrukcií, ktoré zohľadňujú význam dokazovaných tvrdení.

Tento kurz buduje zmysluplné teórie základných číselných systémov.

Najdôležitejšou požiadavkou na axiomatickú teóriu je jej konzistentnosť. Dôkaz konzistentnosti sa vykonáva zostavením modelu teórie v inej teórii. Potom sa konzistentnosť uvažovanej teórie redukuje na konzistentnosť teórie, v ktorej je model skonštruovaný.

Pre systém celých čísel je model zostavený v rámci systému prirodzených čísel, pre racionálne čísla - v rámci systému celých čísel atď. Výsledkom je reťazec axiomatických teórií, v ktorých každá teória vychádza z predchádzajúcej. Ale pre prvú teóriu v tomto reťazci, konkrétne teóriu prirodzených čísel, nie je kde zostaviť model. Preto je pre sústavu prirodzených čísel potrebné skonštruovať teóriu, pre ktorú je existencia modelu nepochybná, hoci ju nie je možné striktne dokázať.

Teória by mala byť veľmi jednoduchá. Na tento účel považujeme systém prirodzených čísel len za nástroj na počítanie predmetov. Operácie sčítania, násobenia a poradia musia byť určené po zostrojení teórie v naznačenej forme.

Pre potreby počítania musí byť sústava prirodzených čísel postupnosť, v ktorej je definovaný prvý prvok (jednotka) a pre každý prvok je definovaný ďalší. V súlade s tým získame nasledujúcu teóriu.

Neustále: 1 (jednotka).

Funkčný symbol: "¢". Označuje jednočlennú operáciu „nasledovania“, tj A¢ – nasledujúce číslo A. V tomto prípade číslo A volal predchádzajúce Pre A¢.

Neexistujú žiadne špeciálne predikátové znaky. Používa sa zvyčajný vzťah rovnosti a teoretické vzťahy. Axiómy pre nich nebudú uvedené.

Označuje sa množina, na ktorej je teória založená N.

Axiómy:

(N1) (" a) a¢ ¹ 1 (nesleduje žiadne číslo).

(N2) (" a)("b) (a¢ = b¢ ® a = b) (každé číslo má najviac jedného predchodcu).

(N3) M Í N, 1О M, ("a)(aÎ M ® a¢Î M) Þ M = N(axióma matematickej indukcie).

Vyššie uvedenú axiomatiku navrhol (s malými zmenami) taliansky matematik Peano na konci 19. storočia.

Nie je ťažké odvodiť niektoré vety z axióm.

Veta 1. (Metóda matematickej indukcie). Nechaj R(n) – predikát definovaný na množine N. Nech je to pravda R(1) a (" n)(P(n)® P(n¢)). Potom R(n) je identicky pravdivý predikát na N.

Dôkaz. Nechaj M– množina prirodzených čísel n, pre ktoré R(n) je pravda. Potom 1О M podľa podmienok vety. Ďalej, ak nÎ M, To P(n) pravda podľa definície M, P(n¢) platí podľa podmienok vety a n¢Î M a-priorstvo M. Všetky predpoklady indukčnej axiómy sú splnené, preto M = N. Podľa definície M, znamená to, že R(n) platí pre všetky čísla od N. Veta bola dokázaná.

Veta 2. Akékoľvek číslo AČíslo 1 má predchodcu a iba jeden.

Dôkaz. Nechaj M– množina prirodzených čísel obsahujúcich 1 a všetky čísla, ktoré majú predchodcu. Potom 1О M. Ak aÎ M, To a¢Î M, pretože a¢ má predchodcu (podmienka sa tu ani nepoužíva aÎ M). Takže podľa axiómy indukcie M = N. Veta bola dokázaná.

Veta 3. Každé číslo sa líši od nasledujúceho.

Cvičenie. Po určení prirodzených čísel 1¢ = 2, 2¢ = 3, 3¢ = 4, 4¢ = 5, 5¢ = 6 dokážte, že 2¹ 6.

Sčítanie prirodzených čísel

Nasledujúca rekurzívna definícia je uvedená pre sčítanie prirodzených čísel.

Definícia. Sčítanie prirodzených čísel je binárna operácia, ktorá platí pre prirodzené čísla A A b zodpovedá číslu a+b, ktorý má nasledujúce vlastnosti:

(S1) A + 1 = A¢ pre kohokoľvek A;

(S2) a+b¢ = ( a+b)¢ pre všetky A A b.

Je potrebné dokázať, že táto definícia je správna, to znamená, že existuje operácia, ktorá spĺňa dané vlastnosti. Táto úloha sa zdá byť veľmi jednoduchá: stačí vykonať indukciu b, počítanie A pevné. V tomto prípade je potrebné vybrať súpravu M hodnoty b, pre ktorú je prevádzka a+b je definovaný a spĺňa podmienky (S1) a (S2). Pri vykonávaní indukčného prechodu musíme predpokladať, že pre b operácia sa vykonáva, a preukázať, že sa vykonáva pre b¢. Ale v majetku (S2), ktorý musí byť uspokojený za b, už existuje odkaz na a+b¢. To znamená, že táto vlastnosť automaticky predpokladá existenciu operácie pre a+b¢, a teda pre nasledujúce čísla: predsa pre a+b¢ vlastnosť (S2) musí byť tiež splnená. Niekto by si mohol myslieť, že to len zjednoduší problém tým, že sa indukčný krok stane triviálnym: tvrdenie, ktoré sa dokazuje, jednoducho opakuje indukčnú hypotézu. Ale problém tu je v dôkaze pre základ indukcie. Pre hodnotu b= 1, musia byť splnené aj vlastnosti (S1) a (S2). Ale vlastnosť (S2), ako je znázornené, predpokladá existenciu operácie pre všetky hodnoty nasledujúce po 1. To znamená, že kontrola bázy indukcie predpokladá dôkaz nie pre jedno, ale pre všetky čísla a indukcia stráca svoj význam: základ indukcie sa zhoduje s tvrdením, ktoré sa dokazuje.

Vyššie uvedené zdôvodnenie neznamená, že rekurzívne definície sú nesprávne alebo vyžadujú starostlivé odôvodnenie zakaždým. Aby ste ich zdôvodnili, musíte použiť vlastnosti prirodzených čísel, ktoré sa v tejto fáze iba vytvárajú. Akonáhle sú tieto stanovené, platnosť rekurzívnych definícií môže byť preukázaná. Dokážme zatiaľ existenciu sčítania pomocou indukcie na A: vo vzorcoch (S1) a (S2) nie je spojenie medzi pridaním pre A A A¢.

Veta 1. Sčítanie prirodzených čísel je vždy možné, a to jedinečne.

Dôkaz. a) Najprv dokážeme jedinečnosť. Poďme to napraviť A. Potom výsledok operácie a+b existuje funkcia od b. Predpokladajme, že existujú dve takéto funkcie f(b) A g(b), ktoré majú vlastnosti (S1) a (S2). Dokážme, že sú si rovní.

Nechaj M– súbor významov b, pre ktoré f(b) = g(b). Podľa vlastníctva (S1)
f(1) = A + 1 = A¢ a g(1) = A + 1 = A¢ znamená f(1) = g(1) a 1О M.

Nechaj to teraz bÎ M, teda f(b) = g(b). Podľa vlastníctva (S2)

f(b¢) = a+b¢ = ( a+b)¢= f(b)¢, g(b¢) = a+b¢ = ( a+b)¢= g(b)¢ = f(b¢),

znamená, b¢Î M. Podľa axiómy indukcie M = N. Jedinečnosť bola preukázaná.

b) Teraz zapnite indukciu A dokážme existenciu operácie a+b. Nechaj M– súbor týchto hodnôt A, pre ktorú je prevádzka a+b s vlastnosťami (S1) a (S2) je definovaný pre všetky b.

Nechaj A= 1. Uveďme príklad takejto operácie. Podľa definície predpokladáme 1 + b == b¢. Ukážme, že táto operácia spĺňa vlastnosti (S1) a (S2). (S1) má tvar 1 + 1 = 1¢, čo zodpovedá definícii. Kontrola (S2): 1 +b¢ =( b¢)¢ =
= (1+b)¢ a (S2) je splnené. Takže 1О M.

Nechaj to teraz AÎ M. Dokážme to A¢Î M. Veríme podľa definície
a¢ +b = (a+ b)¢. Potom

a¢ + 1 = (a+ 1)¢ = ( A¢)¢,

a¢ +b¢ = ( a+ b¢)¢ = (( a+ b)¢)¢ = ( a¢ +b)¢,

a vlastnosti (S1) a (S2) sú splnené.

teda M = N a sčítanie je definované pre všetky prirodzené čísla. Veta bola dokázaná.

Veta 2. Sčítanie prirodzených čísel je asociatívne, tzn

(a+b) + c = a + (b+c).

Dôkaz. Poďme to napraviť A A b a vykonajte indukciu s. Nechaj M- súbor týchto čísel s, pre ktoré platí rovnosť. Na základe vlastností (S1) a (S2) máme:

(a+b) + 1 = (a+b)¢ = ( a+b¢) = a+(b+ 1) Þ 1О M.

Nechaj to teraz sÎ M. Potom

(a+b) + c¢ = (( a+b) + c)¢ = ( a+(b + c))¢ = a+(b + c)¢ = a+(b + c¢),

A c¢Î M. Podľa axiómy (N3) M = N. Veta bola dokázaná.

Veta 3. Sčítanie prirodzených čísel je komutatívne, tzn

a + b = b + a. (1)

Dôkaz. Poďme to napraviť A a vykonajte indukciu b.

Nechaj b= 1, to znamená, že je potrebné dokázať rovnosť

A + 1 = 1 + A. (2)

Túto rovnosť dokazujeme indukciou na A.

O A= 1 rovnosť je triviálna. Nech sa to robí pre A, dokážme to pre A¢. Máme

A¢ + 1 = ( A + 1) + 1 = (1 + A) + 1 = (1 + A)¢ = 1 + A¢.

Indukčný prechod je dokončený. Podľa princípu matematickej indukcie platí rovnosť (2) pre všetkých A. To dokazuje tvrdenie o základe indukcie na b.

Nech je teraz vzorec (1) splnený b. Dokážme to pre b¢. Máme

a +b¢ = ( a +b)¢ = ( b + a)¢ = b + a¢ = b + (a + 1) = b + (1 + a) = (b + 1) + a = b¢ + a.

Pomocou princípu matematickej indukcie je veta dokázaná.

Veta 4.a + b ¹ b.

Dôkazom je cvičenie.

Veta 5. Pre akékoľvek čísla A A b nastane iba jeden z nasledujúcich prípadov:

1) a = b.

2) Existuje číslo k také že a = b + k.

3) Existuje číslo l také že b = a + l.

Dôkaz. Z vety 4 vyplýva, že nastane najviac jeden z týchto prípadov, keďže prípady 1) a 2), ako aj 1) a 3) samozrejme nemôžu nastať súčasne. Ak sa prípady 2) a 3) vyskytli súčasne, potom a = b + k=
= (A + l) + k = A+ (l + k), čo opäť odporuje vete 4. Dokážme, že aspoň jeden z týchto prípadov nastáva vždy.

Nech sa vyberie číslo A A M – veľa z nich b, pre každý z nich daný a nastane prípad 1), 2) alebo 3).

Nechaj b= 1. Ak a= 1, potom máme prípad 1). Ak A¹ 1, potom podľa vety 1.1.2 máme

a = k" = k + 1 = 1 + k,

to znamená, že máme prípad 2) pre b= 1. Takže 1 patrí M.

Nechaj b patrí M. Potom sú možné tieto prípady:

- A = b, znamená, b" = b + 1 = A+ 1, to znamená, že máme prípad 3) pre b";

- A = b+k, A keď k= 1 teda A = b+ 1 = b", teda prípad 1) nastáva pre b";

ak k Tak teda č k = t" A

a = b + t" = b + (t + 1)= b + (1+m) = (b+ 1)+ m = b¢ +m,

teda prípad 2) nastáva pre b";

- b = a+ pôda b" =(a + l)¢ = A + l¢, to znamená, že máme prípad 3) pre b".

V každom prípade b" patrí M. Veta bola dokázaná.

Cvičenie. Dokážte na základe definície súčtu, že 1 + 1 = 2, 1 + 2 = 3, 2 + 2 = 4, 2 + 3 = 5, 2 + 4 = 3 + 3 = 6.

Násobenie prirodzených čísel

Definícia. Násobenie prirodzených čísel je binárna operácia, ktorá platí pre prirodzené čísla A A b zodpovedá číslu ab(alebo a×b), ktorý má tieto vlastnosti:

(P1) A×1 = A pre hocikoho A;

(P2) ab" = ab + a pre akékoľvek A A b.

Pokiaľ ide o definíciu násobenia, všetky pripomienky, ktoré boli uvedené v predchádzajúcom odseku týkajúce sa definície sčítania, zostávajú v platnosti. Predovšetkým z nej ešte nie je zrejmé, že existuje súlad s vlastnosťami uvedenými v definícii. Preto má nasledujúca veta, podobne ako veta 1.2.1, veľký zásadný význam.

Veta 1. Existuje len jedno násobenie prirodzených čísel. Inými slovami, násobenie je vždy uskutočniteľné a jednoznačné.

Dôkaz je dosť podobný dôkazu vety 1.2.1 a ponúka sa ako cvičenie.

Vlastnosti násobenia formulované v nasledujúcich vetách sa dajú ľahko dokázať. Dôkaz každej vety je založený na predchádzajúcich.

Veta 2.(Pravý distributívny zákon): ( a+b)c = ac + bc.

Veta 3. Násobenie je komutatívne: ab = ba.

Veta 4.(Ľavý distributívny zákon): c(a+b)= сa + сb.

Veta 5. Násobenie je asociatívne: a(bc) = (ab)c.

Definícia. Semiring je systém, kde + a × sú binárne operácie sčítania a násobenia, ktoré spĺňajú axiómy:

(1) je komutatívna pologrupa, to znamená, že sčítanie je komutatívne a asociatívne;

(2) – pologrupa, teda násobenie je asociatívne;

(3) platí pravá a ľavá distributivita.

Z algebraického hľadiska systém prirodzených čísel vzhľadom na sčítanie a násobenie tvorí semiring.

Cvičenie. Dokážte na základe definície produktu, že
2×2 = 4, 2×3 = 6.

Cvičenia

Dokážte totožnosť:

1. 1 2 + 2 2 + ... + n 2 = .

2. 1 3 + 2 3 + ... + n 3 = .

Nájdite sumu:

3. .

4. .

5. .

6. 1x1! + 2x2! + ... + n×n!.

Dokážte nerovnosti:

7. n 2 < 2n для n > 4.

8. 2n < n! Pre n³ 4.

9. (1 + X)n³ 1 + nx, Kde X > –1.

10. pri n > 1.

11. pri n > 1.

12. .

13. Nájdite chybu v dôkaze indukciou, že všetky čísla sú rovnaké. Dokážeme ekvivalentné tvrdenie: v akejkoľvek množine nčísla, všetky čísla sú si navzájom rovné. O n= 1 tvrdenie je pravdivé. Nech je to pravda pre n = k, dokážme to pre n = k+ 1. Vezmite si súbor ľubovoľných
(k+ 1) čísla. Odstránime z neho jedno číslo A. Vľavo kčísla, podľa induktívnej hypotézy sú si navzájom rovné. Najmä dve čísla sú rovnaké b A s. Teraz odstránime číslo zo sady s a zapnite ho A. Vo výslednom súbore je stále kčísla, čo znamená, že sú si navzájom rovné. najmä a = b. znamená, a = b = c, a to je všetko ( k+ 1) čísla sú rovnaké. Indukčný prechod je dokončený a tvrdenie je preukázané.

14. Dokážte vylepšený princíp matematickej indukcie:

Nechaj A(n) je predikát množiny prirodzených čísel. Nechaj A(1) pravdivé a z pravdy A(k) pre všetky čísla k < m by mala byť pravda A(m). Potom A(n) platí pre každého n.

Objednané súpravy

Pripomeňme si základné definície spojené so vzťahom objednávky.

Definícia. Vzťah f („vyššie“) na množine M volal objednávkový vzťah, alebo jednoducho v poriadku, ak je tento vzťah tranzitívny a antisymetrický. Systém b M, fñ sa nazýva objednaná sada.

Definícia. prísny poriadok, ak je antireflexný, a voľný poriadok, ak je reflexná.

Definícia. Relácia rádu f sa nazýva relácia lineárne poradie, ak je pripojený, tzn a ¹ bÞ a f bÚ b f a. Poradie, ktoré nie je lineárne, sa nazýva čiastočné.

Definícia. Nech á M A– podmnožina M. Element T súpravy A volal najmenší, ak je menej ako všetky ostatné prvky súpravy A, teda

("XÎ A)(X ¹ T® X f T).

Definícia. Nech á M, fñ – objednaná sada, A– podmnožina M. Element T súpravy A volal minimálne, ak je v súprave A neexistuje žiadny menší prvok, tj (" XÎ A)(X ¹ T® Ø T f X).

Najväčšie a maximálne prvky sa určujú podobne.

Cvičenia

1. Dokážte, že tranzitívny a antireflexívny vzťah je vzťahom poriadku.

2. Dokážte, že vzťah deliteľnosti M na množine N existuje čiastočný vzťah objednávky.

3. Dokážte, že množina môže mať najviac jeden najväčší a najviac jeden najmenší prvok.

4. Nájdite všetky minimálne, maximálne, najväčšie a najmenšie prvky v množine (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10) pre vzťah deliteľnosti.

5. Dokážte, že ak má súbor najmenší prvok, potom je to jediný minimálny.

6. Koľkými spôsobmi môžeme definovať lineárne usporiadanie na množine troch prvkov? lineárne a prísne? lineárne a laxné?

7. Nech á M, fñ je lineárne usporiadaná množina. Dokážte, že vzťah > definovaný podmienkou

a > b Û a f b & a¹ b

je vzťah prísneho lineárneho poriadku.

8. Nech á M, fñ je lineárne usporiadaná množina. Dokážte, že vzťah ³ je definovaný podmienkou

a ³ b Û a f b Ú a= b,

je vzťah neprísneho lineárneho poriadku.

Definícia. Lineárne usporiadaná množina b M, fñ, v ktorom každá neprázdna podmnožina má najmenší prvok, sa nazýva celkom poriadok. Vzťah f sa v tomto prípade nazýva vzťah dokončiť objednávku.

Podľa vety 1.4.6 je sústava prirodzených čísel úplne usporiadaná množina.

Definícia. Nech á M Interval oddelený prvkom a, s názvom set R a všetky prvky nižšie A a odlišný od A, teda

R a = {X Î Mï a f X, X¹ a}.

Najmä ak A je teda minimálny prvok R a = Æ.

Veta 1.(Princíp transfinitnej indukcie). Nech á M, fñ je kompletne usporiadaná sada a A Í M. Nechajte pre každý prvok A od M z príslušnosti k A všetky prvky intervalu R a z toho vyplýva AÎ A. Potom A = M.

Dôkaz.

Nechaj A" = M\A je množinovo-teoretický rozdiel množín M A A. Ak A"= Æ teda A = M, a veta je pravdivá. Ak A"¹ Æ , potom, odvtedy M je kompletne objednaná sada, potom sada A" obsahuje najmenší prvok T. V tomto prípade všetky prvky predchádzajúce T a odlišný od T, nepatriť A" a preto patria A. teda Р m Í A. Preto podľa podmienok vety T Î A, a preto T Ï A", v rozpore s predpokladom.

Nech á A; fñ je usporiadaná množina. Budeme to predpokladať A– konečná množina. S každým prvkom A súpravy A porovnajme nejaký bod T (A) danej roviny tak, že ak prvok A bezprostredne nasleduje prvok b, potom bod T (a) umiestnime nad bod T(b) a spojte ich segmentom. Výsledkom je, že získame graf zodpovedajúci tejto usporiadanej množine.

Cvičenia

9. Nech á M, fñ je kompletne objednaná sada, b Î PaniÎ M. Dokážte, že resp Pb = R s, alebo Pb Ì R s, alebo R s Ì Pb.

10. Nech á M, f 1 с a b L, f 2 ñ sú úplne usporiadané množiny také, že
M Ç L=Æ . V hojnosti M È L Definujme binárnu reláciu f pomocou nasledujúcich podmienok:

1) ak a, bÎ M, to, a f b Û a f 1 b;

2) ak a, bÎ L, to, a f b Û a f 2 b;

3) ak AÎ M,bÎ L, to, a f b.

Dokážte, že systém b MÈ L, fñ je kompletne usporiadaná sada.

Usporiadané poloskupiny

Definícia.Poloskupina nazývaná algebra á A, *ñ, kde * je asociatívna binárna operácia.

Definícia. Poloskupina á A, *ñ sa nazýva pologrupa s redukciou, ak spĺňa vlastnosti

a*c = b*c Þ a = b;c*a = c*b Þ a = b.

Definícia.Usporiadaná poloskupina nazývaný systém b A, +, fñ, kde:

1) systém b A, +ñ – pologrupa;

2) systém b A, fñ – usporiadaná množina;

3) vzťah f je monotónny vzhľadom na operáciu pologrupy, tzn
a f b Þ a+c f b + c, c + a f c+b.

Usporiadaná poloskupina á A, +, fñ sa nazývajú objednaná skupina, ak systém b A, +ñ – skupina.

V súlade s typmi objednávky sa určujú vzťahy lineárne usporiadaná pologrupa, lineárne usporiadaná skupina, čiastočne usporiadaná pologrupa, prísne usporiadaná pologrupa atď.

Veta 1. V usporiadanej poloskupine á A, +, fñ nerovnosti môžu byť pridané, tzn a f b, c f d Þ a+c f b+d.

Dôkaz. Máme

a f b Þ a+c f b + c, c f d Þ b+c f b + d,

odkiaľ tranzitivitou a+c f b+d. Veta bola dokázaná.

Cvičenie 1. Dokážte, že sústava prirodzených čísel je čiastočne usporiadaná pologrupa vzhľadom na násobenie a deliteľnosť.

Je ľahké vidieť, že systém b N, +, >ñ – prísne usporiadaná pologrupa, b N, +, ³ñ je nestriktne usporiadaná pologrupa. Môžeme uviesť príklad takéhoto usporiadania pologrupy á N, +ñ, v ktorom poradie nie je ani prísne, ani neprísne.

Cvičenie 2. Definujme rád f v sústave prirodzených čísel takto: a f b Û a ³ b & a¹ 1. Dokážte, že b N, +, fñ je usporiadaná pologrupa, v ktorej poradie nie je ani prísne, ani neprísne.

Príklad 1 Nechaj A– množina prirodzených čísel, ktorá sa nerovná jednej. Definujme pomer f in A nasledujúcim spôsobom:

a f b Û ($ kÎ N)(a = b+k) & bč. 3.

Dokážte, že systém b A, +, fñ je čiastočne a striktne usporiadaná pologrupa.

Dôkaz. Skontrolujeme prechodnosť:

a f b, b f c Þ a = b + k, bč. 3, b = c + 1, c¹ 3 Þ a = c +(k+l), c¹ 3 Þ a f c.

Pretože a f b Þ a > b, potom je antireflexivita splnená. Z cvičenia 2.1.1 vyplýva, že f je vzťah prísneho poriadku. Poradie je čiastočné, pretože prvky 3 a 4 nie sú v žiadnom vzťahu.

Vzťah f je vzhľadom na sčítanie monotónny. Skutočne, podmienka a f b Þ a+c f b+c môže byť porušená len vtedy
b+c= 3. Ale súčet sa môže rovnať 3, pretože je to možné Ažiadna jednotka.

Skupina dvoch prvkov nemôže byť lineárne a striktne usporiadaná. V skutočnosti nech sú 0 a 1 jej prvky (0 je nula skupiny). Predpokladajme, že 1 > 0. Potom dostaneme 0 = 1 + 1 > 0 + 1 = 1.

Veta 2. Každá lineárne usporiadaná odvolateľná pologrupa môže byť lineárne a striktne usporiadaná.

Dôkaz. Nech á A, +, fñ je usporiadaná pologrupa. Prísny vzťah poradia > je definovaný ako v cvičení 2.1.5: a > b Û a f b & a¹ b. Ukážme, že podmienka 3) z definície usporiadanej pologrupy je splnená.

a > b Þ a f b, a¹ bÞ a+c f b+c.

Ak a+c = b+c potom, znížením, dostaneme a = b, čo odporuje podmienke
A > b. znamená, a+c ¹ b+c, A a+c > b+c. Druhá časť podmienky 3) sa kontroluje podobne, čím sa veta dokazuje.

Veta 3. Ak b A, +, fñ je lineárne a prísne usporiadaná pologrupa, potom:

1) A + s = b + c Û a = b Û c + a = s + b;

2) A + s f b + c Û A f b Û s + a f s + b.

Dôkaz. Nechaj A + s = b + c. Ak a ¹ b, potom z dôvodu spojenia A f b alebo
b f a. Ale potom podľa toho A + s f b+ c alebo b + s f a+ c, čo odporuje podmienke A + s = b + c. Ostatné prípady sa riešia podobne.

Čiže každá lineárne a striktne usporiadaná pologrupa je zrušiteľnou pologrupou.

Definícia. Nech á A, +, fñ je usporiadaná pologrupa. Element A súpravy A nazývaný pozitívny (negatívny), ak a + a¹ A A a+a f A(resp A f a + a).

Príklad 2 Dokážte, že prvok usporiadanej komutatívnej pologrupy so zrušením väčším ako pozitívny prvok nemusí byť nevyhnutne pozitívny.

Riešenie. Použime príklad 1. Máme 2 + 2 f 2, čo znamená, že 2 je kladný prvok. 3 = 2 + 1, čo znamená 3 f 2. Zároveň neplatí vzťah 3 + 3 f 3, čiže 3 nie je kladný prvok.

Veta 4. Súčet kladných prvkov komutatívnej pologrupy so zrušením je kladný.

Dôkaz. Ak a + a f A A b+b f b, potom podľa vety 1

a + a+ b+b f a + b Þ ( a + b)+ (a+b)f a + b.

Zostáva skontrolovať, či ( a + b)+ (a+b)¹ a + b. Máme:

b+b f b Þ a+b+b f a+b(1)

Predstierajme, že ( a + b)+ (a+b)=a + b. Dosadením do (1) dostaneme

a+b+b f a+b+a+b Þ a f a+a.

Kvôli antisymetrii a = a + a. To je v rozpore so skutočnosťou, že prvok A pozitívne.

Veta 5. Ak A je kladný prvok lineárne a striktne usporiadanej pologrupy, potom pre ľubovoľnú b máme a+b f b, b + a f b.

Dôkaz. Máme a+ a f A Þ a+ a+ b f a+ b. Ak to nie je pravda a+ b f b, potom vdaka linearite drzi a+b=b alebo b f a+ b. Pridávanie zľava A, dostaneme podľa toho a+ a+ b= a+ b alebo a+ b f a+ a+ b. Tieto podmienky sú v rozpore s antisymetriou a prísnosťou poradia.

Veta 6. Nech á A, +, fñ – lineárne a striktne usporiadaná pologrupa, AÎ A A A+ A¹ a. Potom prvky:

A, 2*A, 3*A, ...

každý je iný. Ak v tomto prípade systém b A, +, fñ je skupina, potom sú všetky prvky odlišné:

0, A,–A, 2*A, - 2*a, 3*a, –3*A, ...

(pod k*a, kÎ N , aÎ A, znamená sumu a+ …+ a, obsahujúce k podmienky)

Dôkaz. Ak a + A f A, To a + A + A f a + a, atď. V dôsledku toho dostaneme reťaz ... f ka f… f 4 A f3 A f2 A f A. Vďaka tranzitivite a antisymetrii sú všetky prvky v ňom odlišné. V skupine môže reťaz pokračovať v opačnom smere pridaním prvku - A.

Dôsledok. Konečná pologrupa so zrušením, ak je počet jej prvkov aspoň 2, nemôže byť lineárne usporiadaná.

Veta 7. Nech á A, +, fñ je lineárne usporiadaná skupina. Potom

a f a Û b f b.

Dôkazom je cvičenie.

Každá lineárne usporiadaná skupina je teda buď striktne alebo neprísne usporiadaná. Na označenie týchto príkazov budeme používať znaky > a ³.

Cvičenia

3. Dokážte, že súčet kladných prvkov lineárne a striktne usporiadanej pologrupy je kladný.

4. Dokážte, že každý lineárne a striktne usporiadaný prvok pologrupy väčší ako kladný prvok je sám osebe pozitívny.

5. Dokážte, že usporiadaná pologrupa je lineárne usporiadaná vtedy a len vtedy, ak akákoľvek konečná množina jej prvkov má len jeden najväčší prvok.

6. Dokážte, že množina kladných prvkov lineárne usporiadanej skupiny nie je prázdna.

7. Nech á A, +, fñ je lineárne a striktne usporiadaná skupina. Dokážte, že prvok A systémov A vtedy a len vtedy, ak je kladné, ak A > 0.

8. Dokážte, že v aditívnej pologrupe prirodzených čísel existuje iba jeden lineárny a striktný poriadok, v ktorom množina kladných prvkov nie je prázdna.

9. Dokážte, že multiplikatívna pologrupa celých čísel nemôže byť usporiadaná lineárne.

Objednané prstene

Definícia. Systém b A, +, ×, fñ sa nazýva objednaný semiring, Ak

1) systém b A, +, ×ñ – semiring;

2) systém b A, +, fñ – usporiadaná pologrupa s neprázdnou množinou A+ pozitívne prvky;

3) monotónnosť platí vzhľadom na násobenie kladnými prvkami, teda ak sÎ A+ a A f b, To ac f bc, cca f cb.

Pozitívny prvok objednaný semiring A je akýkoľvek kladný prvok usporiadanej pologrupy á A, +, fñ.

Objednaný semiring b A, +, ×, fñ sa nazýva objednaný prsteň (lúka), ak semiring b A, +, ×ñ – krúžok (resp. pole).

Definícia. Nech á A, +, ×, fñ – objednaný semiring. Poradie f systému A volal Archimedes, a systém A - Archimedean nariadil, bez ohľadu na pozitívne prvky A A b systémov A, môžete určiť také prirodzené číslo P,Čo na f b.

Príklad 1 Polomerovanie prirodzených čísel so vzťahom > (väčšie ako) je lineárne, striktne a archimedovsky usporiadané polomerovanie.

Pre lineárne usporiadaný krúžok b A, +, ×, 0, fñ systém b A, +, 0, fñ je lineárne usporiadaná skupina. Z toho podľa vety 2.2.7 vyplýva, že poradie f je buď striktné alebo neprísne. V hojnosti A môžete zaviesť (cvičenia 2.1.5. a 2.1.6) nový lineárny poriadok, ktorý bude prísny, ak je rád f neprísny, a neprísny, ak je rád f prísny. V súvislosti s touto poznámkou v lineárne usporiadanom prstenci A Zvyčajne sa berú do úvahy dva vzťahy binárneho poriadku, z ktorých jeden, prísny, je označený znamienkom >, a druhý, neprísny, je označený ³.

Pre to, čo nasleduje, je užitočné pripomenúť, že v lineárne usporiadanom prstenci prvku A je pozitívny vtedy a len vtedy A> 0 (cvičenie 2.2.7).

Veta 1. Nech systém b A,+,×,0,>ñ – lineárne usporiadaný prsteň. Potom pre akýkoľvek prvok A od A alebo A = 0, alebo A> 0 alebo – A > 0.

Dôkaz. Vďaka lineárnosti a prísnosti medzi prvkami
a+ a A A platí len jeden zo vzťahov a+a>a, a+ a = a, a+ a < a. V prvom prípade A– pozitívny prvok. V druhom pridáme do oboch častí - A a dostaneme A= 0. V treťom prípade pridáme na obe strany – a – a – a a dostaneme –a < -a-a, kde –a– pozitívny prvok.

Veta 2. Súčet a súčin kladných prvkov lineárne usporiadaného kruhu sú kladné.

Dôkazom je cvičenie.

Veta 3. V lineárne usporiadanom kruhu je druhá mocnina akéhokoľvek nenulového prvku kladná.

Dôkazom je cvičenie.

Veta 4. V lineárne usporiadanom poli ak a> 0 teda a –1 > 0.

Dôkazom je cvičenie.

Veta 5. ( Kritérium objednávky) . Krúžok á A, +, ×, 0ñ vtedy a len vtedy môžu byť lineárne a prísne usporiadané (t. j. zaviesť lineárne a prísne usporiadanie), ak množina A má podmnožinu A+, spĺňajúce podmienky:

1) AÎ A + Þ A¹ 0 & – AÏ A + ;

A¹ 0 Þ AÎ A + Ú – AÎ A + ;

2)a, bÎ A + Þ a+ bÎ A + & abÎ A + .

Dôkaz. Nech najprv á A,+,×,0,>ñ – lineárne usporiadaný prsteň. Ako požadovaná podmnožina A+ v tomto prípade sa na základe vety 1 a 2 môže objaviť veľa pozitívnych prvkov systému A.

Nechaj to teraz A+ je podmnožina kruhu b A,+,×,0ñ, spĺňajúce podmienky vety. Skúsme zaviesť lineárny poriadok > v prstenci á A,+,×,0ñ. Definujme tento vzťah takto:

A > b Û a – b Î A + .

Je ľahké skontrolovať, či vzťah, ktorý sme zaviedli, je spojený, antireflexný, antisymetrický, tranzitívny a monotónny vzhľadom na sčítanie a násobenie ľubovoľným prvkom z A + .

Kopa A+ s vlastnosťami uvedenými v podmienkach vety 4 sú tzv pozitívna časť prsteňa á A,+,×,0ñ. V budúcnosti, keď zavedieme poriadok do akéhokoľvek kruhu, budeme v ňom hľadať „pozitívnu časť“. Ak takáto časť v prsteni existuje, potom je možné prsteň objednať, ak nie, potom nie, ak je takýchto nezhodných kladných častí niekoľko, je možné ho objednať niekoľkými spôsobmi.

Z uvedeného vyplýva, že pri definovaní lineárne usporiadaného kruhu namiesto binárneho vzťahu > možno ako hlavný vzťah brať unárny vzťah „kladná časť“.

Veta 6. ( Kritérium jedinečnosti lineárneho usporiadania) . Nechaj A+ a A++ – kladné časti prstenca b A,+,×,0ñ. Potom

A + = A ++ Û A + Í A ++ .

Podobné články